теор вер теория


1. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар.
а) Тәуелсіздік анықтамасы
б) Тәуелсіз болу критерийлері (үлестірімдер арқылы)
в)Тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамалар мысалдары.
(𝛀,Ғ,Р) - ықтмалдық кеңістікте Ɛ1және Ɛ2 дискерт кездесоқ шамалар берілсін. Егер ∀В1, В2⊂R үшін Р(ω: Ɛ1(ω)∈ В1, Ɛ2(ω)∈ В2)=Р(ω: Ɛ1(ω)∈ В1)*Р(Ɛ2 (ω)∈ В2) теңдіктері орындалса, онда Ɛ1 және Ɛ2 кездесоқ шамалары өзара тәуелсіз кездейсоқ шама деп аталды.
Тәуелсіз болу критерилері
Теорема1. Ɛ1 және Ɛ2 өзара тәуелсіз болу үшін
ҒƐ1,Ɛ2(х1,х2)= ҒƐ1(x1)* ҒƐ2(x2), (∀(х1,х2) ∈ R2
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Теорема2.(Дискрет жайында)Ɛ1, Ɛ2 дискрет кездесоқ шамалар; Ɛ1( 𝛀)={x1,x2,...,xn};Ɛ2( 𝛀)={x1,x2,...,xn} болсын. Ɛ1 және Ɛ2 өзара тәуелсіз болу үшін PƐ1,Ɛ2(хk,yl)= pƐ1(хk) pƐ2(yl), (∀k,l∈N)орындалуы қажетті және жеткілікті.
Теорема3. (Абсолют үзіліссіз жағдай)Ɛ(ω)= (Ɛ1(ω), Ɛ2(ω)) -абсолют үзіліссіз веторы болсын. Ɛ1 мен Ɛ2 өзара тәуелсіз болу үшін рƐ1,Ɛ2(х1,х2)= рƐ1(x1)* рƐ2(x2), (∀(х1,х2) ∈ R)
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Бұл критерилерден мынаны байқаймыз: компоненттері тәуелсіз болса, онда оның комплексті үлестірімінен вектордың үлестірімі бірмәнді анықталады.
2. Орталық шектік теорема
а) Характеристикалық функциялар әдісіне қысқаша шолуб) Нормаланған қосынды
в) Орталық шектік теоремасының дәлелдеу жобасыТеорема(Орталық шектік)(Ω,F,P) кеңістікте ξ1,ξ2,…,ξn,…өзара тәуелсіз және бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалары және Mξk=a,Dξk=σ2<+∞; Pω:ξ1ω+ξ2ω+…+ξnω-Mξ1+…+ξnDξ1+…+ξn≤x→ →12π-∞xe-u22du (n→∞)
12π-∞xe-u22du=Ф0,1(x) –стандартты нормаль үлестірім N(0;1)
Бұл теорема характеристикалық функция әдісі деп аталады. Бұл теореманы дәлелдеуді аналитикалық әдіске сүйеніп жүргізіледі. Бұл теорема Бернулли схемасындағы Муавр-Лапластың интегралдық теоремасының дербес жағдайын қамтиды.Яғни, Муавр-Лапластың интегралдық теоремасының дәлелдеуі орталық шектік теореманың дербес жағдайының дәлелдеуі болып табылады да, жалпы жағдайдағы дәлелдеуі дербес жағдайына сүйеніп анықталады.
Нормаланған қосынды
(Ω,F,P) кеңістікте ξ1ω,ξ2ω,…,ξnωкездейсоқ шамалар берілсін.
Snω=ξ1ω+ξ2ω+…+ξnω - жай қосынды.
Snω-ны центрлейік және нормалайық.
Snω-М(Sn)D(Sn) - нормаланған қосынды болады.
3. Дискрет кездейсоқ шамалара) Анықтамасы, үлестірімі.
б)Үлестірім функциясын кездейсоқ шаманың жеке мәндерінің ықтималдықтары (үлестірімі кестесі) арқылы табу формуласы 
в)Жеке мәндерінің ықтималдығын үлестірім функциясы арқылы өрнектеу
ξ: Ω → X = {x1,x2,…} ⊂ R кездейсоқ шамасының мүмкін олатын жиыны ақырлы немесе саналымды болса, ξ дискрет кездейсоқ шама деп аталады.
ξ кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы Fξ(x) дискретті үлестірім функциясы болсын.Онда
C (Fξ)={x1,x2,…}, мұндағы xk нүктелері үшін pk=Pξ{xk}=P{ ω:ξ(ω) =xk}= Fξ(x)- Fξ(x-0), яғни Pξ үлестірім заңы (ықтималдық өлшемі) C (Fξ) жиынының нүктелерінде шоғырланған және kpk =1. Мұндай кездейсоқ шама үшін оның кез келген B ϵ β(R) борелдік жиынына түсу ықтималдығы
PξB= P{ ξ ϵ B }=i:xiϵBP{ξ=xi}=i:xiϵBPξ {xi}= i: xiϵBpi. (1)
Жеке мәндер ықтималдығы арқылы үлестірім функциясының дербес жағдайын аламыз:
Pξx=P{ξ≤x}=i:xi≤xP{ξ=xi}=i:xi≤xPξ{xi} =
i:xi≤x[Fξ(xi) - Fξ(xi-0)]

4.Корреляция коэффициентіа) анықтамасы
б) қасиеттері
в) екі кездейсоқ шаманың тәуелдігінің өлшеуіші ретінде қолданылуы
ρ(ξ1,ξ2)=cov(ξ1,ξ2)Dξ1*D(ξ2) қатынасымен анықталған ρ(ξ1,ξ2) шамасы ξ1 және ξ2 кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп аталады.
Қасиеттері:
1) ρa1ξ1+b1,a2ξ2+b2=sign(a1*a2)ρ(ξ1,ξ2)2) -1≤ ρ(ξ1,ξ2)≤1
| ρ(ξ1,ξ2)|=1 болуы үшін ξ1 мен ξ2 өзара сызықты тәуелді болуы қажетті және жеткілікті.
ξ1 мен ξ2 тәуелсіз болса, онда ρξ1,ξ2=0Бұл қасиеттерден мынадай тұжырым алуға болады: корреляциялық коэффициент екі кездейсоқ шаманың тәуелділігінің өлшеуіші болып табаылады. Корреляциялық коэффициент +1 немесе -1-ге жақын болса, олардың арасындағы тәуелділік күшті деген сөз. Ал корреляциялық коэффициент 0-ге жақын болса, онда олардың арасындағы тәуелділік әлсіз.
ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)кездейсоқ жол-векторының компененталары болатын ξ1,ξ2,…,ξn кездейсоқ шамалары үшін Vn=Mξ-Mξ*ξ-Mξ=cor(ξ1,ξ2)i=1,j=1n,n матрицасы олардың корреляциялық матрицасы деп аталады.
5. Кездейсоқ шама.
а) Кездейсоқ шама анықтамасы.
б) Үлестірімі заңы, үлестірім функциясы және оның негізгі төрт қасиеті.
в) Үлестірім функциясының қосымша қасиеттері
Анықтама: (Ω,F,P)- ықтималдық кеңістігі берілсін.∀I(I⊂R) аралығы үшін {ω:ξ(ω)∈I}∈Fшартын қанағаттандыратын ω∈Ω→ξ(ω)∈R функциясын кездейсоқ шама дейді.
Үлестірім 𝜉:Ω→R кездейсоқ шамасының үлестірімі деп PξB=Pω:ξω∈B (1) түріндегі ықтималдықтар жиынын айтады. Мұндағы B⊂R- аралықтар және олардың ақырлы , саналымды бірігулері түріндегі санды жиындар. Кездейсоқ шамасының үлестірімі оның қай аралықта мән қабылдау ықтималдығы қандай екенін көрсетеді.
Fξx=P(ω:ξω∈-∞;x)(-∞<x<+∞) (2) функциясын 𝜉 кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы дейді. (1) –ді ескерсек (2)-ні былай да жазуға болады: Fξx=Pξ(-∞;x)Қaсиетері: F1) 0≤Fξx≤1(∀x∈R)
F2)∀x1<x2 үшін Fξx2-Fξx1=P(ω:ξω∈x1;x2) болады. Бұдан Fξx функциясы кемімейтін функция екені шығады.
F3) әрбір x∈R нүктесінде оң жақты үзіліссіз:limh→0+Fξx+h=Fξx
F4) limx→+∞Fξx=1, limx→-∞Fξx=0 Дәлелдеуі:F2) : Fξx2≝Pω:ξω∈-∞;x2=Pω:ξω∈-∞;x1∪ω:ξω∈x1;x2=Fξx1+Pω:ξω∈x1;x2 Бұдан F2) дәлелденеді.
6. Ковариация
а) анықтамасы және дискрет жағдайда есептеу формуласыб) абсолют үзіліссіз жағдайда есептеу формуласыв) қасиеттері
Коварация екі кездейсоқ шама үшін анықталады.
ξ1, ξ2:Ω→R2 кездейсоқ вектор.
covξ1, ξ2≝M(ξ1-Mξ1 ξ2-Mξ2Коваряция қасиеттері1)
2)
4) тәуелсіз болса онда =0
5) ||≤бұл жерде (=)орындалуы үшін мен сызықты тәуелді болуы қажетті және жеткілікті.Дәлелденуі жақшаларды ашу және математикалық күтімнің сызықты қасиеттеріне сүйенеді.
7. Ықтималдық кеңістігі
а)Элментар оқиға. Элементар оқиғалар кеңістігі.
б)Оқиғалар және оқиғаларға амалдар қолдану.
в)Оқиға жиілігі, оның қасиеттері. Ықтималдық аксиомалары және олардың салдарлары Мысалдары.
Әрбір кездейсоқ нәтижелі сынақтың математикалық моделі ретінде оған сәйкес Ω,F,P үштігі болады. Бұл үштік сол сынақтың ықтималдық кеңістігі деп аталады.Енді осы үштіктің компоненттеріне жеке-жеке тоқталайық.I)Элементар оқиғалар кеңістігі. Ω элементар оқиға.Сынақтың әрбір мүмкін болатын қарапайым нәтижесін элементар оқиға д.а және w н/е wα деп белгілейді.II)Оқиға ұғымы. Ω-ның қандай да бір жиыншасы-ол оқиға.III)Жиілік және оның қасиеттері.Статистикалық орнықтылық.Ықтималдық ұғымы.Қандай да бір сынақ берілсін ж/е Ω оның Э.К.О болсын.Ω=w=wαα∈I- ал A⊂Ω A∈F-қандай да бір оқиға болсын.Сынақ n рет қайталансын. wα1,wα2,..,wαn(1.1) Бұл тізбекке сәйкес A оқиғасының жиілігі деп ν(wα1;..;wαn;A)≝n(wα1;..;wαn;A)n;
Жиіліктің қасиеттері: ϑ1)0≤ νwα1;..;wαn;A≤1 ϑ2)νwα1;wα2;..;wαn;Ω=1 ϑ3)νwα1;..;wαn;A∪B=νwα1;..;wαn;A++νwα1;..;wαn;B-νwα1;..;wαn;A∩B
Егер A∩B=∅ болса:
ϑ30)νwα1;..;wαn;A∪B=νwα1;..;wαn;A++νwα1;..;wαn;B
Ықтималдық аксиомалары.Сынақ берілсін. Ω-оның Э.К.О., F-оқиғалар,δ-алгебрасы болсын.Ықтималдық аксиомалары:p1)∀A∈F⇒0≤pA≤1p2)pΩ=1; p3)∀A1,…,An,..(Ai∈F,AiAj=0) Үйлесімсіз оқиғалар тізбегі үшін pA1∪A2∪…∪An..=pA1+...+pAn+... теңдігі орындалса,жоғарыдағы ұасиеттерге ие болатын P∘:F↛R8.Екі өлшемді нормаль (гаустік) үлестірім.
Нормаль (гаустік) үлестірім функциясы
Fᶓx=1σ2π-∞xe-(y-a)2σ2dy (1)
қатынасымен берілетін кездейсоқ шама ретінде анықталады, мұндағы параметрлер a∈R, 0<σ<∞(1) формуласымен анықталған Fᶓ(x) функциясы -үлестірім функциясы болады.
1σ2π-∞+∞e-(x-a)2σ2dxx-aσ=yx→±∞<=>y→±∞=12π-∞+∞e-y22dy=1Сонымен нормаль кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы екі a және σ2 (яғни σ ) параметрлеріне тәуелді .
Айталық V=‖σij‖i,j=1n,n қандай да бір қатаң оң нақтыланған және симметриялы n×n – матрица болсын:i,j=1nσijλiλj>0 , λi∈R , σij=σji (i,j=1,…,n). Онда кері матрицасы А=‖аij‖i,j=1n,n =V-1 бар және V матрицасы (detV>0) үшін
fn(x1,x2,…,xn)=1(2π)n2detVe-12(V-1x-a,x-a) (1)
Функциясы анықталған болады, мұндағы x=(x1,…,xn)∈Rn , x,y∈Rn үшін (x,y)=i=1nxiyi. (1)-формуламен анықталған fn(х) функциясы көп өлшемді үлестірім тығыздығы болады. Бұл үлестірім тығыздығын n -өлшемді ерекше емес нормаль (гаустық) үлестірімнің үлестірім тығыздығы деп аталады.
9.Геометориялық ықтималдықтар.
а) Геометриялық ықтималдық формуласының жалпы түрі. Мысалдар.
б) Кездесу туралы есеп.
Геометриялық ықтималдық дегеніміз Ω={ω} жиыны Rn - n өлшемді Евклид кеғістігінің қандай да бір шенелген ішкі жиыны болсын. Ω-ның “көлемі” (n=1 үшін – ұзындығы , n=2 үшін – ауданы, n=3 үшін – әдеттегі көлемі т.с.с) бар болатын ішкі оқиғалар жүйесін белгілелік те, кез-келген A∈β(Ω) оқиғасы үшін оның ықтималдығын
P(A)=V(A)V(Ω) (1) қатынасымен анықтаймыз, мұндағы V(A) – A жиынының “көлемі”.
Ықтималдықты осылайша (1) – формуламен анықтау ықтималдықтың геометриялық анықтамасы деп аталады.
Бұл құрастырылған модельді Ω аймағына нүктені кездейсоқ лақтырудан тұратын тәжірбиенің моделі ретінде қарастыруға болады.
Кездесу туралы есеп. Екі адам, А мен В, [0,T] уақыт аралығында бір-бірімен кездесуге уәделескен. Егер уәделі жерге A(B) бірінші келсе, ол В-ны (A-ны) 𝛥t уақыт бойы күтіп, ол осы уақыт аралығында келмесе кетіп қалатын болып келіскен.Екеуінің кездесу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Сигнал- А, қабылдағыш- В. Ендеше кездесу ықтималдығы былай анықталады егер Т=1 сағат, t=15 минут, 𝛥=20 минут болса, онда p=143288. Егер Т=1 сағат, t= 𝛥=15 минут болса, онда p=716.
10. Геометриялық үлестірім
а) анықтамасы және оған әкелетін мысалб) оның математикалық күтіміне формула қорыту
в)оның  дисперсиясына формула қорыту.
ξ=k дискретті кездейсоқ шамасы геометриялық үлестірім болады, егер ол 1, 2, ... (шексіз мәндер) мәндерін келесі ықтималдылықпен қабылдайтын болса:
P{𝜉=k}=qk-1∙p K=1, 2, …
i=1∞pi=p+pq+…+pqm-1+…)=p*11-q=pp=111-q=1q сияқты геометриялық қатар қосындысы q<1 k=1ξqm-1 бар.
Математикалық күтімі: Mx=1pАл Дисперсиясы D(x)=qp2 мұнда q=1-pMX=kxkpxk=0*Px=0+1*Px=1+…=k=0∞kPx=k=k=1∞kpqk= pk=1∞kqk-1=pqk=1∞qk'=pqqq-1'=pq-1+11-q'=pq1(1-q)2=qp11. Ықтималдықтарды қосу формуласыа) Екі оқиға үшін дәлелдеу
б) Үш оқиға үшін дәлелдеу
в) n оқиға үшін дәлелдеу
Шартты ықт.формуласыннан P(A\B) = P(AB)P(B) =>
P(AB) = P(B) P(A\B) немесе P(AB) = P(A) P(B\A)
Дәлелдеуі.
P(A\B)=P(A)+P(B)-P(AB) (1)
A=(A\B)∪AB . Онда P3) бойынша P(A)=P(A\B)+P(AB) болады,осыдан (1) шығады. Енді (1) былай дәлелденеді: A∪B=(A\B) ∪B, тағыда P3) бойынша
P(A∪B)=P(A\B)+P(B)=P(A)-P(AB)+P(B)
Үш оқиға үшін қосу формуласы:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC) болатыны (1)-ден шығады.
n-oқиға үшін : P(A1A2…An)=P(A1) PA2\A1P(A3\A1A2) P(An\A1A2…An-1)Мат.индукция: 1): n=2 : P(A1A2)=P(A1)P(A2\A1) ақиқат
2)n=m-1 үшін :
P(A1A2…Am-1)=PA1P(A2\A1)P(A3\A1A2)*…*P(Am-1\A1A2….Am-2) дұрыс деп ұйғарайық
3)n=m үшін:
P(A1A2…Am-1Am)=P(A1)P(A2\A1)P(A3\A1A2)*…*P(Am-1\A1A2…Am-2)P(Am\A1…Am-1)12. Гипергеометриялық үлестірім
а) анықтамасы және қолданылу мысалыб) оның математикалық күтімін есептеуге  қысқаша формула қорыту
в)оның дисперсиясын  есептеуге  қысқаша формула қорыту.
Дискретті ξ кездейсоқ шамасының гипергеометриялық үлестірімі болады , егер оның k=0,1,2,3,....,m) мәнінде
Pξ=k=Cmk Cn-mr-kCnr ықтималдықтары бар болады.
Алдыңғы формуладан мынандай қатынас шығады:
k=0mCmkCn-mr-k=Cn r (2)Гипергеометриялық үлестірімнің математикалық күтімі:
Mξ=k=0mk∙CmkCn-mr-kCnrҚосынды ішіндегі Cmk –ды m!k!m-k! түрінде жазып, сәйкес қысқартуларды орындасақ, мынаны аламыз:
Mξ=(Cnr)-1∙m∙k=1mCm-1k-1Cn-1-(m-1)r-1-(k-1)=mCnr∙Cn-1r-1=m∙rnТеорема. n,m,r параметрімен үлестірілген ξ кездейсоқ шамасының гипергеометриялық үлестірімінің математикалық күтімі:Mξ=nMNАл дисперсиясы :Dξ=nMN1-MN1-n-1N-1тең.
13. Күрделі функция түріндегі кездейсоқ шамалара)Көп айнымалылы сан мәнді борель функциясы мен кездейсоқ вектор композициясы түріндегі кездейсоқ шама үлестірімі
б)Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысының үлестірімі. Үйірткі (свертка) формуласы.
в) Көп айнымалылы сан мәнді борель функциясы мен кездейсоқ вектор композициясы түріндегі кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
Теорема: φ∙:R→R және кез келген Bϵβ(R) үшін φ-1(B)ϵβ(R) қанағаттандыратын функция, ал ξ=ξ(ω) – кездейсоқ шама болса, онда φ=φ(x) – борельдік функция болады. Онда ηω=φ(ξ(ω)) – кездейсоқ шама.
Дәлелдеу: Кез келген Bϵβ(R) үшін:
ω: ηωϵB={ω: φ(ξ(ω))ϵB}=ω: ξωϵφ-1BϵF,себебі φ-1(B)ϵβ(R) , ал 𝜉 – кездейсоқ шама.(дәлелденді)
Үзіліссіз және бөлікті үзіліссіз функциялар борельдік функциялар класына жатады.
ξ1,ξ2,…, ξn – Ω, F,P ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ шамалар болсын. Әрбір ωϵΩ элементар оқиғасына бұл кездейсоқ шамалар ω=ξ1ω,…,ξnω векторын сәйкес қояды. Бұл- кездейсоқ вектор деп аталады.
ξ=ξ(ω) кездейсоқ векторы арқылы берілген ξ: Ω→Rn бейнелеуі өлшенетін бейнелеу: кез-келген B1×…×Bn=B∈β(Rn) n өлшемді борелдік жиыны үшін
ξ-1B={ω: ξ(ω)∈B}={ω:(ξ1ω,ξ2ω,…,ξn(ω))∈B}=i=1n{ω:ξi(ω)∈Bi}∈F (1)
Ендеше әрбір B1×…×Bn=B∈β(Rn) n өлшемді борелдік жиыны үшін Pξ=Pξ1,Pξ2,…,Pξn функциясын былайша анықтай аламыз:
Pξ1,Pξ2,…,Pξn(B1×…×Bn)= Pξ(B)=P{ ξ-1B}=
=P{ω: ξ(ω)∈(B)}=P{ξ1∈B1,…,ξn∈Bn} Pξ-(Rn, β(Rn) ) кеңістігінде анықталған ықтималдықтық функция (өлшем) болатынын бір өлшемді жағдайдағы секілді дәлелдеуге болады. Сонымен, кез келген ξ=(ξ1,ξ2,…, ξn) көп өлшемді кездейсоқ шамасы жаңа, (Rn, β(Rn), Pξ) ықтималдық кеңістігін пайда қылады. Бұл ықтималдық кеңістігі ξ=(ξ1,ξ2,…, ξn) көр (n) өлшемді 𝜉 кездейсоқ шамасы (кездейсоқ векторы) арқылы пайда болған ықтималдық кеңістігі деп, ал Pξ ықтималдықтық өлшемі көп өлшемді 𝜉 кездейсоқ шамасының үлестірім заңы деп аталады.
ξ1,…,ξn-абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамалар, fξ1,…,ξn(x1,…,xn)=f(x1,…,xn)-олардың бірлескен үлестірім тығыздығы болсын.η=ξ1+…+ξnкездейсоқ шамасының абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама болатынын көрсетелік және оның үлестірім тығыздығының айқын түрін табайық
Анықтама бойынша Fη(x)=P{η≤x}=P{ξ1+…+ξn≤x}=x1+…+xn≤x…f(x1,…,xn)dx1…dxn.Айталық,n=2 болсын. Бұл жағдайда Fη(x)=Fξ1+ξ2x=x1+…+xn≤xf(x1,x2)dx1dx2=-∞+∞(-∞x-x1f(x1,x2)dx2) dx1= -∞+∞(-∞x-x2f(x1,x2)dx1) dx2
Жаңа айнымалыларды енгізіп интегралдарды түрлендірсек онда Fη(x)=-∞x[-∞+∞f(x1,x2-x1)dx1]dx2=-∞x[-∞+∞f(x1-x2,x2) dx1] dx1 оның тығыздығы
fξ1+ξ2x=-∞+∞f(x1,x2-x1)dx1=-∞+∞f(x1-x2,x2) dx2 (1')
Формулаларымен анықталатындығы көрсетіледі.
Егер қосымша ξ1,ξ2 тәуелсіз кездейсоқ шамалар, ал fξ1(x1) , fξ2(x2) олардың үлестірім тығыздығы боса, онда ξ1+ξ2 тығыздығы
fξ1+ξ2x=-∞+∞fξ1(x1)fξ2(x-x1) dx1=-∞+∞fξ2(x2)fξ1(x-x2) dx2 (1)
Формуласымен анықталатынын аламыз.
Соңғы формула композиция формуласы немесе үйірткі формуласы деп аталады. Композиция формуласын әдетте fξ1*fξ2x түрінде жазады.
14.Параметрлерді бағалау есебі.
а)  Параметрлерді бағалау есебінің қойылуы
б) Нүктелік баға.
б) Ығыспаған баға, тиянақты баға және тиімді баға. МысалдарыСәйкестендіріліп терілген x1,x2,...,xn үлестіру функциясы белгісіз θ параметрге байланысты болсын делік.
p(xk<x)=F(x, θ)
Статистикалық бағалаудың бір санмен анықталған түрін нүктелік бағалау деп аталады.
Fθ(x)ө=ї= үлестірім функциялар жиынтығы, мұндағы θ=(θ1,θ2,…,θn)∈ї⊂Rn, θ-белгісіз параметр деп аталады, ал ї-белгісіз параметрлер жиыны
Есептің қойылуы: Қандайда бір θ0 үшін сәйкес Fθ0(x) үлестірім функциясы ξ- функциясы болып табылады, яғни Fξ(x)= Fθ0(x). Мәселе- сол θ0-ді таңдамадан пайдаланып жуықтап табу керек.
Қойылған есепті шешу үшін ξ-ден алынған x1(ω*),x2ω*,..., xnω* пайдаланамыз. θ- белгісіз параметрінің мағынасына қарай
φu1,u2,…,un:Rn→ ї
функциясын құрады және ол арқылы мына функцияға келеді
θn(ω*)=φ(x1(ω*),x2(ω*),...,xn(ω*)): Ώ*→ ї
Бұл функция θ-белгісіз параметрінің бағасы деп аталады.
15. Дискретті кездейсоқ шаманың
а) анықтамасы, үлестірімі  қасиеттері
б) математикалық күтімі, қасиеттері. 
в) дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы, қасиеттері.
ξ кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы Fξ(x) дискретті үлестірім функциясы болсын. Онда C (Fξ)={x1,x2,…}, мұндағы xk нүктелері үшін pk=Pξ{xk}=P{ ξ =xk}= Fξ(x)- Fξ(x-0), яғни Pξ үлестірім заңы (ықтималдық өлшемі) C (Fξ) жиынының нүктелерінде шоғырланған және kpk =1. Мұндай кездейсоқ шама үшін оның кез келген
B ϵ β(R) борелдік жиынына түсу ықтималдығы
PξB= P{ ξ ϵ B }=i:xiϵBP{ξ=xi}=i:xiϵBPξ {xi}= i: xiϵBpi. (1) Бұдан Pξx=P{ξ≤x}=i:xi≤xP{ξ=xi}=i:xi≤xPξ{xi}=i:xi≤x[Fξ(xi) - Fξ(xi-0)]
Егер ξ кездейсоқ шамасының Pξүлестірім заңы (1)-қатынаспен анықталса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз. Басқаша айтқанда, дискретті кездейсоқ шама дегеніміз қабылдайтын мәндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болатын кездейсоқ шама: ξ: Ω → X = {x1,x2,…} ⊂ R
Дискретті ықтималдық кеңістігінде анықталған кез келген сандық мәнді функция дискретті кездейсоқ шама болады, себебі Ω= {ꙍ1,ꙍ2,…}, үшін F={A: A⊂Ω}, ξ:Ω→X={ξ (ꙍ1), ξ (ꙍ2),… } және кез келген B ϵ β(R) борелдік жиыны үшін ξ-1(B)={ꙍ: ξ(ꙍ)ϵB} = i:xiϵBꙍ:ξꙍ=xiϵF, iPξ{xi}=1.
: ξ:Ω→R дискрет кездейсоқ шама беріліп,
ξ:Ω=x1,x2,…,xn,…-мәндер жиыны,
Pξxk=Pω:ξω=xk,(k=1,2,3,…) -үлестірімі белгілі болсын. Егер
kxkPξxk<+∞ (1)шарты орындалса, онда ξ кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп
Mξ≝kxkPξxk (2)санын айтады.
Қасиеттері (Математикалық күтім)
(Ω,F,P)- ықтималдық кеңістікте ξ,ξ1,ξ2 кездейсоқ шамалары беріліп, олардың ақырлы математикалық күтімдері бар болсын.
M1) Mk∙ξ=k∙Mξ, (∀k∈R)M2) Сызықты қасиеті Mξ1+ξ2=Mξ1+M(ξ2)М3) Егер ξ=const кездейсоқ шама болса, ол дегеніміз
∃C∈R:ξω=C (ω∈Ω), онда Mξ=CM4) Mξ≤MξM5) Егер ξ1,ξ2 өзара тәуелсіз болса, онда Mξ1*ξ2=Mξ1*M(ξ2)M6) ξ1≤ξ2 ⟹ Mξ1≤M(ξ2) M7) Коши-Буряковский теңсіздігі
Mξ1*ξ2≤Mξ12*Mξ22 16,Сенімділік интервалы
а) Таңдама ұғымы
б) интервалды баға
б) Дисперсиясы белгілі нормаль үлестірімнен алынған таңдама бойынша белгісіз математикалық күтімге сенімділік интервалын құру.
ξ- бақыланатын кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірілгендігі,оның σ02=D(ξ) – дисперсиясы белгілі болсын.a=M(ξ) – математикалық күтімі белгісіз x1,x2,…,xn- ξ -ден алынған таңдама .Демек ,xi~N(a, σ02) ,(i=1,n)
a үшін баға x =x1,x2,…,xnn болатын.x1,x2,…,xn~N(na,nσ02) болатыны белгілі.Олай болса x1,x2,…,xn-naσ0n ~ N(0,1).Бұдан алымы мен бөлімін n-ге бөлсек x-aσ0n ~ N(0,1)
∀t>0 үшін Pω:-t<x-aσ0n <t=12π -tte-u22du болады.
γ∈0,1- саны берілсін(сенімділік деңгейі,басқаша айтса,қажет ықтималдық) Содан tγ санын -tte-u22du =γ , (немесе-tte-u22du=γ2 ) болатындай етіп таңдайды.Сонда
x-σ0ntγ<x+σ0ntγ интервалы белгісіз а үшін маңыздылық γ болатын сенімділік интервалы деп аталады.Бұл мысалда x - a үшін нүктелі баға,ал (x-σ0ntγ,x+σ0ntγ ) – a үшін интералды баға.
17. Комбинаторика элементтері. 
а)Комбинациялар.Негізгі комбинаторлық ереже(теорема)
б) Шарларды жәшіктерге орналастырув)Өспелі комбинациялар (Бірмезгілде жасалатын қайталанымсыз таңдамалар).
n компонентті комбинация деп n-дік деп x=(x1,x2,…,xn)түрінде ашылып жазылатын x элементін айтады. xi – бұл x комбинациясының i-нші компоненті деп аталады.
Теорема(комбинаториканың негізгі ережесі) n оң бүтін саны берілсін. x=(x1,x2,…,xn) түріндегі әртүрлі комбинациялардан тұратын Х жиыны беріліп, келесі шарттар орындалса:
Х жиынындағы барлық комбинацияларды қарастырғанда, олардың x1 компоненті М1 әр түрлі мән қабылдай алатын болса,
.......... n-1) x1,x2,…,xn-1 компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырғанда, олардың xn компоненті Мn әр түрлі мән қабылдай алатын болса, және Мn саны x1,x2,…,xn-1-дің барлық бекітулерінде бірдей болса,онда берілген Х жиынындағы барлық x=(x1,x2,…,xn)комбинацияларының саны М1*М2*…* Мn көбейтіндісіне тең болады.
Қайталанымсыз комбинациялар. Бұл жағдайда бас жиынтықтан алынған элемен кері қайтарылмайды. Көлемі n-ге тең бас жиынтық Ω0-ден алынған көлемі r-ге тең қайталанымсыз таңдамалардың сандарын табамыз. Егер Ω деп осы алынған көлемі r-ге тең комбинациялардың жиынын белгілесек, онда қайталанымсыз комбинация үшін Ω={aj1,aj2,…,ajr:ajk≠ajlk≠l,ajkϵΩ0,l,k=1,n}18.Пуассон үлестірім
а) анықтамасы
б) оның математикалық күтімін ықшамдап табу
в) дисперсиясын ықшамдап табу.
Егер теріс емес бүтін мәндер қабылдайтын ξ кездейсоқ шамасының үлестірімі
P(ξ=k)=e-λλkk!=πkλ k=0,1,2,…, (1)
Қатынастарымен анықталса, мұндағы параметр λ>0, онда біз мұндай кездейсоқ шаманы параметірі λ-ға тең. Пуассондық кездейсоқ шама деп атайтын және оны бұдан былай қарай қысқаша ξ~П(λ) түрінде жазатын боламыз.
Әрине, πkλ=e-λλkk! ықтималдықтары үшін πkλ>0 және k=0∞πkλ=1. Кей жағдайларда бізге дискретті кездейсоқ шаманы келесідей кесте түрінде берген ыңғайлы (xi≠xj, i≠j, ipi=1)
1-кесте
ξ – дің мәндері (ξ) x1x2… xn…
Мәндерді қабылдаудың сәйкес ықтималдықтары (P) P1P2… Pn…
ξ~П(λ) .Онда
М ξ=k=0∞ke-λλkk!=e-λλk=1∞λk-1k-1!=λe-λeλ=λ,М ξ(ξ-1)=k=2∞kk-1e-λλkk!=e-λλ2k=2∞λk-2k-2!==λ2e-λeλ=λ2 Демек, D ξ=λ2+λ-λ2=λ. Сонымен ξ~П(λ) үшін М ξ= D ξ= λ.19.Кездейсоқ вектор (көп өлшемді кездейсоқ шама)
а) Екі өлшемді кездейсоқ вектор, оныңың үлестірімі.
б) Екі өлшемді кездейсоқ вектордың үлестірім функциясының негізгі төрт  қасиетін дәлелдеу
в) Маргинал үлестірімдер және оларды вектордың үлестірімінен шығару
Анықтама.ξ=(ξ1,ξ2,…..,ξr) векторы кездейсоқ вектор немесе r-өлшемді (көп өлшемді) кездейсоқ шама деп аталады, ал мына ықтималдықтар
Pξx1 ,…..,xr=P{ω:ξ1ω=x1,ξ21,.здейсоқ шама деп аталады, ал мына ықтимаω=
= x2,…,ξrω=xr} (1)
ξ=(ξ1,ξ2,…..,ξr кездейсоқ векторының ықтималдық үлестірім заңы деп немесе ξ1,ξ2,…..,ξr кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірімі (бірлескен үлестірім заңы) деп аталады
r=2 жағдайын қарастырайық . Онда ξ1,ξ2 кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім заңын(екі өлшемді үлестірім заңын) мынадай таблица арқылы беруге болады:
ξ1/ξ,x21 x22 … x2n2 …
x11 P11 P12 … P1n2 …
x12 P21 P22 … P2n2 …
… … … … … …
x1n1 P n11 P n12 … P n1n2 …
… … … … … …
Бұл таблицада 1-баған мен 1-жатық жолда сәйкес ξ1,ξ2 кездейсоқ шамаларының қабылдайтын мәндері жазылған, ал pij=P{ ξ1=x1i, ξ2=x2j} және pij≥0, i=1∞i=1∞pij=1
Бұл функция (әр аргументі) бойынша кемімейді (FF1 қасиеті), айнымалылар жиынтығы бойынша оң жағынан үзіліссіз (FF3қасиеті);F(+∞,+∞,…,+∞)=1 егер y= y1,y2*…*yn нүктесінің ең болмағанда бір координатасы yi=-∞ болса, онда limx↓yF x1,x2*…*xn=0 (FF2 қасиеті). Бұлардан басқа бұл функция келесі теріс емес анықталғандық деп аталатын қасиеті қанағаттандырады: FF4 ∆a1,b1…∆an,bnF x1,x2*…*xn≥0 мұндағы ∆ai,bi:Rn→R (ai≤bi,i=1,2,…,n): айырымдық операторы ∆ai,biF x1,x2*…*xn=F x1*…*xi-1,bi,xi+1,..,xn-F x1*…*xi-1,ai,xi+1,..,xn қатынасымен анықталған оператор. Алғашқы үш қасиет (FF1,FF2,FF3қасиеттері) бір өлшемді жағдайдағыға ұқсас әдістермен оп-оңай дәлелденеді.Енді F4 қасиетін дәлелдейік. Қарапайымдылық үшін n=2 болсын.Онда ∆a1,b1∆a2b2Fx1,x2=∆a1,b1Fx1,b2-Fx1,a2=Fb1,b2-Fa1,b2-Fb1,a2+Fa1,a2=Pξ1≤b1,ξ2≤b2-Pξ1≤a1,ξ2≤b2-Pξ1≤b1,ξ2≤a2+Pξ1≤a1,ξ2≤a2=Pa1<ξ1≤b1,a2<ξ2≤b2≥0. Жалпы жағдай осыған ұқсас дәлелденеді, бізге тек ∆a1,b1…∆an,bnF x1,x2*…*xn=Pa1<ξ1≤b1,a2<ξ2≤b2≥0 4 болатындығын байқау жеткілікті.
Теорема: Айталық F( x1,x2*…*xn)-Rn кеңістігінде анықталған көп өлшемді үлестірім функциясы болсын. Онда қандай да бір Ω,F,P ықтималдық кеңістік және бұл кеңістікте анықталған қандай да бір ξ=ξ1,ξ2,…,ξn кездейсоқ шамалары табылады да, берілген F( x1,x2*…*xn) функциясы осы көп өлшемді ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn ) кездейсоқ шамасының бірлескен үлестірім функциясы болады: Fξ1,ξ2,…,ξn x1,x2*…*xn=F x1,x2*…*xn, x1,x2*…*xn∈Rn.Сол сияқты Fξ1,ξ2,…,ξn x1,x2*…*xn көп өлшемді үлестірім функциясы PξB=Pξ1,ξ2,…,ξnB үлестірім заңын бірмәнді анықтайды. Сонымен бірге, кез келген i=1,2,..n үшін{ω:ξiω≤+∞=Ω болуы себепті, егер көп өлшемді Fξx үлестірім функциясының қандай да бір xi1*…*xik координаталардан +∞-ke ұмтылса, онда сәйкес кездейсоқ вектордың осы координаталардан басқа бір ξj1*…*ξjn-k компоненталарынан тұртан вектордың үлестірім функциясы шығатынын, яғни Fξ1,ξ2,…,ξn x1,x2*…*xnxi1=+∞xik=+∞=Fξj1,ξjn-kxj1,…,xjn-k, k=1,2,…,n-1, мұндағы il≠im, l≠m, jl≠jm, l≠m, және {j1,…jn-k }={1,2,..n}\{i1,…ik },қатынастары дұрыс болатынын байқау қиын емес. Соңғы қатынастың оң жағындағы үлестірімдер n-k өлшемді маргиналды үлестірім деп аталады. Түсінікті болу үшін кейбір жекелеген жағдайларды жазып көрсетейік: Fξ1,ξ2x1,+∞=Fξ1x, Fξ1,ξ2+∞,x2=Fξ2x2,Fξ1,ξ2,ξ3x1,+∞,x3=Fξ1,ξ3x1,x3,Fξ1,…ξn-1,ξnx1,…,xn-1,+∞=Fξ1,…ξn-1x1,…,xn-1, т.с.с.
20,Үлкен сандар заңы
а) Марков теңсіздігі.
б)Чебышев теңсіздігі.
в)Үлкен сандар заңының Чебышев тұжырымдамасы және дәлелдеу.
1 теорема. (Беpнулли схемасы үшін үлкен сандар заңы).Кез келген ε>0 үшін
Pμnn-p>ε→0,n→∞ (1)
Дәлелдеу. Чебышев теңсіздігі бойынша Pμnn-p>ε≤D(μnn)ε2=Dμnn2ε2=npqn2ε2=pqnε2→0 n→∞. Чебышев теңсіздігін μn кездейсоқ шамасының 4 – моментіне пайдалану арқылы (1) – қатынастан күштірек мынадай тұжырымжы дәлелдей аламыз.
2-теорема. (Бернулли схемасы үшін күшейтілген үлкен сандар заңы). Кез келген ε>0 үшін
P{supk≥nμkk-p>ε}→0,n→∞ (2)
Дәлелдеу. Былай жаза аламыз: P{supk≥nμkk-p>ε}=P{k=n∞{μkk-p>ε}}≤k=n∞P{μkk-p>ε}≤k=n∞M(μk-kp)4k4ε4} 2'
Соңғы теңсіздікті біз Чебышев теңсіздігін μkk-p кездейсоқ шамасының 4-моментіне қолдану арқылы жаздық.Енді (2' – формуланың оң жағындағы 4-моментіне ашып жазайық.
Mμk-kp4=Mj=1kξj-p4=j=1kMξj-p4+6j=1kMξj-p2(ξj-p)2 . Біз бұл жерде ξj-p кездейсоқ шамаларының тақ дәрежелерін қамтитын индекстері әртүрлі көбейтінділер үшін сәйкес математикалық күтімдер нөлге тең болатынын пайдаландық. Ары қарай, тағы да мультипликативтік қасиет бойынша, i≠j үшін Mξj-p2(ξj-p)2= Mξj-p2(ξj-p)2=DξiDξj=pq2. Сонымен қатар Mξj-p4=1-p4p+p4q=pq4+qp4. Сондықтан, pq≤14 болатынын ескерсек, Mμk-kp4=kpq4+qp4+6Ck2(pq)2≤k+kk-1=k2. Демек P{supk≥nμkk-p>ε}≤1ε4k=n∞1k2→0 n→∞. 2''Чебышев теңсіздігі
Егер ξ теріс емес кездейсоқ шама (ξ>0) болса, онда кез-келген ε>0 саны үшін P{ ξ≥ ε}≤MξεДәлелдеу. ξ>0 үшін мына теңсіздіктер тізбесін жаза аламыз:
ξ= ξ∙I { ξ≥ ε}+ξ∙I{ ξ≥ ε}≥ ε∙ I{ ξ≥ ε}
Бұдан , математикалық күтімнің теріс еместік қасиеті бойынша M ξ ≥ M(ε I{ ξ≥ ε})= ε M I{ ξ≥ ε}= ε P{ ξ≥ ε}
Марков теңсіздігі.
ξ : Ω→R M (ξ)<+∞ болсын.
Онда: ∀ε>0 ⇒ P( ω: ξ(ω)>ε) ≤M(ξ)εДәлелдеу: Дискрет жағдайда
М(ξ) = kxk pξ(xk)
P ( ω: ξ(ω)>ε)= k:xk>εpξ (xk)
21. Тәуелсіз оқиғалар
а) Екі оқиға тәуелсіздігінің   анықтамасы. Мысал.
б) n оқиға жағдайы: қос-қостан тәуелсіздік және жиынтық тәуелсіздік .
б)Бернштейн мысалы.
Тәуелсіз оқиғалар анықтамасы:
1-анықтама. Егер А және В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең болса, яғни Р(АВ) Р(А)Р(В) қатынасы орындалса, онда мұндай оқиғаларды тәуелсіз оқиғалар деп атаймыз.
2-анықтама. A1, A2,…, An оқиғалары (Ω,F,P) ықтималдық кеңістігінде анықталған оқиғалар болсын. Егер кез келген 1≤i1<i2<…<ir≤n, r=2,3,…,n индекстері үшін P(A1, A2,…, An)= P(A1) P(A1)… P(A1) шарттары орындалатын болса, онда біз A1, A2,…, An оқиғаларын тәуелсіз оқиғалар деп атаймыз.
Қос-қостан тәелсіздік және жиынтық тәуелсіздік.Бернштейн мысалы.
(Ω,Ғ,Р)-ықтималдық кеңістігі берілсін,онда А1,А2,...,Аn (n≥3)-оқиғалары қарастырылсын.
Анықтама:1)Егер ∀i,j(i≠j) үшін P(Ai,Aj)=P(Ai)P(Aj) болса,онда А1,А2,...,Аn оқиғалары қос-қостан тәуелсіз
2) ∀к=2,3,..., n және ∀i1, i2, ..., iк әртүрлі (i1< i2< ... < iк) үшін
Р(Аi1,Ai2,…,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)
Теңдіктері орындалса,онда А1,А2,...,Аn оқиғалары жиынтықты тәуелсіз болады.
Сn2+Cn3+…+Cnk
Бұл анықтамадан тәуелсіз жиынтыкты тәуелсіздіктен қос-қостан тәуелсіздік шығатыны көрініп тұр.Ал кері жағдай орындалмайды.
Бернштейн мысалы.
Жәшікте 2,3,5 және 30 сандарымен нөмірленген төрт шар бар.
Сынақ-кездейсоқ біреуін таңдау.
А1-(таңдалған шар нөмері 2-ге еселі)
А2-(таңдалған шар нөмері 3-ке еселі)
А3-( таңдалған шар нөмері 5-ке еселі)
1)Осы оқиғаларды қос-қостан тәуелсіз болуын тексеру
2)Жиынтықты тәуелсіз болама?
Ω=4
A1={2,30}, A1=2, P(A1)=1/2
A2={3,30},A2=2, P(A2)=1/2
A3={5,30},A3=2, P(A3)=1/2
P(A1A2)=1/4
P(A2A3)=1/4 -қос-қостан тәуелсіз
Р(A1A3)=1/4
Р(A1A2А3)=1/4≠ P(A1) P(A2) P(A3) – жиынтық тәуелсіз емес.
22. Көрсеткішті үлестірім:
а) анықтамасы және қолоданылу мысалыб) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту
η үлестірім функциясы F(x) болатын үзіліссіз кездесоқ шама болсын. Егер механизмнің а уақыт жұмыс істеген белгілі болса,онда оның қалған жұмыс істеу уақытының үлестірім функциясы қалай анықталады?
Бізге P{η-a≥x/η≥a}ықтималдығын табу жеткілікті. Біз былай жаза аламыз:
P{ η-a≥x/η≥a}=P{η-a≥x,η≥a}P{η-a}=P(x+a)P(a)=1-P(x+a)1-P(a)η-ның үлестірімін кқрсеткіштік үлестірімін есептейміз. Бірақ көрсеткіштік үлестірім үшін F(x)=1-e-ax(x≥0,a>0 параметрі) болатынын ескерсек, онда жоғарыдағы қатынастар Р(x)=e-ax үлестірілгендігін аламыз.
Көрсеткіштік үлестірім (өзінің дискретті аналогы P{=k}=qk(1-q) k=0.1…)үлестірім функциясының барлық қасиеттеріне ие жалғыз үлестірім болатын байқау қиын емес. Ал сонғы қатынастан шығатын :
P(x+a)=P(x)*P(a)
функционалдық теңдеуінің салдары.
23. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар:
а) Анықтамасы, үлестірім тығыздығы.
б)Үлестірім функциясын тығыздық арқылы өрнектеу. Қасиеттері. 
в) Сынақ пен оған байланысты үзіліссіз кездейсоқ шама пайда болатын мысал 
Анықтама: Х кездейсоқ шамасы қабылдайтын мәндер шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдаса ол үзіліссіз кездейсоқ шама деп аталады.
Анықтама: Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) деп Х˂х теңсіздігінің орындалу ықтималдығын айтады. F(x)=P(X˂x)
Қасиеттері: 1. Үлестірім F(x) функциясы оң, шектелген функция, яғни 0≤F(x)≤1. Бұлай болу себебі ол F(x) = P(X˂x) теңдігі бойынша ықтималдықты көрсетеді. Оның графигі y=0, y=1түзулері арасында орналасқан.
2. Үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни x1˂x2 болғанда F(x1) ≤ F(x2) болады. Шынында да x˂β оқиғасын x˂α және α≤x˂β оқиғаларының қосындысы деп қарастыруға болады. Сондықтан P(x˂β)=P(x˂α)+P(α≤x˂β) ⇒ P(α≤x˂β)=P(x˂β)-P(x˂α), P(α≤x˂β)=F(β)–F(α) (1) теңдігін аламыз. (1) теңдігін [x1,x2) аралығына қолдансақ, P(x1≤x˂x2)=F(x2)–F(x1) бұл теңдіктің сол жағы оң сан P(x1≤x˂x2)≥0 демек F(x2)– F(x1)≥0, F(x2)≥F(x1).
3. Егер X кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса, x˂a мәндерінде F(x)=0 және x˃b мәндерінде F(x)=1 болады. Жалпы жағдайда, F(-∞)=0, F(+∞)=1 болады деп есептеледі.
Анықтама: Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы f(x) деп үлестірім F(x) функциясының туындысын айтады. lim∆х→0P(x<X<x+∆x)∆x=lim∆x→0Fx+∆x- F(x)∆x=F’(x)=f(x). Яғни үлестірім тығыздығы үлестірім функциясының туындысына тең. f(x)=F’(x)
Қасиеттері: 1. Үлестірім тығыздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін F(x) функциясының туындысына тең f(x)=F’(x)≥0.
2. Үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі F(x) =-∞xfxdx, шынында f(x)dx=dF(x) болғандықтан -∞xfxdx=-∞xdFx =F(x) = F(x) – F(-∞) = F(x).
3. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда P(a ≤ X ˂ b) = abfxdx. Шынында P(a ≤ X ˂ b) = F(b) – F(a) = -∞bfxdx - -∞afxdx = a-∞fxdx + -∞bfxdx = abfxdx.
4. Үлестірім тығыздығы үшін -∞∞fxdx =1. ОХ өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген фигураның ауданы 1-ге тең болады.
25. Комбинаторика элементтері.
а) n компонентті комбинация
б)Шарларды жәшіктерге орналастырув) Қайталанымды комбинациялар (Алыну реті ескерілетін қайтарымды таңдамалар).
n компонентті комбинация деп n-дік деп
x=(x1,x2,…,xn)түрінде ашылып жазылатын x элементін айтады. xi – бұл x комбинациясының i-нші компоненті деп аталады.
Теорема(комбинаториканың негізгі ережесі) n оң бүтін саны берілсін.
x=(x1,x2,…,xn)түріндегі әртүрлі комбинациялардан тұратын Х жиыны беріліп, келесі шарттар орындалса:
Х жиынындағы барлық комбинацияларды қарастырғанда, олардың x1 компоненті М1 әр түрлі мән қабылдай алатын болса,
x1 компоненті бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырғанда, олардың x2 компоненті М2 әр түрлі мән қабылдай алатын болса, және М2 саны x1-дің барлық бекітулерінде бірдей болса,
..........
n-1) x1,x2,…,xn-1 компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырғанда, олардың xn компоненті Мn әр түрлі мән қабылдай алатын болса, және Мn саны x1,x2,…,xn-1-дің барлық бекітулерінде бірдей болса,
онда берілген Х жиынындағы барлық x=(x1,x2,…,xn)комбинацияларының саны М1*М2*…* Мn көбейтіндісіне тең болады.
Алыну реті ескерілетін қайтарымды таңдамалар. Сынақ – бірінен соң бірі қайтарымды түрде n шар таңдау.
X={1,2,…,N} Оның қарапайым нәтижесі: ω=(a1,a2,…,an) комбинациясы.
ЭОК Ω={ω=(a1,a2,…,an): aiϵX (i=1,…n)} (1)
комбинациялар жиыны болып шығады.
26. Нормаль үлестірім қасиеттеріа) Нормаль үлестірілген өзара тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың  қосындысының үлестірімін қорыту.
б) Математикалық күтім
в) дисперсиясыПараметрлері α және σ2 болатын (-∞<α+∞, 0<σ<∞) нормаль ( гаустік, қалыпты ) үлестірім:
fx=12πσe(x-a22σ2 -∞<x<+∞Мұндай қалыпты шаманы қысқаша ᶓ-N(α,σ2) түрінде жазатын боламыз. Параметрлері α=0 σ=1 болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.
Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни
Z~αx,σx2 Y~(αy,σy2) болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады. Z~N(ax+ay, σx+σy)
Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері
αz=αx+αy, σz2=σx2+σy2+2pσxσy( Ω,ℱ, Р) ықтималдық кеңістігінде өзара тәуелсіз және үлестірімдері бірдей
Муавр-Лаплас Ф0,1 (х) стандарт нормаль үлестірім эквивалентті N(0;1)
27. Шартты ықтималдық
а) Шартты ықтималдық анықтамасы. Мысал.
б) Шартты ықтималдық қасиеттері
в) Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
Анықтама. (Ω,F,P) –қандайда бір ықтималдық кеңістік , А және В ондағы оқиғалар және Р(B)>0 болсын В орындалады деп ұйғарғандағы А шартты ықтималдығы деп (P(AB))/(P(B)) санын атайды және оны Р_В (A) деп белгилейди.
PB(A)def=P(AB)P(B)
Шартты ықтималдық қасиеттері
Ω,F,P ықт. кең. B∈F. pB>0 болсынОнда
∀A∈F =>0≤PAB≤1 2) ∀A BCA=> PAB=1
3) ∀A1,A2,…,An,… AiAj=∅ i≠j =>PA1 ∪ A2 ∪… ∪An∪…B=PA1B+PA2B+…+PAnB. болатынын дәлелдейік PAB=P(AB)P(B)AB ∁ BP(AB)≤P(B)0≤PBA=PB-P(AB)2)∎ B ∁ AAB=B. PAB=PABPB3)∎ ∀A1,A2,…,An,…(Ai,Aj≠∅(i≠j)PA1∪A2∪…∪An∪…B=PA1∪A2∪…∪An∪…B P(B)=PA1B∪A2B∪…∪AnB∪…P(B)=PA1B+PA2B+…+PAnB+…P(B)=P(A1B )PB+P(A2B )PB+P(AnB )PB+…=PA1B +P(A2B )+P(AnB )+…Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
Шартты ықт.формуласыннан
P(A\B) = P(AB)P(B) =>
P(AB) = P(B) P(A\B) немесе P(AB) = P(A) P(B\A)
Деген ықт-ды көбейту формуласын аламыз.
n-oқиға үшін :
P(A1A2…An) = P(A1) PA2\A1P(A3\A1A2)P(An\A1A2…An-1)∆ k=1,2,…,n-1
A1A2…An-1⫃A1A2…An-k ал бұдан 0<P(A1A2…An-1)≤P(A1A2…An-k) шығады.
Мат.индукция арқылы
n=2 үшін
P(A1A2)=P(A1)P(A2\A1) ақиқат
n=m-1 үшін :
P(A1A2…Am-1)=PA1P(A2\A1)P(A3\A1A2)*…*P(Am-1\A1A2….Am-2) дұрыс деп ұйғарайық
n=m үшін:
P(A1A2…Am-1Am)=P(A1)P(A2\A1)P(A3\A1A2)*…*P(Am-1\A1A2…Am-2)P(Am\A1…Am-1)B=A1A2…Am-1 , A= Am деп алайық.
P(BA) = P(A) P(B\A) ∆28. Теріс биномиальді үлестірім
а) анықтамасы және оған әкелетін мысалб) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту.
Табыс ықтималдығы p-ға тең Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегінде n-ші табыс n+k -1-ші сынақта (k=0,1,2,…) пайдп болуының ықтималдығын табалық.
Егер n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ші сынақта табыс (А оқиғасы), ал одан бұрыңғы n+k -1 сынақта n-1 рет табыс, k рет сәтсіздік болды(В оқиғасы) деген сөз. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз p(n,n+k)=P(AB)=P(B)P(A)=Cn-1+kn-1pn-1qkp=Cn+1-kn-1pn-1qkp,k=0,1,2,…(1) Бұл үлестірім теріс биномдық үлестірім деп аталады. Үлестірімнің атауы С-nk=-n-n-1∙…∙(-n-k+1)k!=(-1)kCn+k-1k=(-1)kCn+k-1n-1 (2) теңдігіне байланысты шыққан. Соңғы теңдік (1)-үлестірімді p(n,n+k)=C-nkpn(-q)k,k=0,1,2,… түрінде жазуға мүмкіндік береді. Ары қарай, k=0∞Cn+k-1n-1qk=k=0∞C-nk(-q)k=(1-q)-n=p-n болғандықтан k=0∞p(n,n+k)=pnk=0∞C-nk(-q)k=pn∙p-n =1,
яғни pn,n+k,k=0,1,2,… шындығында да ықтималдық үлестірім болады екен. Теріс биномдық үлестірімді кейде Паскаль үлестірімі деп те атайды. Ал n=1 болған кезде (1) үлестірім геометриялық үлестірім деп аталады.
29. Бернулли схемасындағы шектік теоремалара) Муавр Лапластың локальді және интегралды формулалары (дәлелдеусіз). Бери -Эссеен бағасы
б)Пуассонның жуықтау формуласы (дәлелдеу)
в) МысалдарЕкі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі Ω={0;1}
P(1)=p (1)
P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)
p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:
Ω={ω=(a1,…,an):ai=0 немесе 1} P=(ω=(a1,a2…,an))=P(a1)∙Pa2∙…∙Pan=pa1+a2+…+an∙qn-(a1+a2+…+an) (2)
(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.
Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=(a1,…,an) элементар оқиғасы үшін Sn=ω=a1+a2+…+an болсын(табыстар саны). Онда
∀k∈0,1,…,n үшін
P(ω: Snω=k=Cnk∙pk∙qn-k≡Pn(k1,k2) (3)
∀k1,k2:0≤k1≤k2≤n үшін
Pω:Snω∈k1,k2=k=k1k2Cnk∙pk∙qn-k≡Pn(k1,k2) (4)
Мысал.Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру
Ω={0;1}
«1» - «герб» P1=12 «0» - «цифр» P0=12Қайталау саны n=5 Табыстар саны k=3Онда (3) бойынша P53=C53∙(12)3∙(12)5-3=5!3!∙2!∙132=516Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны
Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу (Ak оқиғасы) ықтималдылығы
Pnk=PAk=ω∈AkPω=ω∈Akpkqn-k=Akpkqn-k=Cnkpkqn-kk=0nPAk=k=0nCnkpkqn-k=1PA0,PA1,PA2,…,PAn ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.
Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы . мұны Пуассон формуласы деп атайды.
Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары. Қолданылу мысалдары.
1-теорема(Муавр-Лапластың жергіліктік теоремасы). Айталық, 0<p<1 болсын. Онда k-np=0npq23 қанағаттандыратын барлық k үшін Pnk~12πnpqe-k-np22pnq, n→∞, яғни n→∞ кезде supk:k-np≤φnPnk12πnpqe-k-np22pnq-1→0,мұндағы φn=0npq23-2-теорема.( Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы). Табыс ықтималдылығы p(0<p<1) әр n-ге сәйкес Бернулли схемасы берілсін. Онда Pnk=Cnkpkqn-k,Pna,b={k:a<xk≤b}Pn(np+xknpq={k:a<xk≤b}np+xknpq={k:a<xk≤b}P{μn=k} мұндағы -∞<a≤b≤+∞, ал қосынды np+xknpq бүтін болатын xk -лар бойынша алынатын болсын. Онда sup-∞<a≤b≤+∞| Pna,b-12πabe-x22dx|→0, n→∞30. Хи-квадрат үлестірімі:
а) анықтамасы 
б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту
Анықтама: Ω,F,P -ықтималдық кеңістігі берілсін.
∀ I(I∈R) аралығы үшін
{ω: ξ(ω)∈I}∈Fшартын қанағаттандыратын ω ϵ Ω→ ξω∈ R функциясын кездейсоқ шама дейміз.
ξ: Ω→ R кездейсоқ шамасының үлестірімі деп
PξB=P(ω: ξ(ω)∈B) түріндегі ықтималдықтар жиынын айтады. Мұндағы B ∈R - аралықтар және олардың ақырлы , саналымды бірігулері түріндегі санды жиындар. Кездейсоқ шамасының үлестірімі оның қай аралықта мән қабылдау ықтималдығы қандай екенін көрсетеді.
ξ – бақыланатын кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірілген, оның a0=M(ξ) математикалық күтімі белгілі.
σ2=D(ξ) – дисперсиясы белгісіз
x1,x2,…,xn – таңдама.
ξ1,ξ2,…,ξn- n тәуелсіз кездейсоқ шамалар, әрқайсысы қалыпты үлестірілген.
ξ1~N(0,1) , (i=1,…,n)
χn2ω=ξ12+ξ22+…+ξn2кездейсоқ шамасының үлестірімі хи – квадрат үлестірімі деп аталады.
xi+a0σ ~ N(0,1) болады. Олай болса i=1n(xi+a0σ)2 – үлестрімі Хи – квадрат (белгілі).
αϵ(0;12) – саны беріледі.
γ=1-2α - маңыздылық деңгейі.
χn,a , χn,1-a – сандарын мына теңдіктерден анықтайды :
χn,α+∞Pχn2udu=α , χn,1-α+∞Pχn2udu=1-α**
χn,1-a<χn,aχn,1-a<1σ2i=1n(xi+a0)2<χn,ai=1n(xi+a0)2χn,a<σ2<i=1n(xi+a0)2χn,1-aБұл σ2 үшін маңыздылық деңгейі γ=1-2α болатын сенімділік интервалы.
31. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың
а) анықтамасы, үлестірімі, қасиеттері
б)математикалық күтімі, қасиеттері
в) дисперсиясы, қасиеттері.
ξ кездейсоқ шамасының математикалық күтімін мына Лебег –Стильтес интегралы арқылы есептеуге болады: Μξ=-∞+∞xdFξ(x).Егер ξ абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама боса және -∞+∞xfξ(x)dx<∞ болса,мұндағы fξ(x) – ξ кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы,онда Μξ=-∞+∞fξ(x)dx.Егер ξ кездейсоқ шама ,g=g(x) –борелдік функция болса,онда η=g(ξ) кездейсоқ шамасының математикалық күтімі :дискретті ξ кездейсоқ шамасы үшін Mg(ξ) =i=1∞gxiPξ=xi=j=1∞yjPη=yj=Mη, абсолютті үзіліссіз ξ кездейсоқ шамасы үшін Mg(ξ) =-∞+∞gxfξ(x)dx=-∞+∞xfηxdx=Mη.Қасиеттері(Математикалық күтім).(Ω,F,P) –ықтималдық кеңістіктеξ,ξ1,ξ2 кездейсоқ шамалары беріліп,олардың ақырлы математикалық күтімдері бар болсын.
М1)М(k ∙ξ)=k∙ M(ξ) , (∀k∈R)
M2)Сызықты қасиеті М(ξ1+ξ2)=M(ξ1)+M(ξ2)
M3)Егер ξ=const кездейсоқ шама болса,ол дегеніміз ∃C∈R:ξω=C (∀ωϵΩ),онда М(ξ)=C.
M4)M(ξ)≤M(ξ) .
M5)Егер ξ1,ξ2 өзара тәуелсіз болса,онда М(ξ1⋅ξ2)=M(ξ1)⋅M(ξ2).
M6)ξ1≤ξ2⇒ M(ξ1)≤M(ξ2).
M7)Коши-Буряковский теңсіздігі М(ξ1⋅ξ2≤М(ξ12)⋅M(ξ22).
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы. Қасиеттері.
Анықтама: Х кездейсоқ шамасы қабылдайтын мәндер шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдаса ол үзіліссіз кездейсоқ шама деп аталады.
Анықтама: X: Ω→R кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп D(X)≡Var(X)=M(X-M(X))2 санын айтады.
Орташа квадраттық ауытқуы σX=D(X) формуласымен табылады.
Қасиеттері:1.Егер Х=c болса, онда D(X)=0.
2. D(X) = M(X2) – M2(X)
3. D(a X+b) = a2 D(X)
4. D(a X1 + b X2)=a2 D(X1) + b2 D(X2) + 2ав M((X1 – M(X1)) (X2 – M(X2))).
Дербес жағдай: X1, X2 тәуелсіз болса, онда D(a X1 + b X2) = a2 D(X1) + b2 D(X2).
32.Сенімділік интервалы.
а) таңдама, нүктелі және интервалды бағалар
б) Математикалық күтімі белгілі нормаль үлестірімнен алынған таңдама бойынша белгісіз дисперсияға сенімділік интервалын құру.
в)Хи-квадрат үлестірімнің келіп шығуы және қолданылуы.
ξ- бақыланатын кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірілгендігі,оның σ02=D(ξ) – дисперсиясы белгілі болсын.a=M(ξ) – математикалық күтімі белгісіз x1,x2,…,xn- ξ -ден алынған таңдама .Демек ,xi~N(a, σ02) ,(i=1,n)
a үшін баға x =x1,x2,…,xnn болатын.x1,x2,…,xn~N(na,nσ02) болатыны белгілі.Олай болса x1,x2,…,xn-naσ0n ~ N(0,1).Бұдан алымы мен бөлімін n-ге бөлсек x-aσ0n ~ N(0,1)
∀t>0 үшін Pω:-t<x-aσ0n <t=12π -tte-u22du болады.
γ∈0,1- саны берілсін(сенімділік деңгейі,басқаша айтса,қажет ықтималдық) Содан tγ санын -tte-u22du =γ , (немесе-tte-u22du=γ2 ) болатындай етіп таңдайды.Сонда
x-σ0ntγ<x+σ0ntγ интервалы белгісіз а үшін маңыздылық γ болатын сенімділік интервалы деп аталады.Бұл мысалда x - a үшін нүктелі баға,ал (x-σ0ntγ,x+σ0ntγ ) – a үшін интералды баға.
33. Комбинаторика элементтері.
а)Комбинациялар. Негізгі комбинаторлық ереже (теорема)
б) Шарларды жәшіктерге орналастырув) Қайталанымсыз комбинациялар (Алыну реті ескерілетін қайтымсыз таңдамалар, орналастырулар, орын алмастырулар).
Ақырлы санды элементтерден тұратын А және В жиындары берілсін делік. Айталық,
A=a1,a2,…,an, B=b1,b2,…,bm, (A=n<∞,B=m<∞)болсын. Жаңа A×B жиынын (А және В жйындарының декарттық көбейтіндісін) былай анықтайық:
A×B={ai,bj:aiϵA,bjϵB}Онда бұл жаңа жиынның элементтерінің саны А×В=A∙B=n∙m, себебі бұл жиынның элементтерінің саны (ai,bj) элементі i-ші жатық және j-ші тік жолында жататын матрицаның элементтерінің санына тең. Бұл келтірілген тұжырымды мынадай түрге келтіруге болады.
Теорема. (комбинаториканың негізгі ережесі)
N оң, бүтін саны берілсін. x=(x1,x2,…,xn) түріндегі әртүрлі комбинациялардан тұратын Х жиыны беріліп, келесі шарттар орындалса:
Х жиынындағы барлық коибинацияларды қарастырғанда, олардың x1 компоненті М1 әртүрлі мән қабылдай алатын болса, x1 компоненті бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырқанда, олардың x2 компоненті М2 әртүрлі мән қабылдай алатын болса және М2 саны x1-дің барлық бекітулері үшін бірдей болса,x1,x2 компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырқанда, олардың x3 компоненті М3 әртүрлі мән қабылдай алатын болса және М3 саны x1 мен x2-нің барлық бекітулері үшін бірдей болса,
.
.
.
n) x1,x2,…,xn-1 компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырқанда, олардың xn компоненті Мn әртүрлі мән қабылдай алатын болса және Мn саны x1, x2,…,xn-1-лердің барлық бекітулері үшін бірдей болса,
онда берілген Х жиынындағы барлық x=(x1,x2,…,xn) комбинацияларының саны М1∙М2∙…∙Мn көбейтіндісіне тең болады.
Дәлелдеу.
бірінші қадамда бірінші компонент х1-дің мәні бойынша Х жиынына өзара қиылыспайтын М1 топқа бөліп тастауға болады;
екінші қадамда бірінші қадамда пайда болған әрбір топтың ішін компонент х2-нің мәні бойынша өзара қиылыспайтын М2 топқа бөләп тастауға боады және бұл жағдайда алғашқы Х жиыны өзара қиылыспайтын М1∙М2 топтардың бірігуіне жіктеледі;
.
.
.
n-ші қадамда n-1-ші қадамда пайда болған М1∙М2∙…∙Мn-1топтың әрқайсысының ішін компонент хn-нің мәні бойынша өзара қиылыспайтын Мn топқа бөләп тастауға боады және бұл жағдайда алғашқы Х жиыны өзара қиылыспайтын М1∙М2∙…∙Мn топтардың бірігуіне жіктеледі;
Соңғы топтар одан әрі жіктелмейді, яғни олардың әрқайсысы ішінде бір элементтен тұрады. Демек, Х жиыны М1∙М2∙…∙Мn әр түрі комбинациядан тұрады. Теорема дәледенді.
Қайталанымсыз комбинациялар. Бұл жағдайда бас жиынтықтан алынған элемен кері қайтарылмайды, яғни таңдамының қандай да бір элементін алар алдында одан бұрын алынған элемент бас жиынтықтан шығарылып тасталып отырады. Яғни қайталынымсыз комбинацияның элементтері әртүрлі болады және оның элементтерінің саны берілген бас жиынтықтың элементтер санынан аспауы керек. Көлемі n-ге тең бас жиынтық Ω0-ден алынған көлемі r-ге тең қайталанымсыз таңдамалардың сандарын табамыз. Егер Ω деп осы алынған көлемі r-ге тең комбинациялардың жиынын белгілесек, онда қайталанымсыз комбинация үшін
Ω={aj1,aj2,…,ajr:ajk≠ajlk≠l,ajkϵΩ0,l,k=1,2,…,n}34. Биномиаль үлестірім
а) анықтамасы
б) оның математикалық күтімінің формуласын ықшамдап, қорыту
в) дисперсиясының формуласын ықшамдап қорыту.
{P(A0),P(A1),P(A2),…,P(An) ықтималдықтарының жиынтығы биномдық үлестірім деп аталады. (n,p) параметрмен үлестірілген кездейсоқ ξ шамасы теріс биномиалды үлестірілген болады , егер pk=Pξ=k=Cn+k-1kpn(1-p)kҮлестірім функциясы:Fξ=k=pni=0kCn+i-1i(1-p)iБернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегінде n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болуының ықтималдығын табайық. (“табыс” ықтималдығы р).
Егер n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ші сынақта “табыс” (А оқиғасы), ал одан бұрынғы n+k-1 сынақта n-1 рет “табыс”, k рет “сәтсіздік” болды(В оқиғасы) деген сөз. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз мына формуламен анықталады. (k=0,1,2,…. ) :
pn,n+k=PBA=PBPA=Cn-1+kn-1pn-1qkp=Cn+k-1n-1pnqk (1)
(1)-үлестірім теріс биномиальды үлестірім деп аталады. Бұл үлестірімнің атауы мына теңдікке байланысты шыққан:
C-nk=-n-n-1∙…∙(-n-k+1)k!=(-1)Cn+k-1kСоңғы теңдік (1)-үлестірімді басқаша жазуға мүмкіндік береді: pn,n+k=C-nkpn(-qk) , k=0,1,2,…. (1’)
Бұдан k=0∞C-nk(-qk)=1-q-n=p-nПайдаланып былай жаза аламыз:
k=0∞pn,n+k=pnk=0∞C-nk-q=pnp-n=1 ,Яғни { pn,n+k,k=0,1,2,….}шындығындада үлестірім болады. Теріс биномиалды үлестірімді кейде Паскаль үлестірімі деп те атайды.
Ал n=1 болған кезде (1)-үлестірім геометриялық үлестірім деп аталады:
p1,k+1=pqk , k=0,1,…….35.  Бернулли схемасы.
а)Бернулли схемасының анықтамасы
б) Бернулли формуласын дәлелдеу
в) Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны және оны табу формуласын қорыту
Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі
Ω={0;1}
P(1)=p (1)
P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)
p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:
Ω={ω=(a1,…,an):ai=0 немесе 1} P=(ω=(a1,a2…,an))=P(a1)∙Pa2∙…∙Pan=pa1+a2+…+an∙qn-(a1+a2+…+an) (2)
(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.
Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=(a1,…,an) элементар оқиғасы үшін Sn=ω=a1+a2+…+an болсын(табыстар саны). Онда
∀k∈0,1,…,n үшін
P(ω: Snω=k=Cnk∙pk∙qn-k≡Pn(k1,k2) (3)
( n рет тәуелсіз қайталағанда дәл k рет табыс шығуының ықтималдығы)
∀k1,k2:0≤k1≤k2≤n үшін
Pω:Snω∈k1,k2=k=k1k2Cnk∙pk∙qn-k≡Pn(k1,k2) (4)
( n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны k1 мен k2 арасында болуының ықтималдығы)
Мысал.
Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру
Ω={0;1}
«1» - «герб» P1=12«0» - «цифр» P0=12Қайталау саны n=5
Табыстар саны k=3Онда (3) бойынша P53=C53∙(12)3∙(12)5-3=5!3!∙2!∙132=516Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны
Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу (Ak оқиғасы) ықтималдылығы
Pnk=PAk=ω∈AkPω=ω∈Akpkqn-k=Akpkqn-k=Cnkpkqn-kk=0nPAk=k=0nCnkpkqn-k=1PA0,PA1,PA2,…,PAn ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.
Анықтама. k-ның функциясы ретінде Pn,k ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын k* мәні (Pn,k*=max0≤k≤nPn,k) ең ықтималды табыс саны деп аталады.
Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда k*=(n+1)p , мұндағы а-а санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. k*=n+1p-1 және k*=n+1p.
Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:
а)бірде-бір рет табыс болмау; Pn,0=qn=(1-p)nә)ең болмағанда бір рет табыс болу; k=1nPn,k=1-Pn,0=1-qn=1-(1-p)nб)табыс санының k1-ден кем емес, k2-ден артық емес болу ықтималдылықтары;
k=k1k2Pn,k=k=k1k2Cnkpkqn-k36.Гамма үлестірім:
а) анықтамасы және қолданылу мысалы
б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту
Гамма үлестірім. Математикалық талдау курсында меншіксіз және параметрлі интегралдар тобына жататын гамма функциясының анықтамасын еске түсірелік:
Гα=0∞z∝-1e-zdz ,∝>0. (1)Сөйтіп, ∝ параметрінің Гα функциясы 0,∞ аралығында анықталған, үздіксіз.Бұл функцияны есептеу
Гα+1=∝Гα ∝>0 (2) формуласына негізделген.
(2)-формуласын дәлелдеу үшін бөліктеп интегралдаса болғаны:
Гα+1=0∞z∝e-zdz=-z∝e-z0∞+∝0∞z∝-1e-zdz=∝ГαЕгер n натурал сан болса, Гn+1=n!Гамма үлестірімді ξ кездейсоқ шамасының тығыздық функциясы
fx=λ∝Гαx∝-1e-∝x0 , x≤0 , x>0 (3)
Теңдіктерімен анықталады, мұндағы α>0 және λ>0, өйткені f(x)≥0 және 0∞fxdx=1.Гамма үлестірімнің сипаттауыш функциясы
φx=Meitξ=1Гα0∞x∝-1e-x(1-itx)dx=1-itλ-αФормуласымен,ал k-шы ретті моменті
υk=Mξk=αα-1…(α+k-1)λk формуласымен есептеледі.
Олай болса, математикалық күтімі мен дисперсиясы табылды:
Mξ=ν1=αλ және Dξ=ν2-(ν1)2=α2λ2Гамма үлестірімі арқылы бірқатар үлестірім заңдарын шығарып алуға болады.Мәселен,α=1 болса,гамма үлестірімі,көрсеткіштік үлестірімге айналады.
1. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар.
а) Тәуелсіздік анықтамасы
б) Тәуелсіз болу критерийлері (үлестірімдер арқылы)
в)Тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамалар мысалдары.
2. Орталық шектік теорема
а) Характеристикалық функциялар әдісіне қысқаша шолуб) Нормаланған қосынды
в) Орталық шектік теоремасының дәлелдеу жобасы3. Дискрет кездейсоқ шамалара) Анықтамасы, үлестірімі.
б)Үлестірім функциясын кездейсоқ шаманың жеке мәндерінің ықтималдықтары (үлестірімі кестесі) арқылы табу формуласы 
в) Жеке мәндерінің ықтималдығын үлестірім функциясы арқылы өрнектеу
4. Корреляция коэффициентіа) анықтамасы
б) қасиеттері
в) екі кездейсоқ шаманың тәуелдігінің өлшеуіші ретінде қолданылуы
5. Кездейсоқ шама.
а) Кездейсоқ шама анықтамасы.
б) Үлестірімі заңы, үлестірім функциясы және оның негізгі төрт қасиеті.
в) Үлестірім функциясының қосымша қасиеттері
6. Ковариация
а) анықтамасы және дискрет жағдайда есептеу формуласыб) абсолют үзіліссіз жағдайда есептеу формуласыв) қасиеттері
7. Ықтималдық кеңістігі
а)Элментар оқиға. Элментар оқиғалар кеңістігі.
б)Оқиғалар және оқиғаларға амалдар қолдану.
в)Оқиға жиілігі, оның қасиеттері. Ықтималдық аксиомалары және олардың салдарлары Мысалдары.
8. Екі өлшемді нормаль (гаустік) үлестірім.
9. Геометориялық ықтималдықтар.
а) Геометриялық ықтималдық формуласының жалпы түрі. Мысалдар.
б) Кездесу туралы есеп.
10. Геометриялық үлестірім
а) анықтамасы және оған әкелетін мысалб) оның математикалық күтіміне формула қорыту
в)оның  дисперсиясына формула қорыту.
11. Ықтималдықтарды қосу формуласыа) Екі оқиға үшін дәлелдеу
б) Үш оқиға үшін дәлелдеу
в) n оқиға үшін дәлелдеу
12. Гипергеометриялық үлестірім
а) анықтамасы және қолданылу мысалыб) оның математикалық күтімін есептеуге  қысқаша формула қорыту
в)оның дисперсиясын  есептеуге  қысқаша формула қорыту.
13. Күрделі функция түріндегі кездейсоқ шамалара)Көп айнымалылы сан мәнді борель функциясы мен кездейсоқ вектор композициясы түріндегі кездейсоқ шама үлестірімі.
б)Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысының үлестірімі. Үйірткі (свертка) формуласы.
в) Көп айнымалылы сан мәнді борель функциясы мен кездейсоқ вектор композициясы түріндегі кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
14. Параметрлерді бағалау есебі.
а)  Параметрлерді бағалау есебінің қойылуы
б) Нүктелік баға.
б) Ығыспаған баға, тиянақты баға және тиімді баға. Мысалдары15. Дискретті кездейсоқ шаманың
а) анықтамасы, үлестірімі  қасиеттері
б) математикалық күтімі, қасиеттері. 
в) дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы, қасиеттері.
16. Сенімділік интервалы
а) Таңдама ұғымы
б) интервалды баға
б) Дисперсиясы белгілі нормаль үлестірімнен алынған таңдама бойынша белгісіз математикалық күтімге сенімділік интервалын құру.
17. Комбинаторика элементтері. 
а)Комбинациялар. Негізгі комбинаторлық ереже (теорема)
б) Шарларды жәшіктерге орналастырув)Өспелі комбинациялар (Бірмезгілде жасалатын қайталанымсыз таңдамалар).
18. Пуассон үлестірім
а) анықтамасы
б) оның математикалық күтімін ықшамдап табу
в) дисперсиясын ықшамдап табу.
19. Кездейсоқ вектор (көп өлшемді кездейсоқ шама)
а) Екі өлшемді кездейсоқ вектор, оныңың үлестірімі.
б) Екі өлшемді кездейсоқ вектордың үлестірім функциясының негізгі төрт  қасиетін дәлелдеу
в) Маргинал үлестірімдер және оларды вектордың үлестірімінен шығару
20. Үлкен сандар заңы
а) Марков теңсіздігі.
б)Чебышев теңсіздігі.
в)Үлкен сандар заңының Чебышев тұжырымдамасы және дәлелдеу.
21. Тәуелсіз оқиғалар
а) Екі оқиға тәуелсіздігінің   анықтамасы. Мысал.
б) n оқиға жағдайы: қос-қостан тәуелсіздік және жиынтық тәуелсіздік .
б)Бернштейн мысалы.
22. Көрсеткішті үлестірім:
а) анықтамасы және қолоданылу мысалыб) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту
23. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар:
а) Анықтамасы, үлестірім тығыздығы.
б)Үлестірім функциясын тығыздық арқылы өрнектеу. Қасиеттері. 
в) Сынақ пен оған байланысты үзіліссіз кездейсоқ шама пайда болатын мысал 
24. Сенімділік интервалы.
а) Таңдама. Нүтелі баға. Интервалды баға.
б) Математикалық күтімі де, дисперсиясы да белгісіз нормаль үлестірімнен алынған таңдама бойынша белгісіз математикалық күтімге сенімділік интервалын құру.
в)Стьюдент үлестірімінің келіп шығуы және қолданылуы.
25. Комбинаторика элементтері.
а) n компонентті комбинация
б)Шарларды жәшіктерге орналастырув) Қайталанымды комбинациялар (Алыну реті ескерілетін қайтарымды таңдамалар).
26. Нормаль үлестірім қасиеттеріа) Нормаль үлестірілген өзара тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың  қосындысының үлестірімін қорыту.
б) Математикалық күтім
в) дисперсиясы27. Шартты ықтималдық
а) Шартты ықтималдық анықтамасы. Мысал.
б) Шартты ықтималдық қасиеттері
в) Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
28. Теріс биномиальді үлестірім
а) анықтамасы және оған әкелетін мысалб) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту.
29. Бернулли схемасындағы шектік теоремалара) Муавр Лапластың локальді және интегралды формулалары (дәлелдеусіз). Бери -Эссеен бағасы
б)Пуассонның жуықтау формуласы (дәлелдеу)
в) Мысалдар30. Хи-квадрат үлестірімі:
а) анықтамасы 
б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту
31. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың
а) анықтамасы, үлестірімі, қасиеттері
б)математикалық күтімі, қасиеттері
в) дисперсиясы, қасиеттері.
32. Сенімділік интервалы.
а) таңдама, нүктелі және интервалды бағалар
б) Математикалық күтімі белгілі нормаль үлестірімнен алынған таңдама бойынша белгісіз дисперсияға сенімділік интервалын құру.
в)Хи-квадрат үлестірімнің келіп шығуы және қолданылуы.
33. Комбинаторика элементтері.
а)Комбинациялар. Негізгі комбинаторлық ереже (теорема)
б) Шарларды жәшіктерге орналастырув) Қайталанымсыз комбинациялар (Алыну реті ескерілетін қайтымсыз таңдамалар, орналастырулар, орын алмастырулар).
34. Биномиаль үлестірім
а) анықтамасы
б) оның математикалық күтімінің формуласын ықшамдап, қорыту
в) дисперсиясының формуласын ықшамдап қорыту.
35.  Бернулли схемасы.
а)Бернулли схемасының анықтамасы
б) Бернулли формуласын дәлелдеу
в) Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны және оны табу формуласын қорыту
36. Гамма үлестірім:
а) анықтамасы және қолданылу мысалыб) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту
в) оның  дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Приложенные файлы

  • docx 26567860
    Размер файла: 206 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий