Ответы к зачету №1 к зачету ПГС первая часть.do..

Вопрос к зачету ПГС первая часть
1)вопрос а)Механическое движение материальной точки-это процесс изменения положения данного тела в пространстве с течением времени относительно другого тела, которое мы считаем неподвижным.
БББ)перемещение
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415, проведенный из начального положения движущейся точки в момент времени t в конечное положение точки в момент времени (t+(t), называется перемещением, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.








Б)скорость-ВЕКТОРНАЯ ВЕЛИЧИНА ,ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ,КОТОРОЙ определяется быстрота движения и его направление в данный момент
Вектором средней скорости 13 EMBED Equation.3 1415 называется отношение перемещения 13 EMBED Equation.3 1415 к промежутку времени (t , за который это перемещение произошло:
13 EMBED Equation.3 1415.
Направление вектора средней скорости 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с направлением вектора перемещения 13 EMBED Equation.3 1415.
Мгновенной скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (скоростью движения в момент времени t называется предел отношения перемещения 13 EMBED Equation.3 1415 к промежутку времени (t, за который это перемещение произошло, при стремлении (t к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – первая производная от функции 13 EMBED Equation.3 1415 по времени t, которую принято обозначать также в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор мгновенной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по касательной, проведенной в данной точке к траектории в сторону движения. При стремлении промежутка времени (t к нулю модуль вектора перемещения 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к величине пути (s, поэтому модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415 может быть определен через путь (s:
13 EMBED Equation.3 1415.
В)Ускорение- Если скорость движения точки со временем изменяется, то быстрота изменения скорости движения точки характеризуется ускорением. Средним ускорением 13 EMBED Equation.3 1415 в интервале времени от t до (t + (t) называется векторная величина, равная отношению изменения скорости 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) к промежутку времени (t, за который это изменение произошло: 13 EMBED Equation.3 1415.
Мгновенным ускорением 13 EMBED Equation.3 1415 или ускорением движения точки в момент времени t называется предел отношения изменения скорости 13 EMBED Equation.3 1415 к промежутку времени (t, за который это изменение произошло, при стремлении (t к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415.
Тангенциальная составляющая 13 EMBED Equation.3 1415 определяет быстроту изменения модуля скорости 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по касательной к траектории движения и для ускоренного движения совпадает с направлением вектора скорости 13 EMBED Equation.3 1415, а для замедленного движения – противоположен вектору скорости 13 EMBED Equation.3 1415.
Нормальная составляющая 13 EMBED Equation.3 1415 определяет быстроту изменения направления скорости 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415,
где r – радиус кривизны траектории движения.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по нормали к траектории движения к центру ее кривизны (поэтому нормальную составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением).
Г)Система отсчета –служит для определения положения тела в пространстве состоит из тела отсчета системы координат и часов
Д)тело отсчета_это тело относительно которого определяется положение другого тела.
Е)Система координат-комплекс определений различающий метод координат,то есть способ определить положение тела или точки в пространстве,с помощью чисел или символов
Ж)Приборы измерения времени
!)временные интервалы секундомер
Милисекундомер(хроногроф)
Вопрос 2)а)кинематика вращательного движения материальной точки







Вопрос 3Законы динамики материальной точки
Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, в которых всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Такие системы отсчета называются инерциальными.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.
Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение тела под действием приложенной к нему силы: если на тело действует сила, то это тело приобретает ускорение, прямо пропорциональное действующей силе и обратно пропорциональное массе данного тела:
13 EMBED Equation.3 1415.
В том случае, если на тела действует не одна, а несколько сил, то приведенная в этой формуле сила 13 EMBED Equation.3 1415 является равнодействующей всех действующих на это тело сил и определяется их векторной суммой.

Из уравнения второго закона Ньютона следует:
13 EMBED Equation.3 1415.
В случае неизменности массы тела можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется импульсом (или количеством движения) тела.
Отсюда следует иная формулировка второго закона Ньютона, называемая формулировкой в дифференциальном виде, а именно: скорость изменения импульса тела равна силе, действующей на этр тело, то есть
13 EMBED Equation.3 1415.
В том случае, если на тела действует не одна, а несколько сил, то приведенная в этой формуле сила 13 EMBED Equation.3 1415 является равнодействующей всех действующих на это тело сил и определяется их векторной суммой.
Третий закон Ньютона определяет взаимодействие между материальными точками: если первая материальной точка действует на вторую с силой 13 EMBED Equation.3 1415, то вторая точка действует на первую с силой 13 EMBED Equation.3 1415, по модулю равной, а по направлению противоположной силе 13 EMBED Equation.3 1415 (силы13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 направлены по прямой, соединяющей взаимодействующие точки).
Третий закон Ньютона определяет взаимодействие между материальными точками: если первая материальной точка действует на вторую с силой 13 EMBED Equation.3 1415, то вторая точка действует на первую с силой 13 EMBED Equation.3 1415, по модулю равной, а по направлению противоположной силе 13 EMBED Equation.3 1415 (силы13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 направлены по прямой, соединяющей взаимодействующие точки).
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, импульс замкнутой системы тел не изменяется с течением времени, что является законом сохранения импульса.
Импульс силы это векторная физическая величина равная произведению силы на время ее действия(время воздействия силы за данный промежуток времени(поступ. движ)
Написать формулу с вики
Импульс материал точки кг*м/с
Вопрос №4
1. Момент силы. Если на тело, имеющее ось вращения ОО, действует сила 13 EMBED Equation.3 1415, причем вектор силы 13 EMBED Equation.3 1415 расположен в плоскости, перпендикулярной оси ОО (рис. 5), то моментом этой силы 13 EMBED Equation.3 1415 относительно неподвижной оси ОО называется величина, равная произведению модуля силы 13 EMBED Equation.3 1415 на плечо l этой силы относительно оси ОО : 13 EMBED Equation.3 1415 ,
где l – плечо силы 13 EMBED Equation.3 1415, то есть кратчайшее расстояние между осью ОО и линией действия силы 13 EMBED Equation.3 1415.
(Момент 13 EMBED Equation.3 1415 силы 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси вращения ОО является векторной величиной, определяется векторным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 5): 13 EMBED Equation.3 1415, направлен вдоль оси вращения ОО в соответствии с правилом правого винта, а модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415 определяется в виде 13 EMBED Equation.3 1415).
2)
динамики вращательного движения твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела может быть получено, исходя из того, что элементарная работа при вращении твердого тела идет на элементарное увеличение его кинетической энергии, то есть:
dA=dT.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 , а 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415,
получим: 13 EMBED Equation.3 1415
или в векторном виде: 13 EMBED Equation.3 1415.
В приведенной формуле: 13 EMBED Equation.3 1415 – вектор углового ускорения;
13 EMBED Equation.3 1415 – вектор момента силы, действующей на тело, относительно его оси вращения; I – момент инерции тела относительно его оси вращения.
В том случае, если на тело, имеющее ось вращения, действует не одна, а несколько сил, то приведенный в этой формуле момент силы 13 EMBED Equation.3 1415 является результирующим моментом всех действующих на это тело сил и определяется векторной суммой всех моментов действующих сил относительно оси вращения данного тела.
Это уравнение есть уравнение динамики вращательного движения твердого тела: если на тело, имеющее ось вращения, действуют силы, то это тело приобретает угловое ускорение, прямо пропорциональное векторной сумме моментов всех действующих сил и обратно пропорциональное моменту инерции тела относительно его оси вращения.
№)Вопрос№5 Момент инерции Моментом инерции материальной точки массой m относительно некоторой оси вращения называется физическая величина I, равная произведению массы этой материальной точки на квадрат расстояния 13 EMBED Equation.3 1415 от этой точки до данной оси вращения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для того, чтобы найти момент инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения, необходимо разбить это тело на элементарные объемы так, чтобы каждый элементарный объем можно было рассматривать как материальную точку массой 13 EMBED Equation.3 1415, находящуюся на определённом расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 от данной оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела I равен сумме моментов инерции всех n материальных точек массами 13 EMBED Equation.3 1415, на которые разбито это тело, или сумме произведений масс материальных точек 13 EMBED Equation.3 1415 на квадраты расстояний 13 EMBED Equation.3 1415 от этих материальных точек до рассматриваемой оси:
13 EMBED Equation.3 1415.
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно оси, перпендикулярной основанию цилиндра и проходящей через его центр масс (рис. 4).

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним (r+dr). Так как dr<определить следующим образом:
dI=r2dm ,
где dm – масса элементарного полого цилиндра, равная (dV
(( плотность материала, dV – объем полого цилиндра, равный 2(rhdr).
Тогда момент инерциии элементарного полого цилиндра dI=2((hr3dr.
Следовательно, момент инерции сплошного цилиндра
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как (R2h объем сплошного цилиндра, а ((hR2 его масса, то момент инерции сплошного цилиндра: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Теорема Штейнера. Если известен момент инерции тела 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси ОО, проходящей через центр масс тела, то момент инерции этого же тела относительно другой оси 13 EMBED Equation.3 1415, параллельной оси ОО, равен сумме момента инерции 13 EMBED Equation.3 1415 и произведения массы т данного тела на квадрат расстояния а между этими осями ОО и 13 EMBED Equation.3 1415 , то есть:
13 EMBED Equation.3 1415.
Рисунок найти
3) При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, имеют различные скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому для того, чтобы найти кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, необходимо разбить это тело на элементарные объемы так, чтобы каждый элементарный объем можно было рассматривать как материальную точку массой 13 EMBED Equation.3 1415, находящуюся на определённом расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 от данной оси вращения. Тогда кинетическая энергия вращательного движения твердого тела 13 EMBED Equation.3 1415 равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек массами 13 EMBED Equation.3 1415, на которые разбито это тело: 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как для твердого тела угловая скорость вращения 13 EMBED Equation.3 1415 всех материальных точек, на которые разбито это тело, одинакова, то
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 момент инерции тела относительно его оси вращения.
Ворос 6)полностью
. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
Моментом импульса материальной точки, вращающейся относительно неподвижной оси OO, называется величина L, равная произведению импульса 13 EMBED Equation.3 1415 этой точки на расстояние r от этой точки до оси вращения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент импульса является векторной величиной. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта.
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его точки, находящиеся на различном расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 от оси вращения, имеют различные скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому для того, чтобы найти момент импульса твердого тела относительно некоторой оси вращения, необходимо разбить это тело на элементарные объемы так, чтобы каждый элементарный объем можно было рассматривать как материальную точку массой 13 EMBED Equation.3 1415, находящуюся на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415 от оси вращения и движущаяся со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда момент импульса твердого тела L равен сумме моментов импульса всех n материальных точек массами 13 EMBED Equation.3 1415, на которые разбито это тело:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как для твердого тела угловая скорость вращения 13 EMBED Equation.3 1415 всех материальных точек, на которые разбито это тело, одинакова, то, используя формулу 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
или в векторной форме: 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси вращения на угловую скорость вращения этого тела.
Продифференцировав это уравнение по времени, получим:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
То есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Это выражение – еще одна форма (называемая дифференциальной) уравнения динамики вращательного движения твердого тела: скорость изменения момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна векторной сумме моментов всех действующих на это тело сил относительно той же оси вращения.
В замкнутой системе векторная сумма моментов внешних сил равна нулю. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, момент импульса замкнутой системы сохраняется, что является законом сохранения момента импульса.
Вопрос 7) Работа. Если на тело, движущееся прямолинейно, действует постоянная сила 13 EMBED Equation.3 1415, которая составляет некоторый угол
· с направлением перемещения 13 EMBED Equation.3 1415, то работа этой силы равна скалярному произведению векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для переменной по величине и направлению силы 13 EMBED Equation.3 1415 вводится понятие элементарной работы 13 EMBED Equation.3 1415 силы 13 EMBED Equation.3 1415 на элементарном перемещении 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
где
· – угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Работа А силы 13 EMBED Equation.3 1415 на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ 13 EMBED Equation.3 1415 на отдельных элементарных уч Кинетическая энергия – это механическая энергия движения тел.
Тело массой m, движущееся со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, обладает кинетической энергией:
13 EMBED Equation.3 1415.
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая взаимным расположением тел или частей одного и того же тела относительно друг друга и характером сил взаимодействия между ними. Если взаимодействие тел таково, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такие силы называются консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от выбора траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной. Примером такой силы является сила трения.
Полная механическая энергия системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Если неконсервативные силы отсутствуют, то полная механическая энергия системы сохраняется:
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, что является законом сохранения полной механической энергии системы тел.
астках траектории, что приводит к интегралу: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 8)
Рис. 9 Рис. 10
Уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости. Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2 , перпендикулярные направлению скорости (рис. 10).
За время (t через сечение S1 проходит объем жидкости 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – скорость течения жидкости в месте сечения S1 , а через сечение S2 за тоже время (t пройдет объем жидкости 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – скорость течения жидкости в месте сечения S2 . Если жидкость несжимаемая, то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1 , т. е.
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как положения сечений S1 и S2 выбраны произвольно, то отсюда следует, что вдоль данной трубки тока 13 EMBED Equation.3 1415. Это соотношение называется уравнением неразрывности струи для несжимаемой жидкости.


2)Бернулли Уравнение Бернулли. Бернулли рассмотрел изменения гидродинамических параметров вдоль произвольно выбранной трубки тока стационарно текущей жидкости плотностью ( (рис. 11).
Рис. 11
В месте сечения трубки тока S1 скорость течения жидкости 13 EMBED Equation.3 1415, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено относительно выбранного уровня отсчета, h1. Аналогично, в месте сечения трубки тока S2 скорость течения жидкости 13 EMBED Equation.3 1415 , давление p2 и высота расположения этого сечения над тем же уровнем отсчета h2 .
Бернулли установил, что для любых двух сечений одной трубки тока несжимаемой жидкости выполняется равенство:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как положения сечений было выбрано произвольно, то для любой трубки тока несжимаемой жидкости гидродинамические параметры жидкости подчиняются следующему уравнению (уравнению Бернулли):
13 EMBED Equation.3 1415.
Для горизонтальной трубки тока (h = const) уравнение Бернулли принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
где величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется полным давлением,
величина р называется статическим давлением,
величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется динамическим давлением.
Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности струи следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление, наоборот, в местах сужения меньше









Вопрос 9)Гармонические колебаня- Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).
Их примеры вопрос Часы
Смещение (отклонение колеблющийся величины от положения равновесия в момент времени t
Амплитуда- Макс знач колеблющийся величины(от равновесия)
Частота- гц кол полных колебаний совершаемых за единицу времени
Циклическая Частота-кол полных колебаний за 2 пи секунд
W=2pi*nu=2p/t
Период – время одного полного оборота.
Фаза колебаний ф=(wt=ф0) определяет значение х в данный момент времени.
Скорость и ускорения формулы выписать
Вопрос №10?
Вопрос №11 Свободные затухающие колебания Свободные затухающие гармонические колебания пружинного маятника (рис. 6). Для пружинного маятника массой т, совершающего колебания под действием упругой силы 13 EMBED Equation.3 1415 (Fx = – kx) с учетом силы сопротивления 13 EMBED Equation.3 1415, пропорциональной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 движения груза (13 EMBED Equation.3 1415), второй закон Ньютона имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
где r – коэффициент сопротивления.
Обозначив 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решением этого дифференциального уравнения в случае малых затуханий
13 EMBED Equation.3 1415 является функция x(t):
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t;
13 EMBED Equation.3 1415 – начальная амплитуда, т.е. амплитуда в момент времени t = 0,
13 EMBED Equation.3 1415 – круговая (циклическая) частота: 13 EMBED Equation.3 1415
Период затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:
13 EMBED Equation.3 1415.









Рис. 6
Декремент затухания. Если A(t) и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний (рис. 6), то отношение этих величин называется декрементом затухания 13 EMBED Equation.3 1415.
Логарифм 13 EMBED Equation.3 1415 называется логарифмическим декрементом затухания 13 EMBED Equation.3 1415 :
13 EMBED Equation.3 1415
Вынужденные гармонические колебания пружинного маятника
Незатухающие гармонические колебания в реальной колебательной системе можно получить с помощью внешней вынуждающей силы F(t), изменяющейся по гармоническому закону: 13 EMBED Equation.3 1415.
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.
Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний пружинного маятника:
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний пружинного маятника.
Решением этого дифференциального уравнения является функция 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
При этом амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний А имеет максимум при частоте 13 EMBED Equation.3 1415, называемой резонансной частотой 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.
В
Впрос 12 Тема 3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеального газа.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает термодинамические параметры газа с параметрами, характеризующими движение его молекул. Так, давление газа, как следствие соударений молекул газа со стенками сосуда, определяется, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа, кинетической энергией поступательного движения молекул газа.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа полагают, что соударения молекул газа со стенками сосуда являются абсолютно упругими. Тогда, при соударении одна молекула газа массой m0, движущаяся перпендикулярно стенке сосуда со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, передает ей импульс 13 EMBED Equation.3 1415.
Выделив на стенке сосуда элементарную площадку (S (рис. 1), определяют давление газа p на эту площадку. Построив цилиндр с основанием (S и высотой 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1), учитывают, что число молекул, способных за время (t достигнуть площадки (S соответствует Рис. 1
1/6 части всех N молекул, содержащихся в объеме выделенного цилиндра (13 EMBED Equation.3 1415, где n – концентрация молекул). Коэффициент 1/6 учитывает, что из всех N молекул, движущихся хаотично вдоль трех (x, y, z) взаимно перпендикулярных направлений, только их 1/6 часть движется по направлению к площадке (S. Тогда число ударов молекул, движущихся в данном направлении, о площадку (S за время (t будет равно: 13 EMBED Equation.3 1415.
При столкновении с площадкой (S эти молекулы передадут ей импульс (P :
13 EMBED Equation.3 1415,
что соответствует, согласно второму закону Ньютона, действию силы F :
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда давление газа, оказываемое им на стенки сосуда:
13 EMBED Equation.3 1415.
2)основное уравнение Мкт идеал газа- Однако, молекулы газа движутся с различными скоростями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,.13 EMBED Equation.3 1415, что можно учесть в полученной формуле, введя понятие средней квадратичной скорости движения молекул 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 – средняя кинетическая энергия движения одноатомной молекулы, то получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
где Е – суммарная кинетическая энергия всех молекул газа, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, получены два эквивалентных уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
связывающие кинематические параметры движения отдельных молекул газа с термодинамическими параметрами газа в целом, каждое из которых называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Из сравнения между собой уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что
13 EMBED Equation.3 1415,
то есть еще одно уравнение, связывающее термодинамический параметр газа (Т) со средней кинетической энергией молекулы одноатомного газа 13 EMBED Equation.3 1415.
С другой стороны, величина средней кинетической энергии молекул газа 13 EMBED Equation.3 1415 определяется температурой газа Т (для случая одноатомного газа):
13 EMBED Equation.3 1415.
!№Вопрос №13Распределение молекул идеал газа по скоростям- Тема 4. Распределение молекул идеального газа по скоростям.
В газе, находящемся в состоянии равновесия при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Максвелл установил, что это распределение для идеального газа описывается некоторой функцией 13 EMBED Equation.3 1415, называемой функцией распределения молекул газа по скоростям.
Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул 13 EMBED Equation.3 1415, имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 определяет относительное число молекул 13 EMBED Equation.3 1415, скорости которых лежат в интервале от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415 , откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид этой функции:
13 EMBED Equation.3 1415 ,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – масса одной молекулы газа.
График этой функции приведен на рис. 2.

Рис. 2
Относительное число молекул 13 EMBED Equation.3 1415, скорости которых лежат в интервале от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, соответствует площади заштрихованной на рис. 2 полоски. Площадь под всей кривой распределения 13 EMBED Equation.3 1415 равна единице. Это означает, что функция 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условию нормировки:
13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этой формулы следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 3) смещается вправо. При этом величина максимума функции распределения молекул по скоростям 13 EMBED Equation.3 1415 с повышением температуры уменьшается (рис. 3).

Рис. 3
Кроме наиболее вероятной скорости 13 EMBED Equation.3 1415, на рис. 2 приведены также средняя арифметическая скорость молекул 13 EMBED Equation.3 1415 и средняя квадратичная скорость молекул 13 EMBED Equation.3 1415, которые определяются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос №14
Тема 5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
Барометрическая формула определяет зависимость атмосферного давления воздуха от высоты. Молекулы воздуха находятся, с одной стороны, в потенциальном поле сил тяготения Земли, а, с другой – , в состоянии теплового хаотического движения, что приводит к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой убывает.
Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 4), то на высоте h+dh оно равно p+dp , причем при dh>0 изменение давления dp<0.
Так как dh настолько мало, что при изменении высоты h в этих пределах плотность воздуха 13 EMBED Equation.3 1415 можно считать постоянной, то разность давлений:
13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 .

Рис. 4
Выражение для плотности газа 13 EMBED Equation.3 1415 можно получить из уравнения состояния идеального газа 13 EMBED Equation.3 1415 , а именно 13 EMBED Equation.3 1415 ,
где m – масса газа, 13 EMBED Equation.3 1415 – молярная масса газа.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 .
С изменением высоты от 0 до h давление изменяется от р0 до р (рис. 4). Поэтому, интегрируя в этих пределах предыдущее уравнение, получим:
13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 ,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Это выражение называется барометрической формулой, где р0 – давление на нулевом уровне отсчета высоты h, то есть на уровне, где принято h = 0.
Барометрическую формулу можно преобразовать в зависимость концентрации молекул воздуха n от высоты h, если воспользоваться уравнением состояния идеального газа p=nkT :
13 EMBED Equation.3 1415,
где n – концентрация молекул воздуха на высоте h,
n0 – концентрация молекул воздуха на высоте h=0.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 (m0 – масса одной молекулы, 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянная Авогадро), a 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 .
В этой формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где U – потенциальная энергия молекулы массой m0 , находящейся в поле сил тяготения Земли на высоте h от уровня, на котором потенциальная энергия молекул воздуха принята равной нулю, а концентрация молекул обозначена как n0. Тогда n соответствует концентрации молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы воздуха равна U. Таким образом, получено распределение молекул по потенциальной энергии в силовом поле (распределение Больцмана).
Вопрос№15 Тема 6. Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость).
В неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, энергии, импульса.
Диффузия обусловлена переносом массы, теплопроводность – переносом энергии, а вязкость – переносом импульса.
Для характеристики необратимых процессов переноса вводятся параметры теплового движения молекул: среднее число соударений молекулы в единицу времени 13 EMBED Equation.3 1415 и средняя длина свободного пробега молекул 13 EMBED Equation.3 1415.
Среднее число соударений молекулы за 1 с определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415,
где d – эффективный диаметр молекул, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,
13 EMBED Equation.3 1415 – эффективное сечение молекул, 13 EMBED Equation.3 1415 – концентрация молекул,
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями:
13 EMBED Equation.3 1415 .
При рассмотрении одномерных явлений переноса система отсчета выбирается так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.
1. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное взаимопроникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к переносу массы, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух сред градиент плотности отличен от нуля.
Градиент плотности 13 EMBED Equation.3 1415 вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух сред, обозначается как 13 EMBED Equation.3 1415 и показывает как быстро изменяется величина плотности 13 EMBED Equation.3 1415 от точки к точке вдоль оси х.
Количественно явление диффузии подчиняется закону Фика:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – плотность потока массы, то есть величина, определяемая массой газа, диффундирующего через единичную площадку S в единицу времени,
13 EMBED Equation.3 1415 – градиент плотности газа в направлении x, перпендикулярном выбранной площадке S ,
D – коэффициент диффузии.
Знак минус в приведенной формуле означает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.
Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент D:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – средняя скорость теплового движения молекул,
Вопрос 16
3. Вязкость. Вязкость это свойство жидкости или газа, обусловленное внутренним трением между соприкасающимися параллельными слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями. В результате, импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. Другими словами, внутреннее трение приводит к переносу импульса от одного движущегося слоя жидкости или газа к другому соприкасающемуся с ним слою. Количественно сила внутреннего трения между двумя соприкасающимися слоями жидкости или газа подчиняется закону Ньютона:
13 EMBED Equation.3 1415,
где ( – коэффициент динамической вязкости,
13 EMBED Equation.3 1415 – градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости течения жидкости или газа от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев,
S – площадь соприкосновения слоев жидкости или газа, на которые действует сила внутреннего трения F.
Закон Ньютона для внутреннего трения можно представить в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 ,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – плотность потока импульса – величина, определяемая импульсом, переносимым в единицу времени через единичную площадку S соприкосновения слоев жидкости или газа в направлении оси х, перпендикулярном направлению движения слоев жидкости или газа.
Знак минус в приведенной формуле означает, что импульс переносится от слоя к слою жидкости (газа) в направлении убывания скорости их движения.
Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент
динамической вязкости идеального газа ( определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – плотность газа,
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя скорость теплового движения молекул,
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя длина свободного пробега молекул.
Вопрос 172. Теплопроводность. Если в одной области газа температура больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, то есть процесс выравнивания температуры. Этот процесс переноса энергии, называемый теплопроводностью, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух частей газа градиент температуры отличен от нуля.
Градиент температуры Т газа вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух частей газа, имеющих различную температуру, обозначается как 13 EMBED Equation.3 1415 и показывает как быстро изменяется температура газа от точки к точке вдоль оси х.
Количественно теплопроводность подчиняется закону Фурье:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты через единичную площадку S в единицу времени,
13 EMBED Equation.3 1415 – градиент температуры в направлении x, перпендикулярном выбранной площадке S,
13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент теплопроводности.
Знак минус в приведенной формуле означает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.
Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент
теплопроводности 13 EMBED Equation.3 1415определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – удельная теплоемкость газа при изохорном процессе (количество теплоты, необходимое для изохорного нагревания 1 кг газа на 1 К),
13 EMBED Equation.3 1415 – плотность газа,
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя скорость теплового движения молекул,
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя длина свободного пробега молекул.

Вопрос №18 Внутренней энергией газа U называется сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех молекул газа и энергии взаимодействия молекул газа между собой. Для идеального газа внутренняя энергия – это только кинетическая энергия всех молекул газа.
Внутренняя энергия идеального газа определяется числом степеней свободы его молекул и температурой газа.
есть первое начало термодинамики: количество теплоты 13 EMBED Equation.3 1415, сообщаемое термодинамической системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии
·U и на совершение механической работы А против внешних сил:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос 19 Изменение внутренней энергии
·U при изменении температуры от Т1 до Т2:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415= Т2 – Т1 .
Внутреннюю энергию газа можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты 13 EMBED Equation.3 1415, которое может быть израсходовано также и на совершение механической работы А по расширению газа. При этом соблюдается закон сохранения и превращения энергии. Работа А, совершаемая газом при изменении его объема от V1 до V2:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415– элементарная работа при изменении объема газа на 13 EMBED Equation.3 1415.
1. Изобарный процесс (p = const). При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V1 до V2 равна:
13 EMBED Equation.3 1415,
а первое начало термодинамики для изобарного процесса примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Изохорный процесс (V = const). При изохорном процессе газ не совершает работы против внешних сил, то есть А=0, а первое начало термодинамики для изохорного процесса примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на увеличение его внутренней энергии.
3. Изотермический процесс (T=const). Работа при изотермическом расширении газа:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как при постоянной температуре внутренняя энергия идеального газа не изменяется, то первое начало термодинамики для изотермического процесса:
13 EMBED Equation.3 1415,
то есть все количество теплоты Q, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы A против внешних сил.
Вопрос №20 Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1 К.
Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:
13 EMBED Equation.3 1415.
Молярная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К:
13 EMBED Equation.3 1415 , откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Различают теплоемкости газа при изохорном и изобарном процессах.
1. Молярная теплоемкость газа при изохорном процессе 13 EMBED Equation.3 1415.
Для изохорного процесса первое начало термодинамики:
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Молярная теплоемкость газа при изобарном процессе 13 EMBED Equation.3 1415.
Для изобарного процесса первое начало термодинамики:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как для изобарного процесса 13 EMBED Equation.3 1415,
то 13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415.

Уравнение Майера.
Сравнение между собой Ср и СV приводит к уравнению Майера:
13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение показывает, что Ср больше, чем СV на величину универсальной газовой постоянной R. Это объясняется тем, что при изобарном нагревании газа, в отличие от изохорного нагревания, требуется дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа.
Таким образом, молярная теплоемкость газа определяется лишь числом степеней свободы и не зависит от температуры. Это утверждение справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры.
Вопрос №21 Тема 9. Адиабатический процесс.
Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой. При адиабатическом процессе изменяются все термодинамические параметры (р, V, Т) в соответствии с уравнением Пуассона:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент Пуассона, равный отношению молярных теплоемкостей 13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса в переменных р и V .
Для перехода от переменных р и V к переменным V, Т или p, Т при описании адиабатического процесса используется уравнение Клапейрона Менделеева:
13 EMBED Equation.3 1415.
В результате соответствующие уравнения адиабатического процесса:
13 EMBED Equation.3 1415 в переменных V и Т ,
13 EMBED Equation.3 1415 в переменных р и Т .
Работа газа при адиабатическом процессе.
Из первого начала термодинамики (13 EMBED Equation.3 1415) для адиабатического процесса (13 EMBED Equation.3 1415) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Если газ адиабатически расширяется от объема V1 до объема V2 , то его температура уменьшается от T1 до T2 и работа расширения идеального газа:
13 EMBED Equation.3 1415.
Используя уравнение адиабатического процесса в переменных V и Т , то есть 13 EMBED Equation.3 1415 полученное выражение для работы А при адиабатическом расширении газа можно преобразовать к иному виду, отражающему адиабатическое изменение объема газа от величины V1 до величины V2 :
13 EMBED Equation.3 1415.
Вопрос №22 Тема 10. Обратимый и необратимый процессы. Круговой процесс. Тепловая машина и цикл Карно.
Термодинамический процесс называется обратимым, если он может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс проходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении, и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.
Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние.
Тепловая машина – это устройство для преобразования теплоты в работу.
Принцип действия тепловой машины приведен на рис. 5. От термостата с более высокой температурой Т1 , называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q1 , а термостату с более низкой температурой Т2 , называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q2 , при этом совершается работа: А = Q1 – Q2.
Французский физик Карно рассмотрел обратимый циклический процесс, состоящий из чередования двух изотермических и двух адиабатических процессов (рис. 6). В цикле Карно в качестве рабочего тела используется идеальный газ, находящийся в цилиндре с подвижным поршнем.

Рис. 5 Рис. 6
График цикла Карно в координатах р и V изображен на рис. 6, где изотермическим расширению и сжатию соответствуют кривые 1–2 и 3–4, а адиабатическим расширению и сжатию – кривые 2–3 и 4–1. При изотермическом процессе U=const, поэтому количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:
13 EMBED Equation.3 1415.
При адиабатическом расширении 2–3 работа А23 совершается за счет изменения внутренней энергии:
13 EMBED Equation.3 1415.
Количество теплоты Q2 , отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А34 :
13 EMBED Equation.3 1415.
Работа адиабатического сжатия:
13 EMBED Equation.3 1415.
Работа, совершаемая в результате кругового процесса:
13 EMBED Equation.3 1415,
Термический коэффициент полезного действия цикла Карно можно определить по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то есть
к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется только температурами нагревателя Т1 и холодильника Т2 .




13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

h2

13 EMBED Equation.3 1415

h1

p1

p2

13 EMBED Equation.3 1415

T



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativerEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 22660352
    Размер файла: 881 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий