Матан РК1


1 балл
Сформулировать определение двойного интеграла.
Функцию f(x,y) называют интегрируемой функцией в D, если существует конечный предел I ее интегральных сумм S(T), не зависящий от выбора разбиения и точек (εi,ni) в частичных областях, т.е. для любого числа ε>0 существует такое число δ=δ(ε)>0, что для любого разбиения T={D1,…,Dn} замкнутой области D с диаметром d(T)<δ(ε) и любого выбора точек (εi,ni)ϵDi для соответствующей интегральной суммы S(T) выполняется неравенство |S(T)-I|<ε. При этом конечный предел I интегральных сумм называют двойным интегралом от функции f(x,y) по замкнутой области D и обозначают

Какими свойствами обладает двойной интеграл?




, если f(x,y)≥g(x,y)

, если m≤f(x,y)≤M и g(x,y)≥0.
Сформулировать теоремы о среднем значении в двойном интеграле.
Если f(x,y) непрерывна в квадрируемой области D, являющейся линейно связным множеством, то в D существует такая точка (x0;y0), что , где S – площадь области интегрирования D
Сформулировать теорему о замене переменных в двойном интеграле.
Пусть отображение x=x(u,v), y=(u,v), (u;v)ϵG*, взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область на область , причем якобиан J(u,v) этого отображения в G* отличен от нуля. Тогда площадь S квадрируемой замкнутой области может быть выражена двойным интегралом по ее прообразу :

Как определяется криволинейный интеграл второго рода? Как он связан с криволинейным интегралом первого рода и как вычисляется?
Если существуют пределы I1, I2 интегральных сумм при λ0, не зависящие ни от разбиения кривой AB на элементарные дуги, ни от выбора точек Mi на этих дугах, то эти пределы называют криволинейными интегралами второго рода вдоль кривой AB от функции P(x,y) по переменному x и от функции Q(x,y) по переменному y:,
Связь с 1-го рода:
Сформулируйте формулу Грина для многосвязной и односвязной областей.
Для односвязной:
Для многосвязной:
Сформулируйте свойства поверхностного интеграла второго рода.

Сформулируйте формулу Стокса. Как она связана с формулой Грина?
Пусть в некоторой пространственной области G, целиком содержащей поверхность Ф, заданы непрерывно дифференцируемые функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Тогда имеет место формула Стокса:

Она доказывается с помощью формулы Грина.
Сформулируйте условия, эквивалентные независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве.
Пусть G-поверхностно односвязная область в пространстве и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы в G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны.
Выражение Pdx+Qdy+Rdz является полным дифференциалом dF некоторой функции F(x,y,z), дифференцируемой в G.
В области G верны равенства
Для любого кусочно гладкого контура L, целиком лежащего в области G, справедливо равенство
Для любых двух точек A и B в области G криволинейный интеграл второго рода не зависит в этой области от пути интегрирования.
Формула Остроградского-Гаусса. Какому условию должны удовлетворять функции P, Q, R, чтобы поверхностный интеграл в этой формуле был равен объему области, ограниченной замкнутой поверхностью.
Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы в объемно односвязной области G, то любой простой замкнутой области V⊂G, ограниченной кусочно гладкой замкнутой поверхностью Ф, верна формула Остроградского-Гаусса , где поверхностный интеграл второго рода вычисляется по внешней стороне поверхности Ф.
Дать определения дивергенции и ротора векторного поля. Как они вычисляются в прямоугольных координатах?
Предел , если он существует, называется дивергенцией векторного поля a в точке M∈D, заданного в пространственной области D, и обозначают через diva.
Завихренность векторного поля a(M) в точке M0 в направлении единичного вектора n можно представить как проекцию некоторого вектора ω на направление вектора n. Вектор ω можно определить его проекциями на направления базисных векторов e1, e2, e3. Его называют ротором векторного поля в точке M0. rota(M).
;
Какие векторные поля называются безвихревыми, бесциркуляционными, лапласовыми, соленоидальными?
Дифференцируемое векторное поле a(M), заданное в пространственной области D, называют безвихревым векторным полем, если в любой точке этой области его ротор равен нулевому вектору 0, т.е. rota(M)=0, M∈D (центральное и осевое).
Непрерывное векторное поле a(M), заданное в области D⊂R3, называют бесциркуляционным векторным полем, если циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру L, лежащему в D, равна нулю, т.е. , где t(M) – единичный касательный вектор к контуру L в точке M∈L.
Поля, не имеющие ни вихрей, ни источников, называются лапласовыми, divgradu=0.
Поле a(M) соленоидально, если dova=0.
Какие дифференциальные операции второго порядка рассматривают в векторном анализе?
Вычисление градиента скалярного поля или дивергенции и ротора векторного поля связано с их однократным дифференцированием. Поэтому градиент, дивергенцию и ротор в векторном анализе относят к дифференциальным операциям первого порядка. В результате выполнения какой-либо из этих операций возникает новое поле, скалярное или векторное. Если это поле оказывается дифференцируемым в некоторой области, то к нему можно снова применить одну из дифференциальных операций. Возникают операции, связанные с двукратным дифференцированием, которые в теории поля и векторном анализе называют дифференциальными операциями второго порядка. Поскольку есть всего три дифференциальных операции первого порядка, комбинируя их различным способом, можно было бы получить девять дифференциальных операций второго порядка. Однако не все возможные комбинации операций первого порядка допустимы. Не имеют смысла выражения gradgradu(M), gradrota(M), divdiva(M), rotdiva(M), поскольку операцию grad можно применить лишь к скалярному полю, а операции div и rot – только к векторному полю.
2 балла
Доказать ограниченность интегрируемой в замкнутой области функции.
Если ограниченное множество S измеримо, а функция f определена и непрерывна на S, то она интегрируема на S.

Вычислить якобианы отражений, соответствующих сферическим и цилиндрическим координатах.
Цилиндрические координаты могут интерпретироваться как замена декартовых координат (x,y) соответствующими им полярными (r,φ). Соответствующий якобиан равен r.

Докажите формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.



Что называется циклической постоянной отверстия в многосвязной области? Докажите корректность данного определения, рассмотрев различные способы расположения простых контуров, обходящих это отверстие.
Выведите соотношение, связывающее элемент площади поверхности dS с длиной нормали к поверхности.
Вывести формулу для дивергенции в прямоугольных координатах.

Вывести формулу для ротора в прямоугольных координатах.

Сформулировать и доказать свойства ротора.

Сформулировать и доказать свойства дивергенции.

Какова связь между безвихревым, бесциркуляционным и потенциальным полями? Ответ обосновать.
Безвихревое поле, бесциркуляционное поле и потенциальное – близкие понятия, но не эквивалентные. Чтобы выяснить связь между этими понятиями, введем некоторую прямоугольную систему координат Ox1x2x3 и обратимся к теореме 6.3 (условия, эквивалентные независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве). Теорема 6.3 не только выявляет связь между тремя типами векторных полей, но и дает удобный способ вычисления потенциала векторного поля. Чтобы найти потенциал u(M) заданного в области D векторного поля a(M), можно выбрать некоторую фиксированную точку M0∈D и вычислить линейный интеграл вдоль любого пути в D, соединяющего точки M0 и M. Тогда получаем
Докажите, что у непрерывного потенциального поля в поверхностно односвязной области нет замкнутых векторных линий.

Сформулируйте и докажите свойства соленоидальных полей.


Приложенные файлы

  • docx 25043983
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий