Мат.задачи и КМ ргр

Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
 
Кафедра электроснабжения промышленных предприятий
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ
 
Методические указания и задания к расчетно-графической работе № 1
(для студентов очной формы обучения специальности 050718 – Электроэнергетика)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










Алматы 2006

СОСТАВИТЕЛЬ: Н.А. Туканова. Методические указания и задания к расчетно-графической работе № 1 (для студентов очной формы обучения специальности 050718 – Электроэнергетика). – Алматы: АИЭС, 2006. – 20 с.
 
 
 
 
Данная разработка включает задания на расчетно-графическую работу №1 и методические указания по их выполнению, а также список необходимой литературы.
Ил. 1, табл.11, библиогр. - 12 назв.
 
 
Рецензент: канд. техн. наук, доцент С.А. Бугубаев.
 
 
 
 
 
Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2006 год.
 
 
 
 
 
Алматинский институт энергетики и связи, 2006 г.




Содержание
 
 
 
Введение
 
4
 

1 Задание № 1. Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции
 
4
 

2 Задание № 2. Методом неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность синхронных двигателей
 
8
 

3 Задание № 3. Определить вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции; математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора; показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 кВ; величину недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ
 
14
 

Список литературы
19

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Введение
Согласно учебному плану, студенты, обучающиеся по специальности 050718 – Электроэнергетика, изучают курс «Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике», в котором предусмотрены две расчетно-графические работы, состоящие из трех заданий каждая и предполагающие самостоятельное закрепление студентами пройденных разделов дисциплины.

К сдаче экзамена по курсу студенты допускаются после успешного выполнения и защиты расчетно-графических работ.
 
 
1 Задание № 1
Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции, согласно заданию.
Исходные данные для задачи принимаются по таблице 1.1, согласно правилам выбора вариантов.
 
Таблица 1.1 - Исходные данные
Начальная буква фамилии студента
А,
Д
Б,
Е
В,
Г,
Я
Ж,
З,
И,
Л
К,
Ю
М,
О
Н,
П
Р,
Т,
У,
Ф
С,
Ч,
Ц
Х,
Ш,
Щ,
Э

Элементы целевой функции











C1
1
2
1
-1
5
2
2
1
-4
5

C2
-2
1
5
3
2
1
3
-2
5
1

C3
3
-1
4
2
-1
-1
6
-3
6
-3

C4
10
-1
-6
-
-
-1
3
-
-
1

f(x)
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min

 
1.1 Методические указания
Решение систем линейных уравнений графическим методом.
В системе координат х2(х1 неравенство определяет полуплоскость с граничной прямой а1х1 + а2х2 = а0.
Если задана система неравенств, то для построения области допустимых решений (ОДР) строят граничные прямые, далее определяются полуплоскости, где выполняются данные неравенства.
Чтобы получить координаты ОДР (вершин), необходимо решить систему уравнений прямых, пересекающихся в этих вершинах.
При числе n>2 неравенство
а1х1 + а2х2 + ...+ anxn ( а0 эквивалентно уравнению
а1х1 + ...+ anxn + xn+1 = a0; xn + 1 ( 0 и
а1х1 + ...+ anxn ( 0.
Аналогично а1х1 + ... + anxn - xn+1 = 0.
Переменную xn+1 называют дополнительной (балансовой).
Если задана система неравенств
,
то ее можно заменить эквивалентной системой линейных уравнений с (n+m) переменными.
,
причем xn+1(0, ..., xn+m(0.
Вектор - потенциал , перпендикулярный к прямым базисных переменных, указывает направление скорейшего возрастания функции f, вектор -направлен в наискорейшем убывании функции f.
Данная задача решается с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо ввести данные из таблицы 1.1, соответствующие уравнению функции, и из таблицы 1.2, соответствующие уравнениям ограничений. Задать требования по выполнению принципа неотрицательности полученных решений. Построить на графике область допустимых решений и вектор-потенциал, по его направлению определить точку экстремума функции и ее координаты. Определить значение функции и переменных в точке экстремума.
 
Таблица 1.2 - Исходные данные
 
Последняя цифра № зач. кн.


Элементы
Ai, Bj ,Cij
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Источники, потребления и стоимость передачи единицы мощности
Мощность источников, Aij
a11
1
2
1
1
2
1
2
-1
1
6



a12
1
3
-1
1
1
1
-1
1
2
-1



a13

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Мощность потребителей, Bj
b1
1
1
2
-5
5
2
1
2
4
5



b2
1
3
6
3
6
6
2
1
10
7



b3
3
2
7
5
7
7
3
5
1
8



b4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-


Знаки ограничений
(
· ;
·; =)
1
=

·
=

·

·
=

·

·
=

·



2
=

·
=

·
=
=

·

·
=

·



3
=

·
=

·

·
=

·

·
=

·

 
1.2 Пример
f(x4, x5)=4x4+x5
Given
5x1-2x2+2x3+x4-x5=13
2x1-2x2+x3-x4+x5=5
x1+2x2+4x4-2x5=5

Далее необходимо построить выражения уравнений ограничений в зависимости от х4 и х5.

Строим график.
По графику определяем направление вектор - потенциала, который в данном случае имеет координаты (0,0) и (4,1); далее строим перпендикуляр к этому вектору, по которому мы узнаем направление наискорейшего возрастания функции. Первая точка пересечения перпендикуляра с ОДР, будет являться min функции, а последняя - max. В нашем случае: min f (0,0), а max f (1,1). По полученным значениям определяются все переменные и значение функции в точке экстремума.

 
 
2 Задание № 2
К шинам РУ 6-10 промышленного предприятия присоединены N синхронных электродвигателей, требуется с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность от каждого из синхронных двигателей, пренебрегая сопротивлениями кабелей. Реактивная нагрузка, подлежащая компенсации на стороне 6-10 кВ, определяется вариантом задачи. Данные к задаче для каждого из вариантов принимаются по таблицам 2.1, 2.2 и 2.3. Технические характеристики двигателей приведены в таблице 2.4.
 
Таблица 2.1 – Исходные данные
Удельная стоимость
Предпоследняя цифра номера зачетной книжки


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

сo (у.е./кВт)
55
60
65
70
75
50
72
68
80
73

 
Таблица 2.2 – Исходные данные
Мощность, подлежащая компенсации
Последняя цифра номера зачетной книжки


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

QА, Мвар
1,4
1,6
1,3
1,5
1,2
0,8
0,9
1,5
1,2
0,8

Таблица 2.3 – Исходные данные
Кол-во и пара-метры СД
Начальная буква фамилии


А, Д
Б, Е
В, Г, Я
Ж,З, И, Л
К, Ю
М, О
Н,П
Р, Т, У, Ф
С, Ч, Ш
Х,Ц, Щ, Э

N
4
5
6
4
5
5
4
4
4
4

Uн(кВ)
6
6
10
6
6
10
10
10
6
6

Рн(кВт
1000
2500
3200
6300
800
1250
4000
1600
400
6300

n об/мин
1000
750
750
1000
750
1000
750
1000
500
1000


600
500
600
750
500
600
600
600
300
750


500
600
500
600
375
500
500
375
187
600


250
250
375
500
300
300
1000
250
167
500


 
300
300
 
167
250
 
 
 
 


 
 
250
 
 
 
 
 
 
 

 
2.1 Методические указания
При решении задач с помощью метода множителей Лагранжа задаются целевая функция f и функция ограничений (i. Задача сводится к нахождению х1, х2, ..., xn при ограничениях (i(x1,...xn)=bi, при которых функция имеет точку экстремума.
Идея метода заключается в преобразовании функции цели к некоторому единому решению, для которого производится решение задачи и определяется условный экстремум. Рассмотрим функцию, когда число переменных равно двум.
f(x1,x2) (2.1)
(i(x1,x2)=0 (2.2)
Для заданных условий функция Лагранжа имеет вид
L(x1,x2,()=f(x1,x2)+([b-((x1,x2)], (2.3)
где ( - множитель Лагранжа, безусловный экстремум, который совпадает с условным экстремумом функции f(x1,x2), и количество значений ( зависит от числа ограничений.
Таблица 2.4 – Исходные данные
Напряжение Uн, кВ
Частота вращения n,
об/мин
Номинальная мощность
Величины (кВт)



активная Рн, кВт
реактивная Qн, квар
Д1
Д2

10
1000
1250
1600
4000
645
817
2010
6,77
7,58
10,6
6,98
7,56
11,8


750
4000
3200
2010
1615
14,2
12,2
13,0
12,3


600
1250
1600
3200
4000
637

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
6,48
3,88
16,3
9,36
5,88
5,54
2,97


250
1000
2500
520
1270
10,0
15,9
7,19
11,7


300
2500
800
400
1270
416
211
15,3
7,76
5,13
10,7
6,00
5,08


375
800
415
7,07
5,25


187
400
216
5,97
5,38


167
800
400
423
216
10,5
7,64
8,3
4,25

 
Таким образом, задача определения условного экстремума функции f(x1,x2) находится определением обычного экстремума функции L, т.к. в ОДР функцию f(x1,x2) можно заменить функцией Лагранжа.
Для решения функции Лагранжа находятся частные производные по параметру х1, х2, ( и приравниваются к 0. Это необходимое условие экстремума.
(2.4)
Решение системы (2.4) дает необходимое условие решения задачи. Для того чтобы найти точки экстремума необходимо проанализировать 2-ю производную d2L<0(max), d2L>0(min). Недостатком этого метода является невозможность решения целевых функций с ограничением в виде неравенств.
Последовательность решения:
а) составляется функция Лагранжа
;
б) для нахождения точек экстремума составляется система уравнений частных производных:

в) далее из всех точек выбираются такие, в которых функция имеет точку экстремума при заданных ограничениях.
В энергетике метод множителей Лагранжа применяется при расчетах вопросов компенсации реактивной мощности, затрат на выработку электроэнергии и т.д.:
а) в общем случае переменная часть затрат на генерацию реактивной мощности может быть определена
3 = , (2.5)
где Qi - генерируемая источником реактивная мощность;
3li - удельные затраты на 1 Мвар генерируемой мощности (у.е./Мвар);
32i - удельные затраты на 1 Мвар2 генерируемой мощности (у.е./Мвар2);
б) максимальная величина реактивной мощности, которую можно получить от синхронного двигателя
Qмi = (мМQмi, (2.6)
где (м ( 1,39;
М - количество синхронных двигателей в группе имеющих одинаковую мощность и скорость вращения;
в) составляющие затрат определяются по формулам



31 = Со ,
32 = Co ;
г) для решения задачи необходимо составить функцию Лагранжа в виде:
L(Х1,Х2,...Хп,(1,(2,....(m)=f(X1X2....Xn+(2.8)
где m - число уравнений ограничений.
Для данной задачи функция Лагранжа имеет вид
L(Q1,Q2,...QN,() = . (2.9)
Для нахождения условной точки экстремума определим частные производные



,
.
Из полученной системы уравнений определим
(2.11)
и
. (2.12)
д) оптимальную реактивную мощность Qоптi необходимо сверить с Qмi. Если для какого-либо СД QоптК(Qмк, то в качестве QоптК принимается Qмк. В этом случае для остальных СД следует вновь определить неопределенный множитель Лагранжа (1.
; , (2.13)
где Q1А = QА-Qмк и оптимальную реактивную мощность от остальных СД
Qiопт =. (2.14)
Если Qiопт(Qiм, то принимается величина Qiопт. При этом величина множителя Лагранжа ( не изменяется;
е) правильность расчета Qiопт проверяется по условию баланса реактивной мощности в узле
. (2.15)
3 Задание № 3
От шин низкого напряжения (рисунок 3.1) цеховой трансформаторной подстанции (ТП) питаются три группы электродвигателей (n1, n2, n3) с потребляемой мощностью n1 х S1, n2хS2, n2хS3 (таблица 3.1) и одинаковым Cos( = 0,85. Вероятность включения в работу каждого двигателя первой группы - p1, второй группы - p2, третьей группы - p3 (таблица 3.2). События включения в работу и отключения любого двигателя каждой группы рассматриваются как независимые. Показатели надежности элементов системы электроснабжения приведены в таблицах 3.4 и 3.5, данные системы электроснабжения в таблице 3.3.
Требуется определить:
а) вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции (ТП) на: 1) S1 = 0 кВА;
2) S2 = 60 кВА;
3) S3 = 100 кВА;
4) на величину максимальной мощности потребителя;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора;
в) определить показатели надежности системы электроснабжения, представленной на рисунке 3.1, относительно шин 0,4 кВ (без учета преднамеренных отключений):
1) интенсивность отказов (с, 1/г;
2) среднее время восстановления tавс, час;
3) среднюю наработку на отказ Тс, лет;
4) коэффициент простоя gс, коэффициент готовности рс.
г) Определить величину недоотпущенной электроэнергии за год (8760 ч.) относительно шин 0,4 кВ.
 
Рисунок 3.1 - Схема электроснабжения
 
3.1 Методические указания:
а) для определения вероятностей заданной нагрузки трансформатора используется схема независимых испытаний - биномиальный закон распределения
p(A) = (pк(gn-к, (3.1)
где n - число независимых испытаний;
к - число испытаний, в которых событие А появилось из серии n независимых испытаний;
p - вероятность включения двигателя;
g - вероятность отключения двигателя;
б) математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора определяются по формулам
М(S) = , кВА,



Д(S) = , кВА2,
((S) = , кВА,
где m - число групп электродвигателей;
в) показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 определяются для последовательного соединения элементов схемы:
1) интенсивность отказов
(с = , 1/год; (3.3)
2) среднее время восстановления
, час; (3.4)
3) средняя наработка на отказ
Тср= , год; (3.5)
4) коэффициент простоя
gc = ((i tавi = (сtавс, о.е.; (3.6)
5) коэффициент готовности
pс = 1 - gс, о.е.; (3.7)
г) величина недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ
Э=М(S)cos((Tгод(gс, кВт(ч. (3.8)
 
 
Таблица 3.1- Исходные данные
Последняя цифра зачетки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

n1хS1, кВт
3х10
3х15
2х15
2х10
4х10
4х15
3х40
2х25
4х35
4х25

n2хS2, кВт
2х20
3х20
3х10
2х25
2х20
2х20
3х20
4х15
4х10
5х10

n3хS3, кВт
3х30
2х40
3х40
3х30
3х30
2х40
4х10
2х35
3х20
2х20

 
Таблица 3.2- Исходные данные
Предпоследняя цифра зачетки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

p1
0,6
0,9
0,5
0,7
0,9
0,8
0,4
0,4
0,3
0,5

p2
0,7
0,8
0,6
0,6
0,5
0,7
0,3
0,9
0,8
0,6

p3
0,5
0,7
0,7
0,5
0,8
0,6
0,5
0,6
0,5
0,4

 
Таблица 3.3- Исходные данные
Первая буква фамилии студента
А,
Д
В,
Г,
Я
Б,
Е,Щ
Ж,
З,
И
К,
Ф,
Э
Л,М,
О
Н,
П,
Ю
Р,
Т,
У
С,
Ч, Ц
Х,
Д,
Ш

Напряжение системы, кВ
330
220
110
35
330
220
110
35
220
110

Длина ЛЭП, км
110
150
200
30
150
100
80
20
100
140

а) Воздушный выключатель
ВВ
ВВ
ВВ
ВВ
ВВ
-
-
-
-
-

б) Масляный выключатель
-
-
-
-
-
МВ
МВ
МВ
МВ
МВ

Длина кабельной линии (КЛ), км
1
2
3
4
5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8

Способ прокладки кабельных линий
 
в траншее
в туннеле
в блоках
в траншее
в туннеле
в блоках
в траншее
в туннеле
в блоках
в траншее

 
Таблица 3.4 - Интенсивность отказов элементов системы электроснабжения (i, 1/год
Элементы системы электроснабжения
Напряжение, кВ


330
220
110
35
6-10
до 1

1
2
3
4
5
6
7

Одноцепные ЛЭП (на 100 км)
1,23
1,4
2,1
2,2
2,5
 

КЛ (на 100 км):
 
 
 
 
 
 

- в траншее;
-
-
-
-
8,0
 

- в туннеле;
-
-
-
-
1,3
 

- в блоках.
-
-
-
-
10,0
 

Трансформаторы
0,03
0,02
0,02
0,018
0,023
 

Продолжение таблицы 3.4
1
2
3
4
5
6
7

Воздушные выключатели
0,05
0,06
0,04
0,02
0,02
 

Масляные выключатели
-
0,02
0,05
0,05
0,05
 

Отделители и короткозамыкатели
0,03
0,03
0,02
0,01
-
 

Разъединители
0,03
0,03
0,03
0,02
-
 

Автоматы
-
-
-
-
-
0,14

 

Таблица 3.5 - Среднее время восстановления элементов системы электроснабжения taвi, час
Элементы системы электроснабжения
Напряжение, кВ


330
220
110
35
6-10
до 1

1
2
3
 
5
6
7

Одноцепные ЛЭП
8,1
6,5
4,2
5,6
12,0
 

КЛ:
 
 
 
 
 
 

- в траншее;
-
-
-
-
7,0
 

- в блоках;
-
-
-
-
11,5
 

- в туннеле.
-
-
-
-
4,0
 

Трансформаторы
200
150
100
90
15
 

Воздушные выключатели
60
40
30
24
20
 

Масляные выключатели
-
24
20
10
10
 

Отделители и короткозамыкатели
15
15
15
10
-
 

Разъединители
15
15
15
10
10
 

Автоматы
-
-
-
-
-
4,0

 
Список литературы
 
1. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1981.- 288 с.
2. Веников В.А. и др. Регулирование напряжения в электроэнергетических системах. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 216 с.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: Наука, 1988. - 208 с.
4. Вентцель Е.С., Овчарова Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 480 с.
5. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Минск: Высшая школа, 1978. - 256 с.
6. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 224 с.
7. Гордиевский И.Г., Лордкипанидзе В. Д. Оптимизация параметров электрических сетей / Под ред. Г.В. Сэрбиновского. - М.: Энергия,1978.
8. Фокин Ю.А. Вероятностно-статические методы в расчетах систем электроснабжения. - М.: Энергоатомиздат, 1985.
9. Арзамасцев Д.А., Липес А.В., Мызин А.Л. Модели оптимизации развития энергосистем. – М.: Высш. шк., 1987.
10. Электрические сети и системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для электроэнерг. спец. / В.В. Ежков. Г.К., Зарудский. Э.Н., Зуев и др.; Под ред. В.А. Строева. - М.: Высш. шк., 1999. – 352 с.
11. Беллман А. Динамическое программирование / Пер. с англ. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
12. Строев В.А., Рокотян И.С. Методы математической оптимизации в задачах электроснабжения. – М.: МЭИ, 1993.
СВ. план 2006 г., поз. 45
 
 
 
Наталья Анатольевна Туканова
 
 
 
Математические задачи и компьютерное
моделирование В электроэнергетике
Методические указания и задания к расчетно-графической работе № 1
(для студентов очной формы обучения специальности 050718 - Электроэнергетика)
 
 
 
 
 
 
Редактор Ж.М. Сыздакова
 
 
 
 
Подписано в печать _____ Формат 60х84 1/16
Тираж 150 экз. Бумага типографская № 1
Объем 1,25 уч.-изд.л. Заказ ____. Цена 50 тг.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Копировально-множительное бюро
Алматинского института энергетики и связи
050013, Алматы, Байтурсынова, 126

(2.7)

(2.10)

(3.2)




Приложенные файлы

  • doc 24918603
    Размер файла: 262 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий