Жауап 1часть


Возможности моделирования, предоставляемые пакетом прикладных программ Control System Toolbox (СST) и MATLAB Simulink.
Для проведения исследований и проектирования систем управления в состав системы MATLAB включены несколько ППП, предоставляющих широкий набор проблемно-ориентированных инструментальных средств. Одним из таких пакетов является ППП Control System Toolbox, который содержит комплекс программ, реализующих специальные методы теории управления, предназначенные для анализа и синтеза линейных непрерывных и дискретных стационарных систем управления. Пакет реализован с привлечением принципов объектно-ориентированного программирования, в соответствии с которыми все процедуры в ППП производятся с представителями специально введенного класса объектов – LTI-объектов, определяющих линейные системы с постоянными параметрами [1].Особую роль для специалистов в области теории управления, обращающихся в своих исследованиях к инструментарию среды MATLAB, играет подсистема Simulink – компонента MATLAB, представляющая собой удобное и эффективное средство компьютерного и имитационного моделирования динамических процессов. 
Выражение для частотных характеристик типовых звеньев
Типовым динамическим звеном САР является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие. Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала он на выходе также стремится к постоянному значению. Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики. Передаточную функцию любой САР в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующего вида:
,
где K, n, T, ,  – постоянные величины, причём , , , 0 <  < 1,  > 0.
Дайте определение статической и динамической системам, непрерывной и дискретной системам
Статическая система — это такая система автоматического регулирования, в которой ошибка регулирования стремится к постоянному значению при входном воздействии, стремящемся к некоторому постоянному значению. Иными словами статическая система не может обеспечить постоянства управляемого параметра при переменной нагрузке.
Зависимость между значением управляемого параметра и величиной внешнего воздействия (нагрузкой) на объект управления. По виду зависимости между значением управляемого параметра и нагрузкой системы делят на статические и динамические. Зависимость динамической ошибки (q) от времени (t) для систем в установившемся режиме имеет вид q(t) = x(t) — y(t), где x(t) — сигнал управления, y(t) — выходная характеристика.
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [2].
В системах непрерывного действия (непрерывных системах) существуют только непрерывные сигналы, являющиеся непрерывными функциями времени. Все звенья этих САУ— звенья непрерывного действия, т. е. их входные и выходные величины представляют собой непрерывные сигналы.
САУ дискретного дёйствия (дискретной САУ) называется система, в которой хотя бы одна величина представляет собой дискретный сигнал. Дискретный сигнал изменяется во времени дискретно, скачками . Существуют дискретные САУ, в которых имеются только дискретные сигналы. Такие системы состоят полностью из звеньев дискретного действия, входные и выходные величины, которых являются дискретными. Однако в большинстве дискретных систем имеются как дискретные, так и непрерывные сигналы. В состав таких систем наряду со звеньями непрерывного и дискретного действия входят звенья, преобразующие непрерывные сигналы в дискретные, и звенья, осуществляющие обратное преобразование.
Преобразование непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием сигнала. Существуют два основных вида квантования: по уровню и по времени .Запуск пакета MatLab? Интерфейс и возможности трех последних версий системы MATLAB в рамках предназначения данной книги как самоучителя различаются незначительно. Однако при описании отдельных деталей системы желательно ориентироваться на какую либо конкретную версию системы. В качестве таковой вначале рассмотрим под версию MATLAB R2006b. Она распространена намного больше, чем новейшие MATLAB R2007a,b. О новых возможностях их будет сказано немного позднее. Пока же отметим, что в рамках материалов, характерных для данной книги самоучителя, разница между различными версиями базовой системы. MATLAB практически отсутствует. MATLAB (к примеру, R2006b) обычно запускается из главного меню операционной системы Windows XP или активизацией ярлыка с логотипом системы нарабочем столе Windows. После запуска MATLAB на экране появляется основное окно системы MATLAB, показанное на рис. 1.1. Оно имеет обычные средства управления размерами, скрытия и закрытия. В окне командного режима показано окно About MATLAB, которое выводится одноименной командой в позиции Help меню и позволяет уточнить версию системы. Система готова к проведению вычислений в командном режиме. Полезно знать, что в начале запуска автоматически выполняется команда matlabrc, которая исполняет загрузочный файл matlabrc.m и файл startup.m, если таковой существует. Эти файлы текстового формата выполняют начальную настройку терминала системы и задают ряд ее параметров.
Какими характеристиками определяются дискретные системы идентификации?
Функция fvtool по существу представляет собой графическую среду, предназначенную для анализа и визуализации характеристик дискретных систем (Filter Visualization Tool). Однако, в отличие от других графических сред пакета, fvtool действительно является функцией, поскольку при вызове требует наличия входных параметров — коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи анализируемого фильтра. Существенным достоинством данной функции является возможность одновременного просмотра характеристик нескольких фильтров
Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.
Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.
Какими уравнениями описывается математическая модель объекта управления с учетом алгоритмов общего параметра?
Математи́ческая моде́ль это математическое представление реальности[1]. Является частным случаем понятия модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системеМатематические модели могут быть детерменированными и стохастическими.Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.
Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модельбывают статистическими идинамическими.Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени. В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.
Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.
Линейные модели- все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.
Какие элементы содержит рабочая среда MatLab?Рабочая среда MatLab 6.х содержит следующие элементы:
панель инструментов с кнопками и раскрывающимся списком;
окно с вкладками Launch Pad и Workspace, из которого можно получить доступ к различным модулям ToolBox и к содержимому рабочей среды;
окно с вкладками Command History и Current Directory, предназначенное для просмотра и повторного вызова ранее введенных команд, а также для установки текущего каталога;
командное окно, в котором находится приглашение к вводу » и мигающий вертикальный курсор;
строку состояния
Как определяются по АЧХ параметры звена?
Методы определения амплитудно-частотных характеристик
1Экспериментальный:
На вход системы (звена) подаётся гармонический синусоидальный сигнал постоянной амплитуды , частота которого изменяется заданном диапазоне;
Для каждой частоты измеряются амплитуды выходного сигнала.
Находят соотношение ;
Изменяя частоту от нуля до наибольшего значения, строят графики -; Аналитический:
Определяют передаточную функцию системы (звена) W(p);
Заменяют в выражении ПФ оператор р на ,
получают комплексную амплитудно-фазовую частотную характеристику (комплексный коэффициент передачи) системы (звена)

Где - вещественная частотная характеристика; - мнимая частотная характеристика.Эти характеристики не имеют физического смысла и не могут быть получены экспериментально, но они используются для определения амплитудно-частотной характеристики . На комплексной плоскости комплексная частотная характеристика представляется вектором
Какие различные формы имеет функция plot?
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов y от их индексов. Если в качестве аргументов заданы два вектора, то plot(x,y) создаст график зависимости y от x. Например, для построения графика функции sin в интервале от 0 до 2p, сделаем следующее. Программа построила график зависимости, который отображается в окне Figure 1. MatLab автоматически присваивает каждому графику свой цвет (исключая случаи, когда это делает пользователь), что позволяет различать наборы данных. Команда hold on позволяет добавлять кривые на существующий график. Функция subplot позволяет выводить множество графиков в одном окне. Рассмотрение возможностей MatLab по визуализации данных начнем с двумерных графиков, которые обычно строятся с помощью функции plot(). Множество вариантов работы данной функции лучше всего рассмотреть на конкретных примерах. Предположим, что требуется вывести график функции синуса в диапазоне от 0 до pi. Для этого зададим вектор (множество) точек по оси Ox, в которых будут отображаться значения функции синуса: x = 0:0.01:pi; В результате получится вектор столбец со множеством значений от 0 до pi и с шагом 0,01. Затем, вычислим множество значений функции синуса в этих точках: y = sin(x); и выведем результат на экран plot(x,y); Представленная запись функции plot() показывает, что сначала записывается аргумент со множеством точек оси Ох, а затем, аргумент со множеством точек оси Oy. Зная эти значения, функция plot() имеет возможность построить точки на плоскости и линейно их интерполировать для придания непрерывного вида графика.
42. Какая функция позволяет выводить множество графиков в одном окне?
Функция subplot позволяет выводить множество графиков в одном окне. Данная команда выполняется перед обращением к функциям построения графиков для одновременной выдачи нескольких графиков в различных частях графического окна. Команды subplot(mnp) или subplot(m, n, p), где mnp - 3 цифры, производит разбивку графического окна на несколько подокон, создавая при этом новые объекты axes; значение m указывает, на сколько частей разбивается окно по горизонтали, n - по вертикали, а p - номер подокна, куда будет выводиться очередной график. Эти же команды могут использоваться для перехода от одного подокна к другому. Команда subplot(h), где h - дескриптор для объекта axes соответствующего подокна, - другой способ выбора подокна для размещения графика. Команды clf, subplot(111), subplot(1, 1, 1) выполняют одну и ту же функцию - удаляют все подокна и возвращают графическое окно в штатное состояние. Пример: В верхней части экрана строится функция y1 = sin(x), в нижней - y2 = log(abs(y)). x = -1:.1:1; y1 = sin(x); subplot(2, 1, 1), plot(x, y1) y2 = log(abs(y1)); subplot(2, 1, 2), plot(x, y2).43. Какая команда позволяет добавлять кривые на существующий график? Команда hold on позволяет добавлять кривые на существующий график. Команда hold on включает режим сохранения текущего графика и свойств объекта axes, так что последующие команды приведут к добавлению новых графиков в графическом окне.Команда hold off выключает режим сохранения графика. Команда hold реализует переключение от одного режима к другому. Команды hold воздействуют на значения свойства NextPlot объектов figure и axes: hold on присваивает свойству NextPlot для текущих объектов figure и axes значение add;
hold off присваивает свойству NextPlot для текущих объектов figure и axes значение replace.
Математическая модель САУ в пространстве состояний. Нормальная форма в пространстве состояний
Для математического описания САУ по её функциональной схеме (рис. В1) определяется состав её отдельных звеньев, связанных друг с другом и с внешней средой. Основными формами представления операторов преобразования входных переменныхg(t) и f(t) в переменные выхода y(t) в конечномерных линейных непрерывных стационарных детерминированных моделях звеньев и САУ являются линейные дифференциальные уравнения,операторные функции передачи, временные и частотные характеристики Линейные дифференциальные уравнения описывают процессы, происходящие в каждом звене САУ в виде зависимости выходной величины x2(t) от входного воздействия x1(t). Эти уравнения называются математическими моделями звеньев и для звеньев разной физической природы составляются по законам соответствующей науки (механики, электротехники, термодинамики и др.), нелинейные уравнения линеаризуются. Совокупность уравнений (математических моделей) взаимосвязанных звеньев САУ образуют систему дифференциальных уравнений САУ, называемуюматематической моделью САУ [1, 2, 6].Для описания математической модели САУ обычно используют три способа [1, 2]:1) поэлементное описание САУ с учётом взаимодействия каждого звена с другими звеньями и с внешней средой, при этом модель САУ описывается системой дифференциальных уравнений, учитывающих все параметры звеньев, входные и выходные величины (координаты) процессов управления, что обеспечивает возможность физической интерпретации всех процессов управления;2) системное описание САУ представляется одним уравнением, которое получается из поэлементного описания САУ методом подстановок для исключения промежуточных координат процесса управления и учитывает только зависимость выходного процесса (выходной величины) САУ от входного процесса (входных величин) при утрате возможностей физической интерпретации процессов управления, происходящих внутри САУ;3) векторно-матричное описание САУ в пространстве переменных состояния системы, позволяющее учитывать все параметры и переменные величины (координаты) САУ и вести расчёты с применением ЭВМ при возможности физической интерпретации происходящих процессов управления в САУ. Назначение программы MATLAB. MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory», в русском языке произносится как Матла́б) — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB используют более 1 000 000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris (начиная с версии R2010b поддержка SolarisпрекращенаHYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/MATLAB" \l "cite_note-3"[3]) и Microsoft Windows[4].Назначение системы Matlab
Система Matlab - это универсальное приложение для исследователей, которые занимаются разработкой нового оборудования, алгоритмов, программ.
Основным достоинством Matlab является относительная простота манипуляций с матричными и другими видами данных, а также удобными средствами вывода всевозможных графиков. Но это только надводная часть айсберга. Главное преимущество данной системы в том, что в ней реализованы многочисленные эффективные математические алгоритмы практически для всех областей деятельности. Например, вам не придется самостоятельно писать программы для решения систем уравнений или оптимизации - всё уже реализовано.
Назовите два способа запуска пакета Simulink ?1.Запустить Simulink из среды MATLAB.
Обычно Simulink запускается соответствующей кнопкой из панели инструментов,
что было описано в задании 2, после чего все последующие действия выполняются в сре-
де MATLAB + Simulink. Можно также запустить Simulink, выполнив в командной строке
MATLAB команду
>> simulink 2.Для запуска пакета Simulink щелкните по кнопке в командном окне Matlab или введите команду simulink в командной строке.
Назовите основные разделы Simulink?
Меню окна блок-диаграммы Simulink
Меню окна блок-диаграммы (в дальнейшем для краткости будем называть его меню пользователя) содержит четыре основных раздела:  HYPERLINK "http://imed.narod.ru/el_mech/simulink.htm" \l "File" File, Edit, Simulation и Format.Раздел FileNew - создание нового окна блок-диаграммы; команда имеет два варианта:
Model (открыть окно для создания S-модели) иLibrary (открыть окно для создания нового раздела библиотеки Simulink.Ореп - открыть mdl-файл; при выборе данного пункта открывается стандартное диалоговое окно файловой системы Windows, с помощью которого можно найти и открыть требуемый файл, имеющий расширение mdl.
Close - закрыть окно блок-диаграммы (и соответствующий mdl-файл).
Save - сохранить (записать на диск) mdl-файл; если данный файл записываетcя впервые, то при выборе этой команды открывается диалоговое окно, с помощью которого пользователь может выбрать новое имя файла (вместо untitled) и каталог, в котором будет производиться запись; если же файл уже записывался на диск ранее, то при выполнении команды Save он будет сохранен под прежним именем и в том же каталоге (при этом диалоговое окно не открывается).
Save as... - команда позволяет сохранить файл под новым именем или в другом каталоге; при ее выполнении открывается диалоговое окно файловой системы Windows. [M] - признак «маскированной» подсистемы; это означает, что непосредственно содержимое такой подсистемы просмотреть нельзя;
[L] - признак того, что подсистема взята из библиотеки и не подлежит редактированию из окна блок-диаграммы;
[O] - соответствующая подсистема представляет собой информационное окно;
[S] - признак подсистемы типа Stateflow chart (Диаграмма состоянии). Такие подсистемы разрабатываются с помощью специального инструментального средства Matlab - Stateflow.
В нижней части окна броузера расположены три дополнительные «сервисные» кнопки:
Не1р - вывод справки по броузеру (открывается соответствующий раздел встроенной справочной системы пакета Matlab);
Print - вывод на печать информации о модели; команда выполняется так же, как одноименная команда из раздела File; особенности ее использования будут рассмотрены ниже.
С1оse - закрытие окна броузера.
Нули и полюса передаточной функции
Передаточная функция ЛНСС имеет вид рациональной функции, т.е. отношения двух полиномов от s. В соответствии с теоремой о разложении многочлена каждый многочлен степени nможет бытьединственным образом представлен (факторизован) в виде произведения постоянной и n линейных множителей,где sk – корни многочлена, корню sk кратности mk соответствует mk множителей (s -sk ).При этом для многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни обязательно встречаются только как комплексно - сопряженные пары. Иначе соответствующие коэффициенты многочлена не будут действительными. Каждая такая пара множителей перемножением может быть представлена как действительный квадратичный множитель .
Таким образом, рациональная передаточная функция системы с действительными коэффициентами может быть представлена в виде (факторизованная форма ПФ):
Здесь - корни многочлена – числителя, они называются нулями H(s),- корни многочлена – знаменателя называются полюсами H(s), - усиление системы (gain). При этом каждая пара множителей с комплексно-сопряженными корнями можем быть объединена в один квадратичный член.
В точке нуля , в точке полюса .Пример. Система второго порядка с передаточной функцией . Нули и полюса системы:
График передаточной функции такой системы.
Код: >> [x,y]=meshgrid(-2:0.05:1, -2:0.05:2); s=x+y*j;
>> H=(s+0)./((s+1).^2+1); surf(x,y,abs(H))
Из факторизованного выражения H(s) следует, что нули и полюса однозначно определяют передаточную функцию, а значит и саму систему с точностью до константы k - усиления системы. Следовательно, положение полюсов и нулей ПФ полностью определяет поведение передаточной функции и частотной характеристики системы, т.е. её динамические свойства. Поэтому добавление/удаление полюсов и нулей, выбор их положения широко используются в практике анализа и синтеза систем, чтобы получить систему с нужными свойствами.Обычно полюса и нули для наглядности отображаются в виде точек на комплексной плоскости. Например, диаграмма полюсов и нулей для передаточной функции
Вычисление ПФ по расположению нулей и полюсов в Matlab
>> z = -1; p=[-2 1+j 1-j]; k =1; [num,den]=zp2tf(z,p,k)
num = 0 0 1 1
den = 1 0 -2 4 Поэтому Если , то факторизованная ПФ системы дает её частотную характеристику в виде
Следовательно, АЧХ - произведение/частное членов вида .
Фазо - частотная характеристика равна сумме углов нулей системы минус сумма углов полюсов. Углы отсчитываются от действительной оси плоскости s.
Определите условия устойчивости алгоритмов параметрической идентификации.


Определите условия устойчивости процессов идентификации дискретной системы.
Поскольку характеристический полином произвольного порядка с действительными коэффициентами может быть разложен на произведение полиномов первой и второй степени, то сложный алгоритм, определяемый передаточной функцией общего вида, может быть сведен к последовательному выполнению дискретных алгоритмов первого и второго порядков, свойства которых рассмотрены выше.
Кроме того, Z-передаточную функцию звена произвольного порядка в соответствии с теоремой Хевисайда можно разложить на элементарные слагаемые [7], к каждому из которых применимы сформулированные выше критерии устойчивости и качества:

Для того чтобы этот объект был устойчивым, устойчивыми должны быть элементарные звенья, составляющие эквивалентную схему объекта. Для упрощения изложения принято, что характеристический Z-полином не содержит кратных корней.
Т.о. достаточное условие устойчивости дискретного звена произвольного порядка: коэффициенты характеристических Z-полиномов элементарных звеньев, составляющих произвольное дискретное звено, должны располагаться внутри гиперпараллепипеда в гиперпространстве, т.е. |а11i| < 1, |а12i| < 0.5 и |а22j| < 0.5 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.
Необходимое условие устойчивости : |а11i| < 1, |а12j| < 2 и |а22j| < 1 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.
Аналогично можно ввести и критерий качества переходного процесса дискретного звена произвольного порядка: коэффициенты характеристических Z-полиномов элементарных звеньев, составляющих произвольное дискретное звено, должны располагаться внутри гиперпараллепипеда в гиперпространстве, т.е. |а11i| < 0.5, |а12j| < 0.35 и |а22ja22j| < 0.35 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.Конечно, эти критерии не так удобны, как те, что сформулированы для дискретных звеньев первого и второго порядков, поскольку требует предварительного разложения характеристического Z-передаточной функции на простые слагаемые.
Отметим, что поскольку характеристический Z-полином дискретного звена произвольного порядка может быть разложен на элементарные сомножители первого и второго порядка, то при этом достаточное и необходимое условия, как устойчивости, так и качества будут иметь аналогичный вид.
Основные этапы работы с программой.
Программный код Matlab, основные этапы и особенности его разработки. Принципы работы со скриптами и функциями, их структура. Типы и функциональные возможности комментариев. Входные и выходные параметры. Создание p-кода. Вывод данных в командное окно.
 Основные соединения звеньев
Систему автоматического управления можно рассматривать как комбинацию типовых динамических звеньев. Изображение системы управления в виде совокупности типовых и нетиповых динамических звеньев с указанием связей между ними носит название структурной схемы системы. Звено в этом случае выступает как элементарная структурная единица, преобразователь информации.Структурные схемы состоят из отдельных структурных элементов. Основными элементами структурных схем являются следующие.
1. Звено с одним входом и одним выходом: Y(s)=W(s)X(s).
 
2.   Звено с двумя входами и одним выходом (около каждого входа записывается своя передаточная функция):Y(s)=W1(s)X1(s)+W2(s)X2(s)

3. Линия связи и узел (разветвление), стрелка показывает направление передачи информации.
         и             
4. Сумматор.          
                                 
5. Элемент сравнения.
 или     
 
В системах управления встречаются три вида соединений звеньев: последовательное,  HYPERLINK "http://sell4u.narod.ru/tau/22.html" \l "Параллельное_соединение" параллельное и  HYPERLINK "http://sell4u.narod.ru/tau/22.html" \l "Обратная_связь" соединение по схеме с обратной связью.Последовательное соединение звеньев изображено на рис.3.10, такое соединение характеризуется тем, что  выход предыдущего звена подается на вход последующего.

Рис. 3.10. Последовательное соединение звеньев
 Выходная величина последовательно соединенных звеньев определяется     .
Откуда результирующая передаточная функция  равняется
.
Следовательно, в общем случае можно записать
,                               (3.51)
где n - число включенных последовательно звеньев.Таким образом, результирующая передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций составляющих звеньев.Параллельное соединение звеньев изображено на рис.3.11, такое соединение характеризуется тем, что на входы всех звеньев подается одно и то же входное воздействие, а выходная величина определяется суммой выходных величин отдельных звеньев.
 

Рис. 3.11. Параллельное соединение звеньев
 
Выходная величина параллельно соединенных звеньев определяется   y=y1+y2+y3, т.е.
.
Тогда             .
В общем случае
,                                 (3.52)
где n - число включенных параллельно звеньев.Таким образом, результирующая передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций составляющих звеньев.Обратная связь. Такое соединение звеньев изображено на рис.3.12, оно характеризуется тем, что  выходной сигнал звена подается на его вход.

Рис. 3.12. Соединение звеньев по схеме с обратной связью
 Обратная связь может быть положительной (ПОС), если сигнал y1, снимаемый с выхода второго звена, суммируется с сигналом x на входе, и отрицательной (ООС), если y1  вычитается. Кроме того, обратные связи могут быть жесткими и гибкими. Связь называется гибкой, если передаточная функция W2(s) в установившемся режиме равна нулю.
Для определения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем очевидные соотношения:  ,         
где знак “+” относится к положительной, а знак “-” - к отрицательной обратной связи.
Откуда результирующая передаточная функция обратной связи имеет вид
  ,                           (3.53)
где знак “+” соответствует ООС, знак “” - ПОС.
Основные преобразования звеньев.
Систему автоматического управления можно представить в виде соединения звеньев. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. Эти зависимости определяются с помощью дифференциальных уравнений.         Рассмотрим простейший случай линейного звена непрерывного действия, у которого все процессы описываются с помощью линейных дифференциальных уравнений. Связь между выходной ( Y ) и входной ( X ) величинами линейного звена или линейной системы выражается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами :
.                    (2.1)                   (2.1)        Для описания свойств звеньев более удобно пользоваться не непосредственно дифференциальными уравнениями, а следующими коэффициентами или функциями, вытекающими из уравнения (2.1) и также полно определяющими связь между входной и выходной величинами звеньев:          передаточной функцией;          переходной характеристикой (функцией);          комплексным коэффициентом передачи (ККП).        Для определения передаточной и переходной функций звена наиболее целесообразно использовать преобразование Лапласа, которое основано на двух следующих формулах:        - прямого преобразования Лапласа
 
             (2.2)
       - обратного преобразования Лапласа
                   .                                         
(2.3)
Здесь - обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа.Преобразованная по Лапласу величина называется изображением и обозначается через  соответственно для входной и выходной величин. Под ""подразумевается комплексная частота . Если , преобразование Лапласа превращается в его частный случай - преобразование Фурье.В справочниках по математике имеются таблицы преобразования Лапласа для различных функций, встречающихся в практических задачах. Основные формулы из этих таблиц приведены в прил. 1.Передаточной функцией линейного звена  называется отношение изображения выходной величины  к изображению входной величины  при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в звене :Особенности построения АФЧХ, АЧХ, ФЧХ
Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного сигналов.

АЧХ показывает, как с изменением частоты от нуля до



бесконечности, изменяется амплитуда выходного сигнала при постоянной амплитуде входного сигнала.
Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость от частоты разности фаз входного и выходного сигналоФЧХ показывает, как с изменением частоты от нуля до бесконечности изменяется сдвиг фаз между входным и выходным гармоническими сигналами



31769052045970.Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.Термин употребляется также в применении к передаточной функции системы, записанной в виде преобразования Фурье выходного сигнала, поделённого на преобразование Фурьевходного сигнала.

Особенности построения ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)
, (2.43)
Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Амплитудно-частотная характеристика:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет начальный наклон - 12 дб / октаеа.ЛФЧХ - это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе
-по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
-по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах. Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются. Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе - возможность исследования характеристик в большом диапазоне.Построение асимптотической ЛФЧХ Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением
Представьте блок-схему системы параметрической идентификации с адаптивной моделью.
Модель – приближённая и объект изменяется во времени. Улучшение модели называется идентификацией (повышение её точности). Идентификация имеет 2 стороны:структурная; параметрическая.Под структурной идентификацией понимается приближение структуры модели к реальной так, чтобы она наилучшим образом отражала объект. Так как объекты могут быть самыми различными (механическими, экологическими и др.) нельзя придумать формальных методов структурной идентификации.параметрическая идентификация – это улучшение значений параметров модели с целью повышения точности модели. Точность всегда понимается как разность между прогнозируемым и тем, что получаем.
Адаптация означает подстройку параметров регулятора, его самообучение. Параметры регулятора зависят от параметров объекта и обычно выражаются через них. Изначально параметры объекта не всегда известны с достаточной степенью точности или “плывут” во времени, что и вынуждает прибегать к адаптации. Поэтому адаптации – изменению характеристик регулятора – обычно предшествует процедура уточнения характеристик объекта по результатам измерения входных и выходных величин, которая называется идентификацией.
Представьте схему дискретной системы с моделью объекта
Представление математического описания объектов управления мехатронных систем в пакете Control System Toolbox [14].Пакет Control System Toolbox предназначен для моделирования, анализа и проектирования непрерывных и дискретных систем автоматического управления. Функции пакета реализуют методы исследования динамических систем, основанные на использовании передаточных функций и моделей для переменных состояния. Частотные и временные характеристики, нули и полюсы системы легко вычисляются и отображаются в виде графиков и диаграмм.Рассмотрим способы математического описания линейных осистем, которые предоставляются пакетом расширения Control System Toolbox (CST).Исследование систем автоматического управления начинается с создания математической модели. В пакете CST линейные модели могут быть представлены в четырех формах: - передаточная функция (tf); - нули, полюса и коэффициент усиления (zpk); - пространство состояния (ss); - системная функция (frd). 
Математическое описание непрерывных объектов управления в мехатронных системах.Для того, чтобы исследовать динамику объекта управления необходимо располагать его математическим описанием, т. е. системой дифференциальных уравнений, характеризующих зависимости координат и внешних воздействий друг от друга. Наиболее распространенными способами математического описания мехатронных систем являются: 
дифференциальные уравнения, записываемые в той или иной форме; 
уравнения состояний - система дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши;
передаточные функции;
системные функции (амплитулно-частотные, фазо-частотные, амплитудно-фазовые характеристики);
Принципы функционирования программных пакетов MATLAB.MatLab  предоставляет  широкие  возможности  для  работы  с  сигналами, для расчета и проектирования аналоговых и цифровых фильтров, включая по-строение их частотных, импульсных и переходных характеристик. Имеются в системе и средства выполнения спектрального анализа и синтеза, в частности, реализации прямого и обратного преобразования Фурье. Благодаря этому ее довольно  удобно  использовать  при  проектировании  электронных  устройств. С  системой  MatLab  поставляются  свыше  ста  подробно  прокомментированных Мфайлов, которые содержат демонстрационные примеры и определения новых операторов и функций. Наличие этих примеров и возможность работать в режи-ме  непосредственных  вычислений  значительно  облегчают  изучение  системы пользователям, заинтересованным в применении математических расчетов. Система MatLab использует собственный М-язык, который сочетает в себе положительные свойства различных известных языков программирова-ния  высокого  уровня.  С  языком  Basic  систему  MatLab  роднит  то,  что  она представляет собой интерпретатор (осуществляет пооператорное компилиро-вание  и  выполнение  программы,  не  образуя  отдельного  исполняемого  фай-ла); Мязык имеет незначительное количество операторов; в нем отсутству-ет необходимость объявлять типы и размеры переменных. От языка Pascal система  MatLab  позаимствовала  объектно-ориентированную  направлен-ность, т. е. такое построение языка, которое обеспечивает образование новых типов вычислительных объектов на основе типов объектов, уже существую-щих в языке. Новые типы объектов (в MatLab они называются классами) мо-гут иметь собственные процедуры их преобразования (они определяют мето-ды этого класса), причем новые процедуры могут быть вызваны с помощью обычных знаков арифметических операций и некоторых специальных знаков, которые применяются в математике. Принципы сохранения значений переменных в MatLab наиболее близ-ки к тем, которые присущи языку Fortran, а именно: все переменные являют-ся  локальными  –  действуют  лишь  в  границах  той  программной  единицы (процедуры,  функции  или  главной,  управляющей  программы),  где  им  при-своены некоторые конкретные значения. При переходе к выполнению другой программной единицы значения переменных предыдущей программной еди-ницы либо теряются (если выполненная программная единица представляет собой  процедуру  или  функцию),  либо  становятся  недосягаемыми  (если  вы-полненная программа является управляющей). В отличие от языков Basic и Pascal  в  языке  MatLab  нет  глобальных  переменных,  действие  которых  рас-пространялось  бы  на  все  программные единицы.  Но при  этом  язык MatLab обладает  возможностью,  которая отсутствует  в  других  языках.  Интерпрета-тор MatLab позволяет в одном и том же сеансе работы выполнять несколько самостоятельных  программ,  причем  все  переменные,  используемые  в  этих программах, являются для них общими и образуют единое рабочее простран-ство.  Это  дает  возможность  более  рационально  организовывать  сложные (громоздкие) вычисления по типу оверлейных структур. Вышеуказанные особенности системы MatLab делают ее весьма гибкой и удобной в использовании вычислительной системой. Передаточная функцияПередаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
При́нцип суперпози́ции — один из общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:
результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил
Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов.
Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:
Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.
Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.
Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.
Принцип суперпозиции в электродинамике
Принцип суперпозиции является следствием, прямо вытекающим из рассматриваемой теории, а вовсе не постулатом, вносимым в теорию a priori. Так, например, вэлектростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.
Другим следствием линейности уравнений Максвелла является тот факт, что лучи света не рассеиваются и вообще никак не взаимодействуют друг с другом. Этот закон можно условно назвать принципом суперпозиции в оптике.
Подчеркнём, что электродинамический принцип суперпозиции не есть незыблемый закон Природы, а является всего лишь следствием линейности уравнений Максвелла, то есть уравнений классической электродинамики. Поэтому, когда мы выходим за пределы применимости классической электродинамики, вполне стоит ожидать нарушения принципа суперпозиции.
Примеры нарушения электродинамического принципа суперпозиции
Если рассматривается электродинамика не в вакууме, а в какой-либо среде, то принцип суперпозиции может нарушаться. Так, например, если поляризуемость илинамагниченность среды нелинейно зависят от приложенного поля, это приводит к нелинейным поправкам в уравнениях Максвелла. Прямым следствием этого является нарушение принципа суперпозиции в такой нелинейной среде.
В некоторых случаях эти нелинейности невелики, и принцип суперпозиции с некоторой степенью приближения может выполняться. В других случаях нарушение принципа суперпозиции велико и может приводить к принципиально новым явлениям. Так, например, два луча света, распространяющиеся в нелинейной среде, могут изменять траекторию друг друга. Более того, даже один луч света в нелинейной среде может воздействовать сам на себя и изменять свои характеристики. Многочисленные эффекты такого типа изучает нелинейная оптика.
Принцип суперпозиции нарушается также в вакууме при учёте квантовых явлений. В квантовой электродинамике фотон может на некоторое время превратиться вэлектрон-позитронную пару, которая уже может взаимодействовать с другими фотонами. Эффективно это приводит к тому, что фотоны могут взаимодействовать друг с другом. Такого типа процессы (рассеяние света на свете и другие процессы нелинейной электродинамики) наблюдались экспериментально.
Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ. На какие характерные участки можно разделить ЛАЧХ и что характеризуют эти участки?
называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)
, (2.43)
Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет начальный наклон - 12 дб / октаеа.
ЛФЧХ - это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе
по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.
Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются. Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе - возможность исследования характеристик в большом диапазоне.
Построение асимптотической ЛФЧХ (аппроксимация)[править | править исходный текст]
Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

Способы построения частотных характеристик в MATLAB.
Частотная характеристика определяется как реакция системы на комплексный экспоненциальный сигнал . Для ее построения надо использовать подстановку в передаточной функции . Выражение называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы (АФЧХ).
Зависимость модуля величины от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость аргумента комплексного числа (фазы) от частоты – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):
.
АЧХ показывает, насколько усиливается амплитуда сигналов разных частот после прохождения через систему, а ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигнала.





Реальные объекты имеют строго правильную передаточную функцию, поэтому их АЧХ убывает с ростом частоты и асимптотически стремится к нулю. Говорят, что такой объект обладает свойством фильтра – фильтрует (не пропускает) высокочастотные сигналы (помехи, шумы измерений). Это свойство служит основой для использования метода гармонического баланса.
Частота, после которой значение АЧХ уменьшается ниже 0 дБ (коэффициент усиления меньше 1, сигнал ослабляется), называется частотой среза системы .Частота, после которой значение АЧХ падает ниже -3 дБ (коэффициент усиления меньше, чем 0.708), называется полосой пропускания системы . Для ее вычисления используют команду
>> b = bandwidth ( f )
Максимум АЧХ соответствует частоте, на которой усиление наибольшее. Значение АЧХ при равно усилению при постоянном сигнале, то есть, статическому коэффициенту усиления . Это следует и из равенстваЧтобы построить частотные характеристики в Matlab, надо сначала создать массив частот в нужном диапазоне. Для этого можно использовать функции linspace (равномерное распределение точек по линейной шкале) и logspace (равномерное распределение точек по логарифмической шкале). Команда
>> w = linspace (0, 10, 100);
строит массив из 100 точек с равномерным шагом в интервале от 0 до 10, а команда
>> w = logspace (-1, 2, 100);
– массив из 100 точек с равномерным шагом по логарифмической шкале в интервале от до .
Частотная характеристика на сетке w для линейной модели f (заданной как передаточная функция, модель в пространстве состояний или в форме «нули-полюса») вычисляется с помощью функции freqresp:
>> r = freqresp(f, w);
Функция freqresp возвращает трехмерный массив. Это связано с тем, что она применима и для многомерных моделей (с несколькими входами и выходами), передаточная функция которых представляет собой матрицу. Первые два индекса обозначают строку и столбец в этой матрице, а третий – номер точки частотной характеристики. Для системы с одним входом и одним выходом удобно преобразовать трехмерный массив в одномерный командой
>> r = r(:);
Для вывода графика АЧХ на экран можно использовать команды Matlab
>> plot ( w, abs(r) );
>> semilogx ( w, abs(r) );
>> loglog ( w, abs(r) );
В первом случае масштаб обеих осей координат – линейный, во втором случае используется логарифмический масштаб по оси абсцисс (частот), в последнем – логарифмический масштаб по обеим осям. Для вычисления фазы (в градусах) используется команда
>> phi = angle(r)*180/pi;
после чего можно строить ФЧХ, например:
>> semilogx ( w, phi );
З8. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица, укажите на необходимое условие устойчивости линейных САУ, вытекающее из этого критерия?
Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходи-мо и достаточно, чтобы при всех положительных коэффициентах харак-теристического полинома определитель Гурвица и все его диагональные ми-норы были положительными.
САУ будет находиться на границе устойчивости, если при выполнении всех перечисленных условий минор  n-1 = 0 (граница колебательной устой-чивости) или а n = 0 (граница апериодической устойчивости). Этот критерий позволяет исследовать также влияние изменения какого-либо параметра САУ на ее устойчивость, однако из-за сложности вычислительных процедур, ко-торая возрастает с увеличением порядка полинома, критерий Гурвица не применяют для систем выше четвертого порядка.
39. Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ, устойчивых в разомкнутом состоянии, а также для астатических САУ.
Критерий Найквиста: если в разомкнутом состоянии САУ устойчи- ва, то для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии, необхо- димо и достаточно, чтобы АФЧХ ее разомкнутого контура не охватывала точку с координатами (–1, j0).
Главной отличительной особенностью этого критерия является воз- можность исследования устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ ее разомкнутого контура, которую строить гораздо проще. Кроме того, крите- рий Найквиста позволяет определять устойчивость по экспериментально сня- тым частотным характеристикам системы.
Этот критерий позволяет легко определять запас устойчивости по ам- плитуде и по фазе. Обычно рекомендуется выбирать следующие значения: А  ;  300.
Критерий Найквиста удобно применять для исследования систем с за- паздыванием. Частотную передаточную функцию разомкнутого контура можно привести к виду
W j W j e j ( ) ( ) ,       0
где W0(j) – частотная передаточная функция всех звеньев САУ, за исключе- нием звена чистого запаздывания.
Если разомкнутая САУ представляет собой последовательное соедине- ние ТДЗ, то для исследования устойчивости удобно применять логарифмиче- ские частотные характеристики. В этом случае формулировка критерия Най- квиста для случая устойчивой разомкнутой САУ следующая: замкнутая САУ будет устойчивой, если ЛАХ ее разомкнутого контура пересечет ось ча- стот раньше, чем ЛФХ достигнет значения (–). Часто эту разновидность критерия Найквиста называют критерием ЛЧХ. 17
Формы представления математических моделей систем автоматического управления.
Математические соотношения, которые описывают процессы, протекающие в системах автоматического управления, называют математическими моделями этих систем. Возможность представить систему автоматического управления в виде математической модели является основой для их аналитического исследования.В основе формирования математической модели систем управления лежит физическое описание всех процессов, которые протекают в исследуемой системе.Требования к математическим моделям систем автоматического управления:1.Математическая модель должна как можно точнее отражать физические процессы в исследуемой системе управления.2.Математическая модель системы управления должна быть достаточно простой и наглядной, чтобы излишне не усложнять исследования.Основные этапы составления математических моделей систем автоматического управления и регулирования:1.Разделение системы автоматического управления на отдельные элементы. Для этой цели составляется функциональная схема системы автоматического управления. На рисунке приведена функциональная схема замкнутой системы управления; система управления с обратной связьюНа функциональной схеме указывают отдельные элементы системы;связь между элементами;направления распространения сигналов и их обозначение;входные и выходные переменные.Составляются математические модели каждого элемента системы;Составляются математические модели связей между элементами системы;Составляются математические модели внутренних и внешних помех, действующих на систему;Составляются математические модели внешних возмущающих воздействий , действующих на систему.Формы представления математических моделей систем автоматического управления: •дифференцианые уравнения;
•передаточные функции;
•структурные схем
Характеристическое уравнениеВо многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида
аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение ">
(при F(t) (≡) 0 это уравнение называется однородным). Здесь а1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение
di/dti = pi
так, что
diZ(t)/dti = piZ(t),
то это уравнение можно переписать в виде
L(p)Z(t) = S(р)F(t),
где L(р) и S(р) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен
L(р) = рn + a1pn—1 + ... + an—1p + an
называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение
L(р) = 0
— характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения X. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни X. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). X. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.
Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней X. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе X. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. X. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости ЛА и его управляемости.
Что понимается под объектом управления и его моделью?
Существует два способа получения модели объектауправления: формальный и физический. При формальном подходе используют модель типа "черный ящик", в которой не содержится информация о физических процессах, происходящих в объекте, или о его структуре. Синтез формальной модели сводится к выбору одной из небольшого числа моделей, описанных ниже, и идентификации ее параметров.
Что называется переходной и импульсной (весовой) функциями? Какова связь между ними? Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигналдинамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра. Находит широкое применение в теории управления, обработке сигналов и изображений, теории связи и других областях инженерного дела.ОпределениеИмпульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.
СвойстваВыходной сигнал линейной системы может быть получен как свертка его входного сигнала и импульсной характеристики системы.либо, в случае цифровой системы
.Для того, чтобы система была физически реализуема в реальном времени, ее импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: h(t)=0 при t<0. В противном случае система нереализуема, так как она нарушала бы причинно-следственную связь: отклик появляется на выходе раньше, чем на вход поступило воздействие (см. статью физически реализуемая система).
Частотные характеристики САУ
Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элементарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.
Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие:(6.6) где - амплитуда;
- угловая частота этого воздействия.
Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет также представлять собой гармоническую функцию:
(6.7) где - амплитуда;
- угол сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к входному (сдвиг по фазе).
С учетом введенных обозначений модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к амплитуде входного в установившемся режиме, т. е.
,(6.8)
а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной величине на данной частоте.
Таким образом, амплитудная частотная характеристика (АЧХ) отражает изменение амплитуды выходного сигнала звена при пропускании звеном входного сигнала различной частоты. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах входного сигнала.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится в полярных координатах на комплексной плоскости . Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности.
На рис. 6.1 в качестве примера приведена АФЧХ динамического звена (фильтра) третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ откладывается вещественная часть , а по оси ординат - мнимая часть . Годограф описывает изменение амплитуды и фазы выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала. Заметим, что при изменении частоты от нуля до бесконечности амплитуда годографа уменьшается от некоторого ненулевого значения до нуля, а фаза выходного сигнала стремится к величине -270˚ (вращение годографа против часовой стрелке принято положительным). Заметим также, что изменение частоты от нуля до минус бесконечности соответствует зеркальному отображению АФЧХ на комплексной плоскости относительно оси абсцисс.
апазон изменения частоты входного сигнала теоретически равен бесконечности. Поэтому часто при анализе и синтезе систем автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики (диаграмму Боде) - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ), когда по оси абсцисс круговая частота откладывается в логарифмическом масштабе. При этом ЛАЧХ определяют выражением
.(6.9)
В табл. 6.1 приведены соотношения, связывающие модуль частотной передаточной функции и ее логарифмический эквивалент , выражаемый в децибелах.
-60 -40 -20 0 20 40 60
Частотные передаточные функции
Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамической системы управления. В теории автоматического управления она используется, когда необходимо получить частотные характеристики системы по ее передаточной функции.
Для однозначного преобразования некоторой непрерывной функции времени в функцию частоты служит прямое преобразование (изображение) Фурье [1, 2]изображению Фурье входной переменной.
Если непрерывная функция времени равна нулю при t < 0, то частотная передаточная функция системы легко может быть найдена по ее передаточной функции при подстановке , где p – символ преобразования Лапласа, т. е.
(6.2)
Функция может быть представлена в показательной форме или в форме координат вектора на комплексной плоскости в следующем виде:
(6.3) где - модуль частотной передаточной функции,- аргумент или фаза частотной передаточной функции;
- соответственно вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.
Из теории комплексных чисел [1, 2] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:
,(6.4)
.(6.5)
0
1





0,5
Изменение модуля и аргумента частотной передаточной функции при изменении частоты входного сигнала дает полезную информацию, необходимую для анализа и синтеза систем управления в частотной области.
Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты. А также функция выражающая (описывающая) эту зависимость. А также — график этой функции. (Математически амплитуда — это модуль некоторой комплекснозначной функции от частоты.) Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.
АЧХ в теории автоматического управления
АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот.
На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с). В случае когда логарифмический масштаб используется и на оси ординат, АЧХ превращается в логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. ЛАЧХ получила широкое распространение в теории автоматического управления в связи с простотой построения и наглядностью при исследовании систем управления.
Фа́зо-часто́тная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.
Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.
Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи.
Определение ФЧХ
В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:


40. Что такое «запасы устойчивости по фазе и по амплитуде»?
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на частоте, при которой фаза равняется -1800, т.е.
.                     (5.14)

                         а)                                                б)
Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы
Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом  (рис.5.12,б), на который должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -1800 на частоте, при которой модуль равняется единице, т.е.
.                         (5.15)
В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 620 дб, что составляет 210 в линейном масштабе, а запас по фазе  30600. 
Чтобы спроектировать систему с заданными запасами устойчивости по модулю hз и фазе з, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.13).

Рис. 5.13. Запретная область для АФЧХ разомкнутой системы

Приложенные файлы

  • docx 26448335
    Размер файла: 387 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий