пособие_заочники


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
ФГБОУ ВПО СПбГПУ И нститут машиностроения ЛМЗ - ВТУЗ Кафедра автоматизации технологических комплексов и процессов Методическ ое пособие по теории автоматического управления к самостоятельной работе студентов Линейные САУ Сан кт - Петербург 20 13 г. 2 УДК 62 - 83 - 52 В.М. Шестаков, О.Л. Шарякова , О.П. Томчина. Метод. пособие по теории автоматического управления к самостоятельной работе студентов. Линейные САУ ‬ СПб.: СПбГПУ , 20 13 . В пособии рассмотрены теоретические основы математичес кого описания электромеханических систем, исследования устойчивости линейных систем. Рассмотрены практические аспекты применения структурно - топологических методов преобразования динамических моделей САУ и частотных методов исследования линейных систем , алг ебраических и частотных критерием для определения устойчивости линейных САУ . Пособие ориентировано на самостоятельную работу студентов, содержит большое количество примеров и задания по указанным частям курса. Рецензенты: доктор техн. наук, профессор А.Л . Фрадков кандидат техн. наук, доцент А.Е. Епишкин Научный редактор д.т.н., проф. Шестаков В.М. Редактор Г.Л. Чубарова 3 О главление Глава 1. Математические модели линейных САУ. 1.1. Основные понятия и определения. 1.2. Виды математических моделей САУ 1. 3 Получение перед аточных функций САУ путем структурных преобразований моделей систем. 1. 4 Использование теоремы Мейсона при получении передаточных функций САУ. 1.5. Временные и частотные характерист ики типовых динамических звеньев САУ, их взаимосвязь. 1.6 Типовые динамические звенья и их характеристики 1.7 Структурно - матричные преобразования динамических моделей САУ. 1 .8. Временные показ атели качества САУ Глава 2. Частотный метод исследования динамики САУ. 2.1. Применение метода логарифмических частотных х арактеристик к анализу и синтезу линейных САУ. 2.2. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых САУ. 2.3. Построение логарифмических частотных характеристик замкнутых САУ. Глава 3. Устойчивость линейной САУ 3.1 Основные определения 3.2. Алгебр а ический критерий ус тойчивости Гурвица. 3. 3 . Частотный критерий устойчивости Найквиста в логарифмической форме. 3. 4 . Частотный крит ерий устойчивости Михайлова Задание Список л итератур ы 4 Глава 1. Математические модели линейных САУ 1.1. Основные понятия и определения Автоматизированных Систем Автоматическая система ‬ это такая система, в которой производится измерение ре гулируемой переменной, а возможно, и некоторых возмущений действующих на систему, и производится автоматическое воздействие на объект управления с целью обеспечения заданного закона изменения регулируемой переменной. Регулирование ‬ частный случай автомат ического управления. Если целью управления является поддержание постоянства регулируемой величины, то такие автоматическая система называются системами автоматического регулирования САР Если закон изменения регулируемой величины задан заранее, то такие с истемы называются системами программного управления . Если закон изменения регулируемой переменной произвольный, то такие системы называются следящими системами . Обобщенная структура САУ В ТАУ принято изображать отдельные части систем в виде квадратиков, не интересуясь внутренним устройством отдельных блоков или узлов систем, а указывая лишь входы и выходы, переменные этих блоков, и связи между ними структурная схема. В наиболее общем виде структурная съема САУ может быть представлена так: ОУ ‬ объект управления p ‬ регулятор g ( t ) ‬ задающее воздействие u ( t ) ‬ управляющее воздействие f ( t ) ‬ возмущающее воздействие y ( t ) ‬ регулируемая выходная переменная ОС y(t) f(t) g(t) Р ОУ 5 КЛАССИФИКАЦИЯ САУ ПО СПОСОБУ ФОРМИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ  U ). а разомкну тые , в т.ч. с регулировкой по возмущению УУ ‬ управляющее устройство U з ‬ задающее воздействие U ‬ управляющее воздействие y ‬ регулируемая выходная переменная F ‬ внешние возмущения  - измеряемые, - неизменяемые Когда возм ущающие воздействия можно измерить, его можно и скомпенсировать: для этого в структуру вводят устройство компенсацииУК. В такой структуре величина выходной переменной  y  не оказывает влияния на формирование возмущающего воздействия  u ). б замкнутые в ОС стоит датчик, измеряющий изменения в выходном сигнале. Выход y оказывает влияние на расчет управляющего воздействия. Достоинства и недостатки разомкнутых и замкнутых систем 1. Разомкнутые :  Простота системы, особенно при одном сильном возмущ ении  Устойчивость  Усложнение структуры и конструкции при многих возмущениях  Трудности компенсации, связанные с нелинейностью и не стационарностью параметров, в результате чего появляется большая ошибка  Отсутствие регулирования по отношению к неучтенному н еизмеряемому возмущающемуся воздействию U y F2 F1 U з УК УУ ОУ u U з e y F2 F1 У К О У У У О С 6 2. Замкнутые  Регулирование по отношению ко всем возмущениям опосредованное через выход  Обеспечение чрезвычайно малых ошибок в установившемся режиме путем выбора звеньев с большими коэффициентами усиления  Возмож на неустойчивость В настоящее время большое распространение получили комбинированные системы, в которых замкнутая система имеет устройство компенсации главного возмущения см. пунктир в случае б. Классификация по виду параметров и моделей Автоматические системы Линейные Нелинейные Стационарные Нестационарные Непрерывные Дискретные С сосредоточен - ными параметрами С распределенным и параметрами Если в каждом звене системы связь между выходной и входной переменной лине йна как в динамике, ток и в статике и система описывается линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями, то система является линейной . Если хотя бы в одном звене это условие нарушено ‬ нелинейной . Если параметры системы постоянны ‬ система стац ионарна , если меняются в процессе функционирования ‬ нестационарная . Если непрерывному изменению сигнала на входе соответствует непрерывное изменение сигнала на выходе, система непрерывна , если прерывистое ‬ дискретная . 7 Пример: Автоматическая систе ма регулирования частоты вращения двигателя постоянного тока U з ‬ задающее напряжение РС ‬ регулятор скорости; СУТП ‬ система управления ТП; РМ ‬ рабочий механизм; ТГ ‬ тахогенератор; Тр ‬ трансформатор; ТП ‬ тиристорный преобразователь Зада ча регулятора состоит в том, чтобы поддерживать частоту вращения Д в заданных пределах при изменении нагрузки на валу Д. Для измерения  применяется тахогенератор, создающий напряжение , пропорциональное  . Напряжение ?? заданное значение скорости двигателя. Напряжение характеризует отклонение  от . Управляющие сигналы на ТП подаются через СУТП от полупроводникового РС. При неравенстве РС вырабатывает сигнал т.о., чтобы часто та вращения  изменилась так, чтобы  уменьшилось. Это система с обратной связью по частоте вращения. Математические модели непрерывных САУ в форме дифференциальных уравнений, передаточных функций, детализированных структурных схем СДСС; взаимосвязь моделе й Под математическими моделями САУ понимают формы способы их математического описания. 1.2. Виды математических моделей САУ 2. Дифференциальные уравнения описывают динамику системы. Пусть ‬ входы, y ( t ) ‬ выходная переменная. Дифференциальное уравнение звена в общей форме : (1) y(t) U 2(t) U1(t) звено ТП  д ТР U рс БО РС С R ос R ос R вх1 U тг U з О У СУТ П Д ~ РМ Т Г 8 Где ‬ порядок ДУ. Эта форма неудобна для нахождения решения ДУ , т.к. неподготовлена для интерпретирования. ДУ, разрешенное относительно старшей производной (2) Здесь ДУ подготовлено для интегрирования после которого можно понизить порядок ДУ на единицу. Уравнения состояния. (3) Где ‬ переменные состояния, связь которых с выходной переменной y определяется уравнением выхода. Если система в о времени не меняется и воздействия на нее постоянны, т.е. , то говорят, что она находиться в статическом режиме . Уравнения статического режима для ДУ вида 1: ‬ установившееся состояние. Уравнение статического режима для формы (3) (4) , где - установившиеся значения, переменных состояния и выхода . 2. Передаточной функцией звена системы от данного входа к выходу называется отношение изображений по Лапласу выходной переменной к входной переменной при нулевых начальных условиях и равенстве нулю прочих входов: , где и преобразования Лапласа 3. Детализированной структурной схемой ДСС называется алгебраизированная ст руктурная модель САУ, состоящая только из элементарных звеньев типа: а интегрирующего ; б дифференцирующего ; в безынерционного ; г нелинейного с полностью вскрытыми связями между ними. 9 Пример . Не линейная электромагнитная цепь: Где - магнитный поток - ток, ‬ напряжение, ‬ число витков. Уравнение: Детализированная структурная схема: Детализированная структу рная схема удобн а для перехода к дифференциальным уравнениям. Зная модель в одной форме можно выписать любую другую. u ( t ) i ( t ) Ф t ) r i u Ф t) r 10 1. 3 . Получение передаточных функций САУ путем структурных преобразований моделей систем. 1. Пусть звенья системы соединены посл едовательно Uр y 1 р y 2 р y n - 1 р y n р Система уравнений звеньев, включенных последовательно, имеет следующий вид После исключения промежуточных переменных имеем Таким образом, переда точная функция последовательно включенных звеньев равна произведению их передаточных функций . 2. Пусть звенья системы соединены параллельно y 1 (p) u(p) y 2 (p) y(p) y n (p) В этом случае система уравнений звеньев, включенных параллельно, имеет вид W 1 (p) W 2 ( p) W n ( p) W 1 (p) W 2 (p) W n ( p) 11 Проведя необходимые подстановки в последнее уравнение, получим, что передаточная функция такой системы ра вна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение 3. Звено, охваченное обратной связью Обратная связь может быть положительной, если сигнал обратной связи складывается с входным сигналом, или отрицательной, если сигнал обратной связи вычитает ся из входного сигнала U ( p ) y ( p ) y oc ( p ) Схема описывается следующими уравнениями После преобразования получим W 1 (p) W oc (p) 12 Таблица 1.1 13 14 15 Рассмотрим пример 1. U ( p ) y ( p ) Чтобы получить передаточную функцию системы, необходимо начать с внутренних локальных контуров и связей, не пересекающихся с другими связями. Для данной схемы сначала целесообразно свернуть участок схемы с W 1 р и W 2 р . Звенья соединены встреч но - параллельно соединение с отрицательной обратной связью. Следовательно, передаточная функция локального контура будет иметь вид Звенья W 4 ( p  и W 5 ( p ) соединены параллельно, следовательно передаточная функция соединения имеет вид W 8 р W 4 р W 5 р Тогда исходная структурная схема примет следующий вид u р y р Для дальнейшей свертки структурной схемы необходимо избавиться от перекрещивающихся связей. Воспользуемся правилом перестановки отвода и звена ( W 6 ); получим структурную схем у в виде W 1 (p) W 3 ( p) W 4 (p) W 6 (p) W 2 (p) W 5 (p) W 7 р W 3 р W 8 р W 6 р 16 U р y р Далее воспользуемся правилом перестановки звена W 7 р и сумматора одновременно используя правило перестановки сумматоров. Таким образом, получена структурная схема в следующим виде U р y р Как видно из рисунка, данная схема не содер жит перекрещивающихся связей. Пары звеньев W 7 ‬ W 3 и W 8 ‬ W 6 соединены последовательно, поэтому структурную схему можно упростить, если ввести в рассмотрение передаточные функции W 9 р W 7 р W 3 р , W 10 р W 8 р W 6 р . W 7 р W 3 р W 8 р W 6 р W 6 - 1 р W 7 р W 3 р W 8 р W 6 р W 6 - 1 р W 7 - 1 р 17 При этом схема примет вид U р y р Звенья W 9 р и W 10 р охвачены единичной обратной связью. Свернем эти локальные контуры и получим передаточные функции Таким образом, полученная структура имеет один контур u р y р Передаточная функция этого контура, а следовательно, и всей системы будет 1. 4 . Использование теоремы Мейсона при получении передаточных функций САУ Правило некасающихся контуров теорема Мейсона Путь - это непрерывная направленная последовательность звеньев между двумя переменными, называемыми вход и выход, в которой ни одна пе ременная не встречается дважды. Контур - это замкнутый путь, где входная и выходная переменные совпадают. W 9 р W 10 р W 6 - 1 р W 7 - 1 р W11р W 12 р W 6 - 1 р W 7 - 1 р 18 Некасающийся контур относительно другого контура или пути - это контур, который не имеет ни одной общей переменной с другим контуром или путем. Расс мотрим пример, приведенный выше. Данная система содержит два пути: u - W 1 - W 3 - W 4 - W 6 - y , u - W 1 - W 3 - W 5 - W 6 - y ; шесть контуров: W 1 - W 2 , W 1 - W 3 - 1, W 4 - W 6 - 1, W 3 - W 4 - 1, W 3 - W 5 - 1, W 5 - W 6 - 1. В данном примере все контуры являются касающимся относительно приведенных путей. Одна ко, пары контуров W 1 - W 2 и W 4 - W 6 - 1; W 1 - W 2 и W 5 - W 6 - 1; W 1 - W 3 - 1 и W 4 - W 6 - 1; W 1 - W 3 - 1 и W 5 - W 6 - 1; W 1 - W 2 и W 3 - W 4 - 1; W 1 - W 2 и W 3 - W 5 - 1 являются некасающимися друг друга. Передаточная функция системы от любой входной переменной к любой выходной переменной соглас но теореме Мейсона [13] может быть определена по формуле где i - суммирование по всем путям; - сумма передаточных функций всех контуров, входящих в систему; - сумма произведений передаточных функций некасающихся друг друга контуров, взятых по два; - сум ма произведений передаточных функций некасающихся друг друга контуров, взятых по три; - передаточная функция i - того пути; - сумма передаточных функций всех контуров, не касающихся i - того пути; - сумма произведений передаточн ых функций контуров, не касающихся друг друга и i - того пути, взятых по два; - сумма произведений передаточных функций контуров, некасающихся друг друга и i - того пути, взятых по три, и т.д. 19 Вернемся к примеру. Передаточная функция данной системы в с оответствии с теоремой Мейсона будет В числителе приведены все указанные пути. В данном случае сомножитель  i р1 - 0, так как все контуры являются касающимися данных путей. В знаменателе в первых квадратных скобках приведена сумма всех контуров систем ы. Знак минус в круглых скобках слагаемого указывает на то, что обратная связь в контуре является отрицательной. Если обратная связь в контуре положительная, то и соответствующее слагаемое войдет в сумму со знаком плюс. Во вторых квадратных скобках приведе на сумма произведений передаточных функций некасающихся контуров, взятых по два. Как видно из формулы, знаки обратных связей также учитываются. В третьих квадратных скобках стоит ноль, так как данная система не содержит таких трех контуров, которые не кас аются друг друга. Пример 2. U р y р Необходимо найти передаточную функцию системы W ( p ) двумя способами: с помощью структурных преобразований и с помощью теоремы Мейсона. Рассмотрим первый способ. W 1 (p) W 2 (p) W 3 (p) 20 Свернем контуры, содержащие передаточные функции W 2 ( p ) и W 3 ( p  соединение звеньев с обратной связью. Получаем схему U р y р Далее необходимо преобразовать схему. Для этого, во - первых, воспользуемся правилом перестановки звена W 1 ( p ) и отвода, во - вторых, правилом расщепления и объединения сумматоров U р y р W 1 (p) W 4 (p) W 5 (p) W 1 (p) W 4 (p) W 5 (p) W 1 (p) 21 Теперь свернем контур, содержащий звено W 1 ( p  в цепи обратной связи и преобразуем участок схемы с параллельно соединенными звеньями W 1 ( p  и W 4 ( p ) При получении передаточной функции W 6 ( p  в числителе стоит 1, так как прямой путь контура представляет собой единичную связь. Схема примет вид u ( p ) y ( p ) Звенья W 6 ( p  и W 7 ( p  соединены последовательно: u ( p ) y ( p ) Звенья W 8 ( p  и W 5 ( p  соединены параллельно. Следовательно передаточная функция системы примет вид Найдем передаточную функцию системы вторым способом. В д анной системе три прямых пути: u - W 1 ( p ) - y ; u - W 2 ( p ) - y ; u - W 3 ( p ) - y . Система содержит три контура: W 1 ( p ) - 1; W 2 ( p ) - 1; W 3 ( p ) - 1. Не касаются пути и контуры: u - W 1 ( p ) - y и W 2 ( p ) - 1; u - W 1 ( p ) - y и W 3 ( p ) - 1; u - W 2 ( p ) - y и W 3 ( p ) - 1; u - W 3 ( p ) - y и W 1 ( p ) - 1; u - W 3 ( p ) - y и W 2 ( p ) - 1. Ко нтуры, некасающиеся друг друга: W 1 ( p ) - 1 и W 2 ( p ) - 1; W 1 ( p ) - 1 и W 3 ( p ) - 1; W 2 ( p ) - 1 и W 3 ( p ) - 1. W 7 (p) W 5 ( p) W 6 (p) W 8 (p) W 5 (p) 22 Найдем передаточную функцию всей системы Пример 3. u р y р Необходимо найти передаточную функцию системы двумя способами. Воспользуемся первым способом. Звенья W 1 ( p ) и W 2 ( p ) соединены параллельно: W 5 ( p )= W 1 ( p )+ W 2 ( p . Звенья W 3 ( p  и W 4 ( p  также включены параллельно в цепь обратной свя зи: W 6 ( p )= W 3 ( p ) - W 4 ( p ). Знак минус в передаточной функции W 6 (p) обусловлен тем, что обратная связь W 4 p является отрицательной. Свернутая схема примет вид u y Передаточная функция данного контура соединение звеньев с положительной обратной связью имеет вид W 1 (p) W 2 (p) W 3 (p) W 4 (p) W 5 (p) W 6 (p) 23 Теперь для нахождения передаточной функции системы воспользуемся теоремой Мейсона . В системе два пути: u - W 1 (p) - y; u - W 2 (p) - y. Система содержит четыре контура: W 1 (p) - W 3 (p); W 1 (p) - W 4 (p); W 2 (p) - W 3 (p); W 2 (p) - W 4 (p). Все пути и контуры являются касающимися. Передаточная функция системы примет вид При получении передаточной функции необходи мо обращать внимание на знак обратной связи в контуре слагаемое в знаменателе, соответствующ е е контуру W 1 (p) - W 3 p имеет знак плюс, слагаемое, соответствующие контуру W 1 (p) - W 4 (p) ‬ знак мину с. 24 1.5. Временные и частотные характерист ики типовых динамических звеньев САУ, их взаимосвязь. I. Временные характеристики 1) Переходной характеристикой h ( t ) звенасистемы называется его реакция на единичное ступенчатое воздействие 1 t ): 2) Весовой функцией импульсной характерис тикой w ( t  наз. реакция системы на единичную импульсную функцию Дирака δ ( t ): ; II. Частотные характеристики 1) Частотной ПФ системы или ее комплексным коэффициентом передачи называется отношение изображений Ф урье выходной и входной переменных: , где y ( t ) - выход, g ( t ) - вход, ; , ω - частота входного гармонического сигнала Геометрическая форма ЧПФ , ; . Частотная ПФ есть комплексное число, модуль которого A ω есть отношение амплитуд выходной гармонической переменной к входной, а аргумент φω - сдвиг фаз между этими переменными. , где A ( ω ) ‬ амплитудная частотная характеристикаАЧХ φω ‬ фазовая частотная характеристика ФЧХ Алгебраическая форма ЧПФ ; U ( ω ) ‬ вещественная частотная характеристикаВЧХ V ( ω ) ‬ мнимая частотная характеристикаМЧХ 25 На комплексной плоскости частотная ПФ W ( ω ) определяет вектор , длина которого равна A ( ω , а аргумент - угол φω аргумент это угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси. Кривую которую вычерчивает конец радиуса вектора при изменении частоты ω от ©0 до ©∞ называют, амплитудно - фазовой частотной характеристикойАФЧХ. Аргумент φω отсчитывается против часовой стрелки. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАХ L ω: , где A ( ω ) ‬ АЧХ Логарифмической фазовой частотной характеристикой ЛФХ, называется график зависимости фазовой частотной характеристики φω, и зображенной в логарифмических координатах φ lg ω. Единица измерения ЛАХ ‬ децибел, единица измерения логарифмической частоты lg ω - декада. ПРИМЕР: Некоторые временные и частотные характеристики интегрирующего звена , где T - постоянная времени. Дифференциальное уравнение: ПХ: ЧПФ: ВЧХ: МЧХ: АЧХ: 26 ФЧХ: ЛАХ: Связь временных и частотных характеристик. ВФ: w ( t  и ПХ h ( t  связаны: ,ПФ W ( p  и ЧПФ W ( ω ): W ( ω ) получается из ПФ W ( p  заменой p → ω . ПФ W ( p  есть преобразование Лапласа от весовой функции w ( t ) W ( p )= L { w ( t )} Частотная ПФ W ( j ω  есть преобразование Фурье от весовой 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1. 7 . Структурно - матричные преобразования динамических моделей САУ Если известна математическая модель объекта в одной форме, то можно получить модель в любой другой форме. Пере ход от структурной схемы системы к векторно - матричной модели ВММ удобнее всего осуществлять по детализированной схеме ДСС. Напомним, что ДСС системы называется её алгебраизированная структурная модель, состоящая только из элементарных звеньев типа инте грирующих, безынерционных, дифференцирующих и нелинейных с полностью вскрытыми связями между ними. Заметим, что составление дифференциальных уравнений по структурной схеме является неоднозначной задачей, поскольку выбор переменных состояния для ВММ можно о существлять различными путями. Однако ВММ с различными базисами т.е. различными основными переменными состояния могут быть формально преобразованы одна в другую. Будем в дальнейшем выбирать в качестве переменных состояния выходы интегрирующих звеньев. Ме тодика перехода от ДСС к ВММ может быть следующей: 1. Выбор в качестве переменных состояния х  х 1 ,  ,х n  выходны х переменны х интегрирующих звеньев. Размерность n вектора состояния х определяется числом интеграторов в системе. 2. Запись д ля каждого блока структурн ой схемы и для сумматоров уравнени й , связывающ их выходн ые переменн ые по правилу: ”выход блока равен произведению входной переменной блока на передаточную функцию”. 3. Исключ ение из уравнений промежуточны х переменны х , не являющи хся для системы в целом входным и переменными или переменными состояния. 4. Преобразова ние уравнени й к виду, не содержащему оператор Лапласа р” в знаменателе например, домножением левой и правой части уравнения на оператор p”. 5. Замен а оператор а р” на производную по времени . 6. Р ешение полученн ой систем ы дифференциальных уравнений относительно первых производных переменных состояния, а возможно, и входны х переменных. 7. Ф ормирова ние матриц ы объекта А, матриц ы управлений В, матриц ы наблюдений С, связав в уравнении матриц у  выходы переменны х состояния х 1 ,  , х n , входы U 1 ,  , U m и выходы y 1 ,  ,y k . Проиллюстрируем данную методику на примере. 43 Пример Перейти от представленной детализированной структурной схемы к векторно - матричной модели. 1.Выберем в качестве переменных состояния выходы интеграторов х 1 , х 2 , х 3 ; следовательно, порядок системы n3, т.е. . = . Уравнение выхода: . Требуется найти и . Обозначим все промежуточные переменные через  1 , e 2 ,  , 8 . 1. Выпишем для каждого блока и сумматора уравнения, связывающие выходные и входные переменные число уравнений равно числу блоков плюс число сумма торов. 2 . Уравнения для переменных состояния и промежуточных переменных : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; - уравнение выхода . 3. Исключим уравнения для промежуточных переменных, получив таким образом уравнения, с вязывающие переменные состояния  1 , x 2 , x 3 , вход U з и выход y: ; 44 ; ; . 4.Осуществим переход к дифференциальным уравнениям. Для этого умножим левую и правую части уравнений, связывающих переменные состояния, на оператор p”: ; ; . 5.Заменим оператор p” на производные по времени: : ; ; . 6.Составление матриц А, В, С: ; ; ; ; . 1.8 Временные показ атели качества САУ Временные показатели качества являются прямыми оценками качества и определяются по кривой переходного процесса при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. 1 Время переходного процесса время регулирования - время вхождения в 5% - зону от уровня установившегося состояния. Чем меньше , тем выше быстродействие системы. , 45 2 Перерегулирование σ ‬ это величина макси мального отклонения управляемой координаты от установившегося значения, взята в процентах по отношению к уровню установившегося состояния. 3) Установившаяся статическая ошибка рассматривается в случае, если установившееся состояние не достигло заданного 4) Время первого согласования время нарастания хар - ет быстродействие ‬ минимальное время, при котором система первый раз входит в 5% зону от установившегося состояния. 46 Глава 2. Частотный метод исследования динамики САУ 2.1. Применение метода логарифмических частотных характеристик к анализу и синтезу линейных САУ Несмотря на широкое развитие и применение машинных методов исследования САУ , интерес к частотному методу не уменьшился, а даже возрос за последни е годы. Это обусловлено как универсальностью частотного метода и удобством синтеза систем, так и методологией самого процесса исследования САУ. В основе различных структурно - топологических методов лежит единое математическое описание, в общем случае систе ма нелинейных дифференциальных уравнений, трансформирующихся в дальнейшим применительно к конкретным методам. При этом последние оказываются взаимосвязанными и дополняющими друг друга на каждом этапе исследования. Применение частотного метода целесообраз но на начальном этапе расчета САУ, поскольку с его помощью наиболее удобно ©почувствовать специфику работы системы, выявить существенные параметры и связи, исследовать влияние ©малых параметров, провести синтез регуляторов и корректирующих обратных связе й и дать предварительную оценку динамических свойств САУ. Такое исследование проводится обычно для линеаризованной системы. В основе частотного метода лежит операторный метод, поскольку получение комплексной спектральной функции W ( j  ), иными словами, ампл итудно - фазовой характеристики АФХ, сопряжено с формальной заменой оператора р на j  . При этом связь между различными частотными хараактеристиками и передаточной функцией W р может быть представлена в виде (2.1) где W (  ) ,  (  ) ‬ амплитудно - частотная АЧХ и фазочастотная ФЧХ характеристики; P (  ), Q (  ) ‬ вещественная частотная ВЧХ и мнимая частотная МЧХ характеристики. АЧХ и ФЧХ получаются при построении АФХ в п олярных координатах, а ВЧХ и МЧХ ‬ в декартовых. Физически АЧХ и ФЧХ представляют собой реакцию звена или системы на гармоническое воздействие на входе (2.2) с постоянной амплитудой А вх , начальной фазой  вх и переменной частотой  . При этом на выходе звена системы устанавливаются гармонические колебания (2.3) с той же часто той, но с отличным и в общем случае амплитудой и фазой. Тогда W (  ) А вых (  /А вх (   является АЧХ, а  (  )=  вых (  ) -  вх (   ФЧХ. Последние соотношения служат для экспериментального определения частотных характеристик с помощью специализированно й аппарат урой [ 14 ] . 47 На практике получили распространение логарифмические частотные характеристики ЛЧХ [ 1, 2, 3, 4 ] , строящиеся в координатах lg  с - 1  по оси абсцисс и 20 lgW (  ) ( Д б по оси ординат. Преимуществами ЛЧХ перед обычными частотными характеристиками являются: - воз можность суммировать ЛЧХ последовательно соединенных звеньев САУ; - удобное изображение на чертеже величин, несоизмеримых в натуральном масштабе, например, 0,01 и 100; - аппроксимация характеристик звеньев САУ прямыми линиями; - удобство синтеза САУ. При определ ение в процессе синтеза САУ в общем виде коэффициента передачи объекта регулирования на различных частотах и параметров регуляторов можно руководствоваться построениями, выполненными на рис.2.1, и позволяющими определить изменение уровня ЛЧХ в заданном диа пазоне частот в зависимости от степени наклона характеристики n где n =  1 соответствует наклону  20дб/дек, n =  2 соответствует  40дб/дек и т.д.. На рис. 2.1,а показано отрицательное изменение уровня ЛЧХ в ДБ, на рис. 2.1,б ‬ положительное. При определе нии же модуля изменения уровня ЛЧХ следует брать отношение большей постоянной времени или большей частоты к меньшей, т.е. 20 lg Т 1 /Т 2 ) n или 20 lg (  2 /  1 ) n . Полезно помнить также, что высота резонансного всплеска ЛЧХ колебательных звеньев составляет 20 lg (1/(2  , где  - коэффициент демпфирования звена. При динамическом расчете САУ используются ЛЧХ как разомкнутой, так и замкнутой систем. Информацию о переходных процессах содержат как те, так и другие характеристики. Рассмотрим сначала связь переходных процессо в в замкнутой системе с ЛЧХ разомкнутой САУ. На рис.2.2,а показаны типовые логарифмические амплитудная ЛАХ и фазовая ЛФХ характеристики разомкнутой системы, на рис. 2.2,б ‬ соответствующая переходная функция замкнутой САУ Х вых ( t ) [ реакция на единичный скачок Х вх ( t )=1 ] . Параметры переходного процесса и ЛАХ связаны между собой следующими формулами [15]:   1 - sin   р ; (2.4) t з  (1/  1 в )+(1/  2в ); (2.5) t р1  1,52/  с ; (2.6) t рм  (3/  с ); (2.7) t р  3/  с +2/  1н . (2.8) Из формул видно, что быстродействие системы прямопропорционально частоте среза  с , а колебательность обратнопропорциональна запасу по фазе   р . При   р  0 отрица тельная обратная связь становится положительной, что приводит к неустойчивости замкнутой САУ. Хотя приведенные формулы являются приближенными погрешность формул может составлять до 2025%, их применение оказывается весьма полезным при оценки динамики сис темы в первом приближении. Как известно, характер переходных процессов определяется зоной существенных частот системы, ограничивающейся по оси ординат  15ДБ. Чем ближе к частоте 48 среза  с располагается участок ЛАХ, тем большее влияние он оказывает на хара ктер переходного процесса. Если правая часть ЛАХ при  �  с формирует начало переходного процесса, то левая ее часть при   с ‬ конец процесса. В частности, участок ЛАХ W р (   с наклоном ‬ 2 ( - 40дб/дек в зоне частот  1н   2н обуславливает восстановление скоро сти электропривода при изменении момента сопротивления М с . Проанализируем теперь связь переходных процессов с ЛЧХ замкнутой системы. При качественной оценке переходного процесса по управлению или возмущению следует руководствоваться общим правилом, что нач альная часть переходного процесса определяется высокочастотной частью соответствующей ЛАХ, а конец процесса ‬ низкочастотной частью характеристики. На рис. 2.3 приведены примеры связи ЛАХ и переходных процессов в САУ, иллюстрирующие данное положение. Нетр удно видеть, что форма переходного процесса напоминает форму ЛАХ, повернутой относительно оси ординат на 180 0 . При этом, если ЛАХ замкнутой системы во всем диапозоне существенных частот проходит монотонно и не имеет резонансных подъемов над уровнем 20 lg k 0 , то переходная функция системы также монотонна см. рис. 2.3,а. Если же в ЛАХ имеется резонансный всплеск на какой - либо частоте, то переходная функция имеет перерегулирование, определяемое коэффициентом усиления САУ на этой частоте см. рис. 2.3,б. Пр иведенные оценки переходных процессов в системе или отдельном звене САУ также являются приближенными, однако их использование помогает качественно оценить динамику САУ, не прибегая к расчету переходных процессов, или избежать возможных ошибок при выполне нии подобных расчетов. П ри исследовании динамики многоконтурных САУ нередко приходится иметь дело с параллельно - встречным или с параллельно - согласным включением звеньев. Частотные характеристики таких соединений можно построить с помощью номограммы пересче та или специального приспособления ‬ векторной линейки [6, 14]. Необходимо заметить, что номограмма пересчета используется в основном в зоне частот, где амплитудные характеристики параллельных звеньев близки друг к другу. В диапазоне частот, где характеристики существенно различаются, результирующая ЛАХ при согласном включении звеньев проходит по верхним участкам ©по верхам характеристик слагаемых звеньев, а при встречном их включении ‬ по нижним участкам ©по низам ЛАХ охваченн ого звена и инверсной ЛАХ звена обратной связи. Физика такого явления заключается в том, что при согласном включении звеньев информация в основном передается через звено с большим коэффициентом усиления в рассматриваемом диапазоне частот. При встречном в ключении информация на выходе системы в зоне высоких частот определяется звеном, стоящим в прямом пути, а в зоне низких частот ‬ звеном обратной связи. В учебной практике приходится сталкиваться со случаями неудачного применения метода логарифмических част отных характеристик к расчету динамики САУ. Кажущаяся простота метода и отсутствие в нем формальных математических 49 преобразований нередко является причиной использования данного метода для систем 23 - го порядка, где более эффективным является применение др угих методов. Дадим поэтому сравнительную характеристику линейных расчетно - аналитических методов исследование динамики САУ. Такое сравнение позволит оттенить достоинства и недостатки методов, подчеркнуть особенности каждого из них и наметить рациональные о бласти их применения. Результаты такого анализа приведены в табл. 2.1. Таблица 2.1. Расчет динамики в t ‬ области классический метод Расчет динамики в р ‬ области операторный метод Расчет динамики в  - области частотный метод ДОСТОИНСТВА 1. Высокая ф изическая наглядность 2. Расчет не требует дополнительных формальных преобразований. 3. Возможность экспериментального определения переходных характеристик 1. Использование алгебраических уравнений вместо дифференциальных 2. Автоматический учет ненулевых нач альных условий и отсутствие необходимости определять постоянные интегрирования. 3. Универсальность метода. 1. относительная простота синтеза САУ. 2. не возникает трудностей при переходе из  - области в t - область. 3. Возможность экспериментального определения АЧ Х и ФЧХ. НЕДОСТАТКИ 1. Необходимо рассчитывать независимые начальные условия производные переменных величин до n - 1 порядка. 2. Необходимо определять корни характеристического уравнения. 3. Нужно рассчитывать постоянные интегрирования. 3. Трудности перехода из р - области в t - область. Теорема разложения неприменима, если: а неизвестны корни уравнения; б функция не дробно - рациональная. 2. Недостаточная физическая наглядность. 3. Невозможность экспериментального определения передаточных функций. 1. Большой объ ем расчетно - графической работ. 2. Невозможность расчета переходных процессов при возрастающих входных сигналах. 3. Недостаточная наглядность. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ САУ 1 - го ‬ 2 - го порядка. САУ 2 - го ‬ 3 - го порядка. САУ выше 3 - го порядка. 50 2.2. По строение логарифмических частотных характеристик разомкнутых САУ Передаточная функция системы при последовательном соединении звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев W(p)=W 1 (p) W 2 (p)... W n (p), где W i (p) - передаточная функция звена, i 1,..n. Тогда частотная передаточная функция системы W(j  )=W 1 (j  ) W 2 (j  )... W n (j  ). Представим частотную передаточную функцию звена в виде W i (j  )=A i (  )e j  i (  ) . Проведем подстановку и получим выражение W(j  )=A 1 (  )e j  i1 (  ) A 2 (  )e j  2 (  ) ...A n (  )e j  in (  ) =A(  )e j  (  ) , где A  )=A 1 (  )A 2 (  )...A n (  );  (  )=  1 (  )+  2 (  )+...+  n (  ). Найдем логарифмическую амплитудн о - частотную характеристику системы L(  )=20lgA(  )=20lg(A 1 (  )A 2 (  )...A n (  ))=20lg A 1 (  )+20lg A 2 (  )+... +20lg A n (  ). Как видно из формулы, логарифмическая ам плитудная характеристика ЛАХ системы при последовательном соединении звеньев равна сумме логарифмических частотных характеристик этих звеньев. Порядок построения ЛЧХ системы 1 на логарифмической оси частот наносятся точки, соответствующие сопрягающим ч астотам звеньев, входящих в систему сопрягающая частота - это величина, обратно - пропорциональная постоянной времени звена; 2 если в передаточной функции системы Wp имеются интегрирующие или дифференцирующие звенья типа Tp и1/Tp, то построение резуль тирующей ЛАХ начинается с них; 3 если в передаточной функции системы Wp нет интегрирующего или дифференцирующего звена, то построение результирующей ЛАХ начинается с горизонтального участка, соответствующего коэффициенту усиления 20gk, k ‬ общий коэффи циент усиления системы; 4 наличие в передаточной функции звеньев типа Tp1 и T 2 p 2 +2T  p+1) учитывается тем, что на соответствующих сопрягающих частотах ЛАХ претерпевает излом на величину n 20дб/дек где n ‬ порядок звена вверх или вниз в зависимости от того, в числителе или в знаменателе передаточной функции Wp находятся эти сомножители; 5 для построения логарифмической фазовой характеристики системы  (  ) необходимо построить частотные ЛФХ, соответствующие каждому сомножителю, а результирующая ЛФХ по лучается их геометрическим сложением. 51 1. Рассмотрим пример Перед тем как построить ЛЧХ данной системы, необходимо определить коэффициент демпфирования звена второго порядка, которое находится в числителе передаточной функции. Если этот коэффициент меньше единицы, то данное звено оставляем без изменения, если больше ‬ то разбиваем на два звена первого порядка. Рассмотрим тождество де  - коэффициент демпфирования. Из этого тождества следует: откуда получаем Т 1 0,01с;  0,1. Следовательно, звено втор ого порядка является колебательным и остается без изменения. Далее, в соответствии с алгоритмом постро ения ЛЧХ, необходимо определить сопрягающие частоты: Нанесем данные частоты на логарифмическую ось абсцисс. В данной передаточной функции отсутствуют инт егрирующие и дифференцирующие звенья. Следовательно, построение ЛАХ необходимо начать с горизонтального участка 20 lgk рис. 2.4,а . В рассматриваемом примере k 100. Тогда 20 lg 10040дб. Данная прямая находится в области низких частот слева от всех сопрягающ их частот. На частоте  3 прямая претерпевает излом на ‬ 20дб/дек, так как эта частота относится к 1 - му звену первого порядка апериодическому звену, находящемуся в знаменателе передаточной функции. Прямую с этим наклоном проводим до частоты  2 . На этой час тоте прямая снова претерпевает излом на ‬ 20дб/дек. Суммарный наклон прямой теперь составляет ‬ 40дб/дек. С этим наклоном ведем прямую до частоты  1 . Частота  1 относится к звену второго порядка, расположенного в числителе передаточной функции форсирующему звену второго порядка. Следовательно, результирующая ЛАХ на этой частоте претерпевает излом на 40дб/дек и на отрезке частот от  1 до  4 пройдет горизонтально. На частоте  4 снова изменит свой наклон на ‬ 20дб/дек. На рис. 2.4,а показана пунктирной линией точная ЛАХ W c (  ) с учетом поправок на изломах асимптотической характеристики системы. Для построения ЛФХ системы  (   строят фазовые характеристики каждого звена в отдельности, а затем их складывают геометрически см. рис. 2.4,б. 2. Рассмотрим еще один пример. 52 Передаточная функция системы имеет вид Найдем сопрягающие частоты Нанесем их на логарифмическую частотную ось см. рис. 2.5,а. В данной передаточной функции присутствует интегрирующее звено, поэтому построение ЛАХ начинается с него. Для этого через частоту  0 1с - 1 ( lg  =0) на уровне 20 lgk 20дб проводится прямая линия с наклоном - 20дб/дек. На частоте  3 данная прямая претерпевает излом еще на ‬ 20дб/дек, так как данная частота относится к апериодическому. До частоты  2 прямая будет проходить с нак лоном ‬ 40дб/дек. На частоте  2 прямая изменит наклон на 20дб/дек, так как эта частота относится к звену первого порядка, расположенного в числителе форсирующему звену. Данный наклон сохранится до частоты  4 . На частоте  4 результирующая ЛАХ W c (  ) снова претерпит излом на ‬ 20дб/дек и далее будет иметь наклон ‬ 40дб/дек. Построение результирующей ЛФХ представлено на рис. 2.5,б. Как и в предыдущем случае, сначала строятся фазовые характеристики каждого звена в отдельности, а затем результирующая характерист ика получается путем их геометрического сложения. В данном случае результирующая ЛФХ  с (   начинается не от нуля, а от - p /2 за счет интегрирующего звена. 2.3. Построение логарифмических частотных характеристик замкнутых САУ Для последовательного соединения звеньев САУ , результирующие ЛАХ и ЛФХ могут быть получены графическим сложением соответствующих частотных характеристик звеньев. Для соединений типа согласно - параллельного рис. 2.6,а  или встречно - параллельного рис.2 .6,б ) ( замкнутая САУ  постр оение результирующих логарифмических частотных характеристик осуществляется несколько сложнее. а б 53 Рис. 2.6 Если звенья с частотными пе редаточными функциями ЧПФ и соединены согласно - параллельно, то результирующая ЧПФ ( 2.9 ) Если в диапазоне частот       амплитуда А 1 (  А 2 (  , обозначив А 1 А б , A 2 =A M ,  1 =  б ,  2 =  М , перепишем  2.9  в виде , где A p =A M /A б  1;  p =  M -  б . Выражение 1А p e j  p  представляет собой частотную передаточную функцию эквивалентного последовательного звена W П (j  )=A П e j  п  ) =1+A p e j  p(  ) . Тогда выражени я для ординат резул ьтирующих характеристик примут вид: (2 .10 ) где L  )=20lgA(  ); L б (  )=20lgA б (  ); L П (  )=20lgA П (  ). Если в некотором диапазоне частот А 2 (  )�A 1 (  , то, обозначив А 2 (  А б ;  2 (  )=  б ; А 1 (  А М ;  1 (  )=  М , получим для искомых ЛАХ и ЛФХ те же самые уравнения. Из выражения 2 .10  видно, что ординаты искомых частотных характеристик при согласно - параллельном соединении звеньев определяется ординатами характеристик звена с б ольшей на данной частоте амплитудой А б , сложенной с поправкой , определяемой по ординатам характеристик эквивалентного последовательного звена. Для замкнутой САУ рис.2 .6,б  ЧПФ имеет вид: , 54 где А 2обр 1/А 2 ;  2обр = -  2 ‬ обратные з начения амплитудной и фазовой характеристик звена в обратной связи. Тогда в диапазоне частот, где А 1 А 2обр осуществляется замена А 1 А М ;  1 =  М ; А 2обр А б ;  2обр =  б , и для результирующей ЧПФ получим , где А p =A M /A б  1;  р =  М -  б . Введём ЧПФ поправочного эквивалентного звена и запишем выражения для результирующих ЛАХ и ЛФХ: ( 2.11 ) где L  )=20lgA(  ); L M (  )=2 0lgA M (  ); L П (  )=20lgA П (  ). В диапазоне частот, где А 1 А 2обр , осуществляется замена A 1 =A б ;  1 =  б ; А 2обр А М ;  2обр =  М , которая также приводит к форме  2.11  для нахождения искомых характеристик. Таким образом, ординаты искомых частотных характеристик при в стречно - параллельном соединении звеньев определяется в большей мере ординатами характеристик звена с меньшей на данной частоте амплитудой А i за вычтом поправок, вычисляемых по значению ординат характеристик исходных звеньев. Подчеркнём, что для звена, стоя щего в обратной связи, необходимо изображать обратные ЛЧХ, которые могут быть получены из исходных L 2 (   и  2 (  ) симметричным отражением относительно частотной оси. На практике используется простейший способ приближённого построения ЛЧХ параллельных соедин ений, основан ы й на аппроксимированных характеристиках. Данный подход правомерен для систем, в которых отсутствуют соединения, приводящие к возникновению резонансных всплесков ЛАХ или к появлению неминимально - фазовых эквивалентных звеньев. Правила построени я аппроксимированных ЛАХ параллельных соединений получаются из сформулированных выше правил 2 .10  и  2.11  построения точных ЛЧХ таких соединений в предположении, что амплитудные поправки равны нулю. Тогда правило для построения приближенных ЛЧХ может быт ь сформулировано следующим образом. Результирующая ЛАХ параллельно соединённых звеньев проводится по верхним участкам ЛАХ составляющих звеньев при согласно - параллельном соединении и по нижним участкам ЛАХ при встречно - параллельном соединении, причём при из ображении исходных ЛАХ при встречно - параллельном соединении для звена в обратной связи изображается обратная ЛАХ. Пример 1 Построить ЛАХ для согласно - параллельного соединения интегрирующего звена и апериодического первого порядка рис.3, где k 1 =100; k 2 = 1000, T=0,1c. 55 Решение. Изобразим ЛАХ указанных звеньев. Обозначим ЛАХ интегрирующего звена L 1 (  , а ЛАХ апериодического звена L 2 (  ). Очевидно, что в диапазоне частот 0  0.1с выше расположена L 1 (  , а при  0,1с - 1 выше ЛАХ апериодического звена. Следовательно, результирующая ЛАХ L рез (  ) при  0,1с - 1 проходит по L 1 (  , а при   0,1с - 1 ‬ по ломаной L 2 (  ). Пример 2. Построить ЛЧХ для встречно - параллельного соединения звенье в: , ; k 1 =1000; k 2 =0,01 56 Изобразим ЛАХ интегратора, стоящего в прямой связи L пр (   и отрицательную ЛАХ звена в обратной связи:  - L ос (  , представляющую собой прямую, параллельную частотной оси, проходя щую на уровне 40дБ. Проводя результирующую ЛАХ L рез (  по нижним участкам, имеем ЛАХ L рез (  )=L ос (   при  10с - 1 и L рез (  )=L пр (   при   10с - 1 . 57 Глава 3 Устойчивость линейной САУ 3.1 Основные определения. Автоматическая система, прежде всего, должна быть работоспособна, то есть после пуска она должна нормально функционировать в заданных режимах, в том числе и при действии различных возмущающих воздействий. Данное свойство в теории автоматического управления связывают с понятием устойчи вости. Устойчивость системы автоматического управления САУ не гарантирует требуемого качества процессов в объекте, а лишь означает способность возвращаться с определенной точностью в первоначальное положение после того, как силы, выведшие систему из этог о положения, сняты. Линейная система является устойчивой, если ее выходная переменная остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных возмущениях. Устойчивость нелинейных систем определяется сложнее и, ввиду того, что у нелиней ных САУ может быть несколько положений равновесия, для этих систем различают устойчивость в малом, устойчивость в целом и т.д. В простейшем случае понятие устойчивости системы связано со способностью её возвращаться с определённой точностью в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели её из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесий представлена на рисунке: Положение равновесия шара хар актеризует ся точкой . В случае I при при бесконечном отклонении шара от положительного равновесия, он стремится снова возвратиться к положительному равновесию . I ‬ устойчивое положение равновесия; II ‬ неустойчивое; III ‬ безразличное. Дадим строгое определение устойчивос ти дано русским ученым А.М. Ляпуновым в 1892. Пусть движение САУ описывается дифференциальным ур авнением ем: или (1) где xi ‬ вещественная переменная, характеризующая состояние системы упрощения; xi ‬ извес тные функции переменных и времени t , удовлетворяющее условиям существования и единственности решения ДУ ; - управляющие воздействия, подаваемые на систему . Если для всех U ( t 0, то система называется свободной . 58 Определение 1. Состояние свободной системы называется состоянием положением равновесия , если для (2) Очевидно, что если для , то система, находящаяся в состоянии, в нем и останется скорости нет  не сдвинется в отсутствие внешних сил. Состояние равновесия называю т также невозмущенным движением. Пусть система под воздействием внешних сил отклонилась от невозмущенного движения, а затем внешние силы при t = t 0 сняты. Движение системы с момента времени t 0 зависит от начального отклонения , от поло жения равновесия . Отклонение наз - ся возмущением. Т.о. - Ур - е возмущенного дв - я - Ур - е невозмущенного дв - я Определение 2. Устойчивость по Ляпунову Состоянием р авновесия невозмущенное движение  наз - ся устойчивым всмысле Ляпунова , если для δ такое, что для возмущения , удовлетворяющее условию будет выполняться условие для . Определение 3 Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову см. определение 1, и, кроме того, для любого момента времени существует такое , что при 3. 2 . Алгебр а ический критерий ус тойчивости Гурвица. Определение диапазонов изменения параметров, при которых гарантированно имеет место устойчивость системы, может быть осуществлено на основании критерия Гурвица 1 - 5]. Критерий Гурвица позволяет провести анализ по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы D ( p . Рассмотрим данный критерий. Пусть линейная стационарная система задана передаточной функцией Характеристичес кий полином системы представляет собой полином, стоящий в знаменателе передаточной функции: По его коэффициентам составляется матрица Гурвица размерности nn: 59 Порядок состав ления матрицы Н: 1) по главной диагонали выписываются коэффициеты полинома p в порядке возрастания индексов, начиная с а 1 ; 2) каждая строка заполняется коэффициентами полинома p таким образом, чтобы индексы слева направо возрастали, и чтобы строки с четным и и нечетными индексами чередовались. Вместо коэффициентов с индексами, меньшеми нуля и большими n выписываются нули. Определителями Гурвица i 1,, n называются главные диагональные миноры матрицы Гурвица. где обозначение подразумевает определитель матрицы. Формулировка критерия: Для того, чтобы линейная стационарная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при a 0 0 все определители Гурвица были с трого положительными: i 1,, n . Частные случаи критерия: 1) для асимтотической устойчивости системы первого порядка n1 необходимо и достаточно: a 0 �0, a 1 �0; 2) для асимтотической устойчивости системы второго порядка n2 необходимо и достаточно: a 0 �0, a 1 �0, a 2 �0; 3) для асимтотической устойчивости системы третьего порядка n3 необходимо и достаточно: a i �0, i 0,,3; a 1 a 2 �0 a 0 a 3 ; 4) при n=4 необходимо и достаточно : a i 0, i0,,4; a 1 a 2 �a 0 a 3 ; a 3 (a 1 a 2 - a 0 a 3 �) a 1 2 a 4 ; 5) при n=5 нео бходимо и достаточно : a i 0, i0,,5; a 1 a 2 �a 0 a 3 ; (a 1 a 2 - a 0 a 3 )(a 3 a 4 - a 2 a 5 �)(a 1 a 4 - a 0 a 5 ) 2 . Пример 3 .1. Определить методом Гурвица является ли устойчивой система, заданная структурной схемой на рис. 3 .1. 60 10 0 р 0,001р1 0,01р 2 0,1р + 1 u(p ) k р 200 0,0 4 р 2 +0, 2 р + 1 u( p) y(p) ) Рис. 3 .1. Структурная схема замкну той САУ Решение. Свернем контур регулирования и выпишем передаточную функцию замкнутой системы в виде. Очевидно, что данная система является системой третьего порядка и ее характеристический полином В общем виде этот полином записывается следующим образом откуда Необходимое и достаточное условие асимтотической устойчивости при n3: a i �0, i 0,,3; a 1 a 2 �a 0 a 3 . Для данной системы все коэффициенты a i � 0, но указанное неравенство не выполняется. Следовательно, система неустойчива. Пример 3 .2 . С помощью критерия Гурвица определить предельное значение коэффициента усиления k для системы, заданной структурной схемой рис. 3 .2. 2 Рис. 3 .2. Струк турная схема САУ Свернув структуру, запишем передаточную функцию замкнутой системы y(p) 61 Критерий Гурвица устанавливает устойчивость системы по коэффициентам характеристического полинома р, то есть по знаменателю передаточной фу нкции. Для данной системы Общий вид характеристического уравнения при n3 Критерий Гурвица для n3 частный случай требует для асимптотической устойчивости линейной стационарной системы выполнения не равенства при a 0 �0) a 1 a 2 �a 0 a 3 . Для данной системы Следовательно Вывод : Замкнутая САУ устойчива при k0.0125. 3. 3 . Частотный критерий устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Данный критери й позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно - фазовой частотной характеристике или по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим критерий в логарифмической форме. Пусть система замкнута единичной обратно й связью см. рис. 3.3 ). Рис. 3.3 . Структурная схема САУ Формулировка критерия устойчивости . Если характеристическое уравнение для разомкнутой системы Qp0 имеет m корней с неотрицательными в том числе и нулевыми вещественными частями, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом пересечений логарифмической фазовой характеристикой ЛФХ разомкнутой системы уровня  - π снизу вверх N +  во всех областях, где логарифмическ ая амплитудная характеристика ЛАХ положительна, и числом пересечений сверху вниз N - ) Wрр u( p) y(p) 62 равнялось m/2, т.е. N + - N - = m /2 В частности, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то она не имеет корней с неотрицательными вещественными частями  m 0. Следов ательно, количество переходов ЛФХ через уровень  - π снизу вверх N +  и сверху вниз N - ) должно быть одинаково во всех областях, где ЛАХ положительна: N + = N - при Lω0. Если логарифмическая частотная характеристика ЛЧХ устойчивой разомкнутой системы име ет монотонный характер, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частоте среза ω с т.е. при Lω с 0 ЛФХ разомкнутой САУ располагалась выше уровня ‬ π. Пример 3.3 . С помощью критерия Найквиста в логарифмической форме исследова ть устойчивость системы, представленной на рис .3 .1. Решение. Передаточная функция разомкнутой САУ, рассмотренной в примере 3 .1., имеет вид Построим ЛЧХ этой системы с помощью методики построения асимптотических ЛЧХ 6 по данной передаточной функции. В общем виде рассматриваемая система имеет передаточную функцию. 1) Сопрягающие частоты: ; частота среза интегратора ω и k100с - 1 . 2) Поскольку передаточная функция содержит интегрирую щее звено, то построение результирующей ЛАХ начинается с прямой, имеющей наклон © - 1 и пересекающей частотную ось на частоте ω и 100с - 1 . 3) Построенная в пункте 2 прямая претерпевает изломы на сопрягающих частотах: - при на © - 2 вниз; - при на ©1 вверх. Окончательный вид ЛАХ разомкнутой системы представлен на рис 3.4 ,а. 63 Рис 3.4 . ЛЧХ разомкнутой системы 4) Частотная фазовая характеристика разомкнутой системы получается сложением фазовых хар актеристик сомножителей: и представлена на рис. 3.4 ,б. Как видно из графиков ЛЧХ в области положительной ЛАХ имеет место единственное пересечение ЛФХ с уровнем  - π, т.е. N - =1; N + 0. Поскольку система имеет один неотрицательный корень λ 1 0, то m1. Отсюда N + - N -  m /2. Следовательно, замкнутая система неустойчива. Пример 3 . 4 С помощью критерия Найквиста в логарифмической форме определить устойчивость замкнутой системы, представленной на структурной схеме рис. 3.5 с помощью компьют ерного моделирования. 64 Рис 3.5 . Структурная схема САУ Передаточная функция разомкнутой системы Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет три корня: Поскольку один из корней имеет неотрицательную вещественную часть , то в формуле критерия m1. ЛЧХ разомкнутой САУ могут быть построены как вручную по правилам построения асимптотических ЛЧХ 6, так и с п омощью компьютерного моделирования. На рис. 3.6 . представлены ЛЧХ, полученные с помощью программной системы SIMULINK [14]. Рис. 3.6 . ЛЧХ разомкнутой системы 1 0.1р10 0.001р 3 +0.02 р 2 р u ( p) y(p ) 65 Как видно из графиков, в области, где ЛАХ положительна Lω0 имеет место одно пересечение ЛФХ уровня ‬ π, сверху вниз. Следовательно, N - =1; N + 0 и замкнутая САУ неустойчива, т.к. N + - N -  m /2=1/2. На рис. 3.7 . представлен график переходного процесса, подтверждающий данный вывод. Рис. 3.7 . Переходный процесс замкнутой системы. 3. 4 . Частотный крит ерий устойчивости Михайлова Пусть дан характеристический полином замкнутой системы вида Проведя замену р на ω , получим выражение где  - вещественная функция Михайлова;  - мнимая функция Михайлова. При изменении частоты конец вектора прочертит на комплексной плоскости некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова 1. Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении 0ω∞ вектор годографа Михайлова повернулся против часовой стрелки вокруг начала координат, нигде не обращаясь в ноль, на угол Δφπ n /2, где 66 n ‬ порядок системы. Как видно из выражен ий для вещественной и мнимой функций Михайлова, для устойчивой системы на частоте ω0 годограф Михайлова берет свое начало на вещественной положительной полуоси. При изменении частоты 0ω∞ годограф Михайлова проходит n квадрантов против часовой стрелки, п оочередно пересекая вещественную и мнимую оси см. рис 3. 8 ). Рис. 3. 8 . Годограф Михайлова В эти моменты, соответственно, то мнимая Vω, то вещественная U ω функции Михайлова обращаются в ноль. Причем на частоте ω0 именно мнимая функция Михайлова равн а нулю V00. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной функций чередовались, т.е. где Пример 3. 5 . С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, представленной на рис .3 .1. Решение. Характеристический полином данной системы имеет вид Проведем замену р на ω Выделем вещественную и мнимую функции Михайло ва: 67 . Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю . Решая это уравнение, получим следующее значение ω в =31.62 с - 1 . Для нахождения корней мнимой фу нкции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω м1 =0 с - 1 , ω м2 10.45 с - 1 . Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 010.4531.62, то есть ω м1 ω м2  ω в . Таким образом, данная систе ма является неустойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова не чередуются. Пример 3. 6 . С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость системы, если характеристический полином имеет вид Решение. Провед ем замену р на ω Выделим вещественную и мнимую функции Михайлова: . Для нахождения корней вещественной функции Михайлова приравняем ее к нулю Р ешая это уравнение, получим следующие значения ω в1 1.41 с - 1 , ω в2 9.9 с - 1 . Для нахождения корней мнимой функции Михайлова приравняем ее к нулю: . Решая это уравнение, получим следующие значения ω м1 0 с - 1 , ω м2 3.2 с - 1 , ω м3 18 с - 1 . Полученные частоты расставим в порядке возрастания: 01.43.29.918, то есть ω м1 ω в1  ω м2 ω в2  ω м3 . Таким образом, данная система является устойчивой, так как корни вещественной и мнимой функций Михайлова чередуются. 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Задания 2 Построить ЛЧХ ЛАХ и ЛФХ системы c последовательным соединением звеньев по передаточной функции 89 90 91 92 93 Задания 3 С помощью критериев Гурвица, Найквиста и Михайлова проанализировать устойчивость замкнутых систем по передаточным функциям разомкнутых систем. Следует отметить, что в случае применения критериев Гурвица и Михайлова предварительно требуется записать передаточные функции замкну тых систем, считая обратные связи единичными. Вариант 1 Вариант 2 94 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 95 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 96 Вариант 13 Вариант 14 Вариан т 15 Вариант 16 Вариант 17 97 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 98 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24 Вариант 25 Вариант 26 99 Вариант 27 Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30 100 Список литературы. 1. Бесекерский В.А., П опов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. ‬ М.: Наука, 1985. 2. Воронов А.А. Основы теории автоматического регулирования и управления. ‬ Мю: Высшая школа, 1981. 3. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. ‬ М.: Наука, 1986. 4. Солодовник ов В.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. ‬ М.: Машиностроение, 1985. 5. Под. ред. В.М. Шестакова // Теория цифровых и нелинейных систем автоматического управления. ‬ СПб.: УНЦ ИПМаш РАН - ПИМаш, 2000. 6. Егоров В.Н., Шестаков В.М. Совре менные методы расчета динамики замкнутых САУ электроприводами. ‬ Л.: СЗПИ, 1982. 7. Алексеев А.А., Имаев Д.Х., Яковлев В.Б. Теория управления. ‬ СПб.: СПбГЭТУ ©ЛЭТИ, 1999. 8. Алексеев А.А., Григорян В.Г., Солодовников А.И. Математические модели объектов и методы их индентьификации. ‬ Л.: ЛЭТИ, 1978. 9. Алексеев А.А., Григорян В.Г., Солодовников А.И. Построение моделей динамичесих объектов по экспериментальным данным. ‬ Л.: ЛЭТИ, 1980. 10. Борцов Ю.А. Математические модели автоматических систем. Л.: ЛЭТИ, 1981. 11. Вавилов А.А. Частотные методы расчета нелинейных систем. - Л.: Энергия, 1970. 12. Вавилов А.А. Структурный и параметрический синтез сложных систем. - Л.: ЛЭТИ, 1979. 13. Сешу С., Рид М. Линейные графы и электрические цепи. ‬ М.: Высшая школа, 1971. 14. Борцов Ю.А., Суворов Г.В., Шес таков Ю.С. Экспериментальное определение параметров и частотных характеристик автоматизированных электроприводов. ‬ Л.: Энергия, 1969. 15. Загальский Л.Н., Зильберблат М.Э. Частотный анализ систем автоматизированного электропривода. ‬ М.: Энергия, 1968. 16. Шестаков В.М., Егоров В.Н. Типовые замкнутые системы автоматического управления. ‬ Л.: СЗПИ, 1979. 17. Шестаков В.М., Егоров В.Н. Динамика систем электропривода. ‬ Л.: Энергоатомиздат, 1983. 18. Шестаков В.М. Системы электропривода бумагоделательного производства. ‬ М.: Лесн ая промышленность, 1989.

Приложенные файлы

  • pdf 26769263
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий