ege16

16 (повышенный уровень, время – 2 мин)
Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.
Что нужно знать:
принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления
чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на 13 EMBED Equation.3 1415 в степени, равной ее разряду:
4 3 2 1 0 разряды
1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0
последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 – это остаток от деления этого числа на 13 EMBED Equation.3 1415
две последние цифры – это остаток от деления на 13 EMBED Equation.3 1415, и т.д.
число 10N записывается как единица и N нулей:13 EMBED Equation.3 1415
число 10N-1 записывается как N девяток:13 EMBED Equation.3 1415
число 10N-10M = 10M · (10N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:13 EMBED Equation.3 1415
число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:13 EMBED Equation.3 1415
число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415
число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415
число 3N записывается в троичной системе как единица и N нулей:13 EMBED Equation.3 1415
число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:13 EMBED Equation.3 1415
число 3N – 3M = 3M · (3N-M – 1) записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей:13 EMBED Equation.3 1415
можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a:
число aN в системе счисления с основанием a записывается как единица и N нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр (a-1): 13 EMBED Equation.3 1415
число aN – aM = aM · (aN-M – 1) записывается в системе счисления с основанием a как N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:13 EMBED Equation.3 1415
Пример задания:
Р-23. (М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 99 – 39 + 919 – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение:
Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что 19=27-8=33-(2
·31+2
·30):
99 – 39 + 919 – 19= (32)9 – 39 + (32)19 – (33 – (2
·31 + 2
·30)) = 318 – 39 + 338 – 33 + 2
·31 + 2
·30
Перепишем выражение, располагая степени тройки в порядке убывания: 318 – 39 + 338 – 33 + 2
·31 + 2
·30 = 338 + 318 – 39 – 33 + 2
·31 + 2
·30
Сначала рассмотрим часть выражения, в которой имеется два расположенных подряд «минуса»: 318 - 39  33:
найдём разность двух крайних чисел: 318 – 33, в её троичной записи 18 – 3=15 «двоек» и 3 «нуля»;
вычтем из этого числа значение 39: одна из «двоек» (на 10-й справа позиции) уменьшится на 1, остальные цифры не изменятся;
итак, троичная запись разности 318 – 39 – 33 содержит 15 – 1=14 «двоек», одну «единицу» и 3 «нуля»
Прибавим к полученному значению сумму: 2
·31 + 2
·30 = 223. В троичной записи результата два крайних справа нуля заменяются на «двойки», остаётся один ноль. Общее количество «двоек»: 14+2=16.
Прибавление значения 338 не изменит количества «двоек» в троичном числе: слева от имеющихся цифр появятся ещё 38 – 18=20 «нулей» и одна «единица» – на 39-й справа позиции.
Итак, результат, записанный в троичной системе, содержит 39 цифр. Его состав: 16 «двоек», 2 «единицы» (их позиции: 39-я и 10-я справа) и 21 «нуль» (39-16-2=21).
Ответ: 16.
Ещё пример задания:
Р-22. Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение:
приведём все слагаемые к виду 3N и расставим в порядке убывания степеней:
98 + 35 – 9 = 316 + 35 – 32
первое слагаемое, 316, даёт в троичной записи одну единицу – она нас не интересует
пара 35 – 32 даёт 5 – 2 = 3 двойки
Ответ: 3.
Ещё пример задания:
Р-21. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4512 + 8512 – 2128 – 250
Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):
Общая идея: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 28 – 22 – 21:
4512 + 8512 – 2128 – 250 = (22)512 + (23)512 – 2128 – 28 + 22 + 21 =
= 21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21
старшая степень двойки – 21536, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц
вспомним, число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2N–2K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
в нашем случае вы выражении
21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21
стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу
используем теперь равенство 13 EMBED Equation.3 1415, так что – 2128 = – 2129 + 2128; получаем
21536 + 21024 – 2129 + 2128 – 28 + 22 + 21
здесь две пары 2N–2K , а остальные слагаемые дают по одной единице
общее число единиц равно 1 + (1024 – 129) + (128 – 8) + 1 + 1 = 1018
таким образом, количество значащих нулей равно 1537 – 1018 = 519
ответ: 519.
Ещё пример задания:
Р-20. Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 – 2150 – 122
Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:
42015 + 8405 – 2150 – 122 = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =
= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
вспомним, число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2N–2K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
в нашем случае вы выражении
24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу
используем теперь равенство 13 EMBED Equation.3 1415, так что – 2150 = – 2151 + 2150; получаем
24030 + 21215 – 2151 + 2150 – 27 + 22 + 21
здесь две пары 2N–2K , а остальные слагаемые дают по одной единице
общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210
ответ: 1210.
Решение (С.О. Куров, Москва):
приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:
42015 + 8405 – 2150 – 122 = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =
= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21
ищем в разности крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 21215 – 27, при этом 2150 на время «теряем»
определяем количество единиц в разности 21215 – 27, получаем 1215 – 7 = 1208 единиц
так как «внутри» этой разности есть еще 2150, то просто вычитаем одну единицу: 1208 – 1 = 1207; итого в разности 21215 – 2150 – 27 ровно 1207 единиц
осталось прибавить по одной единицы от чисел 24030, 22, 21
Ответ: 1210
Ещё пример задания:
Р-19. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:
переведём все числа в десятичную систему счисления:
13 EMBED Equation.3 1415
собирая всё в одно уравнение получаем
13 EMBED Equation.3 1415
это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6
переводим ответ в троичную систему: 6 = 2
·31 = 203.
ответ: 20.
Ещё пример задания:
Р-18. Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 8
Решение:
приведём все числа к степеням двойки:
42014 + 22015 – 8 = (22)2014 + 22015 – 23 = 24028 + 22015 – 23
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22015 – 23 запишется как 2012 единиц и 3 нуля
прибавление 24028 даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц
ответ: 2013.
Ещё пример задания:
Р-17. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 + 22018 – 8600 + 6
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 22+21
42016 + 22018 – 8600 + 6 = (22)2016 + 22018 - (23)600 + 22 + 21 = 24032 + 22018 – 21800 + 22 + 21
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22018 – 21800 запишется как 218 единиц и 1800 нулей
прибавление 24032 даст ещё одну единицу, а прибавление 22 + 21 – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица
ответ: 221.
Ещё пример задания:
Р-16. Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 – 22018 + 8800 – 80
Решение:
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
вспомним, что число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:13 EMBED Equation.3 1415, а число 2N–2K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22400 – 22018 запишется как 382 единицы и 2018 нулей
добавляем старшее слагаемое 24032, получаем число 24032 + 22400 – 22018, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:
13 EMBED Equation.3 1415
выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 22018):
13 EMBED Equation.3 1415,
где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно 13 EMBED Equation.3 1415
согласно п. 2, число 22018 – 26 запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:
13 EMBED Equation.3 1415
где число L содержит 2011 единиц
теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 26 – 24, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы
таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395
ответ: 2395.
Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
представим – 22018 = – 22019 + 22018 и – 26 = – 27 + 26
24032 + 22400 – 22019 + 22018 – 27 + 26– 24
слагаемое 24032 в двоичной записи содержит 1 единицу
слагаемое 22400 – 22019 содержит 381 единицу (число 2N–2K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: 13 EMBED Equation.3 1415)
слагаемое 22018 – 27 содержит 2011 единиц, слагаемое 26– 24 содержит 2 единицы
позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395
ответ: 2395
Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):
приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 26+24
42016 – 22018 + 8800 – 80 = (22)2016 – 22018 + (23)800 – 22 – 21 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 – 24
перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
24032 + 22400 – 22018 – 26 – 24
выражение 22400–24 дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (26) и, соответственно на 2019 месте справа (22018). Следовательно, остается 2394 единички.
С учетом того, что 24032 дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц
Ответ: 2395
Ещё пример задания:
Р-15. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:
удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему
получаем 13 EMBED Equation.3 1415
уравнение приобретает вид 13 EMBED Equation.3 1415, откуда получаем 13 EMBED Equation.3 1415
переводим 15 в шестеричную систему счисления: 13 EMBED Equation.3 1415
ответ: 23.
Ещё пример задания:
Р-14. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?
Решение:
если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15
очевидно, что это число 15.
Ещё пример задания:
Р-13. Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.
Решение:
поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно, основание N – это делитель числа 66
с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть 13 EMBED Equation.3 1415
выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
13 EMBED Equation.3 1415
видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415
таким образом, верный ответ – 3.
можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113
Еще пример задания:
Р-12. Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.
Решение:
поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно, основание N – это делитель числа 13 EMBED Equation.3 1415
с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть 13 EMBED Equation.3 1415
неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 дает 13 EMBED Equation.3 1415(так как 13 EMBED Equation.3 1415)
неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 дает 13 EMBED Equation.3 1415(так как 13 EMBED Equation.3 1415)
таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа
9, при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем запись числа 13 EMBED Equation.3 1415
14, при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем запись числа 13 EMBED Equation.3 1415
18, при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем запись числа 13 EMBED Equation.3 1415
наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)
таким образом, верный ответ – 18.
Еще пример задания:
Р-11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
Общий подход:
вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на 13 EMBED Equation.3 1415, а две младших цифры – это остаток от деления на 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
в данном случае 13 EMBED Equation.3 1415, остаток от деления числа на 13 EMBED Equation.3 1415 должен быть равен 114 = 5
потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16
Решение (вариант 1, через десятичную систему):
общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 – целое неотрицательное число (0, 1, 2, )
среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при 13 EMBED Equation.3 1415) и 21 (при 13 EMBED Equation.3 1415)
таким образом, верный ответ – 5, 21 .
Возможные ловушки и проблемы:
выражение «не превосходящие 13 EMBED Equation.3 1415» означает «меньшие или равные 13 EMBED Equation.3 1415», а не строго меньшие 13 EMBED Equation.3 1415
остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему
найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):
переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения
из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два: это 114 = 5 и 1114 = 21
таким образом, верный ответ – 5, 21 .


Возможные ловушки и проблемы:
есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25)
можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

Еще пример задания:
Р-10. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Общий подход:
здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через 13 EMBED Equation.3 1415
поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть 13 EMBED Equation.3 1415
вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
итак, нужно найти все целые числа 13 EMBED Equation.3 1415, такие что остаток от деления 23 на 13 EMBED Equation.3 1415 равен 2, или (что то же самое)
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – целое неотрицательное число (0, 1, 2, );
сложность в том, что и 13 EMBED Equation.3 1415, и 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
из формулы (*) получаем 13 EMBED Equation.3 1415, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2
в этой задаче есть только три таких делителя: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .
Возможные ловушки и проблемы:
нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель 13 EMBED Equation.3 1415 не подходит (должно быть 13 EMBED Equation.3 1415)
числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию

Еще пример задания:
Р-9. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Общий подход:
неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через 13 EMBED Equation.3 1415
пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через 13 EMBED Equation.3 1415) нужно найти:
2 1 0 разряды
31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1
можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как 13 EMBED Equation.3 1415 при некотором целом 13 EMBED Equation.3 1415; например, для числа с пятью разрядами получаем:
4 3 2 1 0 разряды
31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0
= k·N2 + N + 1
для 13 EMBED Equation.3 1415 (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель 13 EMBED Equation.3 1415)
Решение:
итак, нужно найти все целые числа 13 EMBED Equation.3 1415, такие что
13 EMBED Equation.3 1415 (**)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – целое неотрицательное число (0, 1, 2, );
сложность в том, что и 13 EMBED Equation.3 1415, и 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
из формулы (**) получаем 13 EMBED Equation.3 1415, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители 13 EMBED Equation.3 1415 числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом 13 EMBED Equation.3 1415, то есть, 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число
выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)
таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
Еще пример задания:
Р-8. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, , 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение (вариант 1):
запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
10 = 205, 17 = 325 .
заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли
между 205 и 325 есть еще числа
215, 225, 235, 245, 305, 315.
в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз
таким образом, верный ответ – 7.
Возможные ловушки и проблемы:
нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305
помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек
можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):
переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:
10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .
считаем цифры 2 – получается 7 штук
таким образом, верный ответ – 7 .
Еще пример задания:
Р-7. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.
Решение:
обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:
13 EMBED Equation.3 1415
поскольку запись трехзначная, 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет двойному неравенству
13 EMBED Equation.3 1415
учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
минимальное из этих значений – 4
таким образом, верный ответ – 4 .
Решение (без подбора):
выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения
найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как
13 EMBED Equation.3 1415
проверяем второе неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна
таким образом, верный ответ – 4 .
Еще пример задания:
Р-6. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?
Решение (вариант 1):
нас интересуют числа от 1 до 30
сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр
рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:
13 EMBED Equation.3 1415
все они заведомо не меньше 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому в наш диапазон не попадают;
таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа
есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)
используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19
таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .
Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):
нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)
есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19
таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .
Еще пример задания:
Р-05. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Решение (1 способ):
Если число в системе с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается на 13, то
13 EMBED Equation.3 1415, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3
это число можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– целое неотрицательное число
определим наибольшее возможное 13 EMBED Equation.3 1415 с учетом условия 13 EMBED Equation.3 1415. Из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415.
очевидно, что чем меньше 13 EMBED Equation.3 1415, тем больше 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому значение 13 EMBED Equation.3 1415 не превышает 13 EMBED Equation.3 1415
здесь мы подставили 13 EMBED Equation.3 1415 – наименьшее допустимое значение 13 EMBED Equation.3 1415
остается перебрать все допустимые значения 13 EMBED Equation.3 1415 (от 0 до 13 EMBED Equation.3 1415), решая для каждого из них уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 или равносильное 13 EMBED Equation.3 1415
относительно 13 EMBED Equation.3 1415, причем нас интересуют только натуральные числа 13 EMBED Equation.3 1415
получаем
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415: решения – не целые числа
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, второе решение не подходит
таким образом, верный ответ: 4, 68.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
запись числа71 в системе с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на 13 EMBED Equation.3 1415 равен 3, то есть для некоторого целого13 EMBED Equation.3 1415имеем
13 EMBED Equation.3 1415
таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415,минимальное – это само число 13 EMBED Equation.3 1415; отсюда найдем максимальное основание:
13 EMBED Equation.3 1415
так что первый ответ: 68.
остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415), т.е. все они больше 13 EMBED Equation.3 1415
поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 (в системах с основанием ( 3 цифры 3 нет)
итак: 13 EMBED Equation.3 1415, и при этом 13 EMBED Equation.3 1415 – делитель 68; единственное возможное значение 13 EMBED Equation.3 1415 (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)
таким образом, верный ответ: 4, 68.
Возможные ловушки и проблемы:
на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3)
можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание
нужно помнить, что
максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления
100 в системе с основанием p равно p2

Еще пример задания:
Р-04. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.
Решение (1 способ):
Если число в системе с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается на 22, то
13 EMBED Equation.3 1415, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2
это число можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– целое неотрицательное число
определим наибольшее возможное 13 EMBED Equation.3 1415 с учетом условия 13 EMBED Equation.3 1415. Из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415.
очевидно, что чем меньше 13 EMBED Equation.3 1415, тем больше 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому значение 13 EMBED Equation.3 1415 не превышает 13 EMBED Equation.3 1415
здесь мы подставили 13 EMBED Equation.3 1415 – наименьшее допустимое значение 13 EMBED Equation.3 1415
остается перебрать все допустимые значения 13 EMBED Equation.3 1415 (от 0 до 13 EMBED Equation.3 1415), решая для каждого из них уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 или равносильное 13 EMBED Equation.3 1415
относительно 13 EMBED Equation.3 1415, причем нас интересуют только натуральные числа 13 EMBED Equation.3 1415
получаем
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415: решения – не целые числа
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, второе решение не подходит
при 13 EMBED Equation.3 1415: решения – не целые числа
таким образом, верный ответ: 6, 42.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
запись числа 86 в системе с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на 13 EMBED Equation.3 1415 равен 2, то есть для некоторого целого13 EMBED Equation.3 1415имеем
13 EMBED Equation.3 1415
таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415,минимальное – это само число 13 EMBED Equation.3 1415; отсюда найдем максимальное основание:
13 EMBED Equation.3 1415
так что первый ответ: 42.
остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415), т.е. все они больше 13 EMBED Equation.3 1415
поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
итак: 13 EMBED Equation.3 1415, и при этом 13 EMBED Equation.3 1415 – делитель 84; возможные значения 13 EMBED Equation.3 1415 (на 5,8 и 9 число 84 не делится)
переводя число 86 в системы счисления с основаниями 13 EMBED Equation.3 1415, находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):
8
6

3



Дальше делить нет смысла
8
6

4






8
6

6




8
6

7





8
4

2
8

3

8
4

2
1


4


8
4

1
4

6

8
4

1
2

7



2

2
7

9


2

2
0


5



2

1
2

2


2


7

1






1







1









2







5




таким образом, верный ответ: 6, 42.
Еще пример задания:
Р-03. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.
Решение:
Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).
Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что 13 EMBED Equation.3 1415, таких решений нет.
Пред
·положим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где 13 EMBED Equation.3 1415. При минимальном основании (13 EMBED Equation.3 1415) оно равно13 EMBED Equation.3 1415, поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.
На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– целое неотрицательное число, такое что 13 EMBED Equation.3 1415.
Максимальное 13 EMBED Equation.3 1415 можно определить как решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415); получаем одно из решений – 6,15; поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
Если мы знаем 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415определится как 13 EMBED Equation.3 1415; пробуем подставлять в эту формулу 13 EMBED Equation.3 1415, пытаясь получить 13 EMBED Equation.3 1415
Минимальное 13 EMBED Equation.3 1415 будет при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415 получается 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, верный ответ: 6.
Еще пример задания:
Р-2. Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
Решение:
Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:
178 + 1708 = 2078
178 + 1708 + 17008 = 21078
178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078
178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078
178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078
Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):
100010010010010001112
Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры
100010010010010001112
8 9 2 4 7
Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.
Еще пример задания:
Р-01. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления 13 EMBED Equation.3 1415, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.
Решение:
Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с 13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415, однако это не очень нам поможет.
Для каждого «подозреваемого» 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляем значение 13 EMBED Equation.3 1415и решаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, причем нас интересуют только натуральные 13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 нужных решений нет, а для 13 EMBED Equation.3 1415 получаем
13 EMBED Equation.3 1415
так что13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, верный ответ (минимальное значение 13 EMBED Equation.3 1415): 8.
Еще пример задания:
Р-00. Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение (1 способ, подбор):
запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10
это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9
переводим:
30 = 111102 = 10103 =
дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры
можно проверить, что при N
· 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию
Ответ: 3.
Решение (2 способ, неравенства):
запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть
13 EMBED Equation.3 1415
первая часть двойного неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 дает (в целых числах) 13 EMBED Equation.3 1415
вторая часть неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 дает (в целых числах) 13 EMBED Equation.3 1415
объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3
заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр
Ответ: 3.

Задачи для тренировки:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.
В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100. Найдите это основание.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, , 33 в системе счисления с основанием 6.
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, , 31 в системе счисления с основанием 5.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 1.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.
Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 3 начинается на 2?
Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 30 оканчивается на 8.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это основание.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264. Укажите это основание.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 35 оканчивается на 8.
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 15, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 1011?
Десятичное число кратно 16. Какое минимальное количество нулей будет в конце этого числа после перевода его в двоичную систему счисления?
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, , 23 в системе счисления с основанием 4.
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, , 23 в системе счисления с основанием 3.
В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. Найдите основание системы счисления, в которой указаны эти числа.
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено умножение: 3·213 = 1043.
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 3?
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11?
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 84 оканчивается на 14.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15.
Найдите десятичное число x, такое что 20 < x < 30, запись которого в системе счисления с основанием 3 заканчивается на 11.
Запись числа 658 в некоторой системе счисления выглядит так: 311N. Найдите основание системы счисления N.
Запись числа 30 в некоторой системе счисления выглядит так: 110N. Найдите основание системы счисления N.
Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы счисления N.
Запись числа 23 в некоторой системе счисления выглядит так: 212N. Найдите основание системы счисления N.
Запись числа 2105 в некоторой системе счисления выглядит так: 313N. Найдите основание системы счисления N.
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 348 оканчивается на 20.
Запись числа 344 в некоторой системе счисления выглядит так: 1A8N. Найдите основание системы счисления N.
К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Запись числа 281 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Запись числа 234 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 6. Чему равно основание системы счисления?
Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Запись числа 256 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
Запись числа 325 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
Запись числа 280 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
Запись натурального числа в системах счисления с основанием 4 и 6 заканчивается на 0. Найдите минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям.
Десятичное число 71 в некоторой системе счисления записывается как «78». Определите основание системы счисления.
Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как «64». Определите основание системы счисления.
Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как «212». Определите основание системы счисления.
Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определите основание системы счисления.
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) В системе счисления с основанием N запись числа 77 оканчивается на 0, а запись числа 29 – на 1. Чему равно число N?
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 45 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 41 и 63 заканчиваются на 8. Определите основание системы счисления.
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. Определите основание системы счисления.
Запись числа 6810 в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
Запись числа N в системе счисления c основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 13 заканчивается на 3. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в семеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
В системе счисления с основанием N запись числа 79 оканчивается на 2, а запись числа 111 – на 1. Чему равно число N?
В системе счисления с основанием N запись числа 41 оканчивается на 2, а запись числа 131 – на 1. Чему равно число N?
В системе счисления с основанием N запись числа 58 оканчивается на 2, а запись числа 108 – на 3. Чему равно число N?
Сколько единиц в двоичной записи числа 81023 + 21024 – 3?
Сколько единиц в двоичной записи числа 42016 + 22018 – 6?
Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 9?
Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 22015 – 15?
Сколько единиц в двоичной записи числа 82014 – 2614 + 45?
Сколько единиц в двоичной записи числа 81014 – 2530 – 12?
Сколько единиц в двоичной записи числа 22014 – 4650 – 38?
Сколько единиц в двоичной записи числа 42018 + 8305 – 2130 – 120?
Сколько единиц в двоичной записи числа 82018 – 41305 + 2124 – 58?
Сколько единиц в двоичной записи числа 84024 – 41605 + 21024 – 126?
Сколько единиц в двоичной записи числа 81234 – 4234 + 21620 – 108?
Сколько единиц в двоичной записи числа 82341 – 4342 + 2620 – 81?
Сколько единиц в двоичной записи числа 81341 – 41342 + 21343 – 1344?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в троичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в двоичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в пятеричной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Сколько единиц в двоичной записи числа 8502 – 4211 + 21536 – 19?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8415 – 4162 + 2543 – 25?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8115 – 4123 + 2543 – 15?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8125 – 4156 + 2632 – 7?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8148 – 4123 + 2654 – 17?
Сколько единиц в двоичной записи числа (24400 – 1)·(42200 + 2)?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4590 + 8350 – 21020 – 25?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4230 + 8120 – 2150 – 100?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 41024 + 81025 – 21026 – 140?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 42015 + 82016 – 22017 – 150?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8740 – 2900 + 7?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8820 – 2760 + 14?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 8560 – 2234 + 56?
Сколько единиц в двоичной записи числа 82020 + 42017 + 26 – 1?
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 416 + 236 – 16?
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8, 4, 2. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:
X= E*16 = *5*8 = ***14 = *****1**2
Определите число X.
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16 и 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:
X= 1*016 = 56*8
Определите число X.
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8, 4. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:
X= *7*16 = 5*68 = ***1*4
Определите число X.
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8, 2. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:
X= 10******2 = *4*8 = *216
Определите число X.
(Е.А. Мирончик) Некоторые числа X и Y из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *. Сравните числа A*16 и 1*38. В ответе запишите знак <, знак > или знак =.
(Е.А. Мирончик) Некоторые числа X и Y из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *. Сравните числа F*16 и 33*8. В ответе запишите знак <, знак > или знак =.
(Е.А. Мирончик) Некоторые числа X и Y из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *. Сравните числа 18*16 и 72*8. В ответе запишите знак <, знак > или знак =.
(Е.А. Мирончик) Некоторые числа X и Y из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *. Сравните числа 34*16 и 16**8. В ответе запишите знак <, знак > или знак =.
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = ***16 = 4*28.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = 3*916 = 1**8.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = *A16 = ***8.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = *E16 = 2*68.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
(Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = *516 = *0*8.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
(Е.А. Мирончик) Сколько цифр в восьмеричной записи числа 21024+21026?
(Е.А. Мирончик) Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 21024+21025?
(Е.А. Мирончик) Сколько цифр в восьмеричной записи числа 2299+2298+2297+2296?
(Е.А. Мирончик) Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2379+2378+2377?
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ запишите в двоичной системе счисления.
(Е.В. Хламов) Найдите основания систем счисления X и Y, если известно, что 87X=73Y и 62X=52Y. в ответе запишите число, составленное из чисел Y и X, записанных подряд без пробелов. Например, если X=13 и Y=15, ответ запишется как 1513.
Сколько значащих нулей содержится в десятичной записи числа 100202020–1015+10?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 4912 – 710 + 78 – 49 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 274 – 95 + 38 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 3
·168 – 45 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 2
·910 – 35 + 5 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 5
·367 + 610 – 36 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 4
·1254 – 254 + 9 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 2
·277 + 310 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «0» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 4
·254 – 54 + 14 записали в системе счисления с основанием 5. Какова сумма цифр содержащихся в этой записи? Ответ укажите в десятичной системе.
Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 2 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не менее трёх цифр. Чему равно число N?
В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не более двух цифр. Чему равно число N? Если у задачи есть несколько решений, выберите наименьшее.
Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 5 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 15 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 125 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 98 + 324 – 6 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 98 + 324 – 18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 922 + 366 – 12 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 922 + 366 – 18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 97 + 321 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Значение арифметического выражения: 97 + 321 – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 914 + 318 – 95 – 27 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 - 310 + 321 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 – 312 + 325 – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 + 321 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «0» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 99 + 321 – 7 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «0» содержится в этой записи?
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 + 321 – 8 записали в системе счисления с основанием 3. Найдите сумму цифр в этой записи. Ответ запишите в десятичной системе.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 95 + 325 – 20 записали в системе счисления с основанием 3. Найдите сумму цифр в этой записи. Ответ запишите в десятичной системе.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 98 + 325 – 14 записали в системе счисления с основанием 3. Найдите сумму цифр в этой записи. Ответ запишите в десятичной системе.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 917 + 316 – 27 записали в системе счисления с основанием 3. Какая из цифр чаще всего встречается в полученном числе? В ответе укажите, сколько таких цифр в этой записи.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 + 38 – 1 записали в системе счисления с основанием 3. Какая из цифр чаще всего встречается в полученном числе? В ответе укажите, сколько таких цифр в этой записи.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 97 + 38 –5 записали в системе счисления с основанием 3. Какая из цифр реже всего встречается в полученном числе? В ответе укажите, сколько таких цифр в этой записи.
(М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 95 + 37 –14 записали в системе счисления с основанием 3. Какая из цифр реже всего встречается в этой записи? В ответе укажите, сколько таких цифр в записи.
Определите число N, для которого выполняется равенство 214N = 165N+1.
Определите число N, для которого выполняется равенство 211N = 152N+1.
Определите число N, для которого выполняется равенство 115N = 57N+2.
Определите число N, для которого выполняется равенство 123N = 93N+2.
Определите число N, для которого выполняется равенство 103N = 97N+2.
Определите число N, для которого выполняется равенство 132N + 138 = 124N+1.
Определите число N, для которого выполняется равенство 154N + 359 = 170N+1.
Определите число N, для которого выполняется равенство 143N + 256 = 138N+1.
Определите число N, для которого выполняется равенство 221N + 348 = 180N+2.
Определите число N, для которого выполняется равенство 205N + 558 = 196N+2.
Определите число N, для которого выполняется равенство 164N + 419 = 145N+2.
Значение арифметического выражения: 125 + 253 + 59 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько значащих нулей в этой записи?
(Д.В. Богданов) Значение арифметического выражения: 3((210 + 27 + 24+ 21 ) записали в системе счисления с основанием 2. Сколько значащих нулей в этой записи?
Значение арифметического выражения: 4511 + 2511 – 511 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько единиц в этой записи?
Значение арифметического выражения: 8511 – 4511 + 2511 – 511 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько значащих нулей в этой записи?
(Д.В. Богданов) Коэффициенты уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 заданы в системе счисления с основанием N. Определите это основание, если известно, что уравнение имеет кратный корень.
Значение арифметического выражения: 4913 + 733 – 49 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» в этой записи?
Значение арифметического выражения: 64115 + 8305 – 512 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» в этой записи?
Значение арифметического выражения: 812017 + 95223 – 81 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр «8» в этой записи?
Значение арифметического выражения: 3617 + 666 – 216 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» в этой записи?
Значение арифметического выражения: 2594 + 5216 – 125 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» в этой записи?

 Источники заданий:
Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2016 гг.
Тренировочные работы МИОО и Статград.
Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. СПб: Тригон, 2009.
Самылкина Н.Н., Островская Е.М. Информатика: тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.
Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П. ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания. М: Экзамен, 2010.
Крылов С.С., Лещинер В.Р., Якушкин П.А. ЕГЭ-2010. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / под ред. В.Р. Лещинера / ФИПИ. М.: Интеллект-центр, 2010.
Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Информатика. М.: Астрель, 2009.
М.Э. Абрамян, С.С. Михалкович, Я.М. Русанова, М.И. Чердынцева. Информатика. ЕГЭ шаг за шагом. – М.: НИИ школьных технологий, 2010.
Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. М.: Эксмо, 2010.
Информатика и ИКТ: ЕГЭ-2012. – СПб.: Просвещение, 2012.
Крылов С.С., Ушаков Д.М. ЕГЭ 2015. Информатика. Тематические тестовые задания. М.: Экзамен, 2015.
Ушаков Д.М. ЕГЭ-2015. Информатика. 20 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. М.: Астрель, 2014.












N0 = 1



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 24150741
    Размер файла: 679 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий