лекция 1-5


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1



1
-

дәріс:

СЫЗЫҚТЫ АЛГЕБРА


1.
1

Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар


Анықтама.



сандардан құралған кесте тӛртбұрышты матрица деп аталады және
үлкен әріппен белгіленеді



мұн
да
ғы m


жол саны,n


баған саны,
қысқаша

матрицасы түрінде белгіленеді.

т

жолдан және
п
бағаннан тұратын тік бұрышты кестені


m
x
n

ӛлшемді

матрица
деп, ал матрицаны құрап тұрған

сандарын оның
элементте
рі

деп атаймыз.

п

жолдан және
п

бағаннан тұратын матрицаны ( яғни
т=
п

)
шаршы


п
-
ші ретті

матрица деп атаймыз.

Бір жолдан ( бір бағаннан ) тұратын матрицаны

жол

-

матрица

(баған
-

матрица )


деп, ал барлық
=
0 болғанда
н
ӛ
лдік

ма
трица деп атайды.

Мысалға:

-

жол
-
матрица,

-

баған
-
матрица.

Бас диагональд
ағы элементтерінен ӛзгелері нӛл
дер болып келген квадраттық
матрицаларды
диагонал
дық


матрицалар дейміз.

Диагонал
д
ық матрицаның барлық

=1 болса, ол Е деп белгіленіп :


бірлік

матрица деп аталады.

Бірлік матрицаны қысқаша жазу үшін
Кронекер

символын


жиі пайдаланады.

Бас диагональдің астындағы ( үс
тіндегі ) элементтері н
ӛ
лдерден тұратын
шаршы

матрица

2



үшбұрышты

матрица деп аталады.

Матрицаға қолданылатын амалдар:

Шаршы

матрицаның жолдары мен бағандарының орындарын ауыстырып түрлендіруді

транспонирлау

деп атаймыз. Мысалы,

және
.

Матрицаларды қосу

Бірдей ӛлшемді
А=
=(
a
ij
)

және

B
=
=(
b
ij
)
матрицаларының қосындысы

деп

элементтері


теңдігімен анықталат
ын
матрица
сын
айтамыз
.
Матрицаларды қосу амалы ӛлшемдері бірдей матрицалар үшін былайынша
анықталады:


+
=
=
(a
ij
+b
ij
).



Белгіленуі: А+В=С.

Қосу амалының қасиеттері:

1
.
А+В=В+А;

2
(А+В)+С=А+(В+С);

3
А+О=А;

Мұндағы
.



3


4
А+(
-
А)=О
; Мүндағы
-
А

=
.

Матрицаны санға кӛбейту


матрица
сы

мен


k

санын
ың

кӛбейт
індісі деп
, әрбір элементі А
матрицасының сәйкес элементтері мен

k


санының кӛбейтіндісі болатын

матрица
cын

айтады
:

k
А=
= (k
).

Мысал.
. 5А+В


табу кер
ек.

Шеш
у
і:

+
=

Матрицаны матрицаға кӛбейту

m
k ӛлшемді
A
mxk

матрицасы

мен

k
n ӛлшемді
B
kxn

матрицасын
ың кӛбейтіндісі деп


с
ij

элементі 
mxk

матрицасының і
-
ші жолы мен B
kxn

матрицасының j
-
ші бағанының сәйкес
элементтерінің кӛбейтіндісінің қосындысы болатын

C
mxn
матрицасын айтады
, яғни:

C
mxn
=(с
ij
).

.

Кӛбейту амалының қасиеттері:

1.АхВ ≠ ВхА; (к
ӛбейту амалы коммутативті емес);

.(АхВ)хС=Ах(ВхС) (кӛбейту амалы ассоциативті);

.АхЕ=ЕхА=А;


Мысал.
Берілген

матрицаларының

АВ мен


ВА

кӛбейтінділерін табыңыз.Кӛбейтінділерді салыстырыңыз.

Шешуі
:



матрицасының ӛлшемі (4
4)



матрицасының ӛлшемі (
2)

Теорема
.

Матрицалардың кӛбейтінді
сінің анықтауышы олардың анықтауыштарының
кӛбейтіндісіне тең болады.


4


1. Анықтауыштар және олардың қасиеттері

п
-

ші ретті
шаршы


матрицасы

берілсін. Бұл матрицаның әрбір жолынан және
әрбір бағанынан тек бір ғана
элементтен алынған
п

элементтің кӛбейтінділерін құралық. Әрбір кӛбейтіндідегі
кӛбейткіштер саны
п

, сондықтан оларды бірінші индекстері ( 1, , …,
п

) ауыстыруын
сақтап орналастыруға болады. Сонда кӛбейтінді




*

түрінде жазылады,
-

дегеніміз 1, , ,…,
п

сандарының кейбір ауыстырулары.

Егер

ауыстыруындағы инверсия саны жұп не тақ сан болуы мүмкі
н.
Егер
инверсия саны жұп болса,
кӛбейтіндісінің алдына оң таңба, ал инверсия тақ

болса,
теріс
таңба қоюға келісеміз.

Барлық * түріндегі кӛбейткіштерді таңбаларды ескере отырып қосып
,
А

матрицасының
анықтауышы
немесе
детерминанты
деген санды аламыз.
Анықтауы
шты


символдарының бірімен белгілейді.

Сонымен
,

берілген
А
матрицасының
п
-
ші ретті анықтауышы мына санға


тең болады.

Екінші ретті анықтауыш

.

Оны есептеу

жолын мына
схема
мен кӛрсетуге б
олады:



=
-


3
-
ші ретті анықтауыш





Оны есептеуде мына схеманы пайдалану ұсынылады:


5



Мысал.


Анықтауыштың қасиеттері

1.

Матрицаны транспонирлағаннан оның анықтауышы ӛзгермейді.

Дәлелдеуі.




Олай болса


2.

Егер анықтауыштың бір жолы (бір бағаны) түгелде
й нольдерден тұрса, онда
анықтауыштың мәні нольге тең.

3.

Екі жолының (екі бағанының) орындарын ауыстырғанда анықтауыштың
таңбасы ӛзгереді.

4.

Екі жолы (екі бағаны)бірдей анықтауыштың мәні нольге тең.

Дәлелдеуі.  матрицасының i
-
ші және j

ші жолдары бірдей

болсын. Онда 
матрицасының i
-
ші және j
-
ші жолдарының орнын ауыстырғанда қайтадан  матрицасы
шығады.

3
-
ші қасиеті бойынша




5.Егер анықтауыштың бір жолын α санына кӛбейтсек, онда анықтауыш α санына
кӛбейт
іледі.

;

болсын.


6





Салдар1.
Бір

жолдың

(
бір

бағанның
)

элементтеріне

ортақ

кӛбейткішті

анықтауыштың

алдына

шығаруға

болады
.

Салдар .



6.

А
нықтауыштың екі жолы (екі бағаны ) пропорционал болса, оның мәні нольге
тең болады.

7.Егер анықтауыштың i
-
інші жолы (бағаны)қосылғыштардан тұрса, онда оны екі
анықтауыштың қосындысына тӛмендегідей етіп жіктеуге болады:



8.
Анықтауышт
ың бір жолының (бір бағанының)барлық элементерін бірдей санға
кӛбейтіп басқа жолдың (басқа бағанның)сәйкес элементтерімен қоссақ, онда анықтауыштың
мәні ӛзгермейді.

Анықтауышты жол немесе баған бойынша жіктеу

Анықтама.

матрицасы
ның a
ij

элементі орналасқан i
-
ші
жолды және j

ші бағанды "сызалық". "Сызылмай"қалған элементтерден құрылған n
-
1
-
ші
ретті матрицаның М
ij
анықтауышы а
ij

элементінің толықтауыш миноры деп аталады.

Мысал
. А
=

матрицасының а
21

элементі 4
-
ке тең. Оның толықтауыш миноры
М
21
=
=·9
-

8· =18
-
24 =
-
6.

А
ij

= (
-
1)
i
+
j
·М
ij

саны а
ij

элементінің алгебралық толықтауышы деп аталады.

Лаплас т
еорем
a
сы.

n
-
ші ретті анықтауыштың мәні оның i
-
ші жолын
ың элементтерінің сәйкес алгебралық
толықтауыштарына кӛбейтіндісінің қосындысына тең.

7



= a
i1

А
i1 +
a
i2

А
i2
+…+a
in

А
in
.

Бұл қосынды n
-
ретті анықтауыштың i
-
ші жолының элементтері бойынша жіктелуі деп
аталад
ы. Мұндағы А
ij
саны


a
ij
элементінің алгебралық толықтауышы.

Мысал.

т
ӛртінші ретті анықтауышты


үшінші жол бойынша жіктеу арқылы есептелік.

Таңдаған үшінші жолды және 
элементі тұрған бірінші бағанды сыздық деп есептеп
мына ӛрнекті аламыз :

.

Бұл ӛрнек 
-

санының алгебралық толықтауышы, Келесі ӛрнек нольге кӛбейтіліп
кетеді. Келесі элемент 1. Ол үшінші жол мен үшінші бағанның қиылысуында тұр. Оны
ң
алгебралық толықтауышы

.


Соңғы
-
1 элементі үшінші жол мен тӛртінші бағанда тұр. Оның алгебралық
толықтауышы:


Лаплас

теоремасы

бойынша

берілген

анықтауыштың

3
-
ші

жолдың

элементтері

бойынша

жіктелуі


=

·

+

0·А
32
+


+

+
(
-
1)·

=
.

Сонымен
,
жіктеу

арқылы

анықтауыштың

ретін

1
-
ге

тӛмендете

аламыз
.
Егер

осы

әдісті

шыққан

әрбір

анықтауыш

үшін

қолданса
қ
,
реті

тағы

1
-
ге

кемиді
.
Сӛйтіп
,
кез
-
келген

жоғарғы

ретті

анықтауышты

ӛзіміз

есептей

білетін

3
-
ші

ретке

дейін

тӛмендетуге

болады
.
Есептеу

кезінде

анықтауыштың

қасиеттеріне

сүйене

отырып

бағанның

немесе

жолдың

бір

8


элементінен

басқасын

0
-
ге

айналдырып

реті

1
-
ге

кеміген

бір

ғана

анықтауышты

есептеуге

болады
.


1.3

Кері

матрица

Анықтама.

Шаршы

матрицаның анықтауышы нӛлден ӛзге болса, ол ӛзгеше емес
матрица деп аталады; ал анықтауышы нӛльге тең болса, онда ӛзгеше матрица деп аталады.

Ӛзгеше матрицаның қасие
ттері
:

1) Ӛзгеше матрицаның кез келген матрицаға кӛбейтіндісі ӛзгеше матрица болады.

Дәлеледеу
. В матрицасы А матрицасымен ӛлшемдес кезкелген
шаршы

матрица
болсын.

А матрицаның анықтауышы нӛлге тең болсын, яғни
, онда,
=
=0·
.

2)
Ӛзгеше емес матрицалардың кӛбейтіндісі ӛзгеше емес матрица:



=
=

Анықтама
.


n
-
ші ретті бірлік матрица.

n
-
ші ретті
А

матрицасының кері матрицасы деп
,




және


теңдіктерін қанағаттандыратын

матрицасын айтады.

Анықтауышы нольден ерекше матрицаның ғана кері матрицасы болады.

Кері марицаны табудың
бірінші тәсілі
.

Ӛлшемі n
n ӛзгеше емес квадрат матрицанының кері матрицасын табу керек болсын.


Алгебралық толықтауыштарынан
шаршы

матрица құралық:



мұндағы

саны
элементінің сәйкес алгебралық
толықтауышы.


-
берілген А матрицасына қосалқы матрица

деп аталады.


және

матрицаларының кӛбейтіндісі:



9


Соныменен,
.

Матрицаны санға кӛбейту амалының қасиетін
пайдалансақ:

. Соңғы теңдіктің е
кі жағын да

анықтауышына
бӛлеміз, яғни

. Теңдіктің сол жағын түрлендірсек: А
=Е. Ал


ендеше

.А матрицасының анықтауышын

белгілесек:


Мысал.

матрицасына кері матрицаны табу керек.

Шешуі.

Матрицаның анықтауышын есептейміз:



Матрицаның элементтерінің алгебра
лық толықтауыштарын есептейміз:














10




Кері матрицаны


табамыз.

Кӛбейту арқылы тексереміз:



Кері матрицаны табудың

екінші тәсілі.

Б
ерілген матрицаға кері матрицаны табу үшін матрицаның оң жағына бірлік
матрицаның элементтерін тіркеп жазып, ӛлшемі nxn матрицасын құрамыз. Қарапайым
түрлендірулерді осы матрицаның тек қана кӛлденең жолдарына ғана жүргізу арқылы
берілген матрицаны бірлік
матрицаға келтіреміз, соның нәтижесінде бірлік матрицаның
орнында кері матрица пайда болады.


Дәлелдеуі.

Бірінші жол элементтерін
А
11
, екіншісін
А
21

және т.с.с. соңғы жолды

алгебралық толықтауыштарға кӛбе
йтеміз де осыларды бірінші жолға қосамыз. Енді бірінші
жолды
А
12
-
ге, екінші жолды
А
22
-
ге және т.с.с. соңғы жолды
-
ке кӛбейтеміз де осыларды
екінші жолға қосамыз. Осылай жалғастырып
n
-
жолға келеміз, бірінші жолды
-
ге, екінші
жолды
-
ге және т.с.с.
n
-
жолды
-
ге кӛбейтеміз де барлық жолды соңғы жолға қосамыз:


Анықтауыштардың 10
-
қасиеті бойынша жолдардың элементтерінің параллель
жолдардың алгебралық
толықтауыштарға кӛбейтінділерінің барлық қосындылары нӛлге тең.
Тек бас диагональ бойындағы қосындылар 9
-
қасиет бойынша анықтауыштың мәніне
-

тең.

11




Матрицаның барлық элементтерін


ға бӛ
леміз:


Матрицаның оң жақ бӛлігі берілген матрицаға кері матрицаны береді.

Матрицаның рангысы

А=

матрицасының максималды сызықтық тәуелсіз
жолдарының саны максималды сызықтық тәуелсіз бағандарының санына тең бо
лады.Осы
сан матицаның рангысы деп аталады.

Анықтама.

А матрицасының
k
-
шы ретті миноры деп

матрицаның кезкелген k

жолы
мен кезкелген k бағандарының қиылысындағы элементтерден құрылған матрицаның
анықтауышын айтамыз.

Теорема

Егер матрицаның барлық k
-
ретті
минорлары нольге тең болса, онда реті k дан үлкен
болатын барлық минорлары нольге тең болады.

Теорема

Матрицаның рангысы оның нольден ерекше минорларының ең үлкен ретіне тең
болады.

Матрицаның рангысын есептеу (1
-
ші тәсіл)

1.Матрицаның нольден ерекше k
-
шы

ретті миноры таңдап алынады.

.Таңдап алынған минорды бір жол, бір бағанмен кӛмкере отырып k+1
-
ші ретті
минорды есептейміз.Ол нольге тең болса,онда берілген матрицаның рангысы k

ға тең,ал
нольге тең болмаса,онда бір жол бір бағанмен кӛмкере отырып k+
-
ші

ретті минорды
есептейміз.Бұл минор нольге тең болса матрицаның рангысы (k+1)
-
ге тең,ал нольден ӛзгеше
болса, кӛмкеруден пайда болған келесі минорды есептейміз.Егер де кейінгі барлық
кӛмкеруден шыққан минорлар нольге тең болса,онда матрицаның рангысы соңғы

нольден
ерекше минордың ретіне тең болады.

Мысал.


матрицасының рангысын кӛмкеру әдісімен есептелік
.

12


Екінші ретті М
минорын есептелік. М
=
=
-
2+8=6
, M
=
2+0
-
4+6
-
1
-
0=3
.


M
4
=
=
=0. Яғни 4
-
ші ретті минор
нольге тең.Нольден ерекше минорлардың ең үлкен реті ,сондықтан

берілген матрицаның
рангысы 
-
ке тең.



2
-
дәріс:


Сызықты
қ

теңдеулер жүйесі
.


n

белгісізді
m

теңдеулерден тұратын


(1)

түрінде берілген жүйені қарастыралық. Мұндағы

х
1,

х
2,
...х
n
-
белгісіздер,



саны

жүйенің

i

-
ші теңдеуінің х
j


белгісізінің алдындағы
коэффициет
, b
-

бос мүшелер

деп аталады.

Егер

(1)

жүйедегі барлық бос мүшелер нольге тең болса,

онда ол
біртекті жүйе

деп,

ал
бос мүшелердің ең бомағанда біре
уі нольден ӛзгеше болса,онда ол
біртекті емес жүйе

деп
аталады.

Анықтама
. (1) жүйенің барлық теңдеулеріндегі

х
1,

х
2,
...х
n
белгісіздерінің орныны
сәйкесінше

λ
1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n


сандарын қойғанда әрбір теңдеу тепе
-
теңдікке айналса, онда


1
,
λ
2
, λ
3
, .
.., λ
n

)

реттелген сандар жүйесі оның шешімі деп аталады.

Егер жүйенің шешімі бар болса,онда ол
үйлесімд
і,

ал егер шешімі жоқ болса,

онда ол
үйлесімсіз жүйе

деп аталады. Біртекті сызықты
қ

теңдеулер жүйесі үйлесімді,

ӛйткені
(0,0,0,....0) оның шешімі бола
ды

(1) жүйедегі белгісіздер алдындағы коэффициенттерден құралған

mxn ӛлшемді А
матрицасын

жүйенің
негізгі матрицасы

деп, ал mx(n+1) ӛлшемді

=

матрицасы (1) жүйенің
кеңейтілген матрица
сы

деп аталады.


Кронекер
-
Капелли теоремасы
. Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін
жүйенің негізгі матрицасының рангысы

оның кеңейтілген матрицасының рангысына

тең болуы қажетті және жеткілікті, яғ
ни

=
.

13


Қажеттілігі.

n

белгісізді
m

теңдеулер жүйесін қарастырамыз:




(1)

Жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицасы
н құрамыз.

А=
;

=
.


(1) жүйе үйлесімді делік, яғни (λ
1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n
)


шешімі болсын.


=

болатынын дәлелдейік. λ
1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n

сандары (1) жүйенің әрбір теңдігін
тепе
-
теңдікке айналдырады:




(2)

Кеңейтілген

матрицасының соңғы бағаны негізгі матрицаның алғашқы n бағанының
сызықтық комбинациясы екендігін ()

тепе
-
теңдіктер жүйесі кӛрсетеді. Сондықтан
кеңейтілген

матрицасының соңғы бағаны кеңейтілген матрицаның рангына әсер етпейді.
Олай болса, негізгі
А

матрицаның және кеңейтілген

матрицаның бағандары эквивалент
ті
болғаны,

яғниолардың рангтары тең,

=
.

Жеткіліктігі.


=

болсын
.
Онда
, не оның бос мүшелері нӛлге тең
b
i

= 0, не бос
мүшелер бағаны негізгі матрицаның баған эл
ементтеріне сызықты тәуелді. Яғни, нӛлге тең
емес

1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n
)

сандар табылады, ал ол сандардың негізгі матрицаның баған
элементтеріне кӛбейтіндісінің
қосындысы бос мүшеге тең болады.

Ал бұл (λ
1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n
)
-

(1) жүйенің шешімі болатынын

кӛрсетеді. Ендеше, (1) жүйе
үйлесімді.

Мысал.

4 белгісізді  теңдеуден тұратын біртекті емес сызықты
қ

жүйе берілген:



Жүйенің үйлесімді болуын, не болмауын
анықтау керек.

Шешуі
:

Негізгі матрицаның рангысын сатылы түрге келтіріп

есептелік.

А

=


Негізгі
матрицаның рангысы
=2.

Кеңейтілген матрицанының рангысын есептейміз:

14




=



r

= 3.

Соныменен,

r

r
.

Сондықтан жүйе үйлесімсіз.

Сызықтық n белгісізді n теңдеулер жү
йесінің матр
ицалық түрдегі шешімі.


-

сызықтық теңдеулер жүйесі.

-

(1) теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы


-

белгісіздер бағаны,

-

бос мүшелер бағаны.

(1) т
еңдеулер жүйесінің матрицалық түрде жазылуы:




(2)



.Егер

А

матрицасының анықтауышы

болса,онда оның кері
матр
ицасы

А
-
1


табылып

Соныменен:

Крамер ережесі.


. А матрицасының
анықтауышы

.

15




анықтауышы
-

 матрицасының i

ші бағананың орнына
бос мүшелер бағанын қойғанда шыққан матрицаның анықтаушы.Лаплас теоремасы бойынша
бұл анықтауыштың i
-
ші баған элементтері бойынша жіктелуі:



(*)

Теорема.

Егер

болса, онда (1) жүйенің жалғыз ғана

шешімі болады. Яғни,
.


Дәлелдеуі:
;

матрицалық теңдеуді қарастырамыз.


(**)



Сызықтық теңдеулер жүйесін белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі).



болсын. 1
-
ші теңдеудің

екі жағын да

санына кӛбейтіп 
-
ші теңдеуге қосам
ыз.Соның нәтижесінде 
-
ші теңдеудегі х
1

белгісізінің
алдындағы коффициент нольге айналып,
-
ші теңдеу мына түрге келеді:
. Осылайша 1
-
ші теңдеудің

екі жағын да

санына кӛбейтіп 
-
ші
теңдеуге қосамыз.Соның нәтиже
сінде 
-
ші теңдеудегі х
1

белгісізінің алдындағы коффициент
нольге айналып, 
-
ші теңдеу мына түрге келеді:
. Бұдан әрі
осылайша 1
-
ші теңдеудің

екі жағын да

санына кӛбейтіп n
-
ші теңдеуге қосамыз.Соның
нәтижес
інде n
-
ші теңдеудегі х
1

белгісізінің алдындағы коффициент нольге айналып, n
-
ші
теңдеу мына түрге келеді:
.

Осы түрлендірулер нәтижесінде мына жүйеге келеміз:

16



Бұл жүйенің 
-
ші теңдеуіне жоғарыдағы келтірілген
түрлердірулерді жасай отырып 
-
ші,4
-
ші,...n
-
ші теңдеулеріндегі х
2

белгісіздерінің алдындағы коэффициенттерін нольге
айналдырамыз: 
-
ші теңдеуді

кӛбейтіп 
-
ші теңдеуге қосамыз.Осылайша 
-
ші
теңдеуді

(
)
-
ге

кӛб
ейтіп

n
-
ші

теңдеуге қосамыз.Осы алгоритмді бірнеше рет қолдану
нәтижесінде мынандай  жағдайға келуіміз мүмкін
:

1
-
ші жағдай.
Түрлендіру нәтижесінде жүйеміз үшбұрышты деп аталатын түрге келуі
мүмкін.



Бұл жағдайда теңдеулер жүйес
інің жалғыз бір ғана шешімі болады. Соңғы теңдеуден
Х
n
белгісізінің

мәнін оның алдындағы n
-
1
-
ші теңдеуге қойып одан х
n
-
1
белгісізінің
мәнін табамыз. Осылайша белгісіздердің табылған мәндерін алдыңғы теңдеулерге біртіндеп
қоя отырып е
ң соңында 1
-
ші теңдеуден х
1
белгісізінің мәнін табамыз.

2
-
ші жағдай.

Түрлендіру нәтижесінде жүйеде 0х
1
+ 0х
2
+...+0х
n
=b , ал b
0 болатын теңдеу пайда
болуы мүмкін.Бұл жағдайда жүйе үйлесімсіз,

яғни шешімі жоқ.

3
-
ші жағдай.

Бастапқы беріл
ген жүйе


( rn)

коэффициенттері н
ӛ
лден ерекше
мынандай түрге келуі мүмкін:



Бұл жағдайда жүйенің жалпы шешімі:

x
1
=
x
r+1
+…+
,

x
2=
x
r+1
+…+
,

…………………………………………,

x
r
=
x
r+1
+…+
.


Жалпы шешімдегі x
1,
x
,…..,
x
r
белгісіздері бос белгісіздер деп аталатын x
r
,x
r+1
,…x
n

белгісіздері арқылы ӛрнектеледі.Бос белгісіздерге кезкелген мәндер беріп,ола
рға сәйкес
x
1,
x
,…..,
x
r
дың мәндерін тапса,

жүйенің жеке (дербес)шешімі табылады.




17



Мысалдар.

1
.



(3)
теңдеу
лер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.

2
-
ші теңдеуден бастап
,

х
2

белгісізін жоямыз.Ол үшін 1
-
ші теңдеудің екі жағын
-
4 ке
кӛб
ейтіп екінші теңдеуге, 1
-
ші теңдеудің екі жағын
-
 ке кӛбейтіп үшінші теңдеуге, 1
-
ші
теңдеудің екі жағын
-
5 ке кӛбейтіп тӛртінші теңдеуге қосамыз.

Нәтижесінде


(4)

Аталған түрлендірулер жүйенің кеңейтілген матрицасының элементтері
не
жүргізілгендіктен (4) бұдан әріде Гаусс әдісін қолданғанда түрлендірулерді кеңейтілген
матрицаның элементтеріне жасалады.Бірілген жүйеге келесі кеңейтілген матрица сәйкес
келеді:
. Жоғарыда аталған түрлендіруле
р осы матрицаның
жолдарына жасалса мына матрица шығады:


.Осы матрицаның 
-
ші жолының элементтерін
-
 ге
кӛбейтіп 
-
ші жолдың сәйкес элементтеріне қосамыз да үшінші жолдың 0,0,1,6,15 сандарын
аламыз. 4
-
ші жол,
-
ші бағандағы 4

санының орнында 0 санын алу үшін 
-
ші жоолдың
элементтерін
-
4 ке,ал соңғы жолды 5 ке кӛбетіп сәйкес элементтерін қосамыз да 4
-
ші жолдың
0,0,
-
37,
-
17,
-
145 сандарын аламыз


. Соңғы матрицаның 4
-
жол мен 
-
ші бағанындағы
-
37
санының орнын
да0 санын алу үшін 
-
ші жолдың барлық элементтерін 7 санына кобейтіп
соңғы жолдың сәйкес элементтеріне қосамыз да 4
-
жолдың 0,0,0,05,410 сандарын аламыз:


(5)

Сатылытүрге келген (5) матрицаға сәйкес келетін жүйе
:


18



Бұл жүйенің соңғы теңдеуінен
x
4

= 2.
x
4
-

-

тің

мәнін 
-
ші теңдеуге қойып,



x
3

=  аламыз. Енді 
-
ші теңдеуден
x
2

= 1, 1
-
ші теңдеуден
x
1

=

1 шығады. Сонымен,
(1) жүйенің жалғыз шешімі х =(
-
1,1,3,2).

2.








Шешуі.
.

Матрицаның соңғы жолына сәйкес теңдеу:
0
х
1
+0х
2
+0х
3
+0х
4
=
-
. Олай болса, берілген
жүйе үйлесімсіз.

3.
Сызықтық теңдеулер

ж
үйе
сін

Гаусс тәсілімен шешу.


Шешуі
.


~
~
~
.

Соңғы матрицаға сәйкес теңдеулер жүйесі:


Жүйе үйлесімді.

Белгісіздер саны 4.

Негізгі матрицаның рангысы .

Бос белгісізде
р
саны 4
-
=1 айырымы арқылы анықталады.

19


x
4

белгісізін бос белгісіз деп алып х
1

2

3

белгісіздерін х
4

арқылы ӛрнектейміз.

х
3
=
, x
2
=
-
2+5x
4
-
5x
4
+2=0, x
1
=
-
-
x
4
+4=
=
.

Жүйен
ің
жалпы шешімі:

x
1
=
;

x
2
=0;

х
3
=
.

х
4

бос белгісізінің х
4
= мәніне сәйкес дербес шешімі: (6;0;4;).



Біртекті теңдеулер жүйесі


1
-
салдар
.


(*)

біртекті теңдеулер жүй
есі әруақытта үйлесімді, себебі оның кеңейтілген матрицасының

бағандар рангысы негізгі матрицаның рангысына тең.

2
-
салдар
. Матрицаның рангысы мен белгісіздер саны тең болғанда ғана (*) теңдеулер
жүйесі үйлесімді және бір ғана шешім

болады.

Ескерту
. Жүйенің үйлесімділігін анықтау үшін тек кеңейтілген матрицаның рангын
есептеу жеткілікті. Егер бос мүшеден құрылған баған элементтері нӛлге айналса, онда
олардың рангке әсері болмайды.

Теорема
. n белгісізді n біртекті сызықтық теңдеулер ж
үйесінің нӛлден ӛзге шешімдері
болуы үшін жүйенің негізгі анықтауышы нӛлге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Егер

= 0 болса, онда қарастырып отырған жүйенің матрицасының рангысы
белгісіздер санынан аз болады, яғни r

n. Сондықтан, жүйенің нӛлден ӛзге ақырсыз кӛп
шешімдері бар. Бұл жағдайда А матрицасының жатық жолдарының r жатық жолдары
сызықты тәуелсіз, ал қалған жатық жолдары осы r жатық жолдары арқылы сызықты
ӛрнектеледі:


(**)

Мұн
да



Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің қасиеттері

20


1
0
. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің кезкелген екі шешімінің қосындысы да
оның шешімі болады.

2
0
.Егер
=(λ
1
, λ
2
, λ
3
, ..., λ
n

) біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі болса,онда

үшін

оның шешімі болады.

Дәлелдеуі.

1
0
.
=(λ
1
, λ
2
,..., λ
n
),

біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің
ш
ешімдері болсын. Онда


және


+
=(λ
1
+
, λ
2
+
, ..., λ
n
+

) шешімдерінің қосындысы да шешімі болады
.Ӛйткені
жүйедегі х
і

белгісізінің орнына

қойып,жақшаларды ашып қосылғыштарын топтап,
мына тӛмендегі тепе
-
теңдік орындалатынын кӛреміз:


2
0
.
=(λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
) жүйенің шешімі болсын.

О
нда

Әрбір тепе
-
теңдікті

санына кӛбейтсек:

Олай болса
=(
λ
1
,
λ
2
,...,
λ
n
) жүйенің шешімі,с
ебебі жүйедегі
х
і

белгісізінің
орнына

қойғанда тепе
-
теңдіктер шықты.

Анықтама
. Біртекті сызықтық (*) теңдеулер жүйесінің кез келген (n
-
r) сызықты
тәуелсіз шешімі осы жүйенің
фундаменталды
шешімі деп аталады. Мұндағы r саны

А
-
матрицаның рангысы:
.

Сонда, (*) жүйенің шешімін былай беруге болады:

=(х
1
, х
2
, ..., х
r
, c
r+1
, ..., с
n
,)

мұндағы с
і

= х
і
, і = r+1, n
-
кез келген сандар.

Егер r
A

‹ n теңсіздігі орындалса, онда (*) жүйенің фу
ндаментальді шешімі бар болады.

Мысалдар.

1.

жүйесінің шешімін табалық.

21


Анықтауышын есептелік:

Сондықтан

теңдеулер жүйесі үйлесімді және бірғана нӛлдік шешімі бар.

2.

жүйесінің нол
ьден ерекше шешімін табалық.

Жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы н
ӛ
лге тең:


сондықтан теңдеулер жүйесінің шексіз кӛп шешімі бар.
Матрицаның рангысын сатылы түрге келтіріп есептелік:


Сонымен, r
A
=. Сондық
тан, берілген жүйе



жүйесімен мәндес. Белгісіздер саны , ал матрицаның рангысы , сондықтан да бос
белгісіздер саны 1. Белгісіз х
3

санын бос белгісіз деп жарияласақ,





Енді
х
3

бос белгісізіне кезкелген бір мән беріп,мысалға,
х
3

= 5 фундаментальді шешімін
табамыз. онда
х
1
=
-
1,
х
2
= 8;

Сонымен жүйенің фундаментальды шешімі:х=

Онда жалпы шешімі:

х

=
с

Мұндағы с
-
кезкелген сан.


3
-
дәріс.

Комплекс сандар.
Векторлар.


Алгебралық амалдар
.

Топ, сақина, ӛріс және олардың қасиеттері.


Анықтама
. Егер

жиынының кезкелген элементі

жиынының да элементі
болса, онда

жиыны

жиынының жиыншығы деп аталады. Белгілеуі:
.
. Бірде
-
бір элементі жоқ жиынды бос жиы
н деп атайды. Бос жиын

символымен белгіленеді.

Анықтама.


Егер

жиынының кезкелген реттелген екі элементіне сәйкес
келетін бір ғана үшінші элементті анықтайтын ереже берілген болса,онда А жиынында 

бинарлық aлгебралық амал берілген деп айтамыз.



с,d элементтері a, b элементтеріне 
 амалын қолданғанда шыққан элемент.

Мысал
. R
-

нақты сандар жи
ынында анықталған қосу және кӛбейту амалдары
алгебралық амалдар.

1)

2)
3)
, ал егер b=0 болса, онда a:b
анықталмайды, сол себепті бӛлу амалы алгебралық амал емес.

22


Анықтама
.

Жиынның
бір элементіне сәйкес бір элемент қоятын амал унарлық амал
деп аталады.

Мысал
. Бүтін сандар жиынында санның модулін табу, санға қарама
-
қарсы санды табу
амалдары унарлық амалдар болады.

Анықтама. 
жиынында * бинарлық алгебралық амал анықталсын.

алгебралық жүйе
топ
деп аталады,егер мына тӛмендегі шарттар орындалса:

1)


(* амалының ассоциативтілігі);

2)
(бірлік элементтің табылуы);

3)

(кері элементтің табылуы).

Сақина.Ӛріс.

Анықтама.

Егер

жиынында бинарлық қосу және кӛбейту амалдары беріліп,
ол амалдарға байланысты тӛмендегі теңдіктер орындалса:

1)


(қосу амалының ассоциативтілігі);

2)
(қосу амалының коммутативтілігі);

3)
(нӛлдік элементтің табылуы);

4)

(қарама
-
қарсы элементтің табылуы);

5)
-

кӛбейту амалының қосу амалына қарағанда
дистрибутивтілігі,

онда
алгебралық жүйе сақина деп аталады. (
-
кез келген,

-

табылу
кванторлары
.).

Анықтама.

Егер

сақинасында

теңдігі орындалса, онда

коммутативтік сақина деп аталады.

Анықтама.

Егер

сақинасында

яғни
-

кері элемент табылса онда

дене деп аталады.

Анықтама.

Коммутативтік дене ӛріс деп аталады.

Мысал:

N
-
натурал сандар жиыны,
Z

-

бүтін сандар,
Q
-

рационал сандар,
R

-

нақты
сандары үшін:

1
)

-
сақина емес, себебі нӛлдік элемент пен қарама
-
қарсы элемент
анықталмаған;

2)

-
коммутативтік сақина құрайды, бірақ дене де, ӛріс те болмайды, себебі кері
элемент анықталмаған;

3)
-
рациоанал сандар ӛрісі;

4
)
-

нақты сандар ӛрісі.

Комплекс сандар ӛрісі

R
-
на
қты сандар жиыны болсын. R
R=

-
нақты сандар жиынының
реттелген екі элементтерінен тұратын жиын.

R
R=R
2
=

-
R жиынының декарттық квадраты деп аталады.Осы
жиында
=
(а, b)

және
β
=(c, d)
реттелген парлардың қосындысы мен
кӛбейтіндісін,сәйкесінше тӛмендегідей анықтайық:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d);





Анықталған амалдар мына тӛмендегі қасиеттерді қанағаттандырады:

1)

R
2
,





23


2)

R
2
,


3)

R
2
,


0
=(0,0)
-
қосу амалының нейтрал элем
енті.

4)

R
2
,

R
2
,
0
;

5)

R
2
,





6)

R
2
,


7)

R
2
,


8)

R
2
,

(1,0)
R
2
,

(1,0)·

(
1,0)
-
кӛбейту амалының нейтрал элементі

9)


R
2
,


R
2

жиыны анықталған қосу және кӛбейту амалдары бойынша ӛріс құрайды.Бұл ӛріс
С=

комплекс са
ндар ӛрісі

деп аталады.

Жазықтықта ХОУ тік бұрышты координаталар жүйесі анықталған болсын. Жазықтық
нүктелері мен С

комплекс сандар
жиынының арасында ӛзара бірмәнді сәйкестікті былайша
орнатамыз:
=
(а, b )
комплекс санына жазықтықтағы

ХОУ тік бұрышты координаталар
жүйесіндегі (а, b) нүктесін сәйкестендіреміз.

(а,0) комплекс саны нақты а санына сәйкес
келеді.

Комплекс санның алгебралық формада берілуі

(х,у)·(х,у)+(1,0)=(0,0) теңдеуді дұрыс тепе
-
теңдікке айналдыратын комплекс санды
ізд
елік.


(0,1) санының квадратын есептесек, онда:

(0, 1) · (0, 1) = (
-
1, 0).

Олай болса, (0, 1) · (0, 1) +(1,0)= (0, 0), яғни

берілген теңдеуді (0,1) саны

тепе
-
теңдікке айналдырады. Бұл нүктені

i


деп белгілелік. і

=(0,1).
Соныменен,


.
i

санын жорамал бірлік деп атаймыз.


Енді
bi = (b,0)·(0, 1) = (0, b)

және

(a, b) = (a, 0) + ( 0, b)

екенін ескерсек, онда

= ( а,
b) = a + bi.


комплекс саны үшін
а

саны нақты бӛлігі, ал
bi



жора
мал бӛлігі деп аталады.
a + bi
комплекс санның
алгебралық формада

жазылуы деп аталады.

Алгебралық формада берілген екі комплекс санның теңдігін былайша анықтаймыз:
α
1
=

1
, b
1
),

α
2
=

2
, b
2
)
болсын. Онда
α
1
=

α
2


а
1
=
а
2
,

b
1
=

b
2
.

a + bi
және
a


bi

комплекс сандары ӛзара
түйіндес
сандар

деп аталады.

Алгебралық түрде берілген комплекс сандарға амалдар қолдану.

a

+
bi

түрінде жазылған комплекс сандарды қосу, кӛбейту, алу және бӛлу тӛмендегіше
орындалады:

Қосу амалы
:
(
a

+
bi

) + (
c

+
di
) = (
a

+ c ) + ( b + d );

Алу амалы
:
( a + bi )


(c + di) = ( a


c ) + ( b


d )i;

Кӛбейту амалы
:
( a + bi )(c + di) = ( ac


bd )+( ad + bc )i;

Бӛлу амалы
:
.

Мысалдар
.

1.

(
-
2 + 5
i
) + (
-
1


7
i

) =
-
3


2
i
;


2.

( 3


9
i

)


(
-
7 +
i

) = 10
-

10

i
;

3.

( 1 + 2
i

)·( 


i

) = 5 + 5
i
;


4.
.

5
.
(2

-

3

i
) (2+3

i
)=4+9=13.
;
6.

( a + bi )(а
-

bi) =a
2
+b
2
.

Тригонометриялық түрде берілген комплекс сандарға амалдар қолдану

1.1
-
сурет

24


Нүктенің жазықтықта
орналасуын
r
,

полярлық координаталары арқылы да анықтауға
болады. Бұл жағдайда
r

саны
α
комплекс санының

модулі


деп аталып,

|
=
r

деп
белгіленеді
,

ал
φ
бұрышы

аргументі


деп аталып,
arg

α = φ

деп белгіленеді.
(
1.
2
-
сурет
)







a

=
r
·
cos

φ

,
b

=
r
·
sin

φ

және

.
Сонда

кез
-

келген

α

=
a

+
bi

комплекс

саны

үшін

α

= a + bi = r·cos φ + ( r·sin φ )·i ,

немесе


α

= r·(cos φ + i·sin φ).
Бұл

комплекс

санның

тригонометриялық

түрде

берілуі

деп


а
талады
.

Тригонометриялық

түрде

берілген

екі

комплекс

санның

теңдік

шартын

былайша

анықтауға

болады
:

олардың

модульдері

тең
,
ал

аргументтері

тең

немесе

олардың

айырымы

2
-
ға

еселі

шама

болуы

қажетті

және

жеткілікті
.

Тригонометриялық

түрде

жаз
ылған

екі

комплекс

санды

кӛбейтелік
:


немесе



Яғни, кӛбейтіндінің модулі модульдердің кӛбейтіндісіне, ал кӛбейтіндінің аргументі
аргументтердің қосындысына тең.

α комплекс
санын β комплекс санына бӛлу амалы тӛмендегі формуламен

α/β =
r
/
r
'

[
cos
(
φ
-
φ
/
) +
i

sin

-
φ
/
)] орындалады.

Тригонометриялық түрде берілген комплекс санның
n
-
i

дәрежесін табу
формуласы:


Бұл формула
Муавр формуласы

деп аталады.

Мысал.


Тригонометриялық формада берілген комплекс саннан түбір табу формуласы:

, мұндағы,
k
=0, 1, ,…,
n
-
1.

Мысалдар.




1.2
-
сурет

25





1 санының түбірлері.

1 санынан
п
-
ші дәрежелі

түбір табалық.

1
=
cos
0 +
i

sin
0

теңдігінен 1
-
дің
п
-
ші дәрежелі түбірлерін мына формуламен




табамыз.


;

i
=0; 1;;…;
n
-
1.

M
={
ε
0
;
ε
1
;
ε
2
;…


ε
n
} жиыны 1 санының барлық
n
ші
дәрежелі түбірлері болса, онда:

1)ε
i
· ε
j

M, ӛйткені (ε
i
· ε
j
)
n
=
·
=1·1=1;

) ε
i

M, онда ε
i

-
1
M. Ӛйткені, (ε
i
-
1
)
n
= (ε
i

n
)
-
1
= 1
-
1
=1;

3) 1
M, ӛйткені 1
n
=1.

Яғни, М жиыны кӛбейту амалы бойынша группа құрайды.

Егер α санының п
-
ші дәрежелі бір түбірін білсек, онда қалған түбірлерін осы түб
ірді 1
санының п
-
ші дәрежелі түбірлеріне кӛбейту арқылы тауып алуға болады.

Мысал.

1 санының кубтық түбірлері (үшінші дәрежелі түбірлері) мынадай :

=
.

Ал
-
8 санының кубтық түбірлерінің бірі
-
. Ережеге сәйк
ес қалған түбірлері

және

табылады.

Комплекс санның кӛрсеткіштік түрде берілуі

Анықтама бойынша е
=
cos

φ

+
i
·
sin

φ
,



+
.

α

= r·(cos φ + i·sin φ )=r

е
.

Соныменен,

=
r

е
.

Бұл комплекс санның кӛрсеткіштік
түрде берілуі деп аталады. Мұндағы
r

=
, ал
=arg
= arg
+2
,
k=
0,

.

у


функциясының

периоды 
-
ге тең.Яғни,
е

= е
.
=
1.

аргументі [0;
] аралығында ӛзгергенде
е

нүктелері радиусы
1, центрі (0;0) нүктесіндегі шеңбер бойында орналасады.

Кезкелген z=x+yi комплекс айнымалысы үшін е
z

функциясын е
z

= е
х
. е
iy

теңдігімен
анықтауға болады. Бұдан е
z

= е
х
(cos у + isinу)



4
-
дәріс:


Сызықтық кеңістік


Сызықтық кеңістік

ұғымы.

<
Р, +,

>

ӛрісі берілсін. Оның элементтерін скалярлық
шама деп атаймыз. Элементтері векторлар деп аталатын L



жиыны берілсін. Р
L
-
жиындардың декарттық кӛбейтіндісі болсын.
w
: Р
L
L арқылы белгіленген Р
L
жиынының әрбір
<
>

элементіне L жиынының бір ғана элементін сәйкес келтіретін
w
бейнелеуі L жиынында унарлық
w
амалын анықтайды.
w
(
<
>
)=
элементі
скалярлық шама мен

векторының кӛбейтіндісі деп а
талады.

26


Мысал.

L жиыны
-

R
-
нақты сандар ӛрісінде берілген m
n ӛлшемді матрицалар
жиыны.
Матрицаны матрицаға қосу
-
б
инарлық амал
, у
нарлық
w
: R
L
L
бейнелеуі

m
n
ӛлшемді матрицаны
скалярына кӛбейту амалын анықтайды:

,

.

Анықтама.

Бинарлық алгебралық “+ “ қосу амалы және унарлық
w
амалы анықталған
L жиыны сызықтық кеңістік деп аталады,

егер L жиынының кезкелген
a, b, c
және Р ӛрісінің

элементтері үшін мына шарттар (аксиомалар) орындалса:

1.

a,b
L, a
+b = b+a; (қосу амалының комутативтілігі);

2.

a,b,c
L, (a +b) +c = a + (b+c); (қосу амалының ассоциативтілігі);

3.


a
L
,


a

+

0 =a

;

4.

a
L
,


(
-
a
L), a +(
-
a)
=
0;

5.

(a +b)
=
a +
b
;

6.

(
)
a
=
a+
a;

7.

(
)
a
=
(

a);

8.

1

R, 1

a=a.

Сызықтық кеңістіктер мы
салдары
:

1)

n
-
ӛлшемді арифметикалық R
векторлық кеңістік.

2)

Түзудегі (жазықтықтағы, кеңістіктегі) барлық векторлар (бағытталған кесінділер)
жиыны векторды векторға қосу және векторды нақты санға кӛбейту амалдар
ы бойынша R
нақты сандар ӛрісіндегі векторлық кеңістікті құрайды.Түзудегі
-

1ӛлшемді, жазықтықтағы
-
2
ӛлшемді, кеңістіктегі
-
 ӛлшемді векторлық кеңістіктер.

) [0;1] аралығында анықталған х тәуелсіз айнымалылы
үзіліссіз
функциялар жиынын
қарастыралық.Бұл
жиынның кезкелген екі функциясының қосындысы f(x)+g(x),

саны мен
f(x) функциясының кӛбейтіндісі

·f(x) осы [0;1] аралығында анықталған үзіліссіз
функциялар,сондықтан да f(x)+g(x) пен

·
f(x) функциялары қарастырылып отырған
жиында жатады.Бұл жиын анықталған қосу және санға кӛбейту амалдары бойынша
сызықтық кеңістік құрайды,ӛйткені сызықтық кеңістік аксиомаларының барлығы да
орындалады.

4)

С
комплекс сандар жиыны онда анықталған қосу “+
” және комплекс санды нақты
санға кӛбейту амалдары бойынша R нақты сандар ӛрісіндегі сызықтық кеңістік.1 және і
жорамал бірлік сызықты тәуелсіз жүйе құрайды.Кезкелген

комплекс саны осы екі
элементтің сызықтық комбинациясы

Яғни,1мен і сандары кеңістіктің базисын
құрайды.Сондықтан, бұл кеңістіктік  ӛлшемді.

5) R
-
нақты сандар ӛрісінде берілген m
n ӛлшемді матрицалар жиыны матрицаны
матрицаға қосу (бинарлық алгебралық амалы) және матрицан
ы санға кӛбейту (унарлық
алгебралық амал) амалдары бойынша векторлық кеңістік құрайды.

Бұл келтірілген сызықтық кеңістік мысалдарындағы қарастырылып отырған
жиындардың элементтерінің табиғаттары әртүлі: векторлар, функциялар, комплекс сандар,
нақты санда
р, матрицалар, функциялар. Бірақ оларды біріктіретін ортақ ұғым бар. Бұл
жиындарда анықталған қосу, скалярға кӛбейту амалдарының 8 қасиеті
-
сызықтық
кеңістік аксиомалары
-

орындалады.

Сызықтық кеңістіктің қарапайым қасиеттері.

Теорема. L
сызықтық кеңіс
тігі Р ӛрісінде берілсін және
a,b
L
және
Р. Онда

1)

егер

a
+
b

=

a
, онда

в

=

0;

2)

0

a =

a;

3)

0

=

0;

27


4)

егер

a+b

=

0,онда b

=(
-
1)a

=

-
a

5)

егер
a

=

b


және


болса, онда
a

=

b
;

6)

егер
a

=

0,онда

=

0

немесе
a

=

0;

7)

егер

a

=
a
және

a
0,

онда
.

Анықтама. a
1
,a
2
,…a
m

векторларының сызықтық комбинациясы деп
a
1
+
a
2
+…+
a
m

түріндегі қосындыны айтамыз.Мұндағы

Р.

скалярлары сызықт
ық комбинацияның коэффициенттері деп аталады.

Анықтама. a
1
,a
2
,…a
m

векторларының барлық сызықтық комбинациялары L(
a
1
,a
2
,…a
m
)
арқылы белгіленеді және ол осы жүйе векторларынық сызықты қабыршағы деп аталады.

L(
a
1
,a
2
,…a
m
) жиынының кезкелген екі элементінің қос
ындысы және кезкелген элементі
мен скалярлық шаманың кӛбейтіндісі осы жиында жатады.Яғни,бинарлық қосу амалы мен
унарлық санға кӛбейту амалдары осы жиынның алгебралық амалдары болады.

Мысал.

[0;1] аралығында анықталған х тәуелсіз айнымалылы функциялардың
с
ызықтық кеңістігінде х
0
, х, х
2
,..., х
m
-
1

функциялар жүйесін
і
ң барлық сызықтық
комбинациялары
:

L(х
0
, х, х
2
,..., х
m
-
1
)=

.

Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі. L
сызықтық кеңістігі Р ӛрісі
нде берілсін.

Егер барлығы бірдей нольге тең
емес
скалярлары табылып

a
1+
a
2+
…+
a
m

=0
болса,онда
a
1
,a
2
,…a
m

векторлар
жүйесі
сызықты тәуелді

деп аталады.

Егер
a
1
+
a
2
+…+
a
m
=
0

теңдігінен
,
,…,
шықса,онда
a
1
,a
2
,…a
m

векторлар жүйесі
сызықты тәуелсіз

деп аталады.

Мысал
дар.


1.
Н
ақты сандар ӛ
рісінде берілген 
 ӛлшемді матрицалар жиыны матрицаны
матрицаға қосу (бинарлық алгебралық амал) және матрицаны санға кӛбейту (унарлық
алгебралық амал) амалдары бойынша векторлық кеңістік құрайды.

A
1
=
;A
2
=
;A
3
=
;A
4
=

векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Ӛйткені,
А
1
+
А
2
+
А
3
+
А
4
=0 теңдігінен

.

Шынында
,

0=
.

+
+
+
=

=
.

2.

[0;1] аралығында анықталған х тәуелсіз айнымалылы функциялардың сызықтық
кеңістігінде кезкелген m саны үшін m вектордан тұратын сызықты тә
уелсіз векторлар
жүйесі табылады,мысалға,ол жүйе: х
0
,х,х
2
,...,х
m
-
1
. Шынында да, бұл векторлардың сызықтық
комбинациясы

егер

болса.Сондықтан бұл векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Векторлар жүйесінің сызықты
тәуелділігі мен тәуелсіздігінің қасиеттерін
қарастыралық:

1
0
.
0
векторы бар векторлар жүйесі сызықты тәуелді.

2
0
. Егер жүйенің ішкі жүйесі сызықты тәуелді болса,онда жүйенің ӛзі де сызықты
тәуелді болады.

Салдар.

Сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінің кезкелг
ен ішкі жүйесі сызықты
тәуелсіз.

28


3
0
.
u
1
0; u
1
,u
2
,…,u
m

векторлар жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін

u
2
,…,u
m

векторларының ең болмағанда біреуі алдыңғы векторларының сызықты комбинациясы
болуы қажетті және жеткілікті.

4
0
.
u
1
,u
2
,…,u
m

сы
зықты тәуелсіз болса,ал
u
1
,u
2
,…,u
m
,v
жүйесі сызықты тәуелді
болса,онда
v
векторы

u
1
,u
2
,…,u
m

векторлары арқылы сызықты ӛрнектеледі және бұл
ӛрнектелу бірмәнді анықталады.

5
0
.Егер u
L(v
1
,v
2
,…,v
m
) және v
1
,v
2
,…,v
m

L(w
1
,w
2
,…,w
s
), онда u

L(w
1
,w
2
,…,w
s
).

Теорема.
Егер
u
1
,u
2
,…,u
m+1

L(v
1
,v
2
,…,v
m
),онда
u
1
,u
2
,…,u
m+1

векторлар жүйесі
сызықты тәуелді.

1
-
салдар.
Егер
u
1
,u
2
,…,u
k

L(v
1
,v
2
,…,v
m
) және k>m болс
а, онда
u
1
,u
2
,…,u
k

векторлар
жүйесі сызықты тәуелді.

2
-
салдар.

Егер
u
1
,u
2
,…,u
k

L(v
1
,v
2
,…,v
m
) және
u
1
,u
2
,…,u
k

векторлар жүйесі сызықты
тәуелсіз болса,онда k
m.

Анықтама
.Векторлар системасының екі жүйесі ӛзара э
квивалентті деп аталады,егер
бір жүйенің кезкелген векторы екінші жүйенің векторлары арқылы сызықты ӛрнектелсе. Бұл
бинарлық қатынас рефлексивті,симметриялы, транзитивті,яғни эквивалетті қатынас болады.

Эквивалентті векторлар жүйесінің қасиеттерін қарастыр
алық.

Теорема.
S векторлар жүйесі мен T векторлар жүйесі эквивалентті болуы үшін
олардың сызықтық қабыршақтарының тең болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема.
Егер S векторлар жүйесі мен T векторлар жүйесі эквивалентті болса және
олардың әрқайсысы сызықты
тәуелсіз болса,онда бұл жүйелердегі векторлар саны тең
болады.

Дәлелдеу.

u
1
,u
2
,…,u
k

мен

v
1
,v
2
,…,v
m

жүйелерінің әрқайсысы сызықты тәуелсіз және
ӛзара эквивалентті болсын.

u
1
,u
2
,…,u
k


L(v
1
,v
2
,…,v
m
),онда 
-
салдар бойынша k
m.
v
1
,v
2
,…,v
m

L(
u
1
,u
2
,…,u
k
), онда m
k. Сондықтан да k=m.

Анықтама. В
екторлардың ақырлы жүйесінің сызықты тәуелсіз ішкі жүйесі оның
базисы деп аталады,егер оның сызықты қабыршағы берілген векторлар жүйес
інің сызықты
қабыршағы болса.

Басқаша айтсақ, векторлардың ақырлы жүйесінің сызықты тәуелсіз ішкі жүйесі оның
базисы деп аталады,егер жүйенің кезкелген векторы сол ішкі жүйенің векторлары арқылы
сызықты ӛрнектелсе.

Теорема.
Нолден ерекше ең болмағанда бір
векторы бар векторлардың
ақырлы жүйесінің базисы бар.Берілген векторлар жүйесінің кезкелген екі базисының
векторларының саны тең болады.

Векторлардың ақырлы жүйесінің рангы.

Анықтама.
Векторлардың ақырлы жүйесінің рангы деп оның базисын құ
райтын ішкі
жүйенің векторлар санын айтады.

Теорема.

Егер
u
1
,u
2
,…,u
k

L(v
1
,v
2
,…,v
m
),онда
u
1
,u
2
,…,u
k

векторлар жүйесінің

рангы
v
1
,v
2
,…,v
m

векторлар жүйесінің рангысынан кем немесе тең болады.

Дәлелдеу
і
. Егер
u
1
,u
2
,…,u
k

жүйесі нолдік
векторлардан тұрса,онда оның рангы 0
-
ге
тең,сондықтан ол
v
1
,v
2
,…,v
m
векторлар жүйесінің рангысынан аспайды. Енді 1
-
ші жүйенің ең
болмағанда бір векторы нолден ерекше болсын. Онда теореманың шарты бойынша 
-
ші
жүйенің де ең болмағанда бір векторы нолден ере
кше болады. Олай болса, бұл жүйелердің
базистары бар болады.
u
1
,u
2
,…,u
r
-

1
-
ші жүйенің базисы,ал
v
1
,v
2
,…,v
s



2
-
ші жүйенің базисы
болсын делік. Онда L(
v
1
,v
2
,…,v
m
)=L(
v
1
,v
2
,…,v
s
).Теореманың шарты бойынша
u
1
,u
2
,…,u
k

L(v
1
,v
2
,…,v
m
),сондық
тан
u
1
,u
2
,…,u
r

L(v
1
,v
2
,…,v
s
).

u
1
,u
2
,…,u
r

сызықты тәуелділігінен 
-
ші
салдар бойынша r
s.

Теорема.
Егер векторлардың ақырлы жүйесінің рангысы r болса,онда k вектордан
тұратын оның ішкі жүйесі k >r болғанда сызық
ты тәуелді болады.

Дәлелдеу.

v
1
,v
2
,…,v
m

берілген векторлар жүйесі болсын.Оның базисы

v
1
,v
2
,…,v
r
.
Егер

u
1
,u
2
,…,u
k

берілген жүйенің ішкі жүйесі болса, онда u
1
,u
2
,…,u
k

L(v
1
,v
2
,…,v
r
)=
L(v
1
,v
2
,…,v
m
)
.
k >r болғанда 1
-
салдар бойынша
u
1
,u
2
,
…,u
k

сызықты тәуелсіз.

29


Теорема.

Егер

(1) мен () векторлар жүйесінің рангылары тең болса,

a
1
, a
2
, …a
m

(1)

a
1
, a
2
, …a
m
, b (2)

онда
, b
векторы (1) жүйенің векторлары арқылы сызықты ӛрнектеледі,

яғни
b =
a
1
+

a
2
+


+
a
m
.

Дәлелдеу.

a
1
, a
2
, …a
r

-

(1)жүйенің базисы болсын.
() жүйенің рангысы да r
-
ға тең болғандықтан
оның ішкі жүйесі

a
1
, a
2
, …a
r

,

b
сызы
қты тәуелді болады.

4
0
-
қасиет

бойынша

b

L(
a
1
, a
2
,
…a
r
).
Сонды
қтан да

b

L(
a
1
, a
2
, …a
m
).
Олай болса


скалярлары табылып


b =
a
1
+

a
2
+ …+
a
m
.

Анықтама.

L
сызықтық кеңістіктің реттелген векторларының ақырлы

жүйесі
сызықты тәуелсіз болса және
L

дың кезкелген векторы осы жүйенің векторлары арқылы
сызықты ӛрнектелсе, онда ол жүйе

L

сызықты кеңістіктің
базисы

деп аталады.

Базис құрайтын жүйеде оның әр векторының осы жүйеде оналасу орны анықталғ
ан
болады.Бір базистың векторларын түрліше номірлеп түрлі базистарды алуға болады.

Теорема.
Егер сызықтық кеңістікте n вектордан тұратын базис бар болса,онда бұл
кеңістіктің кезкелген басқа базисы да n вектордан тұрады.

Анықтама.
n вектордан тұратын базисы

бар сызықтық кеңістік

n
-
ӛлшемді кеңістік деп, ал n саны кеңістіктің ӛлшемі деп аталады.

Нӛлдік вектордан ғана тұратын сызықтық кеңістікте базис жоқ,сондықтан оның ӛлшемі
0
-
ге тең деп есептеледі.Кей жағдайларда кезкелген натурал m саны үшін кеңістікте m
в
ектордан тұратын сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі табылады
.Бұл жағдайда сызықтық
кеңістік шексіз ӛлшемді кеңістік деп аталады.Шексіз ӛлшемді кеңістікте базис жоқ.

Мысалда
р
.

1
.

арифметикалық R
векторлық кеңістігі n
-
ӛлшемді

2
.

Түзудегі

вектолар кеңістігі
-

1ӛлшемді, жазықтықтағы векторлар кеңістігі
-
 ӛлшемді,
кеңістіктегі векторлар кеңістігі
-
 ӛлшемді.

3
.

[0;1] аралығында анықталған х тәуелсіз айнымалылы үзіліссіз функциялардың
сызықтық кеңістігі шексіз ӛлшемді кеңістік.Себебі,
кезкелген

натурал m саны үшін
кеңістікте m вектордан тұратын сызықты тәуелсіз 1,х, х
2
,...,х
m
-
1

векторлар жүйесі табылады.

4
.

Кезкелген

комплекс саны

Яғни, 1мен і сандары кеңістіктің базисын
құрайды.Сондықтан, компл
екс сандар кеңістіктігі  ӛлшемді.

Теорема.

n
-
ӛлшемді сызықтық кеңістікте n вектордан тұратын әрбір реттелген
сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі базисты құрайды.

Теорема.
n
-
ӛлшемді сызықтық кеңістіктің

сызы
қ
ты тәуелсіз
k
вектор
дан тұратын

реттелген
жүйесі
н базисқа дейін толықтыруға болады.


Сызықтық кеңістіктердің изоморфизмы

Анықтама.
Егер

L және L
*

сызықты кеңістіктерінің элементтерінің арасында ӛзара
бірмәнді

сәйкестігі табылып мына екі шарт орындалса:
1)
,
2)
,онда бұл кеңістіктер ӛзара изоморфты деп
аталады.

Теорема.

Р ӛрісінде берілген

б
ірдей ӛлшемді сызықтық кеңістіктер ӛзара изоморфты.

Дәлелдеуі
.

L және L
*

сызықтық кеңістіктері бірдей ӛлшемді болсын. Олай болса

олардың базистарын құрайтын жүйеге енетін векторлар саны бірдей болады.L кеңістігінен
a
1
, a
2
, …a
m
базисын

және L
*

кеңістігінен
a
1
*
, a
2
*
, …a
m
*
базисын

алайық
.

бейнелеуі L
жиынының
a
1
+

a
2
+ …+
a
m

векторын L
*

сызықтық кеңістігінің
a
1
*
+

a
2
*
+
…+
a
m
*
векторына бейнелесін.Бұл бейнелеу изоморфты бейнелеу болады.

Сызықтық ішкі кеңістіктер

Анықтама.
L сызықт
ық кеңістігі берілсін. Егер: 1) L
1


L; 2) L
1
жиынының кезкелген екі векторының қосындысы L
1
жиынында жатса; ) L
1

жиынының
30


кезкелген векторы мен кезкелген скалярдың кӛбейтіндісі L
1
жиынында жатса,онда
L
1

кеңістігі L кеңістігінің ішкі кеңістігі деп аталады.

Мысалдар.1)

L сызықтық кеңістіктің

a
1
,a
2
,…a
m

векторларының
сызықты қабыршағы
L(
a
1
,a
2
,…a
m
)
оның ішкі кеңістіктігі.

) n белгісізді біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің фундаменталды шешімдер жүйесі
(n
-
r)
-
шешімдерден тұрады. Олай болса, шешімдер кеңістігінің ӛлшемі (n
-
r)
-
ға тең.Бұл
кеңістік n
-
ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі.

)Жазықтықтағы векторлар кеңістігі кеңістіктегі векторлар кеңістігінің ішкі кеңістігі.

Ішкі кеңістіктер
дің қосындысы және қиылысуы


L сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістіктері L
1


L және L
2


L болсын.

Анықтама

.

L
1

және L
2

ішкі кеңістіктерінің қосындысы L
1
+L
2

деп әрбір
у
векторы
үшін

L
1,

L
2
, у=х
1

2


болатын

жиынды айтады.

Яғни,

L
1

+ L
2

=

Берілген сызықты кеңістіктің  ішкі кеңістіктерінің қосындысы оның ішкі кеңістігі
болады.Шынында да, L
1
+L
2

қосындысынан у,у
/
векторларын қарастыр
алық. Олай болса,

L
1,

L
2
, у=х
1

2

және де

L
1,

L
2
, у
/

1
/

2
/
. Осы у,у
/
векторларының
қосындысы L
1
+L
2

жиынында жататынын кӛрсетелік. у+у
/

= (х
1

2

)+( х
1
/

2
/
)

=( х
1
+ х
1
/
)+


2


2
/
).Ал

L
1
,

L
1

сондықтан да (х
1

2

)

L
1
.Сонымен қатар,


L
2
,

L
2
сондықтан да

L
2
.Олай болса, у+у
/

L
1
+L
2
.


скалярлық шама

болсын.

у
L
1
+L
2
. Енді
у
L
1
+L
2

екендігін
кӛрсетелік.у=х
1

2
.Осы теңдіктің екі жағын да
-
ға кӛбейтсек
у=
х
1
+
х
2
. L
1
мен L
2

сызықтық кеңістіктер болғандықтан
х
1
L
1
,
х
2
L
2
. Онд
а
х
1
+
х
2
L
1
+L
2
,яғни
у
L
1
+L
2
.

Анықтама.
L
1

және L
2

ішкі кеңістіктерінің ортақ векторларынан тұратын L
1
L
2

жиынын олардың қиы
лысуы деп атаймыз.
у

L
1
L
2
,


L
1

және

L
2
.

Яғни, L
1


L
2

=
.

Берілген кеңістіктің
L
1

және L
2

ішкі к
еңістіктерінің қиылысуы
оның ішкі кеңістігі
болады.

Шынында да,
L
1
L
2

қиылысуынан у,у
/
векторларын қарастыралық. Олай болса,

L
1,

L
2
және де

L
1,

L
2
. Осы у,у
/
векторларының қосындысы L
1
L
2

жиынында
жататынын кӛрсетелік. у+у
/


L
1
, у+у
/


L
2
.Олай болса, у+у
/

L
1
L
2
.


скалярлық шама болсын.

у
L
1
L
2
. Енді
у

L
1
L
2

екендігін кӛрсетелік.
у
1
L
1
,
у
2
L
2
. Онда
у

L
1
L
2
.

Теорема.
Екі ішкі кеңістіктің қосындысының ӛлшемі олардың ӛлшемдерінің
қосындысынан екеуінің қиылысуының ӛлшемін алып таста
ғанға тең.

Анықтама.

Егер L
1
L
2

Ø

болса, онда L
1

және L
2

ішкі кеңістіктерінің L
1
+L
2

қосындысы тура қосынды деп аталады.

Теорема.
Екі ішкі кеңістіктің тура қосындысының ӛлшемі олардың ӛлшемдерінің
қосындысына те
ң болады.

Евклид кеңістігі

Анықтама.
Нақты сандар ӛрісіндегі сызықтық кеңістіктегі
х,у

кезкелген екі векторға
олардың скалярлық кӛбейтіндісі деп аталатын
(х,у) арқылы белгіленетін нақты сан сәйкес
келтірілсе және мына тӛмендегі шарттар орындалса:

1
0
.(х,у)=(
у,х),

2
0
.(х+у,
z
)=(
x
,
z
)+(
y
,
z
),

3
0
.(
x
,
y
)=
(
x
,
y
),

4
0
.(
x
,
x
�)0,

егер х≠0,

онда ол Евклид кеңістігі деп аталады.
1
0
-
4
0

қасиеттер скалярлық кӛбейтіндінің
аксиомалары деп аталады.

Осы аксиомалардың салдарлары:

1.(х,

y
)

=
(
x
,
y
)
.

31


.(х,у+
z
)=
(
x
,
y
)+(
x
,
z
).

3.
x
, (
x
,
0
)=0.

4.
ж
әне


Вектордың ұзындығы.

Екі вектордың арасындағы бұрыш

Анықтама
.
х

векторының ұзындығы деп


|
арқылы белгіленетін


санын
айтамыз
.

Анықтама. х
және
у
векторларының арасындағы бұрыш деп мына теңдікті
қанағаттандыратын

бұрышының мәнін

айтамыз:

cos
=

Анықтама
.Егер екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі 0
-
ге тең болса,онда олар
ортогоналды

немесе
перпендикуляр

векторлар деп аталады.

0
векторы

кеңістіктің кезкелген векторына ортогоналды.

Ортонормаланған базис

Анықтама.
Егер евклид кеңістігінің

е
1

2
,...,е
m

векторла
р жүйесінің


i
,e
j
)=

болса
,

онда жүйе ортонормаланған деп аталады.

Теорема.

Ортонормаланған векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз

Дәлелдеуі.

е
1

2
,...,е
m

векторлар жүйесі ортонормаланған болсын.

е
1
+
е
2
+...+
е
m
=0 теңдігінің екі жағын да
е
i

векторына кӛбейтейік(скалярлық).
(
е
1
+
е
2
+...+
е
m
,
е
i
)=(0,e
i
).Скалярлық кӛбейтіндінің қасиеттерінен

мына теңдік шығады:

(
е
1
, е
i
)

+
(
е
2
, е
i

)+...+
(
е
i
,
е
i
)+…+
(
е
m
,
е
i
)=0.

Базис ортонормаланғандықтан
·0

+
·0+...+
·1+…+
·0=0 теңдігі шығады.Олай
болса,
=0.

Теорема
. n ӛлшемді евклид кеңістігінде n вектордан тұратын ортонормаланған жүйе
табылады.

Дәлелдеуі. n бойынша математикалық индукция әдісімен дәлелдейміз.

1) n=1 болғанда теорема дұрыс. Шынында да,
а

векторы нолден ӛзгеше болса, онда
е
1
=
·
a
векторы нормаланған сызықты тәуелсіз жүйе.

2) (n
-
1)ӛлшемді евклид кеңістігінде (n
-
1)вектордан тұратын ортонормаланған базис
табылсын деп индуктивті
жорамалдап, n ӛлшемді кезкелген E
n

евклид кеңістігі үшін
теореманың дұрыс екендігін дәлелдейміз.

а
1

2
,...,а
n

векторлар жүйесі E
n

кеңістігінің базисы болсын.

а
1

2
,...,а
n
-
1

векторлар
жүйесінің сызықты қабыршағы L(
а
1

2
,...,а
n
-
1
) ӛлшемі (n
-
1)
-
ге тең евклид
кеңістігі.Индуктивті жорамал бойынша бұл кеңістікте (n
-
1) вектордан тұратын
ортонормаланған база табылады.Олар
е
1

2
,...,е
n
-
1

болсын.

а
n
/

=

а
n

-
е
1
-
е
2
-
...
-
е
n
-
1

векторын қарастыралық.

,
,...

коэффициенттерді
а
n
/

векторы
е
1
, е
2,
...

е
n
-
1
векторларының әрқайсысына перпендикуляр болатындай таңдап
аламыз.


n
/


i
) =


n
,e
i
)

-
.



n
,e
i
)

-

=

0.
Онда

=


n
,e
i
)

.

e
n
=
-
1
· а
n
/

векторының ұзындығы 1
-
ге тең және ол
е
1
, е
2,
...

е
n
-
1
векторларының
әрқайсысына перпендикуляр.Соныменен,
е
1
, е
2,
...

е
n
-
1

n


векторлар жүйесі ортонормаланған
базис.Мате
матикалық индукция принципы бойынша теорема кезкелген n ӛлшемді евклид
кеңістігі үшін дұрыс.Теорема дәлелденді.

32


Ортогонализациялау процесы

е
1

2
,...,е
n

сызықты тәуелсіз

векторлар жүйесі болсын. Ортогоналды
a
1
,a
2
,…,a
n

векторлар жүйесін құралық.

а
1
=e
1
;


а
2
=
e
2
+
a
1
.
Теңдіктің екі жағын да а
1

векторына скалярлық кӛбейтеміз.


1

2
)=(a
1
,e
2
) +
(a
1
,a
1
). Мұндағы
коэффициентін

(
а
1

2
)=0 болатындай етіп
таңдаймыз.
.

а
2
=
e
2
+
(
)
a
1
-
ортогоналды базистың екінші векторы.

а
3
=e
3
+
a
1
+
a
2
.
Теңдіктің екі жағын да алдымен
а
1
-
ге, содан кейін а
2
-
ге скалярлық
кӛбейтіп, (а
3

1
)=0 және (а
3

2
)=0 болатындай етіп таңдасақ:
;
.

Ортогоналды базистың үшінші векторы:

а
3
=
e
3
+
(
)
a
1
+
(
)
a
2
.

Осылайша процесті жалғастыра отырып

а
n

=

е
n

+
а
1
+
а
2
+
...
+
а
n
-
1

векторын қарастыралық.

,
,...

коэффициенттерді
а
n

векторы
а
1
,
а
2,
...

а
n
-
1
векторларының әрқайсысына перпендикуляр
болатындай таңдап аламыз.


Мысал.

R
3

арифметикалық векторлық
кеңістіктің берілген
е
1
=(1,1,1);

е
2

= (0,
-
1,
-
1);
е
3
=(1,,) сызықты тәуелсіз векторлар жүйесіне ортогонализация процесін қолданып
ортогоналды жүйені табыңыз.


Шешуі
.

а
1
=
(1,1,1);
а
2
=

e
2
+
(
)
·
a
1
=
(0,
-
1,
-
1)
+
·
(1,1,1)
=(
)
;


а
3
=
e
3
+
(
)
·
a
1
+
(
)
·
a
2
=

(1,2,3)
+(

(1,1,1)
+
(
)·(
)

=
(1,2,3)
+
(
-
2
,
-
2
,
-
2
)
+(1,
,
)
=(0,
,
)
.
C
оныменен,ортогоналды векторлар жүйесі:

а
1
=
(1,1,1);

а
2
=(
)
;
а
3
=
(0,
,
)
.


n ӛлшемді арифметикалық векторлық кең
істік.

Анықтама
.
-

нақты сандар ӛрісі берілсін. Реттелген n нақты сандардан тұратын
жиын нақты сандар жиынының
n
-
ші декарттық дәрежесі

деп аталып былайынша
белгіленеді: R
n

={(
1
,
2
,
,…,

n
) |
i

R }. R
n

жиының әрбір элементін
n ӛлшемді
вектор
деп атаймыз.
1
,
2
,
,…,

n

сандары n
-
ӛлшемді
=(
1
,
2
,
,…,

n
)
векторының координаталары деп аталады.

R
n

жиынында векторды векторға қосу және векторды санға

кӛбейту амалдарын
анықтайық.

Анықтама.
=(
1
,
2
,
,…,

n
);
=(
1
,
2
,
3
, …
n
)
векторларының
қосындысы

деп

+
=(
1
+
1
,

2
+
2
,
3
+
3

,…,

n
+
n
) векторын айтамыз.

Анықтама.


саны мен
=(a
1
,a
2
,a
,…,
a
n
) векторының кӛбейтіндісі деп
=(
1
,
2
,
,…,

n
) векторын айтамыз. Бұл унарлық алгебралық амалды w

арқылы
белгілейміз.

Мысал.

=(
-
1,2,3,);
=(5,,) болсын,онда

+
=(4,5,5); 5
=(
-
5,10,15,).

33


Анықтама.

=(
1
,
2
,
,…,

n
) мен
=(
1
,
2
,
3
, …
n
) векторларының сәйк
ес
координаталары ӛзара тең, яғни

болса, ондай векторлар тең деп аталады.

Амалдардың қасиеттері
:

1.

,


R
n
,

+
=

+
; (қосу амалының комутативтілігі);

2.

,
,


R
n
,

(

+
) +

=

+ (

+
); (қосу амалының ассоциативтілігі);

3.




R
n
,



+


=
.
Мұндағы
=(0,0,0…0)


нольдік вектор;

4.



R
n
,


(
-



R
n
),

+(
-

)
=
;

5.

(

+
)
=

+
;

6.

(
)
=
;

7.

(
)
=
;

8.

1

R, 1

Анықтама.

R
n

,+,w

> алгебралық жүйе n
-
ӛлшемді арифметикалық векторлық
кеңістік деп аталады.

Анықтама.

R
n

кеңістігінің
,
,...

векторлар жүйесі
сызықтық тәуелді

д
еп
аталады,егер
+

+...+
=

теңдігі
,
,...

сандарының кейбіреулерінің
нольден ерекше мәндерінде орындалса.

Мысал.

=(
-
1,2,3,);
=(4,
-
8,
-
1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді,ӛйткені

+1·
=

Анықтама.

R
n

кеңістігінің
,
,...

векторлар жүйесі
сызықтық тәуелсіз

деп
аталады,егер
+

+...+
=

теңдігі
=
=...=
= 0 болғанда ғана орындалса.

Мысал.

=
(1,0,…,0),

=
(0,1,…,0),…

=
(0,0,…,1) векторлар жүйесі сызықтық
тәуелсіз жүйе. Бұл жүйе n

,+,w

> n ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің
бірлік векторлар жүйесі

деп аталады.

Анықтама.

,
,...

векторларының сызықтық комбинациясы деп мына түрдегі
+

+...+

кезкелг
ен векторды атайды.

Анықтама.

,
,...

векторларының барлық сызықтық комбинацияларынан
тұратын жиынды L (
,
,...
) арқылы
белгілейміз де оны осы векторлар жүйесінің
сызықтық қабыршағы деп атаймыз.

Анықтама.
Егер
=
+

+...+
болса, онда

векторы
,
,...

векторлары арқылы сызықты ӛрнектеледі деп айтамыз.

Сызықты тәуелді және тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері:

1.

=(0,0,0…0) векторы бар жүйе сызықты тәуелді.

2.

Егер де жүйенің қандай да бір ішкі жүйесі сызықты тәуелді болса, онда ол жүйе
сызықты тәуелді.

3.

Сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінің кезкелген ішкі жүйесі сызықты тәуелсіз.

4.

,
,...

векторлар жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін оның ең болмағанда біреуі
басқалары арқылы сызықты ӛрнектелуі қажетті және жеткілікті.

4
-
қасиеттің дәлелдеуі:

Қажеттілік.
,
,...

векторлар жүйесі сызықты тәуелді болсын. Онда
+

+...+
=

тең
дігі орындалады.Мұндағы
,
,...

коэффициенттерінің
кейбіреулері нольден ерекше.

делік.
=
-

-
...
-
. Соңғы теңдіктің
34


екі жағын да
-
ге бӛліп
=
-

-
...
-

теңдігін аламыз.
векторы
,...

векторлары арқылы сызықты ӛрнектелді.

Жеткіліктілік
.

,
,...

векторлар жүйесінің бір векторы,мысалға
,басқалары
арқылы сызықты ӛрнектелсін.
=

+...+
. Бұл теңдіктіктен (
-
1)·
+

+...+
.=0 шығады.
,
,...

векторлар жүйе
сі сызықты тәуелді
,
ӛйткені (
-
1)·
+

+...+
.=0 теңдігі

векторының алдындағы коэффициентінің нольден
ерекше мәнінде (
) орындалды.

5.

Егер
,
,...

векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз, ал
,
,...
,

ве
кторлар
жүйесі сызықты тәуелді болса,онда

векторы
,
,...

векторлары арқылы сызықты
ӛрнектеледі.

Теорема

. L (
,
,...
) жиынының
,
,...

векторлар жүйесі сызықты тәуелді.

Салдар1
. Егер
,
,...


L
(
,
,...
) және k>m болса,онда
,
,...

векторлар
жүйесі сызықты тәуелді.

Салдар.

Егер
,
,...

векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болса және
,
,...


L (
,
,...
) болса, онда k
m.

Салдар.
Егер

m

n+1болса, онда n ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің
,
,...

векторлар жүйесі сызықтық тәу
елсіз.

Анықтама.

n
-

ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің максималды сызықтық
тәуелсіз
,
,...

векторлар жүйесі оның
базисы
деп аталады.

n
-

ӛлшемді арифметикалық векторлық кең
істіктің кезкелген

векторы максималды
сызықты тәуелсіз
,
,...

векторлар жүйесінің векторлары арқылы сызықты
ӛрнектеледі:
=
+

+...+
.Онда (
,
,...
) жүйесі

векторының
,
,...

базисындағы
координаталары

деп аталады,ол былайша белгіленеді:
= (
,
,...
).

Ескерту.

n
-

ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің максималды сызықтық
тәуелсіз
,
,...

векторлар жүйесі, яғни оның базисы шексіз кӛп. Сондықтан n
-

ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістікті
ң

векторының әртүрлі базадағы
координаталары әртүрлі болады.

Мысал.

,+, w

-
 ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістік болсын.
(1,0);
(0,1
); жүйесі 
-

ӛлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің максималды сызықты
тәуелсіз векторлар жүйелерінің бірі.
= (1,) векторы
(1,0);
(0,1) базистық
векторлары бойынша былайша жіктел
еді:
=1·
+·
. Басқа
=(2,1);

=(
-
1,1)
базисіндегі

векторының координаталарын есептелік.

вектор
ының соңғы базадағы
белгісіз координаталарын (
,
) арқылы белгілейік.
= (
,
) болсын.
=
+
=

(2,1)+

(
-
1,1)= (·
,1·
)+ (
-

,1·
)= (·
-

,1·
+1·
))=
(·
-
,
+
));
= (1,) болғандықтан
.Бұл жүйенің жалғыз ғана шешімі бар:
35


=1;

=1.Соныменен

векторының
=(2,1);

=(
-
1,1) базисіндегі

координаталары
= (1,1).

Анықтама
.
,
,...

векторлар жүйесінің сызықты тәуелсіз ішкі системасы оның
базисы

деп аталады,егер бұл жүйенің кезкелген векторы осы ішкі жү
йенің векторлары
арқылы сызықты ӛрнектелсе. Базис құрайтын ішкі жүйенің векторларының саны векторлар
жүйесінің рангысы деп аталады.

Анықтама.

,
,...

векторлар жүйесін қарапайым түрлендір
у деп мына
жүргізілетін түрлендірулерді айтамыз:

1)

жүйенің кезкелген векторын нольден ӛзгеше санға кӛбейту;

2)

жүйенің бір векторына басқа векторын санға кӛбейтіп қосу (алу);

3)

жүйеден нольдік векторды шығарып тастау немесе нольдік векторды жүйеге енгізу.

Теорема
.

Векторлар жүйесіне жүргізілген қарапайым түрлендірулер оның рангысын
ӛзгертпейді.

Векторлық алгебра.

Анықтама
.
А,В

нүктелерін қосатын кесінді бойымен қарама
-
қарсы екі бағыттың
бірімен жылжуға болады. Егер
А


ны бастапқы,
В
-
ны соңғы нүкте десек, онда
бағ
ытталған

АВ

кесіндісін аламыз.Бағытталған АВ кесіндісі оның бағыты мен ұзындығы арқылы
анықталады.


Бағытталған кесіндіні вектор деп атаймыз.

Бағытталған АВ кесіндісімен анықталатын векторды
деп белгі
лейміз. Егер
В=А

болса, онда

нольдік вектор

деп аталады. Нӛлдік вектордың ұзындығы нӛлге
тең,бағыты анықталмағын.

Векторды белгілеу үшін латынның кіші
... әріптерін де пайдаланамыз.

Егер
векторы және
А

нүктесі берілсе, онда

болатындай тек бір ғана
В

нүктесі
табылады. Мұны
А

нүктесінен

векторын
ӛлшеп салу

дейді.


векторының
ұзындығы

(модулі)

деп, осы векторды анықтайт
ын кез
-
келген
бағытталған кесіндінің ұзындығын атайды. Оны

деп белгілейді.

Анықтама.

Егер нӛлдік емес
және

векторлары бағыттас болып және олардың
ұзындықтары тең болса,онда олар тең век
торлар деп аталады.

Анықтама
.

Егер
және

векторларын анықтайтын бағытталған кесінділер бір түзуге
параллель болса, не бір түзуде жатса, онда осы векторларды
коллинеар
деп атайды,
белгіленуі:
.

О

нүктесінен бастап ӛзара коллинеар екі
,

векторларын салалық:

.
Егер
l

түзуінің бойындағы
А,В

нүктелері
О

нүктесінің бір жағында орналасса, онда
және

бірдей бағытталған

делінеді, ал егер
l

түзуінің
А,В

нүктелері
О

нүктесінің әр түрлі жағында
орналасса, онда
мен

қарама
-
қарсы бағытталған

делінеді.



Векторды векторға қосу


векторлары және
О
нүктесі берілсін.
О
-
дан бастап

векторын саламыз:

Шыққан
А

нүктесінен бастап

векторын саламыз:
. Пайда болған

векторы
берілген

векторларының қосындысы деп аталады.

(3
-
сурет)









А


36









Қасиеттері: 1
0
.

2
0
.


3
0
.

4
0
.



Мұндағы

векторы

векторына
қарама
-
қарсы вектор

деп аталады.

Анықтама.

және

векторларының
айырмасы

деп

векторын
айтады. (1.4
-
сурет)









Мысал.


векторы берілсін
.
;

векторларын салу керек.

















векторы

векторымен бағыттас, ал ұзындығы

векторының ұзындығының
жартысына тең;

векторы мен

векторы қарама
-
қарсы бағытталған
;

векторының
ұзындығы

векторының ұзындығынан екі есе ұзын;

Векторларды қосудың параллелограмм ережесі

Кезкелген А нүктесін алып

векторларын ӛлшеп саламыз.Сол екі
векторды

қабырғал
ары етіп, B параллелограмын саламыз. Сонда

нүктесінен
шығатын оның

диа
гоналі

векторы болады.



В С





А
D


О


0.5

-
2

1.5

-

сурет. Векторларды салу







1.6



сурет. Векторларды қосу






В



1.
4
-
сурет

37



Бірнеше

векторларды қосу үшін, әрбір келесі

векторының басын
алдынғы


векторының соңғы ұ
шымен түйістіріп, бірінші

векторының
басымен соңғы

векторының ұшын қосып,

векторын тұрғызады.












Векторды санға кӛбейту

Нӛлден ӛзгеше

векторының
≠0 санына кӛбейтіндісі деп тӛмендегі екі шартты
қанағаттандыратын
векторын айтады:

1)

) егер
�0 (
<0) болса, онда
мен

бірдей (қарама
-
қарсы) бағытталған. Белгіленуі
:

=
. Егер
=0 болса, онда

=0.


Қасиеттері:

1)

3)


2)

4)



Коллинеар векторлар. Екі вектордың коллинеарлық шарты.

Анықтама.
Бағыттары бірдей немесе қарама
-
қарсы

бағытталған нӛлдік емес

және

векторлары
коллинеар векторлар

деп аталады да,ол былайша белгіленед:

.

Теорема.


және нӛлден ӛзгеше

векторлары коллинеар болуы үшін

=


теңдігін қанағаттандыратын

санының табылуы қажетті және жеткілікті.

Анықтама.
Белгілі бір ретпен алынған жазықт
ықтың кезкелген коллинеар емес екі
векторын жазықтықтағы базис деп атайды.

Мысалға, ұзындықтыры 1
-
ге тең, ӛзара перпендикуляр
,

векторлары коллинеар
емес. Олай болса, ол жазықтықтың базисын құрайды және жазықт
ықтың кез
-
келген
векторын осы екі вектордың сызықтық комбинациясы түрінде жаза аламыз:
.

Жоғарыдағы қасиеттерге ие болатын

векторларын векторлық кеңістіктің
базистік
вектор
лары дейді.

болса

сандарын

векторының
-
базистегі координаталары
дейді. Егер
Оху

тік бұрышты координаталар жүйесінде

векторын анықтайтын

бағытталған кесіндінің ұштары
,

болса, онда
=

векторының
координаталарын

мына формуламен табамыз:

Мысал.

А
(2,3),
В

(4
,5) нүктелері берілсін. Онда
.

Анықтама.
Егер АВ түзуі жазықтыққа параллель болса,онда

векторын осы
жазықтыққа параллель вектор деп атайды.

Анықтама.
Бір жазықтыққа параллель векторлар компланар векторлар деп
аталады.





1.
7
-

сурет.

вектордың қосындысы


38


Анықтама.
Кез келген компланар емес

векторлар үштігі кеңістік базисі деп
аталады.

Теорема

(базис туралы)
.

Ә
рбір

векторы (түзуде, жазықтықта немесе кеңістікте)
базистік векторлар арқылы сызықты ӛрнект
еледі және ол вектор үшін мұндай ӛрнек жалғыз
ғана болады:

1)

түзуде:

2)

жазықтықта:

3)

кеңістікте:

Дәлелдеу
і
.

1)
Берілген т
үзу

бойынан О нүктесін белгілеп

векторын сол н
үктеден ӛлшеп саламыз.
О нүктесінен бастап
және
векторларын сала отырып
векторын бірлік вектор ретінде
аламыз.


вектордың соңғы нүктесі

нүк
тесі болсын, онда векторларды кӛбейту
анықтамасы бойынша
,
.






) Жазықтықта.

,

және

векторлары Р жазықтығында жатсын. Осы жазықтық
тың О нүктесінен
векторларды жүргіземіз, ал

векторының соңғы ұшын А арқылы белгілеп,

және

векторларынан

және

ӛсін жүргіземіз.

Ал А нүк
тесі арқылы осы ӛстерге параллель болатын түзу жүргізіп,

пен

қиылысу нүктелерін

және

деп белгілейміз.

















ӛсіндегі

нүктесінің координатасын

арқылы, ал

ӛсіндегі

нүктесінің
координаларын

арқылы белгілейік.
Онда векторлардың қосындысы туралы анықтама
бойынша
:
.

3.

Кеңістікте
.


нүктесі
н
ен

векторларын салып
,

,

,


ӛстерін жүргіземіз.

векторының соңғы

нүктесінен
,

;
,


;
,



ӛстеріне параллель болатын үш
жазықтық жүргіземіз.
,

,


ӛстерінің
жазықтықтармен қиылысу нүктелерін

,

,



арқылы белгілей
ік:
.

Y

X

A
1
(x)

A
2
(y)




A

O

1.
9
-

сурет. Жазықт
ықтағы вектордың
координаталары


1.
8


сурет. Түзудегі векторлар координатасы

0

1


A(x)


39


Анықтама.

вект
орының түзуде, жазықтықта немесе кеңістікте базистік векторлары
арқылы сызықтық ӛрнегінің коэффициенттері осы базистегі

векторының координаталары
деп аталады.

Түзуде жатқан вектордың бір

координатасы, жазық
тықта
; кеңістікте

координаталары болады.

векторы кеңістікте

арқылы ӛрнектеледі.

Анықтама.

Нӛлдік емес

векторының
бағыттаушы косинустары
деп, осы вектор
мен

ӛстерінің арасындағы

бұрыштарының косинустарын айта
ды
.














11


сурет. Вектордың бұрыштары.

























Салдар.


векторыны
ң

ба
ғ
ыттаушы косинуст
а
ры
:



;
;
.



X

Y

Z




1

1

1

0




A(x,y,z)


1.10
-
сурет


1.

X

Y

Z





0

40


Дәлелдеуі.

болғандықтан,

алдыңғы салдарды ескере
отырып,

.

Мысал.


векторының бағыттаушы косинустарын табу керек.

;
;
.

Салдар.
.


Теорема.

Векторларды қосқанда оларды
ң сәйкес координаталары қосылады, ал
векторды санға кӛбейткенде оның барлық координаталары осы санға кӛбейтіледі.

Кеңістікте

декарттық координаталар жүйесі берілсін. Бұл жүйемен байланысты
болатын, сәйкес бірлік векторлары
,
,

ӛстерінің бойында орналасқан. Осы базистік
векторларды

арқылы белгілейік.


Анықтама.

Егер вектордың басы

координаталар бас нүктесінен баст
алып, соңы

нүктесі болса, онда

векторы

нүктесінің радиус
-

векторы деп аталады.


жүйесінде

нүктесінің координатасы

болса, онда

радиус
-

векторды
былай жазуға болады:
,

Тік бұрышты координаталар жүйесінде
,

нүктелері
берілсе, онда

базисінде

векторының координаталары:
.

Мысалдар 1.


берілген.

векторының

базисіндегі
координатасын табу керек.

Шешуі.
=(2
-
1,3
-
(
-
1),4
-
1
)=(1,4,3).


.

2.

нүктесінің радиус
-
векторының ұзындығы мен бағыттаушы косинусын
анықтаңыз
Шешуі
.
.


3.


нүктелері берілген.

векторының координаталарын
және оның бағыттаушы косинустарын табыңыз.

Шешуі
.




4.

1)

векторлар жүйесінің базис құрайтынын дәлелдеңіз.




41


2)

=(4,,1) векторының осы базистегі координаталарын табыңыз.

Шешуі
.


1)

Олай болса бұл жүйе

сызықтық тәуелсіз. 
-
ӛлшемді R
3
-
кеңістігінде  вектордан тұратын сызықтық тәуелсіз
кезкелген жүйе базисты құрайды.

2)
; Бұл сызықтық теңдеулер жүйесінің жалғыз
ғана шешімі бар:



. Олай болса,

векторының

баз
исіндегі координаталары
(
-
3,1,2)

Жазықтықтағы координаталар жүйесі


Жазықтықта қандай да бір О нүктесі және

кез келген базисінен тұратын жүйе
координаталар жүйесі деп аталады. Белгіленуі: (
)

О


координаталар басы
,
-

координаталық векторлар

деп аталады.
Координаталар басы арқылы, координаталық векторларға параллель ӛтетін бағытталған
түзулер
координаталық ӛстер

деп аталады.

векторымен
анықталған ӛс


абсцисса

ӛсі

деп, екіншісі


ординаталар
ӛсі

деп

аталып, Ox және Oy деп белгіленеді.

O

жүйесіндегі кез келген M нүктесіне
жүргізілген

векторы M нүктесінің
радиус

векторы

деп
аталады.

векторының x және y координаталары M
нүктесінің (0,
) жүйесіндегі
координаталары
деп
аталады: M (x,y).

O
жүйесіндегі M нүктесінің координаталары деп

теңдігін
қанағаттандыратын x,y сандар аталады.

Мысал.

ABCDEF
-

дұрыс алтыбұрыш (0,0)
-

координаталар басы
. Алтыб
ұрыштың қалған тӛбелері мен центрінің координаталарын табу
керек.

Шешуі: А нүктесі координаталар басы болғандықтан, оның координаталары белгілі
-

A(0,0).
-

радиус векторлар, сондықтан B және F тӛбелерінің координаталары
келесідей: B(1,0), F(
0,1). Дұрыс алтыбұрыштың қасиеттерін ескере отырып, қалған векторлар
мен тӛбелер координаталарын есептеу қиын емес:

42


, яғни

, яғни

, яғни

, яғни



Екі нүктенің ара

қашықтығы


Егер (x
1
;y
1
) және B(x
2
;y
2
)
-

нүктелерінің координаталары белгілі болса, онда

векторының координаталық ӛстердегі проекциялары болып ұзындықтары |
| және
|
|

болатын кесінділер саналады. Бұл кесінділер гипотенузасы АВ
-
ға тең тік бұрышты
үшбұрыштың катеттері, ендеше Пифагор теоремасы бойынша:
.

Кесіндінің ортасы

Кесіндінің ұштарының координаталары
бойынша (
)
кесіндінің ортасы

болып табылатын нүктенің
(M(x,y)) координаталарын есептеу керек.

Ол үшін M
1
M және MM
2

кесінділерінің
ОХ
осіне проекциялары тең болуын қолдануға
болады.

Сонда,

немесе
.

Осыдан,

неме
се
. Дәл солай,
.


Кесіндіні берілген қатынасына бӛлу

Анықтама.
Жазықтықтың кез келген

нүктелері және қандай да бір

саны
үшін

(1) теңдігі оры
ндалса, онда М нүктесі

кесіндісін

қатынасында
бӛледі дейді.

Теңдік бойынша

және

векторлары параллель, сондықтан берілген үш нүкте
бір түзуге тиісті.

Есептің тал
абы
-

кесінді ұштарының координаталары және

саны берілген
жағдайда


кесіндісін

қатынасында бӛлетін М нүктесінің координаталарын есептеу
формуласын табу.

Осы үш нүктені координаталар бас нүк
тесімен қосып, үш радиус
-

векторды салайық.
Үшбұрыш ережесі бойынша мынадай теңдіктер аламыз:


(1)
-

теңдігіне сәйкес ӛрнектерді қойып есептейік:



Координаталарға кӛшетін болсақ, келесідей теңдіктер аламыз:

, осыдан

43



немесе


Жеке жағдайда
=1, яғни М нүктесі


кесіндісінің ортасы болса, онда кесіндінің ортасын есептеу формуласын аламыз:


Есеп
.

B кесіндісін 7:5 қатынасында бӛлетін С нүктесінің координаталарынтап.
Кесінді ұштары келесідей:
.

Шешуі: Есептегі

саны

-
ге тең, яғни

.


нүктесінің координаталарын формулаға қойып есептейміз:




Жауабы:

.


кесіндісін
=
-
1 қатынасында бӛлетін нүкте табылмайды.

Расында,

және
=
-
1 болса, онда
, яғни
.

Есеп.

А

және В

нүктелерінде

және

массалары шоғырланған. А және
В материалды нүктелер жүйесінің ауырлық центрінің координаталарын тап.

Шешуі: А және В нүктесінің С ауырлық центрі АВ кесіндісін А және В нүктелерінде
шоғырланған массаларға кері пропорционал қатынаста бӛлетіні белгілі,
сондықтан

Олай болса,



Векторлардың сызықтық тәуелділігі

,
,....

(1) векторлар жүйесін қарастырайық

болсын.


векторы бер
ілген
,
,....

векторларының
сызықтық комбинациясы

деп аталады.

44


Сонымен қатар,

векторы
,
,....

сызықтық ӛрнектеледі
дейді.


=

() теңді
гі

коэффициенттерінің бәрі нольге тең
болған жағдайда орындалады, алайда бұл теңдік

коэффициенттерінің кейбіреуі нольге
тең болмаған жағдайда да орындалуы мүмкін.

Анықтама.

=

теңдігі орындалатындай
, ең болмағанда
біреуі нӛлге тең емес

сандары табылса
,
,....

векторлар жүйесі
сызықтық тәуелді

деп аталады.

Егер () теңдік
жағдайында ғана орындалса, онда (1) жүйе
сызықтық тәуелсіз

деп
аталады.

Сызықтық тәуелді жүйелердің қасиеттері:

1
0
. Жалғыз вектордан тұратын жүйе нольдік вектор жағдайында ғана сызықтық
тәуелді.

Расында

теңдігі кезкелген

үшін орындалады.

2
0
. n
жағдайында (1)
-
ші жүйе векторлары
ның ең болмағанда біреуі қалғандарының
сызықтық комбинациясы болғанда ғана сызықтық тәуелді.

Дәлелдеуі:

1)

векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болсын. Сонда

=

теңдігі орындалып, коэффициенттері ішінд
е нольдік емесі
табылады
.
Ендеше сол коэффициентке сәйкес векторды басқа
векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады:

2)

векторы қалғандарының сызықтық комбинациясы болсын, яғни

=

немесе

=
.

Соңғы теңдікте
, сондықтан сызықтық тәуелділіктің анықтамасы бойынша
берілген векторлар жүйесі сызықтық тәуелді.

3
0
.

Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі құрамында нӛлдік векторлар болма
йды.

Расында,

=
, мұнда

ноль болмауы мүмкін (яғни жүйе
бұл жағдайда сызықтық тәуелді болып кетеді).

4
0
.

Векторлар жүйесінің

қандай да бір бӛлігі сызықтық тәуелді болса, онда жүйенің ӛзі
де сызықтық тәуелді.

Дәле
лдеуі:

,



векторларының алғашқы ℓ векторларынан тұратын ішкі
жүйесі сызықтық тәуелді болсын, яғни
+
+…+
=
,

коэффициенттерін
ің кем дегенде біреуі ноль емес. Олай болса,

+
+…+
+ 0

+0

теңдігі ақиқат, яғни
жүйенің ӛзі де сызықтық тәуелді.

5
0
. Егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болса, онда оның кез
келген бӛлігі де
сызықтық тәуелсіз.

Расында, 4
0

бойынша бӛлігі сызықтық тәуелді болса, жүйенің ӛзі де сызықтықтық
тәуелді болуы керек.

Тұжырым:


және

векторлары коллинеар болғанда ғана сызықтық тәуелді.

45


Дәлелдеуі:


1)
болсын. Сонда векторлардың бірі екіншісі арқылы

ӛрнектеледі:
, яғни бірі екіншісінің (қалғандарының) сызықтық комбинациясы.
Соңғы ӛрнек векторлардың параллельдік белгісі болып табылады.

2)

және

коллинеар болсын. Онда


Жүйе сызықтық тәуелсіз болуы үшін барлық коффициенттер ноль болуы керек еді, ал
екінші вектор коэффициенті (
-
1)
-
ге тең. Ендеше жүйе сызықтық тәуелді.

Тұжырым:

векторлары компланар болғанда ғ
ана сызықты тәуелді.

Дәлелдеуі:

1)


-

сызықтық тәуелді болсын. Сонда

және

қосылғыштардың коэффициенттерінің бәрі ноль емес, мысалы
. Олай болса
, яғни

векторлары бір жазықтыққа тиісті, ен
деше олар компланар.

2)

Қандай да бір векторлар жұбы параллель болуы
мүмкін.

а)

және

параллель болсын. Сонда
векторларынан тұратын

сызықтық тәуелді, ендеше жүйенің ӛзі де сызықтық тәуелд
і.

б)

және

коллинеар емес, яғни сызықтық тәуелсіз болсын. Сонда

немесе
. Ендеше жүйе сызықтық тәуелді.

Сызықтық тәуелсіз

векторлардың мысалы ретінде бірлік векторларды алуға болады.
Кеңістікте үш
бірлік вектор берілсін:

e
1
={1,0,0}, e
2
={0,1,0}, e
3
={0,0,1}. () түріндегі теңдікті құрастырайық:

.

Ашып жазатын болсақ, келесідей векторлық теңдік аламыз:

(
)+(
)+(
)=(
)=
.

Нәтижесі
нде

белгісіздеріне қатысты теңдеулер жүйесі алынып, оның
жалғыз нольдік шешімі табылады, яғни
. Бұл
-

сызықтық тәуелсіздіктің
шарты.


Векторлардың координаталары

Тұжырым:

Егер

векторлары компланар болмаса, онда к
ез келген
векторы
үшін

теңдігін қанағаттандыратын

сандары табылады және олар
жалғыз.

Дәлелдеуі:

Берілген векторлар арқылы кеңістікте бір
нүктеден шығатын координаталық ӛстерді жүргізейік.
Кеңістіктің кез келген P

нүктесін алып,

радиус векторын салайық. P нүктесі координаталық
ӛстердің бірінде болуы мүмкін(мысалы

векторын
қамтитын ӛсте бола алады). Екі жағдайды да
қарастырыйық.

1
0
. Егер P
немесе
, яғни талап
орындалып тұр.

2
0
. Егер P нүктесі координаталық ӛстердің ешбірінде жатпаса,

радиус
векторының

жазықтығына ОP
1

проекциясын жүргізейік. Сонда

векторы

46


векторына параллель болуынан

және

-

векторларының компланар
болуынан
.

Үшбұрыш ережесі бойынша
. Олай болса

.

Тұжырымның екінші бӛлігін дәлелдеу үшін кері жориық, яғни


теңдігін қанағаттандыратын

сандары ж
алғыз емес болсын.
Сонда
және
. Теңдіктердің оң жақтарын
теңестіре келе жаңа теңдікке жетеміз:



Соңғы ӛрнектегі

векторлары шарты бойынша компланар емес, яғни сызы
қты
тәуелді емес, ендеше
.

Салдар:
Кеңістікте

үшеуден артық векторлардан тұратын кез келген жүйе сызықты
тәуелді.

Дәлелдеуі:

1
0
.

векторлары компланар болсын. Сонда
векторларынан құралған
жүйе, құрамында тәуелді іш
кі жүйесі болуы себебінен (яғни

сызықты тәуелді
болады.

2
0
.

векторлары компланар болмасын. Сонда d
-

олардың сызықтық
комбинациясы болуы керек. Ендеше жүйе сызықты тәуелді.

Анықтама.

Егер жүйе белгілі бір тәртіппен беріліп, сы
зықты тәуелсіз болса және
кеңістіктің кез келген векторы берілген векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы болса,
онда ол векторлар кеңістігінің
базисі
деп аталады.

Базистік векторлар саны векторлық кеңістіктің
ӛлшемі
деп аталады.

Мысалы, түзудің бойынд
ағы векторлар бірі
-
біріне параллель болады, яғни сызықты
тәуелсіз вектор саны бірден артпайды. Ендеше түзу бір ӛлшемді кеңістік.

Жазықтықта сызықтық тәуелсіз векторлардың максимальді саны екеу болады, ал
үшінші вектор олардың комбинациясын береді. Ендеше

жазықтық
-

екі ӛлшемді кеңістік.

Қандай да бір тәртіппен алынған үш компланар емес векторлар жүйесі үш ӛлшемді
векторлық кеңістіктің базисін құрайды, сонымен қатар, кеңістіктің кез келген базисі үш
вектордан тұрады.


векторлары кеңістіктің ба
зисі болса, олар
базистік векторлар

деп аталады.


базисінде қандай да бір

векторын алайық.

Тұжырым бойынша

теңдігі орындалатындай

сандары табылады және олар жалғыз.

Соңғы теңдік

векторының
базистері бойынша жіктелуі деп, ал

коэффициенттері

векторының осы базистегі
координаталары

деп аталып, былай
белгіленеді:
.

Координаталардың қасиеттеріне тоқтала кетейік.

(

базисінде екі вектор берілсін:
және


векторының координаталарын табу керек болсын.


Векторлардің
базисі бойынша жіктелуі:


және
.

Ізделінді век
тордың қосылғыштарын ашып жазатын болсақ келесі ӛрнекке келеміз:

47



және
.
Орындарына қойып есептесек нәтижеге жетеміз:

.
Сонымен,

-

ізделінді вектор.

Қорыта келе, координаталар
дың тӛмендегідей қасиеттерін байқаймыз:

1
0
. Екі вектор қосындысының координатталары қосылған векторлардың сәйкес
координаталарының қосындысына тең.

2
0
. Санды векторға кӛбейткенде сан оның әрбір координатасына кӛбейтіледі.

3
0
.

базисінде бер
ілген

және


векторлары коллинеар болуы үшін, олардың координаталары пропорционал
болғаны қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі:

1)

және

коллинеар болсын. Сонда

теңдігін қанағаттандыратын

саны
табылады. Координаталарына кӛшсек, мынадай теңдіктер аламыз:
.

2)


және

векторларының координаталары пропорционал болсын, сонда
,

және
.

Олай болса,



)

.

Анықтама.

Егер

базисінің векторлар жүйесі келесі шарттарды қанағаттандырса:

1)векторлардың ұзындықтары 1
-
ге тең;

)векторлар қос
-
қостан ӛзара перпендикуляр,


онда ол ж
үйе
ортонормаланған базис

деп аталады.

Тұжырым:
Координаталары

ортонормаланған базисте берілген


векторының ұзындығы келесідей анықталады:


Дәлелдеуі:

Координаталық ӛстердің бойында параллелепипедтің үш сыбайлас қырларын О
т
ӛбесінен шығатын етіп салайық.

векторын диагоналды қамтитын
радиус
-
векторы ретінде қарастыра аламыз. Бұл вектордың координаталық ӛстердегі
сәйкес проекцияларын



және

деп белгілейік. Сонд
а

немесе
.

Тік паралипепедтің диоганалы ұзындығының квадраты оның үш ӛлшемінің
квадратының қосындысына тең:



.


Қарапайым есептер.

1
-

есеп:

N нүктесі
-

B кесіндісінің ортасы, ал O
-

кез келген нүкте.

Дәл
елдеу керек:

48


Дәлелдеуі:

,

+

(
)

2
-
есеп
:

N нүктесі
-

B үшбұрышының ауырлық центрі. O
-

кеңістік нүктесі.

Дәлеледеу керек:


Дәлелдеуі:

Үшбұр
ыш ережесі бойынша

мұнда



.

3
-
есеп
:

Пифагор теоремасына кері тұжырымды дәлелде.

Тұжырым:

Егер
болса, онда

= 90
0

Дәлелдеуі: B үшбұрышы қабырғаларында векторларды салып,
-

векторын
жіктейік, сонда
.

Осы вектордың скаляр квадратын қарастырайық.

= (
)

(
)=


-


-
,


Мұнда, тұжырым ш
арты бойынша, жақша ішіндегі
қосынды нольге тең.


Ендеше

және

= 90
0
.

4
-
есеп
:

B үшбұрышының  бұрышы мен екі
қабырғасын біле отырып(B=c, =b),

медианасын тап.

Шешуі: Медиана болуы себебінен


,яғни

немесе
=

десек,
.

5
-
есеп
.

Ӛзара перпендикуляр O,OB,O сәулелері бір нүктеден шығады. OB және
BO бұрыштарының биссектриссалары арасындағы бұрышын тап.

Шешуі:

ортонормаланған базис векторларын берілген сәулелер бойында сәйкес
орналастырып, келесідей белгілеулер енгізейік:


,

,
.

49


Сонымен қатар,

және

десек, есептің тала
бы осы екі
және

векторлары
арасындағы бұрышты табу болып шығады. Бірлік
векторлардың координаталарынбіле отырып, есеп
шешіміне жетеміз. Сонымен,
)=

және
.

.
Жауабы:
.

6
-
есеп
.

Егер тэтраэдрдің екі қарама

қарсы қырлар жұбы
перпендикуляр болса, онда қырлардың үшінші жұбы да перпендикуляр болатынын дәлелде.

Берілгені: OB
-

тетраэдр, сонымен қатар, O


B және OB


 болсын.
Векторларды келесідей енгізіп бе
лгілейік:
,
,
.

Дәлелдеу керек: O


AB

Дәлелдеуі:

OA

B,сондықтан

= 0

OB


, сондықтан

= 0 немесе
. Осы ӛрнектердің
айырымын есептесек, қажет тұж
ырымға келеміз:






.


Координаталарды түрлендіру формулалары

Жазықтықта екі координаталар жүйесін қарастырайық (
) және (
).
Біріншісін ескі, ал екіншісін
-

жаңа базис дейік.

М нүк
тесінің сәйкес базистегі координаталарын келесідей белгілейміз:

және
. Координаталарды түрлендіру есебінің мәні мынада: жаңа базистің
координаталарының бас нүктесі және жаңа координаталық векторлардың ескі жү
йесіндегі
координаталарын біле отырып
,
М
нүктесінің ескі жүйедегі
(х,у) координаталарын жаңа жүйедегі (
) координаталары арқылы ӛрнектеу керек.


Үшбұрыш ережесі бойынша,
. Координаталар ар
қылы жазсақ
келесі ӛрнекті аламыз:


мұнда

,


және
.

Мәндерін орындарына қойып, түрлентірейік. Сонда,



немесе

.

Вектор
лардың координаталарын теңестіре келе, координаталарды түрлендіру
формулаларын аламыз:

50





Координаталарды түрлендірудің жеке жағдайлары

1.

Координаталар басын кӛшіру
. Бұл жағдайда (
)
және (
) координаталаржүй
елерінің базистік
векторлары бірдей, ал бас нүктелері әр түрлі. Сонда

және
. Ендеше түрлендіру формулалары
келесідей:

2.


Координаталық векторларды ауыстыру
.


(
) және (
) координаталар жүйелерінің бас нүктелері бірдей, ал
базистік векторлары басқа. Бұл жағдайда (бұру)
,
сонымен қатар,



және
. Олай болса,

.

3.

Тік бұрышты координат
аларды түрлендіру.

Лемма.

O,

ортонормаланған базисінде
векторының (
) координаталары келесі формула
бойынша есептеледі:

,
.

Салдар: O,

ортонормаланған базист
е

-

бірлік векторының координаталары
келесідей:

Екі тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін:


O,

және
.


және

векторлары арасындағы бұрыш α болсын.

Со
нда жаңа базистік векторлар келесідей анықталады:

Сонымен қатар, келтіру формулалары бойынша,


Ендеше,


Полярлық координаттар



О

нүктесі мен

бірлік векторынан тұратын
жүйе


полярлық координаталар жүйесі
деп аталады.
О

нүктесі арқылы

векторына параллель
ОР


осі
полярлық ӛс

деп, ал
О

нүктесі
-
полюс

деп аталады.
М



жазықтықтың кез келген нүктесі болсын. Полюстен М
-

r

M


O

P

y

x

51


нүктесіне дейінгі қашықтық
-

полярлық рад
иус

деп, ал осы ОМ векторы мен

векторының
арасындағы
= (
i, OM
) бұрышы
-

полярлық бұрыш

деп аталады. Декарттық
координаталармен байланысын табу үшін екі координаталық жүйені бір суретке саламыз.
Нүктенің координаталарын белгілейік:








,


Екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі

Анықтама.



векторларының скалярлық кӛбейтіндісі деп олардың ұзындықтары
мен арасындағы бұрыштың косинусынының кӛбейтіндісіне тең болатын санды(скалярды)
атайды және оны

арқылы белгілейді.


Скалярлық кӛбей
тіндінің қасиеттері:

1
0
.

2
0
.

3
0
.

4
0
.

Анықтама.
Егер екі вектордың скалярлық кӛбейтіндісі 0
-
ге те
ң болса, онда олар
ортогоналды векторлар немесе перпендикуляр векторлар деп аталады

Теорема.



мен

векторларының скалярлық кӛбейтіндісі сәйкес
координаталарының кӛбейтіндісінің қосындысына тең болады,яғни

.

Дәлелдеуі.

,

болсын. Скалярлық кӛбейтіндінің
қасиеттерін пайдаланып мына теңдікті аламыз:


(
) · (
) =
.


векторлары ӛзара перпендикуляр бірлік векторлар болғандықтан

·
=
·
=1,
·
=0.
Сондықтан

болады.

Салдар.

векторының ұзындығы
.

Салдар.
Нӛлден ӛзгеше екі вектор перпендикуляр болуы үшін олардың скалярлық
кӛбейтіндісі нольге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Салд
ар.

мен

векторларының арасындағы бұрыш



Мысалдар.1
.
,

болса,

скалярлық кӛбейтіндісі:


2.



Олай болса
.

3.

Е
гер

,

берілсе, онда

және

векторлар
ы қабырғалары
болатын параллелограмның үлкен

диагоналінің ұзындығын табу керек
.








C





0

52












болғандықтан,



.

4.



векторлары берілген.


а)

векторын;

б)

векторының ұзындығын;

с)

мен
векторларының арасындағы

бұрышты табыңыз.

Шешуі
.
а)

б)

в)

cos

;

5.


векторларының арасындағы бұрыштың мәні
.

мен
векторларының скалярлық кӛбейтіндісін табу керек;

Шешуі
.




Векторлардың векторлық кӛбейтіндісі

Анықтама
.

векторының

векторына
векторлық кӛбейтіндіс
і

деп келесі ережелер
бойынша анықталатын
векторы аталады:

1.
векторы

және

векторлары жазықтығына перпендикуляр;

2.
-

векторының ұзындығы
салынған

параллелограмм ауданының сандық мәніне тең
.

3.
-
векторының бағыты оның ұшынан қарағанда
рінші кӛбейткішінен
-
екінші
кӛбейткішіне ең қысқа бұру
-

сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта орындалатындай бағытқа
сәйкес.

Белгіленуі:

немесе

Н
егізгі қасиеттері:

1
0

Кӛбейткіштердің орны ауысқанда векторлық кӛбейтінді таңбасын ӛзгертеді:


1.13
-
сурет

53




=
sin(
).


Екі параллель вектордың векторлық кӛбейтінді
сі ноль
-
вектор.




=
.


=k,
=i,
=j, сонымен қатар
=
-
k,
=
-
і
=
-
j.


6
0

.

7
0

Тұрақты кӛбейткішті
векторлық кӛбейттіндінің алдына шығаруға болады, яғни
.

8
0


векторлары үшін
.

Енді (
i,j,k)
базисінде берілген

және

векторларының
векторлық кӛ
бейтіндісін есептеп кӛрейік.


=
а
1
i
+
а
2
j
+
а
3
k
,
=
в
1
i
+
в
2
j

3
k

екенін ескеріп, кӛбейтуді орындайық, сонда

[

(
-
)i+(
)j+(
-
, мұнда

[ii]=[jj]=
=0 жә
не

[ ij]=k, [jk]=і, [ki]=j, [ji]=
-
k, [ik]=
-
j, [kj]=
-
i.

Анықтауыш түрінде жазылуы:
.

Мысалы, тӛбелері



нүктелерінде болатын үшбұрыштың
ауданын табу керек болсын.

, мұнда

. Олай болса,


.

Мысалдар:

1.


;

2.

;

3.



,


берілсе, онда

табу керек.

Векторлық кӛбейтіндіні есептеу үшін векторлық кӛбейтіндінің қасиеттері мен
вектордың модулінің қасиеттерін қо
л
данамыз, сонда


4.

векторларының векторлы
қ

кӛбейтіндісін табу к
е
рек.

54




Векторлық

кӛбейтінді

екі

берілген

векторға

перпендикуляр

болатын

вектордың

коорд
и
наталарын

табу

үшін

қолданылады
.
Басқа

жағдайда

векторлық

кӛбейтіндінің

модулі

сол

векторлардан

құрылған

параллелограмның

ауд
а
нына

тең
,
яғни


.

Ал үшбұрыштың ауданы

.

Салдар.


және

векторлардан құрылған пар
аллелограмның
ауданы м
ы
наған тең:

,

үшбұрыштың ауданы:


үшб
.

Мысал.

Тӛбелері



нүктелерінде болатын үшбұрыштың
ауда
нын табу керек.

, мұнда

. Олай болса,


.

Жауабы: S=
.


Салдар
.

Егер
,

векторлары

жазы
қ
ты
ғ
ында жатса
,

онда
осы векторлар
ғ
а
құрыл
ғ
ан параллелограмм ауданы
:


немесе

,

ал

ұшбұрыштың

ауданы
:

.

Векторлардың

аралас кӛбейтіндісі


55



c

b

a

d

O



B


D


A


















Анықтама.

,

,


векторларының
аралас кӛбейтіндісі

деп,
,


векторларының
векторлық кӛб
ейтіндісінің

векторына скаляр кӛбейтіндісін
айтады:
.

Геометриялық мағынасы
.
а,в,с
-

компланар емес векторлар
болсын. Бір тӛбеге тиісті қырлары
осы үш векторды қамтитын
параллелепипедті салайық.

кӛбейтіндісі
параллелепипедтің
табанына перпендикуляр

векторын
анықтайды. Сонда
аралас кӛбейтіндіні табу үшін

және

векторларының скаляр
кӛбейтіндісін анықтау жеткілікті.


Сонымен,

,
,

векторларында құрылған параллелепипед кӛлемі осы үш вектордың
аралас кӛбейтіндісінің модуліне тең болады:


.

Аралас кӛбейтіндінің қасиеттері:


1
0
.
Аралас

көбейтінд
і көрші екі көбейткіштің орны ауыстырылғанда таңбасын
өзгертеді:
;


2
0
.

,

,


векторлары компланар болуы үшін, олардың аралас кӛбейтіндісі нӛлге тең
болуы қажетті ж
әне жеткілікті.

3
0
.
, яғни тұрақты кӛбейткішті аралас кӛбейтіндінің алдына шығаруға
болады;

Тұжырым.
Егер


базисінде
,
,

векторлары берілсе
, онда олардың аралас кӛбейтіндісін анықтауыш түрінде жазуға болады:

56


.

Расында,


.

Салдар.

,
,

векторларынан қ
ұрылған
параллелепипедтің кӛлемі:

.

Тетраэдрдің кӛлемі:

тетр
.

Мысалы, тӛбелері
,

,

,


нүктелер
інде болатын
тетраэдрдің кӛлемін табу керек.

Тетраэдр
,

,


векторларынан құрылған, сондықтан
.

Есеп.




векторлары сызықтық тәуелді ме?

Шешуі: Кеңістікте үш вектор компланар болса ғана сызықтық тәуелді болатынын және
компланар векторларда салынған параллелепипедтің биіктігі ноль болатынын ескерсек,
есеп жауабын алу үшін осы векторлардың аралас кӛбей
тіндісін нольге теңестірсек
жеткілікті:

.



болғандықтан, векторлар компланар емес, яғни сызықтық тәуелсіз.

Мысал
.




векторлары базис
құрайтынын тексеру
к
е
рек.

Аралас кӛбейтіндіні табу үшін 
-
ші ретті анықтауышты есептейміз

.

болғандықтан, векторлар компланар емес, яғни
кеңістікте базис құрайды.

57


Мысалы, тӛбелері
,

,

,


нүктелерінде болатын
те
т
раэдрдің кӛлемін табу керек.

Тетраэдр
,

,


векторларынан құрылған,

сондықтан
.



4
-
дәріс:

АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ


Жазықтықтағы түзудің теңдеуі

Анықтама.

Берілген түзуге параллель кез келген нольдік емес вектор


түзудің
бағыттаушы векторы

деп аталады.

Түзудің жазықтықтағы орны оның бағыттаушы векторы мен қандай да
бір нүктесі
берілсе немесе түзудің екі нүктесі берілген жағдайда тура анықталады.

Нүктесі және бағыттаушы векторы арқылы берілген түзудің теңдеуі.

Түзудің

нүктесі және
бағыттаушы векторы берілсін.

Жазықтықты
ң қандай да бір М(x,y) нүктесі осы түзуге тиісті болуы үшін

векторы


векторына параллель болуы керек. Олай болса,

бұл екі вектордың
координаталары пропорционал болуы керек. Пропорционал бағандары болған ж
ағдайда
матрица анықтауышы нольге тең екені белгілі, сондықтан осы вектор координаталарын
бағаны етіп орналастырсақ, анықтауыш ноль болуы керек. Яғни

,

немесе


(1)


Екі нүктемен берілген түзу

теңдеуі

Түзудің екі нүктесі берілсін:

және
.

Осы екі нүкте арқылы ӛтетін түзудің теңдеуін жазу үшін алдыңғы есептегі түзудің
бағыттаушы векторының орнына

векторын алса жеткілікті. Сонда іздел
інді теңдеу
болып бағыттаушы векторы

және нүктесі

болатын
түзу саналады:


(2)

Бұрыштық коэффициентімен берілген түзу

а
-
түзуі ординаталар осімен қиылыссын.
-
түзуді
ң бағыттаушы векторы болса,
онда

және

коллинеар емес, сондықтан

58



саны түзудің
бұрыштық коэфиценті

деп аталады. Егер

және

екенін ескерсек, онда

(1)
-

теңдеуін ескере отырып, түзудің теңдеуін анықтаймыз:



(3)

Егер

нүктесі ретінде

нүктесін алсақ, теңдеу келесідей жазылады:
у =
кх + в.

Расында,

немесе



және



Ендеше y = kx + b (
/
)

Мысал.  (1,) нүктесі арқылы ӛтетін және х


у +1= 0 түзуіне параллель түзудің
теңдеуін жазу

керек болсын.

Параллель түзулердің бұрыштық коэффициенттері тең, сондықтан ізделінді түзудің
бұрыштық коэффициенті
. Енді () теңдеудегі

сандарының орнына А
нүктесінің координаталарын қойсақ, есеп шешіміне жетеміз:


немесе
.

Түзудің параметрлік теңдеуі


-

түзудің бағыттаушы векторы, ал
-
осы түзуге тиісті нүкте болсын.

Жазықтықтың қандай да бір М(x,y) нүктесі осы түзуге
тиісті
болуы үшін

вектор
ы


векторына параллель
болуы
керек. Сонда,

параллельдік шарты бойынша,

теңдігі орындалатындай t саны
табылуы керек. Координаталарға кӛшетін болсақ, түзудің параметрлік теңдеуін аламыз:



(4)

Мысалы,
түзудің параметрлік теңдеуі берілсін:


Екі теңдеуден параметрді анықтап, оларды теңестірейік,

сонда

, яғни
.

Енді теңдеуді бұрыштық коэффициент арқылы жаза аламыз:


.

59


Сонымен қатар, байқағанымы
здай

, олай болса

-

түзудің
бағыттаушы векторы.

Түзудің жалпы теңдеуі

Тұжырым.
Координаталар жүйесінде

x+By+=0 (5) теңдеуімен берілген қисық түзу
болып табылады. (
-
B,) векторы сол түзудің бағыттаушы векторы.

Дәлелд
еуі:
-

қисығы (5) теңдеуімен анықталсын.


нүктесі осы қисыққа тиісті десек, оның координаталары қисықтың
теңдеуін қанағаттандаруы тиіс, яғни
. Олай болса,

және
. Сонда


қ
исығының теңдеуі келесідей:
.

Ал енді

түріндегі ӛрнек түзудің теңдеуі болып
табылатынын ескерсек,


қисығының бағыттаушы векторы

векторына тең түзу екендігін байқаймыз.

(5)
-
түріндегі теңдеу
түзудің жа
лпы теңдеуі

деп аталады.


түзу берілген болсын: x+By+=0.

,B, сандарының кейбіреулері нольге тең болатын жағдайларды қарастырайық.

1.

. Бұл жағдайда түзу координаталарбасы арқылы ӛтеді:

x+By =0 немесе

2.

= 0. Бұл ж
ағдайда
, сондықтан
-

бағыттаушы вектор,
ал түзудің теңдеуі: By+=0 немесе
.

3.

B=0. Бұл жағдайда
, сондықтан
-

бағыттаушы вектор, ал
түзудің теңдеуі:

.

Екі түзудің ӛзар
а орналасуы

Анықтама.

Түзуге перпендикуляр болатын

векторы осы түзудің
нормаль векторы

деп аталады.

Лемма.


Егер түзу координаталардың тік бұрышты жүйесінде x+By+=0 теңдеуімен
берілсе, онда

векторы оған перпендикуляр.

Расында,
-

бағыттаушы вектор және

.

М
ысал.


түзудің нормаль векторын табу керек.

Шешуі: Осы теңдеуді жалпы түрде жазайық:
, мұнда
.

Салдар
.


және

нормаль векторларымен берілген

және

түзулерінің арасындағы

бұрышын
ың косинусы мына
формуламен табылады:





Салдар.

Егер

болса, онда
түзулер перпендикуляр болады.

Салдар
.

Егер

болса, онда
түзулер параллель болады.

60


Салдар
.

Егер

болса,

онда түзулер беттеседі.

М
ысалы,


және

түзулердің арасындағы
бұрышты табу керек. Мұнда
,
, ендеше
,

болғандықтан, түзулер перпендикуляр
болады.

Тұжырым
.

ӛтетін және

векторына
перпендикуляр тү
зудің теңдеуі келесідей:

.

Расында, жазықтықтың қандай да бір М(x,y) нүктесі осы түзуге тиісті болу үшін

және

векторлары перпендикуляр болуы керек, яғни



немесе

.

Б
ұл теңдеу
нормаль векторы бар түзудің теңдеуі

деп аталады.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық




түзуіне тиісті емес нүкте болсын.

нүктесінен
түзуіне түсірілген

перпендикулярының ұзындығы

нүктесінен
түзуіне дейінгі қашықтық

деп аталады.
Жазықтықтың қандай да бір

нүктесінен
түзуіне дейінгі қашықтықты

арқылы белгілейік.

Есеп.

O,

тікбұрышты координаталар жүйес
інде

нүктесі және d түзуінің
жалпы теңдеуі берілсін: x+By+=0.



қашықтығын табыңыз.

Шешуі.
-


нүктесінен
түзуіне түсірілген перпендикуляр болсын, сонда


векторы
түзуіне перпендикуляр, сондықтан

векторына коллинеар.


және

векторларының скаляр кӛбейтіндісін есептей келе, келесі қорытындыға
келеміз:

.

М
1

нүктесінің координаталары (x
1
y
1
)болсын. М
1


нүктесі d түзуіне тиісті, сондықтан
Ax
1
+By
1

=
-

 . Олай болса,

теңдігін ескере отырып:


Есеп.

Координаталардың бас нүктесінен x
-
4y
-
=0 түзуіне дейінг
і қашықтықты
тап.

Шешуі: :


Шарты бойынша =, B=
-
4, С
,
,



Түзудің нормаль теңдеуі

61


Алдымен түзудің полярлық координаталардағы теңдеуін алайық. О полюсі арқылы
ӛтпейтін
қандай да бір түзу берілсін. Полюс арқылы берілген түзуге перпендикуляр түзу
жүргізіп, оның берілген түзумен қиылысуын N деп
белгілейік.

-

полярлық ӛс пен ОN сәулесі арасындағы
бұрыш, ал р
-

кесіндінің ұзындығы болсын. Осы екі
параметр (
) белгілі деп есептеп, берілген түзудің
теңдеуін қорытып шығарайық.
-

берілген түзудің
қандай да бір нүктесі болсын. ONM тік бұрышты
үшбұрышынан:



(1)

(1)

-

түзудің полярлық координаталардағ
ы теңдеуі

деп аталады.

Бұл теңдеуді келесі қалыпта жазайық:


=

және

екенін ескеріп, алатынымыз:


(2)

Бұл теңдеу
түзудің нормаль теңдеуі

деп аталады.

Егер түзудің жалпы теңдеуі берілсе (А және В

коэффициенттері бір уақытта ноль емес),
онда оны () түріне келтіруге болады.

Расында да, жалпы теңдеудің екі жағын да қандай да бір

санына кӛбейтіп,

теңдеуін аламыз.

санын мына теңдіктер орындалатындай етіп
таң
дап аламыз:

,
,

. (3)


Соңғы ӛрнектегі алғашқы екі теңдіктердің екі жағын квадраттап, мүшелеп қосайық.
Сонда



теңдігін аламыз. Осыдан,


.


саны
нормалаушы кӛб
ейткіш

деп аталады.


теңдеуі

санының таңбасын анықтау мүмкіндігін береді.
болғандықтан
, яғни
.

Кеңістіктегі түзу және жазықтық

Жазықтық теңдеуі
.


және

-


жазықтығына параллель
L



векторлар
жиынтығындағы сызықтық тәуелсіз векторлар жұбы болсын. Сонда

және

-

L
ішкі
кеңістігі базисін құрайды.

және

векторларына керілген
L

(

) кеңістігін


жазықтығының
бағыттаушы ішкі кеңістігі

дейді.

Бағыттаушы ішкі кеңістігі
L

(

)
болатын

жазықтығында қандай да бір М
0

нүктесін алайық. Кеңістіктің қандай да бір М нүктесі

жазықтығына

векторлары компланар болғанда, яғни олардың аралас кӛбейтінділері нольге тең болға
нда
ғана тиісті болады:


=

0
. (1)

Осы теңдікті қолданып, әр түрлі әдіспен берілген

жазықтығының теңдеуін жазуға
болады.

Нүкте және бағыттаушы ішкі кеңістік арқылы берілген жазықтық теңдеуі.

62


Есеп.

Координ
аталар жүйесінде

нүктесі және екі коллинеар емес вектор
берілсін:

және
.

М
0

нүктесі арқылы ӛтетін және бағыттаушы ішкі кеңістігі
L

(

) бо
латын

жазықтығы теңдеуін жазу керек.

Шешуі: Жоғарыда айтылғандай, М нүктесі

жазықтығына (1) теңдігі орындалса ғана
тиісті болады. Олай болса, тӛмендегі теңдік орындалуы тиісті:

= 0

(2)

Егер М

онда (1) теңдігі орындалады, ендеше М нүктесінің

координаталары
() теңдігін қанағаттандырады.

Егер
,
онда


векторлары компланар емес, сондықтан (1) т
еңдігі
орындалмайды, ендеше
М

нүктесінің

-

координаталары () теңдігін
қанағаттандырмайды.

Сондықтан () теңдеуі

жазықтығының теңдеуі болып табылады.

Үш нүктемен берілген жазықтықтың теңдеуі

Есеп.

Бір түзуге тиісті
емес М
1
(x
1
, y
1
, z
1
)

, М
2
(x
2
, y
2
, z
2
), М
3
(x
3
, y
3
, z
3
)

нүктелері
арқылы ӛтетін жазықтық теңдеуін жаз.

Шешуі: Берілген нүктелер бір түзудің бойында емес, сондықтан


векторлары коллинеар емес және жазықтықтың бағыттаушы
ішкі кеңістігінің
базисін
құрайды. Бұл жазықтық М
1

нүктесі арқылы ӛтеді,
ал

кеңістігін
осы жазықтықтың ішкі кеңістігі болады деп анықтауға болады. Ендеше, оның теңдеуін ()


теңдеу үлгісімен жазуға болады:




=0 (3)

Нүкте және перпендикуляр вектор арқылы берілген жазықтық теңдеуі.


векторы

жазықтығының бағыттаушы ішкі кеңістігінің кез келген векторына
перпендикуляр болса, ол вектор

жазықтығына перпендикул
яр делінеді.

Есеп
.

Тік бұрышты координаталар жүйесінде
) нүктесі және нӛлдік емес
(А,В,С)

векторы берілсін. M
0

нүктесі арқылы ӛтетін және

векторына перпендикуляр

жазықтығының теңдеуін жазу керек.

Шешуі
: М

нүктесі

және

векторлары перпендикуляр болғанда ғана,
яғни олардың скаляр кӛбейтіндісі нольге тең болғанда ғана
-
жазықтығына тиісті болады:
.


және

векторларының координаталары келесідей:

және

сондықтан

. (4)

(4)
-
теңдеуі ізделінді теңдеу болып табылады.


Жазықтықтың жалп
ы теңдеуі


теңдеуінде

деп
белгілесек, келесі түрге келеміз:

Ax + By + Cz + D = 0 (5)


63


Ендеше, кеңістіктегі әрбір жазықтық (5) теңдеуімен, яғни нүкте координаталарына
байланысты бірінші дәрежелі теңдеу ретінде

беріле алады.

Керісінше, (5) теңдеуінде А, В, С коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нольге тең
болмасын. Айталық, С

болсын. Сонда (5) теңдеуін мына түрде жаза аламыз:

(6)

(6) теңдеуі (5) теңдеуімен мәнде
с. (6) теңдеуін (4) теңдеуімен салыстыра отырып, ол
М
0
(0;0;
-
) нүктесі арқылы және

векторына перпендикуляр ӛтетін жазықтықтың
теңдеуі болып табылатынын кӛреміз.

Сонымен, нүкте координаталарына байланысты кез кел
ген бірінші дәрежелі теңдеу,
яғни (5) түріндегі теңдеу жазықтықты анықтайды.

(5) түріндегі теңдеу
жазықтықтың жалпы теңдеуі

деп аталады.

Мысал.

М
0
(1;
-
5;6) нүктесі арқылы ӛтіп,

векторына перпендикуляр болатын
жазықтықтың теңдеуін
жаз.

Шешуі: (4) теңдік бойынша


немесе 4x+y
-
3z+24=0.


Жазықтықтың параметрлік теңдеуі


жазықтығы
) нүктесі арқылы ӛтіп, базисі

және

болатын
L

(
,
) кеңістігі оның бағыттаушы ішкі кеңістігі болсын. Сонда
М

нүктесі
= 0 теңдігі орындалған жағдайда ғана

жазықтығына тиісті
болады.

вектор
лары компланар, сондықтан сызықтық тәуелді. Олай болса,


(7)

теңдігін қанағаттандыратын u және v сандары табылады. Бұл теңдеу координаталар
арқылы келесідей қалыпқа келеді:


(8)

Осы теңдіктер

жазықтығының
параметрлік теңдеуі

деп аталады, мұнда u және v
-

параметрлер.

Тұжырым
. Координаталар жүйесінде

жазықтығының жалпы теңдеуі және

векторы берілсін.

векторы

ж
азықтығына параллель болуы үшін


(9) теңдеуі орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі:

нүктесінен

векторын жүргізейік.

Бұл теңдік координаталар арқылы былай жазылады:

,

мұнда

.

, сондықтан


64


M
1

M
0

n(A;B;C)


және

сондықтан


Ендеше


(1
0)

немесе


.


Жазықтықтың толық емес теңдеулері

Егер , B, ,  коэффициенттерінің бәрі нольден ӛзге болса, x+By+z+=0 жалпы
теңдеуі
толық
деп аталады. Коэффициенттердің ең болмағанда біреуі нольге тең болса,
онда (5) теңдеуі
тол
ық емес

деп аталады.

Толық емес теңдеулердің мүмкін жағдайларын қарастырайық.

1.
D = 0

Бұл жағдайда жазықтық координаталар басы арқылы ӛтеді (ӛткені координаталар
бас нүктесінің координаталары теңдеуді қанағаттандырады) .

2.

және

болса, онда By+z+=0 жазықтығы Ох осіне параллель
жазықтықты анықтайды (ӛйткені бұл жазықтықтың

нормаль векторы Ох осіне
перпендикуляр) . Дәл солай, x+z+=0 теңдеуі (В=0) Оу осіне пара
ллель жазықтықты, ал
x+By+=0 теңдеуі (С=0) Оz осіне параллель жазықтықты анықтайды.

3.
. Бұл жағдайда z+=0 теңдеуі (хОу) координаталық жазықтығына
параллель жазықтықты анықтайды ( ӛйткені бұл жазықтық Ох және Оу ӛстеріне паралл
ель).
Дәл солай, By+=0 теңдеуі (хОz) координаталық жазықтығына параллель, ал x+=0
теңдеуі (уОz) координаталық жазықтығына параллель жазықтықты анықтайды.

4. =0, B=0, =0 жағдайында z=0 теңдеуі (хОу) координаталық жазықтығын анықтайды
(ӛйткені бұл жа
зықтық (хОу) координаталық жазықтығына параллель және координаталар
басы арқылы ӛтеді). Дәл солай, Вy=0 (=0, =0, =0) теңдеуі (xOz) координаталық
жазықтығын, ал x=0 (B=0, =0, =0) теңдеуі (yOz) координаталық жазықтығын
анықтайды.

Нүктеден жазықтыққа де
йінгі қашықтық

Тік бұрышты координаталар жүйесінде

жазықтығының теңдеуі берілсін:
.

-

кеңістіктің бұл жазықтыққа тиісті емес нүктесінен осы
жазықтыққа дейінгі

қашықтықты (
) табу керек болсын.


нүктесі М
0

нүктесінің
жазықтықтығындағы проекциясы болсын.


векторы жазықтықтың нормаль
векторына параллель болатыны түсінікті.

Ендеше, олардың скаляр кӛбейт
індісін
жазып кӛрейік:


Бұдан,


Координаталық түрге кӛшіп, соңғы бӛлшектің алымы мен бӛлімін ықшамдайық.Сонда,


мұнда

және

екенін ескерсек, қажет
ф
ормуланы аламыз:

65


M

M
0


(11)

Мысалы,

координаталар бас нүктесінен

жазықтығына дейінгі қашықтықты есептеу
керек болсын. Жазықтық теңдеуі:

Жазықтық теңдеуінің коэффициенттері белгілі:

Формула
бойынша



Екі жазықтық арасындағы бұрыш

Теңдеулері берілген екі жазықтық арасындағы бұрышты табу керек болсын:



Екі жазықтық қиылысуында
тӛрт екі жақты бұрыш пайда болады. Солардың сызықтық
бұрыштарының кез

келгені берілген жазықтықтардың арасындағы бұрыш болып
табылады.Оны есептеу үшін жазықтықтардың бағыттаушы векторлары арасындағы
бұрыштарын тапса жеткілікті. Сонымен,

cos

(12)

Түзудің канондық теңдеуі


d
-
түзуіне пареллель кез келген нӛлд
ік емес вектор
бағыттаушы вектор

деп аталады. d
-
түзуінің кеңістіктегі орны келесі жағдайларда анықталады:

a) егер оның бағыттаушы векторы және қандай
-
да бір нүктесі берілсе;

б) түзудің екі нүктесі берілсе;

в) d
-
түзуінің бойымен қиылысатын екі жазықтық бе
рілсе.

Нүктесі және бағыттаушы векторымен

берілген түзудің теңдеуін жазу
керек болсын:



Жазықтықтың кез келген М нүктесі түзуге тиісті болуы үшін

векторы

векторына параллель болу
ы керек, яғни


Екі вектор пареллель болу үшін олардың координаталары пропорционал болуы керек,
яғни


(1)


векторы координаталарының бірі нӛлге
тең болса (мысалы р
3

)
және

векторларының коллинеарлық белгісі келесідей
жазылады:


(2)

(1), (2)
-

канондық теңдеулер

деп аталады.


Берілген екі нүктеден ӛтетін түзудің теңдеуі

66


Екі нүктесінің координаталары б
ерілген жағдайда түзудің теңдеуін анықтайық.

және

түзу нүктелері десек, d түзуінің бағыттаушы векторы ретінде
векторын алуға болады. Түзу

нүктесі арқылы ӛтеді
деп, канондық
теңдеуді қолдана отырып ізделінді теңдеуді аламыз:

, (3)

мұнда
.


Екі жазықтықпен берілген түзу теңдеуі

Жазықтықтардың теңдеулері берілсін:


(4)

Бұл жазықтықтар d
-
түзу
і бойымен қиылыссын. Сонда, M(x,y,z) нүктесі координаталары
(4) теңдеулер жүйесінің шешімі болса ғана d
-

түзуіне тиісті болады. Сондықтан, жүйе d
-
түзуінің теңдеуі болып табылады. Керісінше, кез келген (4) түріндегі теңдеулер жүйесі

матрицасының рангі 
-
ге тең болғанда кеңістіктің қандайда бір түзуінің теңдеуі
болады.


Түзудің параметрлік теңдеуі



-

түзудің бағыттаушы
векторы, ал

осы түзуге тиісті
нүкте болсын.

Кеңістіктің қандай да бір М(x,y,z)
нүктесі осы түзуге тиісті болуы үшін

векторы

векторына
параллель болуы керек. Сонда,
параллельдік шарты бойынша,

теңдігі орындалатындай
t
саны табылуы керек. Координаталарға
кӛшетін болсақ, түзудің параметрлік теңдеуін аламыз:


немесе

, яғни


(5)

Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш

Жазықтықтың бағыттаушы векторы және

теңдеуі берілсін:

;
.

Жазықтықтың бағыттаушы векторы мен кӛлбеу арасындағы бұрыш φ, ал кӛлбеу мен
жазықтық арасындағы бұрыш θ болсын. Сонда
, мұнда θ
-

сүйір.

Кел
тіру формулалары бойынша,

φ

θ


n(
A;B;C
)

p
p

d

67


M(x,y)

F
1

F
2

O

A



B
1



A
1


B


-
доғал болса ,



Сонда,


Ендеше,




5
-
дәріс:

Канондық түрдегі екінші ретті қисықтар

Эллипстің анықтамасы және канондық теңдеуі.


Анықтама.

Эллипс

деп әрқайсысынан берілген F
1
және F
2
нүктелеріне дейінгі
қашықтықтарының қосындысы a
-
ға тең тұрақты сан болатын жазықтықты
ң барлық
нүктелер жиыны аталады. F
1
және F
2

эллипстің
фокусы
деп аталады.

Эллипстің теңдеуін қортып шығару үшін тікбұрышты координаталар жүйесін
қарастырайық. Фокустар ара
-
қашықтығы |F
1
F
2
|=c болсын, ал Ох осі F
1
және

F
2
фокустары
арқылы, Oу осі F
1
F
2
кесіндісінің ортасы арқылы Ох
-
ке перпендикуляр ӛтсін. Сонда фокус
координаталары келесідей болады:

F
1
(
-
c;0) және F
2
(c;0).




















M(x;y)
-

эллипстің нүктесі десек, анықтама бойынша F
1
M + F
2
M=a (1), сонымен
қатар, ве
кторлардың координаталарын анықтау ережесі бойынша,



және
(x
-
c;y
-
0) болу керек. Векторлардың ұзындығын есептеу
ережесін қолдана отырып, келесідей теңдеуге келеміз:

+
=2a.

68


Теңдеуді ықшамдайық.

= a−



4xc=4(
)

a
=




болсын
(
үшбұрыш аксиомасы бойынша
a�c)
, сонда



немесе



= 1 (2)

(2)

теңдігі
эллипстің канондық теңдеуі

деп аталады.

Егер

y=0 болса, онда x=±a, яғни эллипс Ох осін А(a;0) және 
1
(
-
a;0) нүктелерінде
қияды. Егер х=0 болса, у=±b, яғни эллипс Оу осін B(0;b) және B
1
(0;
-
b) нүктелерінде қияды.
Бұл тӛрт нүкте эллипстің
тӛбелері
деп аталады. АА
1
-
кесіндісі
эллипстің үлкен ӛсі

деп, B
1
B
-
кесіндісі
кіші ӛсі

деп аталады. Олай болса, a
-
эллипстің үлкен жарты ӛсінің ұзындығы, ал b
-
эллипстің кіші жарты ӛсінің ұзындығы болады. Жеке жағдайда a=b болғанда теңдеу

түрін қабылдайды, яғни центрі координаталарбасында болатын шеңберді
аны
қтайды. Бұл жағдайда c=0.

Фокустар ара қашықтығының үлкен ӛс ұзындығына қатынасы эллипстің
эксцентриcитеті
деп аталады, яғни

=

.

c
(шеңбер жағдайында
=0).
Эксцентриситет эллипстің сығылу дәрежесін сипаттайды. Расында,
болуынан,


.

Яғни,

.

Бұдан кӛретініміз,

неғұрлым үлкен болса,

қатынасы соғұрлым кіші, соғұрлым
эллипс со
зыңқы болады.

Эксцентриситет (
), жарты ӛс ұзындықтары (a және b), фокустар ара
-
қашықтығы
(2c)
-

бұлар центрі координаталар басында болатын эллипсті толық анықтайтын параметрлер.

Мысал.


теңдеуімен берілген эллипстің пара
метрлерін анықтайық.

Ол үшін теңдеуді канондық түрге келтірейік:
.

Бұдан, a=8, b=6, c=
=
=
=2
,

=

.

Гиперболаның анықтамасы және оның канондық теңдеуі

А
нықтама.

Берілген F
1

және F
2
нүктелеріне дейінгі қашықтықтар айырымы a
-
ға тең
тұрақты сан болатын жазықтықтың барлық нүктелер жиыны г
ипербола

деп аталады.

69



F
1
және F
2
гиперболаның
фокустары

деп аталады.

Фокустарының
арақашықтығын c деп
белгілейік
, яғни |F
1
F
2
|=2c.

M(x;y)
-

гиперболаның
нүктесі десек, анықтама
бойынша

MF
1

MF
2
=
2a.

Гиперболаның
канондық теңдеуі эллипстің
теңдеуі сияқты қорытылады.
Гиперболаның канондық
теңдеуі:


мұнда

( а < с,
ӛйткені а < с, яғни үш
бұрыштың екі қабырғасының айырымы үшінші қабырғадан кіші).

Гипербола эллипс сияқты координаталар ӛстеріне қарағанда симметриялы, ол
тармақтары деп аталатын екі бӛліктен тұрады.

болғанда,
, яғни гипербола Ох
осін екі нүктеге қияд
ы: (a;0) және 
1
(
-
a;0). Бұл
-

гипербола
тӛбелері
. АА
1

кесіндісі
гиперболаның
нақты осі

деп аталады.


түзулері гиперболаның асимптоталары деп аталады. Х
-
тің абсолют
шамасының ӛсуіне қарай гиперболаның тармақтары асимтоталарына қарай жақындай т
үседі.
Асимптоталарды салу үшін қабырғалары координаталар ӛсіне параллель және a мен b
-

ге
тең болатын тік тӛртбұрыш салу керек(оның центрі координаталар бас нүктесімен беттеседі).
Бұл тіктӛрбұрыш
-

гиперболаның
негізгі тіктӛрбұрышы

деп аталады.

Гипербол
аның
эксцентриситеті
деп

қатынасы аталады. а<с болғандықтан,
кез келген гипербола үшін

�1.

, сондықтан
. Яғни,
.

Бұдан байқайтынымыз, гиперболаның эксцентриситеті неғұрл
ым кіші болса, ол
соғұрлым 1
-
ге жақын, яғни негізгі тіктӛртбұрыш Ох осі бойымен соғұрлым созыңқы болады.

Егер гиперболада a=b болса , онда ол
тең қабырғалы

(тең бүйірлі) деп аталады, бұл
жағдайда оның теңдеуі:



Тең бүйірлі гиперболаның аси
мптоталары болып

теңдеуімен анықталатын
ӛзара перпендикуляр түзулер саналады.

Мысалы,

гиперболасының канондық теңдеуі мен негізгі
параметрлерін табайық. Ол үшін алдымен теңдеудің екі жағын 6
-
ға бӛлеміз:

M

O





F
2

F
1

X

D
2

D
1



70


M(x;y)

F(c;0)

d
1

a

/
ε

. Демек,
,

және

теңдеуі
нен

. Ендеше
фокустары
. Эксцентриситеті

. Асимптоталар
теңдеуі:
.

Параболаның анықтамасы және канондық теңдеуі

Парабола
деп берілген F нүктесінен және ℓ түзуінен тең қашықтықта орналасқан
жазықтықтың нүктелер жиыны аталады. F
-
парабол
аның фокусы, ℓ түзуі
-

оның
директрисасы
деп аталады(F

ℓ).

Параболаның канондық теңдеуін қорытып шығару үшін тік бұрышты координаталар
жүйесінің Ох осін F фокусы арқылы директрисаға перпендикуляр етіп жүргізейік, ал О
-

координаталар
бас нүктесін фокус пен директрисадан тең қашықтықта орналастырайық.
Фокус пен директрисаның арасы Р болсын (ол параболаның
параметрі
деп аталады). Бұл
жағдайда фокус координаталары
F(
), ал директриса теңдеуі
мынадай:

.

М(
)
-
параболаның нүктесі және
А
-

директрисаға перпендикуляр МА
кесіндісінің директрисаға тиісті ұшы
болса, онда анықтама бойынша:

MF=MA


А нүктесінің
(
)
-

координаталары мен екі нүкте ара
-
қашықтығы формуласын ескере
отырып, келесі теңдік
ті аламыз:


Осыдан


немесе


қорыта келе
параболаның канондық
теңдеуін

аламыз:


.

Парабола Ох осіне қарағанда
симметриялы. Параболаның симметрия
осімен қиылысу нүк
тесі
параболаның тӛбесі

деп аталады. Гиперболадан айырмашылығы
-

параболаның асимптотасы болмайды.

Ескерту
.


болсын.

A

O






71


а)

теңдеуі фокусы

және директрисасы


тең параболаны анықтайды;

в)

теңдеуі фокусы

және директрис
асы


тең
параболаны анықтайды
;

с)

теңдеуі фокусы

және директрис
асы



тең параболаны анықтайды
;

М
ысалы,



параболасының параметрі, фокусы және директрисасын табу керек
делік
.



болғандықтан,

.

Е
скеру бойынша (а), параболаның фокусы
,


ал директрисасы



болады
.

Эллипс,

гипербола және параболаның полярлық координаталардағы теңдеулері


Эллипстің
директрисалары
деп екінші ӛске параллель және одан

қашықтықта
орналасқан екі параллель түзулер аталады. Директрис
аның теңдеулері:

және
.

Тұжырым
. Эллипс (гипербола) бұл
-

әрқайсысынан фокусқа дейінгі қашықтығының
сәйкес директрисаға дейінгі қашықтығына қатынасы эксцентриситетке тең болатын
-

нүктелер жиыны.

-
эл
липс болсын: F(c,0)
-

фокусы. Директриса теңдеуі: x=

М (х,у)


жазықтың нүктесі болса, онда директрисаға дейінгі қашықтық:


Сонымен қатар,


Егер М
, онда тұжырым бойынша


(1) немесе







Эллипс үшін

,

және

екенін ескерсек, мынадай
теңдікке келеміз:


+
= 0 немесе
.

72


Қорыта келе, егер M

болса, онда оның координаталары эллипстің теңдеуін
қанағаттандырады, олай болса

-

эллипс. Осыдан эксцентриситеттің
геометриялық мағынасын ашуға болады: қисықтың әр нүк
тесінен фокуске дейінгі
қашықтығының сол нүктеден сәйкес директрисаға дейінгі қашықтыққа қатынасына тең
тұрақты сан.

Сонымен қатар, егер

болса қисық


эллипс, егер

болса

гипербола, ал

болса

парабола.

Қандай да
бір екінші ретті қисық берілсін: эллипс, гипербола немесе парабола (егер
қисық
-

гипербола болса, онда оның тармақтарының бірін қарастырамыз); оны

әрпімен
белгілейік. F
-

қисықтың фокусы, d
-

осы фокусқа сәйкес директриса. Полюсы F нүктесінде
ж
әне полярлық осі d
-
директрисасына
перпендикуляр етіп полярлық
координаталар жүйесін енгізейік.
Жазықтықтың кез келген М нүктесінің
полярлық координаталарын r және
φ

деп
белгілейік. M нүктесінен директрисаға
дейінгі қашықтықты

деп
белгілесек
, келесідей теңдікке келеміз:


мұнда  нүктесі F
-
тің d
-

түзуіне, ал М
1

нүктесі М
-
нің F түзуіне проекциялары.
М нүктесі
-

қисығына (1) шарт
орындалған жағдайда ғана тиісті,
сондықтан


яғни

,

.

Егер

десек,
. (2)

Осы теңдеу

қисығының (яғни эллипстің, гиперболаның бір тармағының немесе
параболаның)
полярлық координаталардағы теңдеуі

болып табылады.

M(r,φ)

τ

φ

M
1

F

r

D

ρ

d

73


Екінші ретті беттер
.

Эллипсоид және гиперболоидтар

Эллипсоид

деп қандай да бір тік бұрышты координаталар жүйесінде


(1)

теңдеуімен анықталған бет аталады.



(1)
-

эллипсоидтың канондық теңдеуі

деп a,b,c шамалары

элл
ипсоидтың
жaрты ӛстері

деп аталады.

(1) теңдеуінен байқағанымыздай, координаталық жазықтықтар эллипсоидтың
симметрия жазықтықтары болып табылады, ал координаталар басы


симметрия центрі.
Координаталық ӛстердің эллипсоидпен қиылысу нүктелері
эллипсоидтың т
ӛбелері

деп
аталады.

Эллипсоидтың xОү жазықтығына параллель жазықтықпен қимасын қарастырайық; бұл
= h жазықтығы болсын және

болсын. Сонда қимада пайда болатын қисық екі
теңдеумен анықталады:


,
=
h. (2)


деп белгілеп, () теңдеуін кӛшіріп жазайық:




Эллипсоидтың
= h жазықтығымен қимасы (
) жартыӛстері

ӛскен сайын
кемитін

және вк болатын эллипс болып табылатынын байқаймыз;

жағдайында
эллипс эллипсоидтың тӛбесіне жиырылады. Эллипсоидты xО

және уО
координаталық
жазықтықтарына параллель жазықтықтармен қиғанда дәл солай. xО

жазықтығы
эллипсоидты келесі теңдеумен анықталатын элли
пс бойымен қияды:

, y=0

уО

жазықтығы эллипсоидты келесі теңдеумен анықталатын эллипс бойымен қияды:





74


0

Егер эллипсоидтың екі жартыосі тең болса, мысалы а=в, онда келесі теңдеуді аламыз:

.

(3)

Егер эллипсоидтың барлық үш жартыосі тең болса: а=в=с, онда келесі теңдеуді
аламыз:

,

яғни
сфера
-

эллипсоидтың бір түрі.

Бір қуысты гиперболоид

деп қандай да бір тік бұрышты координатар жүйесінде келесі
теңдеум
ен анықталатын бет аталады:


(4)


Екі қуысты гиперболоид

деп келесі
теңдеумен анықталатын бет аталады:


(5)


(4)және (5) теңдеулері
гиперболоидтардың канондық теңдеулері

деп

аталады.
а,в,с

шамалары

бір қуысты гиперболоидтың

(екі қуысты гиперболоид)

жартыӛстері

деп аталады.
Екі гиперболоидтың да симметриялық координаталық жазықтықтары бар, сонымен қатар,

координаталар б
асы


симметрия центрі.

Гиперболоидтардың координаталық жазықтықтарға параллель жазықтықтармен
қималарының кейбіреулерін қарастырып ӛтейік. Мысалы,

бір қуысты гиперболоид (4)
=
h жазықтығын келесі эллипс бойымен қияды:


= h,


= h жазықтығын (
) гипербола бойымен қияды:











75



= h,

= в жазықтығын
-

екі түзу бойымен қияды:

,
= в.


Параболоидтар

Эллипстік па
раболоид

деп тікбұрышты координаталар жүйесінде келесі теңдеумен
анықталатын бет аталады:


(6)


Гиперболалық параболоид

деп тікбұрышты координаталар жүйесінде келесі
теңдеуімен анықталатын
бет аталады:



(7)


(6) және (7) теңдеулері
параболоидтардың канондық теңдеулері

деп аталады. xО

және уО

жазықтықтары параболоидтардың симметриялық жазықтықтары деп аталады. Б
ұл
жазықтықтардың қиылысуы (О

параболоид осі

деп аталады, ал О

осінің параболоид
бетімен қиылысуы
-

төбесі
деп аталады.

Параболоидтардың екеуі де (эллипстік және гиперболалық) xО

және
уО
координаталық жа
зықтықтарына параллель жазықтықтармен парабола бойымен
қиылысады. Айталық, х=h жазықтығы эллипстік параболоидты парабола бойымен қияды:

,
= Һ.


Z

X


Y

O


O



76






Екінші ретті цилиндрлер

Тікбұрышты координаталар жүйесінде екінші ретті цилиндрлер к
елесі теңдеулер
бойынша анықталады:

а)


(8)

(
Эллипстік цилиндр
,
мысалы
= в жағдайында
дӛңгелек
цилиндр
);

б)

(
гиперболалық цилиндр
); (9)

в) у
2
=рх (
параболалық цилиндр
) (1
0)

(8)
-

(10) теңдеулері
цилиндрлердің канондық теңдеулері

деп аталады. (8)
-

(10)
теңдеулерінде z айнымалысы жоқ. xО

жазықтығында (8) теңдеуі жартыӛстері а және в
болатын эллипсті анықтайды. Егер (х,у) нүктесі осы эллипсте жатса, онда кез
келген z үшін
(х;у; z) нүктесі (8) бетінде жатады. Мұндай нүктелер жиынтығы О

осіне параллель xО

жазықтығында

эллипсін қиятын түзулермен суреттелетін бет болып табылады.


Бұл эллипсті берілген беттің
б
ағыттаушы сызығы
деп, ал қозғалатын түзудің
мүмкін деген қалыптарын


жасаушылар
деп атайды.

Қандай да бір қисықтың барлық нүктелері арқылы ӛтетін параллель түзулер жиыны
цилиндірлік бет

деп аталады.


Гиперболалық және парабола
лық цилиндр жағдайларында беттердің бағыттаушы
сызықтары болып гипербола және парабола алынады, ал жасаушылары ретінде
-



жазықтығында гипербола мен парабола арқылы ӛтетін және О

осіне параллель түзулер
алынады.

Екінші ретті
конус

Екінші ретті конус

немесе
конус
деп тікбұрышты координаталар жүйесінде келесі
теңдеумен анықталатын бет аталады:

. (11)

(11) теңдеуі
конустың канондық теңдеуі

деп аталады. Бұл бет координаталық
жазықтықтарға қарағанда симметр
иялы.
Координаталар басы симметрия центрі болып
табылады, осы бетке тиісті және конустың
төбесі
деп аталады.
= 0 және у
= 0
жазықтықтарымен конустың қимасы


түзулер:
және

.








Приложенные файлы

  • pdf 23929939
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий