Ответы по линалу на 9-11 вопросы

Квадратичные формы и их применение
Определение. Квадратичной формой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],принимающих числовые значения , называется числовая функция вида
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ,
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.
Определение. Матрицей квадратичной формы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], называется симметрическая матрица порядка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ой строке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ом столбце, равен половине коэфициента при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в квадратичной форме.
Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]матрица квадратичной формы и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].,
где не все коэффициенты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равны нулю.
Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.
Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Определение. Квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется положительно
(отрицательно) определённой, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при всех
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и положительно (отрицательно) полуопределённой,если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-угловые миноры матрицы квадратичной формы.
Следствие. Для того чтобы квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Примеры
1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и дополним их до полного квадрата: 
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сделаем в этом выражении замену [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и подставим его в квадратичную форму. Получим:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Далее выделим в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] члены, содержащие [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и проделаем с ними анало-гичную процедуру: 
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
Если положить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда
канонический вид квадратичной формы есть 
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Соответствующее преобразование от переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к переменным [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет вид:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Решение. В исходном базисе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Эта матрица будет определять квадратичную форму  канонического вида в ортонормированном базисе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], составленном из собственных векторов матрицы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем их.
Характеристическое уравнение для матрицы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет вид
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Откуда следует
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Для случая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.
 Как видно из данной системы, величина [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принимает произвольные значения, а величины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] связаны соотношением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В качестве собственных можно выбрать, например, векторы
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Эти векторы ортогональны: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к тому же и нормирован. Откуда следует - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Нормируем теперь вектор[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]: 
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
 Для случая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] уравнение, определяющее собственный вектор есть
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Отнормируем этот вектор: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования: 
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. 
Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
При этом переменные [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] связаны с переменными [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] соотношением
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
 Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Это три первых слагаемых уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Матрица квадратичной формы равна [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Его корни таковы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], соответствующего 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], имеем 
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
В итоге собственный вектор, соответствующий [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], можно выбрать в виде
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Анологичная процедура для собственного вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]даёт: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
Откуда:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

После нормировки полученных векторов имеем:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к каноническому виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], есть
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 Связь старых [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и новых [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] координат определяется соотношением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],которая получается из исходной её поворотом на угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и переносом начала координат в точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Положительно-определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] выполнено неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Квадратичные формы
Также можно сформулировать положительную определённость через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] вещественных ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) или комплексных ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) чисел, а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] над [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Эрмитова форма
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
является [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], притом числом, сопряженным [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Такая функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется положительно определённой, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] для любого ненулевого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]




Критерий Сильвестра
Критерий Сильвестра определяет, является ли [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] квадратная [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] имеет в каком-то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] матрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки  чередуются, причём . Здесьглавными минорами матрицы  называются определители вида



Для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой  так как, например,  для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.








Доказательство
Критерий положительной определённости квадратичной формы
Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.
2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]]Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка  отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица  является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица  является положительно определённой. При замене матрицы  на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

Комплексные числа. Геометрическое изображение. Равенство комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа.
Ко
·мпле
·ксные[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] чи
·сла ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]), расширение множества [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], обычно обозначается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] вещественные числа, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Комплексные числа образуют [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  это означает, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] степени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с комплексными коэффициентами имеет ровно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] комплексных корней ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] и многих других.
Определения
Поле комплексных чисел можно понимать как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] вещественных чисел, в котором многочлен  имеет корень. Следующие две элементарные [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] многочлена .
Стандартная модель
Комплексное число  можно определить как упорядоченную пару [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:


Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой  единица   а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]   На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть 
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Исключением являются только свойства, связанные с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице

Замечания
Ошибочно определение числа  как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число  также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде  считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:


Действия над комплексными числами
Сравнение
 означает, что  и  (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Геометрич. изображение
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг. 2, где точка А изображает число 4, а точка В – число – 5. Эти же числа можно изображать также отрезками ОА, ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка М «числовой прямой» изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОM соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел. Но комплексные числа можно изобразить на «числовой плоскости». Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг. 3). Комплексное число a +bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х (на фиг. 3 х = ОР = QM) равна абсциссе а комплексного числа ордината у (ОQ = РМ) равна ординате b комплексного числа. Примеры. На фиг. 4 точка A с абсциссой х = 3 и ординатой у = 5 изображает комплексное число 3 + 5i . Точка В изображает комплексное число – 2 + 6i; точка C комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i. Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси X, а чисто мнимый (вида 0 + bi) – точками оси Y. Примеры. Точка К на фиг. 4 изображает действительное число 6 (или, что то же, комплексное число 6 + 0i), точка L чисто мнимое число 3i (т. е. 0 + 3i); точка N - чисто мнимое число – 4i (т. е. 0 – 4i). Начало координат изображает число 0 (т. е. 0 + 0i ). Сопряженные комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С' на фиг. 4 изображают сопряженные числа – 6 – 2i и – 6 + 2i. Комплексные числа можно изображать также Отрезками («векторами»), начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число – 2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОB; комплексное число - 6 – 2i изображается вектором ОС и т. д. Замечание. Давая какому-либо отрезку наименование «вектор», мы подчеркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка. Два вектора считаются одинаковыми (равными) только в том случае, когда они имеют одинаковую длину и одно и то же направление.











Сопряжённые числа
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если комплексное число , то число  называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к  (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]; перечислим её свойства.
 (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).




Обобщение: , где   произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.


Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] .




x\neq 0A(x,x)\geq 0x\in LB : V \times V \rightarrow KB\left(x, y\right)x \in VРисунок 68Описание: A=\left|\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\right|.Рисунок 69Описание: \Delta_iРисунок 71Описание: \Delta_1<0Рисунок 75Описание: \Delta_n=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.Рисунок 76Описание: M=\left|\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\right|Рисунок 81Описание: AРисунок 84Описание: z^2+1Рисунок 85Описание: zРисунок 88Описание: (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').Рисунок 89Описание: (x,\;0)Рисунок 90Описание: 0=(0,\;0),Рисунок 91Описание: 1=(1,\;0),Рисунок 96Описание: \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},Рисунок 101Описание: \sqrt{-1}sqrt{9}= 3,Рисунок 105Описание: \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{9}= 3,sqrt{9} = -3Рисунок 106Описание: \left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = i \cdot i \cdot \sqrt{9} = -3.Рисунок 108Описание: a=cРисунок 109Описание: b=dРисунок 115Описание: http://maths.yfa1.ru/image/algebra/40.jpg

Приложенные файлы

  • doc 23975717
    Размер файла: 438 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий