СТЬЮДЕНТ(2)


6.3.   Распределение Стьюдента и его свойстваОпределение 17.Пусть , , ,  независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величины

называют распределением Стьюдента с  степенями свободы и обозначают . Плотность распределения Стьюдента по сравнению с плотностью стандартного нормального распределения.
Плотность распределения Стьюдента с  степенями свободы равна  разглядеть как следует! 
(15)
Мы не станем выводить эту формулу, предложив читателю-математику либо вывести ее самостоятельно, либо посмотреть вывод в [1, п. 6-7 §2 главы 2].
Свойства распределения Стьюдента:
1.
Симметричность. 
Если случайная величина  имеет распределение Стьюдента  с  степенями свободы, то и  имеет такое же распределение.
Упражнение.    Доказать.
2.
Асимптотическая нормальность. 
Распределение Стьюдента  слабо сходится к стандартному нормальному распределению при .
Доказательство.  Пусть , , ,  независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда , и по ЗБЧ
    при   .
Тогда и

откуда следует и слабая сходимость последовательности случайных величин  с распределением Стьюдента к , имеющей стандартное нормальное распределение. То есть .
Q.D.E.
3.
  Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартное распределение Коши.Упражнение.    Как получить случайную величину с распределением Коши, имея две независимые стандартные нормальные случайные величины?
Доказательство.  Подставим  в плотность (15), используя  и , и получим плотность распределения Коши:
.
Q.D.E.
4.
  У распределения Стьюдента существуют только моменты порядка , и не существуют моменты порядка . При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю.
Упражнение.    Посмотреть на плотность (15) и убедиться в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих  интегралов

Отметим, что и распределение , и распределение Стьюдента табулированы, так что если в каких-то доверительных интервалах появятся квантили этих распределений, то мы найдем их по таблице. Следущее распределение тоже тесно связано с нормальным распределением, но понадобится нам не при построения доверительных интервалов, а чуть позже — в задачах проверки гипотез. Там же мы поймем, почему его называют часто распределением дисперсионного отношения. Призываем математиков сравнить определение [1, п. 6 § 2 гл. 2] с нашим определением и учесть, что в статистических таблицах всегда табулируется распределение Фишера в том виде, как мы его сейчас определим. что было раньше - курица или яйцо?

Приложенные файлы

  • docx 26699207
    Размер файла: 37 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий