Тема 5,6

Тема 5. Системы линейных уравнений
Система 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейных алгебраических уравнений с 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 неизвестными (ниже СЛАУ или система) имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или, в матричной записи, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – основная матрица системы, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – столбец переменных, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – столбец свободных членов. Матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, полученная из матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 добавлением столбца свободных членов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется расширенной матрицей системы.
Правило Крамера
Пусть СЛАУ ( квадратная (число уравнений равно числу неизвестных) и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда система имеет единственное решение, которое определяется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( определитель матрицы, полученной из матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 заменой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- того столбца столбцом свободных членов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 1(1). Решить систему уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по правилу Крамера.
Решение. Матрица системы 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 1(2). Решить систему уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по правилу Крамера.
Решение. Матрица системы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Решить системы уравнений по правилу Крамера.
1.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Однородные системы
СЛАУ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется однородной.
Однородная система всегда совместна, так как она имеет тривиальное (нулевое) решение. Однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения, если ранг матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 меньше числа неизвестных.
Выберем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейно независимых столбцов матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Соответствующие этим столбцам переменные называются базисными, а остальные переменные - свободными. Каждое решение системы однозначно задается набором свободных переменных. Множество всех решений однородной системы образует пространство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 размерности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Базис пространства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, состоящий из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейно независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР). Для получения ФСР достаточно задать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 линейно независимых наборов свободных переменных и найти соответствующие им решения системы. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( ФСР. Общее решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 однородной системы представимо в виде: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 2. Найти ФСР и общее решение системы уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Приведем матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью линейных преобразований строк к ступенчато треугольному виду.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ранг системы равен двум. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – базисные, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – свободные переменные. Перенеся свободные переменные в правую часть уравнений, запишем систему в следующем виде:13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
ФСР зададим следующими наборами свободных переменных: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Общее решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти ФСР и общее решение систем уравнений.
2.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Неоднородные системы
СЛАУ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется неоднородной, если столбец свободных членов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отличен от нуля. Система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Общее решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представимо в виде: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - частное решение неоднородной, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - общее решение соответствующей однородной системы.
Задача 3. Найти общее решение системы уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Расширенную матрицу системы с помощью линейных преобразований строк приведем к ступенчато-треугольному виду.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Система совместна, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. ФСР однородной СЛАУ
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, частное решение неоднородной СЛАУ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти общее решение систем уравнений.
3.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 4. Найти точку пересечения прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Точка пересечения прямых представима в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, для того, чтобы найти точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, надо решить линейную относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 систему 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Система имеет единственное решение, если векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не коллинеарны и вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. ранги основной и расширенной матриц системы равны 2. Если ранг расширенной матрицы равен 3, то прямые скрещиваются, если ранг основной матрицы 1, а расширенной 2, прямые параллельны, и если оба ранга равны 1, прямые совпадают.
Для нашей задачи система принимает вид: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В результате элементарных преобразований получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом прямые пересекаются в одной точке с координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти точку пересечения прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 4.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 4.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 4.5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы
1.1.13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В задачах 2.1.-2.5. приводится одна из ФСР.
2.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Прямые совпадают. 4.4. Нет решения. Прямые скрещиваются. 4.5. Нет решения. Прямые параллельны.
Тема 6. Евклидовы пространства
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется скалярным произведением векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если выполнены условия:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (симметрия).
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (линейность относительно сложения).
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (линейность относительно умножения на число).
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; (положительная определенность).
Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.
Длина вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется равенством 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, угол ( между векторами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Скалярное произведение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в произвольном базисе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выражается через координаты следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Векторы13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются ортогональными, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ортогональность геометрических векторов означает их перпендикулярность.
Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным. Базис называется ортонормированным (ОНБ), если он состоит ортогональных векторов длины 1. В ОНБ скалярное произведение принимает наиболее простой вид: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ниже, по умолчанию, векторы заданы координатами в ОНБ.
Задача 1. Найти угол между векторами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти угол между векторами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 1.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 1.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 2. Дополнить до ортогонального базиса систему векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, дополняющие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до ортогонального базиса, удовлетворяют условиям: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для решения этой системы уравнений преобразуем ее матрицу.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Выберем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 должен удовлетворять условиям: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Эта система уравнений эквивалентна системе с матрицей
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Дополнить до ортогонального базиса систему векторов.
2.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти ОНБ пространства L, заданного уравнением.
3.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Указание. Сначала, как в задачах 4, ищется ортогональный базис пространства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для построения ОНБ каждый вектор полученного базиса нормируется, т.е. делится на свою длину.

Множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 всех векторов из E, ортогональных к подпространству L, образует подпространство, которое называется ортогональным дополнением к L. Отметим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. (x(Е существует единственное разложение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Слагаемое 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется проекцией вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на L, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415( перпендикуляром, опущенным из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на L.
Если L является линейной оболочкой системы векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415задается системой уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задано системой уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 4. Найти проекцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и ортогональную составляющую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на подпространство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. В разложении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проекция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Умножив последовательно это равенство скалярно на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим, учитывая ортогональность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 подпространству 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следующую систему уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для заданных векторов эта система принимает вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подставив решения системы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в разложение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти проекцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и ортогональную составляющую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на подпространство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.1.13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, L задано системой: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, L задано системой: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Указание. В задачах 4.3., 4.4. линейной оболочкой является не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому сначала ищется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а затем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы
1.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е.13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 1.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. т.е.13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В задачах 2.1.-2.4. приводится один из возможных вариантов дополнения.
2.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2.2.13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В задачах 3.1.-3.3. приводится матрица, столбцы которой состоят из координат базисных векторов. Базис может быть выбран неоднозначно.
3.1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3.3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation Native{Equation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativetEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23924050
    Размер файла: 525 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий