Зимние турниры Архимеда. 1992 — 2005


I Зимний турнир Архимеда
Школа №5
26.01.1992
Условия
1. Неверное равенство. На доске написано равенство:
1*2*3*4*5*6*7*8*9=20
(вместо * в неизвестном порядке написаны знаки “+” и “–”). Докажите, что это равенство не может быть верным.
2. Загадочная тетрадь. Однажды на лестнице я нашел странную тетрадь. В ней было написано 100 утверждений:
В этой тетради ровно 1 неверное утверждение.
В этой тетради ровно 2 неверных утверждения.
. . . . . . . . . .
В этой тетради ровно 100 неверных утверждений.
Какое утверждение здесь верно?
3. Похудеть к лету. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?
4. Бракованная монета. Известно, что монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек весят соответственно 1, 2, 3 и 5 грамм. Среди четырех монет (по одной каждого достоинства) одна бракованная: отличается весом от настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?
5. Делимость на 11. Докажите, что если выражение при некоторых целых значениях a, b и c делится на 11, то и выражение при этих значениях a, b и c делится на 11.
6. На некотором острове живут два племени: "Рыцари" и "Лжецы" (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Перед нами 3 островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и В) высказывают следующие утверждения А: “Мы все лжецы”; В: ”Один из нас рыцарь”. Кто из трех островитян (А, В, С) рыцарь и кто лжец?

II Зимний турнир Архимеда
Школа №5
24.01.1993
Условия
1. Делимость на 1993. Докажите, что сумма  делится на 1993.
2. На одной ферме число коров на 12,5% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов?
3. Цепочка из плиток. Можно ли сложить замкнутую цепочку из 1993 квадратных плиток? Пример замкнутой цепочки:

4. Верно ли равенство:
?
5. Фальшивая монета. Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается от настоящих, но неизвестно легче она настоящей или тяжелее. Все настоящие монеты имеют одинаковую массу. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее остальных.
6. На острове Рыцарей и Лжецов. Перед нами 3 островитянина A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Пусть A и B высказывают следующие утверждения: A: ”Мы все лжецы”, B: ”Ровно один из нас лжец”. Можно ли определить, кто такой B: рыцарь или лжец? Можно ли определить, кто такой C?

III Зимний турнир Архимеда
Школа №5
23.01.1994
Условия
1. Пример на деление. Можно ли придумать пример на деление с остатком, чтобы делимое, делитель, частное и остаток (взятые в произвольном порядке) оканчивались на 9, 7, 3 и 1?
2. Разрезать квадрат на четыре части, так чтобы каждая часть соприкасалась с тремя остальными (части соприкасаются, если  у них есть общий участок границы).
3. Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.
4. Число на доске. С числом, записанным на доске, разрешается производить следующие операции: заменять его удвоенным, или стирать его последнюю цифру. Как с помощью этих операций получить из числа 458  получить число 14?
5. Апельсины и лимоны. Апельсин стоит 278 рублей, а лимон 455 рублей. Куплено 10 фруктов общей стоимостью 3842 рубля. Сколько было куплено  апельсинов?
6. Числа в таблице. В прямоугольной таблице  (20 строк, 10 столбцов) записаны числа. В каждой строке выбирается наименьшее число и среди этих (наименьших в строке) чисел выбирается наибольшее. В каждом столбце выбирается наибольшее число и среди этих (наибольших в своей строке) чисел выбирается наименьшее. Какое из этих  чисел больше (если это разные числа)?

IV Зимний турнир Архимеда
Школа №5
22.01.1995
Условия
left0001. Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?
2. Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание соли в смеси стало 2%?
3. Равные кучки. В наборе 23 гири массой 1, 2, ..., 23 кг. Можно ли их разложить на две равные по массе кучки, если гиря в 21 кг потеряна?
4. Робот Вася умеет делить на 7. Если ему попадается какое-нибудь число, он делит его на 7, затем, если удалось разделить без остатка, он делит на 7 частное и так далее, до тех пор, пока это возможно. Сколько раз он сможет разделить на 7 число:  (произведение всех натуральных чисел от 1 до 100)? Ответ объясните.
5. Целые числа. Числа a и b целые. Известно, что . Может ли сумма  равняться 627?
6. Бактерии. Один вид бактерий имеет такой закон развития: каждая бактерия живет 1 час и каждые полчаса порождает новую (всего 2 новых бактерии за свою жизнь). Сколько бактерий получиться из одной через: а) 1 час; б) 3 часа; в) 6 часов? Ответ объясните.

V Зимний турнир Архимеда
Гимназия-лицей №109
28.01.1996
Условия
1. Четыре части. Разделите эту фигуру (см. рис.) по линиям сетки на четыре одинаковые части, так, чтобы в каждой из частей было по одной отмеченной точке.
 
2. Порядок цифр. Представьте число 987654321 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы каждое из них состояло из тех же девяти цифр, но записанных в другом порядке.
3. Чет или нечет? Вычислили произведение всех чисел от 1 до 100, а затем в нем вычеркнули все нули. Какой будет последняя цифра получившегося числа четной или нечетной? Ответ объясните.
4. A или B? 2% натурального числа A больше, чем 3% натурального числа B. Верно ли, что 5% A больше,  чем 7% числа B?
5. Вирус убийца. В колонию, состоящую из 200 бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем оба вируса и все оставшиеся бактерии снова делятся, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдет?
6. Перевод с Ам-Ямского. Дан русский текст и его перевод (построчный) на язык племени Ам-Ям:
текст:    перевод: 
Мышка ночью пошла гулять.
Кошка ночью видит – мышка!
Мышку кошка пошла поймать. Ам ту му ям
Ту ля бу амГу ля ту ямСоставьте фрагмент русско-ам-ямского словаря по этому переводу (в языке Ам-Ям нет знаков препинания).

VI Зимний турнир Архимеда
Гимназия-лицей №109
19.01.1997
Условия
1. Точки и отрезки. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались, и из каждой точки исходило ровно 4 отрезка.
2. Два рыбака поймали 70 рыб, причем  улова первого рыбака составляли караси, а  улова второго окуни. Сколько рыб поймал каждый?
3. Числа на доске. На доске написано три числа: 19, 9 и 7. С этими числами разрешается делать две операции: 1) Удвоить любое из чисел; 2) От каждого из чисел отнять по 1. Можно ли проделав несколько таких операций получить три нуля?
4. Делимость на 116. Натуральные числа a и b таковы, что . Докажите, что  делится на 116.
5. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый их них говорит: «Мои соседи рыцарь и лжец». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Сколько среди них лжецов, если за столом 9 человек?
6. Пещера Али-Бабы. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз не более 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото или алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?

VII Зимний турнир Архимеда
Гимназия-лицей №109
18.01.1998
Условия
1. «Треугольная» сетка сделана из шнура, который может гореть. Огонь распространяется по шнуру с одной и той же скоростью по всем направлениям (каждое звено сгорает ровно за 1 минуту). Какие из отмеченных звеньев (AB, BC, CD, DE или AF) сетки сгорят последними, если поджечь сетку в точке O? За какое время они сгорят?

2. Поход за молоком. В 1975 году Антон пошел в молочный магазин. Денег у него не было, но были пустые бутылки 6 литровых (стоимостью 20 коп) и 6 полулитровых (стоимостью 15 коп). В магазине было  разливное молоко по 22 коп литр. Какое наибольшее количество молока он может принести домой? Другой посуды, кроме пустых бутылок, у него нет.
3. Куб. Расставьте цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба так, чтобы суммы цифр, стоящих в каждой грани были равны.
 
4. Числа. На доске написаны три целых числа A, B, C. В следующей строке под ними пишут разности , ,  и так далее, до пятой строки включительно. Подберите числа A, B и C так, чтобы в пятой строке было число 1998. Можно ли подобрать числа A, B и C так, чтобы в пятой строке было число 1997?
5. Шахматный турнир. В круговом турнире шахматистов (каждый по одному разу играет со всеми остальными участниками, причем за победу дается 1 очко, за ничью 0,5 очка, за поражение 0) участвуют 30 человек. Чтобы выполнить норму IV разряда требуется набрать 60% очков. Сколько партий будет сыграно в турнире? Какое наибольшее число шахматистов может стать разрядниками по итогам турнира?
6. Найдите икс! Вася разделил число 1998 на 2, а затем умножил его на x и в результате получил число  (в десятичной записи числа одни единицы). Чему равен x?

VIII Зимний турнир Архимеда
Гимназия-лицей №109
17.01.1999
Условия
1. Облицовка стены. Можно ли прямоугольную стену размером  покрыть плитками размером  и ?
2. Сумма цифр. Найдите наименьшее четырехзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа.
3. Львенок и Черепаха. Львенок решил покататься на большой черепахе, но сначала ему нужно ее догнать. Какое расстояние придется пробежать львенку прежде, чем он сможет покататься, если его скорость в 10 раз больше скорости черепахи, а черепаха находится в 180 метрах от львенка?
4. Новый год. За праздничным столом 30 человек, 26 из них носят имя Саша. В полночь они все рассядутся за круглым столом, и каждый загадает одно желание, но исполнятся желания только у тех, кто будет сидеть между двумя Сашами.
Какое: а) наименьшее количество желаний может исполниться? б) наибольшее количество желаний может исполниться?
5. Что сказал Bася? Каждый из трех приятелей  Антон, Боря и Вася либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Всем троим задали вопрос: "Есть ли среди двух остальных хоть один правдивый?" На это Антон ответил: "Да". Боря ответил: "Нет". Что сказал Вася? Слово  "приятели" в данном случае означает, что каждый из троих знает об остальных, кто правдивый, а кто лжец.
left0006. Проволочная сетка. Можно ли сетку, изображенную на рисунке сделать:
1) из 8 кусков проволоки, каждый из которых имеет длину 5?
2) из 5 кусков проволоки, каждый из которых имеет длину 8?
Куски можно сгибать, но нельзя разрезать.

IX Зимний турнир Архимеда
Центр образования №109
16.01.2000
Условия
1. Шесть крепостей. Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения дорог и крепостей, чтобы на ней было только три перекрестка и на каждом из них пересекалось ровно две дороги.
2. Восстановите пример, учитывая, что одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами: .
3. Кузнечик прыгает по координатной прямой малыми и большими прыжками. Большой прыжок 12 единичных отрезков, малый 7.
1) может ли он попасть из точки с координатой - 1 в точку с координатой 9?
2) Верно ли, что кузнечик может попасть из любой точки с целой координатой в любую другую?
4. Стираем дроби. На доске написано равенство:
.
1) можно ли стереть некоторые дроби, а затем некоторые плюсы заменить на минусы так, чтобы равенство стало верным?
2) можно ли, не стирая дробей, некоторые плюсы заменить на минусы так, чтобы после этого равенство стало верным?
5. Рыцарь или Лжец? На острове живут два племени: «Рыцари» и «Лжецы» (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). В комнате собрались несколько жителей острова. Примерно половина из них утверждает, что число рыцарей, находящихся в комнате нечетно, и число лжецов также нечетно. Остальные доказывали, что число и тех и других -четно. Один из присутствующих, подводя итоги обсуждения, заметил, что всего в комнате 37 человек. Кто он, рыцарь или лжец?
6. От 1 до 1000000. Какова сумма всех цифр, используемых для записи всех натуральных чисел от одного до миллиона?

X Зимний турнир Архимеда
Центр образования №109
21.01.2001
Условия
рис.1
1. Магический квадрат. В клетках квадрата  были записаны натуральные числа, так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерли (см. рис.1). Восстановите квадрат.
2. Странное уравнение. Пусть запись  обозначает наибольшее из чисел:  или .
Решите уравнение: .
3. Начертите отрезок. Как с помощью прямоугольной плитки размером  см начертить на листе бумаги отрезок, длина которого – 1 см?

рис.2
4. Рыбацкий рассказ. Николай сказал: «Я поймал рыб столько же, сколько мой сын». Петр сказал: «Я поймал рыб втрое больше, чем мой сын». Известно, что никого, кроме них, на рыбалке не было, а всего поймано 49 рыб. Могли ли оба высказывания быть правдивыми? Ответ объясните.
5. Царь Горох объявил, что хочет выдать замуж дочь – Василису Прекрасную.
Собрались на царский двор принцы да королевичи. И сказал им царь: «Есть у меня охотничий домик (см. рис. 2), в нем пять комнат. Кто сможет обойти весь домик, пройдя через каждую дверь ровно один раз, тот и получит царевну в жены!» Можно ли выполнить условие Царя Гороха? Ответ объясните.
6. Числа в вершинах. В каждой вершине куба записано число. За один шаг разрешается к каждому из двух чисел, находящихся на концах одного (любого) ребра, прибавить по единице. Можно ли за несколько таких шагов добиться того, чтобы все восемь чисел стали между собой равны, если вначале они были поставлены как а) на рис 3? б) на рис. 4?

рис.3 рис.4
XI Зимний турнир Архимеда
Центр образования №109
16.01.2002
Условия
1. Расставьте скобки в неверном равенстве  так, чтобы оно стало верным.
2. Прямые и квадрат. На листе бумаги нарисован квадрат. Можно ли разрезать его по 4 прямым линиям на 2 треугольника и 8 четырехугольников? Если можно, приведите пример, если нет, объясните почему.
3. Грузовик. Известно, что грузовик можно заполнить ровно 109 способами упаковками в 3 кг и 5 кг помидоров так, чтобы их общий вес составил x кг. Чему равно x?
4. В саду Деда Мороза вот уже более 1000 лет растет Волшебная елка. Известно, что каждое утро на ней вырастают 100 иголок, и каждая иголка живет ровно 4 года, а затем отмирает. Сколько же всего иголок на Волшебной елке?
5. Мартышка и бананы. Мартышка собрала 100 бананов общим весом 10 кг. Помогите Мартышке накормить этими бананами Слоненка и Удава так, чтобы никто из них не обиделся: они могут обидеться, если один съест бананов хотя бы на 100 г больше другого. (Вес  одного банана от 20 до 200 г, мартышка может узнать вес каждого банана.)
6. На доске написано число 1992199320012002. Разобьем произвольным образом его десятичную запись на два числа и сложим их. С полученным числом проделаем аналогичную операцию и т. д., до тех пор, пока не получится однозначное число. Какое число может получиться? Исследуйте все возможности.

XII Зимний турнир Архимеда
Центр образования №109
19.01.2003
Условия
1. Пример на сложение. На восьми карточках записаны цифры и знаки “плюс” и “равно”: , , , , , , , . Составьте верный пример на сложение, используя все указанные карточки.
2. Катер. Имея полный бак топлива, катер может проплыть 72 км против течения реки или 120 км по течению. На какое наибольшее расстояние по реке он может отплыть при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь?
3. Четырнадцать ребят: 7 мальчиков и 7 девочек решили разделиться на две команды. Они встали в круг и начали считаться (по часовой стрелке). Каждый шестой – выходил из круга, и счет начинался заново со следующего игрока. Так продолжалось до тех пор, пока 7 вышедших из круга игроков не образовали команду, причем оказалось, что она состоит из одних мальчиков. Изобразите схематически, как могли бы стоять мальчики и девочки (не забудьте указать, с кого начинался счет).
4. Ледяная пустыня. Путешественник хочет пересечь арктическую пустыню за 6 дней. Известно, что один человек способен взять с собой припасов на 4 дня. Он не сможет преодолеть весь путь в одиночку, но он может взять с собой носильщиков. Сколько человек он должен взять с собой и как организовать путешествие, чтобы благополучно пересечь пустыню, а все носильщики вернулись домой?
5. Клетки марсианскогоорганизма “А–2003” расположены в виде замкнутых “цепочек” и могут находиться в двух состояниях – “сон” и “активность”. “Активная” клетка раз в секунду передает сигнал, который за секунду доходит до двух соседних клеток. В следующую секунду клетка “активна”, если к ней пришел сигнал от одной из соседних клеток.
рис.1
 
рис.2
Если же сигнал пришел с двух сторон или не пришел вовсе, то клетка погружается в “сон”. Известно, что организм “А–2003” живет до тех пор, пока хотя бы одна его клетка “активна”. Сколько секунд проживет организм, изображенный а) на рис. 1? б) на рис. 2? (“активные” клетки помечены знаком X).

6. Числа на ребрах куба.
а) Можно ли из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 вычеркнуть какое-нибудь одно число, а оставшиеся расставить на ребрах куба (см. рис.) так, чтобы сумма чисел на трех ребрах примыкающих к каждой вершине куба была одной и той же?
б) Может ли этим вычеркнутым числом быть число 13?
XIII Зимний турнир Архимеда
ФМШ №2007 и Школа №2009
18.01.2004
Условия
1. Белоснежка и семь гномов. Требуется разделить 5 одинаковых яблок на восьмерых поровну. Хватит ли для этого 7 разрезов? (За один раз Белоснежка может отрезать от яблока любую его часть).
2. Пятачку на день рождения подарили несколько разноцветных шариков, причем красных шариков среди них было 45%. После того, как Пятачок отдал один синий и один зеленый шарики Ослику Иа-Иа, красных шариков у Пятачка стало 50%. Сколько шариков подарилиПятачку на день рождения?
3. Четыре друга Андрей, Женя, Толя и Федя играли в теннис пара на пару. После каждой партии они разбивались на пары заново. Известно, что Женя выиграл 27 раз, Андрей – 14 раз, Толя – 7 раз, а Федя – меньше всех. Ответьте на вопросы: а) Сколько партий выиграл Федя? б) Сколько партий он проиграл?
4. Экспертиза. Эксперту полиции принесли 13 одинаковых с виду монет, из которых 7 монет были настоящие, а остальные – фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, а каждая фальшивая – на 1 грамм легче или тяжелее настоящей. Имеются электронные чашечные весы, которые показывают разность масс грузов на чашах. Эксперт берет наугад одну монету. За какое наименьшее количество взвешиваний он сможет выяснить, фальшивая она или настоящая? (Взвешивать можно любые наборы монет).
left0005. Кладовая Морского Царя состоит из 36 треугольных комнат, соединенных дверями (см. рисунок). Привел Морской царь купца Садко в угловую комнату и сказал: “В каждой комнате моей кладовой лежит по одной жемчужине. Собирай жемчужины, но помни, что в любой из комнат ты сможешь побывать не более одного раза. Если же ты выйдешь из кладовой, то войти в нее уже не сумеешь”. Какое наибольшее количество жемчужин может собрать Садко?
6. Стоимость ножа. У двух братьев было стадо овец. Они продали его и за каждую овцу получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Стали делить выручку: Петру – 10 рублей, Ивану – 10 рублей, Петру – 10 рублей, Ивану – 10 рублей, и т. д. Наконец, Петр взял последнюю десятку, а Ивану нескольких рублей до десятки не хватило. Тогда Петр вынул из кармана нож и отдал брату в качестве компенсации за недостающую сумму денег. Сколько стоил нож?

XIV Зимний турнир Архимеда
ФМШ №2007 и Школа №2009
16.01.2004
Условия
1. Перед очередным плаванием экипаж капитана Флинта принял пополнение − 20 человек. «Что ж, неплохо, – подумал Флинт, – однако придется пополнить запасы питьевой воды, иначе нам нечего будет пить целую неделю». Капитан выходит в море на 4 недели. Сколько людей у него на корабле, если известно, что пираты расходуют воду равномерно и на каждого воды одинаково?
2. Расставьте скобки в данном выражении так, чтобы в результате выполнения указанных действий получилось число, большее 50:
left000.
3. Четыре стакана. Можно ли расставить на столе четыре одинаковых стакана (см. рис) так, чтобы все попарные расстояния между донышками были равны? За расстояния между донышками приняты расстояния между их центрами.
left0004. Новогодний аттракцион. Приз получит тот, кто сумеет, обрезав нити, оставить на новогодней гирлянде (см. рис.) по одной цифре от 1 до 9. Как этого добиться, сделав наименьшее количество разрезов? Почему нельзя обойтись меньшим числом разрезов?
5. Маша и Лена по очереди пишут цифры двадцатизначного числа, используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет Маша, вторую – Лена, третью Маша и т. д. Если в итоге полученное двадцатизначное число кратно 9, то выигрывает Лена, если не кратно, то выигрывает Маша. Кто выигрывает при правильной игре Лена или Маша? Как следует играть победителю?
6. Десять цифр. Можно ли, используя каждую из десяти цифр по одному разу, записать: а) какое-нибудь натуральное  число и его квадрат; б) квадрат и куб одного и того же натурального числа.

Приложенные файлы

  • docx 23219792
    Размер файла: 63 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий