Варианты по ТВ и МС


Вариант 1
1. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах мишень будет поражена а) не менее 70 и не более 80 раз.
2. В лотерее 30 билетов, из которых 4 выигрышное. Приобретено 3 билета. Найти вероятность всех исходов.
3. Дискретная величина X распределена по закону
X 1,2 2 2,5 3 4
P 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, построить многоугольник распределения.
4. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией
Fx=0 при x<1log5x при 1≤x≤51 при x>5Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (2; 3) и построить графики функций F(x) и f(x).
5. В трех урнах находятся черные и белые шары: в первой 3 черных и 2 белых, во второй три белых и один черный, в третьей 2 белых и 2 черных. Извлеченный из наудачу взятой урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар извлечен из первой урны?
6. Исследованы две случайные величины X и У.
Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания вычислен с доверительной вероятностью γX= 0,9, для случайной величины У получен такой же доверительный интервал с доверительной вероятностью γY= 0,95. Во сколько раз отличаются средние квадратические отклонения случайных величин X и У ? Объемы выборок обеих величин одинаковы и больше 60.
Вариант 2
1. На сборку поступают однотипные изделия из 4 цехов. Вероятности брака в каждом из цехов соответственно равны 0,03; 0,02; 0,05; 0,02. Первый цех дает 30% этого изделия, второй 25%, третий 20% и четвертый 25%. Какова вероятность, что взятое наудачу изделие окажется бракованным.
2. В лотерее на каждые 100 билетов падает 5 выигрышных. Найти вероятность от двух до четырех выигрышей на 6 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышей на 6 билетов.
3. Дискретная величина X распределена по закону
X 3 4 5 7 12
У 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.
4. Вероятность соблюдения правил при прохождении пассажиров через автоматический контрольный пост метрополитена равна 0,9. Сколько пассажиров должно пройти через автоматические контрольный пост, чтобы с вероятностью равной 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты соблюдения правил от вероятности не более, чем на 0,03.
5. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем три раза.
6. Исследуется две случайные величины X и Y, подчиняющиеся нормальному закону распределения. Известны средние квадратичные отклонения этих величин σX и σY. Причем σY=2σX. Для этих случайных величин получены две выборки объемом n. В каком соотношении находятся доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий этих случайных величин, если соответствующие доверительные вероятности равны соответственно γX=0,95; γY= 0,90.Вариант 3
1. В урне находилось 25 шаров одинаковых по размеру, но отличающихся по цвету: 15 черных и 10 белых. Из урны извлекается одновременно 8 шаров. Какова вероятность того, что среди 8 шаров 5 черных и 3 белых?
2. Изделия изготовляются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке равна 0,04, на другом - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, будет не менее 9 годных.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией.
Fx=0 при x≤0sinx при 0<x<π21 при x≥π2Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (π6;π4), и построить графики функций F(х) и f(х).’
4. Дискретная величина X распределена по закону
X 1,3 1,5 1,7 2,2 2,8
Р 0,1 0,3 0,2 0,1 0,3
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
5. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболее вероятное число нестандартных, деталей в этой партии и вероятность его.
6. Задана выборка значений случайной величины X:
101; 102; 115; 11З; 111; 119; 118; 117; 113; 112;
117; 119; 113; 116; 114; 117; 118; 111; 114; 118.
Одна из доверительных границ для неизвестного математического ожидания равна 111,8. Определить доверительную вероятность, с которой производились вычисления доверительного интервала.
Вариант 4
1. В цехе работало 4 станка, причем вероятность остановки для каждого из них в течение часа одна и та же и равна 0,8. Построить ряд распределения вероятности числа станков, останавливавшихся в течение данного часа.
2. Определить вероятность того, что среди отобранных 500 изделий число изделий первого сорта отклонится по абсолютной величине от наивероятнейшего их числа не больше чем на 25 единиц, если доля изделия первого сорта равна Р = 0,6.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией
Fx=0 при x≤02sinx при 0<x≤π61 при x>π6Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале π12;π8 ипостроить
графики функций F(х) и f(x).
4. В круг радиуса Р вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что 4 наудачу поставленные точки в данном круге окажутся внутри треугольника.
5. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятность попадания первыми выстрелами для них равна соответственно 0,4; 0,5, а вероятность попадания при последних выстрелах для каждого увеличивается на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень.
6. Выборочная средняя и выборочная дисперсия вычисленные во выборке объема n = 8 равны соответственно X=12, Dx=49. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заданной надежностью γ = 0,95.
Вариант 5
1. Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее 2 раз; не может наступить, если событие А не имело места и наступает с вероятностью 0,6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.
2. При установившемся технологическом процессе цех выпускает в среднем 80% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет не менее 100 изделий первого сорта?
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией
Fx=0 при x<1lnx при 1≤x≤e1 при x>eНайти дифференциальную функцию f (х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (1,8; 2), и построить графики функций F(х) и f(х).
4. В коробке 15 папирос одинаковых по внешнему виду, но отли TOC \o "1-5" \h \z чающихся сортом табака, а именно: 10 папирос сорта А и 5 папирос сорта В. Из коробки берутся 6 папирос сразу. Какова вероятность того, что среди этих6 папирос окажется 4 папиросы сорта А и 2 папиросы сорта В.
5. Мишень состоит из 2 концентрических кругов с радиусами кр и нр, к меньше н. Считая равновозможным попадание в любую часть круга нр, определить вероятность того, что при 2 выстрелах будет одно попадание в круг радиуса кр.
6. Имеется выборка значений случайной величины X: 12; 13; 14,5; 17; 12,7; 15,1; 15,5. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заданной надежностьюγ = 0,9.
Вариант 6
1. Игральная кость бросается 20 раз. Какова вероятность того, что тройка выпадает не более 5 раз.
2. На склад поступает продукция трех фабрик, причем изделия 1 фабрики составляют 35%, второй 38% и третьей 27%. В продукции первой фабрики 70% изделий высшего сорта, второй - 40% и третьей - 50%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых со склада изделий, число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.
3. Дискретная величина X распределена по закону
X 2 2,4 3 3,5 4
P 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.
4. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,7. Сколько испытаний нужно произвести, чтобы вероятность отклонения частоты от 0,7 в ту или другую сторону менее чем на 0,01, была равна 0,995.
5. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наугад вынутых из ящика деталей нет бракованных.
6. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X равно 3,5. По выборке объемом n = 40 найден доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0,85.
Какой объем выборки потребуется для того, чтобы получить такой же доверительный интервал с доверительной вероятностью γ = 0,95?
Вариант 7
1. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна 0,75. Найти вероятность, что относительная частота появления события отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,001.
2. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на 1 автомате равна 0,06, на 2-м 0,09. Производительность второго автомата в 2 раза больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие с конвейера нестандартно.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x<1lgx при 1≤x≤101 при x>10Найти дифференциальную функцию f(X), математическое ожидание и дисперсию X, вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале ( 5,6 ) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) 5 мальчиков, б) мальчиков не менее 3, но не более 8.
5. В студии телевидения имеются три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
6. Нормально распределенная случайная величина имеет среднее квадратическое отклонение σ=2,5. По выборке объема n с данной доверительной вероятностью γ = 0,95. Найдены
границы доверительного интервала [11,58 + 13,22] . Определить чему был равен объем выборки n?
Вариант 8
1. С помощью карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово "карета". Карточки перемешивается, и затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность того, что в порядке поступления букв образуется слово "ракета".
2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка 0,8, для второго стрелка 0,7, для третьего 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
3. Дискретная величина X распределена по закону
X 1.2 1,5 2,3 2,7 3,3
P 0,1 0,4 0,1 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.
4. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий не менее двух не выдержат испытаний.
5. В трех урнах находятся черные и белые шары; в первой 3 черных и 2 белых, во второй 3 белых и один черный, в третьей 2 белых и 2 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и извлекает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
6. Исследуется случайная величина X , подчиняющаяся нормальному закону. Получены две выборки значений случайной величины объема n1 и n2 значений, n2 = 40. В каком соотношении находятся доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания этой случайной величины, если соответствующие доверительные вероятности равны соответственно γ1 = 0,90 и γ2 = 0,95.
Вариант 9
1. Из партии деталей, среди которых 10 штук доброкачественных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 10 штук. При контроле оказалось, что первые 4 детали доброкачественные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет доброкачественная.
2. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой жe детали на втором станке вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлено 2 детали, на втором 3 детали. Найти вероятность того, что все детали первосортны.
3. Дискретная величина X распределена по закону
X 2 4 5 5,3 6,1
P 0,15 0,2 0,25 0,3 0,1
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. Численность выборки - 800 единиц. Доля признака 0,4. Найти с вероятностью 0,8, в каких пределах находится отклонение частоты от доли.
5. В ящике 1000 билетов, из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов выигрыш по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов выигрыши по 5 рублей. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.
6. Исследована случайная величина X. Получены две выборки объема n1 и n2: n1 = 10; n2 = 15.
В каком соотношении находятся величины доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания этой случайной величины, если соответствующие доверительные вероятности равны соответственно γ1 = 0,9 и γ2 = 0,95? При решения задачи можно считать, что исправленная выборочная дисперсия при увеличении объема выборки осталась прежней.
Вариант 10
1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия.
2. Вероятность появления некоторогособытия в каждом из 18 независимыхопытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого событияпо крайнеймере три раза.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x<0 x2 при 0≤x≤11 при x>1Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (0,2; 0,3) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. В группе 20 спортсменов: 13 лыжников, 5 велосипедистов и 2 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна для лыжников 0,9; для велосипедистов 0,8; для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
5. На станке-автомате выполнили 90 изделий. Чему равна вероятность изготовления на этом станке изделия первого сорта, если наивероятнейшее число таких изделий в данной партии равно 82.
6. Выборочная средняя и исправленная выборочная дисперсия, вычисленные по малой выборке (n < 20) равны соответственно X=11;S2=20,25. Одна из доверительных границ для неизвестного математического ожидания, вычисленная е доверительной вероятностью γ = 0,99 равна 14,85.
Найти объем выборки.
Вариант 11
1. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность попадания при одном' выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
2. Вероятность появления хотя бы одного события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом эта вероятность одинакова.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4
P 0,1 0,2 . 0,2 0,2 0,3
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. В первом кармане имеется 3 монеты по 20 копеек и 4 монеты по 3 копейки. Из первого кармана в другой перекладывается наудачу пять монет. Определить вероятность извлечения из первого кармана после перекладывания монеты в 20 копеек, если монета берется наудачу.
5. Для уничтожения танка требуется не менее двух попаданий. Найти вероятность уничтожения танка десятью выстрелами, если вероятность попадания в танк при каждом выстреле равна 0,4.
6. Выборочная средняя и исправленная выборочная дисперсия, вычисленные по двум выборкам объема n1 и n2 равны X=12;S2=16. Известно, что n = 8. По обеим
выборкам вычислены доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0,95. Определить, чему равно n2, если величина
второго доверительного интервала меньше в 1,5 раза.
Вариант 12
1. Если известно, что на один лотерейный билет выпал выигрыш, то вероятность того, что выигрышем будет велосипед или стиральная малина, равны соответственно 0,03 и 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих предметов на 10 выигрышных билетов, выбранных из разных серий.
2. Вероятность поражения мишени равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:
а) не более 80 и не менее 70 раз.
б) не более 70 раз.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x<0 x3 при 0≤x≤11 при x>1Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (0,1; 0,2) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. На семи карточках написаны буквы: на 4 соответственно "т", "б", "л", "с" и на трех оставшихся буква "и". Какова вероятность, что при произвольном извлечении их в порядке поступления образуется слово "Тбилиси".
5. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит а) цифры 5; б) двух пятерок, если известно, что все номера четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные.
6. Исправленная выборочная дисперсия, вычисленная по выборке объема n = 11, равна S = 9. Одна из доверительных границ (меньшая по абсолютной величине) для неизвестного математического ожидания равна 43,95. Вычислялся доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95. Найти величину выборочной средней использованной в расчетах.
Вариант 13
1. Монету бросают 40 раз. Какова вероятность того, что герб появится не менее 15 раз и не более 25 раз.
2. Среди продукции изготовленной на данном станке брак составляет 2%. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,987 можно было ожидать, что частота бракованных деталей среди них отличается от 0,02 по абсолютной величине не больше чем на 0,03.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x≤0 x при 0<x≤11 при x>1Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (0,15; 0,2) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно P1 = 0,6, P2 = 0,7, Р3 = 0,85. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина.
5. В урне 4 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров. Одновременно вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут одного цвета.
6. Задана выборка значений случайной величины X: 56; 55; 58; 60; 52; 51; 53; 52. С доверительной вероятностью 0,95 вычислить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания. Как надо увеличить объем выборки чтобы при неизменных выборочной средней X, исправленной выборочной дисперсии. S2 и неизменном доверительном интервале доверительная вероятность оценки возросла до 0,99?
Вариант 14
1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Шары извлекаются с возвращением. Найти наивероятнейшее число выхода белых и черных шаров при 30 и 60 извлечениях. Найти соответствующие вероятности.
2. Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий окажется стандартных не менее 84.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 2 4 5,3 6,1 7,2
У 0,1 0,35 0,15 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. В партии из н изделий к бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки м изделий ровно у окажутся бракованными.
5. Партия деталей имеет 5 нестандартных и 10 стандартных, наудачу разбивается на 5 частей по три детали в каждой. Найти вероятность того, что в каждой части будет по 2 стандартной и 1 нестандартной детали.
6. Среднее квадратическое отклонение и выборочная средняя нормально распределенной случайной величины X равны соответственно σ=3,5; X=10,6. Известнаоднаиз доверительных границ доверительного интервала с доверительной вероятностью γ = 0,85. Эта доверительная граница равна 9,8. Требуется определить объем выборки n, по которой вычислялся доверительный интервал.
Вариант 15
1. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,01. Что вероятнее, выиграть по двум билетам из 4 или по 3 из 5?
2. В цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0,85 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся включенными не менее 100 станков.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x≤0 3x при 0<x≤11 при x>1Найти дифференциальную функцию f(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение заключенное в интервале (0,1; 0,4) и построить графики функций F(х) и f (х).
4. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 2,8 и среднее квадратическое отклонение равное 4,5. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (1; 3).
5. 15 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета, или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
6. Среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенной случайной величины X равны соответственно σ=2; X=12,2;n=75.
Найти доверительный интервал дня неизвестного математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0.95..
Вариант 16
1. Прибор выходит из строя, если перегорит не менее 5 ламп первого типа или не менее 2 ламп второго типа. Определить вероятность выхода из строя прибора, если известно, что перегорело 5 ламп, а вероятность перегорания ламп 1 и 2 типа равны соответственно 0,7 и 0,3.
2. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Отобрано 400 деталей, найти ту относительную частоту появления нестандартных деталей, которая с вероятностью равной 0,954 отклоняется от постоянной вероятности Р по абсолютной величине не более, чем на 0,3.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 1 3 4 5,2 7,3
P 0,3 0,2 0,1 0,15 0,25
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 6 и среднее квадратическое отклонение равное 5. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (3; 4).
5. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры новые.
6. Исследована случайная величина X со средним квадратическим отклонением σx. По выборке объема n = 40 получена выборочная средняя X=10,2. С доверительной вероятностью γ = 0,9 вычислены доверительные границы для математического ожидания 9,55 + 10,85. Вычислить по этим параметрам величину σx.
Вариант 17
1. На сборку поступают однотипные изделия из 4 цехов, вероятность брака в каждом из них соответственно равна 0,04; 0,03; 0,06; и 0,02. Первый цех доставляет 30, второй 20, третий 50 и четвертый 25 изделий. Какова вероятность, что взятое наудачу изделие окажется бракованным.
2. Вероятность появления хотя бы одного события при 4 независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=14x+x при x<21 при x≥2Найти дифференциальную функцию f - математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (1,2) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Определить вероятность получения не менее 28 очков при 3 выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15, а менее восьми очков - 0,4.
5. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 4,3 и среднее квадратическое отклонение равное 9,2. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (5,6).
6. Задана выборка значений случайной величины X : 15; 16; 18; 15; 5; 14;. 11; 18; 17; 16; 5; 14; 13,5; 19; 17,5; 12; 13,5; 17,5; 18,5; 19; 11; 13. С доверительной вероятностью γ = 0,99 вычислить доверительные границы для неизвестного математического ожидания.
Вариант 18
1. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы.
2. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонит 4 абонента.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 0,2 1,2 2,2 3,3 5,8
P 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 10 и среднее квадратическое отклонение равное 4. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (5,7).
5. Ящик содержит 60 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди трех наудачу вынутых из ящика деталей 1) нет дефектных; 2) хотя бы одна годная.
6. Задана выборка значений случайной величины X: 11,2; 10,8; 10; 12; 12,5; 13; 12,4; 14; 13,1. С доверительной вероятностью 0,95 вычислить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания. Как надо увеличить объем выборки чтобы при неизменных выборочной, средней и исправленной выборочной дисперсии уменьшить доверительный интервал вдвое? Доверительная вероятность так же считается неизменной.
Вариант 19
1. Работница текстильной фабрики обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания работницы равна для первого станка 0,8, для второго 0,9, для третьего 0,85, четвертого 0,95. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания работницы. Какова вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания работницы.
2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,64. Произведено 144 испытания. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от вероятности 0,64 по абсолютной величине не более чем на 0,04.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 1,2 2,3 2,6 2,8 2,9
P 0,1 0,1 0,3 0,4 0,1
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более 5 изделий, последовательно одно за другим. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Определить вероятность, что партия будет забракована, если процент брака в этой партии составляет 4%.
5. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 6 и среднее квадратическое отклонение равное 9. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (6; 9).
6. Имеется выборка значений случайной величины X: 101; 110; 112; 105; 103; 115; 120; 111. Одна из доверительных границ для неизвестного математического ожидания равна 121,6, Определить доверительную вероятность, с которой вычислялся доверительный интервал.
Вариант 20
1. У сборщика имеется 20 деталей, 6 изготовлено заводом №1 г. Москвы, 10 заводом №2 г. Москвы, 4 - заводом г. Ленинграда. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной в г. Москве.
2. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события А в каждом испытании равной 0,2, чтобы наивероятнейшее число появления события А в этих испытаниях было равно 20.
3. Случайная величина X задана дифференциальной функцией:
fx=12cosx при-π2≤x≤π2 0 при x<-π2 и x>π2Найти интегральную функцию F(х): математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале ( 0, π4) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 3 и среднее квадратическое отклонение равное 4. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (1; 3).
5. На участке АВ для мотоциклиста имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.
6. Выборочная средняя, вычисленная по выборке объемом n = 12 равна X=10,8.Одна из доверительных границ для неизвестного математического ожидания, вычисленная с доверительной вероятностью у = 0,999 равна 8,24. Найти исправленную выборочную дисперсию, использованную в расчетах.
Вариант 21
1. Сборщик получил 3 ящика деталей; в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором 50, из них 10 окрашенных, в третьем 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.
2. Вероятность осуществления события равна 0,36. Произведено 1000 испытаний. Какова вероятность того, что частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,02.
3. Дискретная величина X распределена по закону:
X 2 3,2 5,1 4,2 4
P 0,1 0.1 0,3 0,4 0,1
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Построить многоугольник распределения.
4. Имеется к1 урн, в каждой из которых м1 белых и н1 черных шаров и к2 урн, содержащих по м2 белых и н2 черных шаров. Извлеченный из наудачу взятой урны один шар оказался белым. Какова вероятность того, что данный шар извлечен из первой урны?
5. Два баскетболиста делают по два броска мячом в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.
6. Имеется выборка значений случайной величины X: 152; 160; 151; 153; 152; 158; 155; 156. С доверительной вероятностью γ = 0,95 вычислить доверительные границы для неизвестного математического ожидания. Как изменятся доверительные границы, если будет известно среднее квадратическое отклонение σx? Для анализа приравнять σ= δ.Вариант 22
1. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 500 деталей, относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности 0,2 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
2. Имеется пять билетов, стоимостью по одному рублю. Три билета по три рубля и два билета по два рубля. Наудачу берутся 3 билета. Определить вероятность того, что а) хотя бы 2 из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все три билета стоят 7 рублей.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=0 при x<-π212sinx+1 при -π2≤x≤π21 при x>π2Найти дифференциальную функцию f(х): математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (0;π4) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Для некоторой местности число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми?
5. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 2,5 и среднее квадратическое отклонение равное 0,5. Найти вероятность того, что X принимает значение из интервала (0; 1).
6. Среднее квадратическое отклонение и объем выборки случайной величины X равны соответственно σ=3;n=35. Доверительные границы для неизвестного математического ожидания известны и равны 9,4; 11,4. Найти доверительную вероятность γ.
Вариант 23
1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не требует внимания рабочего, равна 0,7. Для второго эта вероятность равна 0,8, ддя третьего - 0,9 и для четвертого - 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа по крайней мере один станок потребует к себе внимания рабочего.
2. Вероятность выхода из строя изделия завремяиспытанийна надежность равна 0,05, Какова вероятность, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строяа) не менее 5 изделий; б) менее 5 изделий; в) от 10 до 20изделий.
3. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией:
fx=1π1+x2Найти интегральную функцию F(х): математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (0; 1) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание равное 5 и среднее квадратическое отклонение равное 2. Найти вероятность того, что X принимает
значение из интервала ( 2; 5 ).
5. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,8. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было ожидать, что среди них есть хотя бы одно изделие не первого сорта?
6. Выборочная средняя и исправленная дисперсия, вычисленные по выборке объема n = 10, равны соответственно X=11,2;S2=30,25. Вычислить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заданной доверительной вероятностьюγ = 0,95. Как изменятся доверительные границы, если при неизменных параметрах задачи объем выборки возрастет до 48.
Вариант 24
1. Вероятности перегорания первой, второй и третьей ламп pавны соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Вероятности выхода из строя прибора при перегорании одной, двух и трех ламп равны соответственно 0,25; 0,6; 0,9. Определить вероятность выхода из строя прибора.
2. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
3. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:
Fx=1πarctg x+12Найти дифференциальную функцию F(х); математическое ожидание и дисперсию X; вероятность того, что X принимает значение, заключенное в интервале (-1; 1) и построить графики функций F(х) и f(х).
4. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того, что опыт окончится до шестого бросания.
5. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0, 8; 7 - с вероятностью 0, 7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
6. Среднее квадратическое отклонение и выборочная средняя нормально распределенной случайной величины X равны соответственно σx; X=11,6. По выборке объема n = 42 вычислены доверительные границы для неизвестного математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0,85 Одна из доверительных границ равна 12,49. По приведенным данным требуется восстановить значение σx.

Приложенные файлы

  • docx 26538018
    Размер файла: 66 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий