Основные_теоремы_2

Основные теоремы теории вероятностей 2

Формулы полной вероятности и Байеса

У Танечки в левом кармане три конфеты «Былина» и одна «Маска», а в правом
· две «Былины» и две «Маски». Она достала две конфеты из одного кармана, и оказалось, что одна из них «Былина», а другая
· «Маска». Чему равны вероятности, что она достала конфеты из левого кармана, из правого кармана?
В цехе работают 20 станков, из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятности того, что качество деталей окажется отличным, для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
Мы покупаем в бутике ботинки фирмы «Salamander»: с вероятностью 0,2 они сделаны в Германии, 0,5
· в Китае, 0,3
· в Одессе на Малой Арнаутской. Немецкие ботинки выходят из строя с вероятностью 0,001, китайские
· 0,3, одесские
· 0,05. Найдите вероятность того, что купленные ботинки выйдут из строя.
Старшая сестра моет посуду 5 раз в неделю, вероятность для нее разбить тарелку равна 0,05. Младшая моет в оставшиеся дни и может разбить тарелку с вероятностью 0,2. а) Какова вероятность, что сегодня будет разбита тарелка? б) Тарелка разбита. Какова вероятность, что ее разбила младшая сестра?
Строгий начальник Иван Иванович подписывает своим подчиненным заявления на внеочередной отпуск с вероятностью 0,63, если он встал в этот день с правой ноги; с вероятностью 0,35, если
· с левой и с вероятностью 0,75, если встал на обе ноги. Из кругов, близких к Ивану Ивановичу, известно, что в течение месяца (30 дней) он в среднем 10 раз встает с правой ноги, 15
· с левой и 5
· на обе. Степан Степанович хочет подписать заявление на внеочередной отпуск. Какова вероятность, что заявление будет подписано?
В магазин привезли две партии апельсинов. В первой партии 15 ящиков, в которых 10% апельсинов испорчены, во второй партии 20 ящиков и 8% апельсинов испорчены. Продавец наудачу из произвольного ящика вынимает апельсин. Какова вероятность, что он испорчен?
Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 6%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 4% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А., дефект В встречается в 1% случаев. Найдите вероятность встретить дефект В во всей продукции.
Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найдите вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.
При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго
· 0,45. Вероятность признания бездефектного изделия стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго
· 0,98. Бездефектное изделие при проверке было признано стандартным. Найдите вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

Схема Бернулли

Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди 5 случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных.
Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на 2, 3 и 4 вопроса для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).
Подсчитано, что 10% открывающихся новых фирм прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6 фирм не более двух прекратят работу в течение года?
Пусть вероятность того, что расход электроэнергии в течение дня в МГТУ не превзойдет некоторую величину (нормальный расход), равна 0,8. Найдите вероятность того, что расход электроэнергии будет нормальным за неделю в течение 4 дней. Найдите наивероятнейшее число дней с нормальным расходом и соответствующую вероятность.
Банк имеет 6 отделений. С вероятностью 0,2 независимо от других каждое отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-премьеров банка знакомится с поступившими заявками. Какова вероятность того, что будет а) ровно 2 заявки, б) хотя бы одна заявка? Какова вероятность того, что есть заявка от первого отделения, если поступило две заявки?
В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что при проверке будет обнаружено а) 3 ошибочно упакованных пакета, б) не более трех пакетов.
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найдите наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найдите вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят а) 180, б) не менее 180.
Известно, что в среднем 60% всего числа изготавливаемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется а) 6 аппаратов 1 сорта, если партия содержит 10 аппаратов, б)  120 аппаратов 1 сорта, если партия содержит 200 аппаратов?
Рассмотрим всевозможные семьи с двумя детьми. Половина таких семей
· «удачные», т.е. число мальчиков в семье совпадает с числом девочек. Обстоит ли аналогично дело для семей с 4 детьми? Предполагается, что рождение мальчика и девочки равновероятно.

Дополнительные задачи

Электрические схемы, о которых речь пойдет дальше, собраны из элементов, которые могут в момент включения с вероятностью 0,5 проводить ток и с вероятностью 0,5 не проводить. Состояние каждого из элементов не влияет на состояние остальных.
а) Известно, что цепь (схема 2) проводит ток. Какова вероятность того, что элемент 1 проводит ток? Какова вероятность того, что элемент 2 проводит ток? Какая из вероятностей больше?
б) Известно, что цепь (схема 3) проводит ток. Чему равны вероятности того, что ток проводят участки I, II и III?
в) Известно, что цепь (схема 4) не проводит ток. Каковы вероятности того, ток не проводят участки I, II и III?
Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?
В первой урне находятся 6 белых и 4 черных шара, во второй
· 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Три игрока по очереди извлекают по одному шару, отмечают цвет и возвращают шар обратно. Выигрывает тот, кто первым достанет черный шар. Найдите вероятность выигрыша для каждого из игроков, если игра может продолжаться неограниченно.
Морис едет на работу либо на собственной машине (и тогда из-за пробок в пути опаздывает в половине случаев), либо на метро (и тогда опаздывает только один раз из четырех). Если в какой-то день Морис пребывает на службу вовремя, то на следующий день всегда пользуется тем же транспортом, что и накануне, а если он опаздывает на службу, то на следующий день обязательно меняет вид транспорта. Зная все это, скажите, много ли шансов у Мориса опоздать на службу, когда он поедет туда 475-й раз?

Билет для АКР по «Случайным событиям» содержит задачи по темам:
Алгебра событий,
Теоремы сложения и умножения,
Формулы полной вероятности и Байеса,
Схема Бернулли (разные случаи),
Классическая или геометрическая вероятность.

Порядок расположения задач в билете может быть любым!

АКР. Случайные события
Вариант 0

Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 попадание 13 EMBED Equation.3 1415-го стрелка в мишень 13 EMBED Equation.3 1415. Выразите через 13 EMBED Equation.3 1415 следующие события: 13 EMBED Equation.3 1415 три попадания, 13 EMBED Equation.3 1415 ровно два попадания, 13 EMBED Equation.3 1415 хотя бы одно попадание.
Какова вероятность того, что четырехзначное число, в десятичной записи которого используются по одному разу цифры 5, 2, 3, 1, делится на 4?
Ответ. 1/4
В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено а) три ошибочно упакованных пакета, б) не более трех пакетов.
Ответ. 0,007, 0,999.
В цехе работают 20 станков, из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
Ответ. 83%.
В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что будет вынут хотя бы один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Ответ. 7/9.

Приложенные файлы

  • doc 26521657
    Размер файла: 50 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий