Позднякова Анна


Курская академия государственной и муниципальной службы
Кафедра внешнеэкономических связей, таможенного дела
и таможенного права

ДОКЛАД
по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» на тему:
«Основные понятия теории игр»
Выполнил:
студент 5108/1 группы
А. Р. Позднякова
Специальность «Таможенное дело»
Проверил:
к.э.н., доцент
С. Л. Погосян

КУРСК 2014
Содержание
Введение 3
Основные понятия теории игр 4
1. Конфликт – предмет рассмотрения теории игр 8
2. Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр. 10
Заключение 13
Список использованной литературы 14

Введение
Проблема выполнения различных вычислений была актуальна во все времена. По мере развития общественно-экономических отношений усложнялись поставленные задачи, которые для своего решения требовали разработки новых методов вычислений. На смену простейшим арифметическим и геометрическим вычислениям пришли алгебраические и тригонометрические вычисления. Организация современного производства требует не только наличия современных станков и оборудования, но и разработки новых технологических процессов и современных методов управления производством. Для решения каждой из поставленных задач разрабатываются математические модели, анализируя которые удается найти наилучшее решение поставленной задачи. Создание математической модели – сложная кропотливая работа, которая в современных условиях под силу коллективам разработчиков. Для создания математической модели одного и того же объекта различные коллективы могут использовать различный математический аппарат. После создания математической модели специалистами-аналитиками за дело принимаются специалисты-программисты, которые реализуют созданную модель в виде программных кодов. Далее с математической моделью работают специалисты-практики. Целенаправленно воздействуя на модель, они изучают ее поведение и подбирают оптимальный режим работы для реального объекта. Одной из таких моделей является игровая модель и поиск стратегий поведений в условиях полной или частичной неопределенности. В очень редких (исключительных) случаях для игровых моделей можно определить количественную оценку или указать оптимальное решение. В игровых моделях не ставится задача найти какое-то числовое решение, а требуется лишь или очертить область возможных решений, или предоставить некоторые дополнительные сведения о возможном развитии событий и рекомендовать правила поведения.
Основные понятия теории игр
В экономической практике часто имеют место конфликтные ситуации. Игровые модели - это, в основном, упрощенные математические модели конфликтов. В отличие от реального конфликта игра ведётся по четким правилам. Для моделирования конфликтных ситуаций разработан специальный аппарат - математическая теория игр.
Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками.
Каждая формализованная игра (модель) характеризуется:
1. количеством субъектов - игроков, участвующих в конфликте;
2. вариантом действий для каждого из игроков, называемых стратегиями;
3. функциями выигрыша или проигрыша (платежа) исхода конфликта;
Игра, в которой участвуют два игрока A и B называется парной. Если же количество игроков больше двух, то это игра множественная. Мы будем рассматривать модели только парных игр.
Игра, в которой выигрыш одного из игроков точно равен проигрышу другого, называется антагонистической игрой или игрой с нулевой суммой. С рассмотрения моделей антагонистических игр мы и начнём.
Смоделировать (решить) антагонистическую игру - значит, для каждого игрока указать стратегии, удовлетворяющие условию оптимальности, т.е. игрок A должен получить максимальный гарантированный выигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок B, а игрок B должен получить минимальный проигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок A. Оптимальные стратегии характеризуются устойчивостью, то есть ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Примечание. Различают игры кооперативные и некооперативные, с полной информацией и не полной. В игре с полной информацией перед каждым ходом каждый игрок знает все возможные ходы (стратегии поведения) и выигрыши. В кооперативных играх допускается возможность предварительных переговоров между игроками. Мы будем рассматривать некооперативные игры с полной информацией.
Математическая теория игр является разделом математики, изучающей принятие решений в конфликтных ситуациях.
Определим основные понятия теории игр.
Игра – упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации.
Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. В зависимости от постановки задачи, стороной может выступать коллектив или даже целое государство.
Каждый игрок может иметь свои стратегии.
Стратегией i-го игрока x2 называется одно из возможных решений из множества допустимых решений этого игрока.
По количеству стратегий игры делятся на конечные, в которых число стратегий ограничено, и бесконечные, которые имеют бесконечно много различных стратегий.
Каждый из n участников игры может выбирать свою стратегию. Совокупность стратегий x=x1,x2,…,xn, которые выбрали участники игры, называется игровой ситуацией.
Оценить ситуацию x с точки зрения преследуемых ЛПР целей можно, построив целевые функции (или критерии качества), ставящие в соответствие каждой ситуации x числовые оценки f1(x),f2(x),…,fn(x) (например, доходы фирм в ситуации x или их затраты и т. д.).
Тогда цель i– го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такое свое решение xi, чтобы в ситуации x=x1,x2,…,xn число fi(x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит лишь частично, поскольку другие участники игры влияют на общую ситуацию x с целью достижения своих собственных целей (оптимизируют свои целевые функции). Значение целевой функции в той или иной игровой ситуации можно назвать выигрышем игрока в этой ситуации.
По характеру выигрышей игры можно разделить на игры с нулевой и ненулевой суммой. В играх с нулевой суммой сумма выигрышей в каждой игровой ситуации равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой называются антагонистическими. В этих играх выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры.
По виду функции выигрышей игры можно разделить на матричные, биматричные, непрерывные, сепарабельные и т. д.
Матричными играми называются конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В этом случае номер строки матрицы соответствует номеру стратегии Ai игрока 1, а номер столбца – номеру стратегии Bj игрока 2.
Элементами матрицы aij является выигрыш игрока 1 для ситуации (реализации стратегий) AiBj. В силу того, что рассматривается матричная игра с нулевой суммой, выигрыш игрока 1 равен проигрышу игрока 2.
Можно показать, что всякая матричная игра с известной матрицей платежей сводится к решению задачи линейного программирования.
Поскольку в прикладных задачах экономики и управления ситуации, сводящиеся к матричным играм, встречаются не очень часто, мы не будем останавливаться на решении этих задач.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации AiBj каждый из игроков имеет свой выигрыш aij для первого игрока и bij– для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции.
По степени неполноты информации, которой обладают ЛПР, игры делятся на стратегические и статистические.
Стратегические игры – это игры в условиях полной неопределенности.
Статистические игры – это игры с частичной неопределенностью. В статистической игре всегда имеется один активный игрок, имеющий свои стратегии и цели. Другим игроком (пассивным, не преследующим своих целей) является природа. Этот игрок реализует свои стратегии (состояния природы) случайным образом, причем вероятность реализации того или иного состояния можно оценить с помощью статистического эксперимента.

1. Конфликт – предмет рассмотрения теории игр
В природе и обществе часто встречаются явления, в которых те или иные участники имеют несовпадающие интересы и располагают различными путями для достижения своих целей. Такие явления называются конфликтами. Конфликты являются предметом рассмотрения теории игр.
Под конфликтом будем понимать всякое явление, применительно к которому можно говорить:
кто и как в этом явлении участвует;
каковы возможные исходы этого явления;
кто в этих исходах заинтересован и в чем эта заинтересованность состоит.
Рассмотрим различные причины возникновения конфликтов.
Одна из характерных черт всякого общественного, социально-экономического явления состоит в множественности, многосторонности интересов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Например:
продавец и покупатель, имеющие противоположные интересы;
несколько производителей, фигурирующих на рынке и обладающих достаточной силой воздействия на цену товара, имеющих в связи с этим как противоположные, так и совпадающие интересы;
объединения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, как в случаях определения ставок заработной платы союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, голосования в парламенте и т. д.
Конфликт может возникать также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы, но многосторонние интересы одного и того же лица. Например:
конструктор согласует противоречивые технико-экономические требования в процессе конструирования изделия: минимизация габаритов, минимизация стоимости, максимизация надежности, простота в обращении;
разработчики экономической политики согласуют противоречивые требования, предъявляемые к ситуации: рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т. д.;
Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных «стихийных сил» (случай так называемых «игр с природой»).
Прямо противоположные интересы различных сторон явно проявляются в непосредственной борьбе: военной, дипломатической, экономической, спортивной.
Наконец, примерами конфликтных ситуаций являются обычные игры: салонные, карточные, шахматные, морской бой и т. д.
Для конфликта характерно следующее:
ни один из его участников заранее не знает решений, принимаемых остальными участниками, т. е. вынужден действовать в условиях неопределенности;
ход событий в конфликте зависит отрешений, принимаемых каждой из сторон, поэтому поведение любого участника конфликта, если оно разумно, должно определяться с учетом возможного поведения всех его участников.
Подводя итог сказанному, отметим, что общим, объединяющим все конфликты, независимо от их физической и социальной природы, является:
1) столкновение интересов нескольких (двух или более) сторон, в том числе сознательных индивидуумов или природы;
2) преследование сторонами различных целей;
3) наличие наборов альтернатив для достижения этих целей, каждая из которых приводит к одному (или к одному из нескольких) возможных исходов.

2. Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр.
Игрой называется математическая модель конфликта. Математическая модель конфликта должна отражать присущие ему черты, а значит, должна описывать:
множество заинтересованных сторон (игроков);
возможные действия каждой из сторон (стратегии и ходы);
интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.
В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков общеизвестны, т. е. каждый из игроков знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а так же функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков. В соответствии в этой информацией каждый из игроков организует свое поведение.
Различные виды игр можно классифицировать следующим образом:
по числу игроков;
по числу стратегий;
по свойствам функции выигрыша;
по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной (например, все игры с нулевой суммой).
Рассмотрим примеры формального представления игр.
Обозначим через I множество всех игроков, через Si – множество возможных действий игрока i(iI), называемое множеством стратегий.
Например:
а) игра в орлянку
I={1,2}, Si = {Орел, Решка}
б) голосование в парламенте
I={1,2,…,n}, где n – число голосующих, Si = {За, Против, Воздержался};
в) взаимодействие на рынке двух продавцов
I={1,2} Si={Pi:Pi>0}, где Pi – цена продаваемого товара.
В партии игроки выбирают каждый свою стратегию siSi, в результате чего складывается набор стратегий s=(s1,s2,…,sn), называемый ситуацией.
В рассмотренных выше примерах приведем возможные ситуации:
а) (Орел, Орел), (Орел, Решка), (Решка, Орел), (Решка, Решка);
б) (За, За, Против, За, Воздержался, …, Против);
в) (5 рублей, 3 рубля), (5 рублей, 7 рублей).
Заинтересованность игроков в конкретных ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации s присваивается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается H i(s).
Вернемся к указанному выше примерам.
В игре в орлянку:
H1 (Орел, Орел) = H1(Решка, Решка) = 1,
H1(Орел, Решка) = H1(Решка, Орел) = -1,
H2(Орел, Орел) = H2(Решка, Решка) = -1,
H2(Орел, Решка) = H2(Решка, Орел) = 1.
Видно, что в любой ситуации H1 + H2 = 0.
Запишем это в виде матрицы выигрышей, где строки будут соответствовать стратегиям 1-го игрока, столбцы – стратегиям 2-го игрока.
H1 = 1-1-11, H2 = -111-1.
При этом или H1 + H2 = 0.
Таким образом, орлянка является примером игры с нулевой суммой.
В случае взаимодействия на рынке двух продавцов предположим, что потребитель приобретет товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределит свой спрос поровну между фирмами в случае, если цены равны.
Если d(p) – функция спроса в зависимости от цены на товар, то функция выигрыша:
1-й фирмы H1(p1,p2) = p1*dp1, p1<p2,12*p1*dp1, p1=p2,0, p1>p2;2-й фирмы H2(p1,p2) = 0, p1<p2,12*p1*dp1, p1=p2,p2*dp2, p1>p2.
Заключение
Игровая теория, созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах игровая теория широко используются весьма разнообразные классические математические методы. Кроме этого, теория игр связана с рядом математических дисциплин внутренним образом. В теории игр систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. На языке игровой теории можно сформулировать большинство задач математической статистики.
Теория игр применяется в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии. Основные трудности практического применения И. т. связаны с экономической и социальной природой моделируемых ею явлений и недостаточным умением составлять такие модели на количественном уровне.

Список использованной литературы
1. « Математические методы в программировании » : / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник : – М . : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2006. – 224с. : ил. –(Профессиональное образование). – (Учимся программировать).
2. «Математические методы: Учебник» / Партика Т.Л., Попов И.И. – М: ФОРУМ: ИНФРА, 2005.
3. «Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003.
4. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.пособие. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2002.
5. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство РДЛ. 2003.

Приложенные файлы

  • docx 26769035
    Размер файла: 46 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий