2-теор.вер


Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Индивидуальные задания
по теме:
«Теория вероятностей»
Волгодонск
2010
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Из 16 билетов выигрышными являются 5. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов: а) 2 выигрышных; б) хотя бы один выигрышный.
Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях: а) не превзойдет 5; б) будет равна 7.
В ящике имеется 6 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу взяли 3 шара. Найти вероятность того, что а) они будут одного цвета; б) двое из них будут одного цвета.
Бросают одновременно 2 игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков: а) равно 8; б) больше 10.
Из колоды карт (36 штук) наудачу берут 3 карты. Найти вероятность того, что: а) это все карты «пик»; б) среди выбранных хотя бы 1 туз.
В 1-м ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, во 2-м ящике – от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по 1 шару. Найти вероятность того, что сумма номеров будет: а) не меньше 13; б) не больше 11.
Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 8, а разность 4; б) сумма равна 5, а произведение 4.
В урне 9 красных и 7 белых шаров. Наугад выбирают 5 шаров. Найти вероятность, что среди выбранных шаров будет: а) красных меньше 2; б) только 3 белых.
Ящик содержит 20 годных и 5 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых из ящика деталей: а) нет дефектных; б) по крайней мере, 1 деталь без дефекта.
В ящике 10 деталей, из них 4 бракованных. Наудачу выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей: а) 3 бракованные; б) не менее 3 бракованных.
В лотерее на 20 билетов разыгрывается 8 выигрышей. Ученик выбирает из урны наугад 5 билетов. Найти вероятность, что среди них оказалось: а) ровно 2 выигрышных билета; б) по крайней мере, 2 выигрышных билета.
В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется: а) 3 женщины; б) не более 3 женщин.
Из 15 билетов выигрышными являются 4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 6 билетов будет: а) не более 1 выигрышного; б) хотя бы 2 выигрышных.В клетке 8 белых и 6 коричневых кроликов. Наудачу выбирают 5 кроликов. Найти вероятность того, что: а) среди них 3 кролика белого цвета; б) все 5 кроликов одного цвета.
Из полной колоды карт (36 штук) выбирают наугад 6 карт. Найти вероятность того, что среди них: а) 4 карты красной масти; б) хотя бы 4 карты «пики».
В гостинице имеется 6 отдельных номеров. На них претендуют 10 человек, из которых 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует принципу: «Пришедший раньше — обслуживается раньше». Найти вероятность того, что: а) все 6 мужчин получат номера; б) по крайней мере, 2 женщины получат номера.
Имеется 5 синих, 3 красных и 2 зеленых шаров. Наугад берут 3 шара. Найти вероятность того, что: а) двое из выбранных шаров имеют одинаковый цвет; б) все 3 шара одного цвета.
В лотерее имеется 1000 билетов. На один билет падает выигрыш в 100 руб., на 2 – по 50 руб., на 5 – по 20 руб., на 10 – по 10 руб., на 82 – по 5 руб., на 200 билетов – по 1 руб. Остальные билеты без выигрыша. Найти вероятность выигрыша по 1 билету: а) не меньше 50 руб.; б) хотя бы 5 рублей.
Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) произведение выпавших очков четное; б) хотя бы на 1 грани появится цифра 6.
В лотерее имеется 100 билетов. Среди них 1 выигрыш в 50 руб., 3 – по 25 руб., 6 билетов – по 10 руб. и 15 – по 3 руб. Найти вероятность выигрыша по 1 билету: а) не более 25 руб.; б) хотя бы 3 руб.
На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажется изготовленных Львовским заводом: а) 3 кинескопа; б) не более 3 кинескопов.
В ящике содержится 3 годных и 7 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу отобранных деталей окажется: а) не более 1 годной; б) только 2 годных.
В ящике — 30 шаров, из них 15 белых, 8 черных, а остальные красные. Наугад выбирают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется: а) 2 красных шара; б) по крайней мере, 3 белых шара.
Из группы, состоящей из 10 мужчин и 10 женщин, случайным образом выбирают 6 человек. Найти вероятность того, что среди них: а) мужчин и женщин будет одинаково; б) женщин будет больше, чем мужчин.
Библиотечка состоит из 15 различных книг, причем 7 книг – по алгебре, 5 книг – по геометрии и 3 книги – по высшей математике. Наудачу выбрали 3 книги. Найти вероятность того, что: а) они все по алгебре; б) среди выбранных книг хотя бы одна по алгебре.
Из 25 студентов группы 15 юношей, а остальные – девушки. На конференцию выбирают наугад 3 человек. Найти вероятность того, что: а) все 3 будут девушки; б) из 3 будет хотя бы 2 девушки.
В ящике 7 годных и 6 бракованных деталей. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей: а) 3 будут бракованными; б) меньше 2 будет бракованных.
В партии из 30 деталей 12 деталей – 1-го сорта, 8 деталей – 2-го сорта, остальные – 3-го сорта. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что: а) все выбранные детали будут одного сорта; б) 2 из выбранных деталей будут одного сорта.
Из партии, в которой 12 деталей без дефектов и 8 с дефектами, берут наудачу 5 деталей. Найти вероятность того, что: а) все 5 деталей окажутся без дефектов; б) по крайней мере, 1 деталь будет без дефекта.
В группе 25 студентов. Из них контрольную работу 3 человека написали на 5, 5 человек – на 4, 10 человек – на 3, а остальные получили два. Найти вероятность того, что из наудачу выбранных 5 студентов: а) 3 получили двойки; б) не более 3 получили двойки.
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не больше 1,а произведение не меньше 0,09.
На отрезок OA длины L бросают наугад и независимо друг от друга 2 точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не больше 1.
На отрезке АВ длины L наудачу взяты 2 точки M и N. Найти вероятность того, что точка M будет ближе к точке N, чем к точке А.
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 1, а произведение не больше 2/9.
В области, ограниченной эллипсом , разбросаны 5 кружочков радиуса 0,1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из кружков.
В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в круг, окажется вне квадрата.
Внутри круга расположен эллипс . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в круг, попадет и в эллипс.
Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в эллипс, попадет и в круг.
В квадрат со стороной a вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в квадрат, окажется вне круга.
Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение не превышает 1, а частное не меньше 1/4.
Внутри круга расположен эллипс . Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превосходит 4. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а разность не меньше 1.
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше .
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке.
В области, ограниченной квадратом со стороной, равной 3, разбросаны 3 кружочка с диаметром, равным 1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с квадратом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, не попадет ни в один из кружочков.
На отрезок OA длины 10 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/7.
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность не превышает 1, а частное не меньше 2.
В области, ограниченной эллипсом , разбросаны 3 квадрата со сторонами 1,2,3. Квадраты не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из квадратов.
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше .
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC не меньше , но не больше .
В круг радиуса 12 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,4см2 и 5,6см2.
Наудачу взяты 2 положительных числа и , каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность не превосходит 1, а произведение не превосходит 2.
В круг радиуса 16 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она не попадет ни в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,7см2 и 8,2см2.
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки A до ближайшей к ней точки.
На отрезок OA длины 20 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до одного из концов отрезка не превосходит величину 1/5.
На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC больше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке.
Наудачу взято положительное число , которое не превышает 4, и положительное число , которое не превышает 2. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а их произведение не больше 2.
В правильный треугольник со стороной a вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в треугольник, попадет и в круг.
Наудачу взято положительное число , которое не превышает 3, и положительное число , которое не превышает 1. Найти вероятность того, что частное не меньше 2, а сумма не превышает 3.
3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят 1-й вызов, равна 0,2; 2-й вызов – 0,3; 3-й – 0,4. События, состоящие в том, что любой вызов будет услышан, независимы. Найти: а) вероятность того, что корреспондент услышит вызов; б) вероятность того, что будет услышан только один вызов.
Стрелок стреляет три раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) два раза.
Три стрелка стреляют в одну мишень: при этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела равна: 0,8 ― у 1-го стрелка, 0,7 ― у 2-го стрелка, 0,6 ― у 3-го стрелка. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех стрелков в мишени появится: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.
Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка – 0,9; для 2-го – 0,8; для 3-го – 0,7. Найти вероятность того, что за один час потребует вмешательства рабочего: а) лишь один станок; б) хотя бы один станок.
Вероятность поражения цели 1-м стрелком при одном выстреле равна 0,8; 2-м – 0,7. Найти: а) вероятность того, что цель при залпе будет поражена только одним стрелком; б) вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно хотя бы одного попадания при залпе.
Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при первом выстреле равна 0,8. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,1. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 4 выстрела; б) не более 3 выстрелов.
По железнодорожному мосту, независимо один от другого, производят серийное бомбометание 3 самолета. Каждый самолет сбрасывает серию бомб. Вероятность попадания в результате серийного бомбометания для первого самолета равна 0,2; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Найти: а) вероятность того, что мост будет разрушен; б) вероятность того, что мост будет разрушен только одним самолетом.
Ожидается прибытие трех судов с апельсинами. Статистика показывает, что в 2% случаев груз портится в дороге. Найти вероятность того, что с испорченным грузом придут: а) только одно судно; б) хотя бы одно судно.
Вероятность того, что за 5 мин к остановке подойдет автобус, равна 0,4; вероятность подхода к остановке за эти же 5 мин трамвая равна 0,3. Остановки совмещены. Найти вероятность того, что: а) пассажир уедет с этой остановки за отмеченные 5 мин; б) к остановке подойдет только один вид транспорта.Вероятность того, что при первом измерении физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2; при втором измерении ― 0,3; при третьем измерении ― 0,4. Найти вероятность того, что: а) только в одном из них допущена ошибка, превышающая заданную точность; б) хотя бы в одном измерении будет ошибка.
Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,6; во 2-м ― 0,7; в 3-м ― 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике.
Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Определить: а) вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей; б) вероятность того, что придут только двое из трех друзей.
Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 4 карты масти «пики». Рассмотреть два случая: а) карты не возвращаются; б) карты возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением.
Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза. Рассмотреть два случая: а) первая карта не возвращается; б) первая карта возвращается.
Семена высшего сорта всходят с вероятностью 0,8; 1-го сорта ― с вероятностью 0,75; 2-го сорта ― с вероятностью 0,7. Определить вероятность того, что из трех посаженных семян разного сорта взойдет: а) только одно; б) хотя бы одно из семян.
Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,05. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) хотя бы одним выстрелом; б) только один раз.
Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8; при втором ― 0,75; при третьем ― 0,6. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами.
В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) только одна деталь будет стандартной.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго ― 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.
На испытательном стенде испытывали в определенных условиях 2 прибора. Вероятность того, что в течение часа откажет первый прибор, равна 0,04; для второго ― 0,03. Найти вероятность того, что в течение часа откажет: а) хотя бы один из приборов; б) только один прибор.
Из партии товаровед наугад отбирает 3 изделия. Вероятность того, что первое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; для второго изделия ― 0,85; для третьего ― 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет: а) только 2 изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта.
Три исследователя, независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что 1-й исследователь допустит ошибку при считывании показателей прибора, равна 0,1. Для 2-го и 3-го исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении: а) хотя бы один из исследователей допустит ошибку; б) только один исследователь ошибется.
Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк при одном выстреле для первого орудия ― 0,5; для второго – 0,4. Найти вероятность того, что при залпе: а) попадут оба орудия; б) будет хотя бы одно попадание в цель.
Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в I-м, во 2-м, в 3-м справочниках соответственно равна 0,65; 0,7; 0,75. Найти вероятность того, что формула содержится: а) во всех 3 справочниках; б) хотя бы в 2 справочниках.
В 1-ом ящике находятся 14 изделий, из них 6 с браком; во 2-ом ящике — 20 изделий, из них 4 с браком; в 3-ем ящике ― 15 изделий, из них 3 с браком. Из каждого ящика наугад вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одно изделие без брака; б) только 2 изделия без брака.
Из 11 карточек, на каждой из которых написано по одной букве слова «ВЕРОЯТНОСТЬ», выбирают наугад 3 карточки одну за другой. Найти вероятность того, что получится последовательность букв, образующая слово «ТОН». Рассмотреть два случая: а) выбранные карточки не возвращаются; б) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед каждым следующим их извлечением.
Буквы русского алфавита (их 32) написаны на карточках разрезной азбуки. Выбираются наугад одна за другой пять карточек. Найти вероятность того, что получится слово «конец», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.
Слово «папаха» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность получить слово «папа», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.
В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1,2,3, если кубики извлекают: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченные кубики возвращают в мешок и перемешиваются).
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что первое изделие нестандартно, равна 0,1. Для каждого следующего изделия эта вероятность увеличивается на 0,05. Найти вероятность того, что: а) из 3 проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных деталей, второй – 99%, а третий – 97%. Производительность автоматов одинакова. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом.
В первом ящике имеются 15 стандартных и 2 с браком радиолампы; во втором — 10 стандартных и одна с браком. Из первого ящика взята наугад одна лампа и переложена во второй. После чего из второго ящика взята наугад лампа. Найти вероятность того, что эта лампа стандартная.
Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, второго – 20%, а третьего – 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.
В первом ящике 120 радиоламп, из них 10 с браком, во втором ящике 50 радиоламп, из них 5 бракованных. Из первого ящика переложили во второй одну лампу. Какова вероятность того, что взятая из второго ящика радиолампа не имеет брака?
На перекрестке 4 телефона-автомата. Вероятность того, что первый из них не занят, равна 0,4; второй не занят – 0,3; третий не занят – 0,2 и четвертый не занят – 0,1. Вероятности того, что до абонента можно дозвониться по каждому телефону, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6 и 0,9. Какова вероятность того, что разговор с абонентом состоится?
В вычислительной лаборатории 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность выхода из строя автомата равна 0,05; для полуавтомата – 0,2. Найти вероятность того, что студенту удастся выполнить расчет, производя вычисления на случайно выбранной машине.
С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, а с четвертого – 10% деталей. Среди деталей первого автомата 0,1% бракованных, второго – 0,2%, третьего – 0,25%, четвертого – 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.
Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В и двум – типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, типа В – 0,1, типа С – 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если не известно, в мишень какого типа он будет сделан.
Из трамвайного парка в случайном порядке выходят четыре трамвая маршрута №1 и восемь трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший на линию трамвай будет иметь №1.
В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1 и 10 деталей – заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одна за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.
В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
На трех дочерей – Надю, Таню и Нину – в семье возложена обязанность мыть тарелки. Надя выполняет 40% всей работы. Остальные 60% Таня и Нина делят поровну. Когда Надя моет посуду, вероятность для нее разбить, по крайней мере, одну тарелку равна 0,06, для Тани – 0,08, для Нины – 0,4. Какова вероятность того, что после мытья посуды не досчитаются тарелок?
Человек, работая в Ростове, может возвращаться домой, в Новочеркасск, либо автобусом, либо электричкой. В 1/3 случаев он выбирает автобус, а в 2/3 – электричку. Если он едет автобусом, то в 75% случаев возвращается домой к 6 ч вечера, если же электричкой, то только в 70% случаев он возвращается к 6 ч. Какова вероятность того, что в наудачу взятый день, он вернется домой к 6 ч?
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 студента подготовлены отлично, 4 студента – хорошо, 2 студента – посредственно, 1 студент – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы. Хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на произвольно заданный вопрос.
Из ящика, содержащего 5 белых и 3 черных шара, переложено 2 шара в ящик, содержащий 4 белых и 6 черных шаров. Вычислить вероятность события: достать белый шар из второго ящика.
В пирамиде установлено 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из винтовки, взятой наудачу.
На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка №1 составляет 0,03, а для станка №2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей со станка №1 сходит вдвое больше, чем со станка №2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке — 10 ламп, из них 9 стандартных. Из первой коробки наудачу взята лампа и переложена во вторую. Затем из второй коробки наудачу взяли одну лампу. Найти вероятность того, что она будет стандартной.
Имеется две партии одинаковых изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
На сборке три ящика с радиолампами. В первом ― 15 стандартных и 5 с браком, во втором ― 10 стандартных и 2 с браком, в третьем ― 20 и 5 соответственно. Вытащенная наугад лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она взята из третьего ящика?
Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое меньше второго. Вероятность изготовить бракованную деталь на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,09. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом?
Три контролера проверяют стандартность однотипных деталей. Один из них успевает проверить вдвое больше, чем остальные (поровну) вместе. Вероятности допустить ошибку у них соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,2. Пропущенная одним из них деталь оказалась с браком. Какова вероятность того, что ее пропустил первый контролер?
В больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием М, 20% - с заболеванием Н. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; М – 0,8; Н – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефектов. Какова вероятность того, она поступила из первого цеха?
При передаче сообщения сигналом «точка» и «тире» эти сигналы встречаются в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются 25% сообщений «точка» и третья часть сообщений «тире». Оказалось, что произвольно принятый сигнал не искажен. Какова вероятность, что этим сигналом является «точка»?
Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Наудачу извлеченная сборщиком деталь из коробки, взятой наугад, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что извлеченная деталь изготовлена заводом №1.
Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, равна для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Выбранная наудачу лампа проработала заданное число часов. Определить вероятность того, что эта лампа из второй партии.
Для участия в студенческих соревнованиях выделено из первой группы ― 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, - с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.
5. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
На базе 8 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь не менее 6 автомашин.
Вероятность выиграть по билету лотереи равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.
В магазин вошло 8 покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого покупателя равна 0,3.
Что вероятнее выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из 8? Ничьи не считаются.
Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты орел появится ровно 2 раза?
В студии телевидения имеется 5 телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут, по крайней мере, 8?
Производство дает в среднем 6% брака. На испытание взято 10 изделий. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных?
Машина-экзаменатор содержит 10 вопросов, на каждый из которых предлагается 4 варианта ответов. Положительная оценка выставляется в том случае, когда экзаменующийся правильно ответит не менее чем на 7 вопросов. Какова вероятность получить положительную оценку, выбирая ответы наудачу?
В магазине имеются различные фотоаппараты. Вероятность того, что покупатель приобретет фотоаппарат «Киев», равна 0,4. Найти вероятность того, что из 12 проданных фотоаппаратов будет не менее 10 фотоаппаратов «Киев».
Для новогодних подарков приготовили смесь конфет двух сортов «Мишка на севере» и «Красная шапочка», причем вероятности, вытащить конфету каждого сорта, равны. Какова вероятность обнаружить среди случайно взятых 6 конфет меньше трех конфет сорта «Красная шапочка»?
Всхожесть семян некоторого сорта определяется вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет не менее трех?
В магазин вошли 12 покупателей. Вероятность того, что каждый из них в отдельности купит что-нибудь, равна 0,4. Какова вероятность того, что не более 3 покупателей совершат покупки?
Отделом технического контроля установлено, что на сотню велосипедов, выпускаемых заводом, 10 поступает в ОТК с дефектами. Какова вероятность того, что из случайно выбранных 6 велосипедов окажется не более 4 с дефектами?
Проверкой установлено, что определенный сорт хлопка содержит 12% коротких волокон. Определить вероятность того, что в наудачу выбранном пучке из 6 волокон окажется не более половины коротких.
Для Коли вероятность выиграть у Ирины шахматную партию равна 0,8. Сыграно 4 партии. Какова вероятность того, что Коля выиграет 3 партии?
Вероятность того, что взятая на прокат машина будет возвращена исправной, равна 0,8. Какова вероятность того, что из четырех возвращаемых машин не менее трех окажутся исправными?
В квартире четыре электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она перегорит в течение года, равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек?
В ящике лежат несколько тысяч одинаковых предохранителей. Половина из них изготовлена заводом №1, остальные – заводом №2. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что из них изготовлены заводом №1 менее двух предохранителей?
Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 веточек роз не менее трех веточек окажутся красными розами, если в общей корзине срезанных роз имеется поровну красных и бледно-розовых.
Вероятность попадания по движущейся мишени равна 0,85. Найти вероятность того, что из 30 выстрелов 26 окажутся удачными.
В цехе работают 400 автоматов, каждый из них в течение смены может потребовать внимания настройщика с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что 100 автоматов потребуют внимания в течение смены.
Каждый из 900 рабочих совхоза может выполнить производственное задание с вероятностью 0,5. Какова вероятность выполнения задания 500 рабочими?
Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0,8. Найти вероятность получения 75 положительных исходов при 100 анализах.
Вероятность попадания в цель равна 0,7. По цели одиночно сбрасывается 100 бомб. Определить вероятность того, что в цель попадут 30 бомб.
Известно, что 3/5 рабочих никелевого завода имеет среднее образование. Для некоторого обследования наудачу выбирается 1500 человек. Найти вероятность того, что 1000 человек из них имеют среднее образование.
На проверку всхожести зерна берутся 500 зерен. Установлено, что количество всхожих семян составляет ¾ всего количества зерен. Найти вероятность того, что из взятых зерен 400 окажутся всхожими.
Вероятность встретить на улице знакомого равна 0,2. Сколько среди первых 100 случайных прохожих можно надеяться встретить знакомых с вероятностью 0,095?
Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика?
Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?
6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Студенты приобрели 12 билетов в кино, 8 билетов из которых на места, расположенные в одном ряду. Шести девушкам билеты достались случайно. Составить закон распределения числа девушек, получивших билеты в одном ряду, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
В барабане книжной лотереи осталось 10 билетов, среди которых 4 билета с выигрышем. Наугад вытаскивают 6 билетов. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди них и найти числовые характеристики этого распределения.
Для соревнований из группы выделено 5 девушек и 5 юношей. Требуется составить волейбольную команду. Составить закон распределения числа юношей в команде и вычислить числовые характеристики этого распределения.
Подбрасываются две игральные кости. Составить закон распределения суммы выпавших при этом очков и вычислить числовые характеристики.
В подгруппе студентов 6 девушек и 4 юноши. Для участия в соревнованиях нужна команда из пяти человек. Составить закон распределения числа юношей, попавших в эту команду, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
На табло 10 сигнальных лампочек, среди которых 6 лампочек сигнализируют о работе некоторого устройства. Случайным образом загораются 5 лампочек. Составить закон распределения числа лампочек, сигнализирующих о работе данного устройства, и вычислить числовые характеристики распределения.
В гараже находится 9 автомашин ГАЗ-24, среди которых 4 машины требуют ремонта. На линию выпущено 5 автомобилей. Составить закон распределения числа машин, не требующих ремонта, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
На столе стоят 3 телефона. Вероятности того, что в течение часа звонит каждый из них, соответственно равны 0,6; 0,8 и 0,9. Составить закон распределения числа телефонов, зазвонивших в течение часа, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
При отладке программы на ЭВМ возможны ошибки трех разрядов. При составлении программы вероятности не допустить ошибку 1,2 и 3-го разрядов соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,65. Составить закон распределения числа ошибок, обнаруженных при отладке программы, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
В билетном зале 3 кассы. Вероятности того, что с 12 до 13 ч они работают, соответственно равны 0,95; 0,85 и 0,8. Составить закон распределения числа работающих касс в течение этого часа и вычислить числовые характеристики этого распределения.
На АТС каждые 5 мин могут поступить 3 заявки на телефонный разговор с вероятностями 0,7; 0,75; 0,8. Составить закон распределения числа поступивших заявок и вычислить числовые характеристики этого распределения.
На сборку поступило 15 деталей, среди которых 4 детали с дефектами. Случайным образом берут 5 деталей. Составить закон распределения числа бракованных деталей, попавших в эту группу, и вычислить числовые характеристики этого распределения.
Подбрасывается три раза игральная кость. Составить закон распределения числа выпадений нечетной цифры. Вычислить числовые характеристики этого распределения.
Такси обслуживает 3 населенных пункта А, В и С. Вероятности того, что на остановке будут три пассажира, желающие доехать до каждого пункта, соответственно равны 0,85; 0,8 и 0,75. Составить закон распределения числа пассажиров на остановке и вычислить числовые характеристики.
Три баскетболиста бросают мяч в корзину. Вероятности попадания у них соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Составить закон распределения числа промахов при однократном бросании каждого и вычислить числовые характеристики распределения.
Охотник ведет стрельбу по цели до первого попадания, имея 4 патрона. Известно, что вероятность попадания при каждом выстреле – 0,7. Составить закон распределения числа израсходованных патронов и вычислить числовые характеристики.
Брошены две игральные кости. Случайная величина ― число появлений «двойки». Составить закон распределения. Вычислить числовые характеристики.
В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наугад вытаскивают 4 шара, возвращая всякий раз шар обратно. Составить закон распределения числа белых шаров, появляющихся при этом, и вычислить числовые характеристики распределения.
Производится 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле одна и та же и равна 0,7. Составить закон распределения числа промахов и вычислить числовые характеристики распределения.
Четыре студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен на «5» для каждого из них равна 0,4. Составить закон распределения количества пятерок, полученных студентами на экзамене. Вычислить числовые характеристики этого распределения.
Группа из пяти самолетов производит бомбометание по цели. Вероятность попадания в цель у каждого одна и та же и равна 0,75. Составить закон распределения числа промахов и найти числовые характеристики.
Производится серия из пяти выстрелов. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в цель и вычислить числовые характеристики этого распределения.
Монета подбрасывается 4 раза. Составить закон распределения числа появлений орла и вычислить числовые характеристики.
По цели производится 3 независимых выстрела. Вероятность попадания равна 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в цель и вычислить числовые характеристики этого распределения.
Монета подбрасывается 5 раз. Составить закон распределения числа появлений «решки» и вычислить числовые характеристики этого распределения.
Два раза брошена игральная кость. Составить закон распределения числа выпадений «пятерки». Вычислить числовые характеристики распределения.
Брошены две игральные кости. Случайная величина ― число появлений четной цифры. Вычислить числовые характеристики распределения.
Число ошибок, допущенных оператором ЭВМ, есть случайная величина, заданная следующим образом:
0 1 2 3 4 5 6
0,01 0,09 0,3 0,20 0,2 0,1 0,1
Проверить, что задан закон распределения, вычислить числовые характеристики, построить функцию распределения.
Количество людей, купивших рекламируемое лекарство, есть случайная величина с рядом распределения:
0 10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05
Проверить, что задан закон распределения, найти функцию распределения и вычислить числовые характеристики.
Случайная величина задана законом распределения:
-2 0 3 8 10 11
0,2 0,1 0,08 0,12 0,3 0,2
Построить график функции распределения . Вычислить числовые характеристики.
7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
а) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти интегральную функцию распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.
б) Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.
7.1.
а) б)
7.2.
а) б)
7.3.
а) б)
7.4.
а) б)
7.5.
а) б)
7.6.
а) б)
7.7.
а) б)
7.8.
а) б)
7.9.
а) б)
7.10.
а) б)
7.11.
а) б)
7.12.
а) б)
7.13.
а) б)
7.14.
а) б)
7.15.
а) б)
7.16.
а) б)
7.17.
а) б)
7.18.
а) б)
7.19.
а) б)
7.20.
а) б)
7.21.
а) б)
7.22.
а) б)
7.23.
а) б)
7.24.
а) б)
7.25.
а) б)
7.26.
а) б)
7.27.
а) б)
7.28.
а) б)
7.29.
а) б)
7.30.
а) б)
8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2 мм, а среднее квадратическое отклонение 1 мм. Считая, что размер диаметра детали подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака.
Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм. В некоторой партии гаек средний размер оказался равным 62,8 мм, а среднее квадратическое отклонение – 1,1 мм. Считая, что размер гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака по размеру гайки.
Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника принимается допуск -0,7 мм.
Цех выпускает детали двух типов. Распределение их длины - нормальное. Для деталей 1-го типа математическое ожидание равно 40 мм, а дисперсия- 0,25. Для типа 2-го - математическое ожидание 25 мм, дисперсия - 4. Что вероятнее - попадание размера детали 1-го типа в интервал [38;43] или детали 2-го типа в интервал [24;27]?
Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание- 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали должны быть 203 мм.
На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок которых распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. Какую точность диаметра головок заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216?
Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону. Известно, что математическое ожидание равно 4,5, а дисперсия – 0,09. Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.
Длина изготовляемой детали представляет нормально распределенную величину Х. Математическое ожидание ее равно 8 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см. Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 0,2 см.
Станок – автомат производит валики. Пригодность валика определяется величиной его диаметра Х. Определить вероятность того, что взятый наугад валик окажется годным, если известно, что среднее значение, на которое настроен станок, равно 25 мм, среднее квадратическое отклонение составляет 0,4 мм, а допустимая величина отклонения размера диаметра валика от среднего - равна 0,6 мм.
Ведется стрельба из орудия по заданному направлению. Дальность полета снаряда распределена по нормальному закону, математическое ожидание равно 3 км, среднее квадратическое отклонение – 0,5 км. Найти вероятность того, что выпущенный снаряд из орудия попадает в интервал от 2 до 5 км.
Производится измерение длин втулок, причем без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 12 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание - 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19,8 км.
Диаметр стальных орудий, выпускаемых цехом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака по размеру диаметра, если допустимые размеры диаметра стержня составляют 750,5 мм.
Продолжительность горения электроламп в некоторой партии оказалось нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратическим отклонением 50 ч. Найти с вероятностью 0,95 границы продолжительности горения наугад взятой электролампы.
Имеется партия доброкачественных втулок без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 12 мм.
Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с математическим ожиданием – 20 км, средним квадратическим отклонением – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 20,1 км.
При обследовании работы автоматической линии оказалось, что длина выпускаемой детали является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой равно 30 см, среднее квадратическое отклонение - 0,5 см. Для стандартной детали отклонение длины от 30 см не должно превышать 0,8 см. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь не будет удовлетворять этим требованиям.Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно гарантировать размер диаметра детали?
Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами: математическое ожидание равно 172 см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Определить процент лиц, рост которых ниже 165 см.
Какова вероятность того, что наугад опрошенный инженер получает зарплату от 150 до 190 руб., если известно, что зарплата распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 150 руб. и средним квадратическим отклонением 30 руб.
Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и средним квадратическим отклонением 2 см. В каких границах с вероятностью 0,9216 можно гарантировать размер диаметра шарика?
Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами на менее 20,3 км, но не более 20,75 км.
Рост взрослого мужчины представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средний рост равен 170см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины находится в границах от 182 до 191 см.
Завод изготовляет шарики для подшипников. Диаметр шарика – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 5 мм и средним квадратическим отклонением 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от среднего больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?
Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром 30 мм, но проходит через отверстие диаметром 45 мм, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из условий не выполняется, то шарик бракуется. Диаметр шарика есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 37,5 и средним квадратическим отклонением 3,75. Найти вероятность того, что шарик будет забракован.
Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с математическим ожиданием 172 см, средним квадратическим отклонением 6 см. Определить процент лиц, рост которых выше 175 см.
Диаметр шарика подшипника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Размер диаметра задан полем допуска 40-45 мм. Средний размер шарика равен 42,5 мм. Брак составляет 10% от всего выпуска. Найти среднее квадратичное отклонение диаметра шарика.
Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами =375г., =25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет больше 300г.
Станок автоматически изготавливает валики, контролируя их диаметры . Считая, что случайная величина распределена нормально с параметрами =10мм, =0,1мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут диаметры изготовленных валиков.
При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7, а случайная величина распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31г.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Таблица значений функции
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9 0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002 3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1619
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002 3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2317
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002 3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0006
0004
0003
0002 3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0006
0004
0003
0002 3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002 3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002 3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002 3977
3925
3836
3712
3555
3372
3116
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001 3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
2. Таблица значений функции

0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44 0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700 0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
069
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92 0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212 0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40 0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3721
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192 1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88 0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699

Приложенные файлы

  • docx 26567787
    Размер файла: 214 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий