Сборник лабораторных работ по Физике03-2008 с п..

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Ульяновский государственный университет




Амброзевич А.С., Булярский С.В., Вострецов Д.Я.,
Лакалин А.В., Львов П.Е.


ФИЗИКА

Сборник лабораторных работ
по основам механики и молекулярной физики
для студентов инженерных специальностей








Ульяновск, 2009 год
УДК 531 + 539.19 (075.8)
ББК 22.2я73 + 22.36 я73
Ф 50

Печатается по решению Ученого совета
Инженерно-физического факультета высоких технологий


Рецензенты: Журавлев В.М. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Ульяновского государственного университета
Самохвалов М.К. – доктор физико-математических наук, зав. кафедрой Ульяновского государственного технического университета

Ф 50
Физика. Сборник лабораторных работ по основам механики и молекулярной физики для студентов инженерных специальностей: Учебное пособие, Ульяновск: Издательство Ульяновского государственного университета, 2009г.,65c.



Сборник включает в себя описание 6 лабораторных работ по некоторым разделам механики и молекулярной физики.
Предназначено для студентов инженерных специальностей высших учебных заведений.







© Амброзевич А.С., Булярский С.В., Вострецов Д.Я.,
Лакалин А.В., Львов П.Е., 2009
© Ульяновский государственный университет, 2009



СОДЕРЖАНИЕ
Механика
Лабораторная работа №1 Изучение законов равноускоренного движения
4

Лабораторная работа №2 Изучение законов вращательного движения
18

Лабораторная работа №3 Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
29

Лабораторная работа №4 Маятник Максвелла
35





Молекулярная физика
Лабораторная работа №5 Определение отношения молярных теплоемкостей
41

Лабораторная работа №6 Статистические распределения в молекулярной физике
49


Погрешности результатов измерений физических величин
Рекомендованная литература
61
65

Лабораторная работа № 1
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка роли трения как источника систематической погрешности при определении ускорения свободного падения на лабораторной установке.
Приборы и принадлежности: установка «машина Атвуда», набор грузов (массу грузов и погрешность определения масс грузов уточнить у инженера), электронный секундомер (входит в состав установки).
Материал для изучения: Уравнения динамики поступательного движения; сила трения; определение погрешностей измерений.

1. Основные понятия и определения
Материальная точка – тело, обладающее массой, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Тело отсчета – произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение других (движущихся) тел.
Система координат – совокупность тела отсчета и осей координат, позволяющих определять положение тел друг относительно тела отсчета (в простейшем случае декартова прямоугольная система координат – рис.1).
Система отсчета – совокупность системы координат и часов, по которым ведется отсчет времени.
Уравнение движения материальной точки – уравнение, выражающее зависимость радиус-вектора материальной точки (или ее координат) от времени:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Траектория – линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом), относительно выбранной системы отсчета.
Приращение радиус-вектора (вектор перемещения) – это вектор 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.2).
Путь – длина участка траектории, пройденного материальной точкой, за данный промежуток времени.
(s – путь между точками траектории А и В (рис. 2).
Скорость – векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.
Средняя скорость 13 EMBED Equation.3 1415 – векторная величина, определяемая отношением приращения радиуса-вектора точки 13 EMBED Equation.3 1415 к промежутку времени (t:
13 EMBED Equation.3 1415
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением 13 EMBED Equation.3 1415.
Модуль средней скорости:
13 EMBED Equation.3 1415
Мгновенная скорость 13 EMBED Equation.3 1415 – векторная величина, определяемая первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени:
13 EMBED Equation.3 1415
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3).
Модуль мгновенной скорости:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь s(t) – путь проходимый телом от момента начала отсчета времени до момента времени t. Единицей измерения скорости является м/с.
Ускорение – характеристика неравномерного движения; определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению.
Среднее ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 – векторная величина, равная отношению изменения скорости 13 EMBED Equation.3 1415 к интервалу времени (t:
13 EMBED Equation.3 1415
Мгновенное ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 – векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени:
13 EMBED Equation.3 1415
Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории):
13 EMBED Equation.3 1415
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):
13 EMBED Equation.3 1415,
где r – радиус кривизны траектории в данной точке.
Полное ускорение при криволинейном движении – геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 4):
13 EMBED Equation.3 1415
Единицей измерения ускорения является м/с2.

2. Теоретическое введение
Рассмотрим задачу о движении тела массы m в поле тяжести. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела может быть записано в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как сила тяжести, действующая на тело, прямо пропорциональна его массе 13 EMBED Equation.3 1415, то движение происходит с постоянным ускорением независимо от свойств тела: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ускорение по определению может быть связано с вектором скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда для скорости может быть записано13 EMBED Equation.3 1415, которое легко интегрируется:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - скорость в начальный момент времени. Таким образом, вектор скорости линейно зависит от времени:
13 EMBED Equation.3 1415
Скорость может быть представлена в виде производной от радиус-вектора: 13 EMBED Equation.3 1415
Теперь может быть определена зависимость радиус-вектора от времени:
13 EMBED Equation.3 1415
Окончательное выражение для зависимости радиус-вектора от времени имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)

13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415
Рисунок 5. Траектория движения тела в поле тяжести.

Рассмотрим зависимость координат 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тела движущегося в поле тяжести.
Предположим (см. рис.5 ), что в начальный момент времени частица находилась в начале координат (x0=0, y0=0), а ускорение направлено в сторону противоположную оси OY (13 EMBED Equation.3 1415). Из формулы (1) следует, что координаты имеют следующую зависимость от времени:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Если выразить время 13 EMBED Equation.3 1415 и подставить в уравнение для зависимости y(t), то можно получить вид траектории, которую описывает тело при движении в поле тяжести:
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
Очевидно, что в соответствии с формулой (3), траектория движения тела в поле тяжести описывается параболой (см. рис. 5).
Одним из частных случаев движения в поле тяжести является падение тела с высоты h без начальной скорости v0=0. Подстановка таких начальных условий в общее уравнение (1) приводит к следующей зависимости координат x и y от времени:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Вторая формула в выражении (4) позволяет связать время падения t тела с высоты h и ускорение свободного падения:
h = g t2/2. (5)

Особенности определения ускорения свободного падения
Непосредственное измерение ускорения свободного падения с помощью формулы (5) произвести достаточно сложно. Если тело падает с высоты h = 1,0 м, то при g = 9,8 м/с2, время падения составит менее 0,5с.
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, точное определение ускорения свободного падения требует точного определения времени падения (по крайней мере, с точностью до 0,01с).
Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Так, при h = 5 м время падения будет 1с, а при h = 20 м – 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, например 0,01 c, но возникает ошибка другого характера. Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль.
Если считать, что на тело действует и сила тяжести, и сила трения о воздух, то уравнение движения будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Сила трения о воздух в первом приближении может быть связана со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (b – постоянная величина, которая зависит от формы тела и свойств среды, в которой происходит движение).
Очевидно, что чем больше сила тяжести будет увеличивать скорость, тем больше будет сила трения. В конечном итоге сила трения и сила тяжести уравновесят друг друга, а само движение станет равномерным. Если ma = 0, то
13 EMBED Equation.3 1415
или для предельного значения скорости соответствующей скорости 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, наличие силы трения делает невозможным точное определение ускорения свободного падения g, путем наблюдения их свободного падения в поле тяжести.
Машина Атвуда
Избежать перечисленных проблем, можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда (рис.6). Через блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой M каждый. На один из: грузов кладется перегрузок массой m. Ускорение грузов легко найти, если ввести два предположения:
блок и нить невесомы, т. е. их массы равны нулю;
трение тела о воздух и трением между блоком и его осью можно пренебречь.
С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
где T – сила натяжения нитей, a – ускорение грузов. Из уравнений (7) получаем
13 EMBED Equation.3 1415
(8)

где 13 EMBED Equation.3 1415.
Время, за которое груз опускается на высоту h, равно
13 EMBED Equation.3 1415
(9)

Формально из выражения (9) следует, что время падения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшить (. Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то ( = 10-4, а время спуска груза на высоту h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт невыполним. Мы, предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно ли им пренебречь или нет.
Если подвести к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, необходимо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.
Сделаем теперь количественные оценки. Пусть m0 – масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения Мтр в оси блока:
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
где T2 = (M+m0)(g и T1 = M(g – силы натяжения нитей, R – радиус блока (рис.7).
Момент силы трения в оси блока Mтр = Fтр(r, где Fтр – сила трения между блоком и осью, r – радиус оси.
Сила трения Fтр между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
где ( – коэффициент трения между блоком и осью, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей втулки блока и оси, смазки и т.п. Таким образом, момент силы трения в оси блока
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Подставим (11) в (10):
13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Как видно из (12), значение (0 не может быть сколь угодно малым, Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и r) и коэффициентом трения между блоком и осью.
Так как в машине Атвуда m0<13 EMBED Equation.3 1415
Какое же значение (0 можно ожидать? Типичное значение коэффициента трения ( ~ 10-2 ( 10-1. На наших установках r/R ~10-2 ( 10-1. Таким образом, (0 ~ 10-4 ( 10-2. Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть (0. Существенно то, что (0 можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой M = 86г перегрузок массой 1г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что
13 EMBED Equation.3 1415
В таком случае оценить (0, характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10-2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка m>>m0.
Действительно, если масса перегрузка чуть больше m0, то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение уже не будет равноускоренным. Может даже случиться, что система будет двигаться рывками, т.е. остановится, затем снова придет в движение и т.д.
Таким образом, при m(m0 , т.е. при (((0 , формула (8) становится неверной. Можно ожидать, что при 13 EMBED Equation.3 1415 она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то оптимальное значение ( ~10-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5–20 г (при М = 86 г). Если взять ( ~ 1, то а ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.
Можно показать (смотри контрольный вопрос 9), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна
13 EMBED Equation.3 1415
(13)

где mб – масса блока.
Так как величины m0/m и mб/(2М) одного и того же порядка 10-1, то и относительная погрешность при измерении ускорении
·a/~ 0,1. Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.

3. Методика измерений
Экспериментальная установка «машина Атвуда» представлена на рис.8. Блок B крепится наверху вертикальной стойки A, на которой нанесена шкала. Если на груз C массы M положить перегрузок D массой m, то система начнет двигаться с некоторым ускорением a. Увеличивая массу перегрузка m, можно увеличивать ускорение системы a. Если после того, как груз C с перегрузком D прошел некоторое расстояние S1, перегрузок D снять с груза C, то последний будет продолжать движение с постоянной скоростью, равной по величине скорости груза в момент снятия перегрузка. Для реализации такой ситуации на стержне A установки делаются три кронштейна: нижний E – неподвижный, средний, с кольцевой платформой – F и верхний G – подвижные, которые можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в любом положении, устанавливая таким образом длину пути равномерно ускоренного и равномерного движений. Все кронштейны имеют указатели положения. На среднем кронштейне кроме кольцевой платформы закреплен фотоэлектрический датчик. В тот момент, когда кольцевая платформа снимает с большого груза C перегрузок D, фотоэлектрический датчик образует электрический импульс, сигнализирующий о начале равномерного движения больших грузов C и C’. Оптическая ось фотодатчика находится на уровне указателя положения среднего кронштейна.
Нижний кронштейн оснащен двумя платформами с резиновыми амортизаторами, в которые ударяются завершающие свое движение грузики, а также фотодатчиком с оптической осью на уровне указателя положения кронштейна. Фотоэлектрический датчик вырабатывает импульс напряжения, сигнализирующий о конце равномерного движения.
Система грузов может удерживаться в состоянии покоя с помощью специальной фрикционной муфты, перемещающейся с помощью электромагнита.
Для измерения времени t равномерного движения и управления фрикционной муфтой прибор имеет электронный блок K, в состав которого входят таймер и система управления электромагнитом. Включение электронного блока осуществляется нажатием клавиши «сеть». При нажатии на клавишу «сброс» происходит обнуление табло таймера. В исходном состоянии система заторможена посредством фрикционной муфты. Груз C устанавливают в исходное положение: его нижняя грань должна быть на уровне горизонтальной черты на верхнем кронштейне G. При нажатии на клавишу «пуск» происходит освобождение системы (разрывается цепь электромагнита) и генерируется импульс, дающий разрешение на включение таймера от импульса, который будет выработан фотодатчиком на среднем кронштейне F в момент снятия с груза C перегрузка D. Импульс от нижнего электрического датчика останавливает работу таймера; результат высвечивается на табло. При этом снова замыкается цепь электромагнита, и система затормаживается фрикционной муфтой.
Машина Атвуда позволяет проверить законы равноускоренного движения и второй закон Ньютона. Пусть грузы C и C’ проходят равноускоренно путь S1 (от кронштейна G до кронштейна F), с ускорением a, в течение времени (, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
(14)

а скорость в конце пути будет
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
Тогда, если тела C и C’ проходят затем равномерно (со скоростью V) путь S2 (от кронштейна F до кронштейна E) за время t, то
13 EMBED Equation.3 1415 (16)
Из выражений (14)-(15) можно получить следующее соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415 (17)
Из (8) и (17) следует, что если величина массы перегрузка m постоянна, то величина ускорения a системы будет также неизменна при любых комбинациях величин S1 и S2. Проверке этого утверждения и определения величины a для заданного перегрузка и составляет содержание первого упражнения. Для заданного перегрузка m и ряда различных значений S1 и S2 измеряется время t прохождения грузом участка S2. Измерения времени прохождения участка S2 для каждой комбинации производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415– среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность (t оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера ((t)0, а именно:
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешность определения времени падения равна 10-3 с.
Во втором упражнении исследуется зависимость времени прохождения участка S2 от массы перегрузка. Для этого устанавливаются фиксированные значения S1 и S2 и определяется значение ускорений a для различных значений массы перегрузка m. Для каждого перегрузка время t определяется несколько раз, затем результаты усредняются. Подстановка формулы (8) в (17) приводит к выражению:
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
В осях координат 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415является уравнением прямой. Зависимость 13 EMBED Equation.3 1415 при фиксированных значениях S1 и S2 может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значений массы перегрузка определяется время падения 13 EMBED Equation.3 1415.
Измерение времени падения при каждом m повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение 13 EMBED Equation.3 1415 и разброс (t. Полученные экспериментальные данные откладываются на осях координат: на оси ординат – значения 13 EMBED Equation.3 1415 с указанием погрешности
·t, на оси абсцисс – соответствующие значения 13 EMBED Equation.3 1415, затем через полученные точки проводится прямая, по наклону которой определяется значение g.
Прежде чем приступать к выполнению упражнений, необходимо в первую очередь определить минимальную массу перегрузка m0, страгивающего блок, с тем, чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5–10 раз превышающими по массе m0. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить m0 точно, достаточно получить ее правильную оценку «сверху», например выяснить, что m0 не превышает 1г или 2г. Для определения m0 можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок не придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения m0 в разных положениях блока, а затем в качестве оценки для m0 взять наибольшее из найденных значений.

4. Практическое задание
Определите массу m0 перегрузка, обеспечивающего начало движения. Для этого, постепенно увеличивая массу m перегрузка, определите с точностью до 0,5 г значение m0, начиная с которого блок приходит в движение. Измерения повторите при четырех положениях блока, каждый раз поворачивая блок примерно на 90° по отношению к предыдущему положению. В качестве m0 следует принять наибольшее из найденных значений.
Определите экспериментально время t прохождения грузом C участка S2. Измерения проведите при определенном выбранном значении массы перегрузка m = (5(10) m0. При этом необходимо также, чтобы выполнялось неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Определите время t для пяти комбинаций S1 и S2, повторяя измерения времени t для каждых значений S1 и S2 по четыре раза. Результаты занесите в табл.1.
Таблица 1
S1, м
( S1, м
S2, м
( S2, м
t1, c
t2, c
t3, c
t4, c
13 EMBED Equation.3 1415, c
(t, c
m, кг
m0, кг
a, м/с2







































































Здесь t1,...,t4 –результаты измерения времени прохождения участка S2:
13 EMBED Equation.3 1415
где (p,n=3.2 – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности p=0,95 и количества измерений n = 4.
Для каждой комбинации определите среднее значение 13 EMBED Equation.3 1415,
·t и по формуле (17) рассчитайте ускорение a. Затем находится среднее значение 13 EMBED Equation.3 1415 по всем комбинациям.
Определите опытным путем зависимость времени прохождения участка S2 от массы m перегрузка. Измерения проводите при фиксированной комбинации S1 и S2 для пяти значений массы m. Для каждого значения m повторите измерения четыре раза, результаты занесите в табл.2.
Таблица 2
m, кг
M/m
t1, c
t2, c
t3, c
t4, c
13 EMBED Equation.3 1415, c
(t, c














































13 EMBED Equation.3 1415
Все значения массы m перегрузка должны лежать в диапазоне
13 EMBED Equation.3 1415
В нашей лабораторной установке точность (m определения массы по существу совпадает со значением массы m0 перегрузка.
По результатам измерений в осях координат 13 EMBED Equation.3 1415 постройте прямую 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 9).
По наклону прямой с помощью соотношения (18) определите ускорение свободного падения g и погрешность (g по методу наименьших квадратов (см. учебно-методическое пособие [4]).

Контрольные вопросы
Что такое материальная точка?
Что такое тело отсчета, система координат, система отсчета?
Что такое радиус-вектор материальной точки, уравнения движения материальной точки?
Дайте определения траектории, перемещения и пути.
Дайте определения следующих физических величин: средняя скорость, мгновенная скорость, среднее ускорение, мгновенное ускорение, нормальная и тангенциальные составляющие ускорения, полное ускорение.
Как направлены векторы скорости и полного ускорения относительно траектории движения?
Почему измеренное ускорение свободного падения меньше, а не больше, чем 9,8 м/с2?
Какова относительная погрешность измерения g?
Блок представляет собой тонкий обруч массой mб с невесомыми спицами и втулкой (рис.10). Радиус обруча R, радиус втулки r. Втулка насажена на ось. Коэффициент трения между втулкой и осью (. Через блок перекинута нить, на которой укреплены грузы массой М и перегрузок массой m. Определите ускорение а системы и относительную погрешность 13 EMBED Equation.3 1415, связанную с пренебрежением трением и массой блока.
Лабораторная работа № 2
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения, проверка теоремы Гюйгенса-Штайнера, оценка влияния трения на точность результатов проведенных измерений.

Приборы и принадлежности: Лабораторная установка «маятник Обербека», набор грузов (массы грузов и погрешности их определения указаны на грузах), электронный секундомер (в составе установки).

Материал для изучения: Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции. Сила трения. Оценка погрешностей измерений.

1. Основные понятия и определения
Абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.
Абсолютно упругое тело – тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные размеры и форму.
Абсолютно неупругое тело – тело, полностью сохраняющее деформированное состояние после прекращения действия внешних сил.

Вращательным движением твердого тела называется движение, связанное с движением точек тела по окружностям. Прямая, проходящая через центры окружностей, называется осью вращения.
Вращательное движение как материальной точи, так и твердого тела может быть охарактеризовано вектором угловой скорости и вектором углового ускорения.
Вектором угловой скорости (рис. 1) называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415 численно равный скорости изменения угла ( и направленный перпендикулярно плоскости вращения в соответствии с правилом правого винта:13 EMBED Equation.3 1415. Отметим, что такое представление о векторе угловой скорости дает возможность анализировать одновременное вращение вокруг нескольких осей, при этом вектор угловой скорости будет равен сумме векторов угловой скорости, связанных с вращением вокруг каждой из осей.
Скорость движения материальной точки при вращательном движении определяется с помощью векторного произведения векторов угловой скорости и радиус-вектора (см. рис.1):
13 EMBED Equation.3 1415
Напомним, что векторным произведением называется правило, в соответствии с которым двум векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, ставится в соответствие вектор 13 EMBED Equation.3 1415. При этом модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415, а направление вектора определяется по правилу правого винта.
Вектор углового ускорения определяется как производная угловой скорости по времени:13 EMBED Equation.3 1415.
Основными понятиями динамики вращательного движения являются момент импульса 13 EMBED Equation.3 1415 и момент силы 13 EMBED Equation.3 1415. Моментом импульса называется величина равная векторному произведению радиус-вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и вектора импульса 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Моментом силы называется величина равная векторному произведению радиус-вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вектор силы 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент импульса и момент силы являются аддитивными величинами. Для вычисления момента импульса системы, состоящей из нескольких частиц (тел), необходимо вычислить сумму моментов импульса соответствующих каждой из частиц: 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично для момента силы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Основное уравнение динамики вращательного движения является следствием законов Ньютона и формулируется в виде соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
В случае, если взаимодействие между частицами (телами) системы осуществляется с помощью центральных сил, то полный момент сил, действующих в системе определяется только внешними силами: 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим однородное симметричное твердое тело, вращающееся вокруг оси симметрии. У такого тела ось симметрии (следовательно и ось вращения) проходят через центр масс. Моментом инерции твердого тела называется мера инертности твердого тела при его вращательном движении. Если направить ось z вдоль оси вращения (рис.2.), то можно доказать, что
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
При этом момент инерции относительно оси z может быть вычислен с помощью формулы 13 EMBED Equation.3 1415,
где Ri - расстояние от элемента тела массой mi до оси z.
Соответственно уравнение динамики вращательного движения твердого тела (1) запишется в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415 (1a)


13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415
Рисунок 2.
В общем случае (неоднородное распределение массы, произвольная ось вращения) векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не параллельны, связь между ними является тензорной.
13 EMBED Equation.3 1415
Вместо одной величины 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 9 величин 13 EMBED Equation.3 1415, являющихся компонентами тензора инерции твердого тела (матрица 3х3) [2]. Соответственно уравнение динамики вращательного движения твердого тела (1) запишется в виде трех скалярных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1б)

Если необходимо установить момент инерции при вращении относительно оси z’ при известном моменте инерции относительно оси z (оси z и z’ параллельны, а ось z проходит через центр масс твердого тела), то удобно применить теорему Гюйгенса-Штейнера:
13 EMBED Equation.3 1415
где m – масса твердого тела и a – расстояние между осями [1,2].

2. Основные расчетные формулы
На рис. 3 схематически показан прибор, с помощью которого удобно исследовать уравнение (1а). Он называется маятником Обербека. Четыре спицы укреплены на втулке под прямым углом. На спицах находятся грузы массой mгр каждый (в некоторых случаях используются установки, имеющие две спицы). Втулка и два шкива радиусами r1 и r21 насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по спицам, можно легко изменять момент инерции I тела. На шкив намотана нить, к которой привязана платформа известной массы. На платформу кладется груз, нить натягивается и создает вращающий момент
13 EMBED Equation.3 1415, (2)
где Т - сила натяжения нити, 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус шкива (13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415). Силу T можно найти из уравнения движения платформы с грузом:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
где m - масса платформы с грузом, а - ее ускорение. Ускорение а связано с угловым ускорением 13 EMBED Equation.3 1415соотношением
13 EMBED Equation.3 1415. (4)


Рисунок 3. Схема установки «маятник Обербека».

Из уравнений (2) и (3) получаем, что момент силы натяжения нити
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Кроме того, на маятник действует момент силы трения в оси 13 EMBED Equation.3 1415. С учетом этого уравнение (1а) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
В уравнение (6) входит ускорение a платформы. Это ускорение довольно просто определить.
Действительно, измеряя время t, в течение которого платформа с грузом опускается на расстояние h, можно найти ускорение a:
13 EMBED Equation.3 1415. (7)
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415. (8)
Формула (8) дает связь между ускорением a, которое можно измерить опытным путем, и моментом инерции I. В формулу (8) входит неизвестная величина - момент силы трения13 EMBED Equation.3 1415. Хотя интуитивно понятно, что момент силы трения мал, тем не менее он не настолько мал, чтобы им в (8) можно было полностью пренебречь. Если положить13 EMBED Equation.3 1415, то можно убедиться, что результаты опыта будут отличаться от зависимости (8). Можно по порядку величины экспериментально определить 13 EMBED Equation.3 1415 и это нужно, конечно, сделать в начале работы. Для этого, с помощью нескольких грузов увеличивая силы натяжения Т нити, найдите минимальное значение массы m0, при которой маятник начнет вращаться. Дальнейшие измерения нужно проводить с грузами массой13 EMBED Equation.3 1415. На первый взгляд относительную роль момента силы трения можно уменьшить, если взять грузы массой13 EMBED Equation.3 1415, допустим, груз13 EMBED Equation.3 1415. Однако это не так по двум причинам. Первая - увеличение массы груза приводит к увеличению силы давления N на ось, а значит, и к росту момента силы трения13 EMBED Equation.3 1415, где
· - коэффициент трения, r - плечо силы трения. Вторая причина состоит в том, что увеличение m уменьшает время падения t, а значит, ухудшает точность измерения ускорения а (см. формулу (8)).
Момент инерции, входящий в (8), согласно теореме Гюйгенса-Штейнера может быть записан в виде:
13 EMBED Equation.3 1415. (9)
Здесь R - расстояние центров грузов 13 EMBED Equation.3 1415 от оси вращения, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. равен моменту инерции системы при R = 0, n – количество спиц использованных в данной установке (n = 2 или n = 4). В (8) входит также отношение
13 EMBED Equation.3 1415.
В условиях опыта оно меньше или порядка 13 EMBED Equation.3 1415 (убедитесь в этом!). Пренебрегая этой величиной в знаменателе выражения (8) получаем формулу, которую можно проверить экспериментально:
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
3. Методика измерений
Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.
Первая - зависимость углового ускорения
· от момента внешней силы M = mgr при условии, что момент инерции I остается постоянным.
Если на оси ординат откладывать угловое ускорение
·, а на оси абсцисс - mgr то, согласно (10), экспериментальные точки должны ложиться на прямую. Из (10) видно, что наклон этой прямой равен 1/I, а точка пересечения с осью абсцисс дает 13 EMBED Equation.3 1415.
Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость
·
· от mgr, то можно приступить к изучению второй зависимости - зависимости момента инерции I от расстояния R грузов mгр до оси вращения маятника (рис.3).
Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера,
13 EMBED Equation.3 1415.
Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (10), пренебрегая в нем малой величиной (моментом силы трения 13 EMBED Equation.3 1415) по сравнению с моментом mgr. Из (10) имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415. (11)
Из (11) понятно, как экспериментально проверить зависимость (11): нужно, выбрав постоянную массу т груза, измерять ускорение a при различных положениях R грузов 13 EMBED Equation.3 1415 на спицах. Результаты измерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости XOY, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит, и формулу
13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что при выводе формулы (11) мы пренебрегли моментом сил трения, т. е. считали, что 13 EMBED Equation.3 1415. Значение 13 EMBED Equation.3 1415 получено из графика зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 при R=const. Это и позволяет выбрать массу перегрузка так, чтобы неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 заведомо выполнялось.
Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, то к моменту остановки он повернется на угол 13 EMBED Equation.3 1415, определяемый из соотношения
13 EMBED Equation.3 1415, (12)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - начальная кинетическая энергия вращающегося маятника, 13 EMBED Equation.3 1415 работа сил трения. В (12) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением
13 EMBED Equation.3 1415, (13)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - ускорение, определяемое только моментом сил трения.
Из (12) и (13) находим
13 EMBED Equation.3 1415. (14)
Пусть п - полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а 13 EMBED Equation.3 1415- период вращения маятника в начале движения. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и из (14) получаем
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
Отсюда ясно, как на опыте определить 13 EMBED Equation.3 1415: нужно измерить время 13 EMBED Equation.3 1415, за которое совершается первый оборот, и полное число n оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялось неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Практическое задание
1. Сбалансируйте маятник. Для этого оставьте на крестовине два груза на двух противоположных спицах на равных расстояниях от оси вращения. Спицы, на которых находятся грузы, соединены со втулкой резьбой. Вращая спицы в резьбе, добейтесь равновесия. Если спиц четыре, то далее необходимо провести точную балансировку грузов на второй паре спиц на таком же расстоянии от оси вращения.
Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, как на основании этих опытов определить, хорошо ли сбалансирован маятник.
2. Определите приближенно минимальную массу 13 EMBED Equation.3 1415, при которой маятник начинает вращаться, и оцените момент сил трения из соотношения
13 EMBED Equation.3 1415,
где r - радиус шкива, на котором подвешен груз 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Оцените ускорение 13 EMBED Equation.3 1415, возникающее под действием момента сил трения. Для этого приведите маятник во вращение, измерьте время 13 EMBED Equation.3 1415, за которое он совершает первый оборот, и полное число оборотов n маятника до полной остановки. Затем по формуле (15) вычислите 13 EMBED Equation.3 1415. Измерения повторите три раза и сравните соответствующие им значения 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Определите экспериментально зависимость углового ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 маятника от момента приложенной силы mgr. В этой серии измерений момент инерции маятника должен оставаться постоянным: 13 EMBED Equation.3 1415. В качестве r рекомендуется выбрать больший радиус, т.е. r = r2 (рис.1).
Для определения зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 измерьте время t, за которое груз m. опускается на расстояние h. Измерение времени t для каждого груза при постоянном значении h повторите три раза. Затем найдите среднее значение времени падения груза по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
и определите среднее ускорение груза из соотношения (7):
13 EMBED Equation.3 1415.
Эти измерения и вычисления повторите для пяти значений массы т груза, причем для всех m должно выполняться неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - масса перегрузка, приводящего маятник в движение.
Результаты измерений запишите в табл. 1.
Таблица 1
13 EMBED Equation.3 1415,c
13 EMBED Equation.3 1415,c
13 EMBED Equation.3 1415,c
13 EMBED Equation.3 1415,c
13 EMBED Equation.3 1415, c
13 EMBED Equation.3 1415, м
13 EMBED Equation.3 1415, м
13 EMBED Equation.3 1415, рад/с2
13 EMBED Equation.3 1415, рад/с2
mgr, Нм













































r=
·(mgr)=
а) Время
·t определяется из соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415
где (p,n=4.3 – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности p=0.95 и количества измерений n=3.
б) угловое ускорение находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
в)
·m определяется с точностью, с которой известна масса грузов m.
Полученные экспериментально точки отложите в координатной плоскости х=mgr и по ним постройте график зависимости (рис.4, a). По наклону прямой определите 1/I и I, а также 13 EMBED Equation.3 1415. Определите погрешности для найденных величин по методу наименьших квадратов [4].
5. Проверьте экспериментально зависимость (11). Для этого, взяв постоянную массу груза 13 EMBED Equation.3 1415, определите ускорение a груза m при пяти различных положениях R на спицах грузов 13 EMBED Equation.3 1415.
В каждом положении R измерения времени падения t груза т с высоты h повторите три раза. Результаты измерений занесите в табл. 2, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 определяются так же, как в табл. 1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Полученные экспериментальные точки нанесите с учетом погрешностей в координатной плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и постройте график зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.4, б).

Таблица 2
R, cм
r, см
13 EMBED Equation.3 1415, отн.ед.
13 EMBED Equation.3 1415, г
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415, с
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415,
м/с2
13 EMBED Equation.3 1415,
отн.ед.


























































Контрольные вопросы
Дайте определение угловой скорости и углового ускорения. Как связана линейная скорость при движении тела по окружности с угловой скоростью?
Дайте определение момента импульса и момента силы. Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.
Какова связь момента импульса и вектора угловой скорости? Какую величину называют моментом инерции (при вращении тела относительно одной оси)?
Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штайнера.
Почему в эксперименте с маятником Обербека стремятся уменьшать момент сил трения? Казалось бы, даже большую величину 13 EMBED Equation.3 1415 можно легко учесть с помощью уравнения (13).
Какую из величин в данном эксперименте следует измерять с наибольшей точностью?
Лабораторная работа №3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: экспериментальное определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

Приборы и принадлежности: лабораторная установка «Математический маятник», секундомер.
Материал для изучения: раздел «Гармонические колебания».
1. Основные понятия и определения
Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой 13 EMBED Equation.3 1415, подвешенной на длинной, нерастяжимой и невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.
Свободные колебания – колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Обсудим гармонические колебания на примере тела массой m, прикрепленного к поверхности стены пружиной жесткостью k (рис. 1). Если деформация пружины подчиняется закону Гука 13 EMBED Equation.3 1415, то в соответствии со вторым законом Ньютона может быть записано уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
С помощью определения ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение движения может быть переписано в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Уравнение (1) имеет решения в виде гармонических функций вида
13 EMBED Equation.3 1415. (2)
где А – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины), 13 EMBED Equation.3 1415 - круговая или циклическая частота, 13 EMBED Equation.3 1415 - начальная фаза в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - фаза колебаний в момент времени t. Подстановкой решения (2) в уравнение (1) можно получить связь циклической частоты 13 EMBED Equation.3 1415 и параметров колебательной системы: 13 EMBED Equation.3 1415.
В общем случае уравнение свободных гармонических колебаний принято записывать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
С помощью решения уравнения гармонических колебаний достаточно легко определить основные характеристики движения: скорость и ускорение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, в моменты времени, когда x=0, скорость приобретает наибольшее значение, когда же x достигает максимального отрицательного значения, то ускорение приобретает максимальное положительное значение.
Период гармонического колебания – промежуток времени Т, в течение которого фаза колебаний получает приращение 2
·, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Теоретическое введение
Ускорение свободного падения тел можно измерить несколькими методами, в частности, методом математического маятника. Метод математического маятника является одним из наиболее простых и точных методов измерения ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли.
Физической моделью математического маятника является маятник, состоящий из тяжелого шара массой m , подвешенного на длинной стальной нити длиной l (рис.2).
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415
Рисунок 2 Математический маятник. Рисунок 3 Силы, действующие на тело,
подвешенное на нити в поле тяжести.

С помощью второго закона Ньютона может быть записано уравнение движения для математического маятника (рис.3):
13 EMBED Equation.3 1415, (4)
где 13 EMBED Equation.3 1415- ускорение маятника, 13 EMBED Equation.3 1415- сила натяжения нити.
Определим проекции сил в уравнении (4) на мгновенные оси OX и OY:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Поскольку нить является нерастяжимой, то в случае малых колебаний 13 EMBED Equation.3 1415.
Проекция ускорения на ось OX может быть связана с угловым ускорением (при условии нерастяжимости нити):
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Подставляя уравнение (6) в первое уравнение системы (5)
13 EMBED Equation.3 1415, (7)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Решения уравнения (8) в общем случае представляются через эллиптические функции Якоби либо Вейерштрасса. В частном случае, когда амплитуда колебаний маятника мала, а угол отклонения 13 EMBED Equation.3 1415, и уравнение (8) можно представить в виде:
13 EMBED Equation.3 1415. (8а)
Решения (8а) представляются через гармонические функции:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
где A - амплитуда, 13 EMBED Equation.3 1415- циклическая частота колебаний маятника, 13 EMBED Equation.3 1415 - начальная фаза.
Отметим, что амплитуда колебаний A определяется только начальным отклонением и не зависит от циклической частоты колебаний маятника 13 EMBED Equation.3 1415. Это означает, что для маятников имеющих разную амплитуду, но одинаковые длины нити l , частота колебаний будет одинаковой. Кроме того, частота 13 EMBED Equation.3 1415 не зависит от массы груза.
Период колебаний математического маятника связан с угловой частотой выражением:
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
Из полученного выражения находим связь ускорения свободного падения и характеристик математического маятники (длины нити l и периода колебаний T):
13 EMBED Equation.3 1415. (11)

3. Методика измерений
Упражнение 1. Определение периода изохронности маятника.
Для определения периода изохронности колебаний маятника необходимо провести измерения периода колебаний для 10 различных амплитуд. Определить период изохронности колебаний с точностью до 1% .
Упражнение 2 Определение ускорения свободного падения.
Для определения величины ускорения свободного падения необходимо 10 раз измерить величину периода колебаний. Полученные данные занести в табл. 1:
Таблица 1

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1




2









10




Здесь 13 EMBED Equation.3 1415- среднее значение периода колебаний.
Затем, используя выражение13 EMBED Equation.3 1415, необходимо найти дисперсию 13 EMBED Equation.3 1415. Результат записать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 ,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент Стьюдента (определяемый из таблиц [4] для доверительной вероятности p=0.95 и количества измерений n = 10).
Затем по формуле (11) вычислить ускорение свободного падения, подставив среднее значение периода и измеренную длину маятника. Результат записать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - погрешность косвенного измерения, рассчитанная по аналогии с [4].

4. Контрольные вопросы:
Что такое математический маятник? Получите уравнение колебаний математического маятника для случая малых углов отклонения от положения равновесия.
Что такое колебание, гармоническое колебание?
Дайте определение амплитуде, частоте, фазе, периоду колебаний.
Чему равна скорость и ускорение точки, если она совершает гармоническое колебание?
Будет ли изменяться частота (период) колебаний математического маятника, если изменить массу груза (амплитуду, длину нити)?
Выведете расчетную формулу для нахождения величины ускорения свободного падения.
Что такое диапазон изохронности математического маятника?
Лабораторная работа №4
МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА

Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тела вращения, изучение уравнения вращательного движения.
Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, набор металлических накладных колец (массу колец и погрешность определения массы уточнить у инженера).

Материал для изучения:
Динамика вращательного движения. Момент инерции.

Основные понятия и определения
С основными понятиями и определениями динамики вращательного движения можно ознакомиться во вводной части к лабораторной работе №2 настоящего методического пособия.

Теоретическое введение
Маятник Максвелла - это колебательная система (рис. 1), которая состоит из кронштейна, на котором бифилярно на тонких нерастяжимых нитях подвешен стержень (шкив) с небольшим диском туго насаженным на стержень (маховиком). Маятник Максвелла предназначен для изучения законов вращательного движения и определения моментов инерции тел, закрепляемых на маховике.
Рассмотрим принцип действия маятника Максвелла. Пусть в начальный момент времени нить намотана на ось маховика, который при этом располагается вблизи точки подвеса. Под действием силы тяжести маховик будет опускаться вниз. Нити во время движения разматываются до полной длины, раскрутившийся маховик продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т.д. Маховик будет совершать колебания вверх и вниз, поэтому устройство и называют маятником.


Рисунок 1 Схематичное изображение Рисунок 2 Силы действующие
маятника Максвелла на маятник Максвелла


Установим связь между ускорением поступательного движения маятника Максвелла и моментом инерции. Введем следующие обозначения: (рис. 2) mg сила тяжести; T сила натяжения одной нити; r радиус шкива, на который наматываются нити; тогда уравнение для поступательного движения можно записать так:
ma =mg - 2T , (1)
где a ускорение центра масс, а уравнение для вращательного движения.
Поскольку сила тяжести приложена к центру масс, вращающегося маховика, а само вращение происходит вокруг оси проходящей через центр масс, то момент сил M связан только с силами натяжения обеих нитей (для силы тяжести он равен нулю).
M =2Tr (2)
где M момент действующих сил. Выражая из уравнения (1) силу натяжения нитей получим окончательное выражение для момента сил.
M = mr (g - a) (3)
В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения:
I
· = M, (4)
где
· - угловое ускорение, I - момент инерции маховика.
Поскольку проходимый маятником путь в единицу времени соответствует длине разматываемой (наматываемой) на шкив нити за то же время, то можно записать уравнение, связывающее скорость поступательного движения v и угловую скорость (:
v = r (
или для ускорения a = r
·.
Таким образом, может быть записано соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Из выражения (5) может быть найдено выражение для ускорения a:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Как видно из формулы (5), движение происходит с постоянным ускорением, которое зависит радиуса шкива, на который намотана нить и момента инерции тела. Отметим, что момент инерции всегда пропорционален массе тела I ~ m. Например, для диска момент инерции составляет ЅmR2. Таким образом, ускорение с которым движется маятник Максвелла, не зависит от его массы, а зависит только от радиуса маховика R и радиуса шкива r.
Зная ускорение а, из формулы (6) можно определить момент инерции I маятника:
13 EMBED Equation.3 1415 (7)

3. Методика измерений. Ход выполнения работы
Используемая в работе для определения момента инерции тел вращения установка «Маятник Максвелла» на рис. 1.
На основании 1 закреплена стойка 2, к которой прикреплены неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный кронштейн 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5, фотоэлектрический датчик №1 (6) и вороток с фиксатором 7 для закрепления и регулировки длины бифилярного маятника.
Нижний кронштейн 4 с фотодатчиком №2 (8) можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении. Маятник 9 это диск, закрепленный на оси и подвешенный на бифилярном подвесе. На диск накладываются сменные металлические кольца 10, изменяющие момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале стойки прибора. Сигналы с фотодатчиков служат для автоматического пуска и остановки миллисекундомера 11.
Для определения момента инерции стального кольца (указанного преподавателем) необходимо с помощью лабораторной установки определить время, в течение которого произошло опускание маховика от верхней до нижней точки движения. Далее с помощью формулы 13 EMBED Equation.3 1415 (h - расстояние, пройденное маховиком, t – время движения), может быть определено значение ускорения при движении и, в конечном итоге, момент инерции стального кольца по формуле (7).
Для определения времени опускания необходимо воспользоваться следующим алгоритмом проведения эксперимента:
1. На диск маятника наложить стальное кольцо.
Убедиться, что край стального кольца находится примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Если нет, отрегулировать высоту нижнего кронштейна с фотоэлектрическим датчиком.
Намотать на ось маятника нить подвеса, укладывая ее равномерно, виток к витку. Проверить, отвечает ли нижняя грань кольца нулю на стойке. Если нет, ослабить фиксацию верхнего кронштейна, отрегулировать его высоту и еще раз вернуться к п.2.
Включить кнопку «Сеть».
Нажать клавишу «Пуск» миллисекундомера.
Намотать на ось маятника нить подвески.
Зафиксировать маятник с помощью электромагнита, не слишком туго закручивая нить.
Повернуть маятник в направлении движения на угол около 5o. Последовательно нажать клавиши «Сброс» и «Пуск».
Считать показания миллисекундомера 11.

4. Практическое задание
Упражнение: Определение момента инерции маятника Максвелла.
1. С помощью штангенциркуля измерить радиус шкива r. Измерения провести 10 раз в различных местах шкива и занести в табл.1. По измеренным результатам определить среднее значение радиуса шкива 13 EMBED Equation.3 1415 и погрешность измерения 13 EMBED Equation.3 1415, в качестве которого принять дисперсию Sr (8), умноженную на коэффициент Стьюдента (определяемый из таблиц [4] для доверительной вероятности p=0.95 и количества измерений n = 10).
Таблица 1

r, мм
13 EMBED Equation.3 1415, мм
13 EMBED Equation.3 1415, мм

1









10





13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Установите нижний кронштейн на отметке, заданной преподавателем. Проведите 10 замеров времени падения маятника. Экспериментальные данные занесите в табл. 2. Определить среднее время падения маятника 13 EMBED Equation.3 1415 и его дисперсию St по аналогии с (8). Также по аналогии с радиусом шкива вычислите погрешность для времени.
Так как падение маятника осуществляется с постоянным ускорением, то высота падения h связана с ускорением формулой a = 2h/t2. Необходимо определить среднее значение ускорения 13 EMBED Equation.3 1415и погрешность его
·a. Погрешность определения ускорения провести в соответствии с методикой вычисления погрешностей косвенных измерений [4].
Таблица 2

ti, c
13 EMBED Equation.3 1415,с
13 EMBED Equation.3 1415, c
a, м/с2

·a, м/с2

1













10






3. С помощью формулы (7) и найденного значения ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 вычислить момент инерции маятника Максвелла. Определить погрешность момента инерции
·I, по методике определения погрешности косвенных измерений [4]. Результат представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Сделать выводы относительно точности метода определения момента инерции тела с помощью маятника Максвелла.

5. Контрольные вопросы
Что такое абсолютно твердое тело, вращательное движение твердого тела?
Дайте определение угловой скорости и угловому ускорению. Как связано ускорение поступательного движения маятника с его угловым ускорением?
Дайте определение момента инерции твердого тела
Дайте определение момента силы, момента инерции, момента импульса
Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.
Выведите расчетную формулу момента инерции.
Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.
Выведите формулу для определения энергии вращательного движения твердого тела
Сформулируйте закон сохранения момента импульса при вращательном движении твердого тела.
Какие величины характеризуют динамику вращательного движения?
Вывести рабочую формулу для определения момента силы реакции нити относительно центра инерции маятника.
Лабораторная работа №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ МОЛЯРНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ

Цель работы: Ознакомление с методом определения отношения удельных теплоемкостей газов.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка, ручной насос, часы

Материал для изучения:
Первое начало термодинамики, идеальные газы, уравнение состояния идеального газа, теплоемкость, изопроцессы в идеальных газах.


1. Основные понятия и определения
Термодинамической системой называется система, состоящая из большого числа частиц (обычно > 1022), находящейся в ограниченной области пространства и характеризуемой температурой, давлением и плотностью (концентрацией) вещества.
Равновесным состоянием (или просто состоянием) называется состояние термодинамической системы, характеризуемое значениями температуры, давления, плотности (концентрации) одинакового по всему объему системы, при этом такое состояние может сохраняться неограниченно долго.
Равновесным процессом (или просто процессом) называется последовательный переход от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию. При этом все промежуточные состояния являются равновесными.
Циклическим процессом называется процесс, начальное и конечное состояния которого совпадают.
Идеальным газом называется такой газ, атомы которого при движении испытывают только абсолютно упругие столкновения между собой, а другими видами взаимодействия между частицами газа можно пренебречь.
Внутренней энергией термодинамической системы называется энергия U, которая включает в себя энергию движения (кинетическая энергия частиц) и энергию взаимодействия между частицами (потенциальная энергия взаимодействия). Размерность – Дж.
Следствие 1: Внутренняя энергия идеального газа связана только с энергией движения (кинетической энергией) атомов.
Следствие 2: Внутренняя энергия является функцией состояния U = U(p, n ,T).
Теплота Q – энергия, которой система обменивается с окружающей средой. Размерность- Дж.
Теплоемкостью тела называется величина, которая показывает взаимосвязь между количеством переданной телу теплоты и соответствующим изменением температуры 13 EMBED Equation.3 1415 (размерность - Дж/K). Обычно пользуются молярной теплоемкостью 13 EMBED Equation.3 1415 размерность – Дж/(моль К) ) или удельной теплоемкостью 13 EMBED Equation.3 1415 (размерность – Дж/(кг К) ).
Замечание1: Теплоемкость чаще всего зависит от температуры, давления и плотности и в разных процессах может иметь разные значения.
Замечание 2: В качестве индекса у теплоемкости чаще всего указывают величину, которая не изменяется в данном процессе (CV – молярная теплоемкость при постоянном объеме).
Уравнением состояния называется уравнение, которое устанавливает взаимосвязь между температурой, давлением и концентрацией вещества. Наиболее простым уравнением состояния является уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Замечание: уравнение Менделеева-Клапейрона применяется только к идеальному газу и не может применяться к системам, в которых нельзя пренебречь взаимодействием между частицами.
2. Теоретическое введение
Одним из основных положений термодинамики является первое начало термодинамики, которое по своей сути является законом сохранения энергии, сформулированным для систем большого числа частиц. В соответствии с первым началом термодинамики Сообщенное системе тепло Q может быть израсходовано либо на увеличение ее внутренней энергии U, либо на совершение системой работы A. Математически первое начало термодинамики для бесконечно-малых изменений этих величин записывается в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Для идеального газа работа и изменение внутренней энергии могут быть записаны с помощью формул:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Объединяя уравнения (1-3) получим систему уравнений, описывающую большинство явлений в идеальных газах:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Изотермический процесс
Изотермическим называется процесс, в котором температура не изменяется (T = const). Тогда для идеального газа изменение внутренней энергии равно нулю dU = 0, а все тепло, передаваемое системе, расходуется на совершение работы. Из системы уравнений (4) следует:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
При этом ввиду постоянства температуры приводит к зависимости
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Уравнение изотермического процесса записанного в виде 13 EMBED Equation.3 1415 называется законом Бойля-Мариотта.
Изохорный процесс
Изохорным процессом называется процесс, протекающий при постоянном объеме (V=const). Для такого процесса работа идеального газа оказывается равной нулю dA=pdV=0. Для такого процесса внутренняя энергия U изменяется в соответствии с теплообменом с окружающей средой. Из системы уравнений (4) следует:
13 EMBED Equation.3 1415. (7)
Из уравнения состояния идеального газа следует, справедливость соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Из последнего уравнения следует, что для любого состояния в изохорном процессе может быть записано соотношение 13 EMBED Equation.3 1415, которое известно в литературе как закон Шарля.
Изобарный процесс
Процесс, протекающий при постоянном давлении, носит название изобарного процесса. В случае постоянного давления система уравнений (4) принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
В случае изобарного процесса элементарная работа 13 EMBED Equation.3 1415, а для теплоты может быть получено соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415. (10)
Тогда для молярной теплоемкости при постоянном давлении может быть записано выражение:
13 EMBED Equation.3 1415. (11)
Последнее выражение принято называть соотношением Майера.
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, если система не обменивается теплом с окружающей средой, т.е.
·Q = 0. Для этого случая система уравнений (4) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Если подставить в первое уравнение выражение для давления из второго, то получим следующее выражение:
13 EMBED Equation.3 1415. (13)
Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении можно получить соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируя последнее уравнение, получим выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415 (14)
Пользуясь уравнением состояния идеального газа из уравнения (14) можно получить уравнение адиабатного процесса в параметрах p-V.
13 EMBED Equation.3 1415
Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 называется показателем показатель адиабаты.
2. Методика измерений
Величина отношения теплоемкости при постоянном давлении (Ср) к теплоемкости при постоянном объеме (СV) для газов играет очень большую роль при адиабатических процессах и при процессах, близких к ним. Для примера укажем, что ею, в частности, определяется скорость распространения звука в газах, от нее зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в расширяющихся трубах.
Описываемый ниже способ определения отношения удельных теплоемкостей газов 13 EMBED Equation.3 1415 чрезвычайно прост.
Пусть мы имеем стеклянный сосуд, соединенный с манометром. Посредством крана сосуд может соединяться с атмосферой, и пусть первоначально в нем было атмосферное давление. Если с помощью насоса накачать в сосуд небольшое количество воздуха и закрыть кран, то давление в сосуде, конечно, повысится; но если это повышение было произведено достаточно быстро, манометрический столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие воздуха было адиабатическим, и следовательно, температура его повысилась (в действительности же нагнетание воздуха занимает некоторое время, поэтому процесс этот нельзя считать строго адиабатическим). Окончательная разность уровней в манометре (h1) установится только тогда, когда температура воздуха внутри сосуда сравняется благодаря теплопроводности стенок с температурой окружающего воздуха.
Обозначим через T1 абсолютную температуру окружающего воздуха и через р1 давление газа внутри сосуда, соответствующее показанию манометра h1; совершенно ясно, что
р1 = р0 + h1, (15)
где р0 атмосферное давление (конечно, при этом р0 и h1 должны быть выражены в одинаковых единицах). Эти два параметра T1 и р1 характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием газа (состояние I: T1 , р1).
Если теперь быстро открыть кран, то воздух в сосуде будет расширяться адиабатически, пока давление его не сделается равным р0; при этом он охладится до температуры T2; это будет вторым состоянием газа (состояние II: Т2, р0).
Если сразу после открывания снова закрыть кран, то давление внутри сосуда начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в сосуде станет снова нагреваться. Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха в сосуде сравняется с внешней температурой T1 это будет третьим состоянием газа (состояние III: T1, р2).
Обозначим давление воздуха в сосуде в этот момент через р2 и соответствующее показание манометра через h2. Ясно, что
p2 = р0 + h2, (16)
Так как переход от состояния II к состоянию III произошел без изменения объема, то мы вправе применить здесь закон Гей-Люссака
13 EMBED Equation.3 1415. (17)
К процессу адиабатического расширения, т. е. к переходу из состояния I в состояние II, может быть применен закон Пуассона, который удобно написать в следующей форме:
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
где
· отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме (
·=Сp/СV ). Подставляя сюда значение р1 из уравнения (15) и переставляя члены, получим:
13 EMBED Equation.3 1415 (19)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (20)
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - величины малые сравнительно с единицей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим:
13 EMBED Equation.3 1415, (21)
откуда
13 EMBED Equation.3 1415. (22)
Но выражение, стоящее в левой части уравнения, есть не что иное, как h2; действительно, подставив в уравнение (17) значение р2 из уравнения (16) и разрешив его относительно h2, получим:
13 EMBED Equation.3 1415 (23)
Следовательно, можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415, (24)
Откуда окончательно находим
13 EMBED Equation.3 1415 (25)

3. Описание прибора.
Прибор состоит (рис. 1) из стеклянного баллона А и соединенных с ним трехходового крана В и водяного манометра С. Сосуд А через кран В присоединяется к ручному воздушному насосу.

4. Практическое задание
Определить показатель адиабаты с помощью лабораторной установки «Показатель адиабаты» с помощью алгоритма:
1. Кран ставят так, чтобы полость насоса соединялась только с баллоном А. Действуя насосом осторожно, нагнетают воздух в сосуд. Когда разность уровней воды в манометре достигнет 2025 см, кран поворачивают (против стрелки часов) так, чтобы полость баллона полностью изолировалась от воздуха комнаты.
2. Подождать 2 минуты, чтобы установилось давление (температура внутри баллона выровнялась с температурой окружающей среды). После этого производят первый отсчет разности уровней в манометре h1.
3. Нажатием на клапан, расположенный сверху баллона устанавливают сообщение полости сосуда с атмосферой. Через 1с. Клапан отпускают, снова изолируя полость сосуда.
4. Подождать 2 минуты, чтобы установилось давление (температура внутри баллона выровнялась с температурой окружающей среды). После этого производят второй отсчет разности уровней в манометре h2.
Опыт следует повторить не менее десяти раз, изменяя в каждом случае величину h1. Для каждой пары значений h1 и h2 по формуле (25) определяют величину отношения удельных теплоемкостей. За истинное значение принимают среднее арифметическое. Затем производят оценку погрешности измерения.

5. Контрольные вопросы
Сформулируйте первое начало термодинамики.
Дайте определение теплоемкости. Какова связь внутренней энергии с теплоемкостью при постоянном объеме?
Сформулируйте и докажите соотношение Майера.
Выведите закономерности основных изопроцессов (изотермический, изобарический, изохорный, адиабатный). Представьте полученные закономерности в виде графиков.

Лабораторная работа №6
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Цель работы: Ознакомление с основными статистическими закономерностями идеальных газов.
Приборы и принадлежности: персональный компьютер, программа LabStat.exe
Материал для изучения: основные понятия теории вероятности (вероятность, плотность вероятности, нормировка вероятности, биноминальное распределение, распределение Гаусса), распределение Максвелла.

1. Теоретическое введение. Основные определения
В молекулярной физике изучается поведение систем, состоящих из большого числа частиц. Обычно в 1см3 твердого тела содержится 1022 -1023 атомов. Уравнения классической механики не могут быть использованы для описания таких систем, т.к. это требует решения системы дифференциальных уравнений 13 EMBED Equation.3 1415, количество уравнений при этом совпадает с числом частиц в системе. Очевидно, что такая система уравнений не может быть решена для реальных систем, поэтому чаще всего для описания используется вероятностный подход, изучаемый статистической физикой.
Вероятность
В соответствии вероятностным подходом некоторые физические величины, характеризующие конкретные частицы (такие как координаты, импульс, энергию), имеют случайные значения. Такие величины в теории вероятностей называют случайными.
Случайная величина – величина, значение которой нельзя предсказать заранее.
Для описания случайных величин вводится понятие вероятности, которое мы обсудим на примере молекулы, находящейся в объеме V (рис.1). Пусть частица случайным образом блуждает в объеме V, и выйти за пределы этой области не может. Предположим, что мы проводим Nex экспериментов, результатом, которых является проверка наличия одной частицы в объеме V1. Если из всех Nex экспериментов N1, соответствует такому событию, тогда по определению вероятностью называется величина P(V1):
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Если случайная величина может принимать дискретный набор значений, то ее характеризуют набором вероятностей всех возможных событий 13 EMBED Equation.3 1415, называемым распределением вероятностей.
Обсудим одно из важнейших свойств распределения вероятностей, на примере блуждающей частицы в объеме V. Если в пределах объема V выделить несколько непересекающихся элементов объема Vi, тогда можно ввести вероятности попадания в каждый из них Pi по аналогии с (1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1a)
Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415, а для вероятностей выполняется условие нормировки:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Характер распределения вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415 обычно зависит от свойств самой системы. Эту связь можно продемонстрировать на примере блуждания частицы в объеме V, разделенном на элементы объема Vi. Если предположить, что все возможные расположения частиц в системе являются равноправными, то вероятности pi должны быть пропорциональны соответствующему объему 13 EMBED Equation.3 1415, где A – константа, определяемая из условия нормировки (2):
13 EMBED Equation.3 1415,
Из этого следует, что вероятность
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
Во многих случаях приходится работать со случайными величинами, которые могут принимать непрерывные значения (например, координаты частиц). В этом случае распределение вероятностей записывается с помощью функции называемой плотностью вероятности f(x), которая устанавливает связь между вероятностью и интервалом изменения случайной величины. Вероятность такого события, что случайная величина x лежит в пределах (x0, x0+dx) определяется формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Вероятность того, что случайная величина x лежит в пределах от x1 до x2 определяется интегралом:
13 EMBED Equation.3 1415, (5)
Условие нормировки (2) для случая непрерывного изменения случайной величины x переписывается в виде
13 EMBED Equation.3 1415, (6)
где интегрирование ведется по всей области определения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415.

Независимые события
Определим вероятность события, когда в одном из измерений частица попадает в объем 13 EMBED Equation.3 1415, а при другом измерении частица попадает в другой объем 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятность такого события определяется теоремой об умножении вероятностей:
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
В случае непрерывных случайных величин x и y плотность вероятности 13 EMBED Equation.3 1415 определяется произведением функций плотности вероятности для каждой из случайных величин (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415 (8)

Биноминальное распределение
Рассмотрим систему объемом V, в которой находится N частиц. Определим вероятность события, в соответствии с которым ровно m частиц попадают в объем V1.
Вероятность того, что m частиц попали в объем V1, в соответствии с (3) и (7):
13 EMBED Equation.3 1415 (9)

При этом остальные 13 EMBED Equation.3 1415 частиц должны попасть в объем 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятность этого события:
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
Следует учесть, что все частицы в системе одинаковы и обладают идентичными свойствами (неразличимы). Это означает, что m частиц могут быть выбраны из полного числа N произвольным образом. Количество способов выбрать m частиц из полного набора N задается формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
Таким образом, пользуясь теоремой об умножении вероятностей (7) и соотношениями (9-11) получим выражение для вероятности 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Выражение (12) называется биноминальным распределением. С помощью бинома Ньютона для распределения (12) может быть легко проверено выполнение условия нормировки (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (13)
где использовано определение 13 EMBED Equation.3 1415.

Вычисление средних значений физических величин
Для характеристики случайной величины часто пользуются понятием среднего значения, которое определяется как:
13 EMBED Equation.3 1415 (14)
Мерой отличия случайной величины x от среднего значения 13 EMBED Equation.3 1415 является дисперсия (среднеквадратичное отклонение), которая определяется как:
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
Раскрывая скобки и пользуясь определением средних величин можно получить простое выражение для расчета дисперсии:
13 EMBED Equation.3 1415 (16)
В качестве примера рассчитаем средние значения и дисперсию для биноминального распределения. Установим среднее значение числа частиц попадающих в область V1 - 13 EMBED Equation.3 1415. По определению среднее значение
13 EMBED Equation.3 1415.
Для расчета дисперсии биноминального распределения воспользуемся формулой (15) и результатом вычисления 13 EMBED Equation.3 1415. Расчет 13 EMBED Equation.3 1415 можно провести аналогично13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Подстановка этой формулы в (15) приводит к значению дисперсии в биноминальном распределении:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление средних значений физических величин, зависящих от случайной величины x, проводится аналогично (14). Если известны вероятности различных состояний системы pi, при этом требуется вычислить значения какой-либо физической величины u имеющей разные значения в каждом из состояний ui=u(xi). Вычисление среднего значения 13 EMBED Equation.3 1415 производится в соответствии с формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (17)
В случае непрерывного распределения вероятности выражение для среднего значения величины u(x) определяется через функцию плотности вероятности f(x):
13 EMBED Equation.3 1415 (15)
Распределение Гаусса
Распределение Гаусса достаточно часто встречается при описании реальных физических систем. Одной из основных задач, приводящих к получению распределения Гаусса, является задача о случайном блуждании частицы на плоскости. Если частица начинает блуждания из начала координат, то вероятность ее обнаружения через некоторое время в области площадью dxdy в окрестности точки (x0, y0), определяется в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
где функция f(x) - распределение Гаусса для случайной величины x:
13 EMBED Equation.3 1415 (16)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - среднее значение случайной величины x, 13 EMBED Equation.3 1415 - среднеквадратичное отклонение случайной величины x. График функции f(x) приведен на рис.2
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Распределение Максвелла
Распределение Максвелла определяет функцию распределения частиц идеального газа по скоростям. По своему виду распределение Максвелла совпадает с распределением Гаусса, когда в качестве случайных величин выбираются проекции скорости молекул. Функция плотности вероятности для проекции скорости 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (17)
Поскольку компоненты скорости являются независимыми, то выражение (17) может быть перенесено и на компоненты скорости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Общий вид графика функции (17) соответствует зависимости представленной на рис. 2.
В соответствии с (17) может быть получено распределение по модулю скорости:
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
График функции F(v) зависит от температуры
Распределение Максвелла F(v) может быть охарактеризовано несколькими характерными значениями скорости:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - среднее значение модуля скорости, 13 EMBED Equation.3 1415 - наиболее вероятное значение скорости, 13 EMBED Equation.3 1415 - среднеквадратичное значение модуля скорости.
Вычисление среднего значения кинетической энергии молекул идеального газа, описываемых распределением Максвелла, может быть получено в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (19)
2. Методика моделирования
Рассмотрим N частиц, идеального газа, имеющих одинаковую массу m, находящихся в закрытом сосуде. Каждая из частиц характеризуется вектором скорости 13 EMBED Equation.3 1415 или проекциями скоростей vxi, vyi, vzi.
Предположим, что в начальный момент времени частицы идеального газа являются неподвижными. Поскольку частицы являются неподвижными, то кинетическая энергия равна нулю, а, следовательно, и температура, соответствующая такому состоянию, равна нулю (см. формулу (19)).
Если частицы газа взаимодействуют с поверхностью сосуда (посредством абсолютно упругого удара, т.е. условие идеальности газа не нарушается), находящегося при некоторой температуре Tсосуда, то температура газа постепенно увеличиваться до тех пор пока не будет достигнуто состояние термодинамического равновесия и температура газа не станет равной Tгаза=Tсосуда. При каждом акте соударения со стенками сосуда происходит случайное изменение проекций импульса частиц газа. Предположим, что при каждом соударении (либо между собой, либо со стенками сосуда) изменяется только одна из проекций импульса на некоторую малую случайную величину
·p.
Таким образом, в системе реализуется случайное блуждание частиц из начального состояния (vxi=0, vyi=0, vzi=0) с постоянным шагом
·p/m. При чем на каждом шаге изменяется только одна из проекций скорости. Так как температура газа имеет связь со средней кинетической энергией, то случайное блуждание в пространстве импульсов прекращается при достижении термодинамического равновесия со стенками сосуда (т.е. при равенстве температуры газа и температуры сосуда):
13 EMBED Equation.3 1415.
В результате расчета распределение частиц по скоростям будет соответствовать распределению Максвелла, записанному в формулах (17) и (18).

3. Практические задания
Выполнение работы с помощью программы LabStat.exe. Внешний вид программы представлен на рис.4. Для выполнения упражнений 1-3 необходимо выбрать соответствующую кнопку в диалоговом окне программы.


Рисунок 4 Внешний вид программы LabStat.exe

Первые два упражнения являются ознакомительными, поскольку позволяют с помощью вычислительного эксперимента познакомиться с некоторыми закономерностями теории вероятностей, применяемыми в молекулярной физике.
В третьем упражнении предлагается проведение моделирования распределения частиц по проекции скорости и модулю скорости (распределение Максвелла).

Упражнение 1 Определение вероятности равновероятных событий
Для проведения эксперимента выбираем кнопку «Упражнение 1». Программа моделирует 1000 бросков кубика и в диалоговом окне выводит количество событий связанных с выпадением различных граней кубика 1 – 6 (рис. 5). Результаты записываются в таблицу №1.
Таблица 1 Определение вероятности выпадения граней кубика
Номер грани
1
2
3
4
5
6

Количество событий







Вероятность, отн.ед.








Результаты представить в виде гистограммы. Требуется убедиться в том, что вероятности выпадения граней кубика одинаковы и примерно составляют 1/6. Провести проверку условия нормировки вероятностей.

Рисунок 5 Окно выполнения упражнения 1

Рисунок 6 Окно выполнения упражнения 2

Упражнение 2 Блуждание частиц в замкнутом объеме
Для проведения численного эксперимента выбираем в программе LabStat.exe кнопку «Упражнение 2». С помощью программы производится моделирование случайного блуждания 1000 частиц в объеме из 10000 ячеек. Программа производит 10000 итераций (случайных перемещений частиц внутри системы) и выводит на экран количество частиц попавших в каждый из элементов объема, состоящих из V1 = 400, V2 = 1600 и V3 =8900 (V3 = V - V1 - V2) ячеек. Необходимо произвести 100000 перемещений, при этом через каждые 10000 итераций определяем распределение числа частиц в системе и заносим в таблицу.
Таблица 2 Вероятность попадания частицы в элемент объема

N1
N2
N3

1.









10.




13 EMBED Equation.3 1415




13 EMBED Equation.3 1415




13 EMBED Equation.3 1415




13 EMBED Equation.3 1415




13 EMBED Equation.3 1415





После выполнения расчетов заносим сведения в таблицу и определяем вероятность pi попадания в объем Vi. Для этого необходимо рассчитать среднее значение вероятности 13 EMBED Equation.3 1415, среднеквадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415. В графе 13 EMBED Equation.3 1415 поместить результат в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности
·=0,95 и n=10.
Проверьте выполнимость условия нормировки для величин 13 EMBED Equation.3 1415 в пределах погрешностей. Определенные «экспериментальными методами» значения вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415, нужно сопоставить с вероятностями определенными с помощью соотношений объемов 13 EMBED Equation.3 1415.

Упражнение 3
В данном упражнении проводится моделирование процесса блуждания частиц в пространстве скоростей, которое принципиально ничем не отличается от блуждания в пространстве координат.
1. Для моделирования нажмите кнопку «Упражнение 3» в программе LabStat.exe. Для осуществления расчетов распределения Максвелла (или их повтора) необходимо нажать кнопку «Пересчитать». Установить температуру, для которой осуществляется моделирование, можно нажав кнопку «Температура». Результаты расчетов выводятся в диалоговом окне, представленном на рис.7. В левой части окна представлено количество частиц имеющих различные значения проекции скорости vx. В правой части указаны количества частиц, имеющих различные значения модуля скорости v.
Расчеты с помощью программы LabStat.exe необходимо провести для одной или нескольких температур, указанных преподавателем. Для каждой из температур необходимо провести не менее 3-х попыток перерасчета. Результаты перерасчета необходимо занести в табл. 3 и 4.

Таблица 3 Результаты моделирования распределения по проекции скорости

vx, отн.ед.
Ni

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, отн.ед.
13 EMBED Equation.3 1415



1
2
3





1
[-10, -9)





90,25


2
[-9, -8)





72,25












20
[8, 9]





72,25




Таблица 4 Результаты моделирования распределения по модулю скорости.

v, отн.ед.
Ni

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, отн.ед.
13 EMBED Equation.3 1415, отн.ед.



1
2
3





1
[0, 1]





0,25


2
[1, 2]





2,25












20
[19, 20]





380,25




Рисунок 7 Окно выполнения упражнения 3

2. С помощью результатов, полученных при обработке расчетных данных (табл.3 и 4), необходимо построить гистограммы распределения вероятностей в зависимости от значения проекции скорости vx и модуля скорости v для рассмотренных температур.
3. С помощью результатов, полученных при обработке расчетных данных (табл.3 и 4), необходимо построить графики зависимостей 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415. Линейность этих зависимостей позволяет подтвердить справедливость распределения Максвелла для рассмотренной системы. Сравните между собой коэффициенты наклона для этих двух линейных зависимостей.
4. Если расчеты проводились для нескольких температур, то необходимо сделать выводы относительно изменения распределений в зависимости от температуры и убедиться в линейности поведения дисперсии от температуры.

4. Контрольные вопросы
Дайте определение понятий: вероятность, распределение вероятности и плотность вероятности? В чем состоит условие нормировки?
Получите на примере физической системы биноминальное распределение. Вычислите среднее значение и среднеквадратичное отклонение для биноминального распределения.
Докажите, что средняя кинетическая энергия молекул идеального газа не зависит от массы молекул.
Получите на примере физической системы распределение Максвелла по проекциям и модулю скорости. Вычислите среднее квадратичное значение модуля скорости.
Что характеризуют среднеквадратичное значение скорости и наиболее вероятная скорость движения частиц идеального газа?

Погрешности результатов измерений физических величин
1. Основные определения.
Прямыми измерениями называют такие измерения, при которых с помощью эталонного прибора измеряют непосредственно исследуемую величину X (например, прямым измерением является измерение длины при помощи линейки).
Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых искомое значение величины находится на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми прямыми измерениями (например, косвенным измерением является измерение плотности тела по результатам прямых измерений его массы и объема).
Абсолютная погрешность (X измерения – это разность между измеренным (Xизм) и истинным значением (Xист) измеряемой величины:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Относительная погрешность измерения ( равна отношению абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Истинное значение измеряемой величины Xист экспериментатору не известно. Наиболее близко к истинному значению лежит среднее значение измеряемой величины, определяемой по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 , (3)
где Xi – значение измеряемой величины в i-ом измерении, n – число измерений. Оценку абсолютной погрешности i-го измерения можно найти по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при измерениях. Она может быть вызвана неточностью метода измерения, погрешностями приборов и другими причинами.
Случайная погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (даже при повторных прямых измерениях).
2. Некоторые сведения из теории вероятностей.
При многократных измерениях одной и той же величины получается набор значений X1, X2 , , Xn , которые представляют собой набор случайных величин. Соответственно случайными величинами являются и абсолютные погрешности (Xi. Распределение таких величин, согласно теории вероятностей, подчиняется нормальному закону Гаусса.
Приближенное значение среднеквадратического отклонения результата измерения при n независимых измерениях случайной величины можно рассчитать по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Приближенное значение среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения от истинного при n независимых измерениях случайной величины можно рассчитать по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 также называют стандартной погрешностью.
Доверительной границей (доверительным интервалом) погрешности (X называю величину (Xгр, если (X попадает в интервал [–(Xгр; + (Xгр] с заданной вероятностью p. При проведении лабораторных работ рекомендуется выбирать p=0, 90 или 0,95.
Теория вероятности позволяет связать (Xгр с 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
где tp;n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности p (см. табл.).
Число измерений n
3
4
5
6
7
8
9
10
30
(

Коэффициент Cтьюдента tp;n
p=0,90
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,9
1,7
1,65


p=0,95
4,3
3,2
2,8
2,6
2,5
2,4
2,3
2,3
2,1
2,0


3. Оценка случайных погрешностей прямых измерений.
Оценить доверительную границу случайной погрешности можно по формуле (6), выбирая коэффициенты Стьюдента из таблицы.
При проведении прямых измерений также необходимо оценить приборную погрешность согласно выражению
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
в котором p должно иметь то же значение, что и при вычислении (Xгр , а n=(, ( – либо абсолютная максимальная погрешность прибора, либо половина цены его наименьшего деления.
Результирующая погрешность измерения находится следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
4. Порядок аналитической обработки результатов прямых измерений.
1. По формуле (3) рассчитать среднее значение измеряемой величины.
2. По формуле (4) рассчитать приближенное значение абсолютной погрешности каждого измерения.
3. По формуле (5) рассчитать среднеквадратическое отклонение.
4. По формуле (6) рассчитать (Xгр для доверительной вероятности p=0,90.
5. По формуле (7) рассчитать (Xпр для доверительной вероятности p=0,90.
6. По формуле (8) определить результирующую погрешность (Xизм .
7. Записать полученный результат в виде
13 EMBED Equation.3 1415
5. Оценка доверительной границы погрешности косвенных измерений.
Пусть проводятся косвенные измерения величины A(x,y,z), где x, y, z – получены прямыми измерениями. В этом случае доверительная граница погрешности:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – частные производные, рассчитанные по средним значениям измеренных величин 13 EMBED Equation.3 1415 (xизм , (yизм , (zизм – доверительные границы погрешности прямых измерений величин x, y, z, определяемые по формуле (8).
Относительная погрешность косвенных измерений искомой величины находится по формуле (2):
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
где 13 EMBED Equation.3 1415

6. Порядок аналитической обработки результатов косвенных измерений.
1. Провести несколько раз измерения каждой из величин x, y, z (не менее пяти измерений каждой величины).
2. Найти среднее значение каждой из этих величин по формуле (3).
3. Определить среднее значение искомой величины A(,,).
4. Оценить доверительную границу погрешности косвенных измерений (Aгр по формуле (9). Для этого:
а) найти частные производные расчетной формулы13 EMBED Equation.3 1415, а также квадрат этих производных;
б) определить абсолютные погрешности (xi , (yi , (zi отдельных измерений по формуле (4) и среднеквадратические отклонения величин x, y, z по формуле (5);
в) оценить доверительную границу случайной погрешности прямых измерений по формуле (6), выбирая коэффициент Стьюдента по таблице;
г) оценить доверительную границу приборной погрешности по формуле (7);
д) оценить доверительную погрешность прямых измерений по формуле (8);
е) провести расчет (Aгр по уравнению (9).
5. Вычислить относительную погрешность по формуле (10).
6. Записать полученный результат в виде
13 EMBED Equation.3 1415
или в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Бессмысленно записывать величину
с точностью, значительно превышающей (Aгр .
Пример.
Расчет напряженности магнитного поля дает H=60,6 А/м, (Hгр=1,5 А/м, p=0,90.
Правильно записать результат эксперимента так: H=61 А/м, (Hгр([–1,5;+1,5] А/м; p=0,90.
7. Если в опыте требуется получить зависимость A(x), которая в процессе измерений принимает различные значения, то при каждом x выполняются расчеты по п.1–5 раздела 6. Для каждой точки, указанной на рисунке, длина горизонтального отрезка равна 2((xизм , а вертикальной – 2((Aгр , см. рис.1
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рекомендованная литература
Литература к разделу «Механика»
Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990, 478с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1.М., 1989.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 1989.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М., 1989.
Булярский С.В., Вострецов Д.Я. Погрешности в инженерных расчетах 2007.

Литература к разделу «Молекулярная физика»
Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990, 478с.
Савельев И.В. Курс общей физики, М.: Наука, 1977, т.1.
Матвеев А.Н. Молекулярная физика М. Высшая школа, 1981
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2 Молекулярная физика. М., 1989








13PAGE 15


13PAGE 15


13PAGE 14315



Рисунок 6.

Рисунок 7.

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рисунок 9.

13 EMBED Imaging. 1415

13 EMBED Word.Picture.8 1415










б)

13 EMBED Equation.3 1415

g/


13 EMBED Equation.3 1415

Mтр


·

mgr

Рисунок 4.

а)

k m

Рисунок 1

13 EMBED Equation.3 1415

x0 = 0

x

Рисунок 1.

Рисунок 1

V, N

N1 V1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рисунок 1 Пояснения к графическому отображению результатов экспериментов и расчета погрешностей физических величин.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415
Рисунок 1

F(v)

T1

T2

f(x)

x

Рисунок 2


T2 > T1


vвер vсркв

v


Рисунок 3




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Romanxt yt g 14= -g e
Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 25431055
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий