Семинар10


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Ñåìèíàð10. Ñîïðÿæåííûåîïåðàòîðû. Êàíîíè÷åñêèéâèäíîðìàëüíîãîîïåðàòîðà. Îïðåäåëåíèå1. Ïóñòü ' : V ! V ëèíåéíûéîïåðàòîð,äåéñòâóþùèéâóíèòàðíîì(èëèåâêëèäîâîì)ïðîñòðàíñòâå V .Îïåðàòîð '  íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê ' ,åñëèäëÿëþáûõ x , y 2 V ( ' ( x ) ; y )=( x ;'  ( y )) : Òåîðåìà1. Äëÿëþáîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ' ñóùåñòâóåòèåäèíñòâåííîåñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèå '  . Òåîðåìà2. Ïóñòü A ìàòðèöàëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ' âíåêîòîðîìáàçèñå ( e 1 ; e 2 ;:::; e n ) è G ìàòðèöà Ãðàìàâåêòîðîâáàçèñà ( e 1 ; e 2 ;:::; e n ) .Òîãäàìàòðèöà B ñîïðÿæåííîãîëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ '  èìååòâèä: âåâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå âóíèòàðíîìïðîñòðàíñòâå B = GA T G � 1 B = GA  G � 1 Îïðåäåëåíèå2. Ïðåîáðàçîâàíèå ' (ìàòðèöà A )íàçûâàåòñÿíîðìàëüíûì,åñëè ''  = '  ' ( AA  = A  A ). Òåîðåìà3. (1) .Åñëè ' íîðìàëüíîåïðåîáðàçîâàíèåè f ( x ) ìíîãî÷ëåí,òî f ( ' ) òàêæåÿâÿëåòñÿíîðìàëüíûìïðåîáðàçîâà- íèåì; (2) .Åñëè v ñîáñòâåííûéâåêòîðíîðìàëüíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ' ññîáñòâåííûì÷èñëîì  ,òî v ñîáñòâåííûé âåêòîð '  ññîáñòâåííûì÷èñëîì  ; (3) Ñîáñòâåííûåâåêòîðûíîðìàëüíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ,îòâå÷àþùèåðàçëè÷íûìñîáñòâåííûì÷èñëàì,îðòîãîíàëü- íû. Òåîðåìà4. (1) Ïóñòü ' íîðìàëüíîåïðåîáðàçîâàíèåóíèòàðíîãîâåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà.Òîãäàñóùåñòâóåòîðòîíîðìèðî- âàííûéáàçèñèçñîáñòâåííûõâåêòîðîâ ' ; (2) Ïóñòü ' íîðìàëüíîåïðåîáðàçîâàíèååâêëèäîâàâåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà.Òîãäàñóùåñòâóåòîðòîíîðìèðîâàí- íûéáàçèñ,âêîòîðîììàòðèöàïðåîáðàçîâàíèÿ ' èìååòêëåòî÷íî-äèàãîíàëüíûéâèä,ãäåêàæäàÿêëåòêàëèáîðàçìåðà 1èâíåéñòîèòâåùåñòâåííîåñîáñòâåííîå÷èñëî ' ,ëèáîðàçìåðà2èâèäà r  cos ( ) sin ( ) � sin ( ) cos ( )  ,ãäå r ( cos ( )  isin ( )) ïàðàêîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõñîáñòâåííûõ÷èñåë ' . ÒåîðåìàÔðåäãîëüìà Ñèñòåìàóðàâåíèé Ax = b ñîâìåñòíàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäëÿëþáîãîðåøåíèÿ îäíîðîäíîéñîïðÿæåííîéñèñòåìû A T y =0 ( A  y =0 )âûïîëíåíî y T b =0 . Çàäà÷è. 11.1. ÄîêàçàòüÒåîðåìó1. 11.2. ÄîêàçàòüÒåîðåìó2. 11.3. ÄîêàçàòüÒåîðåìó3. 11.4. Ïóñòüâíåêîòîðîìáàçèñåñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèåçàäàíîáèëèíåéíîéôîðìîé ( x ; y )= x 1 y 1 +5 x 2 y 2 +6 x 3 y 3 + 2 x 1 y 3 +2 x 3 y 1 +3 x 2 y 3 +3 x 3 y 2 ,àëèíåéíîåïðåîáðàçîâàíèå ' ìàòðèöåé A = 2 4 01 � 2 20 � 1 3 � 20 3 5 : Íàéòèìàòðèöó A  ñîïðÿæåííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ '  âòîìæåáàçèñå. 11.5. Ëèíåéíûéîïåðàòîð ' åâêëèäîâàïðîñòðàíñòâàâáàçèñåèçâåêòîðîâ f 1 =[1 ; 2 ; 1] T , f 2 =[1 ; 1 ; 2] T , f 3 =[1 ; 1 ; 0] T çàäàíìàòðèöåé A = 2 4 113 05 � 1 27 � 3 3 5 : Íàéòèìàòðèöó A  ñîïðÿæåííîãîîïåðàòîðà '  âòîìæåáàçèñå,ñ÷èòàÿ,÷òîêîîðäèíàòûâåêòîðîâáàçèñàäàíûâ íåêîòîðîìÎÍÁ. 11.6. Äîêàçàòüñëåäóþùèåñâîéñòâàîïåðàöèèïåðåõîäàêñîïðÿæåííîìóîïåðàòîðóâóíèòàðíîìïðîñòðàíñòâå: (a) '  = ' ; (b) ( ' + )  = '  +  ; (c) ( ' )  =  '  ; (d) ( a' )  = a'  ; (e) '  ' è ''  ñàìîñîïðÿæåííûåîïåðàòîðû; (f)åñëèîïåðàòîð ' íåâûðîæäåí,òî ( ' � 1 )  =( '  ) � 1 . 11.7. ÑïîìîùüþòåîðåìûÔðåäãîëüìàèññëåäîâàòüðàçðåøèìîñòüñèñòåìûëèíåéíûõóðàâíåíèé Ax = b ,ãäå A = 2 4 10 � 1 211 138 3 5 :

Приложенные файлы

  • pdf 26590800
    Размер файла: 156 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий