2832 conspect

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Лекции 1-4.
Матрицы и операции над ними.
Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
коротко матрицу обозначают так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415элементы данной матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.
Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.
Если m=1 и n >1, то получаем однострочную матрицу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
которая называется вектор-строкой, если, же m>1 и n=1, то получаем одностолбцовую матрицу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
которая называется вектор-столбцом.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначается E.
Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Две матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
при всех i и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).
1(. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенством
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Сумму матриц обозначают C=A+B.
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
20. Произведением матрицы A=(aij) на число
· называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число
·:

·A=
·(aij)=(
·aij), (i =1,2,m ; j=1,2,n ).
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
30. Произведением матрицы A=(aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(bij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица C=(cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B=C.
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B и B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Пример. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда согласно правилу умножения матриц имеем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
и
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда заключаем, что
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

Определители.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом
13 EMBED Equation.3 1415
и определяемое равенством
13 EMBED Equation.3 1415.(2)
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правило треугольников.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
«+» «-»

Пример.
13 EMBED Equation.3 1415

Свойства определителей рассмотреть самостоятельно.

Определение. Матрица 13 EMBED Equation.3 1415 называется обратной квадратной матрице A, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.
Утверждение. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Элементарными преобразованиями матриц являются:
перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементами ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрицей.
Элемент строки матрицы называется крайним, если он отличен от нуля, а все элементы строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Например:
13 EMBED Equation.3 1415 - не ступенчатая; 13 EMBED Equation.3 1415 - ступенчатая.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размерности 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы А.
Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r(A).
Свойства ранга матрицы:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.


Лекции 5-8.


Системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы m линейных уравнений с n неизвестными
13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 и свободные члены 13 EMBED Equation.3 1415 считаются заданными. В матричной форме система имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, где А – матрица коэффициентов системы, B- вектор-столбец свободных членов, X- вектор-столбец неизвестных. Расширенной матрицей 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица
13 EMBED Equation.3 1415.
Понятия совместности и определенности системы рассмотреть самостоятельно.

Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.

Формулы Крамера
Дана система трех уравнений с тремя неизвестными
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Основную роль играют следующие четыре определителя:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определитель ( называется определителем системы (1). Определители (x, (y, (z получаются из определителя ( заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Возможны следующие случаи.
Случай 1 (((0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Случай 2 ((((). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
не имеет решения, а система
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
имеет бесконечное число решений.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.

Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

13 EMBED Equation.3 1415.

Однородная система всегда совместна (13 EMBED Equation.3 1415), она имеет нулевое (тривиальное) решение 13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Лекции 9-12.

Координаты точки на прямой и плоскости.
Деление отрезка в данном отношении.
Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.
В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М1(х1, у1) и М2(х2;у2). Расстояние между ними определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Три точки плоскости, не лежащие на одной прямой образуют треугольник.

Теорема. Для любых трех точек А(х1;у1),В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1).
Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2) в заданном отношении
·, определяются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
При
·=1 получаем формулы для координат середины отрезка:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)

у М2(х2;у2)
М1(х1;у1) М(х;у)
· М

·
О Р1 Р Р2 х O

рис.1 рис.2

В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=
· от полюса О (
·–полярный радиус-вектор точки) и углом
·, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ (рис.2). Угол
· считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты
· и
· связаны следующими формулами
13 EMBED Equation.3 1415

Векторы, операции над ними.

Рассмотреть самостоятельно следующие понятия: вектор, длина вектора, нулевой и единичный вектор, равные вектора, коллинеарные и компланарные вектора, сложение и вычитание вектора по правилам треугольника и параллелограмма, умножение вектора на число.

Пусть задана ось L и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось L называется величина А(В( на оси L. Проекция вектора АВ на ось L равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью L, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415

Направляющими косинусами вектора (а13 EMBED Equation.3 1415 называются косинусы углов между вектором (а и осями координат. Направляющие косинусы вектора (а13 EMBED Equation.3 1415можно определить по формулам
13 EMBED Equation.3 1415
Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.
Определение 1. Суммой 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, который идет из начала вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в конец вектора 13 EMBED Equation.3 1415 при условий, что вектор 13 EMBED Equation.3 1415 приложен к концу вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 2. Разностью 13 EMBED Equation.3 1415 векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, который в сумме с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 дает вектор 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 3. Произведением 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, который коллинеарен вектору 13 EMBED Equation.3 1415, имеет длину, равную 13 EMBED Equation.3 1415 и направление такое же, как и вектор 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415>0 и противоположное, если 13 EMBED Equation.3 1415<0.
Пусть даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда сумма векторов в координатной форме записывается
13 EMBED Equation.3 1415,
разность векторов
13 EMBED Equation.3 1415,
умножение вектора на число (
13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
13 EMBED Equation.3 1415
Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства скалярного произведения векторов:
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Следствие. Угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415
Сформируем условия параллельности перпендикулярности двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 13 EMBED Equation.3 1415, то есть
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415
Векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны
13 EMBED Equation.3 1415

Определение 5. Векторным произведением вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор c, который:
перпендикулярен векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
имеет длину 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
с конца вектора 13 EMBED Equation.3 1415 кратчайший поворот от вектора 13 EMBED Equation.3 1415 к вектору 13 EMBED Equation.3 1415 виден совершающимся против часовой стрелки.
Обозначается 13 EMBED Equation.3 1415

Геометрический смысл векторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 как на сторонах.

Свойства векторного произведения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415.

Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.


Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется произведение, составленное следующим образом: 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.

Геометрический смысл смешанного произведения: в результате смешанного произведения получается число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 как на ребрах
Свойства смешанного произведения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2.13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 вектора13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны.

Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.

Лекции 13-16.
Прямая на плоскости.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.
Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Прямую можно задать одним из следующих уравнений:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)
у=kх+b
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение прямой в «отрезках»
13 EMBED Equation.3 1415
здесь a и b –отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.
Нормальное уравнение прямой

13 EMBED Equation.3 1415

здесь р – длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a 13 EMBED Equation.3 1415-угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Уравнение прямой проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415, в данном направлении 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Общее уравнение прямой

Ax=By+С=0.

Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем 13 EMBED Equation.3 1415Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.
А) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.
б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.
Г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.
Д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.
Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1 и y=k2x+b2
то острый угол между прямыми определяется по формулам
13 EMBED Equation.3 1415.
Если же прямые заданы общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0
то угол между ними можно найти по формулам
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Прямые параллельны, если tg a=0, тогда
k2=k1
условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство
13 EMBED Equation.3 1415
Если прямые заданы общими уравнениями, то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
А1А2+В1В2=0.

Лекции 17-20.

Кривые 2-го порядка.
К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Окружность.

Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра). Расстояние, на которое удалены точки окружности от центра, называется радиусом.
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эллипс.
Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют большой и малой полуосями эллипса.

В случае a=b эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.




Гипербола.
Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.
Если a=b, то уравнение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
определяет равнобочную гиперболу.



Две гиперболы, определяемые уравнениями
13 EMBED Equation.3 1415
называются сопряженными.

Парабола
Определение 4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является прямая 13 EMBED Equation.3 1415, а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса – вектора определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415


Уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Лекции 21-24.

Уравнение плоскости.
Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость П, точка 13 EMBED Equation.3 1415и вектор 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
определяет плоскость, проходящую через точку 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно вектору 13 EMBED Equation.3 1415
В уравнении (1) раскроем скобки
13 EMBED Equation.3 1415.
Выражение, стоящее в скобках обозначаем через Д, тогда получим
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется нормальным вектором плоскости.
Если в общем, уравнении плоскости коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415 то, разделив все члены уравнения на – Д, уравнение плоскости можно привести к виду
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
здесь 13 EMBED Equation.3 1415 Это уравнением плоскости в «отрезках» в нем а, b и с соответствует абсциссе, ординате и аппликате точек пересечения плоскости с осями координат Ох, Оу, Оz.
При любом расположении (2) плоскостей П1, П2
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
в пространстве один из углов 13 EMBED Equation.3 1415между ними равен углу между их нормальными векторами и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Если плоскости П1 и П2 параллельны, то коллениарны их нормальные векторы 13 EMBED Equation.3 1415и наоборот. Но тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Условие (7) является условием параллельности плоскостей.
Если же плоскости П1 и П2 перпендикулярны, то перпендикулярны их нормальные векторы 13 EMBED Equation.3 1415. Но тогда их скалярное произведение равно 0, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.

Лекции 25-28.

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой
и плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
пересекающихся по этой прямой.
Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, по этому используют специальный вид уравнения прямой.13 EMBED Equation.3 1415
Пусть дана прямая L и ненулевой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 лежащий на данной прямой или параллельно ей. На прямой L возьмем точку M13 EMBED Equation.3 1415 тогда уравнение этой прямой можно записать следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.
От канонических уравнений прямой, введя параметр легко можно перейти к параметрическим уравнением:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями.
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
При любом расположении этих прямых в пространстве, один из двух углов между ними равен углу 13 EMBED Equation.3 1415 между их направляющими векторами 13 EMBED Equation.3 1415. Угол 13 EMBED Equation.3 1415 можно вычислить по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Рассмотрим теперь взаимное расположение прямой 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Условием параллельности прямой и плоскости является условие

13 EMBED Equation.3 1415 (8)
а условием перпендикулярности прямой и плоскости

13 EMBED Equation.3 1415 (9)



Лекции 29-32.

Функция. Действительные числа. Предел функции.
Односторонние пределы функции.
Совокупность рациональных Q и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел R. Между множеством точек прямой и множеством R всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то прямую называют числовой осью. Совокупность всех чисел х, удовлетворяющих условию а<хМодулем (абсолютной величиной) действительного числа а называют неотрицательное число |а|, определяемое условиями: 13 EMBED Equation.3 1415=а, если а13 EMBED Equation.3 14150, и 13 EMBED Equation.3 1415 = -а , если а < 0. Для любых действительных чисел а и b верно неравенство |а+ b| 13 EMBED Equation.3 1415 |а|+| b|.
Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Тогда число А называется пределом функции у=f(х) при х13 EMBED Equation.3 1415х0 (в точке х=х0), если для любого 13 EMBED Equation.3 1415>0 существует 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)>0, такое, что при 0 <|хх0|<13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство |f(х)-А|<13 EMBED Equation.3 1415.
Если А – предел функции f(х) при х13 EMBED Equation.3 1415х0, то записывают это так
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В самой точке х0 функция f(х) может и не существовать (f(х0) не определено). Аналогично запись 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обозначает, что для любого 13 EMBED Equation.3 1415>0 существует N=N(13 EMBED Equation.3 1415)>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|<13 EMBED Equation.3 1415.
Если существует предел вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, который обозначают также 13 EMBED Equation.3 1415 или f(х0-0), то он называется пределом слева функции f(х) в точке x0. Аналогично если существует предел вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (в другой записи 13 EMBED Equation.3 1415 или f(x0+0)), то он называется пределом справа функции f(х) в точке x0. Пределы слева и справа называются односторонними. Для существования предела функции f(х) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x0 существовали и были равны, то есть f(x0-0)=f(x0+0).

Основные теоремы о пределах.

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Пусть существуют 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (i=1,, п). Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема 2. Пусть существуют 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эти утверждения сохраняются и при х0 =13 EMBED Equation.3 1415.
Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.
Широко используются следующие два предела
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415,
которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (т. Е. для любого 13 EMBED Equation.3 1415>0 существует число 13 EMBED Equation.3 1415>0, такое что при 0<13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415), то 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно малой функцией или величиной при х13 EMBED Equation.3 1415.
Для сравнения двух бесконечно малых функций 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415при х13 EMBED Equation.3 1415 находят предел их отношения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
Если С13 EMBED Equation.3 14150, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка; если С=0, то 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (0<13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415),13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415называется бесконечно малой порядка k, по сравнению с13 EMBED Equation.3 1415 при х13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то бесконечно малые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при х13 EMBED Equation.3 1415 называются эквивалентными (равносильными) величинами и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415.
Например, при х13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415~ 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 ~ х, 13 EMBED Equation.3 1415~ х, 13 EMBED Equation.3 1415 1~ 13 EMBED Equation.3 1415..
Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при х13 EMBED Equation.3 1415 равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 при х13 EMBED Equation.3 1415, т.е. верны предельные равенства
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Непрерывность функции. Классификация
точек разрыва функции.
Функция у=f(х) называется непрерывной при х=x0 (в точке x0), если:
функция f(х) определена в точке x0 и ее окрестности;
существует конечный предел функции f(х) в точке x0;
этот предел равен значению функции в точке x0 , то есть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Если положить х=x0+13 EMBED Equation.3 1415, то условие непрерывности (2) будет равносильно условию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
т. Е. функция у=f(х) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует бесконечно малое приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Точка x0, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке x0 существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0 +0), такие, что f(x0-0)13 EMBED Equation.3 1415f(x0+0), то x0 называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует или равен бесконечности, то точку x0 называют точкой разрыва второго рода. Если f(x0-0)=f(x0 +0) и функция f(х) не определена в точке x0, то точку x0 называют устранимой точкой разрыва функции.

Свойства непрерывных функций:
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (при условии, что знаменатель отличен от нуля).
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема 1 (Больцано-Коши). Если функция13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция обращается в ноль.


Лекции 33-36.

Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Напомним, что приращением функции у=f(х) называется разность 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - приращение аргумента х.
Из рисунка видно, что 13 EMBED Equation.3 1415 (1).
Предел отношения приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415к приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415при произвольном стремлении 13 EMBED Equation.3 1415 к нулю называется производной функции у=f(х) в точке х и обозначается одним из следующих символов: у', f'(х), 13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 1.
Таким образом, по определению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f(х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной у' – дифференцированием.
Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла 13 EMBED Equation.3 1415 наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции у=f(х) (см. рис. 1).
Легко показать, что с физической точки зрения производная у'=f'(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.
Если С постоянное число и и=и(х), v=v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (С)'=0;
2) (х)'.=1;
3) (и13 EMBED Equation.3 1415v)'=и'13 EMBED Equation.3 1415v';
4) (С и)'=С и'
5) (и v)'=и' v+иv';
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) если у=f(и) и u=13 EMBED Equation.3 1415(х), т. Е. y=f(13 EMBED Equation.3 1415(x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415;
9) если для функции у=f(х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и 13 EMBED Equation.3 1415, то f'(х) =13 EMBED Equation.3 1415.
На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) (13 EMBED Equation.3 1415)' = 13 EMBED Equation.3 1415lnаu'

3) (еu)'=еu u'
4) 13 EMBED Equation.3 1415

5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) (sin u)’= соs u u’

7) (соs u)’=-sin u u’
8) 13 EMBED Equation.3 1415

9) 13 EMBED Equation.3 1415;
10) (arcsin u)'=13 EMBED Equation.3 1415

11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415

13) 13 EMBED Equation.3 1415


Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0))
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Уравнение нормали к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0)):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При f/(х0)=0 уравнение нормали имеет вид х=х0.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке.
Логарифмической производной функции у=f(х) называется производная от логарифма этой функции, т. Е.
(ln f(x))’=f’(x)/f(x).
Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции у=иv, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле
у =иv ln и v' + v и v-1 и'.
Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F(х, у)=0, то для нахождения производной у'=13 EMBED Equation.3 1415 в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у', найти производную.

Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
Производной второго порядка или второй производной функции у=f(х) называется производная от ее первой производной, т. Е. (у')'. Обозначается вторая производная одним из следующих символов: у», f''(х), 13 EMBED Equation.3 1415.
Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то s'=13 EMBED Equation.3 1415 - скорость, а s»=13 EMBED Equation.3 1415- ускорение этой точки.
Если зависимость функции у от аргумента х задана в параметрическом виде уравнениями х=х(t), у=у(t), то:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
где штрих обозначает производную по t.
Производной n-го порядка функции у=t(х) называется производная от производной (n-1)-го порядка данной функции. Для n-й производной употребляются следующие обозначения: у(n), f(n)(х), 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциалом первого порядка функции у=f(x) называется главная, часть ее приращения, линейно зависящая от приращения 13 EMBED Equation.3 1415 независимой переменной х. Дифференциал13 EMBED Equation.3 1415функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной 13 EMBED Equation.3 1415поэтому –справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415
Из рисунка видно, что если МN- дуга графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 МТ – касательная, проведенная к нему в точке М(х, у), и 13 EMBED Equation.3 1415то CT=dy, а отрезок 13 EMBED Equation.3 1415Дифференциал функции dy о13 EMBED Equation.3 1415тличается от ее приращения 13 EMBED Equation.3 1415 на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с 13 EMBED Equation.3 1415
Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем:
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415если х – независимая переменная;
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т. Е. dny=d(dn-1y).
Если дана функция у=f(х), где х – независимая переменная, то d2у= у»dх2, d3у=у'»dх3, , dnу= y(n)dxn.
Если у=f(u), где u=13 EMBED Equation.3 1415(x), то d2y=y//(du)2+y/d2u , где дифференцирование функции y выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.)
Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с величиной dх, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значений функции при малом приращении 13 EMBED Equation.3 1415 независимой переменной х.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции 13 EMBED Equation.3 1415, если известна абсолютная погрешность 13 EMBED Equation.3 1415 аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функции у=f(х) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значение x0 с абсолютной погрешностью 13 EMBED Equation.3 1415: х=x0+dх, 13 EMBED Equation.3 1415Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда видно, что13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 Относительная погрешность функции 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415




Лекции 37-40.

Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.
Приложения производной и исследование функции.
Теорема 1 (Ферма). Если функция у=f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения в точке с из интервала (a; b) и дифференцируема в этой точке, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема 2 (Ролля). Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема внутри этого отрезка и f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка с (aТеорема 3 (Лагранжа). Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка 13 EMBED Equation.3 1415 такая, что13 EMBED Equation.3 1415
Эта формула называется формулой Лагранжа конечных приращений.
Теорема 4 (Коши). Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и дифференцируемы внутри него, причем 13 EMBED Equation.3 1415 нигде при 13 EMBED Equation.3 1415 то найдется хотя бы одна точка 13 EMBED Equation.3 1415 такая, что
13 EMBED Equation.3 1415
Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида 13 EMBED Equation.3 1415). Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки х=х0 , стремятся к нулю (или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415 и существует 13 EMBED Equation.3 1415 То существует также 13 EMBED Equation.3 1415 и эти пределы равны, т.е.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Правило Лопиталя справедливо и при 13 EMBED Equation.3 1415 Если частное 13 EMBED Equation.3 1415 вновь дает в предельной точке неопределенность одного из двух названных видов и функции 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют всем требованиям, ранее указанным для функций 13 EMBED Equation.3 1415 то можно перейти к отношению вторых производных и т. Д. Однако следует помнить, что предел отношения самих функций может существовать, в то время как отношение производных не стремится ни к какому пределу.

Исследование поведения функции и
построение их графиков.
Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.
Функция у=f(х) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x1f(x1)f(x2)).
Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.
1. Если дифференцируемая функция у=f(х) на oтрезке [а; b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е. f'(х)13 EMBED Equation.3 14150 (f' (х) 13 EMBED Equation.3 1415 0).
2. Если непрерывная на отрезке [а; b] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция y=f(х) называется неубывающей (невозрастающей) в некотором интервале, если для любых x1f(x1)13 EMBED Equation.3 1415f(x2) (f(x1)13 EMBED Equation.3 1415f(x2)).
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Точка x1называется точкой локального максимума функции у=f(x), если для любых достаточно малых |13 EMBED Equation.3 1415|13 EMBED Equation.3 14150 выполняется неравенство f(x1+13 EMBED Equation.3 1415)f(х2). Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Если функция. У=f(х) имеет в точке х=х0 экстремум, то либо f'(х0)=0, либо f'(х0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.
Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х=х0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если f'(х) при х<х0 положительна, а при х>х0 отрицательна, то при х=х0 функция у=f(х) имеет максимум. Если же f '(х) при х<х0 отрицательна, а при х>х0 положительна, то при х=х0 данная функция имеет минимум.
Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выполняться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х0. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы.
Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции). Пусть функция у=f(х) дважды дифференцируема и f'(х0)=0. Тогда в точке х=х0 функция имеет локальный максимум, если f»(х0)<0, и локальный минимум, если f «( х0)>0.
В случае, когда f»(х0)=0, точка х= х0 может и не быть экстремальной..
Кривая, заданная функцией y=f(х), называется выпуклой в интервале (а; b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале (а; b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.
Точка кривой М (х0, f(х0)) отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная.
Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции). Если во всех точках интервала (а;b) вторая производная функции у=f(x) отрицательна (положительна), т. Е. f»(х)<0 (f»(x)>0), то кривая у=f(x) в этом интервале выпукла (вогнута).
В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.
Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба). Если в точке х = х0 f»(х0)=0 или f»(х0) не существует и при переходе через эту точку производная f»(х) меняет знак, то точка с абсциссой х=х0, кривой у=f(x) – точка перегиба.
Прямая L называется асимптотой данной кривой у=f(x), если расстояние от точки М кривой до прямой L при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю. Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).
Если существуют числа х=xi (i=1,,n), при которых 13 EMBED Equation.3 1415т.е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х=xi называются вертикальными асимптотами кривой у=f(х). Если существуют пределы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
то прямая у=kх+b называется наклонной асимптотой кривой у=f(х) (при k=0 – горизонтальной). При х13 EMBED Equation.3 1415можем прийти к двум значениям для k. Если имеем одно значение для k, то при х13 EMBED Equation.3 1415 можем получить два значения для b.
Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения функции;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
4) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции;
7) произвести необходимые дополнительные вычисления;
8) построить график функции.

Лекции 41-44.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Основная задача интегрального исчисления заключается в следующем: для функции f(x) найти функцию F(x) такую, что F’(x)= f(x). Будем предполагать, что это равенство выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке. Искомая функция F(x) называется при этом первообразной функции f(x) на указанном промежутке. Первообразная функции определяется не единственным образом, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где C – некоторая постоянная.
Согласно предыдущей теореме множество всех первообразных функции f(x) исчерпывается множеством функций F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных функции f(x), а C – некоторые произвольные постоянные.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.
Исходя из выше сказанного, следует что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где F(x) – одна из первообразных функции f(x), а C – некоторая произвольная постоянная.
Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, то есть если k=const(0, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования.

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость остальных формул легко проверить дифференцированием.
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Приведем основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема 1. Пусть функция x=((t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.
Пример 1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Лекции 45-48.

Интегрирование рациональных функций.

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, то есть функции, которые можно представить в виде дроби
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где P(x), Q(x) – многочлены.
Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где W(x) – некоторый многочлен, а R(x) – многочлен степени ниже, чем Q(x).
Пример.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Многочлен W(x) представляет собой линейную комбинацию целых неотрицательных степеней x и поэтому может быть проинтегрирован. Теперь рассмотрим вопрос интегрирования правильной дроби из последнего соотношения.
Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интегралы данных дробей приводятся к интегралам следующего вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вычисляется по рекуррентной формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом, можно сделать вывод о том, что всякая рациональная функция может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Предварительно введем понятие рациональной функции от двух переменных u и v, то есть функции получающейся из этих переменных и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления R(u, v). Такова, например, функция
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если переменные u и v, в свою очередь являются функциями переменной x: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется рациональной функцией от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций сводящихся к интегралам от рациональных функций.
Интегралы вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где a, b, c, d – некоторые числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 m – натуральное число. Интегралы данного вида рационализируются подстановкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интеграл вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где a, b, c – некоторые числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Данный интеграл зависит от корней квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Если этот трехчлен имеет два различных действительных корня x1 и x2, то он сводится к интегралу вида 1, а именно к интегралу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если x1=x2, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, а именно к интегралу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если же квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то с помощью подстановки Эйлера
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интеграл вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415рационализируется подстановкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Действительно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Интеграл вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 рационализируется подстановкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Действительно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Лекции 49-52.
Определенный интеграл. Условия существования
определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

Задача о поиске площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла. Криволинейная трапеция ограничена осью Ох, непрерывной функцией y=f(x), прямыми x=a и x=b, т.е. трапеция расположена над осью Ох. Разделим основание трапеции ( интервал (a,b( на n частичных интервалов (x0,x1(,(x1,x2(,,(xn-1,xn(, где a=x0(x1(x2((xn-1(xn=b.
Проведя в точках деления (a,b( прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки (1,(2,,(т, так что
x0((1(x1, x1((2(x2, , xn-1((n(xn.

Рассмотрим значения (((1(,(((2(,,(((n) и т.д.
В результате, сложив площади всех частичных трапеций, получим площадь криволинейной трапеции
S=13 EMBED Equation.3 1415Sn=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415(((i((xi, где (xi=xi-xi-1.

13 EMBED Equation.3 1415(((i((xi называется n-й интегральной суммой.

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415(((i((xi=13 EMBED Equation.3 1415((x(dx называется определенным интегралом, a-нижний предел интегрирования, b- верхний предел интегрирования.
Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
Теорема существования определенного интеграла. Если функция ((x) непрерывна в замкнутом интервале (a,b(, то ее n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т.е. определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415((x(dx, не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.

Свойства определенного интеграла.
Теорема 1 (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
13 EMBED Equation.3 1415,
где u,v,,w – функции независимой переменной x.
Теорема 2 (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415,
где u – функция аргумента x, с – константа.
Теорема 3 (о перестановке пределов). Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит только знак:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если a=b, то13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 4 (о разбиении интервала интегрирования). Если интервал интегрирования (a,b( разбит на две части (a,c( и (c,b(, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменных и интегрирование по частям в
определенном интеграле.
В данном разделе рассмотрим оценки определенных интегралов, а также формулу Ньютона-Лейбница позволяющую вычислять определенный интеграл.
Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е.
m(b-a)<13 EMBED Equation.3 1415где m и M- соответственно наименьшее и набольшее значения функции f(x) в интервале (a;b(.
Теорема 2. Если в каждой точке x интервала (a;b(
((x)(f(x)(((x),
то
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 3 (о среднем). Внутри интервала интегрирования (a;b( существует хотя бы одно значение x=(,, для которого
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.


Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема 4. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415, где F((x)=f(x) (2)
Равенство (2) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
1. Формула интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула замены переменной (подстановки):
Пусть x=((u), тогда справедлива формула
13 EMBED Equation.3 1415
Если в интервале (u1, u2( функции x=((u), (((u) и ((((u)( непрерывны и ((u1)=x1, ((u2)=x2, то
13 EMBED Equation.3 1415

Приложения определенного интеграла.

В декартовой системе координат за основную фигуру, площадь которой выражается определенным интегралом, принимается криволинейная трапеция. Если y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию, то площадь трапеции S (в предположении, что y(0) равна S=13 EMBED Equation.3 1415, где пределы интегрирования a и b(aЕсли линия задана параметрическими уравнениями x(((t(((y=((t), то совершая подстановку в интеграле по формуле x(((t(((получим
S=13 EMBED Equation.3 1415,
где t1 и t2( значения, между которыми изменяется параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.
Пример. Найти площадь S фигуры, ограниченной эллипсом 13 EMBED Equation.3 1415
Имеем S=213 EMBED Equation.3 1415, y(0. Удобно перейти к параметрическому виду: x=a cos t, y=b sin t. Тогда
S= (2ab13 EMBED Equation.3 1415=2ab(13 EMBED Equation.3 1415 = (ab.
Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор ( фигура, ограниченная линией r=f((), с которой любой луч, исходящий из полюса P, пересекается не более, чем в одной точке, и двумя лучами (=( и (=(:
13 EMBED PBrush 1415

В результате вывода получается формула для вычисления площади фигуры, заключенной между лучами (=( и (=(:
S=13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, пусть известна площадь любого его сечения, проведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси абсцисс:
13 EMBED PBrush 1415
При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x), где x – абсцисса точки пересечения указанной плоскости с осью х. Далее предполагается, что все тело заключено между двумя перпендикулярными к оси х плоскостями, пересекающими ее в точках a и b (aV=13 EMBED Equation.3 1415
Если тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y=f(x), вокруг оси Ох, то поперечным сечением с абсциссой х служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y=f(x)
S(x)=(y2 ( Vx=13 EMBED Equation.3 1415, где y=f(x).
Получена формула объема тела, полученного вращением линии y=f(x) вокруг оси Ох. Аналогично получается формула объема тела, полученного вращением трапеции вокруг оси Оу. Там возможны две формулы:
Vy=13 EMBED Equation.3 1415 или Vy=13 EMBED Equation.3 1415, где c и d на оси Оу.
Длина дуги AB кривой y=f(x) есть предел длины вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю:

13 EMBED PBrush 1415
Линия AB задана уравнением y=f(x). Длина дуги AB вычисляется по формуле
L=13 EMBED Equation.3 1415 или L=13 EMBED Equation.3 1415.
Если dx внести под знак корня, то формулу можно переписать в виде
L=13 EMBED Equation.3 1415.
Если уравнение линии задано параметрически: x=x(t), y=y(t) и t1,t2 – значение параметра t, соответствующие концам дуги, причем t1L=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пусть теперь линия задана уравнением в системе полярных координат: r=r((). Рассматривая в зависимостях x=rcos(, y=rsin( полярный угол ( в качестве параметра, получим
dx=(r(cos((rsin()d(, dy=(r(sin(+rcos()d(, что дает 13 EMBED Equation.3 1415 и, значит,
L=13 EMBED Equation.3 1415, (((,
где ( и ( - значения полярного угла соответственно начала А и конца В дуги.

Тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией y=f(x), прямыми x=a и y=b, осью Ох. Площадь поверхности вращения для данного тела определяется по формуле
Q=213 EMBED Equation.3 1415 или Q=213 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415( дифференциал длины дуги.


Лекции 53-56.

Понятие функции нескольких переменных,
предел и непрерывность функции многих переменных.
До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.
Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.
Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что x(X, у(У, z(Z и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z называется значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.
Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия
·-окрестности данной точки M0(х0; y0) и сходящейся последовательности точек плоскости.
Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x0)2 + (y – y0)2<
·2, или, короче,
·(М; М0)<
·, называется
· – окрестностью М0 (x0; y0).
Рассмотрим последовательность точек М1 (x1; y1), М2 (x2; y2), , Мn (xn; yn), Будем кратко обозначать эту последовательность символом {Мn}.
Определение 3. Последовательность точек {Мn} называется сходящейся к точке М0, если для любого
·>0 существует номер N0 такой, что при п>N0 выполняется неравенство
·(М; М0)<
·. При этом точка М0 называется пределом последовательности {Мn} и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М0, если для любой сходящейся к М0 последовательности точек Мn последовательность значений функции f (М1), f(М2), , f(Мn), сходится к A.
Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.
Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве {M} и имеют в точке М0 пределы B и C. Тогда функции13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 (С
·0) имеют в точке М0 пределы, равные соответственно 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415
Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве {М} определена функция f(М), точка М0({М} и любая
·-окрестность точки М0 содержит точки множества {М}.
Определение 5. Функция z=f(М) называется непрерывной в точке М0, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
На некотором классе множеств непрерывные функции обладают такими же свойствами что непрерывные функции одной переменной на отрезке, а именно справедливы многомерные аналоги теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса:
Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.
Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.
Если функция z=f(М) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями.
Частные производные и дифференцируемость
функций нескольких переменных.
Пусть функция z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М(x; у). Придадим переменной x в точке М произвольное приращение
·x, оставляя значение переменной y неизменным, т. Е. перейдем на плоскости от точки М (x; у) к точке M1 (x+
·x; у). При этом
·x таково, что точка M1 лежит в указанной окрестности точки М. Тогда соответствующее приращение функции

·xz= f (x+
·x; у)- f (x; у)
называется частным приращением функции по переменной x в точке М (х; у). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y

·yz= f (x; у+
·y)- f (x; у).
Определение 1. Если существует предел
13 EMBED Equation.3 1415
то он называется частной производной функции z=f(M) в точке М по переменной x (по переменной y) и обозначается одним из следующих символов:
13 EMBED Equation.3 1415
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.
Определение 2. Полным приращением функции z=f(M) в точке М(x; y), соответствующим приращениям
·x и
·y переменных x и y, называется функция

·z= f (x+
·x; у+
·y)- f (x; у).
Определение 3. Функция z=f(M) называется дифференцируемой в точке M, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
13 EMBED Equation.3 1415
где A и B – некоторые не зависящие от
·x и
·y числа, а
·(
·x;
·y)и
·(
·x;
·y) – бесконечно малые при
·x0,
·y0 функции.
Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.
Теорема 1. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.
Теорема 2. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M(x; y), то она имеет в этой точке частные производные13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Однако в отличие от функции одной переменной, существования частных производных не достаточно для дифференцируемости функции.
Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=f(M) имеет частные производные в некоторой
·-окрестности точки M и эти производные непрерывны в самой точке M, то функция дифференцируема в точке M.
Далее можно определить частные производные высших порядков. Так производные от производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они определяются следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415.
Частные производные вида 13 EMBED Equation.3 1415называются смешанными частными производными. Возникает естественный вопрос о равенстве смешанных частных производных, однако это возможно при выполнении некоторых условий.
Теорема 4. Если производные 13 EMBED Equation.3 1415 существуют в некоторой
·-окрестности точки M(x; y) и непрерывны в самой точке M, то они равны между собой в этой точке, то есть имеет место равенство
13 EMBED Equation.3 1415
По аналогии определяются дифференциалы высших порядков, так дифференциал второго порядка представляет из себя дифференциал от дифференциала первого порядка. Функции, у которых существуют дифференциалы до n-го порядка включительно, называются n раз дифференцируемые. Используя данные понятия можно сформулировать многомерный аналог теоремы Тейлора.
Теорема 5 (Тейлора). Пусть функция z=f(x; y) непрерывна вместе со всеми частными производными до (n+1)-го порядка включительно в некоторой
·-окрестности точки M(x; y). Пусть точка M1(x+
·x; у+
·y) принадлежит этой окрестности. Тогда приращение
·f=f(M1)- f(M) этой функции в точке M можно представить в следующей форме
13 EMBED Equation.3 1415.

Экстремумы функции двух переменных.
Пусть функция z=f(x; y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0; y0).
Определение. Говорят, что функция z=f(x; y) имеет в точке M0 (x0; y0) локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, в которой для любой точки M (x; y) выполняется неравенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Из определения следует, что если функция z=f(x; y) имеет экстремум в точке M0, то полное приращение
·z= f (M)- f (M0) этой функции в точке M0 удовлетворяет в некоторой окрестности этой точки одному из следующих неравенств
13 EMBED Equation.3 1415 в случае локального максимума
13 EMBED Equation.3 1415 в случае локального минимума.
И обратно, если в некоторой окрестности точки M0 выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке M0.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x; y) имеет в точке M0 (x0; y0) локальный экстремум и имеет в точке M0 частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, то есть
13 EMBED Equation.3 1415
Как и в случае функции одной переменной условие равенства нулю не достаточно для наличия экстремума в данной точке.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в точке M0 (x0; y0) возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция f(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда:
а) если
·>0, то в точке M0 функция имеет экстремум, причем при 13 EMBED Equation.3 1415- локальный максимум, при 13 EMBED Equation.3 1415- локальный минимум.
Б) если
·<0, то в точке M0 экстремума нет.

Лекции 57-60.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения I порядка.

Понятие о дифференциальном уравнении.
Теория дифференциальных уравнений широко используется в естествознании и технике. В частности, при решении многих физических задач приходится находить неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными.
С формальной точки зрения задача решения дифференциального уравнения есть задача, обратная дифференцированию. Однако в теории дифференциальных уравнений приходится не только интегрировать заданное дифференциальное уравнение для отыскания искомой функции, но и зачастую по условию той или иной задачи составлять это уравнение и затем решать его.
Дифференциальным называют такое уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее производные.
Если неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным, если же – функцией нескольких переменных, то – дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.
В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 -го порядка можно записать так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415 есть дифференциальное уравнение второго порядка.
Любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением или интегралом этого уравнения.
Решение дифференциального уравнения (если оно существует), в котором число произвольных постоянных равно порядку уравнения, называется общим решением данного дифференциального уравнения.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 -го порядка записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решения дифференциального уравнения при определенных значениях произвольных постоянных называется частным решением. Условия, которым должно удовлетворять искомое частное решение данного дифференциального уравнения, называются начальными условиями. Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.
Так как каждое частное решение данного дифференциального уравнения есть некоторая функция одной переменной, то в прямоугольной системе координат на плоскости этому решению соответствует некоторая линия. Она называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Общему же решению дифференциального уравнения соответствует множество всех интегральных кривых этого уравнения, которое называется семейством интегральных кривых дифференциального уравнения.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Его общее решение содержит одну произвольную постоянную С: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциальные уравнения первого порядка иногда удобно записывать и в виде:
13 EMBED Equation.3 1415.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 разлагаются на множители: 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, тогда уравнение вида:
13 EMBED Equation.3 1415
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Предположив, что 13 EMBED Equation.3 1415, и разделив обе части первого уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, получим уравнение с разделенными переменными:
13 EMBED Equation.3 1415,
которое интегрируется:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисление полученных интегралов и дает общее решение уравнения с разделяющимися переменными.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется однородной функцией измерения 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) относительно аргументов х и у, если равенство 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо для любого 13 EMBED Equation.3 1415, при котором функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция будет однородной нулевого измерения 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциальное уравнение первого порядка 13 EMBED Equation.3 1415 называется однородным, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - однородные функции от х и у одинакового измерения, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 Действительно, переписав его в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 легко заключаем, что 13 EMBED Equation.3 1415- однородная функция нулевого измерения, поскольку:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415 то, положив 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Данное уравнение решается с помощью замены 13 EMBED Equation.3 1415 и сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно х и новой функции 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда следует: 13 EMBED Equation.3 1415. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, находят общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Дифференциальное уравнение первого порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции у и ее производной 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - непрерывные функции от х.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если 13 EMBED Equation.3 1415, в противном случае оно неоднородное.
Линейное дифференциальное уравнение можно проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Представим искомую функцию 13 EMBED Equation.3 1415 в виде произведения двух неизвестных функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 (подстановка Бернулли). Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Подставив выражения для у и у’ в линейное дифференциальное уравнение, получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
которое преобразуем к виду:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то интегрирование данного вида уравнения сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Найдя общее решение 13 EMBED Equation.3 1415 из первого уравнения, а затем и 13 EMBED Equation.3 1415 из второго уравнения, придем к общему решению линейного уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциальное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415, называется уравнением Бернулли.
Путем введения новой функции 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно этой функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение можно решить с помощью подстановки Бернулли 13 EMBED Equation.3 1415


Случайные события. Определение вероятности.

Случайным событием называется событие, которое при выполнении некоторого комплекса условий может произойти или не произойти. Будем рассматривать случайные события, которые обладают так называемой статистической устойчивостью или, иначе, устойчивостью частот.
Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно неизбежно происходит при этом испытании.
Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не происходит в этом испытании.
Примем как аксиому, что для каждого события А можно определить, по крайней мере теоретически, вероятность этого события – число Р(А), представляющее, в некотором смысле «меру достоверности» данного события и подчиненное естественным требованиям. Предполагается, что вероятность любого события удовлетворяет неравенству
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
причем вероятность невозможного ( события равна нулю, а вероятность достоверного события ( равна единице.
Определение. Под суммой двух событий А и В понимается событие
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.
Определение. Произведением двух событий А и В называется событие
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.
Определение. Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.
Таким образом, если m – число элементарных исходов, благоприятных событию А и n – общее число всех элементарных исходов при данном испытании, и все эти исходы равновозможны, то на основании определения имеем формулу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Так как, очевидно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов m=0, и мы имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вероятность достоверного события равна единице.
В самом деле, если событие А достоверно то, очевидно m=n и, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определение. Два события А и В называются равными, если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое и обозначается A=В.
Теорема 1. Равные события имеют равные вероятности, т.е. если А=В, то
Р(А)=Р(В).
Определение. Говорят, что из события А следует событие В 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.
Теорема 2. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определение. Событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.
Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представляет собой не выпадение герба, т.е. выпадение решетки.
Из определения 4 следует, что 1) А+13 EMBED Equation.DSMT4 1415 достоверно; 2) А13 EMBED Equation.DSMT4 1415 невозможно.
Теорема 3. Вероятность противоположного события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна дополнению вероятности данного события А до 1, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Важную роль в теории вероятностей играют следующие две теоремы.
Теорема 1. Вероятность суммы двух событий равна суме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-P(AB).
В случае если события А и В несовместны, то данная формула принимает следующий вид
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Определение. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается так:
Р(А/В)=Р
·в(А).
Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В противном случае события называются зависимыми.
Теорема 2. Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.
Р(АВ)=Р(А)РА(В).
В случае если события А и В независимы, то данная формула записывается в следующем виде
Р(АВ)=Р(А) Р(В).
Предположим, что событие B может осуществиться с одним и только одним из n несовместимых событий A1, A2, , An. Иными словами, положим, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
где события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Использовав теорему умножения, находим, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет основную роль во всей дальнейшей теории.
Выведем теперь важные формулы Байеса или, как иногда говорят, вероятности гипотез. Пусть по прежнему имеет место равенство (1). Требуется найти вероятность события Ai, если известно, что событие B произошло. Согласно теореме умножения имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Отсюда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
используя формулу полной вероятности, находим, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Формула Бернулли. Предельные теоремы.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Здесь нами рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Формула Бернулли. Вероятность того, что п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (013 EMBED Equation.DSMT4 1415
или

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность того, что событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз – находят соответственно по формулам:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Для достаточно больших значений n вычисления по выше указанным формулам практически невозможны. В этом случае можно воспользоваться так называемыми предельными теоремами.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (013 EMBED Equation.DSMT4 1415
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (013 EMBED Equation.DSMT4 1415
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
- функция Лапласа.

Случайные величины и их числовые характеристики.

Если в соответствие случайным событиям полной группы случайных событий поставлены в соответствие некоторые числа, то говорят, что задана случайная величина. Случайные величины в зависимости от того, какой вид имеют множества принимаемых значений делятся на дискретные и непрерывные.
Случайная дискретная величина и ее закон распределения.
Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода оно имеет единственное значеие. Случайная величина называется дискретной, если множество всех возможных значении ее конечно.
Пусть Х – дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями которой являются числа х1,х2,...,хn.. Обозначим через рi=P(X=xi) (i=1,2,...,n) вероятности этих значений. События X=xi (i=1,2,...,n), очевидно, образуют полную группу событий, поэтому
р1+р2+...+рn=1.
Определение. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
В простейших случаях закон распределения дискретной случайной величины Х удобно задавать таблицей:

Х

х1

х2

...

хn


Р

p1

p2



pn


Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб., при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.
Здесь возможные значения для Х есть х1=1000, х2=100, х3=1, х4=0.
Вероятности их соответственно будут
р1=0,0001, р2=0,001, р3=0,01, р4=1-( р1+ р2+ р3)=0,9889.
Закон распределения для выигрыша Х может быть задан таблицей:

Х

1000

100

1

0


Р

0,0001

0,001

0,01

0,9889


Математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности.
Если х1,х2,,хn есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины Х и р1,р2,,рn - соответствующие им вероятности, то, обозначая буквой М математическое ожидание, будем иметь
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Пример. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.
Решение. Пользуясь помещенной там таблицей, имеем
М(х)= 1000(0,0001+100(0,001+1(0,01+0(0,9889=0,21 (руб)=21 (коп).
Основные свойства математического ожидания.
Теорема 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т.е. если С – постоянна величина, то
М(С)=С.
Теорема 2. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е. если Х и У – случайные величины, то
М(Х+У) = М(Х)+М(У).
Следствие 1. Если С – постоянная величина, то
М(Х+С)=М(Х)+С
Теорема 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
М(ХУ)=М(Х)М(У),
где Х и У – независимые случайные величины.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
Если С – постоянная величина и Х – любая случайная величина, то, учитывая, что С и Х независимы, на основании теоремы 1 получим
М(СХ)=М(С)М(Х)=СМ(Х)
Следствие 3. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин Х и У равно разности математических ожиданий этих величин, т.е.
М(Х-У)=М(Х)-М(У).
Дисперсия.
Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание. Случайную величину Х – М(Х) называют отклонением.
Теорема 1. Для любой случайной величины Х математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.
М[Х-М(Х)]=0.
Определение. Дисперсией случайной величины называют называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.
Отсюда, обозначая дисперсию буквой D, для случайной величины Х будем иметь
D(Х)=М{[Х-М(Х)]2} (3)
Корень квадратный из дисперсии D(Х) называется средним квадратичным отклонением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 этой величины:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
Пример. Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Х

4

10

20


Р

ј

1/2

1/4


Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
отсюда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема 1. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания, т.е.
D(Х)=М(Х2)-[М(Х)]2 .
Теорема 2. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Теорема 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и У равна сумме дисперсий этих величин, т.е.
D(Х+У)=D(Х)+D(У).
Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.
D(CX)=C2D(X).
Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины Х и У независимы, то
D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Непрерывные случайные величины. Функция распределения.

Случайную величину Х будем называть непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток (а, b) числовой оси.
Для характеристики непрерывной случайной величины Х вводят функция распределения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теорема. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина Х примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.
Предположим, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную производную
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины Х.
Функция распределения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х понимается число
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Аналогично,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Равномерное распределение.
Непрерывная случайная величина Х все возможные значения которой заполняют конечный промежуток (a, b) называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 постоянна на этом промежутке.
Под вероятностью А понимается отношение меры l множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможны:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нормальное распределение.
Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если плотность вероятности подчиняется закону Гаусса
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Стандартный вид нормального закона распределения случайной величины Х в дифференциальной форме:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом, нормальный закон распределения зависит только от двух параметров: математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Формулы упрощаются, если ввести нормированное отклонение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература:

Высшая математика для экономистов. / Под. Ред. Н. Ш. Кремера. М.-1998г.
В.С. Шипачев. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.
Ильин В. А., Куркина А.В., Высшая математика М.,2002г.
А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов: В 2-х частях. М.: Высшая школа, 1982.
Л.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.
В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.
Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей.
П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М., Мир и образование, 2003.
В.П.Минорский, Сборник задач по высшей математике. М.: Высшая школа, 1987.


Дополнительная литература:

.Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, М.: Наука, 1980.
Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.: Наука, 1980.
Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного, М.: Наука, 1980.
Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.:Наука, 1976.
Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, М.:Наука,1976.
Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.2, М.:Наука,1976.
Индивидуальные занятия по высшей математике. Под общей редакцией А.П. Рябушко. Минск: Высшая школа, 2000.


ПЛАНЫ ПРОВЕДЕНИЯ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ.

Методические рекомендации: Воспользоваться формулами, приведенными в конспектах лекций или методическими рекомендациями по соответствующим темам из сборника задач [9]. Варианты решения подобных задач приведены в учебно-методическом пособии [8].

Тема № 1. Определители и их свойства.
Задание:
Сформулируйте основные свойства определителей.
Решите задачи: 586, 590, 592, 597, 601,603.

Тема № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Задание:
Сформулируйте условия разрешимости системы уравнений.
Запишите формулы Крамера.
Сформулируйте алгоритм метода Гаусса.
Сформулируйте алгоритм метода обратной матрицы.
Решите задачи: 615-621 (нечетные).

Тема № 3. Прямая на плоскости.
Задание:
Запишите основные виды уравнений прямой на плоскости.
Запишите формулы нахождения угла между прямыми. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Запишите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой.
Решите задачи:59-73, 83-93 (нечетные).

Тема № 4. Кривые 2-го порядка.
Задание:
Дайте определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Запишите канонические уравнения этих кривых.
Запишите формулы связывающие параметры кривых 2-го порядка.
Запишите формулы нахождения фокальных радиус-векторов кривых 2-го порядка.
Решите задачи: 166, 168, 170, 188, 190, 194, 212, 214, 218.

Тема № 5. Прямая и плоскость в пространстве.
Задание:
Запишите различные виды уравнений прямой и плоскости в пространстве.
Запишите формулы нахождения угла между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью в пространстве. Сформулируйте соответствующие условия параллельности и перпендикулярности.
Запишите формулы нахождения расстояния от точки до плоскости.
Решите задачи: 467, 469, 471, 490, 493, 496, 514, 526.

Тема № 6. Предел последовательности и функции.
Задание:
Дайте определения предела последовательности, предела функции в точке и на бесконечности.
Сформулируйте правило раскрытия неопределенностей.
Запишите формулы замечательных пределов.
Решите задачи: 735-751 (нечетные), 764-770 (четные), 782-788 (четные).

Тема № 7. Производная и дифференциал функции. Уравнение касательной и нормали. Свойства дифференциалов.
Задание:
Дайте определения производной и дифференциала функции.
Сформулируйте геометрический и механический смысл производной.
Запишите формулы касательной и нормали к графику функции.
Сформулируйте основные свойства дифференциала.
Решите задачи: 849-863 (нечетные), 907, 908, 912, 913.

Тема № 8. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной, обратной, параметрической и неявной функций.
Задание:
Сформулируйте основные правила дифференцирования.
Запишите формулы дифференцирования сложной, обратной, параметрической и неявной функций.
Решите задачи: 874-890 (четные), 937-943 (нечетные), 980-990 (четные).


Тема №9-10. Исследование функции и построение графиков. Задание:
Дайте определения точек экстремума. Сформулируйте необходимые и достаточные условия точки экстремума.
Дайте определения монотонности функции. Сформулируйте условия монотонности функции.
Дайте определения выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба. Сформулируйте соответствующие условия.
Запишите формулы нахождения асимптот графика функции.
Запишите общую схему исследования функции.
Решите задачи:1255, 1257.

Тема №11. Частные производные и дифференциал функции многих переменных.
Задание:
Дайте определение частных производных и дифференциала функции многих переменных.
Решите задачи: 1858-1872 (четные).

Тема №12. Исследование функции многих переменных.
Задание:
Дайте определение точки экстремума функции двух переменных.
Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Решите задачи: 2030-2032.

Тема №13. Таблица основных интегралов и основные методы интегрирования.
Задание:
Запишите таблицу основных интегралов.
Сформулируйте основные методы интегрирования.
Решите задачи: 1264-1270, 1281, 1291, 1301, 1307, 1311, 1360-1363.

Тема №14. Интегрирование рациональных функций.
Задание:
Сформулируйте суть метода неопределенных коэффициентов.
Решите задачи: 1420, 1422, 1433, 1436.

Тема №15. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
Задание:
Запишите соответствующие формулы приведения к интегралу от рациональной функции.
Решите задачи: 1458, 1465, 1470, 1478, 1500, 1502, 1505, 1507.

Тема №16. Определенный интеграл и его свойства.
Задание:
Запишите соответствующие формулы вычисления определенного интеграла, свойств интегралов.
Решите задачи: 1592-1612 (чет).

Тема №17. Геометрические приложения определенного интеграла.
Задание:
Запишите соответствующие формулы площади, длины дуги, объема тела вращения через определенный интеграл.
Решите задачи: 1624-1653, 1670-1681 (нечетные).

Тема № 18. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.(2 часа)
Задание:
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Запишите формулы замены переменной в определенном интеграле.
Запишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
Решите задачи: 1593-1602.

Тема № 19. Приложения определенного интеграла.
Задание:
Запишите формулы для нахождения площадей плоских фигур, длин плоских дуг, вычисления объемов тел вращения, вычисления площадей поверхностей вращения.
Решите задачи:1625-1628, 1669, 1670, 1691, 1692, 1710, 1711.

Тема № 20. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание:
Дайте определения дифференциального уравнения, решения дифференциального уравнения.
Запишите уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, однородное дифференциальное уравнение, линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли, а также сформулируйте алгоритмы их решения.
Решите задачи: 2094, 2096, 2098-2100 .

Тема № 21. Определение вероятности.
Задание:
Дайте классическое, геометрическое и статистические определения вероятности.
Сформулируйте основные свойства вероятности.
Решите задачи:15, 18-22, 26.

Тема № 22. Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Задание:
Сформулируйте теорему сложения.
Сформулируйте теорему умножения.
Запишите формулу полной вероятности.
Запишите формулу Байеса.
Решите задачи:51-53, 69, 70, 93, 98.

Тема № 23. Случайные величины и их числовые характеристики.
Задание:
Дайте определение случайной величины.
Дайте определение математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.
Решите задачи:188, 211, 252, 264, 280, 297.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Тема 1: Элементы линейной алгебры.

1. Найти матрицу 13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Найдём матрицу 13 EMBED Equation.3 1415, транспонированную к 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. меняем строки и столбцы местами:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём матрицу 13 EMBED Equation.3 1415, умножив все элементы матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на 3. Произведём вычитание матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (поэлементно):
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти произведение матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Произведение матриц 13 EMBED Equation.3 1415не существует; поэтому найдём произведение 13 EMBED Equation.3 1415. Выделим элементы матрицы
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - это сумма произведений элементов 1-ой строки первой матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на элементы 1-го столбца второй матрицы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
аналогично
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Точно также находятся элементы 2-ой строки матрицы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415.

3. Вычислить определители матрицы 13 EMBED Equation.3 1415:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) По формуле (1.7) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) по формуле (1.8) 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Вычислить тот же определитель, приведённый в задаче 3(б), используя его разложение по элементам: первой строки.
Решение:
Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле (1.9):
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь по теореме Лапласа (1.10):
13 EMBED Equation.3 1415
5. Выяснить, является ли матрица
13 EMBED Equation.3 1415 обратной к матрице 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Найдём произведения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются взаимно обратными.


6. Найти матрицу, обратную к данной:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Находим определитель матрицы
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то матрица 13 EMBED Equation.3 1415 - вырожденная и обратная матрица существует и единственна.
Транспонируем матрицу: 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим алгебраические дополнения 13 EMBED Equation.3 1415 всех элементов транспонированной матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 и составляем из них присоединённую матрицу 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим обратную матрицу по формуле (1.11):
13 EMBED Equation.3 1415.
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формуле (1.6):
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - единичная матрица 3-го порядка.

7. Решить систему уравнений методом Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Определитель 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, по методу Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц 13 EMBED Equation.3 1415, полученных из матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 заменой соответственно первого, второго, и третьего столбцов столбцом свободных членов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь по формулам Крамера (1.15):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (1;0;-2).

8. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Обозначим:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда в матричной форме система имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415. Определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. обратная матрица существует:
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь по формуле (1.14):
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (3;2;1).


Тема 2: Элементы векторной алгебры.

1. Даны четыре вектора: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Необходимо: а) разложить вектор 13 EMBED Equation.3 1415 по векторам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) найти длину и направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) По условию 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторые числа. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая коэффициенты при единичных векторах (ортах) 13 EMBED Equation.3 1415, получим систему:
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда следует 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Найдём вектор 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Его длина 13 EMBED Equation.3 1415, а направляющие косинусы найдём по формулам (2.4):
13 EMBED Equation.3 1415.

2. Даны два единичных вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, угол между которыми 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; б) проекцию вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) Искомый угол 13 EMBED Equation.3 1415 (рис 1.)определим по формуле (2.13):


13 EMBED Equation.3 1415.



Рис 1.
где 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Найдём скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и их длины:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
б) По формуле (2.8):
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Теперь 13 EMBED Equation.3 1415.

Тема 3: Аналитическая геометрия

1. Даны вершины треугольника А(7; 9), В(2; -3) и С(3; 6). Найти: а) точку М пересечения медиан треугольника; б) точку Е пересечения биссектрисы АЕ со стороной ВС.
Решение:
а) По формуле 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 найдём середину D стороны СВ:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Точка М пересечения медиан треугольника делит любую медиану, на АD, в отношении 13 EMBED Equation.3 1415 (считая от вершины). Следовательно, по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 найдем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
б) По формуле 13 EMBED Equation.3 1415 найдём длины сторон АС и ВС:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как биссектриса АЕ делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные длинам противолежащих сторон, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Составить уравнения линии, расстояние каждой точки которой, от точки А(2;-2) равно её расстоянию от прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Расстояние от любой точки линии 13 EMBED Equation.3 1415 до точки А(2;-2) по формуле (13 EMBED Equation.3 1415): 13 EMBED Equation.3 1415.
Расстояние от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до прямой 13 EMBED Equation.3 1415по формуле (3.7): 13 EMBED Equation.3 1415.
По условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
После возведения в квадрат и соответствующих преобразований получим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Эта линия – парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси 13 EMBED Equation.3 1415, с вершиной в точке 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; 2): а) под углом 13 EMBED Equation.3 1415 к оси 13 EMBED Equation.3 1415; б) параллельно оси 13 EMBED Equation.3 1415; в) и точку В(-2;-1). Найти угол между прямыми из условий а) и в).
Решение:
а) Угловой коэффициент прямой (1) 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение прямой (1), проходящей через точку А(3; 2) имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Уравнение прямой (2), проходящей через точку А(3; 2) и параллельной оси 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Уравнение прямой (3), проходящей через точки А(3; 2) и В(-2; 1) имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Угловой коэффициент прямой (1) 13 EMBED Equation.3 1415, а прямой (3) - 13 EMBED Equation.3 1415 (так как уравнение (1) можно представить как 13 EMBED Equation.3 1415, а уравнение (3) в виде 13 EMBED Equation.3 1415).
Тогда: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Найти центр и радиус окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Выделим полные квадраты в уравнении окружности:
13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. получим каноническое уравнение окружности:
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда известно, что центр окружности находится в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а радиус 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Разделив на 36, приведём уравнение к каноническому виду 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда следует, что большая полуось эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, а малая полуось 13 EMBED Equation.3 1415. При этом большая полуось эллипса и её фокусы расположены на оси 13 EMBED Equation.3 1415. Расстояние от фокуса до начала координат 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. координаты фокусов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Эксцентриситет эллипса 13 EMBED Equation.3 1415.

6. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (-144): 13 EMBED Equation.3 1415.
Гипербола имеет фокусы на оси 13 EMBED Equation.3 1415, её действительная полуось 13 EMBED Equation.3 1415, а мнимая полуось 13 EMBED Equation.3 1415.
Асимптоты гиперболы по формуле (4.11): 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Вершины данной гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Расстояние от фокуса до начала координат 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. координаты фокусов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Эксцентриситет гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415.

7. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415 и симметрична относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415. Найти фокус и уравнения параболы и её директрисы.
Решение:
Так как парабола проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415 и симметрична относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415, то её уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя координаты точки 13 EMBED Equation.3 1415 в это уравнение, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, найдём параметр 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, уравнение параболы 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение её директрисы 13 EMBED Equation.3 1415, фокус параболы 13 EMBED Equation.3 1415.

Тема 4: Функция. Предел функции.

1. Найти область определения функции
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Значения переменной х, которые удовлетворяют всем неравенствам системы одновременно, есть 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти область значений функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользуемся определением обратной функции, в соответствии с которым область ее определения будет являться областью значений исходной функции. Найдем функцию, обратную к функции 13 EMBED Equation.3 1415, выражая х через у: 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. найденный полуинтервал и является областью значений искомой функции.

3. Выяснить четность (нечетность) функции
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Найдем
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то по определению искомая функция является четной.

4. Найти основной (наименьший) период функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. По определению периодической функции 13 EMBED Equation.3 1415, для любых х и 13 EMBED Equation.3 1415. Для 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415Полученное равенство будет выполняться при любых х, т.е. тождественно, если сомножитель, не содержащий х, будет равен нулю, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 и наименьшее (не равное нулю) 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415. Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе х в наибольшей степени, получим 13 EMBED Equation.3 1415так как 13 EMBED Equation.3 1415 - величины бесконечно малые при 13 EMBED Equation.3 1415.

6. Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415. Чтобы выяснить, какова наибольшая степень среди слагаемых дроби, следует сначала вынести х с наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала:
13 EMBED Equation.3 1415.
Наибольшая степень вторая; вынося за скобку 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
так как 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малые величины при 13 EMBED Equation.3 1415.

7. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Приведем дроби к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители числитель дроби. Получим
13 EMBED Equation.3 1415

8. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение, приводящее к разности квадратов:
13 EMBED Equation.3 1415 Имеем предел 1-го типа. Решая далее найдем
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 по определению модуля; поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
так как при 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малые величины.

9. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Выделим целую часть дроби
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 является бесконечно малой величиной при 13 EMBED Equation.3 1415. Домножим показатель степени на 13 EMBED Equation.3 1415, это действие не нарушает знака равенства:
13 EMBED Equation.3 1415
ибо 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, предел 1-го типа. Вынесем за скобки 13 EMBED Equation.3 1415, так как вторая степень наибольшая:
13 EMBED Equation.3 1415,
так как 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, искомый предел равен 13 EMBED Equation.3 1415.

10. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
Первый сомножитель представляет собой первый замечательный предел и равен 1, второй сомножитель представляет предел, равный 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, искомый предел равен 1.

11. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415. Сделаем преобразования, приводящие ко второму замечательному пределу:
13 EMBED Equation.3 1415.
Выражение в квадратных скобках представляет второй замечательный предел: 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем предел показателя степени:
13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.


12. Исследовать на непрерывность функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415. В случае разрыва установить его характер в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция не определена, следовательно, функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 терпит разрыв: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. конечный предел существует; следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 - точка устранимого разрыва первого рода. (Доопределив функцию в точке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. положив 13 EMBED Equation.3 1415 получим, что новая функция
13 EMBED Equation.3 1415
будет уже непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.)
б) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция не определена, следовательно, функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 терпит разрыв: 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то 13 EMBED Equation.3 1415 - точка разрыва функции второго рода.

Тема 5: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1. Используя определение производной, найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Придавая аргументу х приращение 13 EMBED Equation.3 1415, найдем соответствующее приращение функции:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем отношение: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем предел этого отношения при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом: 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. а) Используя правила дифференцирования (7.4), (7.6) и (7.8) формулы (7.14), (7.17) и (7.23), получим:
13 EMBED Equation.3 1415
б) Используя правила дифференцирования сложной функции (7.12) и формулы (7.14), и (7.23), получим:
13 EMBED Equation.3 1415

3. Найти производную функции: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Имеем показательно-степенную функцию. Используя метод логарифмического дифференцирования (7.13), получим:
13 EMBED Equation.3 1415Отсюда имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Составить уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415, проходящую через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Определим абсциссу точки касания из условия, что точка М принадлежит касательной, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя в это соотношение выражение для значения функции и ее производной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, получим уравнение вида: 13 EMBED Equation.3 1415. Решая его относительно 13 EMBED Equation.3 1415, найдем, что 13 EMBED Equation.3 1415. Определив значение функции и ее производной в этой точке, уравнение касательной запишем в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Используя правило Лопиталя найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как в данном случае имеется неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, можно применить правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

6. Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
Решение:
1. Область определения: 13 EMBED Equation.3 1415. Точки х=-1 и х = 1 точки разрыва функции.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. функция нечетная; ее график симметричен относительно начала координат и достаточно провести исследование функции на интервале 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Прямые х = 1 и (в силу симметрии графика) х = -1 вертикальные асимптоты.
4. 13 EMBED Equation.3 1415. Прямая у = 0 (ось абсцисс) двусторонняя горизонтальная асимптота.
5. 13 EMBED Equation.3 1415 при всех допустимых значениях х. Экстремумов нет, функция возрастает на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 0. Знаки второй производной показаны на рис. 1.

Рис. 1.
Функция выпукла вниз на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415 и выпукла вверх на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415. Хотя 13 EMBED Equation.3 1415 меняет свой знак при переходе через три точки х=-1, х=0, х=1, но график функции имеет только одну точку перегиба х=0, ибо в двух других точках х = -1, х = 1 функция не определена.
7. Точка пересечения графика с осями единственная - начало координат (0; 0). График функции показан на рис. 2.


Рис.2.

7. Найти дифференциал функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 двумя способами: а) выделяя линейную относительно 13 EMBED Equation.3 1415 часть приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415; б) по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а) Приращение функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Выделяя линейную относительно 13 EMBED Equation.3 1415 часть приращения функции, получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Дифференциал функции
13 EMBED Equation.3 1415.

8. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Получим вначале приближённую формулу для вычисления любой 13 EMBED Equation.3 1415 -ой степени.
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415, найдём: 13 EMBED Equation.3 1415 и в соответствии с формулой (8.5): 13 EMBED Equation.3 1415. В данном е для 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;

9. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Тема 6: Дифференциальное исчисление функции многих переменных

Тема 7: Интегральное исчисление.

Найти неопределённые интегралы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а) Вынося постоянный множитель 13 EMBED Equation.3 1415 за знак интеграла, приходим к табличному интегралу:
13 EMBED Equation.3 1415
б) Используя свойства интегралов, приходим к сумме табличных интегралов:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

2. С помощью метода замены вычислить интегралы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
В простых примерах новую переменную часто не выписывают явно. В этих случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала. При этом следует учитывать, что, например,
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторые числа (13 EMBED Equation.3 1415).
б) Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415

3. Используя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Положим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно формуле интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

4. Методом неопределённых коэффициентов вычислить интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Записывая подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами 13 EMBED Equation.3 1415, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
После приведения выражения правой части к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное равенство выполняется тождественно при равенстве числителей:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Сравнивая коэффициенты при равных степенях 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найденные значения 13 EMBED Equation.3 1415 подставим в сумму простейших интегралов:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

5. Используя тригонометрические формулы, вычислить интегралы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а) Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и приняв 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.

б) Используя формулу двойного угла, а затем тригонометрическую формулу понижения степени, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА ПОД РУКОВОДСТВОМ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ (СРСП)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ:
На самостоятельную работу студентов выносятся следующие темы, которые необходимо законспектировать, разобрать и закрепить на примерах:

Тема: «Матрицы и определители»
Свойства определителей. ([1] стр.22, [2] стр.264)
Нахождение обратной матрицы. ([1] стр.26, [2] стр.273)
Приведение матрицы к ступенчатому виду. ([1] стр.31)
Нахождение ранга матрицы. ([1] стр.29)
Рассмотреть примеры.

Тема: «Системы линейных алгебраических уравнений»
Определение совместной, несовместной, определенной, неопределенной, однородной, неоднородной СЛАУ. ([1] стр.38, [2] стр.268)
Решение СЛАУ методом Гаусса. ([1] стр.44)
Нахождение решения СЛАУ с помощью обратной матрицы. ([1] стр.41, [2] стр.274)
Нахождение ненулевых решений систем однородных линейных уравнений при условии их существования. ([1] стр.51, [2] стр.270)
Рассмотреть примеры.

Тема: «Векторная алгебра»
Вектор, длина вектора. ([1] стр.63, [2] стр.223)
Единичный, нулевой вектор. ([1] стр.64, [2] стр.223)
Компланарные, коллинеарные вектора. ([1] стр.63, [2] стр.223)
Линейные операции над векторами. ([1] стр.64, [2] стр.226)
n-мерный вектор и векторное пространство. ([1] стр.68, [2] стр.231)
Размерность и базис векторного пространства. ([1] стр.70)
Рассмотреть примеры.

Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве»
Цилиндрические поверхности. ([2] стр.242)
Поверхности вращения. ([2] стр.252)
Конические поверхности. ( [2] стр.258)
Рассмотреть примеры.


Тема: «Множества»
Понятие множества. Действительные числа. ([1] стр.123, [2] стр.10)
Числовые промежутки. Окрестность точки. ([1] стр.124, [2] стр.14)
Абсолютная величина числа и его свойства. ([1] стр.124, [2] стр.18)
Рассмотреть примеры.

Тема: «Функция»
Определение функции. Числовые функции. Способы задания функции. ([1] стр.438, [2] стр.402)
Основные характеристики функции (монотонные, строго монотонные, ограниченные, периодичные).
Обратная функция.
Сложная функция.
Основные элементарные функции.

Тема: «Производная»
Геометрический и механический смысл производной.
Геометрический смысл дифференциала. Таблица дифференциалов.
Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум функции.
Выпуклость графика функции, точки перегиба.
Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции.
Рассмотреть примеры.

Тема: «Неопределенный и определенный интеграл»
Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
Вычисление площади поверхности вращения.
Рассмотреть примеры.

Тема: «Функции нескольких переменных»
Понятия внутренней точки, граничной точки, границы, открытого и замкнутого множества, области, ограниченно и неограниченной области.
Геометрический смысл частных производных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Рассмотреть примеры

Тема: «Дифференциальные уравнения»
Уравнение Бернулли.
ДУ высших порядков. Задача Коши.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотреть примеры

Тема: «Теория вероятностей»
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей.
Независимые события.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Формула Бернулли.
Дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины.
Закон распределения СВ.
Функция распределения СВ.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение СВ.
Нормальное распределение СВ.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ СРС:

Тема: «Матрицы, определители, системы уравнений»

Вычислить определитель матрицы А (табл. 1).
Найти произведение матрицы А и В: (табл. 2).
А= 13 EMBED Equation.3 1415, В= 13 EMBED Equation.3 1415

Дана матрица А ( табл. 3). Найти матрицу А-1 и установить, что АА-1 = Е.
Дана система вектора (1, (2, (3, (4, (5, (6, в которой (3 = (0, 1, 1, 2), (4 = (1, 1, 1, 3), (5 = (1, 0, -2, -1,), (6 = (1, 0, 1, 2). Дополнить линейно независимую часть (1, (2, (табл.4) до базиса системы векторов (1, (2, (3, (4, (5, (6 и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
Найти общее решение системы линейных уравнений (табл. 5) методом Гаусса.
Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений (табл. 6).

Таблица 1. Варианты задания 1.

Вариант
Матрица А
Вариант
Матрица А

1
13 EMBED Equation.3 1415


16
13 EMBED Equation.3 1415



2
13 EMBED Equation.3 1415


17

13 EMBED Equation.3
1415



3
13 EMBED Equation.3 1415


18
13 EMBED Equation.3 1415



4
13 EMBED Equation.3 1415


19
13 EMBED Equation.3 1415



5
13 EMBED Equation.3 1415


20
13 EMBED Equation.3 1415



6
13 EMBED Equation.3 1415


21
13 EMBED Equation.3 1415



7
13 EMBED Equation.3 1415


22
13 EMBED Equation.3 1415



8
13 EMBED Equation.3 1415


23
13 EMBED Equation.3 1415



9
13 EMBED Equation.3 1415


24
13 EMBED Equation.3 1415



10
13 EMBED Equation.3 1415


25
13 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 1415


26
13 EMBED Equation.3 1415

12
13 EMBED Equation.3 1415


27
13 EMBED Equation.3 1415



13
13 EMBED Equation.3 1415


28
13 EMBED Equation.3 1415



14
13 EMBED Equation.3 1415


29
13 EMBED Equation.3 1415



15
13 EMBED Equation.3 1415


30
13 EMBED Equation.3 1415



Таблица 2. Варианты задания 2

Вариант
k1
k2
k3
Вариант
k1
k2
k3

1
-5
7
-3
16
-2
7
3

2
2
5
-3
17
1
5
3

3
-2
3
1
18
2
3
4

4
4
3
-3
19
3
1
2

5
2
3
-2
20
2
5
3

6
4
-4
-3
21
1
2
7

7
-1
-2
3
22
-3
-4
4

8
2
-4
1
23
3
3
-4

9
3
-5
2
24
5
4
2

10
5
2
-3
25
3
-4
2

11
1
3
-1
26
3
2
5

12
2
2
-1
27
-1
0
4

13
3
-4
5
28
0
-1
2

14
2
-3
1
29
2
1
0

15
3
4
3
30
-3
2
-1


Таблица 3. Варианты задания 3

Вариант
Матрица А
Вариант
Матрица А


1
13 EMBED Equation.3 1415

16
13 EMBED Equation.3 1415


2
13 EMBED Equation.3 1415

17
13 EMBED Equation.3 1415


3
13 EMBED Equation.3 1415

18
13 EMBED Equation.3 1415


4
13 EMBED Equation.3 1415

19
13 EMBED Equation.3 1415


5
13 EMBED Equation.3 1415

20
13 EMBED Equation.3 1415


6
13 EMBED Equation.3 1415

21
13 EMBED Equation.3 1415


7
13 EMBED Equation.3 1415

22
13 EMBED Equation.3 1415


8
13 EMBED Equation.3 1415

23
13 EMBED Equation.3 1415


9
13 EMBED Equation.3 1415

24
13 EMBED Equation.3 1415


10
13 EMBED Equation.3 1415

25
13 EMBED Equation.3 1415


11
13 EMBED Equation.3 1415

26
13 EMBED Equation.3 1415


12
13 EMBED Equation.3 1415

27
13 EMBED Equation.3 1415


13
13 EMBED Equation.3 1415

28
13 EMBED Equation.3 1415


14
13 EMBED Equation.3 1415

29
13 EMBED Equation.3 1415


15
13 EMBED Equation.3 1415

30
13 EMBED Equation.3 1415



Таблица 4. Варианты задачи 4

Вариант
(1
(2
Вариант
(1
(2

1
(2,-4,5,3)
(12,2,-5,9)
16
(2,-3,2,1)
(3,2,0,5)

2
(7,0,9,16)
(3,1,4,8)
17
(3,3,2,8)
(0,4,-3,1)

3
(4,1,3,8)
(7,-1,0,6)
18
(5,4,-2,7)
(1,0,2,3)

4
(5,2,7,14)
(2,11,-10,3)
19
(2,7,-3,6)
(5,8,-5,8)

5
(6,12,-7,11)
(2,3,3,8)
20
(4,5,-3,6)
(1,-4,5,2)

6
(9,11,-1,19)
(5,3,-5,3)
21
(3,5,-5,3)
(4,8,-6,6)

7
(2,4,1,7)
(3,-7,8,,4)
22
(1,3,-3,1)
(2,-1,3,4)

8
(1,6,-7,0)
(5,-3,9,11)
23
(4,5,-2,7)
(1,-5,4,0)

9
(1,3,0,4)
(2,-1,-2,-1)
24
(2,8,-1,9)
(3,10,-6,7)

10
(1,2,-5,-2)
(2,9,-7,4)
25
(-4,2,1,3)
(-1,4,2,5)

11
(1,7,-2,6)
(4,-1,1,4)
26
(1,7,-2,6)
(2,3,-4,1)

12
(5,1,-4,2)
(1,-4,-2,-5)
27
(3,2,-1,1)
(0,1,-3,-1)

13
(2,3,0,5)
(4,1,0,5)
28
(2,1,3,-1)
(1,2,-1,3)

14
(0,-1,2,1)
(3,2,1,6)
29
(-1,1,-2,1)
(3,1,1,1)

15
(3,1,3,7)
(5,0,1,6)
30
(2,-1,3,5)
(-2,1,-1,3)



Таблица 5. Варианты задания 5

Вариант
Система уравнений
Вариант
Система уравнений



1
13 EMBED Equation.3 1415


16
13 EMBED Equation.3 1415



2
13 EMBED Equation.3 1415


17
13 EMBED Equation.3 1415



3
13 EMBED Equation.3 1415


18
13 EMBED Equation.3 1415



4
13 EMBED Equation.3 1415


19
13 EMBED Equation.3 1415



5
13 EMBED Equation.3 1415


20
13 EMBED Equation.3 1415



6
13 EMBED Equation.3 1415


21
13 EMBED Equation.3 1415



7
13 EMBED Equation.3 1415


22
13 EMBED Equation.3 1415



Тема: «Элементы аналитической геометрии»

По заданным 3-м вариантам А, В, С параллелограмма. Найти четвертую вершину D. (табл. 1)
Найти длину высоты AD и написать уравнение биссектрисы АК проведенной из вершины С на сторону АВ, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 есть вершины треугольника АВС (координаты точек в таблице 2).
а) Написать уравнение прямой проходящей через начало координат и через точку М (таблица 3).
б) найти угол между этой прямой и плоскостью.
в) Определить расстояние между плоскостью и прямой.
Написать уравнение прямой, опущенной из точки М на прямую L (таблица 4).
Построить кривые по их заданным уравнениям (таблица 5).

Таблица 1. Варианты задания 1.
Вариант
А
В
С
Вариант
А
В
С

1
(-1;-2;3)
(-4:1; 2)
(5; 2; 7)
16
(-3; 5; -4)
(-5; 6; 2)
(3; -5; -2)

2
(1;2;3)
(3; -4; -2)
(-4; -3; 2)
17
(2;-3;4)
(6; -4; -5)
(-3; 4; -2)

3
(2;-3;-1)
(-3; 5; 3)
(4; 3; -4)
18
(5; -2; -4)
(-5; -8; -1)
(-2; 4; 3)

4
(3; -4; 2)
(-5; 2; -3)
(-1; 7; -2)
19
(-3; -2; -5)
(-4; -5; 3)
(2; 3; 4)

5
(-5; 2; 4)
(-3; -4; 2)
(6; -3; -3)
20
(2; 6; -3)
(-5; -2; -4)
(-3; -5; 1)

6
(-4; -3; 5)
(2; -5; 6)
(-2; 3; -5)
21
(3; -1; -2)
(2; -4; 1)
(7; 5; 2)

7
(4; 2; -3)
(-5; 6; -4)
(-2; -3; 4)
22
(3; 1; 2)
(-2; 3; -4)
(2; -4; -3)

8
(-4; 5; -2)
(-1; -5; -8)
(3; -2; 4)
23
(-1; 2; -3)
(3; -3; 5)
(-4; 4; 3)

9
(-5; -3; -2)
(3; -4; -5)
(4; 2; 3)
24
(2; 3; -4)
(-3; -5; 2)
(-2;-1; 7)

10
(-3; 2; 6)
(-4; -5; -2)
(1;-3;-5)
25
(4; -5; 2)
(2; -3; -4)
(-3; 6; -3)

11
(-2; 3; -1)
(1:2; -4)
(2; 7; 5)
26
(5; -4; -3)
(6; 2; -5)
(-5; -2; 3)

12
(2; 3; 1)
(-4; -2; 3)
(-3; 2; -4)
27
(-3; 4; 2)
(-4; -5; 6)
(4; -2; -3)

13
(-3;-1;2)
(5; 3; -3)
(3; -4; 4)
28
(-2; -4; 5)
(-8;-1; -5)
(4; 3; -2)

14
(-4; 2; 3)
(2; -3; -5)
(7; -2; -1)
29
(-2; -5; -3)
(-5; 3; -4)
(3; 4; 2)

15
(2; 4; -5)
(-4; 2; -3)
(-3; -3; 6)
30
(6; -3; 2)
(-2; -4; -5)
(-5; 1; -3)



Таблица 2. Варианты задания 2

Вариант
А
В
С
Вариант
А
В
С

1
(3;4)
(2;-1)
(1;-7)
16
(3:2)
(2; -5)
(-6; -1)

2
(-4; -5)
(3:3)
(5; -2)
17
(6; -4)
(-3; -7)
(-1; 2)

3
(-3; 5)
(4; -3)
(-2; -4)
18
(-2; -1)
(7;3)
(4; -3)

4
(3; -2)
(-5; -4)
(-1; 6)
19
(3;4)
(6; 7)
(1;1)

5
(2; 5)
(-3; 4)
(-4; -2)
20
(-4; -5)
(-2; 2)
(-7; 4)

6
(-3; 2)
(-2; -5)
(6; -1)
21
(3; -4)
(2;1)
(1;7)

7
(-6; -4)
(3; -7)
(1:2)
22
(-4; 5)
(3; -3)
(5; 2)

8
(2; 1)
(-7;3)
(-4; -3)
23
(-3; -5)
(4;3)
(-2; 4)

9
(-3; -4)
(-6; 7)
(-1:1)
24
(3;2)
(-5; 4)
(-1;-6)

10
(4; -5)
(2; 2)
(7; 4)
25
(2; -5)
(-3; -4)
(-4; 2)

11
(-3:4)
(-2;-1)
(-1;-7)
26
(-3; -2)
(-2; 5)
(6;1)

12
(4; -5)
(-3; 3)
(-5; -2)
27
(-6; 4)
(3;7)
(1;-2)

13
(3;5)
(-4; -3)
(2; -4)
28
(2;1)
(-7; -3)
(-4; 3)

14
(~3;-2)
(5; -4)
(1:6)
29
(-3; 4)
(-6; -7)
(-!;-!)

15
(-2; 5)
(3;4)
(4; -2)
30
(4; 5)
(2; -2)
(7; -4)


Таблица 3. Варианты задания 3

Вариант
М
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
М
13 EMBED Equation.3 1415

1
(2;-1;3)
Зх-у + 2z-4 = 0
16
(-2; 4; -3)
х + 5y+7z-2 = 0

2
(2; -2; 4)
х - Зу + 5z - 10 = 0
17
(5;-3;2)
-х + Зу + 2г + 14 = 0

3
(-4;5;-1)
4х+y-2z + 5 = 0
18
(-3; -5; -4)
-Зх + 2у + z-4 = 0

4
(-3;2; 1)
2х -у + z + 5 = 0
19
(-3; -2; 4)
х-5y + 3z + 1 = 0

5
(2;3;1)
5х + 2y -z-3 = 0
20
(1;3;4)
2х + Зу + z-6 = 0

6
(-3; -2; 4)
7х + y + 5z-2 = 0
21
(3;2;-1)
2х + Зу -z-4 = 0

7
(2;5;-3)
2х-y + Зz + 14 = 0
22
(1;-3;2)
х + 2у -z + 5 = 0

8
(-4; -3; -5)
х-3y + 2z-4 = 0
23
(4; 2; -2)
5х + y – 3z - 10 = 0

9
(4; -3; -2)
Зх + y-5z + 1 = 0
24
(-1;-4;5)
-2x; + 4у + z + 5 = 0

10
(4;1;3)
х + 2у + 3z-6 = 0
25
(1; 2; 3)
-х + 5у + 2z - 3 = 0

11
(-1:3; 2)
-х + 2у + 3z - 4 = 0
26
(4; -3; -2)
5x + 7y +z-2 = 0

12
(2;1;-3)
-х + у + 2z + 5 = 0
27
(-3:2; 5)
Зх + 2y - z + 14 = 0

13
(-2; 4; 2)
-Зх + 5у + г - 10 = 0
28
(-5; -4; -3)
2х + у-3z-4 = 0

14
(5;-1;-4)
х-2у + 4z + 5 = 0
29
(-2; 4; -3)
-5х + 3у + z+ 1 = 0

15
(3;1;2)
2х - у + 5z - 3 = 0
30
(3;4;1)
Зх + y + 2z - 6 = 0



Таблица 4. Варианты задания 4

Вариант
М
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
М
13 EMBED Equation.3 1415

1
(3;2;1)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
16
(-4;5;-2)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415

2
(2; -1;3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
17
(5;-2;3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

3
(1;-3;-2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
18
(-1;-3;-2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

4
(-4;2;-3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
19
(2;-5;-4)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

5
(-4;5;2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
20
(4;3;-5)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

6
(-2;-4;5)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
21
(1;3;2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

7
(3;5;-2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
22
(3;2;-1)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

8
(-2;-1;-3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
23
(-2;1;-3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

9
(-4;2;-5)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
24
(-3;-4;2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

10
(-5;4;3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
25
(2;-4;5)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

11
(2;1;3)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
26
(5;-2;-4)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

12
(-1;3;2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
27
(-2;3;5)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

13
(-3;-2;1)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
28
(-3;-2;-1)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

14
(2;-3;-4)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
29
(-5;-4;2)
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

15
(5;2;-4)
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415(3;-5;4)
13 EMBED Equation.3 1415


Таблица 5. Варианты задания 5

Вариант

Вариант


1
(x-2)2 + (y-3)2 = 9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = 9x
13
(x-3)2 + (y-2)2 = 9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = -4x

2
(x+3)2 + (y-5)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = 7x
14
(x-5)2 + (y+3)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = -2x

3
(x+1)2 + (y-2)2 = 16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = 5x
15
(x+1)2 + (y+1)2 = 16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y2 = -6x

4
(x-3)3 + (y+4)2 = 25
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = 16х
16
(х + 4)2 + (у - 3)2 = 25
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = -х

5
(х + 3)2 + (у +3)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у213 EMBED Equation.3 1415= 3х
17
(х - 3)2 + (у - 3)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = -8х

6
(х-1)2 + (у+1)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 9у
18
(х + 1)2 + (у - 1)2= 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 9у

7
(х + 2)2 + (у - 1)2 = 36
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = 2х
19
(х - 1)2 + (у + 2)2 = 36
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 7у

8
(х - 4)2 + (у + 2)2 = 49
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = 6х
20
(х + 2)2 + (у - 4)2 = 49
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 5у

9
(х + 4)2 + (у - 4)2 = 9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = х
21
(х - 4)2 + (у + 4)2 = 9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 16у

10
(х - 5)2 + (у + 1)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = 8х
22
(х + 1)2 + (у - 5)2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 3у

11
(х + 5)2 + (у - 6)2 = 16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = -9х
23
(х - 6)2 + (у + 5)2 = 16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 4у

12
(х - 1)2 + (у + 5)2 = 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
у2 = -7х
24
(х + 5)2 + (у - 1)2 = 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 = 2у


Тема: «Предел функций».

Вычислить предел (табл.1).
Исследовать функцию (табл.2) и построить ее график.
Найти частные производные второго порядка функции многих переменных (табл.3).
Найти экстремумы функции двух переменных (табл.4).

Таблица 1. Варианты задания 1.

Вари-ант
Предел
Вари-ант
Предел

1
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415(1-13 EMBED Equation.3 1415)n
24
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

12
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415)
28
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

14
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

15
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


Таблица 2. Варианты задания 2.

Вариант
функция
Вариант
функция

1
y=13 EMBED Equation.3 1415
16
Y= 2 ln 13 EMBED Equation.3 1415

2
y=x213 EMBED Equation.3 1415
17
y=13 EMBED Equation.3 1415

3
y=x+313 EMBED Equation.3 1415
18
y=- (x+1)ex+2


4
y=13 EMBED Equation.3 1415
19
y=13 EMBED Equation.3 1415

5
y=13 EMBED Equation.3 1415
20
y=2xln(13 EMBED Equation.3 1415

6
y=13 EMBED Equation.3 1415
21
y=13 EMBED Equation.3 1415

7
y=13 EMBED Equation.3 1415
22
y=13 EMBED Equation.3 1415

8
y=3-3 ln 13 EMBED Equation.3 1415
23
y=(x+1) 13 EMBED Equation.3 1415

9
y=13 EMBED Equation.3 1415
24
y=13 EMBED Equation.3 1415

10
y=13 EMBED Equation.3 1415
25
y=13 EMBED Equation.3 1415

11
y=13 EMBED Equation.3 1415
26
y=13 EMBED Equation.3 1415

12
y=13 EMBED Equation.3 1415
27
y=13 EMBED Equation.3 1415

13
y=13 EMBED Equation.3 1415
28
y=13 EMBED Equation.3 1415

14
y=13 EMBED Equation.3 1415
29
y=13 EMBED Equation.3 1415

15
y=13 EMBED Equation.3 1415
30
y=13 EMBED Equation.3 1415


Таблица 3. Варианты задания 3.

Вариант

Вариант



1
u=13 EMBED Equation.3 1415

16

u=13 EMBED Equation.3 1415


2

u=13 EMBED Equation.3 1415

17
u=13 EMBED Equation.3 1415

3
u=x2sin 13 EMBED Equation.3 1415
18
u=y2xez

4
u=ln (x2+y-2z)
19
u=z sin x cos y


5
u=13 EMBED Equation.3 1415

20
U=13 EMBED Equation.3 1415


6

u=xyez

21
u=13 EMBED Equation.3 1415

7
u=xz tg13 EMBED Equation.3 1415
22
u=z13 EMBED Equation.3 1415


8

u=xyz

23
u=13 EMBED Equation.3 1415


9
u=13 EMBED Equation.3 1415

24

u=xyz


10
u=yz13 EMBED Equation.3 1415

25
u=13 EMBED Equation.3 1415

11
u=xy cos 13 EMBED Equation.3 1415
26
u=zyex

12
u=x ln (y+z)
27
u=xy ctg 13 EMBED Equation.3 1415


13
u=13 EMBED Equation.3 1415

28

u= xy ln (y-z)


14

u=x2zey

29
u=13 EMBED Equation.3 1415

15
u=x arctg yz
30
u=yex+z






Таблица 4. Варианты задания 4.

Вариант

Вариант


1
z=2x3+6xy2-30x-24y
16
z=13 EMBED Equation.3 1415(x2+y2)

2
z=x3-y3
17
z=13 EMBED Equation.3 1415(x-y2)

3
z=6x2y+2y3-24x-30y
18
z=13 EMBED Equation.3 1415(x2-y)

4
z=x3- 8y3- 6xy+1
19
z=13 EMBED Equation.3 1415(x2+y)

5
z=x3- xy2+3x2+y2-1
20
z=-13 EMBED Equation.3 1415


6
z=x2y-13 EMBED Equation.3 1415y3+2x2+3y2-1
21
z=2y13 EMBED Equation.3 1415- y2- 3x+8y

7
z=x3+6xy+3y2- 18x-18y
22
z=x2- 4x13 EMBED Equation.3 1415- 2x+5y

8
z=x2y- y3- x2- 3y2+3
23
z=13 EMBED Equation.3 1415(5x2-y2)

9
z=3x2- 6xy - y3- 12x+12y
24
z=2x2+3xy+2y3+5x

10
z=2x3- xy2+5x2+y2
25
z=x3- 5xy+5y2+7x- 15y

11
z=x2y - 2y3- x2- 5y2
26
z=2x2- 5xy+2y3- 3x+4y

12
z= 2x3+y2+6xy+12x
27
z=3x2+10xy+6y3+2x+2y-1

13
z=8x3- y3- 12xy - 1
28
z=3x3+7xy-13 EMBED Equation.3 1415 - 60x+2

14
z=2x3- 12x2y+16y3- 9x2
29
z=3x2- 2y13 EMBED Equation.3 1415+0.5y2- 56x

15
z=-8x3+6xy2+y3+9y2
30
z=-2x3+3x13 EMBED Equation.3 1415+18x – 1,5y



Тема: Интегралы.

Задание 1. Определить действительную и мнимую часть комплексного числа z.

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Задание 4. Вычислить неопределенной интеграл и результата проверить дифференцированием.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Задание 3. Вычислить неопределенный интеграл.

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Задание 4. Найти неопределенный интеграл.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Задание 5. Найти неопределенный интеграл.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415


Задание 6. Найти неопределенный интеграл.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415


Задание 7. Найти определенный интеграл.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415


Задание 8. Найти определенный интеграл.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Тема: Применение определенных интегралов.

Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
1.1.у=3x, xІ=3y.
1.2.y=3xІ+1, y=3x+7
1.3.y= 13 EMBED Equation.3 1415xІ,y= 13 EMBED Equation.3 1415
1.4.y=lnx, y=0, x=e
1.5.y=13 EMBED Equation.3 1415xІ, y=13 EMBED Equation.3 1415 , x=4
1.6. 13 EMBED Equation.3 1415
1.7. 13 EMBED Equation.3 1415
1.8. 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. 13 EMBED Equation.3 1415
1.10. 13 EMBED Equation.3 1415
1.11. p=4sin 2
·.
1.12. p=2cos 3
·.
1.13. y=3-2x-xІ, xІ=-2y-1.
1.14. y=13 EMBED Equation.3 1415 xІ-2x-4, y=13 EMBED Equation.3 1415.
1.15. y=13 EMBED Equation.3 1415 xІ-2x+2, x+2y-8=0.
1.16. y=13 EMBED Equation.3 1415 xІ-1, y=8-13 EMBED Equation.3 1415xІ.
1.17. x=yІ, x=13 EMBED Equation.3 1415 yІ+1.
1.18. 13 EMBED Equation.3 1415
1.19. 13 EMBED Equation.3 1415
1.20. 13 EMBED Equation.3 1415
1.21. 13 EMBED Equation.3 1415
1.22. 13 EMBED Equation.3 1415
1.23. p=cos 2
·
1.24. p=4 sin
·.
1.25. p=3 cos
·.
1.26. p=cos
·4
1.27. p=sin 3
·.
1.28. pІ=cos 2
·
1.29. p=2 sin 4
·
1.30. p=4 sinІ
·
Задание 2. Определить длину дуги, заданной кривими на данном отрезке.

2 .1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415.
2.2. p=8 cos
· , 0
·
·
·
· .
2.3. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415.
2.4. p=3e і , 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415 .
2.5. p=5(1cos
·), 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415 .
2.6. p=2 cos
· , 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415.
2.7. 13 EMBED Equation.3 1415, 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415 .
2.8. p=6sin
·, 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.9. p=2sin
·, 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.10. p=3(1-sin
·), 0
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.11. y=13 EMBED Equation.3 1415 , 0
· x
· 5
2.12. y=ln(xІ-1), 2
· x
· 3.
2.13. y=ln x, 13 EMBED Equation.3 1415
· x
·13 EMBED Equation.3 1415
2.14. y=ln 7-ln x, 13 EMBED Equation.3 1415
· x
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.15. y=13 EMBED Equation.3 1415 , 2
· x
· 6
2.16. y=-ln cosx, 0
· x
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.17. y=13 EMBED Equation.3 1415–13 EMBED Equation.3 1415 lnx, 1
· x
· e
2.18. y=1-ln sinx, 13 EMBED Equation.3 1415
· x
·13 EMBED Equation.3 1415
2.19. y=ln cosx, 0
· x
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.20. y= ln13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
· x
· 13 EMBED Equation.3 1415
2.21. 13 EMBED Equation.3 1415
2.22. 13 EMBED Equation.3 1415
2.23. 13 EMBED Equation.3 1415
2.24. 13 EMBED Equation.3 1415
2.25. 13 EMBED Equation.3 1415
2.26. 13 EMBED Equation.3 1415
2.27. 13 EMBED Equation.3 1415
2.28. 13 EMBED Equation.3 1415
2.29 13 EMBED Equation.3 1415
2.30. 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 3. Определить объем тела, полученной поворотом фигуры образованной пересечением кривых заданных уравнениями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 через ось Ox (варианты 1-15), Oy (варианты 16-30).

3.1. y=xІ, y=13 EMBED Equation.3 1415
3.2. y=xІ, y=2x
3.3. y=-2x-xІ, y=0
3.4. y=xІ-2x+1, x=2, y=0
3.5. y= -xІ+5x-6, y=0
3.6. y=cosx, y=0, x=13 EMBED Equation.3 1415, x=13 EMBED Equation.3 1415
3.7. y=3sinx, y=sinx
3.8. 2x-xІ-y=0, 2xІ-4x+y=0
3.9. y=xІ, y=1, x=2
3.10. y=2x-xІ, y= -x+2, x=0
3.11. y=2x-xІ, y= -x+2
3.12. y=xі, y=13 EMBED Equation.3 1415
3.13. y=lnx, x=2, y=0.
3.14. y=xІ, x=2, y=0.
3.15. y=(x-1)І, x=0, x=2, y=0.
3.16. y=xі, y=xІ.
3.17. y=xІ, x+y-2=0, x=0.
3.18. y=13 EMBED Equation.3 1415 , y=0, x=1.
3.19. y=xі, x=1, y=0.
3.20. x=5-yІ, x= -4y.
3.21. yІ=x-1, x=5-yІ.
3.22..3x-2y+6=0, x=0, y=0.
3.23. x=yІ-4y, x=0, y
·3.
3.24..xy=4, y=1, x=0, y=1, y=6
3.25. y=13 EMBED Equation.3 1415, y= 13 EMBED Equation.3 1415, x=16
3.26. y=xі, y=3xІ
3.27. y=xі, y=x
3.28. y=13 EMBED Equation.3 1415 , y=13 EMBED Equation.3 1415, x=16
3.29. y=2x-xІ+3, y=xІ-4x+3.
3.30. x=8-yІ, x=-2y.


МАТЕРИАЛЫ ПО КОНТРОЛЮ И ОЦЕНКЕ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ СТУДЕНТОВ.

Вопросы контроля теоретических знаний:

Элементы и диагонали матриц. Операции над матрицами. Единичная и обратная матрица. Транспонированная матрица.
Определители матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости системы. Методы Гаусса, Крамера, обратной матрицы.
Координаты точки на прямой и на плоскости. Векторы и операции под ними. Скалярное произведение векторов.
Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
окружность, эллипс, гипербола и их канонические уравнения. Эксцентриситет. Директриса, радиус-векторы асимптоты кривых 2-го порядка. Классификация кривых 2-го порядка.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящие через заданную точку.
Канонические, параметрические, общие уравнения прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Функции и способы их задания. Области определения, свойства функций.
Понятие о пределе. Предел последовательности и функции. Основные теоремы о пределах. 1-й и 2-й замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Классификация точек разрыва.
Производная и дифференциал функции. Производная основных элементарных функции. Геометрический и физический, экономический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.
Дифференцируемость функции. Основные правила дифференцирования. Производная сложной, обратной, неявной функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Исследование функции. Экстремум функции. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба и асимптоты. Общая схема исследования функции.
Первообразная и неопределенный интеграл, его основные свойства.
Таблица основных интегралов и основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций. Разложение рациональных функций на элементарные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функции. Приведение интегралов к интегралам от рациональных функции с помощью подстановок.
Определенный интеграл и его свойства.
Геометрические приложения определенного интеграла. Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
Оценки определенного интеграла. Теоремы о среднем.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, длин плоских дуг, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения).
Функция многих переменных. Основные определения. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Исследование функции многих переменных. Экстремум функции двух переменных. Производная по направлению, градиент функции.
Дифференциальные уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Случайное событие. Операции над случайными событиями. Поле событий. Определения вероятности (классическое, геометрическое и статистическое). Аксиоматическое построение теории вероятностей. Свойства вероятности.
Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Формула Бернулли. Полиномиальная схема. Наивероятнейшее число появления события. Локальная и интегральная предельная теоремы. Лапласа.
Случайная величина. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ


Определить параметры k и b прямой, проходящей через точку А(2;3) и составляющей с Ох угол 450.

а) k=1; b=1; с) k=0; b=2 e) k=-2; b=2
в) k=-1;b=-1; d) k=-2; b=0;

Найти малую полуось b и эксцентриситет
· эллипса, имеющего большую полуось а=5 и параметр с=4,8.

а) b=1;
·=0,8; с) b=4;
·=0,6; e) b=5;
·=0.
в) b=1,4;
·=0,96; d) b=4,8
·=0,28;

Найти плоскость, проходящую через точку (2;2;-2) и параллельную плоскости х-2у-3z=0.

а) х-2у+3z=14; с) х-2у-3z=4 e) 2х+у+z=1.
в) х+у=4; d) 2х+3у+4z=3;

Вычислить определитель
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

а)29; в) 22; с) –31; d) 31; e) -29.

5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с)-5; d)0; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

а)1; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d)2; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определить промежутки возрастания функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти частные производные функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Найти экстремум функции двух переменных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d)13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; с) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; d) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
e) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Варианты правильных ответов:


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

ответ
a
b
c
a
b
e
с
a
a
d
b
a
a
c
С



Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
20
10
30
2
6
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1


Найти площадь фигуры ограниченной линиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
10
31/3
32/3
11
1

Найти длину дуги кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415отсеченной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
112/27
56/27
2
1/27
1
Найти область сходимости степенного ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
[-1, 1)
[-1, 1]
(-1, 1)
(-1, 1]
{0}

Найти решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Найти решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Найти решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Найти решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
0
1
1/3
24/91
12/91

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет менее 2 раз.
0
3/16
5/16
2/3
1

Найти математическое ожидание случайной величины
x
46
49
51
55

p
0,2
0,3
0,1
0,4

51
52
53
54
55

Найти дисперсию случайной величины
x
46
49
51
55

p
0,2
0,3
0,1
0,4

12,6
13,6
14,6
15,6
16,6

Найти выборочную среднюю
x
1
2
3
5

n
2
3
1
4

2,9
3
3,1
3,2
3,3

Найти исправленную выборочную дисперсию
x
1
2
3
5

n
2
3
1
4

2,79
2,89
2,99
3,09
3,19

Варианты правильных ответов:


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

ответ
a
b
c
a
b
e
с
a
a
d
b
a
a
c
с


ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

Элементы и диагонали матриц. Операции над матрицами. Единичная и обратная матрица. Транспонированная матрица.
Определители матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости системы. Методы Гаусса, Крамера, обратной матрицы.
Координаты точки на прямой и на плоскости. Векторы и операции под ними. Скалярное произведение векторов.
Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
окружность, эллипс, гипербола и их канонические уравнения. Эксцентриситет. Директриса, радиус-векторы асимптоты кривых 2-го порядка. Классификация кривых 2-го порядка.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящие через заданную точку.
Канонические, параметрические, общие уравнения прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Функции и способы их задания. Области определения, свойства функций.
Понятие о пределе. Предел последовательности и функции. Основные теоремы о пределах. 1-й и 2-й замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Классификация точек разрыва.
Производная и дифференциал функции. Производная основных элементарных функции. Геометрический и физический, экономический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.
Дифференцируемость функции. Основные правила дифференцирования. Производная сложной, обратной, неявной функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Исследование функции. Экстремум функции. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба и асимптоты. Общая схема исследования функции.
Функция многих переменных. Основные определения. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Частные производные и дифференциал функции многих переменных.
Исследование функции многих переменных. Экстремум функции двух переменных.
Первообразная и неопределенный интеграл, его основные свойства.
Таблица основных интегралов и основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций. Разложение рациональных функции на элементарные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функции. Приведение интегралов к интегралам от рациональных функции с помощью подстановок.
Определенный интеграл и его свойства.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
Оценки определенного интеграла. Теоремы о среднем.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, длин плоских дуг, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения).
Дифференциальные уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли.
Случайное событие. Операции над случайными событиями. Поле событий. Определения вероятности (классическое, геометрическое и статистическое). Аксиоматическое построение теории вероятностей. Свойства вероятности.
Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Формула Бернулли. Полиномиальная схема. Наивероятнейшее число появления события. Локальная и интегральная предельная теоремы. Лапласа.
Случайная величина. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.









13 AUTHOR 14testent.ru15 Page 13 PAGE 14115 13 DATE \@ "M/d/yyyy" 146/7/201215

13PAGE 15





A

B

C

D

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native°Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native#Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 24118239
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий