Семинар11


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Ñåìèíàð11. Ñàìîñîïðÿæåííûåîïåðàòîðû. Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûéîïåðàòîð ' íàçûâàåòñÿñàìîñîïðÿæåííûì,åñëè ' = '  . Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿñèììåòðè÷íîé(ýðìèòîâîé),åñëè A = A T ( A = A  ). Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿîðòîãîíàëüíîé(óíèòàðíîé),åñëè AA T = E ( AA  = E ). Îïðåäåëåíèå. Ñàìîñîïðÿæåííûéîïåðàòîð ' íàçûâàåòñÿíåîòðèöàòåëüíî(ïîëîæèòåëüíî)îïðåäåëåííûì,åñëè äëÿëþáîãî v 2 V âûïîëíåíî ( ' ( v ) ;v )  0 ( ( ' ( v ) ;v ) � 0 ). Îïðåäåëåíèå. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ' è íàçûâàþòñÿèçîìåòðè÷íûìè,åñëèäëÿëþáûõ u;v 2 V âûïîëíåíî ( ' ( u ) ;' ( v ))= ( ( u ) ; ( v )) . Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü f è g êâàäàðòè÷íûåôîðìû,ïðè÷åì f íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííàÿ.Òîãäàñóùåñòâóåò îáùååíåâûðîæäåííîåïðåîáðàçîâàíèå,ïðèâîäÿùåå f êíîðìàëüíîìó,à g êäèàãîíàëüíîìóâèäó. Çàäà÷è. 11.1. Äîêàçàòü,÷òîëþáîåñàìîñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèåÿâëÿåòñÿíîðìàëüíûì. 11.2. Äîêàçàòü,÷òîåñëè q 1 ;:::;q n îðòîíîðìèðîâàííûéáàçèñ,òîìàòðèöû Q =( q 1 ;:::;q n ) T è Q T îðòîãîíàëüíû (óíèòàðíû). 11.3. Äîêàçàòü,÷òîâñåñîáñòâåííûå÷èñëàñàìîñîïðÿæåííîãîîïåðàòîðàâåùåñòâåííû. 11.4. (1)Äîêàçàòü,÷òîäëÿñàìîñîïðÿæåííîãîîïåðàòîðàâñåãäàñóùåñòâóåòîðòîíîðìèðîâàííàÿáàçàèçñîáñòâåí- íûõâåêòîðîâ;(2)äîêàçàòü,÷òîäëÿñèììåòðè÷íîé(ýðìèòîâîé)ìàòðèöû A ñóùåñòâóåòäèàãîíàëüíàÿìàòðèöà D ñ âåùåñòâåííûìè÷èñëàìèíàãëàâíîéäèàãîíàëèèîðòîãîíàëüíàÿ(óíèòàðíàÿ)ìàòðèöà Q òàêèå,÷òî A = Q T DQ ( A = Q  DQ ). 11.5. Äîêàçàòü,÷òîìàòðèöàñàìîñîïðÿæåííîãîïðåîáðàçîâàíèÿñèììåòðè÷íà(ýðìèòîâà). 11.6. Äîêàçàòü,÷òîñàìîñîïðÿäåííîåïðåîáðàçîâàíèåÿâëÿåòñÿíåîòðèöàòåëüíî(ïîëîæèòåëüíî)îïðåäåëåííûìòîãäà èòîëüêîòîãäà,êîãäàâñååãîñîáñòâåííûå÷èñëàíåîòðèöàòåëüíû(ïîëîæèòåëüíû). 11.7. Äîêàçàòü,÷òîìàòðèöàïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîãîîïåðàòîðàÿâÿëåòñÿïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé. 11.8. Äîêàçàòü,÷òîäëÿëþáîãîëèíåéíîãîîïåðàòîðà ' îïåðàòîðû '  ' è ''  ÿâëÿþòñÿñàìîñîïðÿæåííûìèèíåîòðè- öàòåëüíîîïðåäåëåííûìè. 11.9. Äîêàçàòü,÷òîäëÿëþáîãîëèíåéíîãîîïåðàòîðà ' îïåðàòîðû p '  ' è p ''  ÿâëÿþòñÿñàìîñîïðÿæåííûìèè íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííûìè. 11.10. Äîêàçàòü,÷òîäëÿëþáîãîëèíåéíîãîîïåðàòîðà ' îïåðàòîðû ' è p '  ' èçîìåòðè÷íû. 11.11. ÍàéòèÎÍÁñîáñòâåííûõâåêòîðîâèìàòðèöó D âýòîìáàçèñåäëÿëèíåéíîãîîïåðàòîðà,çàäàííîãîâíåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîìáàçèñåìàòðèöåé A : (a) A = 2 4 112 � 8 2210 � 8105 3 5 ; (á) A = 2 4 3 � i 0 i 30 004 3 5 ; (â) A = 2 4 12 � 3 2 � 31 32 � 1 3 5 ; (ã) A = 2 4 120 203 013 3 5 ; (ä) A = 2 4 17 � 84 � 817 � 4 4 � 411 3 5 ; 11.12. (à)Íàéòèîðòîãîíàëüíîåïðåîáðàçîâàíèå,ïðèâîäÿùååêâàäðàòè÷íóþôîðìó x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 +4 x 1 x 2 +4 x 1 x 3 +4 x 2 x 3 êäèàãîíàëüíîìóâèäó; (á)Íàéòèîáùååíåâûðîæäåííîåïðåîáðàçîâàíèå,ïðèâîäÿùååôîðìó f êíîðìàëüíîìó,àôîðìó g êäèàãîíàëü- íîìóâèäó: f =2 x 2 1 +2 x 2 2 +3 x 2 3 � 2 x 1 x 2 ;g = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 +4 x 1 x 2 +4 x 1 x 3 +4 x 2 x 3 .

Приложенные файлы

  • pdf 26590793
    Размер файла: 141 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий