Заочные турниры Архимеда. 1992 — 2005


II Турнир Архимеда
Заочный тур
1992/1993 уч. год
Условия
1. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг, на семи трехтонках?
2. Найти все числа вида:  (х и у – некоторые цифры), делящиеся на 36.
3. Можно ли выписать числа 1, 2, 3, ..., 9 по кругу так, чтобы сумма никаких двух соседних не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?
4. Имеется 13 городов. Можно ли их соединить дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?
5. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?
6. Вдоль шоссе стоит 8 домов. Где надо построить магазин, чтобы сумма расстояний от домов до магазина была наименьшей?
7. Найти число, сумма цифр которого равна разности между 328 и самим числом.
8. 50 боксеров участвуют в соревнованиях по олимпийской системе (проигравший выбывает). Сколько нужно боев, чтобы определить победителя?

VI Турнир Архимеда
Заочный тур
1996/1997 уч. год
Условия
1. Требуется поставить несколько знаков “+” между цифрами числа 987654321, чтобы в сумме получилось 99. Как это сделать? Сколько решений имеет задача?
2. Можно ли покрыть шахматную доску  прямоугольными плитками размером ?
3. В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них сказал: “Здесь нет ни одного честного человека”, второй: “Здесь не более одного честного человека”, третий: “Здесь не более двух честных людей” и так далее. Последний, двенадцатый: “Здесь не более одиннадцати честных людей”. Сколько в комнате честных людей?
4. Семиклассник Вася Иванов переставил цифры в некотором числе, после чего полученное число сложил с исходным. В ответе у него получилось число . Учитель математики Иван Васильевич сказал, что ответ неверен.  Вася очень обиделся на своего учителя – ведь Иван Васильевич не видел Васиного решения! Кто прав: Вася или его учитель?
5. Сумма цифр некоторого натурального числа A равна B, сумма цифр числа B равна C. Известно, что сумма чисел A, B и C равна 60. Чему равно число A? Уверены ли Вы, что нашли все решения?
6. Может ли сумма 999 последовательных натуральных чисел быть кубом натурального числа?
7. С какого дня чаще начинается новый год: с субботы или воскресенья?
8. В школьном кабинете химии имеются три банки с серной кислотой емкостью 1, 2 и  3 литра. Концентрация кислоты в этих банках неизвестна (скорее всего, она различна – но в точности этого никто не знает). Требуется перелить кислоту в три  пустые банки такой же емкости, но так, чтобы концентрация кислоты во всех банках была одинакова. Как это сделать?

VII Турнир АрхимедаЗаочный тур1997/1998 уч. годУсловия1. Товары со склада. Некоторый товар на складе упакован в мешки весом 122 кг и 157 кг. Какое наибольшее количество товара можно вывести со склада на трех грузовиках: трехтонном, пятитонном и семитонном?
2. Сколько квадратов? Можно ли в числе 412384026 зачеркнуть несколько цифр, чтобы в результате получился квадрат натурального числа? Если да, то найдите все решения.
left0003. Четырехзначные числа. Найдите сумму всех четырехзначных чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 9 раз.
4. Шашечная доска. На каждом из четырех отмеченных полей стоит по шашке. Шашка, как известно, стремится “в дамки”. Какая из них может проделать этот путь на пустой доске наибольшим числом способов? Чему равно это число для каждой из шашек?
5. Натуральное неравенство. При каких натуральных значениях a, b и c выполняется неравенство ?
6. Стираем числа! На доске написаны натуральные числа от 1 до 1997. Коля и Вася играют в такую игру: за один ход разрешается стереть два любых числа, а вместо них написать модуль их разности. В итоге на доске остается одно число. При этом Коля стремится получить как можно меньшее число, а Вася – как можно большее. Какое наименьшее число может получить Коля, если будет играть один? Какое наибольшее число может получить Вася, если будет играть один? Какое число они получат, если будут делать ходы по очереди, придерживаясь при этом наилучшей стратегии?
7. Быки и коровы. Найдите четырехзначное число, все цифры которого различны, если известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017содержат по две цифры, принадлежащие искомому числу, однако ни одна из них не стоит в них на том же месте, что и в искомом числе.
8. Непрозрачный куб. Имеется достаточное количество единичных кубиков, причем некоторые кубики прозрачны, некоторые нет. Из них требуется сложить куб с ребром 5. Сколько непрозрачных кубиков следует взять и как их расположить, чтобы при взгляде на кубик со стороны любой из граней куб казался непрозрачным?

VIII Турнир Архимеда
Заочный тур
1998/1999 уч. год
Условия
1. В трехлитровой банке находится литр спирта, а в пятилитровой – литр воды. Разрешается переливать из одного сосуда в другой любое количество жидкости. Можно ли в результате какого-то количества переливаний получить в пятилитровой банке  раствор спирта с концентрацией 54%?
2. Можно ли сложить стенку  из плит размером ?
3. На шахматной доске проведена прямая. Какое наибольшее число клеток шахматной доски она может пересечь?
4. У сейфа 16 ручек, которые расположены в 4 ряда по 4 ручки в каждом ряду. Каждая ручка может находиться в одном из двух положений: горизонтальном или вертикальном. При повороте любой ручки поворачиваются все ручки в том ряду и в том столбце, где она находится. Сейф открывается, если все ручки находятся в горизонтальном положении. Верно ли, что при любом исходном положении ручек сейф можно открыть?
5. Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 12, 1121, 1321, 122131, 132231, 122232, …. Сформулируйте правило, согласно которому составлена данная последовательность.
6. Может ли число вида  оканчиваться на 1999 нулей?
7. Некоторое девятизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (каждая цифра вошла десятичную запись этого числа ровно один раз) умножили на 8. В результате получилось число, десятичная запись которого  состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Найдите хотя бы одно такое число. Сколько таких чисел существует?
8. Один известный Математик пошел к приятелю в гости, но по дороге забыл номер его квартиры. Расспрашивая соседей, он выяснил, что:
1) если верно, что номер квартиры кратен 2, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59;
2) если верно, что этот номер не кратен 3, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69;
3) если верно, что этот номер не кратен 4, то он больше, чем 70, но меньше, чем 79.
Сумел ли Математик определить номер квартиры по этим данным? Если да, то как он при этом рассуждал?

IX Турнир Архимеда
Заочный тур
1999/2000 уч. год
Условия
1. Двузначные числа. Найдите все двузначные числа, каждое из которых на 6 меньше суммы квадратов своих цифр.
2. Большая шахматная доска. Можно ли расставить на шахматной доске  крестики и нолики (в каждой клетке ровно один символ!), чтобы ни на одной диагонали, вертикали или горизонтали нельзя было встретить три крестика или три нолика подряд?
3. Известная задача. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Петя побежал вверх, чтобы затем спустится вниз и вернуть шапку. Витя побежал вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят постоянны и равны?
4. Не производя вычислений. 
В равенстве  замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Решите задачу, не умножая число 109 само на себя.
5. Экспертиза. Среди 15 монет, выглядящих одинаково, имеется одна фальшивая, отличающаяся по весу от всех остальных и одна заведомо настоящая «стандартная» (лежит отдельно). Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь обнаружить фальшивую монету?
6. На олимпиаде были даны три задачи А, B и С. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Среди школьников, не решивших задачу А, решивших B, в два раза больше, чем решивших С. Школьников, решивших только задачу А, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу А. Сколько школьников решили только задачу B, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу А?
7. Счастливые билеты. Будем считать, что автобусный билет имеет шестизначный номер, а счастливый билет это тот, у которого сумма первых трех цифр равна сумме трех остальных. Сколько всего счастливых билетов?
8. Гнезда в патроне электронной лампы равномерно расположены по окружности и занумерованы числами от 1 до 100. Можно ли так занумеровать штырьки в лампе (числами от 1 до 100), чтобы при любом включении лампы в патрон хотя бы один из штырьков обязательно попадал в гнездо со своим номером?

X Турнир Архимеда
Заочный тур
2000/2001 уч. год
Условия
1. Легче, тяжелее или ...? Известно, что из 40 монет две фальшивые (одна из фальшивых монет весит несколько больше настоящей, другая – несколько меньше, все настоящие монеты весят одинаково). Можно ли за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь, выяснить что больше: вес двух фальшивых монет или двух настоящих, или же эти веса равны?
2. Как выгоднее? В каком случае вкладчик получит больше денег: если банк начисляет доход в 12% раз в год или если он начисляет 1% раз в месяц?
3. Кони на доске. Какое наибольшее число шахматных коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
4. Каких чисел больше? У каждого из чисел от 1 до 199920002001 вычислили сумму цифр. У получившегося числа снова вычислили сумму цифр. И так далее до тех пока не получились однозначные числа. Каких чисел получилось больше 1 или 9?
5. Каркас из проволоки. Можно ли из 199 кусков проволоки, длины которых равны соответственно 1, 2, 3, , 199 см, сделать а) каркас куба; б) каркас прямоугольного параллелепипеда?
6. Тринадцатая цифра. Перемножили все натуральные числа 1 до 50. Найдите тринадцатую цифру полученного произведения (справа!).
7. Автобусный маршрут. По шоссе между пунктами A и B курсирует с постоянной скоростью автобус. Известно следующее:
Пункты C, D и E расположены на шоссе между A и B;
Автобус останавливается только в A и B (на 3 мин);
В 9.08 автобус проехал мимо C по направлению в B;
В 11.28 автобус выехал из A;
В 13.16 автобус приехал в B;
В 14.04 автобус проехал мимо C по направлению в B;
Наблюдатель в D не видел ни одного автобуса в течение 54 мин;
Наблюдатель в E видел 2 автобуса в течение 20 мин;
Как расположены на шоссе пункты A, B, C, D и E?
8. Точки и окружности. На плоскости расположено 200 точек. Существует ли окружность, внутри которой расположено ровно а) 3; б) 100 точек?

XI Турнир Архимеда
Заочный тур
2001/2002 уч. год
Условия
1. Чай с молоком. В стакане и чашке налиты чай с молоком, причем, содержание молока в стакане составляет 20%, а в чашке – 50%. Половину содержимого стакана перелили в чашку и размешали. Затем половину полученной смеси перелили обратно в стакан. Могло ли оказаться, что молока в стакане стало столько же, сколько в чашке?
2. Длина эскалатора. Леня и Паша решили сосчитать количество ступенек эскалатора, находящихся между входом и выходом из него. Для этого они одновременно ступили на эскалатор, причем в то время, как Паша делал 2 шага, Леня делал 1 (ступеньки никто не перескакивал). Оказалось, что они сделали 21 и  28 шагов соответственно. Какова длина эскалатора?
3. Делимость на 41. Число  записано при помощи n единиц. При каких n это число делится на 41?
4. Кто где живет? Девять друзей живут в разных квартирах одного 55-квартирного дома. Когда я пытался выяснить у них, кто где живет, то в ответ услышал следующие заявления:
Андрей: Номер моей квартиры на 23 больше, чем у Бориса.
Борис: Номер моей квартиры на 16 меньше, чем у Виктора.
Виктор: Номер моей квартиры на 19 меньше, чем у Григория.
Григорий: Номер моей квартиры на 12 больше, чем у Дмитрия.
Дмитрий: Номер моей квартиры на 30 больше, чем у Евгения.
Евгений: Номер моей квартиры на 17 меньше, чем у Ивана.
Иван: Номер моей квартиры на 37 меньше, чем у Константина.
Константин: Номер моей квартиры на 12 больше, чем у Леонида.
Леонид: Номер моей квартиры на 10 больше, чем у Андрея.
               
          
   7 8 9     
   6 1 2     
   5 4 3     
          
               
Впоследствии было установлено, что сведения, которые дал один из друзей, ошибочны. Определите, кто где живет?
5. Числовая спираль. На клетчатой бумаге ставятся натуральные числа по спирали, часть которой изображена на рис. 1. На каких горизонтальной и вертикальной полосах стоит число 830, если считать, что 1 стоит на пересечении первой горизонтальной и первой вертикальной полос?
               
              
               
             
               
              
               
               
6. Архив календарей.Известно, что календари на некоторые годы одинаковы (в них совпадают и числа и дни недели). Сколько различных календарей нужно иметь в архиве, чтобы не покупать новых в течение всего XXI века?
7. Как разрезать доску. На рисунке изображена шахматная доска с 4 шашками на ней. Разрежьте ее на 4 равные части так, чтобы на каждой из этих частей было ровно по одной шашке. Сколькими способами можно это сделать?
8. Просьба Снежной Королевы. Однажды Снежная Королева попросила Деда Мороза расставить в Ледяном дворце 7 елок так, чтобы среди любых трех из них нашлось две на расстоянии 10 шагов друг от друга. Выполнима ли просьба Снежной Королевы?
XII Турнир Архимеда
Заочный тур
2002/2003 уч. год
Условия
1. В заповедном лесу растут ели, сосны и пихты. Известно, что елей на 20% больше, чем сосен и на 25% больше, чем пихт. Известно, что пихт на 144 меньше чем сосен. Сколько в заповедном лесу елей?
2. Буквы вместо цифр. Если , а , то чему равно ?
3. Двойки и нули. Число , десятичная запись которого состоит из n двоек, делится на 2002. При каком наименьшем n это возможно? Сколько таких чисел существует?
4. Загадочное пятизначное число. Известно, что в пятизначном числе все цифры различны и не равны некоторой цифре Х. Если записать цифры числа в обратном порядке, то результат окажется меньше исходного числа в Х раз. Найдите это число.
5. В Ледяном дворце Снежной Королевы стояло 6 елок, каждые две из которых были соединены гирляндой из цветной бумаги (белой, красной, зеленой, желтой или синей). Могло ли так быть, чтобы от каждой елки “выходили” гирлянды каждого из 5 цветов?
6.  Продолжение предыдущей задачи. Если бы елок было 13, а цветов 12, могло ли так быть, чтобы от каждой елки “выходили” гирлянды каждого из 12 цветов?
7. Кот Матроскин и почтальон Печкин были в гостях у дяди Федора и теперь возвращаются в Простоквашино. Им надо преодолеть расстояние в 10 км, но на двоих у них имеется один велосипед, без багажника и верхней продольной трубы, так что ехать на нем может кто-то один. Хорошо, что путь проходит по лесной дороге, на которой в это время суток ни души. Поэтому ради справедливости они решили так: один из них едет на велосипеде, через какое-то время слезает, ставит велосипед у дерева и продолжает путь пешком. Второй, шедший пешком, доходит до велосипеда и садится на него, и так далее.Известно, что на велосипеде они могут ехать со скоростью 10 км/ч, пешком Печкин ходит со скоростью 4 км/ч, а Кот –  5 км/ч. За какое время они смогут вернуться домой?
8. Перепись населения. На острове живет несколько семей с детьми. Вот что известно о населении этого острова.
Детей на острове больше, чем взрослых. Взрослых больше, чем мальчиков. Мальчиков больше чем девочек, а девочек больше, чем семей. Бездетных семей нет, а во всех семьях количество детей разное.
У каждой девочки есть по меньшей мере один брат и не больше одной сестры. В одной из семей детей больше, чем во всех остальных вместе взятых. Сколько семей на острове? Сколько мальчиков и девочек в каждой из семей?

XIII Турнир Архимеда Заочный тур 2003/2004 уч. годУсловия задач
Пример на умножение. На доске было написано равенство:. После того, как дежурный по классу успел стереть некоторые цифры (сколько цифр он стер неизвестно), то на доске осталось: 1127...173x1017...565 = 1126...745. Могло ли исходное равенство быть верным?
Квартирный вопрос. Вася на вопрос, каков номер его квартиры, ответил так: "Если все шесть двузначных чисел, которые можно образовать из цифр номера, сложить, то половина полученной суммы составит как раз номер моей квартиры". Какой номер у квартиры, в которой живет Вася?
Магический квадрат. В магическом квадрате 4x4 расставлены числа 1, 2, 3, ... 16, причем числа 1 и 16 стоят соответственно в левой нижней и правой верхней угловых клетках квадрата. Предположим, что сумма чисел, стоящих в правой нижней и левой верхней угловых клетках квадрата, равна A. Какие значения может принимать A?
Шахматный матч. Двое шахматистов сыграли матч из 24 партий. Известно, что ни одна нечетная партия не закончилась вничью, и ни одному из участников матча не удалось выиграть три партии подряд. Какое наибольшее число очков мог набрать победитель?
Задача для знатоков. Из шахматной доски удалена угловая клетка. Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на 18 треугольников одинаковой площади? Формулу для нахождения площади треугольника найдите в справочнике.
Продолжение задачи 5. Тот же вопрос для 17 треугольников.
Где-то на Диком Западе. Три золотоискателя нашли 10 самородков общим весом 400 г. Они рассчитывали разделить находку так, чтобы каждому досталось не менее 100 г золота, однако после того, как один из самородков весом 60 г пришлось отдать за продовольствие, такой раздел стал невозможен. Мог ли он быть возможен вначале или золотоискатели заведомо ошибались?
По мотивам задачи А. Эйнштейна. В пяти домах с крышами разных цветов на одной стороне улицы живут пять джентльменов, каждый из которых предпочитает определенный напиток, определенный вид спорта и держит животное, птиц или разводит рыб (напитки, виды спорта и питомцы у всех разные). Известно, что англичанин живет в доме с красной крышей; швед держит собаку; датчанин предпочитает чай; дом с зеленой крышей расположен слева от дома с белой крышей; джентльмен из дома с оранжевой крышей замечен за игрой в регби; футболист иногда разговаривает со своим попугаем; хозяин дома с зеленой крышей пьет кофе, а хозяин среднего дома - молоко; норвежец живет в крайнем доме по соседству с домом с синей крышей; волейболист соседствует с любителем кошек; любитель лошадей живет рядом с регбистом; немец играет в теннис; сосед волейболиста пьет только минеральную воду, а баскетболист предпочитает квас. Выясните кто в каком доме живет, каким спортом увлекается, какие напитки предпочитает, а также выясните кто разводит рыбок.

XIV Турнир Архимеда Заочный тур 2004/2005 уч. год Условия задач.
Произведение цифр. Существует ли число, произведение цифр которого кратно 2005?
Номер квартиры. Вася сказал: «Если от двузначного номера мо-ей квартиры отнять число, образующееся после перестановки его цифр, то получится номер дома, в котором я живу». Известно, что Лена, зная номер Васиного дома, сумела по этим данным определить номер Васиной квартиры. Определите его и Вы.
Числовой квадрат. Можно ли расставить все числа от 1 до 16 в клетках квадрата 4х4 так, чтобы суммы по строкам и по столбцам были бы равны 8 последовательным натуральным числам?
Автобусы на шоссе. По шоссе в одном направлении с постоянной скоростью через равные промежутки времени идут без остановок автобусы. В понедельник Вася пробежал вдоль шоссе 4 км, и за это время его обогнали 6 автобусов. Во вторник он пробежал вдоль шоссе 7 км, и за это время его обогнали 8 автобусов. В среду он пробежал 17 км. Сколько авто-бусов его при этом обогнало? (Во время тренировок Вася бежит с одинако-вой скоростью).
Новости. В городе N проживает 1000 жителей, причем любые два друга каждого горожанина враждуют между собой, а любые два его врага дружат. Естественно, что новости обязательно сообщают друзьям, а с незнакомцами никто не разговаривает. Однажды 199 жителей города узнали новость. Узнают ли ее остальные горожане?
Археологическая находка. При раскопках было найдено 100 золотых и 101 серебряных монет. Известно, что все монеты разного размера и веса и, кроме того, если у одной золотой монеты размер больше, чем у другой, то она и весит больше, причем из двух золотых монет легко выбрать большую по размеру монету «невооруженным глазом». Известно также, что и серебряные монеты легко упорядочить по размеру (а, следовательно, и по весу) «на глаз», но нельзя таким образом сравнивать монеты, изготовленные из разных металлов (большая по размеру монета может оказаться меньше по весу). В Вашем распоряжении чашечные весы без гирь. Можно ли за 8 взвешива-ний выделить 101-ую по весу монету?
Загадочное число. Известно, что число наименьшее натураль-ное, кратное 225, сумма цифр которого равна 225. Сколько цифр содержится в десятичной записи числа ?
Задача портного. Может ли портной из куска клетчатой ткани (площадь каждой клетки – 1 дм2) вырезать коврик в виде квадрата, площадь которого – 5 дм2, пользуясь только линейкой и ножницами?

Приложенные файлы

  • docx 23219791
    Размер файла: 44 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий