Семинар7

Семинар 7. Производная. Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование.
Общее определение производной

Предполагаем, что функция y=f(x) определена на некотором конечном или бесконечном интервале 13 EMBED Equation.3 1415 и непрерывна на этом интервале. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- фиксированная точка на этом интервале. Даем х приращение 13 EMBED Equation.3 1415 такое, что 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда функция y=f(x) получает соответствующее приращение
13 EMBED Equation.3 1415 (1). Составим отношение 13 EMBED Equation.3 1415 (2). Это отношение показывает во сколько раз на данном промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 приращение функции y больше приращения аргумента х.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 в силу непрерывности функции y. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415- множество точек интервала (a,b) для которых имеет смысл предельный переход 13 EMBED Equation.3 1415 (3). Тогда формула 13 EMBED Equation.3 1415 (4). Определяет некоторую функцию y’=f’(x), носящую название производной функции f(x).
Геометрический смысл производной
Для данной функции y=f(x) ее производная y’=f’(x) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
Основные формулы дифференцирования

Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы, причем все используемые значения 13 EMBED Equation.3 1415принадлежат интервалу дифференцирования.
1. Производная постоянной величины равна 0.
2.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.
Пусть y=u+v-w, где u,v,w – дифференцируемые функции от х. Тогда (u+v-w)’=u’+v’-w’
3.Производная произведения двух дифференцируемых функций Вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cu)’=cu’
Следствие 2 Если u,v,w – дифференцируемые функции, то (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’
4.Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 , где 13 EMBED Equation.3 1415
Следствиу 1 Если знаменатель c=const, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Следствие 2 Если числитель с=const, то 13 EMBED Equation.3 1415. При с=1 13 EMBED Equation.3 1415
Таблица формул дифференцирования

№пп
Функция и ее производная

1
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 14
·15

8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 1415

12
13 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 1415

14
13 EMBED Equation.3 1415

15
13 EMBED Equation.3 1415

16
13 EMBED Equation.3 1415

17
13 EMBED Equation.3 1415

18
13 EMBED Equation.3 1415

19
13 EMBED Equation.3 1415

20
13 EMBED Equation.3 1415

21
13 EMBED Equation.3 1415

22
13 EMBED Equation.3 1415




Примеры с решениями
Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Даем х приращение 13 EMBED Equation.3 1415, тогда y получит приращение 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем приращение функции
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415. Найдем предел отношения при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, по определению производной 13 EMBED Equation.3 1415
Исходя из определения производной, найти производную 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Найдем приращение функции
13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу
13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415
и, следовательно
13 EMBED Equation.3 1415. Окончательно 13 EMBED Equation.3 1415
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415. Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415. Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415. Решение 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415. Решение 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415. Решение 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры для самостоятельного решения.
1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производные:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415








13PAGE 15


13PAGE 14415




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 26590868
    Размер файла: 198 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий