Пичугин РГР

Введение


Расчетно-графическая работа (РГР) посвящена оптимизационным исследованиям задач линейного и нелинейного программирования при заданных математических моделях. Решение задач линейного программирования (ЛП) основано на использовании геометрической интерпретации и табличного симплекс-метода. При решении транспортной задачи по критерию стоимости применяется метод потенциалов. Задачи нелинейного программирования связаны с оптимизационными исследованиями в случаях, когда целевая функция составлена из линейных и квадратичных слагаемых, а ограничения являются линейными функциями. Задачи такого типа являются задачами квадратичного программирования.
Целью РГР является приобретение практических навыков проведения оптимизационных исследований в различных задачах математического программирования и закрепления знаний о математических методах решения таких задач.


1. Задание и требования по выполнению
расчетно-графической работы


Расчетно-графическая работа предусматривает выполнение следующих задач:
1.1. Поиск оптимального решения задачи линейного программирования на основе геометрической интерпретации.
1.2. Поиск оптимального решения задачи линейного программирования на основе табличного симплекс-метода.
1.3. Решение транспортной задачи линейного программирования по критерию стоимости на основе метода потенциалов.
1.4. Решение задачи квадратичного программирования на основе условий Куна-Таккера.
Исходные данные для выполнения РГР приведены в прил. 1 табл. П1(П4.
При выполнении расчетных работ необходимо в пояснительной записке приводить подробный алгоритм решения каждой из задач в соответствии с используемым методом, давать пояснения при выполнении необходимых действий, основанных на реализации алгоритма и метода решения. Приводить рисунки и таблицы.
2. Содержание расчетно-пояснительной записки


В расчетно-пояснительную записку должны включаться следующие элементы:
2.1. Аннотация, которая должна давать краткую характеристику всей работы.
2.2. Содержание .
2.3. Введение, отражающее постановку задачи по выполнению РГР и цель работы.
2.4. Исходные данные.
2.5. Расчетная часть как основной элемент работы, раскрывающая поз. 1.1(1.4.
2.6. Заключение, поясняющее основные полученные результаты и характеристики задач.
2.7. Список используемой литературы.
Расчетно-пояснительная записка должна быть выполнена и оформлена в соответствии с требованиями ЕСКД (написана черными чернилами или отпечатана на принтере на листах А4), ориентировочный объем записки 12(15 л.


3. Краткая характеристика методов решения задач оптимизации

3.1. Задачи линейного программирования

3.1.1. Математические модели задач линейного программирования


Задача линейного программирования имеет следующую постановку:
найти решение Х={x1, x2, , xn}, доставляющее максимум (минимум) целевой функции

13 EMBED Equation.3 1415 (3.1)



при ограничениях
(3.2)





(3.3)

Условия (3.2) могут быть равенствами или иметь знак 13 EMBED Equation.3 1415 , а также быть смешанными.
Эту задачу можно представить в векторной форме
F(X)=CTXmax (min) (3.4)
При А1х1+А2х2++Аnхn 13 EMBED Equation.3 1415В, (3.5)
Х13 EMBED Equation.3 14150, (3.6)
где СТ=(с1, с2,, сn); ХТ=(х1, х2,, хn);






С( вектор весовых коэффициентов целевой функции; Х(вектор переменных; Аi(вектор условий; В(вектор свободных коэффициентов ограничений (3.2).
Запись задачи (3.1) - (3.3) в матричной форме
F(X)=CTXmax(min) (3.7)
AX 13 EMBED Equation.3 1415 В, (3.8)
Х13 EMBED Equation.3 14150, (3.9)
где 13 EMBED Equation.3 1415(матрица условий размера (m(n).
Задачу (3.1) - (3.3) можно представить также в сокращенной форме записи

(3.10)

при
(3.11)

(3.12)

Вектор Х=(x1, x2, , xn), удовлетворяющий ограничениям задачи ЛП (3.2), называется решением. При Х13 EMBED Equation.3 14150 полученное решение называется допустимым. Если Х обращает в максимум (минимум) целевую функцию F(X), решение называется оптимальным.


3.1.2. Графический метод решения задачи ЛП

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи ЛП. Рассмотрим ограничения (3.2) в виде равенств и будем исходить из того, что число переменных n на два больше числа независимых уравнений ограничений m, т.е. n-m=2. Тогда две из переменных, например х1 и х2, можно принять в качестве свободных, а остальные m сделать базисными и выразить их через свободные. В результате получим m13 EMBED Equation.3 1415n-2 уравнений вида



(3.13)


где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - сочетания коэффициентов aij и bi соответственно.
Будем искать решение задачи на плоскости в прямоугольной системе координат х10х2 (рис.3.1).
Допустимые решения для переменных х1 и х2 будут находиться выше оси 0х1 и правее 0х2, что отмечено на рис.3.1 штриховкой одной из сторон этих осей.
Найдем на плоскости х10х2 отображения остальных переменных х3, х4, , хn в соответствии с выражениями (3.13). С этой целью рассмотрим, например, переменную х3 и положим, что ее величина равна своему крайнему значению, т.е. х3=0. Тогда из первого уравнения системы (3.13) получим
Рис.3.1 13 EMBED Equation.3 1415 (3.14)
Это уравнение прямой, на которой х3=0. Заштрихованная сторона этой прямой соответствует х3>0.
Аналогично строятся и остальные ограничивающие прямые х4=0, х5=0, , хn=0, для каждой из которых определяется сторона, где х4>0, x5>0, , xn>0. Часть плоскости х10х2, заштрихованная область ABCDE называется областью допустимых решений (ОДР). В этой области значения всех переменных положительны, т.е. xj>0 (13 EMBED Equation.3 1415). Вершины многоугольника ABCDE (крайние точки) называются базисными допустимыми решениями.
Для нахождения оптимального решения подставим (3.13) в (3.1) и после приведения подобных членов получим
13 EMBED Equation.3 1415. (3.15)
Запишем вместо (3.15) функцию
13 EMBED Equation.3 1415. (3.16)
Обе функции (3.15) и (3.16) достигают максимума (минимума) при одних и тех же значениях х1 и х2.
Найдем значения х1 и х2, доставляющие максимум (минимум) функции F1(X). Для этого определим положение этой функции на плоскости х1,х2 (рис. 3.1).При F1(X)=0 из (3.16) следует, что эта функция есть прямая, проходящая через начало координат. Вторая точка, через которую пройдет эта прямая, определяется координатами 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Если функции F1(X) придавать различные постоянные значения, то прямая на рис. 3.1, отображающая эту функцию, будет перемещаться параллельно самой себе. Причем при положительности коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 направление N возрастания F1(X) ( вверх и направо (убывания(вниз налево). При других значениях 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 направление возрастания (убывания) функции меняется. Очевидно, максимального значения функция достигнет, когда прямая F1(X) достигнет крайней точки С области допустимых решений. Координаты этой точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяют оптимальное решение . Зная 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и пользуясь (3.13), определяют 13 EMBED Equation.3 1415
Точка А области допустимых решений будет соответствовать минимуму функции F1(X).
Пример 3.1. Найти решение Х=(х1, х2), доставляющее минимум целевой функции
F(X)=3x1(3x2
при ограничениях


13 EMBED Equation.3 1415
Ограничения приведем к равенствам, используя дополнительные переменные х3, х4, х5:
13 EMBED Equation.3 1415
откуда

13 EMBED Equation.3 1415
Прямые, соответствующие граничным значениям переменных х3=х4=х5=0, представлены на рис.3.2. Заштрихованная область ABCD будет областью допустимых решений.


Рис.3.2
Вектор N показывает направление параллельного перемещения функции F(X), соответствующее уменьшению целевой функции. Минимального значения целевая функция достигает в крайней точке В многоугольника ABCD. Координаты точки В будут оптимальным решением задачи 13 EMBED Equation.3 1415 При этом 13 EMBED Equation.3 1415


3.1.3. Симплекс-метод в задачах линейного программирования


Симплекс-метод представляет собой метод направленного перебора крайних точек ОДР, т.е. перехода от одного базисного допустимого решения к другому, при котором значения целевой функции непрерывно возрастают (убывают).

Применение симплекс-метода связано с реализацией двух этапов:
(определение начального базисного допустимого решения;
(выполнение последовательного перехода от начального базисного допустимого решения к такому другому базисному допустимому решению, где значение целевой функции больше (меньше), чем в начальном базисе.


Определение начального базисного допустимого решения

Рекомендуется следующий порядок определения начального базисного допустимого решения:
(исходная задача ЛП записывается таким образом, чтобы в правых частях ограничений все коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 были бы не отрицательны;
(полученная система уравнений ограничений записывается в расширенной форме путем использования дополнительных переменных;
(анализируется матрица коэффициентов при дополнительных переменных расширенной формы записи уравнений ограничений. При этом, если матрица является единичной, что имеет место в том случае, когда при 13 EMBED Equation.3 1415 все исходные неравенства имели знак 13 EMBED Equation.3 1415, то в качестве начального принимается базис Аn+1, An+2, , An+m , а начальным базисным допустимым решением будет x1=x2==хn=0; xn+1=b1, xn+2=b2, , xn+m=bm.
В том случае, когда матрица коэффициентов при дополнительных переменных не является единичной (это может быть в случае, когда при 13 EMBED Equation.3 1415 хотя бы одно неравенство имеет знак 13 EMBED Equation.3 1415), то в соответствующем неравенстве должны быть дополнительно введены так называемые искусственные переменные хn+m+1, xn+m+2, , число которых соответствует числу неравенств типа 13 EMBED Equation.3 1415. Одновременно эти же переменные должны быть введены в целевую функцию с большим отрицательным коэффициентом ((М) (при максимизации целевой функции). После выполнения этой операции вновь анализируются коэффициенты при дополнительных переменных и за базисные переменные принимаются те, при которых образуется единичная матрица.
Пример 3.2. Найти начальное базисное допустимое решение при ограничениях
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем задачу в расширенной форме

13 EMBED Equation.3 1415
Матрица коэффициентов при х3 и х4 является единичной. Поэтому начальное базисное допустимое решение:
x1=x2=0; x3=16; x4=40.
Пример 3.3. Найти начальное базисное допустимое решение при ограничениях
13 EMBED Equation.3 1415
Анализируем правые части неравенств: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Перепишем неравенства в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем задачу в расширенной форме

13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициенты при переменных х3, х4, х5 не образуют единичной матрицы. Введем искусственную переменную х6
13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициенты при х3, х4, х6 образуют единичную матрицу. Поэтому начальное базисное допустимое решение
x1=x2=x5=0; x3=1; x4=0; x6=2.



Критерий перехода от одного базисного решения к другому

Последовательный переход от начального базисного допустимого решения к такому другому допустимому решению, где значение целевой функции больше (меньше), чем в начальном базисе, осуществляется на основе симплекс-разности
13 EMBED Equation.3 1415 (3.17)
где сi(весовые коэффициенты при базисных переменных.
Симплекс(разность вычисляется для каждой переменной, не вошедшей в базисное решение. При этом выбирается такая переменная хj, для которой симплекс-разность максимальна (при максимизации целевой функции). Это и является критерием перехода от одного базисного допустимого решения к другому.
Поясним решение задачи симплекс-методом на примере одной из его модификаций(табличного симплекс-метода.



3.1.4. Табличный симплекс-метод


Рекомендуется следующий порядок решения задачи ЛП с использованием табличного симплекс-метода:
1. Математическая модель задачи приводится к расширенной форме.
2. Определяется начальное базисное допустимое решение.
3. Составляется исходная симплекс-таблица (табл.3.1), в которую вносятся следующие параметры, соответствующие начальному базисному допустимому решению:
3.1. Весовые коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415при переменных 13 EMBED Equation.3 1415 целевой функции (строка С).
3.2. Весовые коэффициенты целевой функции 13 EMBED Equation.3 1415при базисных переменных 13 EMBED Equation.3 1415 (столбец С).
3.3. Переменные 13 EMBED Equation.3 1415, которые входят в текущий базис (столбец ХР).
3.4. Свободные коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений ограничений (столбец В).

3.5. Элементы 13 EMBED Equation.3 1415 матрицы условий задачи (столбцы А1, А2,,Аn).
Таблица 3.1
С


c1

cj

ck

cn


ХP
B
A1

Aj

Ak

An

c1
x1
b1
a11

a1j

a1k

a1n












ci
xi
bi
ai1

aij

aik

ain












cr
xr
br
ar1

arj

ark

arn












cm
xm
bm
am1

amj

amk

amn

S


S1

Sj

Sk

Sn


3.6. Симплекс-разности Sj (13 EMBED Equation.3 1415 (последняя строка).
Симплекс-разности вычисляются по формуле (3.17)
13 EMBED Equation.3 1415
где сi(весовые коэффициенты при базисных переменных.
Из (3.17) следует, что коэффициенты zj вычисляются для каждого столбца 13 EMBED Equation.3 1415 как сумма почленных произведений коэффициентов сi на одноименные коэффициенты j-го столбца. Например: 13 EMBED Equation.3 1415
Примечание. При заполнении симплекс-таблицы (в дальнейшем для определенности будем рассматривать задачу максимизации целевой функции) необходимо иметь в виду:
(если 13 EMBED Equation.3 1415 для всех 13 EMBED Equation.3 1415, то полученное базисное решение является оптимальным;
(если имеются 13 EMBED Equation.3 1415 и в столбцах Аj, соответствующих этим симплекс-разностям, существует хотя бы один элемент 13 EMBED Equation.3 1415 то возможен переход к новому решению, связанному с большим значением целевой функции;
(если имеются 13 EMBED Equation.3 1415 и в столбцах Аj все элементы 13 EMBED Equation.3 1415то в области допустимых решений целевая функция не ограничена сверху.


4. Определяется вектор Аk, который необходимо ввести в базис для улучшения решения, по наибольшему значению симплекс-разности Sk. Переменная этого столбца xk будет новой базисной переменной, которая вводится в новое базисное решение.
Столбец, содержащий эту симплекс-разность, называется направляющим столбцом.
5. Определяется вектор, который нужно вывести из базиса, используя равенство
13 EMBED Equation.3 1415 (3.18)
Условие (3.18) позволяет найти направляющую строку. Переменная xr , соответствующая этой строке, выводится из базисного решения и заменяется переменной xk направляющего столбца. Элемент ark , который стоит на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, называется направляющим элементом.
6. Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению. В этой таблице прежде всего заполняются клетки строки xr с вводимой переменной xk. Для этого все элементы этой строки делятся на направляющий элемент. Получаются элементы новой строки:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.19)
Остальные элементы новой таблицы определяются по формулам исключения (на основании метода полного исключения Гаусса):
13 EMBED Equation.3 1415 (3.20)
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ( новые элементы последующей таблицы; ark ( направляющий элемент.
Для практических расчетов необходимо иметь в виду следующее:
(в новой таблице на месте направляющего элемента пишется I, а на месте остальных элементов направляющего столбца ( нули;
(если в направляющей строке (старой таблицы) окажется 0, то соответствующий ему столбец переписывается в новой таблице без изменений;
(если в направляющем столбце (старой таблицы) окажется 0, то соответствующая ему строка переписывается в новой таблице без изменений.
Процесс вычисления заканчивается, когда найдено оптимальное решение (см. примечание п.3.6).
В случае, когда требуется решать задачу на минимум целевой функции, целесообразно ее привести к задаче на максимум путем умножения всех коэффициентов целевой функции на ((1). После такого преобразования алгоритм решения задачи остается прежним.
Пример 3.4. Найти максимум целевой функции
13 EMBED Equation.3 1415
при ограничениях
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем ограничения в расширенной форме:
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим векторы условий задачи А1(А4.
Векторы А3, А4 образуют единичную матрицу, которую примем за базис. В результате начальное базисное допустимое решение будет иметь вид Х (0,0,2,6).
Составим исходную таблицу, в которой элементы строки S рассчитываем по формуле (3.17) (см. табл. 3.2).





Таблица 3.2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


С


с1
с2
с3
с4






3
2
0
0




ХP
B
A1
A2
A3
A4



с3
0
x3
2
1
-1
1
0



с4
0
x4
6
2
1
0
1



S

0
3
2
0
0


13 EMBED Equation.3 1415
В индексной строке табл.3.2 имеются 13 EMBED Equation.3 1415, что позволяет улучшить решение задачи.
Введем в новый базис вектор А1, которому соответствует наибольшее значение симплекс-разности S1=3. Этот столбец будет направляющим (в табл. 3.2 указан стрелкой ).
Составим отношения вида 13 EMBED Equation.3 1415, по которым определим направляющую строку. Для этого находим
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, направляющая строка первая (указана стрелкой ), направляющий элемент (а11 (в табл.3.2 заключен в прямоугольник).
Рассчитаем и заполним новую таблицу, соответствующую новому базисному решению, пользуясь п.6 рекомендованного порядка и формулами (3.20).





Таблица 3.3
13 EMBED Equation.3 1415Для пояснения приведем 13 EMBED Equation.3 1415несколько элементов табл.3.3:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Примечание. Индексы коэф- 13 EMBED Equation.3 1415фициентов, характеризующих но-



С


с1
с2
с3
с4






3
2
0
0




ХP
B
A1
A2
A3
A4



c1
3
x1
2
1
-1
1
0



c4
0
x4
2
0
3
-2
1



S

6
0
5
-3
0


мер строки, соответствуют индексам базисных переменных.
В индексной строке табл. 3.3 имеется S2 с положительным знаком, что позволяет продолжить улучшение решения задачи.
Из табл. 3.3 определяем направляющий столбец и направляющую строку (столбец ( второй, строка ( вторая).
Последующие результаты расчета сведены в табл. 3.4, 3.5.







Таблица 3.4





Таблица 3.5

С


с1
с2
с3
с4

С


с1
с2
с3
с4




3
2
0
0




3
2
0
0


ХP
B
A1
A2
A3
A4


ХP
B
A1
A2
A3
A4

c1
x1
13 EMBED Equation.3 1415
1
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

c3
x3
8
3
0
1
1

c2
x2
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

c2
x2
6
2
1
0
1

S

13 EMBED Equation.3 1415
0
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

S

12
-1
0
0
-2


В табл. 3.5 все 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому полученное решение является оптимальным: 13 EMBED Equation.3 1415



3.2. Транспортные задачи линейного программирования


Классическая транспортная задача ЛП формируется следующим образом.
Имеется М пунктов отправления (производства) А1, А2,, Аm, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объем этого продукта Аi составляет аi единиц 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того, имеется n пунктов потребления В1, В2,, Вn. Объем потребления в пункте Вj составляет bj единиц 13 EMBED Equation.3 1415.
Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость cij перевозки единицы продукта из пункта Аi в пункт Вj 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость перевозок (суммарные транспортные издержки) была бы минимальной.
При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.


Условия транспортной задачи (Т-задачи) можно представить в виде табл.3.6.
Таблица 3.6
ПП
ПО
В1
В2

Вn
Запасы
ai

А1
c11
c12

c1n
a1

А2
c21
c22

с2n
a2








Аm
cm1
cm2

cmn
am

Заявки Bj
b1
b2

bn
13 EMBED Equation.3 1415


В табл. 3.6 приняты обозначения: ПО – пункты отправления продукта; ПП – пункты потребления. Равенство, приведенное в нижнем правом углу таблицы, означает, что сумма заявок пунктов потребления равна сумме запасов продуктов в пунктах отправления.
Составим математическую модель сформулированной задачи. Обозначим xij – количество продукта, отправляемого из i-го пункта Аi в j-й пункт потребления Вj 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Требуется определить множество переменных xij13 EMBED Equation.3 14150 (число которых очевидно равно 13 EMBED Equation.3 1415), удовлетворяющих условиям
13 EMBED Equation.3 1415, (3.21)
13 EMBED Equation.3 1415 (3.22)
и доставляющих целевой функции
13 EMBED Equation.3 1415 (3.23)
минимальное значение.
Условие (3.21) означает, что суммарное количество продукта, направленного из каждого пункта отправления во все пункты потребления, должно быть равно запасу этого продукта в данном пункте. Условия (3.22) означают, что суммарное количество продуктов,

доставляемых в каждый пункт потребления из всех пунктов отправления, должно быть равно заявленному количеству продуктов данным пунктом.
Из (3.21) и (3.22) следует, что Т-задача имеет 13 EMBED Equation.3 1415 ограничений-равенств.
Переменные 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющие условиям (3.21) и (3.22), записываются в виде матрицы
13 EMBED Equation.3 1415. (3.24)
Матрица Х носит название плана перевозки, или просто плана Т-задачи, а переменные xij – перевозками. План Х* называют оптимальным, если целевая функция имеет минимальное значение, т.е. стоимость всех перевозок является наименьшей.
Рассмотрим решение Т-задачи, основанное на преобразовании табл. 3.6 и состоящее из следующих основных этапов:
-определение опорного плана;
-оценка опорного плана;
-переход к лучшему плану.
Опорным планом Т-задачи называют любое ее допустимое базисное решение.
План xij называют допустимым, если он удовлетворяет условиям (3.21) и (3.22): все заявки удовлетворены, все запасы исчерпаны.


3.2.1. Нахождение опорного плана


Нахождение опорного плана покажем с помощью правила “северо-западного угла” и правила “минимального элемента”.
По правилу “северо-западного угла” заполнение таблицы начинается с левого верхнего элемента х11 матрицы Х (что и обусловило название правила):
х1113 EMBED Equation.3 1415min(а1,b1),
при этом возможны три случая:
-если a1-если a1>b1, то х1113 EMBED Equation.3 1415b1, а оставшиеся элементы первого столбца заполняются нулями;
-если a113 EMBED Equation.3 1415b1, то х1113 EMBED Equation.3 1415а113 EMBED Equation.3 1415b1, а оставшиеся элементы первых строки и столбца заполняются нулями.
Затем вычисляются х1213 EMBED Equation.3 1415min(а1-х11,b2) при a1>b1 или х2113 EMBED Equation.3 1415min(а2,b1-х11) при a1Этот процесс повторяется до тех пор, пока матрица Х не будет полностью заполнена, т.е. ресурсы ai будут исчерпаны, а bj потребности удовлетворены.
Пример 3.5. Пусть дана Т-задача с четырьмя пунктами отправления ai (i=13 EMBED Equation.3 1415) и четырьмя пунктами потребления bj (j=13 EMBED Equation.3 1415) в виде исходной таблицы
13 EMBED Equation.3 1415
Проверим условие баланса: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 190=190.
Определим опорный план
13 EMBED Equation.3 14
·

Приложенные файлы

  • doc 26743915
    Размер файла: 950 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий