Кр№4_бакалавры Т

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Математика»







Методические указания
и варианты заданий для выполнения
контрольной работы №4
по дисциплине «Математика»
для студентов заочной формы обучения
технических направлений
(нормативный и сокращенный срок обучения)










Ростов-на-Дону
2015




Составители: Волокитин Г.И., Тукодова О.М., Глушкова В.Н.
Контрольная работа №4 для студентов заочной формы обучения технических специальностей – Ростов н/д: Издательский центр ДГТУ. 2015. – с.

Для студентов заочной формы обучения технических специальностей

Печатается по решению методической комиссии факультета «Информатика и вычислительная техника»









































ПРОГРАММА
по высшей математике для студентов первого курса заочной формы обучения (второй семестр)

1. Числовые ряды.
Определение суммы ряда и основные свойства. Примеры геометрического и гармонического рядов. Необходимый признак сходимости.
2. Положительные ряды.
Критерий сходимости положительных рядов. Достаточные признаки сходимости: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
3. Знакочередующиеся ряды.
Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов и следствие из этой теоремы об оценке остатка ряда.
4.Степенные ряды.
Теорема Абеля и следствие из этой теоремы о существовании для степенных рядов интервала сходимости. Радиус сходимости степенного ряда и его вычисление. Свойства степенных рядов: теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Логарифмический ряд. Ряды Тэйлора и Маклорена. Условия представимости функции ее рядом Тэйлора. Единственность представления заданной функции степенным рядом. Разложение элементарных функций ex, cos x, sin x, (1+x)( в степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
5. Ряды Фурье.
Понятие тригонометрического ряда. Определение ортогональных систем функций и тригонометрическая система функций. Формулы Эйлера-Фурье и определение ряда Фурье. Достаточные условия представимости функции с периодом T=2( ее рядом Фурье (теорема Дирихле). Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций. Ряд Фурье в случае произвольного периода T=2( и ряд Фурье для функции, заданной на несимметричном интервале.
Основные понятия.
Случайные события. Алгебраические операции над событиями. Множество элементарных событий.
Алгебра событий.
Аксиоматическое определение вероятности события. Вероятностное пространство.
Классическое определение вероятности события.
Статистическое определение вероятности события.
Геометрическое определение вероятности события.
Задачи классической вероятности.
Элементы комбинаторики. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.
Теорема умножения.
Определение условной вероятности. Независимость событий.
Вероятности сложных событий.
Формулы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.
Формула полной вероятности, формулы Байеса.
Схема независимых испытаний Бернулли.
Формула Бернулли.
Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Случайные величины.
Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ) и случайные величины непрерывного типа (СВНТ).
Задание случайных величин.
Закон распределения ДСВ.
Числовые характеристики ДСВ.
Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты. Свойства математического ожидания и дисперсии.
Примеры ДСВ.
Гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, закон Пуассона.
Задание СВНТ.
Функция распределения и функция плотности вероятностей. Свойства этих функций.
Числовые характеристики СВНТ.
Совместное распределение нескольких случайных величин.
Функции случайных величин и их числовые характеристики.
Независимость случайных величин.
Примеры непрерывных распределений.
Равномерное, нормальное и показательное распределения.
Ковариация, коэффициент корреляции.
Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Предельные теоремы.
Понятие о предельных теоремах. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.
Математическая статистика.
Выборка и способы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения.
Точечные оценки и их свойства.
Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке.
Интервальные оценки.
Доверительный интервал, надежность и точность оценки.
Доверительный интервал для центра нормального распределения при известной дисперсии.
Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения нормального распределения.
Проверка статистических гипотез.
Критерий согласия Пирсона.
Линейная регрессия.
Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов. Характер связи и его оценивание по коэффициенту корреляции.














ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4


Задача №1. Исследовать сходимость положительного ряда, применяя какой – либо из достаточных признаков сходимости (сравнения, Даламбера, радикальный или интегральный):


13 EMBED Equation.DSMT4 1415







Задача №2. Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать его поведение на концах интервала сходимости и указать область сходимости:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Задача №3 (Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме).

Варианты 1, 2
В магазин поступило n телевизоров. Из них k имеют скрытые дефекты. Покупателю для выбора наудачу предложено l телевизоров. Какова вероятность того, что все предложенные покупателю изделия не содержат дефектов?
1. n=30, k=3, l=2.
2. n=20, k=2, l=3.

Варианты 3,4
Из партии, содержащей n изделий, среди которых k бракованных, наудачу извлекают m изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий: А={в полученной выборке ровно l бракованных изделий}, B={в полученной выборке нет бракованных изделий}.
3. n=10, k=3, l=1, m=4.
4. n=12, k=3, l=2, m=5

Варианты 5,6
Имеются два ящика с деталями. В первом n деталей, из них m годных. Во втором ящике N изделий, из них M годных. Сборщик наудачу выбрал по одной детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что обе выбранные детали годные. Какова вероятность того, что обе выбранные детали бракованные?
5. n=12, m=8, N=8, M=7.
6. n=14, m=10, N=6, M=4.


Варианты 7,8
Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если:
7. число мест равно 8.
8. число мест равно 12.


Варианты 9,10
Из урны, содержащей m+n шаров, из которых m белых и n черных, на удачу отбирают k шаров и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: A={все отложенные шары белые}, B={среди отложенных шаров ровно l белых}.
9. m=10, n=6, k=5, l=3.
10. m=8, n=12, k=6, l=4.

Задача № 4 (Вероятности сложных событий и применение теорем сложения и умножения)

Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке Вашего варианта. Событие Ak={k-ый элемент вышел из строя}. k=1,2,,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415k-го элемента (соответственно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - вероятность отказа). Событие B={разрыв цепи}. Выразить событие B в алгебре событий Ak. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p1=p2=0.9, p3=p4=0.8, p5=p6=0.85.
Вариант 1









Вариант 2








Вариант 3








Вариант 4



Вариант 5





Вариант 6







Вариант 7









Вариант 8








Вариант 9




Вариант 10





Вариант 10







Задача № 5 (Формула полной вероятности и формула Байеса)

Варианты № 1, 2
В сборочный цех поступает некоторая деталь с трёх станков-автоматов. Среди изделий первой линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415% стандартных, у второй линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415%, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 % - у третьей линии. Объём продукции первой линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415%, второй линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415%. Определить вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на третьей линии, если оказалось, что она бракованная.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=98% , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=95% 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=92% , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=40% , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=30%.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=97%, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=96%, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=95% , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=45% , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=35%.
Варианты № 3, 4
В тире имеется три вида винтовок: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- первого типа, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - второго типа, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 -третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, второго типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, третьего типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=3, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=4, 13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
5,6
В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. С первого завода поступает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 % телевизоров со скрытыми дефектами, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415% со второго завода и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415% с третьего завода. Какова вероятность того, что в магазин привезут исправный телевизор, если известно, что с первого завода поступило телевизоров 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, со второго 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, с третьего 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
5. 13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 7,8
В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

7. n=10, m=2.
8. n=12, m=4.

Варианты № 9,10

Три стрелка произвели по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания у них соответственно р1, р2, р3. В мишени оказались две пробоины. Определите вероятность промаха n-го стрелка.
9. р1 =0.5, р2=0.7, р3 =0.9, n=1.
10. р1 =0.6, р2=0.8, р3 =0.9, n=2.



Задача №6 Дискретные случайные величины.

Составить закон распределения дискретной случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), ((Х)).

Варианты №1,2,3,4
Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из n независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента р.
1. n=3, p=0.1.
2. n=4, p=0.15.
3. n=3, p=0.15.
4. n=4, p=0.2.

Варианты №5,6,7
В партии k% бракованных изделий. Наудачу отобрано n изделий. Х- число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону:
5. k=15%, n=4.
6. k=10%, n=5.
7. k=20%, n=3.

Варианты №8,9,10
В партии из n деталей имеется m стандартных. Наудачу отобрали k деталей. Х-число стандартных деталей среди отобранных.
8. n=10, m=8, k=3.
9. n=9, m=7, k=3.
10. n=12, m=10, k=3.

Задача № 7 (Выборка, выборочные характеристики)
Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.


№ вар
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10

1
50
40
60
80
40
50
60
120
70
50

2
45
65
85
45
55
65
95
75
65
55

3
80
70
60
50
70
90
50
60
70
100

4
65
55
45
65
85
55
45
65
100
80

5
50
60
70
100
80
70
60
50
70
90

6
100
40
80
90
50
60
80
70
70
50

7
100
50
80
90
100
130
55
60
100
80

8
70
40
45
90
110
60
50
40
110
90

9
80
110
90
80
70
60
60
50
65
50

10
90
40
60
40
80
65
90
70
50
60










Краткие теоретические сведения и образцы решений задач

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Определение. Числовой ряд (бесконечная сумма) – это пара последовательностей чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, таких, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Числовой ряд обозначают символом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (n=1, 2, ) – n-ый член ряда, а сумма конечного числа n первых членов ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется n-ой частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел последовательности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415частичных сумм 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если конечный предел частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится, то общий член ряда стремится к нулю: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ряд может сходиться лишь в том случае, когда его общий член 13 EMBED Equation.DSMT4 1415при n(( является бесконечно малой величиной.
Если необходимое условие сходимости ряда не выполнено: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, либо предел не
существует, то ряд расходится (достаточный признак расходимости рядов).

Пример 1. Найти общий член ряда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Доказать, что этот ряд расходится.
Решение. Последовательно рассмотрим члены ряда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Подмечая закономерность, можно видеть, что общий член ряда выражается формулой

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Представим общий член ряда в виде

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ясно, что при n(( (13 EMBED Equation.DSMT4 1415( ( ((((, поскольку все сомножители - дроби, кроме первых трех, больше 1.
Отсюда следует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, необходимое условие сходимости не выполнено, ряд расходится.

1. Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(() применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши (Табл. 1).
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Показатель степени гармонического ряда p=4/5((, поэтому «эталонный» ряд расходящийся. Члены исходного ряда для всех n(( превосходят соответствующие члены «эталонного» ряда:
Применяя первый признак сравнения, получаем, поскольку расходится «меньший» эталонный ряд, то расходится и «больший» исходный ряд.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Преобразуем общий член исходного ряда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Это “геометрический ряд, он сходится, т.к. знаменатель прогрессии q=2/3<1. Поскольку
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - конечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.


Пример 4. Исследовать сходимость ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Решение. Применим признак Даламбера. Записываем n-ый член ряда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(n+1)-ый член получим, если в выражении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 везде n заменим на (n+1):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем предел отношения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Пример 5. Исследовать сходимость ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Решение. Здесь удобно применить радикальный признак Коши:


13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Следовательно, ряд сходится. Подчеркнем, здесь использовали известный « второй замечательный» предел.




Пример 6. Исследовать сходимость ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Рассмотрим функцию

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Она при x(2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. (Заметим, что эта функция получается из выражения общего члена ряда при замене n на x). Можно применять интегральный признак. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Из интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Знакочередующиеся ряды.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Исследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n (( , то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов ряда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Важное для практики значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Пример 7. Исследовать сходимость ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Решение. Данный ряд знакочередующийся, т.к.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Исходный ряд можно переписать в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рассмотрим сначала ряд , составленный из абсолютных величин исходного ряда:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Сравним его с гармоническим рядом 1+1/2+1/3++1/n+, о котором известно, что он расходится. Так как

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям : во-первых, монотонного убывания абсолютных величин членов ряда, во-вторых, общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, (/2] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, выполняются неравенства, а также необходимое условие:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Окончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.


4.Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где множители при степенях (x–x0) – коэффициенты ряда, число x0 – центр интервала сходимости. При частном значении переменной x степенной ряд становится числовым. Сходимость степенного ряда зависит от величины x. Из теоремы Абеля для степенных рядов следует, что область сходимости всякого степенного ряда – некоторый интервал (x0–R, x0+R), называемый интервалом сходимости. Во всех точках этого интервала степенной ряд сходится и притом абсолютно, вне интервала – ряд расходится. На границе интервала различные степенные ряды ведут себя по-разному. Число R – половина длины интервала сходимости – радиус сходимости. Если степенной ряд сходится лишь в одной точке, то радиус R = 0. Если ряд сходится при любом x, то R = (. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
если соответствующие пределы существуют – конечные или бесконечные. При этом R = 0, если L = 0 и R = (, если L = 0.
Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. В развернутом виде ряд выглядит следующим образом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Коэффициенты ряда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем радиус сходимости
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Заключаем, что интервал сходимости (-1/3, 1/3).
Исследуем далее сходимость степенного ряда в граничных точках интервала:
а) при x=1/3 получи
·м числовой положительный ряд:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Этот ряд расходится, что видно из сравнения его с гармоническим рядом.
б) при x= -1/3 получим знакочередующийся ряд:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Члены этого ряда удовлетворяют условиям теоремы Лейбница:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Знакочередующийся ряд сходится, т.е. при X = -1/3 степенной ряд сходится и окончательно область сходимости степенного ряда определяется неравенствами –1/3 ( X ( 1/3.
При решении примеров на применение степенных разложений к приближенным вычислениям следует использовать известные формулы разложения элементарных функций в ряды Маклорена. Они помещены в таблице 2. Заметим, что важную роль здесь выполняет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Опираясь на это следствие легко установить, сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с заданной точностью. Разумеется, все расчеты надо проводить в рамках этой точности.
Пример 9. С точностью до ( = 0.0001 вычислить exp(-0.1).
Решение. Используем разложение (табл. 2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Полагая x= -0.1, имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получили знакочередующийся ряд. Величина его остатка по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Возьмем 4 члена ряда, тогда погрешность не превышает величины 0.0000042, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Каждое из оставленных четырех слагаемых учитываем, удерживая 5 цифр после запятой. При этом, округляя, в ответе будем иметь 4 верных десятичных знака: exp(-0.1)= 0.9048.
Пример 10. С точностью до ( = 0.0001 вычислить интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Интеграл вычислим, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд. При этом воспользуемся формулой (табл. 2):

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Имеем

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Степенной ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать любое число раз, при этом радиус сходимости не меняется (основное свойство степенных рядов). Выполняя почленное интегрирование, имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получился знакочередующийся ряд, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Поэтому с заданной точностью имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Таблица 1. Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Название признака
Формулировка признака
Примечание

1. Первый признак сравнения
Пусть сравниваются два положительных ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если для всех n, начиная с некоторого N, выполняются неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то из сходимости «большего» ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 следует сходимость «меньшего» ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; если расходится «меньший» ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,, то расходится также «больший» ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При сравнении могут полезными оказаться известные неравенства: sin ( ( ( ( tg (, если 0 ( ( ( (/2;
ln n ( n, если n ( 2


2.Второй признак сравнения
Если существует конечный отличный от нуля предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
то ряды
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 одновременно сходятся, либо расходятся.
В качестве эталонного ряда часто используют обобщенный гармонический ряд ((1/np) который сходится при p(1, а расходится при p(1, а также “геометрический” ряд (qn , который сходится при (q((1.


3. Признак Даламбера
Если для положительного ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415существует конечный предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
тогда при D(( ряд сходится, а при D(( - расходится.


В случае D = 1 признак «не работает»; нужен другой, более сильный признак.

4. Радикальный признак Коши
Если для положительного ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 существует конечный предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

то при K(1 ряд сходится, а при K(1 – расходится.
Если K = 1, нужен другой признак

5. Интегральный признак Коши
Пусть при х (( f(x) - непрерывная монотонно убывающая положительная функция, а члены ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
являются значениями этой функции натурального аргумента: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Интегральный признак удобно применять к исследованию положительных рядов, для которых признаки Даламбера или радикальный не приводят к цели, а несобственный интеграл легко исследовать на сходимость


Таблица 2.Разложения элементарных функций в степенные ряды

Функция
Ряд Маклорена функции
Область сходимости

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415









ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Элементы комбинаторики Размещением с повторениями из n по m элементов называется конечная последовательность13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементов некоторого множества 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если все члены выборки различны, то последовательность называется размещением без повторений. Размещения без повторения - m-элементные выборки, различающиеся либо входящими элементами, либо порядком их следования. Размещение с повторениями – это выборка с возвращением выбираемых элементов. Число всех возможных размещений с повторениями равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(число комбинаций, выбираемых из m групп, содержащих по n элементов). Размещение без повторения – выборка без возвращения выбираемых элементов . Общее число различных комбинаций – размещений без повторений обозначается символом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (количество выборок из m групп, содержащих соответственно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементов).
Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Сочетаниями из n по m элементов называются m- элементные подмножества множества 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Классическое определение вероятности

13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.
3. Геометрическое определение вероятности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.
4. Основные свойства вероятности
Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для полной группы несовместных событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - теорема умножения.
Если события А и В – независимые, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - теорема умножения.
5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
Если известно, что событие А может произойти с одним из событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Число k0 называется наивероятнейшим числом наступления события А
в n испытаниях по схеме Бернулли, если значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
не меньше остальных значений. Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно найти из двойного неравенства:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
7. Предельные теоремы в схеме Бернулли
Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших n
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших n вероятность того , что в серии испытаний событие А появится от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 раз, выражается приближенной формулой:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - функция Лапласа.
Теорема 3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и малых p, если среднее число успехов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, имеет место приближенная формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.








МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Пример 1. В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:
а) все детали дефектные (событие А);
б) только одна деталь дефектная (событие В);
в) все три детали годные (событие С);
г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D).
Решение. Используем классическое определение вероятности.
а) Событие А = {выбранные три детали дефектные};
13 EMBED Equation.3 1415
Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- общее число способов выбрать 313 EMBED Equation.3 1415 детали из имеющихся 10 деталей.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта};
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные}
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415= { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Два студента (Петров и Иванов) договорились о встрече в определенном месте между 12.00 и 13.00 часами. Пришедший первым до истечения часа ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Построить множество элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по описанию эксперимента и подмножество, соответствующее событию А = {встреча состоится}. Найти вероятность этого события.
Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Наблюдаемый результат- пара координат (х, у), где х - время прихода Петрова, а у – время прихода Иванова. Время исчисляется в минутах, начиная с 12.00 часов








13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точки (х,у) заполняют квадрат стороной 60. Встреча состоится, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (пришедший первым ждет не более 20 минут). Неравенство с модулем заменим двойным неравенством
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решения неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - это точки нижней полуплоскости, ограниченной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Совокупность решений неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 образует верхнюю полуплоскость с границей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решения системы неравенств – это точки области, полученной пересечением полуплоскостей. Т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точки, когда состоится встреча, заполняют фигуру А (показана штриховкой). Используем геометрическое определение вероятности:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Площадь фигуры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- площадь не заштрихованных треугольников.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Отказы элементов являются независимыми и совоку4пными событиями. Известна надежность pk k- го элемента p1=p2=0.7; p3=0.8; p4=0.9. Найти вероятность надежности схемы P(A).

Решение. Разобьем схему на блоки, состоящие из последовательных соединений. Блок I состоит из элемента 1 .
Блок II состоит из параллельного соединения элементов 2 и 3.
Блок III – из элемента 4.
Вероятность того, что схема работает, равна P(A)=PI·PII·PIII.
PI – вероятность того, что I блок исправен.
PII·- вероятность того, что II блок исправен.
PIII - вероятность того, что III блок исправен.
PI =p1
Вероятность того, что II блок исправен: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вероятность того, что III блок исправен: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Искомая вероятность что цепь сработает:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы):
Н1={на первую игру выбирают два новых мяча}.
Н2={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}.
Н3={на первую игру выбирают два игранных мяча}.
Вероятности гипотез соответственно равны:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - выполняется: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 5. а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений.
Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}.
Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}.
Пусть событие В5={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В6= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В7 ={взойдет ровно 7 тюльпанов}.
Вероятность события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
В частности,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В данном случае имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По теореме сложения для несовместных событий получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
в) Посажено 100 луковиц. Вероятность всхода 80%. Какова вероятность, что взойдут не менее 75, но не более 90.
Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли. Если число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Лапласа:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- функция Лапласа, значение которой берем из таблицы.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
По условию n=100, p=0,8, q=0,2, k1=75, k2=90. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (Здесь учтено, что функция Лапласа нечетная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Пример 6. Составить закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение: ДСВ Х - отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события {X=2} равна P(X=2)=p1=2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
3
4
5

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,3
0,5
0,1

Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1
Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Дисперсия:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Среднее квадратическое отклонение:
13 EMBED Equation.3 1415
Функция распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
График функции распределения имеет вид:


Пример 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти вероятность того, что за время t=25 часов элемент не откажет, если известно что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - непрерывная случайная величина-время безотказной работы устройства, которое работает с момента х=0, а в момент х происходит отказ. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с функцией распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- это вероятность отказа элемента за время длительностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вероятность безотказной работы за время длительностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – это вероятность противоположного события. Эта функция называется функцией надежности: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вероятность безотказной работы за х=t=25 часов равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 8. Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х1, х2, х3х10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х8
х9
х10

80
110
130
100
70
90
150
60
90
70

Решение.
Найдем выборочную среднюю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислим выборочную дисперсию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, n=10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Исправленная выборочная дисперсия:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– функция Лапласа.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В данном случае принимаем следующие значения параметров:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 100 тыс.руб., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415тыс.руб., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415тыс. руб., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415тыс.руб. (нет ограничений сверху). Имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По таблице находим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



ЛИТЕРАТУРА

Основная

Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1,2. 1972-2000.
А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов. Москва: “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
Г.М. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа (для втузов). Москва: “Наука”. 1985.
П. Е. Данко, и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. В 2-х ч. 1980 – ч.1, 1984 – ч.2.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: Высшая школа, 1999.

Дополнительная

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей – М.: Высшая школа, 1998.
Учебные задания для типовых расчетов по теории вероятностей /ДГТУ. Ростов н/Д, 1996.
Сборник задач по математике для вузов Ч. З. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов / Под редакцией А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.

































13 EMBED Equation.3 1415














13 EMBED Equation.3 1415
















































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native5Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 36Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes ew RomanTimes New RomanTimes ew RomanEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23909359
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий