все определения по структурам


Бинарная операция называется коммутативной, если .
Бинарная операция называется ассоциативной, если .
Множество X c введенной бинарной операцией называется алгебраической структурой
Алгебраическая структура называется коммутативной (ассоциативной), если бинарная операция коммутативна (ассоциативна).
Элемент называется единицей слева, если .
Элемент называется единицей справа, если.
Элемент называется единичным элементом, если, т.е. если он является левой и правой единицей одновременно.
Множество с ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.
Полугруппа с единицей называется моноидом.
Элемент называется обратимым, если существует элемент такой, что .
Моноид, у которого все элементы обратимы называется группой.
Группа, в которой выполнена аксиома , называется абелевой группой.
Пусть – некоторая группа, группа , тогда говорят, что является подгруппой группы .
Подгруппа, не являющаяся всей группой и единичным элементом, называется собственной подгруппой.
Число элементов группы называется порядком группы.
Пусть даны две группы и . Эти группы называются изоморфными, если существует отображение такое, что выполнены два условия:1. , 2. – биекция.
Группа, образованная степенями одного фиксированного элемента, называется циклической группой, а этот элемент называется образующим.
Отображение группы в себя называется автоморфизмом.
Множество всех автоморфизмов называется группой автоморфизмов .
Группой внутренних автоморфизмов группы называются множество автоморфизмов вида: .
Группа гомоморфно отображается в группу , если существует отображение такое, что выполнено условие .
Множество называется ядром гомоморфизма.
Пусть – группа, – ее подгруппа, тогда множество называется левым смежным классом группы по подгруппе , а множество – правым смежным классом .
Количество левых (правых) смежных классов называется индексом группы по подгруппе .
Подгруппа группы называется нормальной, если левые и правые смежные классы группы по подгруппе одинаковы.
Факторгруппа группы по нормальной подгруппе – это множество смежных классов с операцией умножения, введенной следующим образом: .
Пусть даны группа , множество и – группа всех взаимно однозначных отображений множества на себя. Гомоморфизм элементу ставит в соответствие некоторое преобразование из (причем образ точки относительно преобразования часто обозначается символом ) и задает действие (слева) группы на множестве , если выполняются две аксиомы:
1) , где – единица группы , ;
2) , где .
Каждый такой класс эквивалентности называется орбитой. Если орбита содержит элемент , то ее можно обозначить символом .
Стабилизатор часто называют стационарной подгруппой.
Количество элементов в орбите называют длиной орбиты, и обозначается .
Множество вида: называют стабилизатором.
Множество элементов, не меняющихся при сопряжении (значит, являющееся ядром данного преобразования), называется центром группы и обозначается , то есть .
Выражение называется коммутатором элементов группы .
Коммутантом группы называют подгруппу , образованную множеством коммутаторов и всех их произведений.
Группу , для которой выполнено , называют разрешимой группой.
Группу, не имеющую нетривиальных нормальных подгрупп, называют простой.
Пусть имеется пара групп: , тогда множество упорядоченных пар вида с заданной операцией называют прямым внешним произведением групп
Рассмотрим множество элементов следующего вида: . Можно заметить, что данное множество является записью циклической группой порядка . Рассмотрим произвольную группу и возьмем элементы, например , через которые получаются остальные элементы группы. Тогда элементы – образующие элементы, а выражение – определяющее соотношение.
Непустое множество с заданными двумя бинарными операциями, обозначаемых + и , и удовлетворяющее аксиомам: 1) – абелева группа; 2) – полугруппа;
называется кольцом.
Если вторую аксиому изменить на: – моноид, то будет называться кольцом с единицей.
Класс эквивалентности, содержащий целое число , называется вычетом числа по модулю
превращается в коммутативное ассоциативное кольцо с единицей - кольцо вычетов по модулю .
Операция называется гомоморфизмом кольца , если выполнено:
;
.
– ядро гомоморфизма, где 0 – единичный элемент по сложению
Если , то называется мономорфизмом ().
Если , тоназывается эпиморфизмом.
Подмножество кольца – подкольцо, если .
Если выполнено: – подкольцо кольца и , , то – двусторонний идеал кольца .
Множество смежных классов с введенными операциями: 1) ; 2) - факторкольцо кольца по идеалу .
Элемент кольца называется левым делителем нуля, а – правым, если выполнено: .
Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется целостным кольцом.
Множество называется множеством обратимых элементов кольца .
Поле – коммутативное кольцо с единицей, у которого все ненулевые элементы обратимы.
Простое поле – поле, не имеющее нетривиального подполя.
Поле, простое подполе которого изоморфно Q, называется полем характеристики ноль ().
Поле, у которого простое подполе изоморфно Zp, называется полем характеристики ().
, , , называется кольцом многочленов над (обозначается ), а его элементы многочленами.
Элемент называется алгебраическим над кольцом , если , т. е. найдется многочлен . Если , то – трансцендентный над элемент.
Элемент делит элемент ( делится на ), если .
Если и , то и называются ассоциированными.
Элемент называется простым, если он необратим и не разлагается в произведение необратимых элементов.
Кольцо обладает свойством факториальности, если любой элемент из кольца раскладывается в произведение , где – обратимый элемент, а – простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будет , где – обратимые элементы.
Под наибольшим общим делителем понимают двух элементов будем понимать элемент , обозначаемый и обладающий свойствами: 1. ; 2. .
наименьшее общее кратное элементов , определенно свойствами:
1. ; 2. .
Неприводимым многочленом в кольце называется простой элемент этого кольца.
Элемент называется корнем многочлена , если .
Элемент называется корнем кратности многочлена , если делится на и не делится на . Или , где .
Операция дифференцирования – операция, которая многочлену вида ставит в соответствие многочлен .
Кольцо называется евклидовым, если существует отображение
такое, что выполнены условия:
1. ;
2. , где или .
вложенная система полей - поле разложения для многочлена
формулы Виета: , , ,
…… …… .
Многочлен называется симметрическим, если: ,
где - любая перестановка.
Сумма степеней в многочлене вида называется весом многочлена.
Определителем Вандермонда называется определитель, построенный таким образом:
.
Величина называется дискриминантом многочлена .
Результантом двух многочленов и называется определитель:
.
Поле алгебраически замкнуто, если кольцо многочленов над этим полем содержит неприводимые многочлены только первого порядка.
Поле алгебраически замкнуто, если у любого многочлена из существует хотя бы один корень.
Поле алгебраически замкнуто, если любой многочлен из -ого порядка имеет ровно корней с учетом кратности.
– формула Кардано.

Приложенные файлы

  • docx 26698942
    Размер файла: 326 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий