Семинар11

Семинар 11. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Правило
Лопиталя.

Теорема о корнях производной (теорема Ролля)
Если функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах отрезка f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка [a,b] по крайней мере одна точка x=c, aТеорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)
Если y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], то внутри отрезка [a,b] найдется, по крайней мере, одна точка c, af(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1)
Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)
Если 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке [a,b], причем 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, то найдется такая точка x=c, aПонятие о правиле Лопиталя
Рассмотрим отношение 13 EMBED Equation.3 1415, где функции 13 EMBED Equation.3 1415определены и дифференцируемы в окрестности 13 EMBED Equation.3 1415 точки а. Может случиться, что при 13 EMBED Equation.3 1415стремятся к 0 или к 13 EMBED Equation.3 1415, то есть обе функции одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими. Тогда в точке а функция f(x) имеет неопределенность вида или 13 EMBED Equation.3 1415 (1). В этом случае, используя производные 13 EMBED Equation.3 1415 можно сформулировать простое правило для нахождения предела функции f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415, то есть дать способ раскрытия неопределенностей вида (1). Это правило Лопиталя.
Теорема
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.
13 EMBED Equation.3 1415
Указанные виды неопределенностей или 13 EMBED Equation.3 1415 не являются единственными. Возможны неопределенности 13 EMBED Equation.3 1415, то есть , причем 13 EMBED Equation.3 1415.
Или неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415.
Возможны и другие неопределенности. Для раскрытия этих неопределенностей их стараются с помощью тождественных преобразований свести к неопределенностям вида или 13 EMBED Equation.3 1415 и затем применить правило Лопиталя.
Примеры с решениями
1. Выполняется ли теорема Ролля для функции 13 EMBED Equation.3 1415, если a=1, b=5?
При каком значении с?
Решение. Так как функция f(x) непрерывна и дифференцируема при всех значения х и ее значения на концах отрезка [1;5] равны: f(1)=f(5)=95, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение с определяется из уравнения f’(x)=2x-6=0, то есть с=3
2. Показать, что производная многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 имеет действительный корень в интервале (-1;1)
Решение. Найдем корни данного многочлена: 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equ
·ation.3 1415. Так как f(-1)=f(1)=0, то по теореме Ролля f’(x) имеет корень в интервале (-1;1). Найдем корни производной: 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, между корнями функции содержится корень производной, равный -1/3.
3.На дуге AB кривой 13 EMBED Equation.3 1415 найти точку М, в которой касательная параллельна хорде AB, если A(1;1) и B(3;-3)
Решение. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна и дифференцируема при этих значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями a=1 и b=3 существует значение x=c, удовлетворяющее равенству f(b)-f(a)=f’(c)(x-a), где f’(x)=2-2x. Подставив соответствующие значения, получим f(3)-f(1)=f’(c)(3-1), -4=4(1-с). Отсюда с=2, f(2)=0. Таким образом, точка М имеет координаты (2;0).
4. На дуге АВ кривой, заданной параметрическими уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если точкам А и В соответствуют значения t=1 и t=3.
Решение. Угловой коэффициент хорды АВ равен 13 EMBED Equation.3 1415, а угловой коэффициент касательной в точке М (при t=c) равен 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Для определении с по теореме Коши получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Найденное значение с=13/6 удовлетворяет неравенству 15. Применяя правило Лопиталя найти пределы.

1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры для самостоятельного решения.
1. Проверить справедливость формулы Коши для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале [1,2].
2. Написать формулу Коши для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале [a,b].
3. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале [1,2].
4. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале 13 EMBED Equation.3 1415
5. Написать формулу Лагранжа для функции 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале [a.b].
6.Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции 13 EMBED Equation.3 1415в интервале 13 EMBED Equation.3 1415
7. Применяя правило Лопиталя найти пределы.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 26590786
    Размер файла: 134 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий