Точка, прямая, плоскость

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
(МИИТ)
_________________________________________________________________
Кафедра автоматизированного проектирования и
графического моделирования


С.Н. МУРАВЬЁВ, В.Ф. СТУДЕНТОВА, Н.А. ЧВАНОВА










ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ







Методические указания к выполнению работы
по начертательной геометрии

для студентов всех институтов университета,
кроме ИПСС










МОСКВА – 2005
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
(МИИТ)
_________________________________________________________________
Кафедра автоматизированного проектирования и
графического моделирования


С.Н. МУРАВЬЁВ, В.Ф. СТУДЕНТОВА, Н.А. ЧВАНОВА

Утверждено
редакционно-издательским
советом университета






ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ







Методические указания к выполнению работы
по начертательной геометрии

для студентов всех институтов университета,
кроме ИПСС










МОСКВА – 2005


УДК 744
М 91
Муравьёв С.Н., Студентова В.Ф., Чванова Н.А. Точка, прямая, плоскость: Методические указания к выполнению работы по начертательной геометрии. – М.: МИИТ, 2005. – 29 с.: ил.

Предлагаемые методические указания содержат сжатое изложение основных понятий и определений, которые необходимо знать студентам при выполнении раздела «Точка, прямая, плоскость» домашнего задания по начертательной геометрии.
Объём собранного материала поможет студентам самостоятельно выполнить один из 70 вариантов домашнего задания. Причём, варианты с 1 по 32 разработаны для студентов механических специальностей и имеющих большее количество аудиторных занятий, а варианты с 33 по 70 – для студентов с меньшим объёмом академических часов по сетке расписания.
Издание предназначено для студентов всех институтов университета, кроме ИПСС.
Ил. 19, табл. 1, библиогр. – 2 назв.

















© Московский государственный
университет путей сообщения
(МИИТ), 2005

3

ОГЛАВЛЕНИЕ


Стр.

ВВЕДЕНИЕ .. 4
1. ОФОРМЛЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ
РАБОТЫ .................................................................. 4
2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ........................... 5
3. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ ПО ЗАДАННЫМ
УСЛОВИЯМ (ЗАДАЧА №1) .......... 6
4. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ
ПЛОСКОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ВИДИМОСТИ (ЗАДАЧА №2) .................................. 9
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
(ЗАДАЧА №3) .................................................. 16
6. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........ 28


















4

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам для выполнения домашнего задания по теме «Точка, прямая, плоскость».
Работа выполняется на основе теоретических положений, рассмотренных в курсе начертательной геометрии и инженерной графики, и по своему характеру требует чёткого оформления и соблюдения требований, предъявляемых Единой системой конструкторской документации (ЕСКД) в части расположения проекций, структуры линий и формы надписей.
Заданием на указанную работу служит один из 70 вариантов предлагаемого пособия.
Каждый вариант содержит три задачи по основному разделу курса «Точка, прямая, плоскость».

1. ОФОРМЛЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Работа выполняется студентами самостоятельно в порядке внеакадемических часов. Вопросы, возникающие в процессе выполнения работы, следует выяснять у преподавателей в часы групповых занятий или в часы консультаций.
Домашняя работа должна быть выполнена на листе формата А3 (297(420 мм) с применением как простых, так и цветных карандашей (см. образец выполнения работы). Цветными карандашами выполняются вспомогательные элементы чертежа. Результат решения задачи рекомендуется выделить сплошной толстой основной линией красного цвета. Линии проекционной связи – простым карандашом, толщина такой линии (1/3 от толщины сплошной основной линии.
Работу рекомендуется выполнять в следующей последовательности:
а) лист формата А3 расположить горизонтально и тонкой вертикальной линией разделить приблизительно пополам. В правом нижнем углу листа расположить над рамкой основную надпись (заполнить её стандартным шрифтом №5 или 7 см. рис. 6.2, б), а рядом с ней поместить таблицу координат по номеру индивидуального задания (см. табл. №6.1; рис. 6.2 а,);
б) в левой части листа по заданным координатам построить проекции точек A и прямой KL (эпюр строить в системе двух плоскостей проекций). Проекции точек отметить кружками (( 1(1,5 мм), а буквенные обозначения писать заглавными (прописными) буквами чертёжным шрифтом №3,5 или 5, так чтобы линии проекционной связи их не пересекали;
5

в) в правой половине листа над штампом построить в системе двух плоскостей проекции точек (QEF и MNR), задающих плоскости ( и
·.
Необходимо напомнить, что в данном курсе начертательной геометрии используется так называемая левая система координат, при которой положительное значение оси X направлено влево от начала координат.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа включает в себя метрические, позиционные и некоторые конструктивные задачи, связанные с построением проекций геометрических фигур, отвечающих заданным условиям. Каждому студенту предлагается выполнить следующие три задачи:
Задача 1. Построить проекции плоской фигуры по заданным условиям.
Задача 2. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей и определить их относительную видимость.
Задача 3. Определить расстояние от точки P до плоскости, заданной точкой A и прямой KL (до плоскости фигуры, построенной в задаче №1).
Следует обратить особое внимание на то, что вид плоской фигуры, которую необходимо построить при решении задачи №1, зависит от номера варианта. Так для вариантов с 1 по 8 следует строить параллелограмм; в вариантах с 9 по 16 – квадрат; с 17 по 24 вариант – равнобочную трапецию; с 25 варианта по 32 – ромб (см. условия с I по IV задачи №1, приведённые ниже), а для студентов немеханических специальностей следует строить треугольник (см. условие V задачи №1).
Студентам рекомендуется решение первой задачи по одному из пяти приведённых ниже условий(:
I. Построить проекции параллелограмма ABCD, если диагональ AC перпендикулярна прямой KL, а сторона DC принадлежит прямой KL и равна AC (варианты заданий 1(8).
II. Построить проекции квадрата ABCD, если его диагональ BD принадлежит прямой KL (варианты заданий 9(16).
III. Построить проекции равнобочной трапеции ABCD, высота которой равна меньшему основанию, а большее основание DC принадлежит прямой KL и равно 3
·AB
·(варианты заданий 17(24).
IV. Построить проекции ромба ABCD, диагональ BD которого принадлежит прямой KL, а отношение диагоналей AC: BD=1:2 (варианты зада-
6

ний 25(32).
V. Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL (варианты заданий 33(70).
Для всех условий задачи исходными данными являются точка A и прямая KL.

3. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ ПО ЗАДАННЫМ
УСЛОВИЯМ (ЗАДАЧА №1)

При решении первой задачи студентам необходимо уметь:
а) строить проекции точки по её координатам.
На оси абсцисс (рис. 3.1) от начала координат – точки О откладывают отрезок, равный XA. Затем, через полученную точку AX проводят перпендикулярно к оси ОХ ли-нию связи, на которой откладывают отрез-ки, равные YA и ZA.
Построение проекций прямой KL вы-полняют по двум её точкам K и L. Проек-ции точек K и L строят аналогично постро-ению точки А (см. рис. 3.1);
б) анализировать положение прямой KL относительно плоскостей проекций.
Сравнивая на эпюре одноимённые проекции точек K и L, заметим, что прямая KL – прямая частного положения. В слу-чае, если ZK=ZL, прямая KL – горизонталь-ная, то есть прямая, параллельная плоскос-ти П1, а если YK=YL, то прямая KL – фронтальная, то есть прямая, параллельная плоскости П2. Для всех условий первой задачи через точку А проходит диагональ, высота или сторона плоской фигуры – то есть линия, перпендикулярная прямой KL. Следовательно, расстояние от точки А до прямой KL является исходной величиной для построения проекций плоской фигуры;
На рис. 3.2 и 3.3 показаны примеры определения расстояния от точки A до прямой KL. Эпюрное решение таких задач требует выполнения следующих действий:
1. Построим проекции перпендикуляра t к прямой KL. На основании теоремы о проецировании прямого угла, в случае, если прямая KL параллельна плоскости П1, решение задачи начинаем с построения горизонталь-
7

ной проекции перпендикуляра (t1 ( K1L1) рис. 3.2 и (t2 ( K2L2) – в случае, если прямая KL параллельна плоскости П2 (рис. 3.3).

2. В том месте, где пересекается построенная проекция перпендикуляра с одноимённой проекцией прямой KL, отмечаем точку T, а далее по линии проекционной связи определяем её недостающие (на рис. 3.2 – фронтальную, а на рис. 3.3 – горизонтальную) проекции.
3. Соединяя одноимённые проекции точек A и T, получаем проекции искомого перпендикуляра AT.
Анализируя положение пря-мой AT в пространстве (см. рис. 3.2 и 3.3), приходим к выводу, что прямая AT занимает в пространстве общее положение, так как ни одна из по-строенных проекций перпендикуляра t не занимает частного положения по отношению к оси OX. Это означает, что следующим этапом решения за-дачи по определению расстояния от точки А до прямой KL должно быть «определение длины отрезка AT, перпендикулярного прямой KL». Прежде чем перейти к определению длины отрезка прямой AT, напом-ним, что его можно найти способом прямоугольного треугольника AA(T (рис. 3.4), в котором катет
·TA(
·=
·A1T1
·, так как TA(
·
·П1, а катет
·AA(
· равен (Z – разности рас-
8

стояний точек A и T от плоскости П1. Если вместо плоскости П1 взять плоскость П2, то длину отрезка
·AT
· на фронтальной плоскости проекций можно определить, построив прямоугольный треугольник, одним из катетов которого будет фронтальная проекция A2T2 отрезка AT, а другим катетом – разность удалений концов отрезка AT от фронтальной плоскости проекций. Эта разность на рис. 3.5, б представлена величиной (Y=YA – YT.
Примеры определения длины отрезка AT показаны на фронтальной (рис. 3.5, б) и горизонтальной (рис. 3.5, а) плоскостях проекций.
В условиях к задаче №1 длина перпендикуляра
·AT
· принимается равной какой-нибудь стороне плоской фигуры или равной половине длины диагонали. Следовательно, длину отрезка
·AT
· можно откладывать только на той проекции прямой KL, на которой прямая KL отображается в натуральную величину. Это построение позволит на проекции прямой KL найти проекцию одной из вершин плоской фигуры.
На рис. 3.6 показан пример построения проекций прямоугольника ABCD, с соотношением сторон AD/AB=1/2, при условии, что сторона DC принадлежит прямой KL. Вершина А и прямая KL заданы. Для решения задачи из точки А проводят перпендикуляр к прямой KL (см. рис. 3.2). Так как заданная прямая KL параллельна фронтальной плоскости проекций, то решение задачи начинают с построения фронтальной проекции A2D2 перпендикуляра AD. По линии проекционной связи находят горизонтальную проекцию D1 основания перпендикуляра AD. Соединяя одноимённые проекции точек A и D, строят фронтальную A2D2 и горизонтальную A1D1 проекции перпендикуляра AD. Так как прямая AD – прямая общего положения, то длину отрезка
·AD
· определяют способом прямоугольного треугольника (см. рис. 3.4 и 3.5).
9

Теперь, зная из условия, что большая сторона DC при-надлежит фронтальной прямой KL и вдвое больше стороны AD, то дважды откладывая длину отрезка
·AD
· так, что-бы точка C была внутри отрез-ка KL, получим фронтальную проекцию C2 точки C. По ли-нии проекционной связи и с учётом того, что точка C при-надлежит прямой KL, опреде-ляем горизонтальную проек-цию C1 точки C (С1(K1L1). Да-лее, исходя из свойств параллельного проецирования и свойств прямоугольника, строим фронтальную B2, а затем горизонтальную B1 проекции точки B.
Напомним, что если в задан-ной плоской фигуре AD и BC параллельны, то A1D1
·
·B1C1, A2D2
·
·B2C2; AB и DC параллельны, если A1B1
·
·D1C1, A2B2
·
·D2C2.
Последовательно соединив од-ноимённые проекции точек A, B, C и D, получим проекции искомой плос-кой фигуры, а именно прямоугольни-ка по заданным условиям. На рис. 3.7 показано построение проекций квад-рата, при условии, что сторона BC квадрата принадлежит прямой KL, которая расположена параллельно плоскости П1.

4. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ВИДИМОСТИ (ЗАДАЧА №2)

Известно, что для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо определить либо две точки, общие для этих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения. Рассмотрим частные случаи пересечения плоскостей.
10

Пример 4.1. Построить линию пересечения TR плоскостей
· (a
·b) и
· (
· ( П1);
·
·
· = TR (рис. 4.1).
Так как плоскость
· – плоскость проециру-ющая, то горизонтальная проекция линии пересе-чения T1R1 совпадает с вырожденной горизонталь-ной проекцией плоскости
·, то есть T1R1 совпадает со следом
·1(
·1
·T1R1). Следовательно, чтобы опре-делить точки, общие для двух плоскостей, необхо-димо найти точки пересечения следа
·1 с горизон-тальными проекциями a1 и b1 прямых a и b, задаю-щих плоскость
·;
·1
·a1=()T1,
·1
·b1=()R1. Далее, по линиям проекционной связи строим фронталь-ные проекции T2 и R2 точек T и R, принадлежа-щих, соответственно прямым a2 и b2. Соединив од-ноимённые проекции точек T2 и R2, получаем фро-нтальную проекцию T2R2 линии пересечения TR двух заданных плоскостей,
·
·
· = TR.
Пример 4.2. Построить линию пересечения t плоскости
· (AC
·AB) и плоскости
· (
·
·
·П1);
·
·
· = t (рис. 4.2).
Анализ чертежа показывает, что пря-мая AB занимает частное положение, то есть является горизонталью плоскости
·, (AB
·
·П1). Так как заданная плоскость
· также занимает положение, параллельное плоскости П1, то линия t – линия пересече-ния заданных плоскостей должна быть параллельна горизонтали AB заданной плоскости
· и проходить через общую то-чку 1.
Нахождение этой точки не вызывает затруднений, так как плоскость
·, являясь плоскостью частного положения, задана вы-рожденной фронтальной проекцией, то есть следом
·2. Следовательно, фронтальная проекция 12 общей точки 1, принадлежащая заданной плоскости
· и плоскости
·, будет определяться как точка пересечения следа
·2 с фронтальной проекцией A2C2 прямой AC,
·2
· A2С2 = ()12.
Горизонтальная проекция 11 точки 1 принадлежит горизонтальной проекции A1С1 прямой AC. Горизонтальная проекция t1 линии пересечения пройдёт через горизонтальную проекцию 11 точки 1 и должна быть параллельна горизонтальной проекции A1B1 прямой AB, (t1
·
·A1B1).
Пример 4.3. Построить линию пересечения двух плоскостей обще-
11

го положения.
Пусть в пространстве за-даны две плоскости общего по-ложения
· и
· (рис. 4.3). Для определения общих точек, при-надлежащих линии пересече-ния, необходимо заданные пло-скости пересечь двумя вспомо-гательными плоскостями-по-средниками частного положе-ния.
В качестве таких плос-костей целесообразно взять плоскости проецирующие, или плоскости уровня. На рис. 4.3 первая вспомогательная плоскость уровня
· пересекает каждую из данных плоскостей по горизонталям 1-2 и 3-4, которые, взаимно пересекаясь, определяют точку T, общую для плоскостей
· и
·, а значит принадлежащую линии их пересечения.
Пересекая заданные плоскости
· и
· второй вспомогательной плоскостью
·, расположенной так же параллельно плоскости П1, получим ещё одну точку R, общую для плоскостей
· и
·. Эта точка определяется пересечением горизонталей 5-6 и 7-8, по которым вспомогательная плоскость
· пересекает каждую из данных плоскостей. Соединив точки T и R, получим искомую линию пересечения TR =
·
·
·.
Описанный метод использован для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения, первая из которых
· задана двумя пересекающимися прямыми a и b, а вторая
· – треугольником ABC;
·(a
· b)
·
·(ABC)=TR.
При решении задачи используем в качестве вспомогательных секущих плоскостей плоскости, занимающие ча-стное положение в пространстве, а именно горизонтальные плоскости уро-вня. Так, с помощью вспомогательной плоскости
· найдена точка T, в которой пересекаются горизонтали 1-2 и 3-4.
Некоторых упрощений на эпюре можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Так, в рассматриваемом примере целе-
12

сообразно провести вторую секущую плоскость
· (
·
·
·П1) через сторону AB, которая является горизонталью плоскости
·. С помощью плоскости
· определена вторая точка R линии пересечения. Eё горизонтальная проекция R1 найдена на пересечении горизонтальной проекции 51-61 линии 5-6 и горизонтальной проекции A1B1 линии AB.
Соединяя одноимённые проекции найденных точек T и R, получим проекции искомой линии пересечения заданных плоскостей
·
·
· = TR.
Необходимо обратить внимание студентов на то, что если вспомогательные плоскости параллельны между собой, то есть
·
·
·
·, то одноимённые проекции линий пересечения заданных плоскостей и вспомогательных должны быть соответственно параллельны, то есть 11-21
·
·51-61, а 31-41
·
·A1B1.
Пример 4.4. Построить линию пересечения двух треугольников и указать их относительную видимость.
На эпюре (рис. 4.5) заданы две плоскости общего положения
·(QEF) и
·(MNR). Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи проецирующие плоскости-посредники. Причём, проецирующие плоскости целесообразно проводить через стороны любого из треугольников. Этот приём ве-дёт к упрощению графическо-го решения задачи на эпюре.
Чтобы выявить через какую из сторон рациональ-нее проводить эти плоскости, необходимо по эпюру опреде-лить, какие стороны одного треугольника пересекают плоскость другого треуголь-ника, а точки пересечения не выходят за контуры ни одного из треугольников. Эпюрным признаком существования та-кой точки, например, для стороны QF и плоскости тре-угольника MNR, является из-менение её видимости в ок-рестностях двух пар конкурирующих точек 7-8 и 5-6 (см. рис. 4.5).
Перечислив стороны двух треугольников (QE, QF, EF и MR, MN, NR), следует исключить из этого списка стороны, которые имеют хотя бы
13

одну свою проекцию, лежащую в стороне от контуров другого треугольника, поскольку эти стороны не меняют своей видимости. На рис. 4.5 видно, что проекции сторон E2F2 и M2R2 лежат вне контуров треугольников. Следовательно, их точки пересечения находятся вне заданных треугольников, а сами стороны (EF и MR) необходимо исключить из списка сторон, через которые целесообразно проводить плоскости-посредники. Далее, из четырёх оставшихся (MN, NR, QE, QF) сторон надо выбрать две, через которые целесообразно проводить плоскости посредники.
Для этого выполним анализ видимости сторон одного треугольника относительно плоскости другого. Для определения видимости стороны QF относительно плоскости треугольника MNR, выделим на QF и MN конкурирующие точки 7 и 8 (рис. 4.5). Если смотреть на QF и MN спереди (по направлению стрелки S), то из двух точек 7 и 8, видна будет ()8, удаление которой от плоскости П2 больше, так как Y8>Y7. Точка 8 принадлежит стороне QF, следовательно, на плоскости П2 сторона QF окажется видимой в окрестности этой пары точек, а MN – невидимой. Обозначим эту сторону на П2 видимым штрихом (рис. 4.5).
Аналогично определяется видимость сторон QF и NR в окрестности второй пары конкурирующих точек 5 и 6. Из рис. 4.5 видно, что точка 6 на плоскости П2 будет видимой (Y6>Y5), а следовательно, и сторона QF, которой принадлежит точка 5 будет невидимой. Выполненный таким образом анализ показывает, что в окрестности точек 6 и 5 сторона QF поменяла свою видимость (на рис. 4.5 этот факт зафиксирован невидимым штрихом). Это значит, что сторона QF пересекает плоскость треугольника MNR в пределах его контура, а потому первую плоскость-посредник
· следует проводить через сторону QF.
На рис. 4.5 сторона QE между парами точек 3,4 и 1,2 не меняет своей видимости, поэтому сторону QE можно исключить из списка претендентов на заключение в плоскость-посредник. Так же из рис. 4.5 следует, что сторона NR между парами точек 5,6 и 1,2 меняет свою видимость и это позволяет провести через сторону NR вторую вспомогательную плоскость-посредник
·.
Следует отметить, что плоскости-посредники можно задавать как через стороны одного треугольника, так и через стороны другого. Возможно использование двух горизонтально-проецирующих или двух фронтально-проецирующих плоскостей, либо одну плоскость-посредник брать перпендикулярно плоскости П1, а вторую – перпендикулярно плоскости П2.
Так, при решении данного примера (см. рис. 4.6) точка L линии пересечения определена с помощью посредника – фронтально-проецирующей плоскости
·, проведённой через сторону NR треугольника MNR. Плоскость
14


· пересекает плоскость треугольника QEF по прямой 1-5, а плоскость треугольника MNR по стороне NR, через которую плоскость
· проходит и, следовательно, NR строить не надо.
Покажем построение прямой (1-5). Точки 1 и 5 опре-делятся, как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскос-тью
·. Их фронтальные проек-ции 12 и 52 строятся как точки пересечения
·2 с Q2E2 и Q2F2, то есть ()12=
·2
·Q2E2, а ()52=
·2
·Q2F2. Горизонтальные проекции 11 и 51 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях Q1E1 и Q1F1.
Построенная прямая (1-5) и сторона NR треугольника MNR, как прямые, лежащие в плоскости посредника
·, пере-секутся между собой в точке L, принадлежащей линии пересе-чения (L1=(11-21)
·N1R1), а L2 находится по линии связи на прямой N2R2. Аналогично, заключая сторону QF в горизонтально-проецирующую плоскость
·(
·1
·Q1F1), определяется точка L(.
Точки L и L( являются точками пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого, то есть линия LL( есть линия пересечения заданных плоскостей
·
·
·=LL(.
Заметим, что точки L и L(, могут быть определены и как точки пересечения прямых NR и QF, соответственно, с плоскостями треугольников QEF и MNR, для чего необходимо реализовать следующий алгоритм. Например, для определения точки L=NR
·QEF: 1) NR(
· (
· ( П2,
·2
·N2R2); 2)
·
·
·=(1-5); 3) NR
·(1-5)= ()L.
Для определения относительной видимости заданных треугольников после построения линии их пересечения, достаточно установить расположение одной из сторон треугольника относительно скрещивающейся с ней стороной другого треугольника, другими словами, вопрос об относитель-
15

ной видимости плоскостей сводится к установлению видимости двух скрещивающихся прямых. Видимость на каждой проекции определяется отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых относительно плоскостей проекций.
Так, для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 4.6 и 4.7) проведён перпендикулярно к плоскости П2 через две конкурирующие относительно П2 точки скрещивающихся прямых QE и NR, то есть, соответственно, через точки 1 и 2. Так как по направлению луча 13 EMBED Equation.3 1415 сначала встретим точку 1, принадлежащую прямой QE (Y1>Y2), то на фронтальной плоскости проекций прямая QE будет видима, а прямая NR на участке от точки 22 до точки L2 – невидима.
Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения 13 EMBED Equation.3 1415 следует провести перпендикулярно к плоскости П1 через две конкурирующие относительно П1 точки скрещивающихся прямых (например, луч13 EMBED Equation.3 1415, проходящий через точки 10 и 11, соответственно, принадлежащие прямым MR и QF, см. рис. 4.6). Анализ показывает, что горизонтальная проекция Q1F1 видима до точки 13 EMBED Equation.3 1415, так как луч 13 EMBED Equation.3 1415 на фронтальной проекции сначала встретит фронтальную проекцию 112 точки 11 (Z11>Z10), принадлежащей прямой QF, а затем фронтальную проекцию 102 точки 10, принадлежащей прямой MR. (Для большей наглядности одну из заданных плоскостей рекомендуется заштриховать).
16

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (ЗАДАЧА №3)

Рассмотрим алгоритм решения задачи №3.
1. Из заданной точки P провести перпендикуляр t к плоскости
· (плоскость
· – плоскость фигуры, построенной в задаче №1); (·)P(t; t (
· (см. пример 5.1).
2. Определить точку пересечения (точку T) перпендикуляра с плоскостью
·; t
·
· = (·) T (см. пример 5.2).
3. Определить натуральную величину
·PT
· расстояния от точки P до плоскости (см. пример 5.3).
Рассмотрим более подробно каждый пункт приведённого выше алгоритма на следующих примерах.
Пример 5.1. Из точки P провести перпендикуляр t к плоскости
·, заданной тремя точками
· (ABC), (рис. 5.1).
Из теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости известно, что если прямая t (
·, то на эпюре её горизонтальная проекция t1 перпендикулярна одноимённой проекции горизонтали плоскости, то есть t1 ( h1, а её фронтальная проекция t2 перпендикулярна одноимённой проекции фронтали, то есть t2 ( f2. Поэтому решение задачи необходимо начать с построения горизонтали и фро-нтали плоскости
·, если они не входят в заданную плоскость. При этом необхо-димо помнить, что построение любой горизонтали надо начинать с фронтальной проекции, так как фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси ОХ (h2
·
·OX). А построение любой фронтали начинают с горизонтальной проекции f1 фронтали f, которая должна быть параллельна оси ОХ (f1
·
·OX ). Так, на рис. 5.1 через точку C проведена горизонталь C-1 (С2-12; С1-11), а через точку A проведена фронталь A-2 (A1-21; A2-22). Фронтальная проекция t2 искомого перпендикуляра t проходит через точку P2 перпендикулярно к A2-22, а горизонтальная t1 – через точку P1 перпендикулярно к C1-11.
Пример 5.2. Определить точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью
· (то есть определить основание перпендикуляра).

17

Пусть плоскость
· задана двумя пересе-кающимися прямыми
· (h
· f). Прямая t пер-пендикулярна плоскости
·, так как t1 ( f1, а
t2 ( f2. Для того чтобы найти основание пер-пендикуляра, необходимо осуществить следующие построения:
1. t(( (( – вспомогательная проецирую-щая плоскость). Если ( – горизонтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная гори-зонтальная проекция (горизонтальный след (1) совпадает с горизонтальной проекцией t1 пря-мой t, то есть (1
·t1. Если ( – фронтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная фро-нтальная проекция (фронтальный след (2) сов-падает с фронтальной проекцией t2 прямой t, то есть (2
· t2. В данном примере использована фронтально-проецирующая плоскость (см. рис. 5.2).
2.
·
· ( = 1-2 – линия пересечения двух плоскостей;
3. определяем точку T – основание перпендикуляра; (·)T= t
· 1-2.
Пример 5.3. Определить расстояние от точки P до плоскости.
Расстояние от точки P до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра PT. Прямая PT в пространстве занимает общее положение, поэтому порядок определения натуральной величины отрезка см. на стр. 7, 8 (рис. 3.4 и 3.5).
Эпюрное решение задачи №3 по определению расстояния от точки P до плоской фигуры, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям*, приведено на рис. 5.3. Следует напомнить, что проекции точки P должны быть построены по заданным координатам (см. вариант своего задания).








18


19

6. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Условия задач и координаты точек приведены в таблице 6.1.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 1(8

Таблица 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

1
X
70
165
80
43
140
90
10
160
50
20


Y
70
90
18
90
30
10
105
90
15
75


Z
70
15
15
13
0
110
20
40
0
90

2
X
90
150
10
57
135
0
70
8
45
145


Y

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
160
10
163
78
15


Y
35
55
115
20
85
19
23
57
11
86


Z
80
40
40
10
80
22
20
25
97
57

8
X
105
10
150
60
147
53
10
0
135
120


Y
45
90
90
15
20
110
30
62
74
12


Z
85
85
0
35
42
97
5
62
82
0


Условие 1-ой задачи: Построить проекции параллелограмма ABCD, если диагональ AC перпендикулярна прямой KL, а сторона DC принадлежит прямой KL и равна AC.

20

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 9(16

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

9
X
105
135
15
90
147
85
12
35
138
64


Y
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Условие 1-ой задачи: Построить проекции квадрата ABCD, если его диагональ BD принадлежит прямой KL. Вершина A задана.





21

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 17(24

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

17
X
90
160

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобочной трапеции ABCD, высота которой равна меньшему основанию, а большее основание DC принадлежит прямой KL и равно 3
·AB
·. Вершина A задана.





22

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 25(32

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

25
X
95
155
10
40
145
28
0
82
36
125


Y
85
60
60
100
45
14
84
90
0
10


Z
80
10
100
40
47
14
105
18
42
82

26
X
100
175
0
130
135
16
51
87
0
125


Y
70
5
80
70
68
0
103
10
64
85


Z
30
60
60
85
60
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·4


Z
10
75
0
90
25
100
25
15
80
73

32
X
70
170
0
70
145
92
5
50
10
153


Y
80
90
5
0
33
97
8
5
75
70


Z
85
60
60
100
117
7
60
13
120
108


Условие 1-ой задачи: Построить проекции ромба ABCD, диагональ BD которого принадлежит прямой KL, а отношение диагоналей AC:BD=1:2. Вершина A задана.



23

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 33(42

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

33
X
20
150
35
110
140
90
10
160
50
10


Y
100
10
10
65
65
10
105
90
15
75


Z
70
87
12
5
0
110
2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 43(52

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

43
X
123
150
10
90
20
110
160
150
85
35


Y
20
100
100
30
40
100
10
80
10
80


Z
110
35
5
0
20
20
120
15
105
5

44
X
40
130
10
100
160
20
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 53(62

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

53
X
70
150
10
45
150
60
20
160
15
75


Y
125
10
90
20
0
100
40
50
103
10


Z
85
0
0
85
50
30
100
95
65
10

54
X
0
160
0
90
160
50
97
150
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 63(70

Продолжение табл. 6.1
№ вар.
Коорд.
A
Прямая
P
Плоскость
·
Плоскость
·




K
L

Q
E
F
M
N
R

63
X
70
140
20
45
0
160
110
154
100
15


Y
115
50
50
30
20
90
20
15
100
0


Z
110
100
0
100
45
0
100
80
0
70

64
X
160
150
20
60
80
0
130
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·0
97
10
80
28
115


Y
50
0
0
54
85
15
60
88
25
20


Z
65
0
85
16
5
85
28
70
15
0

70
X
0
10
120
74
125
105
0
135
55
30


Y
20
90
10
75
22
85
40
72
0
85


Z
75
15
15
68
0
80
20
15
85
0


Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана.

Пример выполнения работы №1 приведён на рис. 6.1.
Размеры таблицы координат и штампа показаны на рис. 6.2, а; б.


27



28







СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Начертательная геометрия: Учебн. для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. – изд. 7-е, перераб. и доп., – М.: Высш. шк., 2000. – 224 с.: ил.
2. Чекмарев А.А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов. – 4-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2002. – 365 с.: ил.
29



















Учебно-методическое издание

Сергей Николаевич Муравьёв,
Валентина Фёдоровна Студентова,
Нина Александровна Чванова


ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ


Методические указания к выполнению работы
по начертательной геометрии для студентов
всех институтов университета, кроме ИПСС
______________________________________________________
Формат 60(84 1/16. Изд. № –
Подписано к печати – Заказ № Цена –
Усл. печ. л. – Тираж 1800 экз. ______________________________________________________
127994, Москва, ул. Образцова, 15. Типография МИИТа
( Условия с I по IV предназначены для студентов механических специальностей; условие V – для студентов немеханических специальностей.
* Условие, при котором были построены проекции квадрата, см. на стр. 9, рис. 3.7.

13PAGE 15






14



Приложенные файлы

  • doc 26654529
    Размер файла: 920 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий