пособие Эконометрическое Моделирование (гот кор..

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)"




О. А.КУЗНЕЦОВА, М.С. Татарникова



Эконометрическое моделирование














С А М А Р А
Издательство СГАУ
2011






Рецензент: д-р экон. наук, проф. Гераськин М.И.

Эконометрическое моделирование: учебное пособие О.А. Кузнецова, М.С. Татарникова. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2011.



В пособии рассматривается процесс создания модели, её оценка и анализ. Рассмотрены особенности моделирования парной и множественной регрессии, систем уравнений, особенности моделирования временных рядов и учёт факторов тренда и сезонности, а также модели формирования портфелей инвестиций.
Пособие предназначено для студентов специальности 080116.65 «Математические методы в экономике»/ обучающихся по очной форме обучения






© Кузнецова О.А. , Татарникова М.С. 2011
© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2011
Введение

Учебное пособие содержит основные разделы курса «Эконометрическое моделирование» в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования, не рассмотренные в других курсах.
Эконометрическая модель является основным инструментом исследования и прогноза экономических и социальных явлений.
Создание эконометрических моделей характеризуется рядом особенностей, рассмотренных в данном пособии.
Использование эконометрических моделей актуально как на уровне деятельности фирмы, так и в макроэкономике – на уровне планирования и анализа аспектов экономической деятельности региона и страны.
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc306620288" 14Введение 13 PAGEREF _Toc306620288 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc306620289" 14Оглавление 13 PAGEREF _Toc306620289 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc306620290" 141. Основные этапы моделирования 13 PAGEREF _Toc306620290 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc306620291" 142. Парная регрессия 13 PAGEREF _Toc306620291 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc306620292" 143.Множественная регрессия 13 PAGEREF _Toc306620292 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc306620293" 144.Система эконометрических уравнений 13 PAGEREF _Toc306620293 \h 14281515
13 LINK \l "_Toc306620294" 145.Временные ряды в эконометрических исследованиях 13 PAGEREF _Toc306620294 \h 14311515
13 LINK \l "_Toc306620295" 146.Оптимизационная модель формирования инвестиционного портфеля 13 PAGEREF _Toc306620295 \h 14381515
13 LINK \l "_Toc306620296" 147. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа 13 PAGEREF _Toc306620296 \h 14471515
13 LINK \l "_Toc306620297" 14Библиографический список 13 PAGEREF _Toc306620297 \h 14571515
15





1. Основные этапы моделирования

Процедуру построения эконометрической модели можно разделить на несколько взаимосвязанных между собой этапов:
Анализ специфических свойств рассматриваемых явлений и процессов и обоснование класса моделей, наиболее подходящих для их описания (идентификация модели).
Выбор рационального состава включаемых в модель переменных и определение количественных характеристик, отражающих их уровни в прошлые периоды времени (на однородных объектах некоторой совокупности территориях, предприятиях и т.п.).
Обоснование типа и формы модели, выражаемой математическим уравнением (системой уравнений), связывающим включенные в модель переменные.
Оценка параметров выбранного варианта модели на основании исходных данных, выражающих уровни показателей (переменных) в различные моменты времени или на совокупности однородных объектов.
Проверка качества построенной модели и обоснование вывода о целесообразности ее использования в ходе дальнейшего эконометрического исследования.
При выводе о нецелесообразности использования построенной эконометрической модели в дальнейших исследованиях следует вернуться к первому (или какому-либо другому этапу) и попытаться построить более качественную модификацию модели (другой вариант модели).
Особенности обоснования формы модели
Часто выбрать форму модели возможно, построив график зависимости фактического результата от фактора.
Наиболее часто используемые виды функций:
1) линейная
13 EMBED Equation.3 1415
2) правая полулогарифмическая
13 EMBED Equation.3 1415
3) степенная
13 EMBED Equation.3 1415
4) гиперболическая
13 EMBED Equation.3 1415
5) логарифмическая гиперболическая
13 EMBED Equation.3 1415
6) обратная линейная (функция Торнквиста)
13 EMBED Equation.3 1415
На. практике могут встретиться и комбинации рассмотренных выше зависимостей.
Методы отбора факторов.
Проблема выбора «оптимальных» факторов обычно решается на основе содержательного и количественного (статистического) анализа тенденций рассматриваемых процессов.
На этапе содержательного анализа обычно решается проблема установления самого факта наличия взаимосвязей между явлениями. Каждое из явлений может быть выражено разными факторами и даже их комбинациями.
Факторы, выражающие одну и ту же причину, могут быть тесно взаимосвязаны между собой. Вследствие этого одновременное включение таких факторов в модель нецелесообразно, поскольку таким образом одна и та же причина будет учтена дважды.
Часто возникает проблема выбора наиболее предпочтительного состава независимых факторов среди ряда альтернативных вариантов.
Существует два основных подхода к решению этой проблемы:
- априорное (до построения модели) исследование характера и силы взаимосвязей между рассматриваемыми переменными, по результатам которого в модель включаются факторы, наиболее значимые по своему «непосредственному» влиянию на зависимую переменную у.
Для оценки силы влияния используется парный линейный коэффициент корреляции
Сильная взаимосвязь между независимыми переменными определяется с помощью их парного коэффициента корреляции
Возможно явление ложной корреляции, которое характеризуется достаточно высокими по абсолютной величине значениями коэффициентов парной корреляции у процессов, с содержательной точки зрения между собой никак не связанными.
Избежать этого поможет качественный анализ проблемы, направленный на обоснование адекватного ей содержания и формы модели. При построении модели необходимо учитывать:
Число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико. Их увеличение может свести к минимуму ее практическую ценность, так как в этом случае модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность.
Простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто априорно трудноуловимы на ограниченном временном интервале, но в то же время они допускают аппроксимацию достаточно простыми функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные взаимосвязи между переменными в ущерб основным.
- апостериорное исследование предполагает первоначально включить в модель все отобранные на этапе содержательного анализа факторы. Уточнение их состава в этом случае производится на основе анализа характеристик качества построенной модели, одной из групп которых являются и показатели, выражающие силу влияния каждого из факторов на зависимую переменную уt
При апостериорном подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа значений ряда качественных характеристик уже построенного ее варианта. Наиболее важным показателем при отборе факторов, являются значения критерия Стьюдента, рассчитываемые для коэффициентов при каждом из факторов модели. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о значимости влияния фактора на зависимую переменную у.
Окончательное решение о целесообразности оставления фактора или его удаления из модели принимается на основе анализа всего комплекса её характеристик качества с учётом содержательной стороны проблемы взаимосвязей между зависимой и независимыми переменными.
2. Парная регрессия
Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:
у = f(х),
у - зависимая переменная (результативный признак);
х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: у = а + b х +
·.
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
полиномы разных степеней у = а + b1 х + b2 х2 + b3 х3 +
·;
равносторонняя гипербола у = а + 13 EMBED Equation.3 1415+
·.
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
степенная 13 EMBED Equation.3 1415
показательная 13 EMBED Equation.3 1415
экспоненциальная 13 EMBED Equation.3 1415
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ух минимальна, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Знак при коэффициенте регрессии b показывает направление связи: при b>0 связь прямая, а при b< 0 связь обратная.
Параметр а формально показывает значение у при х = 0. Если признак-фактор х не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена а не имеет смысла. Параметр а может не иметь экономического содержания.
Качество построенной модели определяется с помощью ряда коэффициентов.
Линейный коэффициент парной корреляции rху оценивает тесноту связи изучаемых явлений. Для линейной регрессии (-1 < rху < 1):
13 EMBED Equation.3 1415
Если значение |гухi| достаточно велико, т.е. |гухi| > 0,5-0,6, то можно говорить о наличии существенной линейной связи между переменными у и хi или о достаточно сильном влиянии хi на у. Чем больше абсолютное значение гухi тем сильнее это влияние (положительное или отрицательное, в зависимости от знака г).
Значение гухi. должно рассчитываться с учетом формы преобразования у и хi в модели. Например, если у ~1/ хi то и коэффициент корреляции определяется между у и ui = 1/х,- и т.п.
Корреляция, это степень зависимости между двумя случайными величинами X и Y. Для исследования подобных зависимостей пользуются конечным (выборочным) набором пар значений.
Парный коэффициент корреляции.
13 EMBED Equation.3 1415
На практике взаимосвязь между факторами признается существенной, |гухi| > 0,8-0,9. В таких ситуациях один из этих факторов целесообразно исключить из модели, чтобы одна и та же причина не учитывалась дважды. Однако такое исключение следует проводить в тех случаях, когда факторы выражают одно и то же явление.
В нелинейной регрессии используется индекс корреляции (0 < pху < 1)::

Для оценки качества модели используют коэффициент детерминации, он показывает долю дисперсии, которая обусловлена регрессией, в общей дисперсии показателя у.

Коэффициент детерминации, как и коэффициент корреляции, принимает значения от -1 до +1. Чем ближе его значение коэффициента по модулю к 1, тем теснее связь результативного признака Y с исследуемыми факторами X.
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
13 EMBED Equation.3 1415
Допустимый предел значений А – не более8-10%.
Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:
13 EMBED Equation.3 1415
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - общая сумма квадратов отклонений;
13 EMBED Equation.3 1415- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
13 EMBED Equation.3 1415- остаточная сумма квадратов отклонений.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт. и критического (табличного) Fтабл. Значений F-критерия Фишера. Fфакт. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

13 EMBED Equation.3 1415
n - число единиц совокупности;
m - число параметров при переменных х.
Fтабл. - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости
·. Уровень значимости
· - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно
· принимается ровной 0,05 или 0,0 1 .
Если Fтабл.< Fфакт., то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл.> Fфакт., то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - tтабл и tфакт. - принимаем или отвергаем гипотезу Н0.
Если tтабл< tфакт.. то Hо отклоняется, т.е. а, b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт., то гипотеза H0 не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или rху.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого показателя:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения. Прогнозное значение ур определяется путем подстановки в уравнение регрессии ух = а + bх соответствующего (прогнозного) значения хр. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
строится доверительный интервал прогноза
13 EMBED Equation.3 1415
Множественная регрессия
Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
у = f(х1,х2,,хр),
где у - зависимая переменная (результативный признак);
х1,х2,,хр - независимые переменные (факторы).
Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчётах.
Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное воздействие их на моделируемый показатель.
Прежде всего, так же как и в парной регрессии необходимо отобрать необходимые факторы. Они должны отвечать следующим требованиям:
быть количественно измеримы (качественным факторам придают количественную определённость, например, проставляя баллы)
не должны быть коррелированны между собой и тем более находиться в точной функциональной связи.
Отбор факторов обычно проводится в две стадии: на первой отбираются факторы исходя из сути проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции и определения t-статистики для параметров регрессии.
Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяет исключать из модели дублирующие факторы. 13 EMBED Equation.3 1415
Наибольшие трудности возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.
Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:
1) линейная
13 EMBED Equation.3 1415
2) степенная
13 EMBED Equation.3 1415'
3) гиперболическая, используется при обратных связях признаков.
13 EMBED Equation.3 1415
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии.
Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее часто используются линейная и степенная функции. В линейной множественной регрессии ух = а + b1 х1 + b2 х2 + ... + bр параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Свободный член уравнения множественной линейной регрессии (параметр а) вбирает в себя информацию о прочих не учитываемых в модели факторах. Его величина экономической интерпретации не имеет. Формально его значение предполагает то значение у, когда все х=0, что практически не бывает.
Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:
ух = 0,5 + 0,35 х1 + 0,73 х2,
где у - расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.; х1 - месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.; х2 размер семьи, человек.
Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35 % дополнительных семейных доходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Параметр а не имеет экономической интерпретации.
В степенной функции коэффициенты bj являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменяется результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.
Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
у - количество спрашиваемого мяса;
х, - цена;
х2 - доход.
Следовательно, рост цен на 1 % при том же доходе вызывав снижение спроса в среднем на 2,63 %. Увеличение дохода на 1% обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11 %.
В производственных функциях вида
13 EMBED Equation.3 1415
где Р количество продукта, изготавливаемого с помощью т производственных факторов (F1, F2Fm);
b - параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.
Экономический смысл имеют не только коэффициенты каждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичности: В =b1 + b2 +... + bт. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.
Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:
13 EMBED Equation.3 1415

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

13 EMBED Equation.3 1415
Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:
13 EMBED Equation.3 1415 (i=1,p)
Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
13 EMBED Equation.3 1415
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х1 при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.
Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции.
Скорректированный индекс множественной детерминации держит поправку на число степеней свободы и формуле
13 EMBED Equation.3 1415
где n - число наблюдений;
m - число факторов.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора хi, частный F-критерий определится как
При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.
Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если rxixj13 EMBED Equation.3 14150,7

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мулътиколлинеарности факторов.
Мультиколлинеарности – это линейная зависимость между более чем двумя факторами.
Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.
Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы rxixj (xi13 EMBED Equation.3 1415xj) были бы равны нулю.
Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:
Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора xi остатки
·i, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичностъ.
Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т.д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразовать в количественные.
Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:
Z= 1 - мужской пол
0- женский пол
Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе t -критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.

4.СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений:
система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:
система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:
Такая система уравнений называется структурной формой модели
Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.
Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.
Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты а и b при переменных - структурные коэффициенты модели,
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:
Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:
О + 1 = Я - уравнение идентифицируемо;
О + 1 < Я - уравнение неидентифицируемо;
О + 1 > Я - уравнение сверхидентифицируемо,
где Я - число эндогенных переменных в уравнении,
О - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК заключается в следующем:
составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения пр соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

5.Временные ряды в эконометрических исследованиях

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.
Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент.
Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение -мультипликативные модели временного ряда.
Аддитивная модель имеет вид: У = T+S+Е.
Мультипликативная модель имеет вид: У=Т S Е.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т,S и Е для каждого уровня ряда.
Построение модели включает следующие шаги:
выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
расчет значений сезонной компоненты S;
устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е) или в мультипликативной (Т Е) модели;
аналитическое выравнивание уровней (T + Е) или (Т Е) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда;
расчет полученных по модели значений (T + S) или (T S);
расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррелограммой.
Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:
линейная у{ = а + b t,
гипербола у, = а + b/t;
экспонента у, = еа+bt;
степенная функция уг = а-tb ;
парабола второго и более высоких порядков у, = а + b1 t+b2-t2+... + bk-tk.
Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1,2, ..., л, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда уt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R2
При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.
Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например уt и хt , и расчет отклонений от трендов: уt – 13 EMBED Equation.3 1415 и хt – 13 EMBED Equation.3 1415 . Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.
Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:
13 EMBED Equation.3 1415уt – 13 EMBED Equation.3 1415
если параболический тренд - вторыми разностями:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415уt – 13 EMBED Equation.3 1415
В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.
Модель, включающая фактор времени, имеет вид
Yt=a+b1xt+b2t+
·t
Параметры а и b этой модели определяются обычным МНК.
Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков
·t за текущий и предыдущие моменты времени.
Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина - Уотсона и расчет величины:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.
Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид
у, = а + b0хt+b1хt-1+... + bpxt-p+
·t
Коэффициент регрессии bо при переменной хt характеризует среднее абсолютное изменение уt при изменении хt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент (t+ 1) воздействие факторной переменной хt на результат уt составит (bо + b1) условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (bо + b1 + b2) и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t + l) воздействие фактора на результат описывается суммой (bо + b1 + ... + bl = b), которая называется долгосрочным мультипликатором.
Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:
13 EMBED Equation.3 1415
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.
Медианный лаг - это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:
13 EMBED Equation.3 1415
где lмe - медианный лаг.
Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.
В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:
13 EMBED Equation.3 1415 l=0,1,2, 0<13 EMBED Equation.3 1415<1
Уравнение регрессии преобразуется к виду
После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.
В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:
Ь,- = с0 + с, ] + с2/ +...+ с*/. Уравнение регрессии примет вид
у( = а + с0 20 + С! 2, + с2 22 +... + с* 2* + е,,
Расчет параметров модели с распределенным лагом в методе Алмон проводится по следующей схеме:
устанавливается максимальная величина лага l;
определяется степень полинома 1с, описывающего структуру лага;
рассчитываются значения переменных го,, г*; .
определяются параметры уравнения линейной регрессии у, от г/; ]
рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.
Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:
у{=а+Ьй-х1+сГу{_1+Е1.
Как и в модели с распределенным лагом, b0 в этой модели характеризует краткосрочное изменение у, под воздействием изменения х, на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:
Такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.
6.Оптимизационная модель формирования инвестиционного портфеля
Формирование инвестиционного портфеля основано на выборе ценных бумаг, включаемых в портфель.
Существует целый ряд общепризнанных моделей, позволяющих оценить основные характеристики (доходность и риск) будущего портфеля. Среди них можно выделить: модель Марковица; ценовая модель рынка капитала (CAPM); модель теории арбитражного ценообразования (APT); модель Тобина и др.
Помимо этих моделей может быть использована оптимизационная модел. Особенностью этой модели является то, что она описывает случай, когда существуют целочисленные ограничения на объемы приобретаемых финансовых активов, например, когда акции продаются лотами.
Пусть инвестор обладает денежными средствами в объеме F на интервале [0; T ], которые он может потратить на приобретение n видов ценных бумаг. Ценные бумаги можно приобретать только лотами, количество ценных бумаг в j-ом (i = 1.., n) лоте равно Vi. Исходная стоимость (в момент времени t = 0) единицы ценных бумаг вида i составляет ai, а будущая стоимость (в момент времени t = T) рассчитывается следующим образом: с вероятностью Pj (j = 1..k) стоимость единицы ценной бумаги составит . Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех приобретенных ценных бумаг в момент времени T. Данную задачу можно описать с помощью следующей модели:

(1)




(2)




(3)




(4)




(5)




Если лот i приобретается, то xi равно 1, в противном случае xi = 0.

В качестве целевой функции выбрано выражение из двух слагаемых, первое из которых выручка от реализации ценных бумаг по цене i, а второе остаток денежных средств после формирования портфеля ценных бумаг. Учитывая, что постоянная F не оказывает влияния на оптимальное решение, получаем следующую целевую функцию:

(6)




Для решения данной задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ:

1. Вычисление верхней оценки. Для всех пакетов акций рассчитывается величина .
Пронумеруем все пакеты следующим образом: gi /ai. В первую очередь финансовые ресурсы выделяются для приобретения ценных бумаг первого вида, затем второго и так далее до того момента, пока остатка финансовых средств станет недостаточно для приобретения лота ценных бумаг вида l в объеме Vl. В этой ситуации игнорируются целочисленные ограничения на приобретение акций вида l и покупается максимально возможное количество ценных бумаг данного вида. Это количество (Vl) рассчитывается по следующей формуле:, где остаток денежных средств после приобретения первых l – 1 пакетов ценных бумаг . Итоговая верхняя оценка рассчитывается по формуле:

2. Вычисление нижней оценки. Вычисление осуществляется по формуле: .После того как вычислены верхняя и нижняя оценки прибыльности, исследуются все возможные варианты формирования портфеля ценных бумаг, вычисляя при этом текущие верхние оценки.

3. Вычисление текущих верхних оценок . Вычисление текущей верхней оценки при анализе очередного варианта портфеля ценных бумаг производится каждый раз после выделения финансовых средств на приобретение очередного пакета. Эта оценка складывается из прибыли, полученной от приобретения ценных бумаг, на которые уже выделены деньги, и прибыли оставшихся ценных бумаг, вычисляемой по правилу получения Zверх. При этом, если окажется, что , то данный вариант формирования портфеля не рассматривается; в противном случае в портфель включается очередной пакет акций и снова вычисляется . В итоге, либо анализируемый вариант портфеля будет отвергнут, либо в результате будет сформирован портфель, доходность которого больше . В этом случае в качестве нижней оценки принимаем полученное значение прибыли от последнего портфеля ценных бумаг и переходим к анализу нового варианта формирования портфеля. Работа алгоритма заканчивается либо после перебора всех вариантов формирования портфеля, и тогда оптимальным будет тот вариант, которому соответствует последнее значение Zниж, либо в случае, когда получен вариант портфеля, прибыль по которому равна Zверх.

Одной из проблем, возникающих при практическом использовании решения предложенной задачи, является достоверность прогноза стоимости ценных бумаг i (i = 1..., n). Если известна функция распределения случайных величин, задающих возможную прибыль по каждому виду ценных бумаг, то выбирается портфель, максимизирующий математическое ожидание выигрыша, либо минимизирующий риск финансовых потерь (среднее квадратичное отклонение). Схема решения и результаты для данной задачи подробно описаны в работе [3].
Другим подходом использования решения задачи в условиях неточного прогноза является анализ чувствительности решения к изменению величин i.
При этом возможны три варианта:
1. В первом случае считается, что известны минимальные значения gi и необходимо вычислить, насколько могут быть увеличены эти значения, чтобы оптимальное решение задачи сохранилось, т.е. необходимо определить такое ем, чтобы при увеличении всех i. на любое решение задачи сохранилось. Пусть множество множество всех возможных решений задачи и пусть эти значения упорядочены по значению величин . Пусть вектор xl является оптимальным, тогда при увеличении i на e для всех i = 1..., n, в качестве новых решений могут быть только решения . Чтобы определить границу изменения для решения xl, необходимо выяснить из следующего соотношения: . Раскроем скобки и выразим через параметры . Отсюда получаем: . Пусть этот минимум достигается на каком-либо , тогда процедура приращения для решения повторяется. Это происходит до тех пор, пока через конечное число шагов не произойдет переход на решение xn, и тогда дальнейшее увеличение всех значений i не приведет к новому решению.
2. Во втором случае предполагается, что i меняются по правилу . В данной ситуации схема рассуждений сохраняется, только упорядочение решений происходит по величине . Соответственно, формула для вычисления el, при котором остается оптимальным решение xl, будет иметь следующий вид: .
3. В третьем случае полагаем, что i может принимать все значения из интервала . В данной ситуации аналогично может быть представлена процедура разбиения множества, на котором изменяются значения , на подмножества . При этом, при изменении g на любом из подмножеств Sj (j = 1..., n), оптимальным на этом подмножестве остается решение .
Рассмотрим для задачи (1)(5) ситуацию, когда , т.е. будущая ожидаемая стоимость i-го актива может принимать любые значения из интервала . Рассмотрим для каждого актива интервалы . В этом случае, вообще говоря, невозможно однозначно упорядочить все активы по степени убывания доходности. Поэтому можно сформировать все допустимые портфели и далее для каждого портфеля можно вычислить соответственно . Здесь N число допустимых портфелей. значение целевой функции (1) при минимальном будущем значении стоимости i-го актива; значение целевой функции (1) при максимально возможном значении будущей стоимости актива i. Далее расположим соответствующие значения целевой функции на оси доходности для различных инвестиционных портфелей.
Выберем портфели, которые могут при определенных значениях будущих стоимостей активов, входящих в них, быть оптимальными. Для этого из множества всех допустимых портфелей N выделим те, которые удовлетворяют следующим условиям:
1. Определим max ,.
2. Определим max .
3. Исключим из множества N все портфели, для которых .
Оставшееся множество портфелей обозначим через N1. Очевидно, что только портфели множества N1 могут быть оптимальными при изменении будущей стоимости активов в интервалах . Значение целевой функции для каждого допустимого портфеля j может быть представлено следующим образом: , где вектор с булевыми переменными определяет те лоты, которые вошли в портфель j.

Если необходимо определить множество будущих стоимостей активов, при которых будет оптимальным j-ый портфель, то очевидно, что оно задается следующей системой линейных неравенств:



Далее мы рассмотрим представленную выше модель с учетом риска. Для оценки риска воспользуемся показателем из ценовой модели рынка капитала (CAMP). Этот коэффициент вычисляется по следующей формуле: , где ковариация i-го актива и рыночного портфеля, среднее квадратичное отклонение портфеля. Для расчета воспользуемся формулой , а рассчитывается следующим образом: , где ковариация i-го и j-го активов, а удельная доля ценных бумаг вида i в общем объеме портфеля. Величина определяет влияние рынка на данные ценные бумаги: если , то доходность бумаг j-го вида колеблется в такт с рынком, а если , то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом. Данный показатель часто называют премией за риск, на который идет инвестор, приобретая конкретную ценную бумагу.

Итак, общая постановка задачи выглядит следующим образом. Инвестор обладает денежными средствами в объеме F на интервале , которые он может потратить на приобретение n видов ценных бумаг. Ценные бумаги можно приобретать только лотами, количество ценных бумаг в i-ом (i = 1..n) лоте равно Vi. Исходная стоимость (в момент времени t = 0) единицы ценных бумаг вида i составляет , а будущая стоимость (в момент времени t = T) рассчитывается следующим образом: с вероятностью стоимость единицы ценной бумаги составит . Объем ценных бумаг вида i составляет Ri (абсолютный показатель). Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех видов приобретенных ценных бумаг в момент времени T, а также чтобы риск портфеля был не выше заданного. Модель, с помощью которой решается данная задача, можно представить так:

В данном случае характеризует риск портфеля в целом, т.е. коэффициент риска данного портфеля не должен превышать заданного нами значения. Кроме того, ограничения на xi говорят о том, что инвестор может приобрести любое количество лотов с учетом ограничений.
7. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бу маг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E ( ri ) каждой ценной бумаги, n величин с2 i диспер сий всех норм отдачи и n(n1)/2 выражений попарных ковариаций ai j ценных бумаг в портфеле.
В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как однондексная модель Шарпа ( Sharpe singleindex model ).
Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + (ЗхХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.
Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1, rm 2, ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i ой ценной бумаги имела значения ri 1, ri 2, ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:


где: ri t доходность i ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2000 года);

a i параметр , постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

P i параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm t доходность рыночного портфеля в момент t ;

sit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру р i , поскольку он определяет чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если й>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при P j < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E ( r ) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 менее рискованными.
Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной

Р .


Оценка результатов регрессии. Параметры
· i и
· i регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между


Определение параметров ai и № регрессионной модели. Для на хождения параметров a i и P i по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров a i и P i берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок в. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры a i и P i принимают следующие значения:

изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri . Однако величины a i и й не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки e i . Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri , определяется разбросим случайных ошибок , который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки.
Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию а] ценных бумаг, для

которых составляется регрессионная модель.
Дисперсию ценной бумаги а] можно представить в виде двух слагаемых:


В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели ( ri t = a i + P irm t ), а второе слагаемое степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина ^а2 /а] ближе к единице, тем более точная регрессионная модель.

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri t и rm t .
Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий ^ случайных ошибок, тo вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:


В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на ( N 2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении a i и P i.
Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:
1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E (
· i )=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .
2) Дисперсия случайных ошибок
·
· 2 , i для каждой ценной бумаги постоянна.
3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.
4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.
5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками
· i и рыночной доходностью.
Используя эти упрощения, можно получить выражения E ( ri ),
· i 2 и



· i , j для любых ценных бумаг в портфеле:
Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и P i позволя ет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доход ность E( ri ) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии а2 и ковариа

ции б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений i, n величин Рi , n значений <, а также E ( rm ) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: ( n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.
Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля.
Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной ( n +1)ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:
1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.
2) По рыночному индексу (например, AK & M ) вычислить рыночные доходности rm , t для того же промежутка времени.
3) Определить величины
· i:

5) Вычислить дисперсии
·
· 2 i ошибок регрессионной модели
6) Подставить эти значения в уравнения (7.15 – 7.18)
После такой подстановки выяснится, что неизвестными величина ми являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.
Библиографический список
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. – М.: ЮНИТИ, 1998.
Бородич С.А. Эконометрика. – М.: Новое знание, 2001.
Бушин П.Я. Эконометрика. - Хабаровск.: РИЦ ХГАЭП, 2003
Валентинов В.А. Эконометрика: Учебник – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2006. – 448 с.
Винн О., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. М. “Финансы и статистика”, 1981.
Грицан В.Н. Эконометрика. – М.: Издательско-торговая корпорация “Дашков и К”, 2002.
Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфа – М.: 1999.
Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 2002. – 52 с.
Ежеманская С.Н. Эконометрика.– Ростов н/Д: Феникс, 2003.– 160 с.
Емельянов А.С. Эконометрия и прогнозирование. – М.: Экономика, 1985.
Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач по начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2001.
Клас А. Введение в эконометрическое моделирование. – М.: Статистика, 1978. – 158 с.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.
Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 304 с.
Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А., Эконометрика начальный курс. – М.: Дело, 2001.
Мардас А.Н. Эконометрика. – СПб.: Питер, 2001.
Маленво Э. Статистические методы эконометрии.– М.: Статистика, 1975.– 423 с.
Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособ.. – М.: Из-во «Экзамен»,2002.
Попов Л.А. Анализ и моделирование трудовых показателей: Учебние. – М.: Финансы и статистика, 1999.
Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. – Новосибирск: изд-во НГУ. – 2003.
Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. – М.: Издательство «Экзамен», 2002.
Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.:Статистика, 1977.
Эконометрика: Учебник/Под. ред И.И. Елисеевой – М.: Финансы и статистика, 2001.
Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с.
Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов – М.: Издательство «Экзамен», 2002. – 576 с.
Яновский Л.П. Введение в эконометрику: учебное пособие – М.: КНОРУС, 2007. – 256 с.



Учебное издание

Кузнецова Ольга Александровна
Татарникова Мария Сергеевна

Эконометрическое моделирование


Учебное пособие
Редакторская обработка Н.С. Куприянова



Подписано в печать 28.10.2011 г. Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 9,3. Усл. кр.-отт. 9,4. Печ. л. 3,7.
Тираж 70 экз. Заказ НП













Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (научный исследовательский университет)
443086 Самара, Московское шоссе, 34
Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета
443086 Самара, Московское шоссе, 34









13PAGE 15


13PAGE 14315


13PAGE143215










Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 26769250
    Размер файла: 365 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий