analiticheskaya geometria


Общее уравнение прямой на плоскостиПрямой на плоскости называют геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению относительно текущих координат х у.
Ах+Ву+С=0
Частные случаи:
С=0 проходит через начало координат
А=0 параллельно абсциссе(х)
В=0 параллельно ординате(у)
А=С=0 абсцисса(х)
В=С=0 ордината(у)
17.Уравнения прямой с угловым коэффициентом, в отрезках на осях
у=kx+b
k-угловой коэффициент, числено равный тангенсу угла который прямая составляет с положительным направлением абсциссы.
b-это отрезок который прямая отсекает от начала координат.
x/a+y/b=1уравнение прямой в отрезках
x/(-C/A)+y/(-C/B)=1
a b отрезки которые прямая отсекает на абсциссе и ординате.
18. Уравнение прямой на плоскости( проходящей через данную точку, через 2 точки)
Пучек- это совокупность всех прямых кототрые можно провести через точку на плоскости.
y-y0=k(x-x0) уравнение прямой, проходящей через точку
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) уравнение прямой проходящей через 2 точки
3114675360045000
19.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
φ=α2-α1
tgφ=tg α2-tg α1=(tg α2 - tg α1)/(1+tg α2 * tg α1)
tg α2 = k2
tg α1 = k1
tg φ = (k2-k1)/(1+k1×k2)
Усл.|| и ┴
ℓ1: y=k1x+b1
ℓ2: y=k2x+b2
1)ℓ1//ℓ2 φ=0 tg φ=0 (k2-k1)/(1+k1*k2)=0 k1=k2
2)ℓ1┴ℓ2 φ=90 ctg φ=0 (1+k1*k2)/(k2-k1)=0 1+k1*k2=0 k1= - 1/k2
Расстояние от точки до прямой на плоскости
ℓ:Аx+By+C=0 M(x0,y0)
1209675528637500Расстояние от точки до прямой определяется длина перпендикуляра опущенным из точки на прямую
d=lA*x0+B*y0+cl/√(A^2+B^2)
Если число стоящее под знаком модуля больше 0 то точка лежит выше прямой, если меньше, то ниже, если равна 0, то на прямой.
Уравнение плоскости в пространстве(проходящей через данную точку,через две точки)
Плоскостью называется множество точек пространства координаты, которых удовлетворяют линейному уравнению относительно текущих координат х у z вида:
Ax+By+Cz+D=0
Частные случаи:
D=0 ,О ͼ α
A=0 ,α//OX
B=0 ,α//OY
C=0 ,α//OZ
A=B=0 , α//XOY
A=C=0 ,αXOZ
B=C=0 ,α//YOZ
A=D=0 ,пл-ть проходит ч/з координатную ось Ох Охͼα
B=D=0 ,αͼОУ
C=D=0 ,αͼОZ A=B=D=0 ,XOY
A=C=D=0 ,XOZ
B=C=D=0 ,YOZ
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Уравнение плоскости проходящей через точку и нормальный вектор
x/(-D/A)+y/(-D/B)+z/(-D/C)=1 уравнение плоскости в отрезках
l x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 - уравнение плоскости проходящей через 3 точки
x3-x1 y3-y1 z3-z1l
Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
cos(α1^α2)=N1*N2/lN1l*lN2l
Условие параллельности:
α1//α2=> N1//N2=> A1/A2=B1/B2=C1/C2=m
если D1=D2=m,тогда плоскости совпадают
Условие перпендикулярности:
α1 ┴ α2 =>N1 ┴ N2 =>N1*N2=0
А1*А2+В1*В2+С1*С2=0

Расстояние от точки до плоскости.
Пусть дана пл-ть α1:
Ах+Ву+Сz+D=0 и М0(x0,y0,z0)
За расстояние от точки до плоскости примем длину перпендикуляра опущенного из точки к плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную т-ку М1(x1,y1,z1),т.к. она лежит на пл-ти, то ее коор-ты удовлетворяют. Аx+By+Cz+D=0. Образуем М1М0{x0-x,y0-y,z0-z}его проекция на норм вектор N взятая по абсолютному значению, это и есть искомая величина d
d=|N*M1M0 / |N||
d=lAx0+By0+Cz0+Dl/√(A2+B2+C2)
Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямой в пространстве называется линия пересечения 2х плоскостей поэтому задается системой уравнений пересекающихся плоскостей.
{А1х+В1у+С1z+D1=0А2х+В2у+С2z+D2=0
25.Векторные и параметрические уравнения прямой в пространстве.
Прямая в пространстве определяется точкой лежащей на прямой и вектором параллельным этой прямой или лежащий на ней. Вектор S называется направляющим вектором прямой.
Возьмем произвольную точку М(x,y,z)
М0М=ОМ-ОМ0 => ОМ=ОМ0+М0М
S//L
можно найти t при котором M0M=t*S
OM=r OM0=r0
r=r0+ts векторное уравнение
Координаты радиус вектора точки совпадает с координатами точки
{x=x0+t*m
y=y0+t*n - параметрические уравнения прямойz=z0+t*p
Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.
1)t=(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p - канонические ур-я прямой
Зам 1: Если хотя бы одна из координат направляющего вектора равна 0, это значит что прямая перпендикулярна соответствующей оси.
Зам 2: Для того чтобы от общих ур-ний прямой перейти к каноническим или параметрическим,необходимо определить т-ки прямой (одна координата задается, остальные находятся из системы)и направляющий вектор
2)Если даны 2 точки, образуем вектор, который лежит на прямой и является направляющим. Каноническое уравнение: (x-x1)/(x2-х1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
За угол м/у прямыми в пространстве принимается один из 2-х смежных углов м/у прямыми проходящими ч/з 1 т-ку ||-ых данных прямых
Угол можно найти как угол между направляющими векторами этих прямых.
cos (ℓ1^ℓ2)=cos(S1^S2)=S1*S2/lS1l*lS2l
Условия параллельности:
ℓ1//ℓ2 S1//S2 m1/m2=n1/n2=p1/p2
Условия перпендикулярности
ℓ1 ┴ ℓ2 S1 ┴ S2 S1*S2=0
Угол между прямой и плоскостью.
За угол между прямой и плоскостью в пространстве принимается угол между прямой и ее проекцией на плоскость
cos φ= lN*Sl / lNl*lSlУсловие параллельности:
α // ℓ => S ┴ N => S*N=0
Условие перпендикулярности:
α ┴ ℓ => S//N => m/A=n/B=p/CТочка пересечения прямой и плоскости.
Пусть дана пл-ть α: Аx+By+Cz+D=0 и прямая {x=x0+t*m
y= y0+t*n
z=z0+t*p
А(x0+t*m)+B(y0+t*n)+C(z0+t*p)+D=0 и находим значения параметра t:
t=(D-Ax0-By0-Cz0)/(Am+Bn+Cp)
и t подставляем в параметрическое уравнение прямой.
Кривые второго порядка. Окружность.
1)Кривой второго порядка называется множество точек пл-тей координаты которых удовлетворяют уравнению 2го порядка относительно текущих координат х у. Вида:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 При чем ABC одновременно не могут равняться 0.
2)Окружностью называется геометрическое место точек равноудалённых от фиксированной точки пл-ти называемой центром окр-ти. Радиус - расстояние от точек окружности до его центра.
(x-a)2+(y+b)2=R2
Эллипс.
Эллипсом называют геометрическое место точек пл-ти сумма расстояний от каждой из которых до 2х фиксированных точек называемых фокусами, является величиной постоянной и больше чем расстояния между фокусами.
x2/a2+ y2/b2=1 -каноническое ур-е эллипса b2=a2-c2
A1(-a;0) A2(a;0) B1(0;b) B2(0;-b)
57340502980690002a- большая осью a- большая полуось
2b- малая ось b- малая полуось
Формулу эллипса характеризует эксцентриситет.
E=c/a<1 чем ближе он к 1 тем вытянутее эллипс по оси ОХ
Расстояние от точек до фокусов - фокальный радиус
r1=a+E*x r2=a-E*x
Гипербола
5628640469582500Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости абсолютная величина разностей расстояний от каждой из которых до 2х фиксированных точек называемых фокусами есть величина постоянная и меньше расстояния между фокусами.
x2/a2-y2/b2=1 b2=c2-a2
2a- действительная ось a- действительная полуось
2b- мнимая ось b -мнимая полуось
r1=la+E*xl r2=la-E*xl
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек пл-ти равноудалённых от фиксированной т-ки пл-ти называемый фокусом и фиксированной прямой на пл-ти называемой директрисой .5734050670560000Возможны след. случаи
2px=y2 p параметр >0
y2=-2px ветви направлены влево
x2=2py вверх
x2=-2py вниз
Преобразование координат. Параллельный перенос осей.
В системе координат возьмем xOy точку О’(a,b), проведем через нее оси O’X’ O’Y’ // OX OY. Совокупность этих точек дает новую систему координат.
Возьмем точку М (х;у) в ХОУ а в ‘X’O’Y’ (x’;y’).
x’=x-a – новые координаты через старые
y’=y-b
35. Полярная система координат. Ее связь с прямоугольной системой.
Полярной системой координат называется совокупность точки О называемой полюсом и оси P называемой полярной осью.
Каждой точке соответствуют 2 числа r и φ, где r - это полярный радиус, расстояние от точки до полюса, а φ - угол который луч ОМ образует с положительным направлением полярной оси. Если φ положительный, то откладывается против часовой стрелки, если отрицательный - по часовой стрелке. М(φ;r)
Совмещаем полюс с началом координат и полярную ось с абсциссой.
M(x;y) (φ;r)
r2=x2+y2 φ=arctg y/x =arcsin y/√r=arccos x/√r
y=r*sinφ x=r*cosφ

Приложенные файлы

  • docx 24002808
    Размер файла: 97 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий