ЛР-6-4

Тема 6.4. Лабораторная работа Численное интегрирование

6.4.1. Вопросы, подлежащие изучению

Постановка задачи численного интегрирования.
Метод прямоугольников.
Метод трапеций.
Метод Симпсона.
Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.
Графическая иллюстрация методов прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Технология интегрирования в среде системы MathCad или в среде системы MatLab.

6.4.2. Задание

Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.4-1 для численного интегрирования:
f(x) – подынтегральную функцию;
a, b – пределы интегрирования;
метод интегрирования для выполнения п.2 – значение в столбце t;
метод интегрирования для выполнения п.5 – значение в столбце m;
начальный шаг интегрирования h0.
При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.
Составить схему алгоритма и написать программу по выбранному методу численного интегрирования (или по указанному преподавателем), провести контрольное тестирование на примере, разобранном в п. 6.4-5.
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и записать результаты вычислений в табл. 6.4-2.
Зависимости числа итераций от заданной точности в логарифмическом масштабе.
Вычислить «ручным расчетом» интеграл методом, определяемым значением столбца m из таблицы 6.4-1, с шагом 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415) и оценить погрешность по правилу Рунге.
Получить решения для индивидуального варианта задания с помощью одного из математических пакетов и сравнить с результатами, полученными ранее.

6.4.3. Варианты задания

Таблица 6.4-1

f(x)
a
b
t
m
13 EMBED Equation.3 1415

1
8 e-x sin(-2x)
2
3
1
3
0.25

2
e-x sin(2x)
0
2
2
1
0.5

3
x3/2 – 2 x sin(x)
3
4
3
2
0.25

4
e-x cos(-2x)
2
4
1
3
0.5

5
cos(2x) + 2 sin(x)
1
3
2
1
0.5

6
8 sin(2x) – x
0.2
1.2
3
2
0.25

7
5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·1
0,25

34
x ex – 2
2
4
1
2
0,5

35
4(x2+1) ln(x) – 1
1
3
2
3
0,5

36
2 – x - sin(x/4)
0,2
1,2
3
2
0,25

37
x2 + ln(x) – 2
-0,5
0,5
2
3
0,25

38
сos(x) - (x+2) Ѕ + 1
1
2
1
2
0,25

39
4(1+x1/2) ln(x) – 1
1,2
3,2
3
1
0,5

40
5ln(x) - x1/2
3,5
5
1
3
0,
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·.4.4. Содержание отчета

Индивидуальное задание.
Схема алгоритмов и программа метода численного интегрирования, а также результаты контрольного тестирования.
Результаты вычисления по составленной программе «расчет на ПК», которые записаны в табл. 6.4-2.
Таблица 6.4-2
i
E
n
h
I

1
0.1




2
0.01




3
0.001




4
0.0001





Зависимость числа итераций от заданной точности, построенная по табл. 6.4-3.

Таблица 6.4-3
E
0.1
0.01
0.001
0.0001

n






Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415) и значения погрешностей по правилу Рунге.
Результаты решения, полученные с помощью математических пакетов.

6.4.5. Пример выполнения задания

6.4.5.1. Пример выполнения задания с использованием технологии «ручного расчета»

1. Задания для численного интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415 – подынтегральная функция;
a=1, b=3 – пределы интегрирования;
методы интегрирования для выполнения п.2 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;
методы интегрирования для выполнения п.5 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;
начальный шаг интегрирования h0=1.

2. Схемы алгоритмов, программы заданных методов и результаты
контрольного тестирования
Схемы алгоритмов методов интегрирования приведены на рис. 6.4.2-2, 6.4.3-2 и 6.4.4-2 в [2], а программы студенты должны написать самостоятельно.

Результаты вычисления «расчета на ПК»
Вычисления по составленным программам с точностью 13 EMBED Equation.3 1415 сведены в таблицу 6.4-2:
по формуле средних прямоугольников 6.4.2-3 в [2]:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0.1
2
1
1.32

0.01
4
0. 5
1.302

0.001
16
0.125
1.2962

0.0001
64
0.03125
1.29586


по формуле трапеций 6.4.3-1 в [2]:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0.1
2
1
1.24

0.01
8
0. 25
1.292

0.001
16
0.125
1.2949

0.0001
64
0.03125
1.29578


по формуле Симпсона 6.4.4-3 в [2]:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0.1
4
0.5
1.29

0.01
4
0.5
1.295

0.001
4
0.5
1.2953

0.0001
8
0.25
1.29579


Зависимости числа итераций от точности
Вычисленные значения сведены в табл. 6.4-3:
по формуле средних прямоугольников:

E
0.1
0.01
0.001
0.0001

n
2
4
16
64


по формуле трапеций:

E
0.1
0.01
0.001
0.0001

n
2
8
16
64


по формуле Симпсона:

E
0.1
0.01
0.001
0.0001

n
4
4
4
8


Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415) и оценка его погрешности по правилу Рунге
Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h, при этом погрешность вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Полагают, что интеграл вычислен с точностью Е, если 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

Вычислим интеграл по формуле
средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

13 EMBED Equation.3 1415

Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equati
·on.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Результаты решения задачи с помощью математических пакетов Mathcad и MatLab
Для вычисления определенного интеграла с использованием пакета Mathcad используется шаблон, который вызывается кнопкой с изображением определенного интеграла с дополнительной панели Операции математического анализа панели Математика:

13 EMBED Mathcad 1415


Для вычисления интеграла по формуле трапеции в MatLab используется функция trapz( ):





>> x=1:1:3;
>> y=log(x);
>> trapz(x,y)
ans = 1.2425
>> x=1:0.5:3;
>> y=log(x);
>> trapz(x,y)
ans = 1.2821
>> x=1:0.25:3;
>> y=log(x);
>> trapz(x,y)
ans = 1.2924


Для вычисления интеграла по формуле Симпсона в MatLab используется функция quad. При обращении к ней шаг интегрирования не задается, а используется точность вычисления интеграла. По умолчанию абсолютная погрешность E принимается равной 1.e-6. Вместе со значением интеграла эта функция может возвращать значение переменной fcnt – количество обращений к вычислению значений подынтегральной функции.




>> [y,fcnt]=quad('log(x)',1,3)
y = 1.2958
fcnt = 21
>> y,fcnt]=quad('log(x)',1,3,1.e-6)
y = 1.2958
fcnt = 21





>> [y,fcnt]=quad('log(x)',1,3,1.e-1)
y = 1.2958
fcnt = 13
>> [y,fcnt]=quad('log(x)',1,3)
y = 1.2958
fcnt = 21





>> [y,fcnt]=quad('log(x)',1,3,1.e-2)
y = 1.2958
fcnt = 13
>> [y,fcnt]=quad('log(x)',1,3,1.e-3)
y = 1.2958
fcnt = 13



6.4.5.2. Пример выполнения задания с использованием MathCad

Задания для численного интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415 – подынтегральную функцию;
a=1, b=3 – пределы интегрирования;
методы интегрирования для выполнения п.2 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;
методы интегрирования для выполнения п.5 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;
начальный шаг интегрирования h0=1.

Результаты вычисления в MathCad
Функции для вычисления первых и вторых производных в символьном виде:

13 EMBED Mathcad 1415

Вычислим определенный интеграл от заданной функции 13 EMBED Equation.3 1415 с различными
значениями точности и запишем полученные результаты в табл. 6.4-2:







i
E
I

1
0.1
1.3

2
0.01
1.296

3
0.001
1.2958

4
0.0001
1.29584


Результаты «ручного расчета» с использованием MathCad интеграла с шагом 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415) и оценка его погрешности по правилу Рунге
по формуле средних прямоугольников:

13 EMBED Mathcad 1415

по формуле трапеций:

13 EMBED Mathcad 1415


по формуле Симпсона:

13 EMBED Mathcad 1415

Оценим погрешность результатов интегрирования с шагом 13 EMBED Equation.3 1415, приняв за точное
значение интеграла величину 13 EMBED Equation.3 1415:

Метод
13 EMBED Equation.3 1415

Средних прямоугольников
0.00676

Трапеций
0.01384

Симпсона
0.00084

6.4.6. Контрольные вопросы по теме
Численное интегрирование

Что такое шаг интегрирования?
По какой формуле вычисляется шаг равномерной сетки изменения х на отрезке [a;b]?
Каким образом связана задача численного интегрирования и интерполяция?
Какое влияние оказывает уменьшение числа разбиений на отрезке [a;b] на погрешность интегрирования?
Каким образом вычисляется определенный интеграл в случае, если подынтегральная функция задана таблицей с переменным шагом?
Какой из изученных вами методов численного интегрирования обладает высшей степенью точности?
Зависит ли точность численного интегрирования от величины шага интегрирования?
Для чего предназначен метод двойного просчета?
Какие методы относятся к методам численного интегрирования?
Какой параметр должен быть известен, чтобы определить число разбиений отрезка [a;b] при решении задачи численного интегрирования?
Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле трапеций?
Что представляет собой формула для вычисления элементарного интеграла по формуле Симпсона?
Как называется численное значение интеграла функции одной переменной?
Как называется численное значение интеграла функции двух переменных?
Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе прямоугольников?
Интерполяционным многочленом, какой степени заменяется подынтегральная функция в методе трапеций?
Как называется метод численного интегрирования, в котором подынтегральная функция заменяется полиномом нулевой степени?
В каком методе для вычисления интеграла необходимо выбирать количество интервалов разбиения кратное двум?
В каком методе при вычислении интеграла с заданной точностью потребуется меньшее количество интервалов разбиения?
Какой метод позволяет обеспечить вычисление интеграла с заданной точностью?
Какой метод численного интегрирования даст наиболее точный результат, если подынтегральная функция имеет вид y = 5x3?
В каком методе численного интегрирования подынтегральная функция заменяется квадратичным полиномом?
Какой метод численного интегрирования даст точный результат, если подынтегральная функция имеет вид f(x) = x2?
Какой метод интегрирования наилучшим образом подходит для вычисления интеграла линейной функции?
Обеспечивают ли методы трапеций и метод средних прямоугольников точность одного порядка?
Какой из известных вам методов интегрирования обладает наименьшей точностью?
Сколько шагов интегрирования содержит элементарный отрезок интегрирования в методе Симпсона?
Какому числу кратно количество интервалов разбиения в методе Симпсона?
Позволяет ли метод прямоугольников получить точное значение интеграла, если подынтегральная функция – полином 0-й степени?








Тема 6.4. Численное интегрирование (Лабораторная работа) Страница 13 PAGE \* MERGEFORMAT 145015






Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23905508
    Размер файла: 568 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий