Оформление по стьюденту



Пусть при повторении измерений в одних и тех же условиях 3 – 4 раза получили одинаковое значение Х = Х0. Можно ли утверждать, что Хист = Х0? Нет. Данный результат означает лишь, что истинное значение Х заключено в интервале

X = X0 ±
·X,
(1.2)

где погрешность
·X определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, обычно связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность
·Х, как уже отмечалось, называют систематической. Проведение дальнейших измерений в этих условиях бессмысленно. Результат измерений записывается в виде равенства (1.2), где
·Х =
·Хсист. Для более точного определения физической величины Х в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т.п. В простейших случаях
·Хсист определяется 11 погрешностями измерительных приборов, то есть для выверенных приборов – их классом точности.

Пример. При измерении диаметра цилиндра в различных местах штангенциркулем получено одинаковое значение D = 12,5 мм. Абсолютная погрешность штангенциркуля 0,1 мм. Запишите результат измерений и произведите оценку точности измерения.

Результат измерения следует записать так: D = (12,5 ± 0,1) мм. Предельная относительная погрешность технического измерения равна относительной погрешности штангенциркуля д =
·D / D = 0,1 / 12,5
· 100% = 0,8%.



Среднее арифметическое значение серии измерений определяется как частное от деления арифметической суммы всех результатов измерений в серии Xi на общее число измерений в серии n:


При увеличении n среднее значение стремится к истинному значению измеряемой величины Xист. Поэтому, за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое значение, если ошибки подчиняются нормальному закону распределения ошибок закону Гаусса.

Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположений:
ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.

Нормальный закон распределения описывается следующей функцией:


где
· – средняя квадратичная ошибка;
·2 – дисперсия измерения; Хист – истинное значение измеряемой величины.

Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой X = Xист и имеет максимум при X = Xист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в правую часть уравнения (1.13) Xист вместо X. Получим
,
откуда следует, что с уменьшением
· возрастает y(X). Площадь под кривой

должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от -
· до +
· равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).

На рис. 1.1 приведены графики трех функций нормального распределения для трех значений
· (
·3 >
·2 >
·1) и одном Хист. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины, которая при бесконечно большом количестве измерений (n
·) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией
·. Величина
· характеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях
· кривые идут более круто и большие значения
·Х менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.
Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n измерений определяется по формуле:
.

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению
·, которое называется статистическим пределом Sn:

Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).

Величина
· имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое <Х> и некоторую ошибку
·X. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> –
·Х, <Х> +
·Х) или (<Х> –
·Х) < Х < (<Х> +
·Х)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.

Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> –
·Х, <Х> +
·Х) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Хист с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.
Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.
Пусть
· означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем
·Х. Это принято записывать в виде:

Р((<Х> –
·Х) < Х < (<Х> +
·Х)) =
· (1.16).

Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной
·, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> –
·Х до <Х> +
·Х. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений
·Х, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина
· зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности
·Х.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:
величину самой ошибки (или доверительный интервал);
величину доверительной вероятности (надежности).

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке Sn соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2
·) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3
·) – 0.997.

Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X –
·, X +
·), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность
·Х > 3
·, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3
· обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3
· берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.

Доверительные вероятности
· для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки
· =
·X/
·:



Ранее нами было рассмотрено определение доверительной вероятности для отдельного измерения Xi с помощью табл. 1.1, то есть определение вероятности того, что Xi не будет отклоняться от истинного значения более чем на величину
·X.

Однако, наиболее важной задачей является определение величины отклонения от истинного значения Xист среднего арифметического результатов измерений. Для решения поставленной задачи также можно воспользоваться табл. 1.1, взяв, вместо величины
· величину
·, то есть у / (n0.5) или с учетом (1.14), для конечного числа измерений

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического Sn равна средней квадратичной ошибке отдельного результата, деленой на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте наблюдений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза необходимо увеличить число измерений в 4 раза. Однако этот вывод относится только к измерениям, в которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой.

Обычно выполняется сравнительно небольшое число измерений для n которых определяется величина Sn. Если при оценке доверительной вероятности считать, что значение Sn совпадает с у и пользоваться табл. 1.1, то будем получать завышенные значения
·. Из того, что
· является пределом Sn при n
·, следует, что Sn пропорциональна величине
·. Коэффициент пропорциональности зависит от числа измерений и отражает степень приближения Sn к
·. На основании этого интервал
·X можно представить в виде

Значения величины t
·n, носящей название коэффициента Стьюдента, вычислены для различных значений n и
· и приведены в табл. 1.2. Сравнивая приведенные в ней данные с данными табл. 1.1, легко убедиться, что при больших n величина t
·n стремится к соответствующим значениям величины
·. Это естественно, так как с увеличением n Sn стремится к
·.
Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (1.14) в виде


Пользуясь этим соотношением и табл. 1.2, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. После выполнения измерений должны быть известны все величины, входящие в это выражение - одни из них могут быть наперед заданы, другие необходимо определить.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (ошибка), обычно выражаемая в процентах (%):


Величину
· = 1/
·, обратную относительной погрешности называют точностью измерений.

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, можно решить и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определить необходимое число измерений в серии.

Таблица коэффициентов Стьюдента

15

Приложенные файлы

  • doc 26699199
    Размер файла: 380 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий