Теоремы для РК1 по ангему


ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
1)Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.
2) Произведением вектора a на число λ называют вектор λa, кол-
линеарный вектору a, с длиной |λ| |a|, однонаправленный с a при λ > 0 и противоположно
направленный при λ < 0. Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный
по следующему правилу треугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a.
Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец —
с концом b
3)Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.Три геометрических вектора называют компланарными, если эти
векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.
4) Векторы a1, . . . , a(n) называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов α1, . . . , α(n), что
α1a1 + . . . + α(n)n(n) = 0 (2.2) и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.
5) Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. . Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.6)Рассмотрим пространство V1. Любой ненулевой вектор пространства V1 называют базисом в V1. Выберем и зафиксируем в V1 базис, т.е. вектор e ≠ 0. Тогда любой вектор x ∈ V1 представляется в виде x = λe. Число λ — координатой вектора x в этом базисе.
7) (ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
8)
9) Скалярным произведением двух векторов a и b называют число,
равное |a| |b| cos ϕ — произведению длин |a| и |b| этих векторов на косинус угла ϕ между ними.
10) Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна:(λa)b = λ(ab).
Если b = 0 — нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же b ≠ 0, то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора на направление вектора b
(λa)b = b(λa) = |b| прb(λa) = λ |b| прb a = λ(ab). Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности:(a + b)c = ac + bc11)  В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы  и  относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты  и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

12) (Косинус угла)ab = |a| |b| cos ϕ, где— угол между векторами a и b.
13) Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называют правой, если направление вектора a совмещается с направлением вектора b при помощи кратчайшего поворота вектора a в плоскости этих векторов, который со стороны вектора c совершается против хода часовой стрелки . В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.
14) Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b назы-
вают такой вектор c, который удовлетворяет следующим трем условиям:
(1) вектор c ортогонален векторам a и b;
(2) длина вектора c равна |c| = |a| |b|sin ϕ, где ϕ — угол между векторами a и b;
(3) упорядоченная тройка векторов a, b, c является правой
…………………………………………………………………………………………
15) Скалярное произведение коммутативно: ab = ba Свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения векторов а и b, так как, согласно этому определению, скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей.
16) (Свойство линейности скалярного произведения)
Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна:
(λa)b = λ(ab).
Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности:
(a + b)c = ac + bc.17) Итак,формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе i, j, k можно записать в виде:
18) Смешанным произведением трех векторов a, b, c называют число, равное (a×b)c — скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.
19) Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки:
abc = bca = cab = −bac = −cba = −acb.→ abc = (a×b)c = a(b×c),
т.е. порядок двух операций, дающих смешанное произведение, не является существенным.
20) a(λb)c = λ(abc),
ab(λc) = λ(abc),
a(b1 + b2)c = ab1c + ab2c,
ab(c1 + c2) = abc1 + abc2,
свойство линейности смешанного произведения по каждому сомножителю.
21)

22)

23)
24)
25)
26) Определим прямую L на плоскости точками M0(x0; y0) на той же прямой и ненулевым вектором s = {l;m}, параллельным ей. Такой вектор s называется направляющим вектором прямой L.
Если точка M(x; y) принадлежит прямой, то это эквивалентно тому, что M0M
коллинеарен вектору s, т.е. эти векторы принадлежат одному и тому же пространству V1.
Так как вектор s не принадлежит нулевому, он образует базис в том же пространстве V1. Следовательно, для некоторого числа t выполняется равенство
M0M = ts. Воспользовавшись тем, что
M0M ={x − x0; y − y0; z-z0}, s = {m;l;p}, запишем равенство :
x =x0 + mty = y0 + ltz = z0 + ptТакое уравнение называют параметрическим уравнением прямой.
Коллинеарность векторов M0M и s, эквивалентна равенству отношений их одноимённых координат:
x-x0m=y-y0l=z-z0pТакое уравнение называется каноническим.
27)Уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z128)
29)ρ(M, L)=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C230)

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Теорема. (Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства)
Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных векторов системы.
Доказательство:Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Покажем, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Из определения линейной зависимости следует, что Предположим без ограничения общности, что (в противном случае векторы могут быть перенумерованы). Разделим последнее равенство на , получим:

то есть вектор является линейной комбинацией остальных векторов.
Достаточность .Пусть один из векторов является линейной комбинацией остальных, например,
Таким образом, получена нетривиальная (коэффициент при отличен от нуля) линейная комбинация векторов , равная нулю-вектору, следовательно, эти векторы линейно зависимы.
Теорема. (О разложении вектора по базису).
Всякий вектор может быть разложен по некоторому базису векторного пространства единственным образом. Доказательство:От противного. Рассмотрим разложение некоторого вектора по произвольному базису не единственно:
;
.
Вычитая равенства, получим .Из определения 1.5.2 вытекает линейная независимость векторов . Следовательно, лишь тривиальная их линейная комбинация равна нулевому вектору, откуда , что и требовалось доказать.
Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно  HYPERLINK "http://fxdx.ru/page/svojstva-slozhenija-vektorov" сложениявекторов:
                     ,  .
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
             , , .
   Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.
Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат. Доказательство:
Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы
, .
Заметим, что вследствие ортонормированности базиса

Тогда

Теорема. (Выражение векторного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).Координаты векторного произведения векторов и равны алгебраическим дополнениям элементов первой строки символического определителя
.
Доказательство: Пусть векторы и имеют в ортонормированном базисе разложения
, . Тогда по свойству 6 векторного произведения

Используя предыдущую теорему 1.7.7, и очевидные равенства получим
.
Теорема. (Свойства смешанного произведения).
3. ;
4. ;
5. ;
4 следуют из определения смешанного произведения
3 следует из доказанной теоремы (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов).
5
Теорема. (Выражение смешанного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).
Смешанное произведение трех векторов в ортонормированном базисе равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов данном базисе. Доказательство: Пусть векторы , и имеют в ортонормированном базисе разложения
, , . Тогда






Приложенные файлы

  • docx 25043926
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий