Посибник_ТеорияПоля+А







Н.В. Сачанюк-Кавецька, Л.І. Педорченко







Елементи теорії поля









Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет






Н.В. Сачанюк-Кавецька, Л.І. Педорченко







Елементи теорії поля












Затверджено Вченою радою Вінницького національного технічного університету як навчальний посібник студентів технічних спеціальностей. Протокол № 12 від 29 червня 2006 р.








Вінниця ВНТУ 2006

УДК 612.623
С 22

Рецензенти:

П.М. Зузяк, доктор фізико-математичних наук, професор
В.П. Кожем’яко, доктор технічних наук, професор
В.С. Абрамчук, кандидат фізико-математичних наук, професор



Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України



Сачанюк-Кавецька Н.В., Педорченко Л.І.
С 22 Елементи теорії поля. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2006. -100 с.

В посібнику розглянуто поняття скалярного та векторного полів, їх основні характеристики; спеціальні типи полів. В посібнику наведена достатня кількість прикладів та задач, в тому числі і прикладного характеру. Розглянуті приклади вдало доповнюють текстовий матеріал, зрозумілі і легко сприймаються.
До кожної теми розроблені питання для самоперевірки та розглянуто по 40 варіантів завдань для самостійної роботи, що дозволяє використовувати посібник для практичних занять.
Посібник розрахований на студентів технічних спеціальностей.


УДК 612.623






© Н. В. Сачанюк-Кавецька,
Л.І. Педорченко, 2006
ЗМІСТ
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc149753619" 14ПЕРЕДМОВА 13 PAGEREF _Toc149753619 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc149753620" 14ТЕМА 1 СКАЛЯРНЕ ПОЛЕ ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ 13 PAGEREF _Toc149753620 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc149753621" 141.1 Похідна за напрямом 13 PAGEREF _Toc149753621 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc149753622" 141.2. Поняття та властивості градієнта 13 PAGEREF _Toc149753622 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc149753623" 14Питання для самоперевірки 13 PAGEREF _Toc149753623 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc149753624" 14Завдання для самостійної роботи 13 PAGEREF _Toc149753624 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc149753625" 14ТЕМА 2 ПОНЯТТЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ТА ЙОГО потоку 13 PAGEREF _Toc149753625 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc149753626" 142.1 Потік векторного поля 13 PAGEREF _Toc149753626 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc149753627" 142.2 Обчислення потоку векторного поля 13 PAGEREF _Toc149753627 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc149753628" 142.3 Формула Остроградського-Гаусса 13 PAGEREF _Toc149753628 \h 14271515
13 LINK \l "_Toc149753629" 14Питання для самоперевірки 13 PAGEREF _Toc149753629 \h 14401515
13 LINK \l "_Toc149753630" 14Завдання для самостійної роботи 13 PAGEREF _Toc149753630 \h 14411515
13 LINK \l "_Toc149753631" 14ТЕМА 3 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 13 PAGEREF _Toc149753631 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc149753632" 143.1 Дивергенція (розбіжність) векторного поля 13 PAGEREF _Toc149753632 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc149753633" 143.2 Обчислення дивергенції векторного поля в декартовій системі координат 13 PAGEREF _Toc149753633 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc149753634" 143.3 Проекція ротора векторного поля на вектор нормалі та ротор векторного поля 13 PAGEREF _Toc149753634 \h 14511515
13 LINK \l "_Toc149753635" 143.4. Оператор Гамільтона 13 PAGEREF _Toc149753635 \h 14531515
13 LINK \l "_Toc149753636" 143.5 Диференціальні операції другого порядку 13 PAGEREF _Toc149753636 \h 14541515
13 LINK \l "_Toc149753637" 143.6 Властивості ротора векторного поля 13 PAGEREF _Toc149753637 \h 14571515
13 LINK \l "_Toc149753638" 143.7 Циркуляція векторного поля та її обчислення. Формула Стокса 13 PAGEREF _Toc149753638 \h 14601515
13 LINK \l "_Toc149753639" 143.8 Основні операції векторного аналізу в криволінійних координатах 13 PAGEREF _Toc149753639 \h 14691515
13 LINK \l "_Toc149753640" 14Питання для самоперевірки 13 PAGEREF _Toc149753640 \h 14751515
13 LINK \l "_Toc149753641" 14Завдання для самостійної роботи 13 PAGEREF _Toc149753641 \h 14761515
13 LINK \l "_Toc149753642" 14ТЕМА 4 СПеЦІАЛЬНІ ТИПИ ПОЛІВ 13 PAGEREF _Toc149753642 \h 14881515
13 LINK \l "_Toc149753643" 144.1 Потенціальні векторні поля 13 PAGEREF _Toc149753643 \h 14881515
13 LINK \l "_Toc149753644" 144.2 Соленоїдні (трубчасті) поля 13 PAGEREF _Toc149753644 \h 14911515
13 LINK \l "_Toc149753645" 144.3 Гармонічне поле 13 PAGEREF _Toc149753645 \h 14951515
13 LINK \l "_Toc149753646" 14Питання для самоперевірки 13 PAGEREF _Toc149753646 \h 14971515
13 LINK \l "_Toc149753647" 14Завдання для самостійної роботи 13 PAGEREF _Toc149753647 \h 14981515
13 LINK \l "_Toc149753648" 14ЛІТЕРАТУРА 13 PAGEREF _Toc149753648 \h 141001515
15


ПЕРЕДМОВА

Теорія поля є теоретичною основою таких фундаментальних курсів, як «Теоретичні основи електротехніки», «Теоретичні основи радіотехніки», «Рівняння математичної фізики» й ін. Це робить актуальним створення нових навчальних посібників з дисципліни «Теорія поля».
Основний принцип, яким керувались автори при підготовці курсу теорії поля для студентів технічних вузів, – підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів з посиленням її прикладної технічної спрямованості. Це не тільки навчальний посібник, але й коротке керівництво до розв’язування задач. Основи теорії, викладені в навчальному посібнику, супроводжуються великою кількістю задач (в тому числі і фізичного змісту), які наводяться з розв’язуванням та задачами для самостійної роботи. Задачі з розв’язанням розглядаються протягом всього викладення навчального матеріалу. Задачі для самостійної роботи розглядаються в кінці кожної теми. Всього тем, розглянутих в навчальному посібнику, чотири: скалярне поле та його характеристики; поняття векторного поля та його потоку; характеристики векторного поля; спеціальні типи полів. При цьому головний акцент робиться на основні поняття курсу, їх фізичний зміст та застосування. Істотною особливістю даного навчального посібника є розгляд диференціальних операцій другого порядку та основних операцій векторного аналізу в криволінійних кооординатах.
Даний посібник може бути використаний студентами як денної, так і заочної форм навчання.




ТЕМА 1 СКАЛЯРНЕ ПОЛЕ ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Якщо в кожній точці плоскої або просторової області задано функцію координат точки, то цю функцію називають скалярним полем і позначають символом

13 EMBED Equation.3 1415. (1.1)

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Важливою характеристикою скалярного поля, що дає загальне уявлення про характер зміни поля, є поверхні або лінії рівня.
Поверхня, в кожній точці якої поле зберігає одне і те ж значення, називається поверхнею рівня. Згідно з означенням рівняння поверхні рівня таке:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2)

У випадку, коли поле задано на площині, поверхні рівня вироджуються в лінії рівня:

13 EMBED Equation.3 1415. (1.3)

Прикладом ліній рівня є лінії постійної висоти гір або постійної глибини морів на географічних картах. Поверхні і лінії рівня – це інтегральні характеристики скалярного поля. Локальними характеристиками скалярного поля є похідна поля у заданому напрямі та градієнт.
1.1 Похідна за напрямом

Нехай задано скалярне поле 13 EMBED Equation.3 1415. Візьмемо в ньому точку 13 EMBED Equation.3 1415 і проведемо з цієї точки вектор 13 EMBED Equation.3 1415, напрямні косинуси якого 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1.1).
На векторі 13 EMBED Equation.3 1415 на відстані 13 EMBED Equation.3 1415 від його початку візьмемо точку 13 EMBED Equation.3 1415.

Тоді 13 EMBED Equation.3 1415.

Рисунок 1.1

Обчислимо тепер приріст 13 EMBED Equation.3 1415 функції 13 EMBED Equation.3 1415 при переході від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415

Якщо існує границя відношення 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, то цю границю називають похідною функції 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом вектора 13 EMBED Equation.3 1415 і позначають 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)

Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Припустимо, що функція 13 EMBED Equation.3 1415 диференційовна в точці 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так:

13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)

де 13 EMBED Equation.3 1415 – нескінченно малі функції при 13 EMBED Equation.3 1415.
Оскільки

13 EMBED Equation.3 1415, (1.6)

то вираз (1.5) набуває вигляду

13 EMBED Equation.3 1415 (1.7)

Перейшовши в рівності (1.7) до границі при 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом

13 EMBED Equation.3 1415 (1.8)
З формули (1.8) випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом. Дійсно, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 збігається з одним із ортів 13 EMBED Equation.3 1415, то похідна за напрямом 13 EMBED Equation.3 1415 збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, тому

13 EMBED Equation.3 1415

Подібно до того, як частинні похідні характеризують швидкість зміни функції в напрямі осей координат, так і похідна 13 EMBED Equation.3 1415 показує швидкість зміни скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютна величина похідної 13 EMBED Equation.3 1415 відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі 13 EMBED Equation.3 1415 (зростання чи спадання).
Очевидно, що похідна за напрямом, протилежним напряму 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює похідній за цим напрямом, взятій з протилежним знаком.
Справді, при зміні напряму на протилежний кути 13 EMBED Equation.3 1415 збільшуються на величину 13 EMBED Equation.3 1415, тому

13 EMBED Equation.3 1415

Фізичний зміст цього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значення швидкості зміни поля, а тільки на характер цієї зміни.

Приклад 1.1 Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування
Похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 обчислимо за формулою (1.8).
Для цього знайдемо частинні похідні скалярного поля за кожною змінною та обчислимо значення цих похідних в точці 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Обчислимо напрямні косинуси вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415 тобто 13 EMBED Equation.3 1415.

1.2 Поняття та властивості градієнта

Нехай задано поле 13 EMBED Equation.3 1415 і точку. У якому напрямі похідна 13 EMBED Equation.3 1415 має найбільше значення? Відповідь на це запитання має важливе практичне значення і дається на основі поняття градієнта поля.
Вектор, координати якого є значення частинних похідних функції 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415, називають градієнтом функції в цій точці і позначають 13 EMBED Equation.3 1415. Отже,
13 EMBED Equation.3 1415. (1.9)

Зв’язок між градієнтом та похідною в даній точці за довільним напрямом показує така теорема.
Теорема. Похідна функції 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом вектора 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415. (1.10)

Доведення
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – кут між градієнтом (1.9) і одиничним вектором 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1.2). Тоді з властивостей скалярного добутку дістанемо
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Тобто, 13 EMBED Equation.3 1415. Що і треба було довести.


Рисунок 1.2

Зазначимо деякі властивості градієнта.

1. Похідна в даній точці за напрямом вектора має найбільше значення, якщо напрям цього вектора збігається з напрямом градієнта, причому

13 EMBED Equation.3 1415. (1.11)

Справді, з формули (1.10) випливає, що похідна за напрямом досягає максимального значення (1.11), якщо 13 EMBED Equation.3 1415, тобто, якщо напрям вектора 13 EMBED Equation.3 1415 збігається з напрямом градієнта.
Таким чином, швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта. Зрозуміло, що у напрямі, протилежному напряму градієнта, поле найшвидше зменшуватиметься.

2. Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до градієнта, дорівнює нулю. Іншими словами, скалярне поле залишається сталим у напрямі, перпендикулярному до градієнта.

Дійсно, за формулою (1.10) 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Вектор-градієнт у кожній точці поля 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярний до поверхні рівня, яка проходить через цю точку.
Це твердження випливає з того, що напрямний вектор нормалі до поверхні рівня13 EMBED Equation.3 1415, яка проходить через точку 13 EMBED Equation.3 1415, має координати

13 EMBED Equation.3 1415

4. Справедливі рівності:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Доведемо, наприклад, третю рівність. Маємо:

13 EMBED Equation.3 1415

Решта рівностей доводяться аналогічно.
Приклад 1.2 Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування
Градієнт скалярного поля обчислимо за формулою (1.9). Для цього знайдемо частинні похідні скалярного поля за кожною змінною:

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо значення частинних похідних в точці 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Отже,
13 EMBED Equation.3 1415,
або
13 EMBED Equation.3 1415

Обчислимо величину градієнта скалярного поля за формулою (1.11), маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким чином, найбільша швидкість зростання скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 досягається у напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415 і дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415











Питання для самоперевірки


Що називається скалярним полем?
Наведіть приклади скалярних полів.
Дайте означення похідної за напрямом.
Виведіть формулу для похідної за напрямом.
У чому полягає фізичний зміст похідної за напрямом?
Дайте означення градієнта скалярного поля.
Доведіть теорему про зв’язок градієнта і похідної за напрямом.
Сформулюйте і доведіть властивості градієнта.
У чому полягає фізичний зміст градієнта?
Як означаються напрямні косинуси вектора?
Дайте означення поверхонь та ліній рівня.
Дайте визначення скалярного добутку векторів та сформулюйте його властивості.





Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.1

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі, що йде від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти швидкість зміни скалярного поля 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі, що йде від цієї точки до точки13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі, що утворює з віссю 13 EMBED Equation.3 1415 кут 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі, що утворює з віссю 13 EMBED Equation.3 1415 кут 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі бісектриси першого координатного кута.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі від цієї точки до початку координат.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі від цієї точки до початку координат.

Знайти похідну скалярного поля13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415, який утворює з осями координат кути 13 EMBED Equation.3 1415причому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415в точці13 EMBED Equation.3 1415в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі, що утворює з осями координат кути відповідно 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415 .


Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до початку координат.
Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415 .

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415 .

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі бісектриси першого координатного кута.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти похідну скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі від цієї точки до точки 13 EMBED Equation.3 1415.


Завдання 1.2
Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля U в точці М1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ТЕМА 2 ПОНЯТТЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ТА ЙОГО потоку


Якщо в кожній точці простору чи площини задано вектор

13 EMBED Equation.3 1415,

де 13 EMBED Equation.3 1415 є функції точки 13 EMBED Equation.3 1415, то кажуть, що задано векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415.
Однією з важливих характеристик векторного поля є векторні лінії.
Векторною, називається лінія, в кожній точці якої дотична до неї паралельна вектору поля. Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 вектор дотичної. Тоді рівняння векторної лінії таке

13 EMBED Equation.3 1415. (2.1)

Ще однією особливою характеристикою векторного поля є потік векторного поля.

2.1 Потік векторного поля

Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – поле швидкостей рухомої рідини, а 13 EMBED Equation.3 1415 – деяка гладка поверхня (рис. 2.1).
Рисунок 2.1

Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415, проведемо в цій точці нормаль до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 певного напряму і розглянемо на даній поверхні довільний замкнений контур, який виходить з точки 13 EMBED Equation.3 1415 і повертається в цю ж точку, не перетинаючи при цьому межі поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Переміщатимемо точку по замкненому контуру разом з вектором 13 EMBED Equation.3 1415 так, щоб цей вектор весь час залишався нормальним до даної поверхні. При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку з тим самим або протилежним напрямом нормалі.
Якщо у довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415 поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на цій поверхні, який не перетинає її межу, ми повертаємось з початковим напрямом нормалі 13 EMBED Equation.3 1415, то таку поверхню називають двосторонньою. Прикладами таких поверхонь є площина та сфера.
Якщо при обході деякого контуру поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 напрям нормалі змінюється на протилежний, то таку поверхню називають односторонньою. Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса. Модель цієї поверхні можна дістати, якщо прямокутну смужку паперу 13 EMBED Equation.3 1415, перекрутивши один раз склеїти так, щоб точка13 EMBED Equation.3 1415 збігалась з точкою 13 EMBED Equation.3 1415, а точка 13 EMBED Equation.3 1415 – з 13 EMBED Equation.3 1415.
Двосторонню поверхню називають орієнтованою, а вибір певної її сторони орієнтацією поверхні. Спрямувавши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об’єму, обмеженого поверхнею, дістанемо внутрішню сторону поверхні, а спрямувавши нормаль зовні поверхні – зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовані.
Поставимо задачу обчислення кількості рідини, що протікає через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 за одиницю часу. Якщо вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в кожній точці поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 має однаковий напрям та модуль, то кількість рідини, що протікає через цю поверхню за одиницю часу, визначається за формулою:

13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – площа поверхні 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 – кут між вектором 13 EMBED Equation.3 1415 і нормаллю до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулу (2.2) можна подати у вигляді:

13 EMBED Equation.3 1415, (2.3)

де 13 EMBED Equation.3 1415 – проекція вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на напрям нормалі до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415.
У випадку криволінійної поверхні та змінного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 обчислити кількість рідини, що протікає через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 за одиницю часу, за формулами (2.2) або (2.3) неможливо.
Для обчислення кількості рідини, що протікає через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 за одиницю часу, розіб’ємо цю поверхню неперервними кривими на 13 EMBED Equation.3 1415досить малих частин так, щоб зміною вектора 13 EMBED Equation.3 1415 та напряму нормалі усередині кожної частини можна було б знехтувати.
Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 площу і-ої частини 13 EMBED Equation.3 1415, яку вважаємо частиною площини з напрямом нормалі 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо усередині цієї частини довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415 та будемо вважати, що в усіх точках цієї частини вектор 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді кількість рідини, що протікає через і-у частину за одиницю часу, можна обчислити за наближеною формулою:

13 EMBED Equation.3 1415,

а кількість рідини, що протікає через всю поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 за одиницю часу, дорівнює:

13 EMBED Equation.3 1415

Тоді одержуємо наближену формулу

13 EMBED Equation.3 1415 (2.4)

Похибка цієї наближеної формули прямує до нуля при необмеженому зменшенні діаметрів усіх частин, на які розбита поверхня 13 EMBED Equation.3 1415. Позначивши через 13 EMBED Equation.3 1415 максимальний діаметр 13 EMBED Equation.3 1415, перейдемо в рівності (2.4) до границі при 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді маємо:

13 EMBED Equation.3 1415 (2.5)
Якщо границя (2.5) існує і не залежить ні від способу розбиття поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 на частини, ні від способу вибору точок 13 EMBED Equation.3 1415, то її називають поверхневим інтегралом і позначають символом:

13 EMBED Equation.3 1415, тобто

13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)
Якщо підінтегральна функція у формулі (2.6) є проекцією вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на напрям нормалі до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, то такий поверхневий інтеграл називається потоком векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415, причому

13 EMBED Equation.3 1415. (2.7)

Підінтегральний вираз у формулі (2.6) може бути записаний у векторній формі. Введемо вектор 13 EMBED Equation.3 1415, напрям якого збігається з напрямом нормалі, а модуль дорівнює елементарній площі поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, тоді

13 EMBED Equation.3 1415,

тому потік

13 EMBED Equation.3 1415. (2.8)

Відмітимо основні властивості потоку векторного поля.

1. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то

13 EMBED Equation.3 1415,

де 13 EMBED Equation.3 1415 – площа поверхні 13 EMBED Equation.3 1415.
2. При зміні напряму нормалі потік змінює лише знак.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415
5. Якщо поверхня 13 EMBED Equation.3 1415 розбита деякою кривою на дві частини 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, то

13 EMBED Equation.3 1415.

2.2 Обчислення потоку векторного поля

Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
П=13 EMBED Equation.3 1415.

Поверхневі інтеграли можна обчислювати за допомогою подвійних інтегралів. Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 неперервна в усіх точках поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, яка задана рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415. Точки 13 EMBED Equation.3 1415, де область 13 EMBED Equation.3 1415 – проекція даної поверхні на координатну площину 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо верхню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, де нормаль до поверхні утворює з віссю 13 EMBED Equation.3 1415 гострий кут. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415 (2.9)

При обчисленні 13 EMBED Equation.3 1415 в функції 13 EMBED Equation.3 1415 змінну 13 EMBED Equation.3 1415 необхідно виразити через змінні 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, використовуючи рівняння поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, маємо:

13 EMBED Equation.3 1415 (2.10)

Формула (2.10) виражає поверхневий інтеграл за змінними13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 через подвійний. Якщо вибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює тупий кут з віссю 13 EMBED Equation.3 1415), то одержаний подвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому

13 EMBED Equation.3 1415 (2.11)

Аналогічно

13 EMBED Equation.3 1415; (2.12)

13 EMBED Equation.3 1415. (2.13)
В загальному випадку для обчислення потоку можна скористатися формулою:

13 EMBED Equation.3 1415(2.14)

де 13 EMBED Equation.3 1415 – проекції поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 на відповідні координатні площини.

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами формули (2.14) можна перевірити за допомогою формули

13 EMBED Equation.3 1415 (2.15)

яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Подвійний інтеграл у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (2.16)

Якщо поверхня 13 EMBED Equation.3 1415 неоднозначно проектується на яку-небудь координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (2.14), – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні.
Для обчислення потоку векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 можна використовувати також одну із формул:


П13 EMBED Equation.3 1415,

П13 EMBED Equation.3 1415,

П13 EMBED Equation.3 1415.
Термін «потік векторного поля» має фізичне походження. Вкажемо приклади фізичних величин, які обчислюються за допомогою формули (2.14):
а) Якщо векторне поле розглядати як поле швидкостей рухомої рідини, то її потік через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює кількості рідини, що протікає через цю поверхню за одиницю часу у напрямку зовнішньої нормалі. Якщо потік через замкнену поверхню додатний, то це означає, що з частини простору, обмеженого цією поверхнею, витікає більше рідини, ніж затікає в неї. Такий результат пояснюється тим, що всередині закненої поверхні існують джерела, що виділяють рідину. Якщо потік від’ємний, то всередину поверхні затікає більше рідини, ніж витікає з неї. Такий результат означає, що всередині поверхні є стоки, які поглинають рідину.
б) Потік тепла має напрям і є векторною величиною. Довжина вектора потоку тепла вимірює кількість тепла, що протікає через одиницю площі за одиницю часу. Повний тепловий потік назовні через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 також визначається за формулою (2.14)

Приклад 2.1 Обчислити інтеграл

13 EMBED Equation.3 1415

якщо 13 EMBED Equation.3 1415 – зовнішня сторона трикутника, утвореного перетином площини 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами (рис. 2.2а)


Розв’язування

За формулою (2.14) знайдемо проекції поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 на координатні площини:


13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.2, б);

13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.2, в);

13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.2, г).

Визначимо нормальний вектор до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. За формулою (2.15)
13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки за формулами (2.16)

а) б) в) г)

Рисунок 2.2

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то перед подвійними інтегралами у формулах (2.11) і (2.12) треба брати знак «плюс», а перед подвійним інтегралом у формулі (2.13) – знак «мінус». Отже,

13 EMBED Equation.3 1415


Приклад 2.2 Обчислити потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через повну поверхню циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.3).

Рисунок 2.3

Розв’язування

Потік через повну поверхню циліндра дорівнює

П=13 EMBED Equation.3 1415

де 13 EMBED Equation.3 1415 – нижня основа циліндра,
13 EMBED Equation.3 1415 – бічна поверхня циліндра,
13 EMBED Equation.3 1415 – верхня основа циліндра.

Для обчислення 13 EMBED Equation.3 1415 діятимемо так. Виберемо на бічній поверхні циліндра довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415, побудуємо вектор поля в цій точці і проведемо нормаль до поверхні. З рис. 2.3 бачимо, що 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює радіусу циліндра, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

Тобто, 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює площі бічної поверхні циліндра.
Для обчислення інтеграла 13 EMBED Equation.3 1415 чинимо аналогічно попередньому випадку (рис. 2.4).

Рисунок 2.4

З рис. 2.4 бачимо, що 13 EMBED Equation.3 1415 є сталою і дорівнює висоті циліндра, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Отже,

13 EMBED Equation.3 1415,
оскільки радіус циліндра дорівнює одиниці. Тобто, потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через верхню основу циліндра дорівнює подвоєній площі цієї основи.
Обчислимо 13 EMBED Equation.3 1415. На даній поверхні виберемо довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415 і зобразимо вектор поля в цій точці та вектор нормалі до поверхні (рис. 2.5).
Рисунок 2.5


З рис. 2.5 видно, що вектор поля перпендикулярний вектору нормалі і 13 EMBED Equation.3 1415 в довільній точці поверхні 13 EMBED Equation.3 1415.Отже:
13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, потік векторного поля через поверхню циліндра дорівнює:

П13 EMBED Equation.3 1415.


Приклад 2.3 Обчислити потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415

Розв’язування
В даному випадку 13 EMBED Equation.3 1415 не є постійною на усій поверхні, тому для обчислення потоку застосуємо формулу (2.14). Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то формула (2.14) набуває вигляду:

П=13 EMBED Equation.3 1415
де 13 EMBED Equation.3 1415 – проекція поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 на координатну площину 13 EMBED Equation.3 1415.
Побудуємо задану поверхню та її проекцію на площину 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.6).
Рисунок 2.6

Визначимо нормальний вектор до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. За формулою (2.15)
13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки за формулами (2.16)
13 EMBED Equation.3 1415 для всіх 13 EMBED Equation.3 1415, то при обчисленні потоку перед подвійним інтегралом ставимо знак «плюс».
Тоді,

П=13 EMBED Equation.3 1415.


2.3 Формула Остроградського-Гаусса

Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею.
Розглянемо деяке векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415. Нехай в просторі задано правильну область 13 EMBED Equation.3 1415, обмежену замкненою поверхнею 13 EMBED Equation.3 1415, проекцією якої на координатну площину 13 EMBED Equation.3 1415 є правильна область 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.7). Поверхня 13 EMBED Equation.3 1415 може бути розбита на нижню поверхню 13 EMBED Equation.3 1415, яка задається рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415, верхню поверхню 13 EMBED Equation.3 1415, яка задається рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415, та бічну циліндричну поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 з твірною, паралельною осі 13 EMBED Equation.3 1415.

Рисунок 2.7

Тоді потрійний інтеграл по області 13 EMBED Equation.3 1415 функції 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює поверхневому інтегралу векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 по поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Тобто,
13 EMBED Equation.3 1415,(2.17)
або
13 EMBED Equation.3 1415 (2.18)

Формули (2.17), (2.18) називають формулою Остроградського-Гаусса. Доведемо цю формулу.
Розглянемо інтеграл

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. (2.19)
Оберемо напрям нормалі до поверхні, який збігається із напрямом зовнішньої нормалі. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415 на поверхні 13 EMBED Equation.3 1415– додатний, на поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 – від’ємний, а на поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 – рівний нулю. Тому:

13 EMBED Equation.3 1415, (2.20)
13 EMBED Equation.3 1415, (2.21)

13 EMBED Equation.3 1415. (2.22)

З формул (2.20) – (2.22) випливає, що

13 EMBED Equation.3 1415
або

13 EMBED Equation.3 1415. (2.23)
Аналогічно можна одержати, що

13 EMBED Equation.3 1415, (2.24)

13 EMBED Equation.3 1415. (2.25)

Додавши рівності (2.23)–(2.25), отримуємо формулу Остроградського:

13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.4 Знайти потік векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415
через верхню сторону трикутника 13 EMBED Equation.3 1415, утвореного при перерізі площини 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами;
через повну поверхню піраміди, утвореної площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і координатними площинами:
а) безпосередньо;
б) за формулою Остроградського-Гаусса.

Розв’язування
Зробимо схематичний рисунок (рис. 2.8).

Рисунок 2.8

1. Обчислимо потік векторного поля через верхню сторону трикутника 13 EMBED Equation.3 1415, утвореного при перерізі площини 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами (13 EMBED Equation.3 1415) безпосередньо.
Оскільки поверхня 13 EMBED Equation.3 1415 взаємно однозначно проектується на площину 13 EMBED Equation.3 1415 в область 13 EMBED Equation.3 1415, то обчислення потоку векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через дану поверхню зводиться до обчислення подвійного інтеграла по області 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою :

П113 EMBED Equation.3 1415. (2.26)

За формулою (2.15) знайдемо одиничний вектор нормалі до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки вектор 13 EMBED Equation.3 1415 поставлений до зовнішньої сторони поверхні, то у формулі (2.15) беремо знак «плюс».
Обчислимо частинні похідні функції 13 EMBED Equation.3 1415 за кожною змінною:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, заданих своїми декартовими координатами:
13 EMBED Equation.3 1415,
тобто 13 EMBED Equation.3 1415, при цьому 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415

Отже,

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415,
тобто П1=7 (рис. 2.9).
Рисунок 2.9
2. Обчислимо потік векторного поля через повну поверхню піраміди, утвореної площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і координатними площинами, безпосередньо:

П=П1+П2+П3+П4,

де П1 – потік векторного поля через верхню сторону трикутника 13 EMBED Equation.3 1415,
П2 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415,
П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415,
П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислимо П2 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415. Рівняння площини 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 до цієї площини паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям, протилежний напряму вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Тому за умовою колінеарності векторів 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

П213 EMBED Equation.3 1415,
причому 13 EMBED Equation.3 1415=-1, 13 EMBED Equation.3 1415
Маємо (рис. 2.10):

Рисунок 2.10

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. Тобто П213 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415. Рівняння площини 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415, одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 до цієї площини паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям, протилежний напряму вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тому 13 EMBED Equation.3 1415 Тоді

П313 EMBED Equation.3 1415,

причому 13 EMBED Equation.3 1415=-1, 13 EMBED Equation.3 1415

Маємо (рис. 2.11):
Рисунок 2.11

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 тобто П313 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника 13 EMBED Equation.3 1415. Рівняння цієї площини: 13 EMBED Equation.3 1415, одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 до цієї площини паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям, протилежний напряму вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тому 13 EMBED Equation.3 1415
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то

П413 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином, П13 EMBED Equation.3 1415

3. Обчислимо потік векторного поля через повну поверхню піраміди в напрямі її зовнішньої нормалі за формулою Остроградського-Гаусса.
Обчислимо спочатку вираз 13 EMBED Equation.3 1415, маємо:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
П=13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.5 Обчислити потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через зовнішню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, визначеної нерівностями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415:
а) безпосередньо;
б) за формулою Остроградського-Гаусса.

Розв’язування

а) Зобразимо вказану поверхню (рис. 2.12):

Рисунок 2.12

Згідно з рисунком (2.12) маємо:

П=П1+П2+П3+П4,
де П1 – потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415;
П2 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415;
П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415;
П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислимо П1 – потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415:

П113 EMBED Equation.3 1415.

За формулою (2.15) знайдемо одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415. Обчислимо спочатку частинні похідні функції 13 EMBED Equation.3 1415. Маємо:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
звідки 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо скалярний добуток 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415

Обчислимо вираз 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415 звідки

13 EMBED Equation.3 1415

Тоді
П113 EMBED Equation.3 1415.

Для обчислення отриманого подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат за допомогою перетворення:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Рівняння кола 13 EMBED Equation.3 1415, що є лінією перетину параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415, в полярних координатах матиме вигляд:
13 EMBED Equation.3 1415, звідки 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Враховуючи введені заміни, маємо:

П1=13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, тобто П1=13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо П2 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою:
П213 EMBED Equation.3 1415,
де одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415 і колінеарний вектору 13 EMBED Equation.3 1415, тому 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислимо скалярний добуток 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415.

Отже,
П213 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою:
П313 EMBED Equation.3 1415,

де 13 EMBED Equation.3 1415 – одиничний вектор нормалі до даної поверхні, який паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям, протилежний напряму вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Тому 13 EMBED Equation.3 1415, скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює:
13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.

Тоді маємо
П313 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону площини 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою

П413 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – одиничний вектор нормалі до даної поверхні, який паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям, протилежний напряму вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислимо скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді (рис. 2.13)
Рисунок 2.13

П413 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415,

тобто П4=13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином,
П=П1+П2+П3+П413 EMBED Equation.3 1415.

б) Обчислимо потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через зовнішню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, визначеної нерівностями 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в напрямі її зовнішньої нормалі за формулою Остроградського-Гаусса (2.17).
Обчислимо спочатку вираз 13 EMBED Equation.3 1415, маємо:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, потік векторного поля обчислюється за формулою:

П13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – область, обмежена параболоїдом 13 EMBED Equation.3 1415, площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і координатними площинами (рис. 2.12).
Для обчислення одержаного потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат за допомогою перетворення:
13 EMBED Equation.3 1415
Рівняння поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 в циліндричних координатах матиме вигляд: 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді межі інтегрування будуть такі:
13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Питання для самоперевірки



Що називається векторним полем?
Наведіть приклади векторних полів.
Що називається векторними лініями?
Дайте означення односторонньої поверхні.
Дайте означення двосторонньої поверхні.
Яка поверхня називається орієнтованою?
Дайте означення поверхневого інтеграла.
Що називається потоком векторного поля?
Як обчислюється поверхневий інтеграл?
У чому полягає зв’язок між поверхневими та подвійними інтегралами?
Сформулюйте властивості потоку векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишіть та доведіть формулу Остроградського-Гаусса.
Як визначити одиничний нормальний вектор до поверхні 13 EMBED Equation.3 1415?
Як обчислити потік векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через поверхню 13 EMBED Equation.3 1415, яка неоднозначно проектується на будь-яку координатну площину?

Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1

Обчислити потік векторного поля:
через верхню сторону трикутника АВС, утвореного при перетині площини Р з координатними площинами;
через повну поверхню піраміди, утвореної площиною Р і координатними площинами:
безпосередньо;
за формулою Остроградського-Гаусса.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Завдання 2.2

Обчислити потік вектоного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через зовнішню сторону поверхні, визначеної нерівностями S:
a) безпосередньо;
б) за формулою Остроградського-Гаусса


1. 13 EMBED Equation.3 1415 S: 13 EMBED Equation.3 1415
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ТЕМА 3 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

3.1 Дивергенція (розбіжність) векторного поля

Нехай дано векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415 в просторі та обведемо її деякою гладкою (або кусково-гладкою) замкненою поверхнею 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді потік векторного поля через цю поверхню у напрямі зовнішньої нормалі дорівнює

13 EMBED Equation.3 1415.

Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 об’єм тіла, обмеженого поверхнею 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415 характеризує питому продуктивність джерел, що містяться усередині поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 (питома потужність джерел).
Будемо стягувати поверхню 13 EMBED Equation.3 1415 в точку 13 EMBED Equation.3 1415. Границя, до якої при цьому прямує середня потужність джерел, називається дивергенцією векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається символом 13 EMBED Equation.3 1415, тобто

13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)

Обчислення дивергенції за означенням пов’язане з необхідністю граничного переходу, що ускладнює викладки. Однак слід відмітити, що за допомогою цієї формули ми можемо визначити джерела та стоки: ті точки, в яких дивергенція додатна, називаються джерелами, а ті, в яких вона від’ємна, називаються стоками.

3.2 Обчислення дивергенції векторного поля в декартовій системі координат


Розглянемо векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – проекції вектора на координатні осі, неперервні функції.
Знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Візьмемо прямокутний паралелепіпед з центром у точці 13 EMBED Equation.3 1415 із ребрами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 3.1).

Рисунок 3.1

Потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через зовнішню поверхню цього паралелепіпеда дорівнює:

П=П1+П2+П3+П4+ П5+П6, (3.2)

де П1 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415,
П2 – потік векторного через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415,
П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415,
П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415,
П5 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415,
П6 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислимо П1 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415. Вектор нормалі до цієї поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415 і співнапрямлений з одиничним вектором 13 EMBED Equation.3 1415, причому 13 EMBED Equation.3 1415.
Будемо вважати, що векторне поле постійне і таке, як у точці 13 EMBED Equation.3 1415, тоді проекція вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на напрям нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 буде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює:
П1=13 EMBED Equation.3 1415 (3.3)
Обчислимо П2 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415. Вектор нормалі до цієї поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, але має напрям протилежний напяму одиничного вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
Будемо вважати, що векторне поле постійне і таке, як у точці 13 EMBED Equation.3 1415, тоді потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415 буде:
П2=13 EMBED Equation.3 1415 (3.4)

Обчислимо П3 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415. Вектор нормалі до цієї поверхні 13 EMBED Equation.3 1415 паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415 і співнапрямлений з одиничним вектором 13 EMBED Equation.3 1415. Будемо вважати, що векторне поле постійне і таке, як у точці 13 EMBED Equation.3 1415, тоді потік векторного поля по зовнішній стороні грані 13 EMBED Equation.3 1415 буде:

П3=13 EMBED Equation.3 1415 (3.5)

Аналогічно, П4 – потік векторного поля через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415 обчислюється за формулою:

П4=13 EMBED Equation.3 1415, (3.6)

де одиничний вектор нормалі до цієї поверхні 13 EMBED Equation.3 1415.
Потік через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415 із одиничним вектором нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 обчислюється за формулою:

П5=13 EMBED Equation.3 1415, (3.7)
а потік П6 через зовнішню сторону грані 13 EMBED Equation.3 1415 із одиничним вектором нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює:

П6=13 EMBED Equation.3 1415. (3.8)

Тоді, враховуючи рівності (3.2)–(3.8), маємо:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Отже,
13 EMBED Equation.3 1415 (3.9)


Приклад 3.1 Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має джерела, а в яких – стоки, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування

Знайдемо векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415. Тобто
13 EMBED Equation.3 1415.

Знайдемо дивергенцію даного векторного поля. Оскільки

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
то

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, дивергенція даного векторного поля за формулою (3.9) набуває такого вигляду:

13 EMBED Equation.3 1415

Обчислимо дивергенцію векторного поля в заданих точках, маємо:

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.

Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, то в точці 13 EMBED Equation.3 1415 векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має стік, а в точках 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 – джерела.

Приклад 3.2 Напруженість 13 EMBED Equation.3 1415 поля точкового електричного заряду 13 EMBED Equation.3 1415 на відстані 13 EMBED Equation.3 1415 від цього заряду
13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – радіус-вектор, проведений з заряду у довільну точку 13 EMBED Equation.3 1415. Визначити потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через довільну замкнену поверхню, яка не охоплює заряд 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язування
Для обчислення потоку вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через довільну замкнену поверхню, яка не охоплює заряд 13 EMBED Equation.3 1415, скористаємось формулою Остроградського-Гаусса, записаною з використанням поняття дивергенції векторного поля. Маємо:

13 EMBED Equation.3 1415.

Вважатимемо, що заряд 13 EMBED Equation.3 1415 розмішений у початку координат, а точка 13 EMBED Equation.3 1415 має координати 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді радіус-вектор 13 EMBED Equation.3 1415, а його модуль 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому рівність 13 EMBED Equation.3 1415 набуває вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415,
а
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Знайдемо тепер 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
але 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому
13 EMBED Equation.3 1415.

Аналогічно

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 така:

13 EMBED Equation.3 1415.
П=13 EMBED Equation.3 1415.

3.3 Проекція ротора векторного поля на вектор нормалі та ротор векторного поля

Нехай задано векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо в просторі деякий плоский замкнений контур 13 EMBED Equation.3 1415 і позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 – вектор нормалі до площини, в якій лежить цей контур. Криволінійний інтеграл
13 EMBED Equation.3 1415 (3.10)
називається циркуляцією векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 уздовж контура 13 EMBED Equation.3 1415.
Позначимо 13 EMBED Equation.3 1415 площу поверхні, обмеженої контуром 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо усередині отриманої плоскої фігури довільну точку і шляхом неперервної деформації будемо стягувати контур 13 EMBED Equation.3 1415 в цю точку, не змінюючи напрям нормалі 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415 (3.11)

називається проекцією ротора векторного поля в точці 13 EMBED Equation.3 1415 у напрямі нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається 13 EMBED Equation.3 1415, тобто:

13 EMBED Equation.3 1415. (3.12)

Загалом, 13 EMBED Equation.3 1415 характеризує густину циркуляції векторного поля. У випадку поля швидкостей рухомої рідини проекція ротора векторного поля в точці 13 EMBED Equation.3 1415 у напрямі нормалі характеризує інтенсивність обертального руху. Зокрема, якщо рух ламінарний, то 13 EMBED Equation.3 1415 у кожній точці дорівнює нулю. Вектор, у напрямі якого 13 EMBED Equation.3 1415 досягає максимального значення і модуль якого дорівнює цьому максимальному значенню, називають ротором (вихором) векторного поля і позначають 13 EMBED Equation.3 1415.
Модуль та напрям ротора в загальному випадку змінюються при переході від однієї точки простору до іншої. Формула для обчислення ротора в декартових координатах має вигляд:

13 EMBED Equation.3 1415.(3.13)

Приклад 3.3 Обчислити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Тобто 13 EMBED Equation.3 1415.


Приклад 3.4 Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування

Знайдемо ротор векторного поля:

13 EMBED Equation.3 1415

тобто 13 EMBED Equation.3 1415 і обчислимо його значення в точці 13 EMBED Equation.3 1415. Маємо 13 EMBED Equation.3 1415.
Найбільша густина циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415 досягається в напрямі 13 EMBED Equation.3 1415 і дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, тобто

13 EMBED Equation.3 1415.
3.4. Оператор Гамільтона

Векторно-диференціальний оператор 13 EMBED Equation.3 1415 називають оператором Гамільтона і позначають символом 13 EMBED Equation.3 1415 (набла), тобто

13 EMBED Equation.3 1415. (3.14)

Оператор 13 EMBED Equation.3 1415 має властивості як вектора, так і оператора диференціювання. Дія оператора на скалярне поле 13 EMBED Equation.3 1415 та довільний вектор 13 EMBED Equation.3 1415 здійснюється так:
13 EMBED Equation.3 1415, (3.15)

13 EMBED Equation.3 1415, (3.16)

13 EMBED Equation.3 1415. (3.17)

При застосуванні оператора 13 EMBED Equation.3 1415 потрібно користуватись правилами векторної алгебри та правилами диференціювання. Наприклад,

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (3.18)

оскільки множення на скаляр та диференціювання мають властивість лінійності. В той же час у формулі (3.18) не можна вважати, що 13 EMBED Equation.3 1415 є скалярним полем, оскільки тоді ми винесли змінну величину за знак похідної. В загальному випадку маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 3.5 Задано скалярне поле 13 EMBED Equation.3 1415. Визначити ротор і дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язування
Знайдемо координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Обчислимо ротор векторного поля:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо дивергенцію векторного поля:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

3.5 Диференціальні операції другого порядку

Після застосування диференціальних операцій до поля одержуємо нове поле, до якого можна знову застосовувати ці операції. Звичайно, не всі комбінації диференціальних операцій мають сенс. Наприклад, не має сенсу комбінація 13 EMBED Equation.3 1415, оскільки 13 EMBED Equation.3 1415 утворює скалярне поле, від якого вже не можна взяти дивергенцію. За допомогою комбінації операцій 13 EMBED Equation.3 1415 можна одержати п’ять диференціальних операцій другого порядку:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.19)

Почнемо з другої комбінації. Її можна записати у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415. Але для вектора та скаляра 13 EMBED Equation.3 1415. Це означає, якщо замість 13 EMBED Equation.3 1415 в ліву частину останньої рівності підставити його розвинення за декартовими осями координат і здійснити обчислення за формальними правилами векторної алгебри, то ми одержимо нуль. Але обчислення комбінації 13 EMBED Equation.3 1415 відбувається за тими ж формальними правилами, тільки замість 13 EMBED Equation.3 1415 потрібно взяти 13 EMBED Equation.3 1415. Це означає, що у будь-яких випадках

13 EMBED Equation.3 1415. (3.20)
Аналогічно перевіряємо, що завжди
13 EMBED Equation.3 1415. (3.21)

Ця проста властивість має важливий наслідок: для довільного поля 13 EMBED Equation.3 1415 поряд із векторними лініями можна розглядати вихрові лінії, тобто векторні лінії поля 13 EMBED Equation.3 1415. Однак дивергенція будь-якого векторного поля дорівнює густині джерел векторних ліній цього поля. Тому формула (3.21) показує, що вихрові лінії не можуть мати ні джерел, ні стоків, тобто вони не можуть ні починатися, ні закінчуватися.
Першу комбінацію (3.19) можна записати у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – скалярний диференціальний оператор другого порядку

13 EMBED Equation.3 1415,

який називається оператором Лапласа (лапласіаном) і іноді позначається символом 13 EMBED Equation.3 1415. Тобто

13 EMBED Equation.3 1415. (3.22)

Нарешті, розглянемо останню комбінацію (3.19). Використовуючи формулу для векторно-векторного добутку та розташувавши множники так, щоб набли діяли на поле, одержимо
13 EMBED Equation.3 1415. (3.23)

Приклад 3.6 Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування
1-ий спосіб. Обчислимо ротор векторного поля:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислимо 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

2-ий спосіб. Використаємо формулу (3.23). Для цього знайдемо спочатку 13 EMBED Equation.3 1415, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

3.6 Властивості ротора векторного поля

1. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 – сталий вектор, то 13 EMBED Equation.3 1415.
2. (Властивість лінійності). Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 – векторні поля, 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 – числа, то
13 EMBED Equation.3 1415.

3. Для будь-якого векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Дійсно:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, оскільки

13 EMBED Equation.3 1415.

4. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – скалярне поле, 13 EMBED Equation.3 1415 – векторне поле. Побудуємо векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Дійсно: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,

або 13 EMBED Equation.3 1415
Зауваження. Якщо вектор 13 EMBED Equation.3 1415 – постійний, то
13 EMBED Equation.3 1415

5. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Дійсно, 13 EMBED Equation.3 1415

Тоді

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415

Приклад 3.7 Довести, що 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – сталий вектор.


Розв’язування

Нехай 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – сталий вектор.
Обчислимо 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

3.7 Циркуляція векторного поля та її обчислення. Формула Стокса

Нехай маємо векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415– деяка гладка поверхня. Як відмічалося в пункті 3.3 циркуляцією векторного поля називають криволінійний інтеграл цього поля, обчислений вздовж довільного замкнутого контура, який належить поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, і позначають його 13 EMBED Equation.3 1415. Для розуміння фізичної суті поняття циркуляції розглянемо поняття криволінійного інтеграла та методи його обчислення.
Нехай точка рухається уздовж деякої лінії 13 EMBED Equation.3 1415 від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді робота, що її виконує сила 13 EMBED Equation.3 1415 при переміщенні точки 13 EMBED Equation.3 1415 уздовж лінії 13 EMBED Equation.3 1415, називається криволінійним інтегралом і обчислюється за формулою:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (3.24)

При цьому напрям від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415 називається напрямом інтегрування.
Зауваження. Для позначення криволінійного інтеграла вздовж замкненого контура (точка початку збігається з точкою кінця) використовують символ 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Слід відмітити, що замкнутий контур вважається додатно орієнтованим, якщо при його обході область, обмежена цим контуром, залишається зліва.
Обчислити криволінійні інтеграли можна шляхом зведення їх до визначених інтегралів, і вони мають аналогічні властивості.
Нехай крива 13 EMBED Equation.3 1415 (від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415) задана параметричним рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, де функції 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415на відрізку 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні разом із своїми похідними 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Точці 13 EMBED Equation.3 1415 відповідає значення параметра 13 EMBED Equation.3 1415, а точці 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. (3.25)

Приклад 3.8 Обчислити інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – частина кола 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, що знаходиться у першому квадранті.

Розв’язування

Для обчислення даного інтеграла використаємо формулу (3.25). Знайдемо відповідні похідні
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді
13 EMBED Equation.3 1415

Зокрема, якщо крива 13 EMBED Equation.3 1415 (від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415) задана рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, де функція 13 EMBED Equation.3 1415 та її похідна 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні на відрізку 13 EMBED Equation.3 1415, то з формули (3.25) дістанемо

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (3.26)

Приклад 3.9 Обчислити інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – дуга параболи 13 EMBED Equation.3 1415 від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язування

Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то за формулою (3.26) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.

Зауваження. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то

13 EMBED Equation.3 1415. (3.27)
Зв’язок між подвійними та криволінійними інтегралами встановлює формула Гріна. Нехай функції 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні разом із своїми частинними похідними 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 в деякій правильній області 13 EMBED Equation.3 1415, обмеженій замкненим контуром 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді справедлива рівність:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.28)

Зрозуміло, що значення криволінійного інтеграла залежить, певною мірою, від кривої інтегрування. Якщо значення криволінійного інтеграла залишається однаковим вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову та кінцеву точки кривої інтегрування, то кажуть, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування. З’ясуємо умови, за яких існує така незалежність.
Нехай в усіх точках області 13 EMBED Equation.3 1415 функції 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні разом із частинними похідними 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Для того, щоб криволінійний інтеграл вздовж довільного замкненого контуру дорівнював нулю (значення криволінійного інтеграла не залежало від кривої інтегрування) необхідно і достатньо, щоб 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Дійсно, розглянемо довільний замкнений контур 13 EMBED Equation.3 1415 і для нього запишемо формулу Гріна:

13 EMBED Equation.3 1415

Якщо виконується умова 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
З іншого боку припустимо, що 13 EMBED Equation.3 1415, але 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 принаймні в одній точці 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді в цій точці маємо нерівність 13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Тобто, для будь-якого як завгодно малого додатного числа 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 в усіх точках деякої малої області 13 EMBED Equation.3 1415 (причому точка 13 EMBED Equation.3 1415). Тоді
13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – площа області 13 EMBED Equation.3 1415. Але за формулою Гріна 13 EMBED Equation.3 1415, а згідно з нашим припущенням 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, наше припущення неправильне і 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Нехай координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415 мають неперервні частинні похідні першого порядку, а 13 EMBED Equation.3 1415 – замкнений, гладкий (або кусково-гладкий) контур. Натягнемо на контур гладку (або кусково-гладку) поверхню 13 EMBED Equation.3 1415, яка задається рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415. Виберемо верхню сторону даної поверхні (рис. 3.2).

Рисунок 3.2

Тоді буде мати місце таке співвідношення:

13 EMBED Equation.3 1415, (3.29)

яке називають формулою Стокса.
Доведемо цю формулу. Розглянемо інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки контур 13 EMBED Equation.3 1415 лежить на поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, то координати його точок задовольняють рівняння 13 EMBED Equation.3 1415, тому
13 EMBED Equation.3 1415.
Застосовуючи до знайденого інтеграла формулу Гріна (3.28), дістанемо

13 EMBED Equation.3 1415.

Оскільки ми обрали верхню сторону поверхні 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, то нормаль має проекції 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 1. Але напрямні косинуси нормалі пропорційні відповідним проекціям, тому 13 EMBED Equation.3 1415, тоді

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

Отже,

13 EMBED Equation.3 1415. (3.30)

Аналогічним чином можна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:

13 EMBED Equation.3 1415, (3.31)

13 EMBED Equation.3 1415. (3.32)

Додаючи почленно рівності (3.30) – (3.32),

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (3.33)

Приклад 3.10 Знайти циркуляцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 вздовж контура 13 EMBED Equation.3 1415, що обмежує трикутник 13 EMBED Equation.3 1415, утворений при перерізі площини 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами:
а) безпосередньо;
б) за формулою Стокса.

Розв’язування

а) Обчислимо циркуляцію векторного поля безпосередньо (рис. 3.3):
Рисунок 3.3

13 EMBED Equation.3 1415,

де 13 EMBED Equation.3 1415.

На прямій 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Інтегрування здійснюється від 2 до 0. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

На прямій 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Інтегрування здійснюється від 1 до 0. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

На прямій 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, 13 EMBED Equation.3 1415.

б) Обчислимо циркуляцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою Стокса (3.29).

Обчислимо 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415.


Контур трикутника 13 EMBED Equation.3 1415 має додатну орієнтацію і лежить у площині 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – вектор нормалі до даної поверхні.
Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.

Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415

Приклад 3.11 Обчислити циркуляцію векторного поля
13 EMBED Equation.3 1415
вздовж замкненого контура 13 EMBED Equation.3 1415, що є перерізом сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і з координатними площинами у першому октанті (обхід контуру додатний) (рис. 3.4):
Рисунок 3.4

а) безпосередньо;
б) за формулою Стокса.


Розв’язування

а) Обчислимо циркуляцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 безпосередньо:

13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.

На прямій 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.
На дузі 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Задамо коло параметрично: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. Тобто, 13 EMBED Equation.3 1415.

На прямій 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Інтегрування здійснюється за змінною 13 EMBED Equation.3 1415 від 4 до 0. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином,

13 EMBED Equation.3 1415.
б) Обчислимо циркуляцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 за формулою Стокса:
13 EMBED Equation.3 1415, де
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.
Поверхня 13 EMBED Equation.3 1415 – це площина 13 EMBED Equation.3 1415, причому одиничний вектор нормалі 13 EMBED Equation.3 1415 колінеарний вектору 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415та співнапрямлений з ним. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Перейдемо до полярної системи координат за допомогою перетворення: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Маємо:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином, 13 EMBED Equation.3 1415.


3.8 Основні операції векторного аналізу в криволінійних координатах

Як розглядалося у попередніх пунктах, основні поняття теорії поля – градієнт, дивергенція, ротор мають певний фізичний зміст, і для введення цих понять немає потреби вибирати ту чи іншу систему координат.
При конкретному обчисленні градієнта, розбіжності та проекції ротора на напрям нормалі доводиться застосовувати ту чи іншу координатну систему. Звичайно, можна постійно використовувати прямокутну декартову систему координат. Однак у багатьох випадках це пов’язано із великими технічними труднощами. Аналогічне положення зустрічається, наприклад, при обчисленні кратних інтегралів. Тому досить часто доцільно використовувати криволінійні координати (наприклад, циліндричні чи сферичні).
Розглянемо питання обчислення градієнта, дивергенції та ротора векторного поля в криволінійних координатах.
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – прямокутні декартові координати точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – її криволінійні координати. При цьому припускаємо, що кожній трійці 13 EMBED Equation.3 1415 відповідає певна точка простору і, навпаки, кожній точці простору відповідає певна трійка чисел 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно,
13 EMBED Equation.3 1415
а
13 EMBED Equation.3 1415.
Рівняння 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – константи, визначають координатні поверхні. На кожній із них одна з координат 13 EMBED Equation.3 1415 залишається сталою.
Припустимо, що через кожну точку простору проходить лише одна координатна поверхня із кожного сімейства. Координатні поверхні попарно перетинаються вздовж ліній, які називаються координатними лініями. Вздовж кожної координатної лінії одна з координат 13 EMBED Equation.3 1415 змінюється, а дві інші залишаються сталими. Будемо вважати, що в кожній точці координатні лінії ортогональні одна одній. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – орти дотичних до координатних ліній в точці 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 – елементи довжин дуг відповідних координатних ліній.
Відомо, що 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415. Вздовж координатної лінії 13 EMBED Equation.3 1415 завжди 13 EMBED Equation.3 1415, тому 13 EMBED Equation.3 1415 в точках цієї лінії залежать лише від 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415.

Аналогічно маємо:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

Елементи площ координатних поверхонь знаходяться за формулами:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415 називаються коефіцієнтами Ламе.
Знайдемо вираз градієнта функції 13 EMBED Equation.3 1415 в криволінійних координатах 13 EMBED Equation.3 1415.
Відомо, що 13 EMBED Equation.3 1415. Тому
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Але
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогічно
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином,

13 EMBED Equation.3 1415. (3.34)

Можна показати, що

13 EMBED Equation.3 1415, (3.35)

де 13 EMBED Equation.3 1415
Якщо врахувати, що оператор Лапласа 13 EMBED Equation.3 1415, то, застосовуючи формули (3.34) та (3.35), отримаємо:

13 EMBED Equation.3 1415. (3.36)

Формула для знаходження векторного поля в криволінійних координатах така:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. (3.37)
Застосуємо формули (3.34), (3.35) та (3.37) для запису основних операцій векторного аналізу в циліндричних та сферичних координатах.
Циліндричні координати. Положення точки 13 EMBED Equation.3 1415 в цій системі координат визначається координатами 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – відстань від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до осі 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 – кут між додатним напрямом осі 13 EMBED Equation.3 1415 та радіусом-вектором проекції точки 13 EMBED Equation.3 1415 на площину;
13 EMBED Equation.3 1415 – відстань від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до площини 13 EMBED Equation.3 1415.
Формули перетворення координат:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

За формулами (3.34) – (3.37) маємо:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

В даному випадку 13 EMBED Equation.3 1415 – проекції вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на напрями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно.
Відмітимо, що циліндричні координати використовуються в теоретичній електротехніці при дослідженні явищ поверхневого ефекту (відтиснення змінного струму від центра до зовнішньої поверхні) у циліндричних проводах.
Сферичні координати. Положення точки 13 EMBED Equation.3 1415 в цій системі координат визначається координатами 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – відстань від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до початку координат;
13 EMBED Equation.3 1415– кут між радіусом-вектором точки 13 EMBED Equation.3 1415 та додатним напрямом осі 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 – кут між додатним напрямом осі 13 EMBED Equation.3 1415 та радіусом-вектором проекції точки 13 EMBED Equation.3 1415 на площину.

Формули перетворення координат:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

За формулами (3.34) – (3.37) маємо:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

В електротехніці та радіотехніці сферичні координати використовують при розгляді питання випромінення та розповсюдження електромагнітних хвиль.
























Питання для самоперевірки

1. Що називають дивергенцією векторного поля?
2. Охарактеризуйте фізичний зміст дивергенції.
3. Виведіть формулу для обчислення дивергенції в декартових координатах.
4. Як визначити, в яких точках векторне поле має стоки, а в яких – джерела?
5. Що називають проекцією ротора векторного поля на напрямок нормалі?
6. Що називають ротором векторного поля?
7. Вкажіть фізичний зміст проекції ротора векторного поля на напрямок нормалі.
8. Запишіть формулу обчислення ротора векторного поля в декартових координатах.
9. Який оператор називають оператором Гамільтона? Вкажіть властивості цього оператора.
10. Які ви знаєте диференціальні операції другого порядку? Охарактеризуйте їх.
11. Перерахуйте властивості ротора векторного поля.
12. Доведіть, що 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – сталий вектор.
13. Що називають циркуляцією векторного поля?
14. Що називають криволінійним інтегралом?
15. Як обчислюють криволінійні інтеграли?
16. Запишіть формулу Гріна.
17. Сформулюйте та доведіть умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.
18. Виведіть формулу Стокса.
19. Які координати визначають положення точки 13 EMBED Equation.3 1415 в циліндричній та сферичній системах координат?
20. Як виконуються операції векторного аналізу в криволінійних координатах?
21. Запишіть формули обчислення основних характеристик векторного поля в циліндричних та сферичних координатах.

Завдання для самостійної роботи

Завдання 3.1

Обчислити циркуляцію векторного поля
13 EMBED Equation.3 1415
вздовж замкненого контура, який обмежує трикутник АВС, утвореного при перетині площини Р з координатними площинами:
а) безпосередньо;
б) за формулою Стокса (обхід контура додатний).
Варіанти завдань взяти із завдання 2.1.

Завдання 3.2

Обчислити циркуляцію векторного поля
13 EMBED Equation.3 1415
вздовж замкненого контура L(обхід контура в додатному напрямі):
а) безпосередньо;
б) за формулою Стокса.

1. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в другому октанті.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в четвертому октанті.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в першому октанті.
5. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в другому октанті.
7. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в четвертому октанті.
8. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами 13 EMBED Equation.3 1415 в першому октанті.
9. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в другому октанті.
10. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин площини y=1 з координатними площинами і з циліндром13 EMBED Equation.3 1415, що лежить в другому октанті.
11. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в першому октанті.
12. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною x=3.
13. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і з координатними площинами в третьому октанті.
14. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і з координатними площинами в першому октанті.
15. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площинаами x=0, y=0, z=0.
16. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною x=1.
17. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415 і з координатою площиною y=0 (y>0).
18. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною 13 EMBED Equation.3 1415.
19. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами y=1, x=0 (x>0).
20. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами z=0, y=0 (y>0).
21. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда з координатними площинами в четвертому октанті.
22. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами y=0, z=0, y=x в першому октанті.
23. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами x=0, y=0, z=0 і z=1.
24. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в четвертому октанті.
25. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в четвертому октанті.
26. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площиною x=4 і з координатними площинами в першому октанті.
27. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин конуса 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами x=0, y=1, z=0 в першому октанті.
28. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з площинаами y=0, y=x, z=0 в першому октанті.
29. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в другому октанті.
30. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин циліндра 13 EMBED Equation.3 1415 з площинаами x=2, x=0, y=0, z=0 в другому октанті.
31. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в першому октанті.
32. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в другому октанті.
33. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами x=3, y=0, z=0 в першому октанті.
34. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин еліпсоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в першому октанті.
35. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площинаами x=0, y=1, z=1 в другому октанті.
36. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в першому октанті.
37. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинаами y=0, y=x, z=0 в першому октанті.
38. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами x=0, y=0, z=3 в першому октанті.
39. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин сфери 13 EMBED Equation.3 1415 з координатними площинами в третьому октанті.
40. 13 EMBED Equation.3 1415, L - перетин параболоїда 13 EMBED Equation.3 1415 з площинами y=0, y=x, z=0 в першому октанті.



Завдання 3.3

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 , де 13 EMBED Equation.3 1415 - радіус-вектор довільної точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - сталий вектор.

Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має джерела , якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Довести, що 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 не має ні джерел, ні стоків, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.


Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має стоки, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Показати, що дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю .
Визначити в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, має джерела, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Перевірити, чи дорівнює нулю дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

Чи має векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 джерела в точках 13 EMBED Equation.3 1415?

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Визначити в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має джерела, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Довести, що 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має стоки, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію одиничного радіуса-вектора 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


В яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має стоки, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.


Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Перевірити, чи дорівнює нулю дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 якщо 13 EMBED Equation.3 1415

Визначити, в яких точках векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 має джерела, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Обчислити дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

Показати, що дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює нулю.



Завдання 3.4

1. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.

2. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

6. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

7. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415.

8. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

9. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

10. Показати, що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , дорівнює нулю.

11. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.

12. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

13. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

14. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

15. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

16. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

17. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

18. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

19. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.
20. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

21. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

22. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

23. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

24. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 .

25. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415

26. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

27. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

28. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

29. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

30. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

31. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

32. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

33. Показати, що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю.

34. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

35. Довести, що 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.

36. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

37. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

38. Визначити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

39. Показати, що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю.

40. Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, у точці 13 EMBED Equation.3 1415.



Завдання 3.5

Обчислити divgrad U, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити grad div 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rot rot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що rotgrad U=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що divrot 13 EMBED Equation.3 1415=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що divrot 13 EMBED Equation.3 1415=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що rotgrad U=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, у точці М0(0;0).
Обчислити ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Перевірити, чи дорівнює нулю дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Перевірити, чи дорівнює нулю ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що divrot 13 EMBED Equation.3 1415=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Довести, що rotgrad U=0, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Перевірити, чи є векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, гармонічним .
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити divgrad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, у точці М0(1;1;1).
Довести, що векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, є гармонічним.
Обчислити rotrot 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Перевірити, чи дорівнює нулю дивергенція векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Показати, що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, у точці М0(1;1;0).
Показати, що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю.
Довести, що divgrad 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити graddiv 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,у точці М0(1;1;1).
Показати , що ротор векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415=grad U, де 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює нулю.
Довести, що функція 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, є гармонічною.
ТЕМА 4 СПеЦІАЛЬНІ ТИПИ ПОЛІВ

4.1 Потенціальні векторні поля

Векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 називається потенціальним, якщо існує така скалярна функція 13 EMBED Equation.3 1415, що скрізь виконується рівність:

13 EMBED Equation.3 1415. (4.1)

При цьому, функцію 13 EMBED Equation.3 1415 називають потенціалом поля.
Звертаємо увагу на те, що досить часто потенціал визначається формулою 13 EMBED Equation.3 1415 Іноді, для відокремлення цих двох підходів, застосовують терміни «потенціал» і «потенціальна функція», однак така термінологія не є загальноприйнятою. Тому при прочитанні роботи, у якій застосовують потенціали, необхідно уточнювати, в якому з цих двох сенсів застосовується дане поняття.
Оскільки градієнт постійного скалярного поля дорівнює нулю, то потенціал довільного поля, якщо він існує, визначений із точністю до постійного доданка. Підбираючи цей доданок, можна пронормувати потенціал, наприклад, зробивши це значення рівним нулю в деякій заданій точці. Найчастіше потенціал нормують умовою рівності нулю на безмежності – якщо там потенціал має скінченне значення.
Відмітимо деякі властивості потенціальних полів.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Циркуляція векторного поля вздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, тобто
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Криволінійний (лінійний) інтеграл векторного поля уздовж лінії 13 EMBED Equation.3 1415 не залежить від форми лінії, а визначається лише положенням точок 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Вираз
13 EMBED Equation.3 1415
є повним диференціалом потенціала поля 13 EMBED Equation.3 1415. При цьому 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (проекції цього вектора на координатні осі).
Прикладами потенціальних полів є гравітаційне поле, електричне поле, створене точковим зарядом, тощо.
Потенціал векторного поля обчислюють за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415. (4.1)
Криволінійний інтеграл обчилюється вздовж ламаної 13 EMBED Equation.3 1415, ланки якої паралельні осям координат (рис. 4.1).

Рисунок 4.1

За початкову точку беруть точку 13 EMBED Equation.3 1415, а за кінцеву – точку 13 EMBED Equation.3 1415. В цьому випадку

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

На відрізку 13 EMBED Equation.3 1415, який паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

На відрізку 13 EMBED Equation.3 1415, який паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді

13 EMBED Equation.3 1415.

На відрізку 13 EMBED Equation.3 1415, який паралельний осі 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином,
13 EMBED Equation.3 1415. (4.2)

Зауваження. Якщо функції 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні в точці (0, 0, 0), то за початкову точку 13 EMBED Equation.3 1415 можна взяти початок координат.

Приклад 4.1 Перевірити, чи векторне поле
13 EMBED Equation.3 1415
є потенціальним і знайти його потенціал.


Розв’язування

Умовою потенціальності полів є рівність: 13 EMBED Equation.3 1415. Обчислимо ротор векторного поля:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415. Отже, дане векторне поле є потенціальним.
Знайдемо його потенціал за формулою (4.2). Маємо

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415,

тобто

13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.


4.2 Соленоїдні (трубчасті) поля

Векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 називається соленоїдним, якщо існує таке поле 13 EMBED Equation.3 1415, що
13 EMBED Equation.3 1415.

При цьому вектор 13 EMBED Equation.3 1415 називають векторним потенціалом поля 13 EMBED Equation.3 1415.
Відмітимо деякі властивості соленоїдних полів.

1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Потік вектора 13 EMBED Equation.3 1415 через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.
3. Векторні лінії соленоїдного поля замкнені.
4. Соленоїдне поле не має ні джерел, ні стоків.

Розглянемо центрально-симетричне поле в просторі, визначене формулою

13 EMBED Equation.3 1415, (4.3)
де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
З означення дивергенції легко знайти, що 13 EMBED Equation.3 1415. Зокрема, такі поля без джерел поза початком координат характеризуються тим, що 13 EMBED Equation.3 1415, звідки 13 EMBED Equation.3 1415.
Це так званий закон Кулона, який застосовується в теорії електичних та магнітних взаємодій. Потік такого поля через довільну сферу з центром в початку координат дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, тобто, не залежить від 13 EMBED Equation.3 1415. Іншими словами, в початку координат у даному випадку починаються 13 EMBED Equation.3 1415 векторних ліній, що йдуть у безмежність.
Однак точкове джерело 13 EMBED Equation.3 1415 має густину 13 EMBED Equation.3 1415, тобто ми одержуємо важливу формулу

13 EMBED Equation.3 1415.

Аналогічний розгляд плоского центрально-симетричного поля виду (4.3) з 13 EMBED Equation.3 1415 дає, що якщо в початку координат немає джерел, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

В результаті ми одержуємо картину, яку можна тлумачити як точкове джерело векторних ліній 13 EMBED Equation.3 1415 на площині, або як джерело, розповсюджене у просторі вздовж осі 13 EMBED Equation.3 1415 з густиною 13 EMBED Equation.3 1415 на одиницю довжини.
Диполь одержується накладанням джерела і стоку однакової густини, розташованих у нескінченній близькості один від одного. Однак якщо при цьому густина джерела та стоку залишаються скінченними, то їх поля взаємно знищуються. Тому вказані густини повинні бути настільки великими, щоб добуток густини джерела на відстань між джерелом та стоком (цей добуток називається моментом диполя) залишався скінченним. Слід відмітити, що диполь має вісь, яка проходить через джерело та стік у напрямі від останнього до першого.
Розглянемо векторне поле для випадку диполя (рис. 4.2), де 13 EMBED Equation.3 1415 – вісь диполя.



Рисунок 4.2


При достатньо малому 13 EMBED Equation.3 1415 в будь-якій точці 13 EMBED Equation.3 1415 будемо мати

13 EMBED Equation.3 1415, (4.4)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – момент диполя. Спрощуючи праву частину (4.4) отримуємо

13 EMBED Equation.3 1415.

Аналогічно, розгляд диполя плоского поля дає результат

13 EMBED Equation.3 1415.

Якщо для простоти вважати, що вісь 13 EMBED Equation.3 1415 збігається з віссю 13 EMBED Equation.3 1415, то поле в декартових координатах набуває вигляду

13 EMBED Equation.3 1415.

Інтегрування рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 для векторних ліній дає 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4.3).



Рисунок 4.3

Приклад 4.2 Перевірити, чи векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, є соленоїдним.
Розв’язування
Умовою соленоїдності векторного поля є рівність: 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдемо координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Маємо
13 EMBED Equation.3 1415, де
13 EMBED Equation.3 1415. Обчислимо дивергенцію векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 є соленоїдним.


4.3 Гармонічне поле

Векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, яке є одночасно потенціальним (безвихровим) і соленоїдним (трубчастим), називається гармонічним. Оскільки поле потенціальне, то його можна записати у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – потенціал поля.
Умова соленоїдності означає, що
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином, 13 EMBED Equation.3 1415, але
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.
Функція 13 EMBED Equation.3 1415, яка задовольняє умову
13 EMBED Equation.3 1415, (4.5)
називається гармонічною.

Приклад 4.3 Перевірити, чи дане векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 є
а) потенціальним,
б) соленоїдним.
У випадку потенціальності поля знайти його потенціал.

Розв’язування
Знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, векторне поле є потенціальним. Знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, векторне поле є соленоїдним. Знайдемо потенціал векторного поля:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415.

Питання для самоперевірки


1. Яке векторне поле називається потенціальним?
2. Що називають потенціалом поля?
3. Поясніть відмінність термінів «потенціал» та «потенціальна функція».
4. Вкажіть властивості потенціальних полів.
5. Наведіть приклади потенціальних полів.
6. Виведіть формулу знаходження потенціалу поля.
7. Яке поле називають соленоїдним?
8. Що таке векторний потенціал поля?
9. Вкажіть властивості соленоїдних полів.
10. Що таке диполь?
11. Проаналізуйте центрально-симетричне поле 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
12. Яке поле називається гармонічним?
13. Запишіть умову гармонічності поля.
14. Перевірити, чи векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, є соленоїдним.
15. Перевірити, чи векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 є гармонічним, знайти його потенціал.
















Завдання для самостійної роботи

Завдання 4.1

Перевірити, чи є векторне поле 13 EMBED Equation.3 1415 потенціальним і соленоїдним. У випадку потенціальності поля 13 EMBED Equation.3 1415 обчислити його потенціал:

13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.

ЛІТЕРАТУРА

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, 2-е изд. – М.: Физматгиз, 1959. – 325 с.
Васильченко І.П., Данилов В.Я., Лобанов А.І., Тарах Є.Ю. Вища математика: Основні означення, приклади і задачі /Навч. посібник. Кн. 2 – друге вид., зі змінами. – К.:Либідь, 1994. – 280 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.Ч. ІІ. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики, 3-е изд. – М.: Наука, 1966. – 455 с.
Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михайлін Г.О. Вища математика: Приклади і задачі. Посібник. – К.: Видавничий центр «Академія», 2002. – 624 с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – 2-е изд. – М.: Наука, 1986. – 368 с.
Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Специальные курсы. 2-е изд. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 640 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
Чинаев П.И., Черенков А.А., Минин Н.А., Перевозников А.Ю. Высшая математика. Специальные главы. – К.: Вища школа, 1977. – 368 с.
Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. – К.: Вища школа, 1986. – 521 с.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1965. – 424 с.







Навчальне видання

Наталія Василівна Сачанюк-Кавецька

Лідія Іванівна Педорченко


Елементи теорії поля

Навчальний посібник


Оригінал-макет підготовлено Н.В. Сачанюк-Кавецькою

Редактор В.О. Дружиніна




Науково-методичний відділ ВНТУ
Свідоцтво Держкомінформу України
серія ДК №746 від 25.12.2001
21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, ВНТУ





Підписано до друку
Формат 29.7 х 4213 EMBED Equation.3 1415
Друк різографічний
Тираж прим.
Зам. №
Гарнітура Times New Roman
Папір офсетний
Ум. друк. арк.




Віддруковано в комп’ютерному інформаційно-видавничому центрі
Вінницького національного технічного університету
Свідоцтво Держкомінформу України
серія ДК №746 від 25.12.2001
21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, ВНТУ








13PAGE 15


13PAGE 14315


































О




Приложенные файлы

  • doc 26761056
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий