Векторы (1 часть).PDF


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
11 КЛАСС

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ


1. Понятие вектора и его координат

Вектор


это направленный отрезок. На рисунке изображен отрезок АВ и вектор
.



В пространстве каждый вектор имеет три

координаты: х,
y
,
z
.


(х;
y
;
z
)
, причем х


координата оси абсцисс


y



координата оси ординат


z



координата оси
аппликат



2. Разложение вектора по координатным
векторам

Любой вектор в пространстве можно разложить по координатным векторам.
Координатными векторами называются векторы


и
. Эти векторы имеют следующие
координаты:
,
,
. Формула разложения вектора
a

(х; у;
z
)

по
координатным векторам


и

выглядит:

a

=
ix

+
jy

+
kz

Пример: Разложить вектор
с (2;
-
7;

1)

по координатным векторам.

Решение:
с  2
i
-
7j+1z


3. Связь точек в пространстве с векторами

Нередко в задачах задаются 2 точки в пространстве, из которых надо сформировать
вектор. Например, пусть в пространстве задана точка А(х
1
;
y
1
;

z
1
)

и В(х
2
;
y
2
;

z
2
)
. Чтобы
сформировать вектор АВ (когда мы пишем вектор АВ, мы имеем ввиду что начало
вектора находится в точке А, а конец


в точке В) необходимо от координат конца
отнимать координаты начала. То есть:

АВ (х
2

-

х
1
;
y
2

-

y
1
;
z
2

-

z
1
)


Пример: Найти к
оординаты вектора С
D
, если С(
-
2; 3: 5) и
D
(4;
-
11; 3).

Решение: Вектор С
D

начнется в точке С и закончится в точке
D
, поэтому координаты
конца это
D
(4;
-
11; 3), а координаты начала это С(
-
2; 3: 5). Так как чтобы найти
координаты вектора по двум точкам,
необ
ходимо от конца отнять начало
, получаем:

С
D (4


(
-
2);
-
11


3; 3
-
5) = (6;
-
14:
-
2)



4.
Операции над векторами в пространстве

Пусть в пространстве есть два вектора:
а (х
1
;
y
1
;
z
1
) и
b


2
;
y
2
;
z
2
)
.
Над этими векторами
можно выполнить следующие дейс
твия:

1)
a
+
b

= (
х
1
+
х
2
;
y
1
+
y
2
;
z
1
+
z
2
)

2)
a



b

= (
х
1
-

х
2
;
y
1
-

y
2
;
z
1
-

z
2
)

3)
ka

= (
k
х
1
;
ky
1
;
kz
1
)


Пример: даны векторы
а(2; 4: 1)

и
b
(
-
1; 0; 7).

Найти

a+ b, a


b, 4b.

Решение
:
a+ b = (2 + (
-
1); 4+0; 1+7) = (1; 4; 8)




a


b = (2


(
-
1); 4


0;
1
-
7) = (3; 4;
-
6)



4b

= 4 (
-
1; 0; 7) = (4(
-
1) 40 47) = (
-
4; 0; 28)

5. Простейшие задачи в координатах

В координатном пространстве мы будем решать следующие задачи:


1) Нахождени
е середины отрезка. Пусть у нас есть отрезок АВ с началом в точке А (
х
1
;
y
1
;
z
1
)
и концом в точке В (
х
2
;
y
2
;
z
2
)
.

Необходимо найти его середину С (
х
с
;
y
с
;
z
с
)
.

Середина отрезка находится по формуле: С (

)

Пример: Найти середину

С

отрезка АВ, если А (7; 1;
-
2) и В (3
; 3; 4).

Решение: С  (

;
) = (5; 2; 1)





2)
Нахождение длины вектора
a

(х; у;
z
)
.
Длина вектора

(модуль вектора) находится по
формуле:


Пример: Найти модуль вектора
a

(3; 4; 0)

Решение:





3)

Нахождение расстояния между двумя точками (длины отрезка). В пространстве
расстояние между двумя точками А (
х
1
;
y
1
;
z
1
)
и В (
х
2
;
y
2
;
z
2
)


находится по формуле:


АВ 


Пример: Найти расстояние между точками А (2; 3;
-
5;) и В (
-
1;
-
1;
-
5).

Решение: АВ 



6. Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы


это векторы, которые
лежат на одной прямой (или на двух
параллельных прямых).

Чтобы проверить коллинеарны ли векторы

а (х
1
;
y
1
;
z
1
) и
b


2
;
y
2
;
z
2
)

необходимо
воспользоваться следующей формулой:



Пример: Коллинеарны ли векторы
а(4; 12
: 1
4
)

и
b
(2; 6
;
7)
?

Решение: Воспользуемся вышеуказанной формулой и получим




2= 2 = 2
, следовательно векторы коллинеарны.

С

В

А

С


Приложенные файлы

  • pdf 22647519
    Размер файла: 299 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий