Курсовая_тмоги


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ НЕДРОПОЛЬЗОВАНИЯ
Допускаю к защите
Преподаватель___Олзоев Б.Н.___
___________________
Фамилия И.О.
УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе по дисциплине
Теория математической обработки геодезических измерений
______________________ПЗ
обозначение документа
Выполнил студент группы: ИГ-11-1 _________ _ Иванов А.Н._
шифр подпись Фамилия И.О.
Курсовая работа защищена с оценкой _____________
Иркутск 2013г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
TOC \o "1-1" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc356338698 \h 3Глава 1. УРАВНИВАНИЕ ГРУППЫ НАПРАВЛЕНИЙ, ИСХОДЯЩИХ ОТ ОДНОГО ПУНКТА ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ PAGEREF _Toc356338699 \h 5Глава 2. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ PAGEREF _Toc356338700 \h 12
ВВЕДЕНИЕЦелью работы является приобрести навыки, позволяющие уравнивать и производить оценку точности плановых и высотных геодезических сетей, предварительный расчет точности выполнения геодезических работ, необходимых для решения разнообразных научно-производственных задач.
Задачи работы:
-уравнять группы направлений, исходящих от одного пункта параметрическим способом;
- уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом;
- уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом.
При уравнивании сетей пользуемся «методом наименьших квадратов» он заключается в следующем: результат измерений содержит неизбежные ошибки, поэтому измеряемая величина получит несколько различающихся между собой значений. Устранение многозначности решения задач и удовлетворение геометрических условий в сетях достигается в процессе уравнивания по методу наименьших квадратов, согласно которому вводят поправки , удовлетворяющих условию - для равноточных, - для неравноточных измерений. Кроме того, наличие количества избыточных измерений позволяют выполнить контроль измерений и сделать оценку их точности. Доказано, что отношения веса уравненного к весу не уравненного результата определяется формулой .
Классическая теория метода наименьших квадратов рассматривает независимые, некоррелированные результаты измерений. В настоящие время метод наименьших квадратов распространен и на коррелированные измерения.Глава 1. УРАВНИВАНИЕ ГРУППЫ НАПРАВЛЕНИЙ, ИСХОДЯЩИХ ОТ ОДНОГО ПУНКТА ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ Дано: Между четырьмя направлениями измерены горизонтальные углы во всех комбинациях (рис. 1). Исходные данные представлены в таблице 1.

Вычислить:
Уравненные значения всех углов;
Среднюю квадратическую ошибку mi
результата непосредственного измерения;
Среднюю квадратическую ошибку mm
самой ошибки.
Рис. 1 Схема горизонтальных углов
Порядок выполнения работы:
Выбор необходимых неизвестных (параметров);
Составление параметрических уравнений связи;
Определение приближенных значений параметров;
Составление параметрических уравнений поправок;
Составление весовой функции;
Составление нормальных уравнений;
Вычисление поправок и оценка точности.
Таблица 1
Исходные данные:
№ угла Угол Измеренный угол
1 AOB 42 QUOTE 42’17,2”
2 BOC 43 QUOTE 18’31,7”
3 COD 21 QUOTE 54’48,2’’
4 AOC 86 QUOTE 00’46,7’’
5 BOD 65 QUOTE 13’18,2’’
6 AOD 107 QUOTE 55’34,7’’
Ход решения:
Выбор необходимых неизвестных (параметров)
Параметры должны быть независимыми. Чтобы обеспечить это условие, необходимо выбрать максимальное количество независимых условных уравнений. Это означает, что нельзя выразить одно уравнение как линейную комбинацию остальных. В моем случае их будет три, образующих систему независимых условных уравнений (рис. 1 ) .
X4=X1+X2
X5=X2+X3 (1)
X6=X1+X2+X3
Число необходимых измерений k равно разнице между числом измеренных величин n и числом условных независимых уравнений r. Откуда следует
k = n – r = 6 – 3 = 3;
В связи с этим в качестве необходимых неизвестных (параметров) выбрано три угла (AOB, BOC, COD) из шести измеренных. Обозначим истинные значения Хiвыбранных неизвестных через t1, t2, t3.
X1 = t1; X2 = t2; X3 = t3
Теперь, вводим неизвестные поправки vi – поправки в измеренное значение хi, чтобы получить уравненные значения хi + vi, таким образом чтобы [vi] = 0.
Составление параметрических уравнений связи
Выразим все шесть уравненных значений измеренных величин Xi через уравненные значения трех необходимых неизвестных t1, t2, t3.
В моем случае, параметрические уравнения связи будут выражены следующим образом (рис. 1)
X1 = t1 X4 = t1 + t2 X1 = 42 QUOTE 42’ 17,2’’ X4 = 86 QUOTE 00’ 48,9’’
X2 = t2 X5 = t2 + t3 X2 = 43 QUOTE 18’ 31,7’’ X5 = 65 QUOTE 13’ 19,9’’
X3 = t3 X6 = t1 + t2 + t3 X3 = 21 QUOTE 54’ 48,2’’ X6 = 107 QUOTE 15’ 37,1’’
Составление приближенных значений параметров
В качестве приближенных значений неизвестных t1, t2, t3 выберем их измеренные значения xi:
t01 = x1= 42 QUOTE 42’ 17,2’’
t02 = x2= 43 QUOTE 18’ 31,7’’t03 = x3= 21 QUOTE 54’ 48,2’’Cоставление параметрических уравнений поправок
Общий вид параметрического уравнения связи:
Xi = xi + vi = F(t1, t2, t3), или vi = F(t1, t2, t3) - xi (i = 1,2, …, 6) (2)
Теперь выполним условие [vv] = min и получим:

Требование [vv] = min означает, чтобы сумма квадратов поправок была наименьшей по сравнению с суммой квадратов поправок, полученных любым другим путем.
В левой части выражения (3) неизвестны только величины tk, поэтому его можно написать в виде некоторой функции F(t1…, tk):
F(t1…, tk) = min (4)
Поскольку введенные необходимые неизвестные t свелись к задаче на абсолютный экстремум, то необходимо составить определенную систему уравнений:

из которой могут быть получены неизвестные (t1…, tk).
Однако, если уравнения имеют нелинейный вид, то их решение практически невозможно. Поэтому для параметров tv находят приближенные значения t0v , причем с такой точностью, чтобы привести функцию (2) к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, в котором можно пренебречь членами разложения второго и высшего порядков.
Представим неизвестные tv в виде:
tv = t0v + QUOTE v (v = 1, 2,… ,6), (6)
где t0v – приближенные значения, QUOTE v – неизвестные поправки к ним.
Подставим эти значения tv в равенство (2), получим:
vi = F(t01+ QUOTE 1, …, t0k + QUOTE k) - xi (7)
Разлагая функцию Fi в ряд Тейлора, находим:
vi = F(t01,…, t0k)+ QUOTE 0 QUOTE 1 +...+ QUOTE 0 QUOTE k + R - xi , (8)
где R – сумма всех членов разложения, кроме линейных. Приближенные значения должны быть найдены таким образом, чтобы можно было пренебречь R.
Пренебрегая величиной R, получаем:
vi = F(t01,…, t0k)+ QUOTE 0 QUOTE 1 +...+ QUOTE 0 QUOTE k +{ F(t01…, t0k)- xi } (9)
Введем обозначения:
QUOTE 0 =ai1;…; QUOTE 0 =aik ; F(t1…, tk) - xi = x0i - xi = liВ моем случае. общий вид параметрического уравнения поправок:
vi = ai1 QUOTE 1+ ai2 QUOTE 2+ ai3 QUOTE 3+ li i=1, 2,…, 6 (10)
Свободный член будет выражен следующим образом:
l4= (t01+t02)-x4 = 0”,1l5= (t02+t03)-x5= 0”
l6= (t01+t02+t03)-x6=0”,1Составляем уравнения поправок для всех параметрических уравнений связи:
v1 = QUOTE 1
v2 = QUOTE 2
v3 = QUOTE 3
v4 = QUOTE 1+ QUOTE 2 + 0”,1 (11)
v5 = QUOTE 2+ QUOTE 3 + 0”
v6 = QUOTE 1+ QUOTE 2+ QUOTE 3+ 0”,1
По этим уравнениям составим таблицу коэффициентов уравнений поправок с контролем по формулам (13-15) (см. табл.2)
Таблица 2
Коэффициенты уравнений поправок и нормальных уравнений
№ a1 a2 a3 l S v v a1 v a2 v a3 Vv
1 +1 +1,0 -0,73 -0,73 0,5329
2 +1 +1,0 -0,97 -0,97 0,9409
3 +1 +1,0 -0,47 -0,47 0,2209
4 +1 +1 +2,2 +4,2 +0,50 0,50 0,50 0,2500
5 +1 +1 +1,7 +3,7 +0,25 0,25 0,25 0,0625
6 +1 +1 +1 +2,4 +5,4 +0,22 0,22 0,22 0,22 0,0484
[ ] +3 +4 +3 +6,3 +16,3 -0,01 0,00 0,00 2,0556
QUOTE i-0,73 -0,97 -0,47
№ a1a1 a1a2 a1a3 a1l a1S a2 a2a2 a3 a2l a2S a3 a3a3l a3S lllSSS
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 1,00
2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0,00 1,00
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1,00 0 0,00 1,00
4 1 1 0 2,2 4,2 1 0 2,20 4,20 0 0 0 4,84 9,24 17,64
5 0 0 0 0 0 1 1 1,69 3,69 1 1,69 3,69 2,86 6,24 13,62
6 1 1 1 2,39 5,39 1 1 2,39 5,39 1 2,39 5,39 5,71 12,88 29,05
[ ] 3,0 2,0 1,0 4,59 10,59 4 2 6,28 14,28 3,00 4,08 10,08 13,41 28,36 63,31
Составление весовой функции
По условию требуется оценить точность уравненного значения первого, второго и третьего углов. Выразим их через необходимые неизвестные:
F1 = X1= t1; F2 = X2= t2; F3 = X3= t3
В соответствии с формулой найдем коэффициенты, используемые впоследствии для оценки точности функции:
f1 = ( QUOTE 1)0 = +1; f2 = ( QUOTE 2)0 = +1; f3 = ( QUOTE 3)0 = +1;
Составление нормальных уравнений
Система из трех нормальных уравнений имеет следующий вид:
[a1a1] QUOTE 1+[a1a2 ] QUOTE 2+[a1a3] QUOTE 3+ [a1l] = 0
[a1a2] QUOTE 1+[a2a2 ] QUOTE 2+[a2a3] QUOTE 3+ [a2l] = 0 (12)
[a1a3] QUOTE 1+[a2a3 ] QUOTE 2+[a3a3] QUOTE 3+ [a3l] = 0
Значения коэффициентов и свободные члены этой системы вычислены в табл. 3 по данным табл. 2.
Все вычисления контролируют по формулам:
[a1a1] QUOTE +[a1a2]+[a1a3]+ [a1l] = [a1S]
[a1a2]+[a2a2]+[a2a3]+ [a2l] = [a2S]
[a1a3]+[a2a3]+[a3a3]+ [a3l] = [a3S] (13)
[a1l] + [a2l] + [a3l] + [ll] = [lS]
[a1S] + [a2S] + [a3S] + [lS] = [SS]
Далее по примеру (табл. 2):
+3+2+1+4,59=10”,59 [a1S] = 10”,59
+2+4+2+6,28 =14”,28 [a2S] = 14”,28
+1+2+3+4,08=10”,08 [a3S] = 10”,08
+4,59+6,28+4,08+13,41 =28”,36 [lS] = 28”,36
+10,59+14,28+10,08+28,36=63”,31 [SS] = 63”,31
Для оценки точности функции находим контрольные суммы:
∑1 = [a1S] - [a1l] + f1
∑2 = [a2S] - [a2l] + f2 (14)
∑3 = [a3S] - [a3l] + f3
Далее по примеру:
∑1 = +10,59 – 4,59 +1,0 = 7”,0
∑2 = +14,28 – 6,28 +1,0 = 9”,0
∑3 = +10,08 – 4,08 + 1,0 = 7”,0
Общая сумма составляет ∑ = +23”,0
Вычисление контрольных сумм проверяется по формуле (15):
[∑]=[f]+[a1S]+[a2S]+[a3S]+[ll]-[lS] (15)
[∑]=3,0+10,59+14,28+10,08+13,41-28,36 = +23”,0
Используя данные табл. 2, получаем систему нормальных уравнений:
3 QUOTE 1+2 QUOTE 2+ QUOTE 3+4,59 = 0
2 QUOTE 1+4 QUOTE 2+2 QUOTE 3+6,28 = 0
QUOTE 1+2 QUOTE 2+3 QUOTE 3+4,08 = 0
Решение нормальных уравнений
При решении систем нормальных уравнений используем алгоритм способа Гаусса. В его основе лежит метод последовательного исключения неизвестных. Система обозначений, облегчающая решение нормальных уравнений:
Таблица 3
Решение нормальных и элиминационных уравнений
№строк Обозначение a1 a2 a3 l
1 N1 3,0 2,0 1,0 4,59
2 E1   -0,667 -0,333 -1,53
3 N2   4,0 2,0 6,28
4 (1)   -1,33 -0,67 -3,06
5 a1   2,67 1,33 3,22
6 E2     -0,500 -1,208
7 N3     3,0 4,08
8 (1)     -0,33 -1,53
9 (2)     -0,67 -1,61
10 a2     2,00 0,94
11 E3       -0,47
12 QUOTE 1     -0,470  
13 QUOTE 2   -0,973 0,235 -1,208
14 QUOTE 3 -0,725 0,648 0,1567 -1,530
После определения значений всех неизвестных их следует подставить в систему нормальных уравнений для проведения контроля полученных результатов. Контроль будет считаться успешным при равенстве уравнений нулю (с учетом степени округления).
Контроль решения нормальных уравнений:
3*(-0,725) + 2*(-0,973) + 1*(-0,470) + 4,59 = 0
2*(-0,725) + 4*(-0,973) + 2*(-0,470) + 6,28 = 0
1*(-0,725) + 2*(-0,973) + 3*(-0,470) + 4,08 = 0
Вычисление поправок к результатам измерений
Поправки vi к измеренным значениям находят в табл. 2 по формулам (10) и заканчивают составление этой таблицы.
Вычисление уравненных результатов значений измеренных величин
Так как в качестве параметров выбраны измеренные величины, то рассматриваемые вычисления удобно совместить с вычислениями следующего этапа.
Вычисление уравненных значений измеренных величин
В таблице 4 вычисляют уравненные значения углов, используя поправки vi .
Заключительный контроль уравнивания
Он состоит в повторном вычислении уравненных значений углов по уравнениям связи (формула (2).Контрольные вычисления приводятся в таблице 4.
Таблица 4
Уравненные значения углов
№ угла Углы Измеренные
Значения xi ПоправкиviУравненные
значения ХiУравнения связи
Хi= f(t1,t2,t3) Контроль
1 AOB 42 QUOTE 42’17,2” -0,73 42 QUOTE 42’16,47” t1 42 QUOTE 42’16,47”
2 BOC 43 QUOTE 18’31,7” -0,97 43 QUOTE 18’30,73” t2 43 QUOTE 18’30,73”
3 COD 21 QUOTE 54’48,2’’ -0,47 21 QUOTE 54’47,73’’ t3 21 QUOTE 54’47,73’’
4 AOC 86 QUOTE 00’46,7’’ +0,50 86 QUOTE 00’47,20’’ t1 + t2 86 QUOTE 00’47,20’’
5 BOD 65 QUOTE 13’18,2’’ +0,25 65 QUOTE 13’18,45’’ t2 + t3 65 QUOTE 13’18,45’’
6 AOD 107 QUOTE 55’34,7’’ +0,22 107 QUOTE 55’34,92’’ t1 + t2 + t3 107 QUOTE 55’34,92’’
Оценка точности
При оценке точности вычисляют среднюю квадратическую ошибку mi результата непосредственного измерения и среднюю квадратическую ошибку mm самой ошибки.
Глава 2. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМРис. 2 Геодезический четырехугольник

В геодезическом четырехугольнике измерены 8 горизонтальных углов (рис. 2 и табл. 5). Пункты A и B исходные, а пункты C и D определяемые. В геодезическом треугольнике требуется выполнить: уравнительные вычисления измеренных углов в геодезическом четырехугольнике коррелатным способом; провести оценку точности угловых измерений по результатам уравнивания; произвести оценку точности стороны AD.
Исходные данные:
№ угла Измеренный угол
1 48 QUOTE 03’40,4”
2 45 QUOTE 22’48,5”
3 42 QUOTE 27’07,2”
4 44 QUOTE 06’21,3”
5 49 QUOTE 26’16,1”
6 44 QUOTE 00’05,6”
7 40 QUOTE 30’26,2”
8 46 QUOTE 03’03,9”
Ход решения:
Перед математической обработкой геодезических измерении необходимо выполнить расчет числа независимых условных уравнений поправок r в геодезической сети, которое будет равно разнице между числом всех измерений n и числом необходимых измерений k.r = n – k
Геодезический четырехугольник является замкнутой фигурой сети, тогда возникает условие фигур. При данном условии необходимо выполнить требование, чтобы сумма измеренных углов при всех вершинах фигуры после уравнивания была равна геометрической сумме углов данной фигуры
При условии фигур, в геодезическом четырехугольнике возникает несколько совместно зависимых уравнений:
(16)
Их зависимость выражена следующим образом:

Нужно выбрать максимальное число независимых условных уравнений, где нельзя было бы выразить одно уравнение как линейную комбинацию других. Однако любые три комбинации уравнений независимы:

Таким образом, для геодезического четырехугольника достаточно иметь любые три уравнения фигуры.
Условия полюса возникают, когда в замкнутой фигуре треугольников, имеющих общую вершину (полюс), отношение связующих сторон треугольников было равно единице. В нашем примере, имеются по два треугольника, имеющих одну вершину и пересеченных диагональю четырехугольника, то в этом случае условие полюса называется боковым условием.
Учитывая, что у четырехугольника имеется четыре вершины (полюса) и точка пересечения диагоналей, то возникает пять уравнений полюса. Составим для каждого полюса соответствующее уравнение:
(17)
Из уравнения полюса получаем справедливое равенство , из которого выразим каждую из функций:
(18)
Отсюда имеем одно независимое уравнение полюса из пяти приведенных выражений (17).
Таким образом, числа независимых условных уравнений поправок r равно 4 (три уравнения фигуры и одно уравнение полюса).
k = n – r = 8 – 4 = 4
Величину r еще называют числом избыточных измерений.
Составление условных уравнений поправок и нахождение невязок
В геодезическом четырехугольнике рассмотрим три треугольника ABC, BCD, CDA. Как известно, сумма углов в плоском треугольнике равна 180°, следовательно, сумма измеренных углов в данном треугольнике будет отклоняться от 180°. Величина отклонения называется невязкой треугольника. Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Следовательно:
(19)
Затем составим условные уравнения поправок:
(20)
Далее, в нашем случае, запишем условное уравнение полюса, например для т. А:
(21)
Прологарифмируем обе стороны выражения (21) для приведения уравнения полюса к линейному виду:

Уравнение полюса преобразуем в уравнение поправок:
(22)
где I – изменение lg sin при измерении угла на 1 секунду.
Выражения (20) и (21) являются независимыми условными уравнениями.
Теория. Вывод условных уравнений поправок. Как указывалось, задачу нахождения минимума функции независимых уравнений [vv]=min решают способом Лагранжа, вводя вспомогательные множители независимых условных уравнений.
(23)
где n – число измерений, r – число избыточных измерений (число независимых условных уравнений).
Как видно, из системы уравнений (23) в правой части стоят нули, но для величин Xi получены результаты измерений x1,…, xn. Так как значения xi отягощены ошибками измерений, и при подстановке их в левые части условных уравнений (23), то в правых их частях получаются не нули, а невязки W.
Следовательно, уравнения (23) примут вид:
(24)
Чтобы невязки были равны нулю, необходимо их устранить за счет поправок v. В результате получаем:
(25)
Поскольку задачу на словный экстремум решают по правилам Лагранжа при помощи неопределенных множителей условных уравнений, тогда введем функцию Ф, зависящую от измеренных значений xn и неопределенных множителей . В результате получаем:
(26)
Искомые значения поправок v должны удовлетворять равенствам вида:
(i = 1, 2, …, n)
(j = 1, 2, …, r) (27)
Далее составим систему уравнений:

В результате получаем суммы n + r уравнений и n(v)+r() неизвестных.
Если условные уравнения будут иметь нелинейный вид, то задача станет практически неразрешимой. Для этого, пренебрегая нелинейными членами разложения функций в ряд Тейлора, можно выражения (25) записать следующим образом:

(28)
и учитывая равенства (27), получим:
(j = 1, 2, …, r)(29)
Это равенство (29) называют условным уравнением поправок.
В случае если переменная v связаны между собой уравнениями (29) и подставим их вместо функции в выражения (26). для удобства вычислений множители Лагранжа обозначим так: . Множители k1, k2, …, kr - коррелаты.

Далее возьмем частные производные по аргументам vi и приравняем их нулю, получим:

откуда общий вид уравнения поправок равноточных измерений:

где - коэффициенты условных уравнений поправок, - неопределенные множители (коррелаты). При соблюдении условия [vv]=min, получим уравнения коррелат.
Составление весовой функции для оцениваемой стороны AD геодезического четырехугольника
Для оценки точности уравненных величин составляют уравненную функцию. Это математическое выражение оцениваемой величины (коррелаты, отметки и т. д.) в виде функции уравненных результатов измерений. Общий вид весовой функции:

(31)
Весовую функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора:

Обозначают:
- постоянная (не вычисляется);
- коэффициенты функций.
Весовая функция в линейном виде:
(32)
По условиям задания стороны четырехугольника соответственно: AB является жесткой стороной, а AD – оцениваемой. Рассмотрим треугольник ABD, для которого воспользуемся теоремой синусов для составления весовой функции, связывающего две стороны. Таким образом:
(33)
Нелинейные условные уравнения приводят к линейному виду, для чего выражение (25) логарифмируют. В результате получаем:
(34)
Возьмем частные производные по аргументам , значения которых запишем в таблицу 7 (столбец Fi).
Коэффициенты весовой функции равны:

Вычисление коэффициентов уравнения фигур
Для вычисления коэффициентов уравнения фигур необходимо взять частные производные выражений (20) по аргументам . После чего получаем:
для 1-го уравнения:
для 2-го уравнения:
для 3-го уравнения:
Значения коэффициентов уравнения фигур записывают в таблицу 7 (столбцы ai, bi, ci).
Вычисление коэффициентов полюсного уравнения и его невязки W4
Таблица 6
Вычисление невязки полюсного уравнения
Углы Значение Углы Значение
4 44º06'21,3'' 9,8426011 21,70 2+3 87º49'55,7'' 9,99968906 0,80
6+7 84º30'31,8'' 9,9980024 2,02 5 49º26'16,1'' 9,8806424 18,00
2 45º22'48,5'' 9,8523474 20,76 7 40º30'26,2'' 9,8126090 24,65
[ ]   29,6929509 [ ]   29,6929586  
Величина рассчитывается по формуле:
= (35)
Невязка уравнения полюса вычисляется как разница между суммами правым и левым столбцом таблицы 6.

Вычисление коэффициентов уравнения полюса:

Таблица 7
Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок
№ угла Сумма S`
1 1 0 0 0,00 0,00 1,00
2 1 0 0 -2,00 2,08 1,08
3 1 1 0 0,08 0,00 2,08
4 1 1 0 -2,17 0,00 -0,17
5 0 1 1 1,80 0,00 3,80
6 0 1 1 -0,20 0,00 1,80
7 0 0 1 2,26 -2,46 0,80
8 0 0 1 0,00 0,00 1,00
[ ] 4 4 4 0,00 0,00 1,00
Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат Поскольку полученная система из четырех линейных уравнений не решаема, преобразуем ее на основе способа наименьших квадратов ([vv]=min) в четыре нормальных уравнения коррелат:
(36)
Таблица 8
Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелатa] b] c] d] F] S`] Невязка WiS=S`+Wi[a 4 2 0 -4,09 2,08 3,99 -2,60 1,39
[b 2 4 2 -0,49 0,00 7,51 -9,80 -2,29
[c 0 2 4 3,86 -2,46 7,40 -8,20 -0,80
[d -4,09 -0,49 3,86 17,10 -9,72 6,66 -10,39 -3,73
[F 2,08 0,00 -2,46 -9,718 10,38 0,28 0,00 0,28
[S` 3,99 7,51 7,40 6,66 0,28 25,83 Заполненные таблицы 8 осуществляется по данным таблицы 7. Значения величин, выделенные полужирным курсивом и другим типом шрифта, не записываются. В нашем случае, значения величин нужны для контрольных вычислений.
Решение нормальных уравнений коррелат. Решение нормальных уравнений коррелат было выполнено по схеме Гаусса, ход которого приведен в таблице 9.
Значения коррелат определены, начиная с 4-го коэффициента, по формулам (37). Значения дробных соотношений берутся из таблицы 9.
(37)
Таблица 9
Решение нормальных уравнений коррелат по схеме Гаусса
№ Уравнения К1К2К3 К4F W S Контроль
1 N1 4 2 0 -4,09 2,08 -2,60 1,39  
2 E1 -1 -0,500 0,000 1,022 -0,519 0,650 -0,348 -0,348
3 N2   4 2 -0,49 0,00 -9,80 -2,29  
4 (1)   -1 0 2,04 -1,038 1,2995 -0,70  
5 a(3+4)   3,000 2,000 1,551 -1,038 -8,501 -2,988 -2,988
6 E2   -1 -0,667 -0,517 0,346 2,834 0,996  
7 N3     4 3,86 -2,46 -8,20 -0,80  
8 (1)     0 0 0 0 0  
9 (2)     -1,33 -1,034 0,692 5,667 1,992  
10 b(7+8+9)     2,67 2,83 -1,77 -2,53 1,19  
11 E3     -1,0 -1,060 0,665 0,950 -0,4456 -0,4456
12 N4       17,10 -9,72 -10,39 -3,731  
13 (1)       -4,17 2,12 -2,66 1,42  
14 (2)       -0,80 0,54 4,39 1,54  
15 (3)       -3,00 1,88 2,68 -1,26  
16 c(12+…+15)       9,13 -5,18 -5,97 -2,025 -2,025
17 E4       -1 0,568 0,654 0,222 0,222
18 N5         10,38 0 0,28  
19 (1)         -1,077 1,349 -0,721  
20 (2)         -0,359 -2,941 -1,034  
21 (3)         -1,178 -1,683 0,790  
22 (4)         -2,943 -3,390 -1,150  
23 d(18+…+22)         4,826 -6,665 -1,840 -1,840
Вычислением поправок в измеренные углы. Вычисление поправок осуществляется по уравниванию поправок (30) и их значения записывают в табл. 10
Вычисление поправок Таблица 10
v vv
1 0,156 0 0 0 0,156 0,024
2 0,156 0 0 -1,306 -1,150 1,322
3 0,156 2,325 0 0,052 2,532 6,413
4 0,156 2,325 0 -1,420 1,061 1,125
5 0 2,325 0,256 1,178 3,758 14,126
6 0 2,325 0,256 -0,132 2,448 5,995
7 0 0 0,256 1,480 1,736 3,014
8 0 0 0,256 0 0,256 0,066
          32,085
Контроль осуществляется следующими равенствами:
=32,085
Кроме того, правильность вычислений можно проконтролировать, подставляя в условные уравнения соответствующие поправки и свободные члены.
Оценка точности по результатам уравнивания
1) Среднеквадратическая ошибка измерения угла:
=8,02˝
2) Среднеквадратическая ошибка логарифма стороны AD:

30 Относительная ошибка стороны AD:

4) Среднеквадратическая ошибка уравненного угла стороны AD:


Приложенные файлы

  • docx 26677190
    Размер файла: 425 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий