Семинар9

Семинар 9. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями

Понятие о логарифмической производной
Рассмотрим сложную функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Производная от логарифмической функции называется логарифмической производной функции.
Пример 13 EMBED Equation.3 1415

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями

Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415 (1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). В общем случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно x. Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это возможно), получим 13 EMBED Equation.3 1415 функция, обратная к функции 13 EMBED Equation.3 1415. Далее, исключая из уравнений (1) параметр t, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 (2). Пользуясь формулой (2) легко найти производную 13 EMBED Equation.3 1415как производную сложной функции. Кроме того, существует правило для нахождения 13 EMBED Equation.3 1415, не требующее исключение параметра t (параметр невозможно исключить).
Теорема
Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - дифференцируемые функции и 13 EMBED Equation.3 1415, то производная этой функции есть 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Примеры с решениями.

Применяя логарифмическую производную вычислить производные следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как y является функцией от х, то lny есть сложная функция х и 13 EMBED Equation.
·3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415откуда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Здесь заданную функцию также полезно предварительно прологарифмировать
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Получаем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Здесь заданную функцию также полезно предварительно прологарифмировать
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, Следовательно

13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцировать функции, заданные параметрическими уравнениями
Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415

Примеры для самостоятельного решения.

Применяя логарифмическую производную вычислить производные следующих функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4.13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцировать функции, заданные параметрическими уравнениями
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 26590867
    Размер файла: 113 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий