Типовые задачи часть 3






ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ БАЗОВОГО УРОВНЯ ПО МАТЕМАТИКЕ С РЕШЕНИЯМИ ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ



Учебное пособие под редакцией
профессора В.В.Лебедева


для студентов бакалавриата по направлениям:
«Менеджмент» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 080 200
«Экономика» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 080 100
«Государственное и муниципальное управление» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 081 100
«Инноватика» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 222 000
«Прикладная информатика» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 230 700
«Реклама и связи с общественностью» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 031 600
«Социология» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 040 100
«Управление персоналом» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 080 400
«Экология и природопользование» 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 022 000






МОСКВА 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2013
УДК 517 (075.8)
ББК22.11Я73
Т56

Типовые задачи базового уровня по математике с решениями. Часть третья. Учебное пособие под ред. проф. В.В.Лебедева. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 М.: ООО «еТест», 2013. 13 EMBED Equation.DSMT4 141532 с.



Авторы: д.э.н., проф. В.В.Лебедев, к.ф.-м.н., доцент Е.А.Губарева, к.э.н., доцент В.В.Григорьев, к.т.н., доцент А.П.Курочкин, к.ф.-м.н., доцент Е.Л.Нольде, доцент Паршикова Г.Ю., к.ф.-м.н., доцент Перфильев А.А.



Учебное пособие адресовано студентам Государственного университета управления всех направлений и форм обучения, изучающим математику на втором курсе. Оно содержит решения типовых задач базового уровня и задачи для самостоятельного решения из следующих разделов: «Элементы математического моделирования», «Введение в теорию вероятностей» и «Случайные величины». Пособие предназначено для использования на аудиторных занятиях и при самостоятельной работе студентов второго курса. Оно будет полезно также студентам старших курсов при подготовке к тестированию, направленному на проверку остаточных знаний по математике.
Для систематического изучения математики студентам ГУУ рекомендуется следующая литература: «Математика в экономике и управлении» (автор В.В. Лебедев; М.  НВТ-Дизайн, 2004) и «Теория вероятностей и математическая статистика. Компьютерно-ориентированный курс. Учебник» (автор В.Н.Калинина; М. – Юрайт-Издат, 2013).





© В.В. Лебедев, 2013
© ООО «еТест»



ISBN







СОДЕРЖАНИЕ


РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ... 4
1.1. Статические модели .... 4
1.2. Динамические модели ... 6
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .. 8
2.1. Элементы комбинаторики ...... 8
2.2. Классическое определение вероятности ........ 10
2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ..... 13
2.4. Вероятность появления хотя бы одного события .. 16
2.5. Формула полной вероятности .... 18
2.6. Формула Бейеса ........ 20
2.7. Формула Бернулли ...... 23
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . 25
3.1. Дискретные случайные величины ....... 25
3.2. Непрерывные случайные величины .... 28


РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Статические модели
Пример 1.1.1. Заданы функции спроса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и предложения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– цена за единицу товара. При каком значении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 спрос равен предложению, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
Решение. Для нахождения точки равновесия надо решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е : 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед.
Пример 1.1.2. Функция полных издержек имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Определить, при каком объеме выпуска средние издержки минимальны.
Решение. Средние издержки: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Из необходимого условия экстремума 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находим значение объема выпуска 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Т. к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяет минимум функции средних издержек.
Пример 1.1.3. Функция спроса на выпускаемую продукцию определяется соотношением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Функция полных издержек монополии задается уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Чему равна максимально возможная прибыль монополии?
Решение. Прибыль определяется как разность между доходом и полными издержками: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Функция спроса определяет цену, которую устанавливает монополист: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Составим уравнение функции прибыли: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Из необходимого условия экстремума 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находим значение объема выпуска 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то найденное значение объема выпуска обеспечивает получение фирмой максимальной прибыли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При этом монополист продает товар по цене 13 EMBED Equation.DSMT4 1415д.ед.
Пример 1.1.4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. Известно, что цены товаров равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. соответственно.
Решение. Если первый товар покупается в количестве 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 единиц, а второй ( в количестве 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 единиц, то за покупку будет заплачено 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед., и эта сумма не может превышать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед., а значит, бюджетное множество задается системой неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и представляет собой на плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 треугольник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.1.5. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построить изокванту, соответствующую объему выпуска продукции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ед.
Решение. Изокванта – линия постоянного выпуска. Уравнение изокванты: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Возведем обе части уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в квадрат. получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. График этой изокванты - часть гиперболы, расположенная в первой четверти.
Пример 1.1.6. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количествах x и y, задана соотношением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Цены этих товаров на рынке равны соответственно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. При каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и чему она равна?
Решение. Функция прибыли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где функций дохода 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция полных издержек: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Выпишем необходимое условие экстремума функции двух переменных: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415  стационарная точка. Проверим достаточные условия максимума. Для этого вычислим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является точкой экстремума функции, а так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является точкой локального максимума. Имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Заданы функции спроса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и предложения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на некоторый вид продукции, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– цена за единицу продукции. При каком значении цены наступает равновесие спроса и предложения?
2. Найти объем выпуска, при котором средние издержки минимальны, если функция полных издержек имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Найти максимально возможный объем прибыли фирмы, если известны функции полных издержек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и спроса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. Известно, что цены товаров равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. соответственно.
5. Задана производственная функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов. Построить изокванту, соответствующую значению объема выпуска продукции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ед.
6. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количества x и y, задана соотношением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Цены этих товаров на рынке равны соответственно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и чему она равна.
1.2. Динамические модели
Пример 1.2.1. Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти функцию полных затрат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если фиксированные издержки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 фирмы составляют 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед.
Решение. Предельные издержки равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это значит, что полные издержки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Условие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 позволяет определить значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.2.2. Динамика процентной ставки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где функция инвестиций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а функция сбережений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вывести уравнение динамики процентной ставки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если в начальный момент 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 она составляла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Из условия задачи следует, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. разделяя переменные, получаем уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Решим его:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда следует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.2.3. Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется дифференциальным уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 д. ед. – объём инвестиций в момент времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – коэффициент выбытия основных фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов, если в начальный момент времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 объём фондов составлял 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ед.
Решение. Уравнение динамики ОПФ можно записать в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Интегрируя это уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем его общее решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Используя начальное условие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим уравнение динамики основных производственных фондов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти функцию полных затрат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если известны фиксированные издержки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 фирмы.
2. Динамика процентной ставки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в классической макромодели определяется уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – функция инвестиций, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – функция сбережений. Вывести уравнение динамики процентной ставки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если в начальный момент 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 она составляет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется дифференциальным уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – объём инвестиций в момент времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – коэффициент выбытия основных фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если в начальный момент времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 объём фондов составлял 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ед.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1. Элементы комбинаторики
Пример 2.1.1. Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.2. Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415число перестановок из 4 элементов.
Решение. Т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.3. Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415число размещений из 7 элементов по 2.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1. 4. Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415число сочетаний из 5 элементов по 32.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.5. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 3-го сорта?
Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами, 3-го сорта – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами. По правилу суммы существует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способов извлечения одной детали 1-го или 3-го сорта.
Пример 2.1.6. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Председателем может быть выбран любой из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 участников, секретарём – любой из оставшихся 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По правилу произведения число способов выбора председателя и секретаря равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.7. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Поэтому число различных вариантов жеребьёвки равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.8. Расписание одного дня состоит из 4 уроков различных дисциплин. Определить число вариантов расписания при выборе из 8 дисциплин.
Решение. Вариант расписания представляет набор 4 различных дисциплин из 8, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 8 элементов по 4.
Поэтому число вариантов равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.9. На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано стартовых пятёрок?
Решение. При составлении стартовой пятёрки играет роль только её состав. Поэтому количество стартовых пятёрок равно числу сочетаний из 12 элементов по 5: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.1.10. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать 7 роз, чтобы среди них было 3 красные розы?
Решение. По условию задачи среди выбранных 7 цветов 4 белых и 3 красные розы. 4 белые розы можно выбрать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами, 3 красные – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами. Согласно правилу произведения извлечь 7 роз, среди которых 4 белых и 3 красные розы можно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 8) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 9) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 10) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. На блюде лежат 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?
3. В группе 15 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?
4. Из города 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в город 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ведут 4 дороги, а из города 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в город 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - 3 дороги. Туристы хотят проехать из города 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в город 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 через город 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
5. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
6. Экзамен сдают 20 студентов. Сколько существует возможных вариантов их очерёдности?
7. Семь юношей, в число которых входят Петя и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Петя должен находиться в конце ряда; б) Петя должен находиться в конце ряда, а Игорь –
в начале ряда; в) Петя и Игорь должны стоять рядом?
8. Сколько можно составить шестизначных номеров телефона из 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если в каждом номере все цифры различны?
9. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами это можно сделать?
10. В вазе стоят 9 белых и 4 розовых тюльпана. Сколькими способами можно выбрать из вазы 5 цветов?
11. Бригада, занимающаяся ремонтом здания, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта цокольного этажа надо выделить 4 маляра и 2 плотников. Сколькими способами это можно сделать?
12. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд; б) Иванов и Петров должны остаться; в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?
2.2. Классическое определение вероятности
Пример 2.2.1. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков больше, чем 4?
Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарный исход – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит общее число элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – выпало больше, чем 4 – благоприятствуют два элементарных исхода: 5 и 6. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Согласно классическому определению вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.2. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков.
Решение. Элементарный исход в данном опыте – упорядоченная пара чисел. Множество элементарных исходов представим в виде таблицы 1. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таблица 1

1
2
3
4
5
6

1
2
3
4
5
6
7

2
3
4
5
6
7
8

3
4
5
6
7
8
9

4
5
6
7
8
9
10

5
6
7
8
9
10
11

6
7
8
9
10
11
12

В каждой клетке таблицы запишем сумму выпавших очков. Событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сумма выпавших очков равна 9 – благоприятствуют 4 исхода. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.3. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – аккумулятор исправен – благоприятствует 1000–6=994 исхода: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.4. Найти вероятность того, что при вынимании одной случайной карты из колоды 36 карт, получим карту «Туз» или карту масти черви.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранная карта. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – карта туз или карта масти черви – благоприятствует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 исходов (9 карт масти черви и 3 туза оставшихся мастей): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.5. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребёнок берёт карточки в случайном порядке и кладёт одну за другой.
Какова вероятность того, что получится слово «ТЕОРИЯ»?
Решение. Пусть событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – получение слова «ТЕОРИЯ». Различные комбинации шести букв из имеющихся различных шести представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв. Поэтому общее количество элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 благоприятствует 1 исход. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.6. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребёнок выбирает произвольно 3 карточки и кладёт одну за другой. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?
Решение. Пусть событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – получение слова «ТОР». Комбинации 3-х букв из имеющихся шести представляют размещения из 6 элементов по 3, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования. Поэтому общее количество элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, из которых событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 благоприятствует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.2.7. По условиям «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4,5 или 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6-ти видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 номеров; б) 4 номера.
Решение. а) Пусть событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – угаданы все 6 видов спорта из 45. Количество элементарных исходов (всех вариантов заполнения карточек спортлото) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. каждый вариант заполнения отличается лишь составом видов спорта (порядок роли не играет). Число исходов, благоприятствующих событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) Пусть событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – угаданы 4 вида спорта из 6 выигравших. Количество элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. (а)). Число способов выбора четырёх видов спорта из шести выигравших равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а двух невыигрышных – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число исходов, благоприятствующих событию В, равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет а) 5 очков; б) 11 очков; в) 13 очков.
2. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна восьми, а модуль разности – четырём; б) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.
3. Заполните таблицу 2, в которой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – число всех элементарных равновозможных исходов испытания; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 число исходов, благоприятствующих событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вероятность наступления события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таблица 2

Испытание (эксперимент)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1
Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков нечетно



2
Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков кратно 3



3
Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков не менее 4



4
Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков больше 6



5
Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков является целым числом



6
Раскручивание стрелки рулетки, разделенной на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8

Остановка стрелки на секторе с номером кратным 3



7
Раскручивание стрелки рулетки, разделенной на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8

Остановка стрелки на секторе, номер которого не
больше 5



4. Маша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.
5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры. Зная то, что они различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.
6. В среднем из 1100 садовых насосов, поступивших в продажу, 11 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
7. Найти вероятность того, что при вынимании одной случайной карты из колоды 36 карт, получим карту «Дама» или карту масти треф.
8. В ящике 12 белых, 7 чёрных и 11 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что вынутый шар – не белый?
9. Какова вероятность того, что случайно выбранной двузначное число
кратно: а) 10; б) 5; в) 14.
10. В коробке имеется 4 одинаковых занумерованных шара. Наудачу по одному извлекают все шары. Найдите вероятность того, что номера извлечённых шаров появятся в возрастающем порядке.
11. На пяти карточках написаны буквы Н, Е, Ф, Т, Ь. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность, что получится слово «НЕФТЬ»?
12. Слово «МОЛНИЯ» разрезали на буквы. Взяли наудачу 4 буквы и выложили в ряд. Какова вероятность, что получится слово «МИЛЯ»?
13. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30-ти магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?
14. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?
15. Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин приобрёл по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?
16. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета, причём каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) 4 девушки; б) 4 юноши; в) 3 юноши и 1 девушка.
2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Пример 2.3.1. Вероятность получения студентом на экзамене оценки «отлично» равна 0,8. Какова вероятность неполучения оценки «отлично»?
Решение. Обозначим случайные события: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – получение оценки «отлично», 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – неполучение оценки «отлично». 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – два противоположных события. Сумма их вероятностей равна единице. Поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.2. Магазин покупает овощи у одного из трёх фермеров (события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415). Вероятность покупки овощей у второго и третьего фермеров известны и равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность покупки овощей у первого фермера?
Решение. События 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 образуют полную группу, поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.3. Вероятности попадания в одну из трёх зон круговой мишени при одном выстреле равны соответственно 0,16, 0,18 и 0,24. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение. Случайное событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (попадание в мишень при одном выстреле) представим как сумму трёх несовместных событий: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – попадание в 1-ю зону мишени; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – попадание во 2-ю зону мишени; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – попадание в 3-ю зону мишени. Для несовместных событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 справедлива теорема сложения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.4. Одновременно подбрасываются две монеты. а) Какова вероятность появления «цифры» на обеих монетах? б) Какова вероятность появления на них хотя бы одной «цифры»?
Решение. Обозначим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в появлении «цифры» на первой монете; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в появлении «цифры» на второй монете. а) Так как события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. б) Событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, состоящие в появлении «цифры» хотя бы на одной из монет, представим как сумму трех несовместных событий: «цифра» выпала только на первой монете (13 EMBED Equation.DSMT4 1415), «цифра» выпала только на второй монете (13 EMBED Equation.DSMT4 1415) и «цифра» выпала на обеих монетах (13 EMBED Equation.DSMT4 1415), т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По теореме о произведении вероятностей независимых событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.5. В корзине 6 зелёных и 4 красных яблока. Из корзины взято одно произвольное яблоко, которое оказалось зелёным. Оно было возвращено обратно в корзину. Затем опыт повторился. Какова вероятность того, что вынутые из корзины два произвольных яблока будут зелёные?
Решение. Обозначим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в том, что вынутые два яблока – зелёные; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в том, что вынутое первое яблоко оказалось зелёным; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в том, что вынутое второе яблоко оказалось также зелёным. События 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 независимые. Поэтому, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.6. Из корзины, в которой 6 зелёных и 4 красных яблока, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что вынутые два яблока будут зелёные?
Решение. Обозначим события: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 первое вынутое яблоко зелёное; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 второе вынутое яблоко зелёное. По теореме умножения вероятностей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 условная вероятность события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисленная в предположении, что событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 состоялось. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.7. Из корзины, в которой 3 зелёных и 7 красных яблок, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что первое яблоко окажется зелёным, а второе – красным?
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в том, что первое вынутое яблоко зелёное; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие, состоящее в том, что второе вынутое яблоко красное.
По теореме умножения вероятностей имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.3.8. Из корзины, в которой 7 зелёных и 5 красных яблок, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что вынутые два яблока будут разного цвета?
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415случайное событие, состоящее в том, что два взятых из корзины яблока разного цвета; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415взятое яблоко – зелёного цвета; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взятое яблоко – красного цвета. Применяя теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность промаха?
2. Вероятность невозврата кредита клиентом банка равна 0,4. Какова вероятность возврата кредита?
3. В денежной лотерее при покупке одного билета можно выиграть:
1000 руб. – с вероятностью 0,1; 900 руб. – с вероятностью 0,3; 800 руб. – с вероятностью 0,6. Какова вероятность при покупке одного билета выиграть не менее 900 руб.?
1. Одновременно подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность одновременного появления на костях числа очков, равного трём?
2. В контейнере 12 годных и 3 бракованных детали. Сборщик берёт произвольно, по очереди, без возвращения, две детали. Какова вероятность того, что первая деталь будет годной, а вторая – бракованной?
3. В первой урне находятся 12 белых и 3 красных шара. Во второй урне находятся 7 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны берут по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара будут красными?
4. Интернет – магазин выполняет заявки трёх покупателей. Вероятность выполнения заявки первого покупателя известна и равна 0,93, второго покупателя – 0,96, третьего покупателя – 0,91. Какова вероятность выполнения заявок всех трёх покупателей?
5. Интернет – магазин выполняет заявки трёх покупателей. Вероятность выполнения заявки первого покупателя равна 0,92, второго покупателя – 0,95, третьего покупателя – 0,9. Какова вероятность выполнения заявок только двух покупателей?
6. Вероятность изготовления годной детали первым рабочим равна 0,9, а вторым рабочим – 0,7. Какова вероятность изготовления годных деталей первым и вторым рабочим?
7. Из колоды 36 карт вынимают произвольно две карты. Какова вероятность того, что вынутая первая карта будет «Туз», а вторая карта – «Дама»?
8. Студент знает 19 из 24 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные ему 3 вопроса.
9. Вероятность того, что в течение суток будет отказ канала передачи данных, равна 0,01. Какова вероятность, что в течение трёх суток отказа канала передачи данных не будет?
10. Вероятность возврата кредита первым клиентом банка известна и равна 0,85, а вторым – 0,75. Какова вероятность возврата кредита только одним клиентом банка?
11. Найти вероятность того, что при вынимании одной случайной карты из колоды 52 карт, получим карту масти «Черви» или карту масти треф.
12. На складе установлены два независимо работающих датчика. Вероятность срабатывания при пожаре первого датчика 0,98, а второго – 0,8. Какова вероятность срабатывания при пожаре ровно одного датчика?
2.4. Вероятность появления хотя бы одного события
Пример 2.4.1. Одновременно подбрасываются три монеты. Какова вероятность появления на них хотя бы одной «цифры»?
Решение. Обозначим события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 появление «цифры» хотя бы на одной из трёх монет; 13 EMBED Equation.DSMT4
· 1415 появление «цифры» на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- ой монете (13 EMBED Equation.DSMT4 1415). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как вероятность появления хотя бы одного случайного события в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 независимых испытаниях равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.4.2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а второго – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – хотя бы одного попадания в мишень?
Решение. Вероятность непопадания в мишень обоими стрелками по теореме умножения вероятностей будет равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.4.3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трёх выстрелах равна 0,729. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трёх выстрелах; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность промаха при одном выстреле; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность попадания при одном выстреле. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.4.4. На складе установлены два независимых датчика – сигнализатора о пожаре. Вероятности срабатывания каждого датчика при пожаре известны и равны: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– не срабатывания при пожаре хотя бы одного датчика?
Решение. Вероятность срабатывания обоих датчиков равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому требуемая вероятность противоположного события будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.4.5. Банком выданы кредиты трём независимым клиентам. Вероятности возврата кредитов известны и равны: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность возврата кредита 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 хотя бы одним клиентом банка?
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (сравните с решением примера 4.1).
Задачи для самостоятельного решения
1. Одновременно подбрасываются две монеты. Какова вероятность появления на них хотя бы одного «герба»?
2. Два покупателя покупают по одному арбузу. Вероятность покупки хорошего арбуза у первого покупателя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а у второго – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – покупки двумя покупателями хотя бы одного хорошего арбуза?
3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трёх выстрелах равна 0,784. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
4. На складе установлены два датчика – сигнализатора о пожаре. Вероятности срабатывания датчиков при пожаре 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность срабатывания при пожаре хотя бы одного датчика, если датчики работают независимо друг от друга?
5. Банком выданы кредиты трём независимым клиентам. Вероятности возврата кредитов известны и равны: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Какова вероятность невозврата кредита 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 хотя бы одним из трёх клиентов банка?
2.5. Формула полной вероятности
Пример 2.5.1. Имеется два одинаковых по виду ящика. В первом ящике 5 белых и 15 черных шаров, во втором – 15 белых и 5 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынимают шар. Какова вероятность, что это будет белый шар?
Решение. Обозначим событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415  из наудачу выбранного ящика извлечён белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – выбран
первый ящик; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – выбран второй ящик. Так как выбор любого из ящиков равновозможен, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отметим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вероятность выбора белого шара из первого ящика 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а вероятность выбора белого шара из второго ящика 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
По формуле полной вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.5.2. С первого автомата на сборку поступает 20% деталей, со второго – 30%, с третьего – 50%. Первый автомат даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной.
Решение. Обозначим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие – наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. Возможны следующие предположения (гипотезы):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – наудачу выбранная деталь поступила на сборку с первого автомата; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – наудачу выбранная деталь поступила на сборку со второго автомата; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – наудачу выбранная деталь поступила на сборку с третьего автомата. По условию задачи с первого автомата поступает 20% деталей. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отметим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вероятность бракованной детали при условии её изготовления первым автоматом равна: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. первый автомат даёт в среднем 0,2% брака. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По формуле полной вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.5.3. В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступившие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что не потребуют ремонта в течение гарантийного срока.
Решение. Обозначим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие – поступивший в торговую фирму телевизор не потребуют ремонта в течение гарантийного срока. Возможны следующие гипотезы: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – телевизор поступил в торговую
фирму от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-го поставщика, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По условию задачи
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По формуле полной вероятности получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Стрельба ведётся по четырём мишеням типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и шести мишеням типа В. Вероятность попадания в мишень типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна 0,4, типа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –0,1. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно в мишень какого типа он будет сделан.
2. Два завода выпускают однотипные детали. Первый завод делает 2% брака, а второй – 1% брака. Из ящика, содержащего 60 деталей, сделанных на первом заводе, и 40 деталей, сделанных на втором заводе, наудачу извлекают одну деталь. Найти вероятность того, что она окажется бракованной.
3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 биатлонистов и 4 велосипедиста. Вероятность выполнить квалификационную норму соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.
4. В одном из трёх ящиков – 6 белых и 3 красных шара, во втором – 7 белых и 3 красных, в третьем 8 белых. Из наудачу выбранного ящика вынули шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
5. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Найти вероятность того, что эта пара отремонтирована качественно.
6. Три станка изготавливают одинаковую продукцию. Их производительности относятся как 3:4:3, а нестандартные детали составляют соответственно 1%, 2% и 1,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из нерассортированной продукции трёх станков, стандартная.
7. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложили наудачу вынутый шар в урну, содержащую 4 белых и 5 чёрных шаров. Найти вероятность извлечь наудачу из второй урны белый шар.
8. В пирамиде 2 винтовки. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из одной из них, равна 0,95, а из другой 0,7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.
9. Студент Иванов знает 5 из 25 экзаменационных билетов. На экзамене он берёт билет вторым. Какова его вероятность получить знакомый билет?
10. В двух ящиках лежат детали ,изготовленные на 1 и 2 заводах соответственно. Вероятность извлечь бракованную деталь из ящика 1-го завода равна 0,08, а из ящика 2-го завода равна 0,06. Из наугад выбранного ящика извлекается деталь. С какой вероятностью она окажется бракованной?
2.6. Формула Бейеса
Пример 2.6.1. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего равна 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие изготовил второй рабочий.
Решение. Обозначим события: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – взятое наудачу изделие оказалось бракованным; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – наудачу взятое изделие изготовил 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-ый рабочий,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По условию задачи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По формуле полной вероятности найдём вероятность события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вероятность изготовления изделия вторым рабочим при условии, что оно оказалось бракованным, найдём по формуле Бейеса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.6.2. При взрыве снаряда образуются осколки трёх типов: крупные, средние и мелкие, причём число крупных, средних и мелких осколков относится как 1:3:6 соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает её с вероятностью 0,5, средний – с вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил её. Каким осколком вероятнее всего произведена пробоина?
Решение. Пусть событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – образовавшийся осколок пробил броню. Возможны следующие предположения (гипотезы): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – образовался крупный осколок; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– образовался средний осколок; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – образовался мелкий осколок. По условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По формуле полной вероятности получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Переоценим вероятности гипотез по формуле Бейеса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вывод: Вероятнее, что пробоина произведена средним осколком. Отметим, что сумма вероятностей гипотез, пересчитанных по формуле Бейеса, равна 1, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. Вероятность попадания из пристрелянного орудия равна 0,7, из непристрелянного – 0,2. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность, что стреляли из непристрелянного орудия.
2. Магазин заключил договор на поставку картофеля с двумя базами. Первая база поставляет 2/3 всего картофеля и 80% продукции, поставляемой этой базой, высокого качества. Для второй базы этот показатель равен 60%. Найти вероятность того, что купленный высококачественный картофель поступил со второй базы.
3. В университете имеется экономический факультет, на котором есть 20 мест на бюджетной основе и 30 мест на платной основе. Абитуриент поступает в университет на бюджетной основе с вероятностью 0,4, на платной – с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный абитуриент поступил в университет. Какова вероятность того, что он поступал на бюджетной основе?
4. На заводе 30% продукции производится цехом № 1, 45% – цехом № 2, остальные 25% – цехом № 3. Цех № 1 даёт 0,5% брака всей производимой им продукции, цех № 2 – 1%, цех № 3 – 0,4%. Наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она была произведена цехом № 2?
5. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и экстремальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев, экстремальный – в 10%. Вероятность выхода из строя за определённый период равна 0,1 для нормального режима и 0,7 – для экстремального. Известно, что прибор вышел из строя. В каком режиме вероятнее он работал?
6. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 550 – на 2-м, и остальные – на 3-ем. Брак на 1-м заводе составляет в среднем 1%, на 2-м – 0,7% и на 3-ем –1,2%. Взятый наудачу подшипник оказался бракованным. На каком заводе вероятнее он изготовлен?
7. Три оператора экспериментальной установки производят соответственно 25%, 35% и 40% всех лабораторных измерений, при этом у первого оператора ошибочными оказываются 5% полученных данных, у второго – 4%, у третьего – 2%. При проверке произвольно выбранного измерения выявлена ошибка. Найти вероятность того, что эта ошибка допущена третьим оператором.
8. Производительность труда во второй половине дня падает полтора раза, а процент производственного брака возрастает вдвое. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. С какой вероятностью она изготовлена во второй половине дня?


2.7. Формула Бернулли
Пример 2.7.1. Вероятность попадания стрелком в мишень постоянна и равна 0,6. Какова вероятность четырёх попаданий при десяти выстрелах?
Решение. Так как вероятность попадания в мишень более 0,1, а число выстрелов мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– вероятность появления события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 независимых испытаниях ровно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 раз, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность попадания в мишень при одном выстреле, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность непопадания в мишень при одном выстреле, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 число сочетаний из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементов по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.7.2. Вероятность прижиться для любого посаженного саженца постоянна и равна 0,3. Какова вероятность того, что из пяти посаженных саженцев приживутся только два?
Решение. Так как вероятность того что посаженный саженец приживётся постоянна и более 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.7.3. Вероятность того, что каждый автомобиль, продаваемый фирмой, требует предпродажной подготовки равна 0,2. Какова вероятность того, что из четырёх продаваемых фирмой автомобилей потребуют предпродажную подготовку все четыре автомобиля?
Решение. Так как в задаче имеет место схема опытов Бернулли, когда вероятность появления события А больше 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.7.4. В тире стрелок делает пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,7. Какова вероятность, что при пяти выстрелах число попаданий окажется менее трёх?
Решение. В задаче имеет место схема опытов Бернулли. Поэтому вероятность того, что при пяти выстрелах число попаданий будет менее трёх, можно представить как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.7.5. Вероятность стрижки волос для каждого клиента парикмахерской постоянна и равна 0,4. Какова вероятность того, что из пяти
клиентов стрижку будет делать хотя бы один клиент?
Решение. Вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 того, что хотя бы один клиент сделает стрижку волос и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– вероятность того, что ни один из пяти клиентов не будет делать стрижку, есть два противоположных события, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Прибор состоит из четырёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время работы прибора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 постоянна и равна 0,6. Какова вероятность того, что за время 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из четырёх элементов прибора откажут ровно 2?
2. Вероятность успешного прохождения тестирования у студентов группы постоянна и равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти
студентов успешно пройдут тестирование ровно три?
3. Вероятность успешного прохождения медицинского осмотра у работников фирмы постоянна и равна 0,7. Какова вероятность того, что из пяти работников фирмы успешно пройдут медицинский осмотр менее двух работников?
4. Вероятность выполнения стрижки волос у клиентов парикмахерской постоянна и равна 0,4. Какова вероятность того, что из пяти клиентов парикмахерской будут выполнять стрижку волос не менее четырёх клиентов?
5. Вероятность того, что продаваемые стиральные машины потребуют в течение гарантийного срока ремонта, равна 0,3. Какова вероятность того, что из трёх стиральных машин в течение гарантийного срока потребуют ремонта не более одной?
6. Вероятность попадания в мишень при трёх независимых выстрелах постоянна и равна 0,8. Какова вероятность того, что число попаданий в мишень при трёх выстрелах будет не менее двух?
7. Вероятность отказа в работе любой из имеющихся осветительных ламп в течение времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 постоянна и равна 0,1. Какова вероятность отказа в течение времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 хотя бы одной лампы из имеющихся четырёх?
8. Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность появления «герба» ровно 3 раза? Менее 3 раз?
9. Вероятность устройства на работу для мигрантов постоянна и равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти мигрантов устроится на работу хотя бы один?
10. Вероятность невозврата кредита клиентом банка постоянна и равна 0,15. Какова вероятность невозврата кредита более тремя клиентами из шести, получивших кредит?
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Дискретная случайная величина
Пример 3.1.1. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 принимает значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 3.1.1
Требуется: 1) построить многоугольник распределения вероятностей; 2) найти математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 1) Если в прямоугольной системе координат построить точки (13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) и соединить их отрезками прямых, то получим ломаную линию, называемую многоугольником распределения вероятностей (рис. 3.1.1).
2) Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – возможные значения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вероятность появления значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.1.2. Закон распределения дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задан рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1
3
5
8

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,3
0,5
0,1

Требуется найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Дисперсия является характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно математического ожидания и для её вычисления обычно используют следующую рабочую формулу:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Среднеквадратическое отклонение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.1.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задан рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
2
5

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,2
0,6
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Найти значение числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и построить график функции распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 3.1.2
Решение. 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2) Функция распределения представляет собой вероятность выполнения неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – значение случайной величины, полученное в результате опыта, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – заданное значение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 1) если x
· 0, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, меньшего заданного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не существует; 2) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может иметь только одно значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностью 0,2; 3) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может принять случайно два значения 0 и 2 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может принять любое значение 0; 2; 5 с вероятностями 0,2; 0,6; 0,2 и, поэтому при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. График функции распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 приведен на рис. 3.1.2.
Пример 3.1.4. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет закон распределения, заданный рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
2
6
8

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,21
0,39
0,3
0,1

1) Найти вероятности следующих событий: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 1) Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может принимать следующие значения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) Так как случайная величина дискретна, то для вычисления математического ожидания будем использовать следующую формулу:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дисперсию случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будем вычислять по формулам:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Среднеквадратическое отклонение равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 принимает значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно. Построить многоугольник распределения вероятностей и найти вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
3
6
8

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,3
0,5
0,1

Найти математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, закон распределения которой задан рядом

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
1
4
8


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,2
0,6
0,1

4. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 принимает значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Требуется построить график функции распределения F(х) случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 принимает значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно. Требуется найти вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 2
– 1
0
2
3

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,02
0,15
0,35
0,40
0,08

Требуется найти а) математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) вероятности: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 2
– 1
0
3
4

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,02
0,14
0,36
0,40
0,08

Найти дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и вероятности: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
8. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 0,1
0
1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,2
0,5
0,2

Требуется: а) найти значение числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) построить график функции распределения вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
9. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 2
–1
0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,05
0,25
0,4
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1

Требуется найти значение числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
10. Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана рядом распределения вероятностей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 2
0
2
5

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Требуется найти: а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3.2. Непрерывная случайная величина
Пример 3.2.1. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана функцией плотности распределения вероятностей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1) Определите значение коэффициента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 2) Постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 3) Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 4) Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5) Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 1) Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 3.2.1
2) На рис. 3.2.1 построен график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Полученная вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и опирающейся на отрезок [0;1].
5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, равна 0: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.2.2. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана функцией распределения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдите: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– функцию плотности распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дисперсию случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 8)
·(Х) – среднеквадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 1) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) По определению функции распределения имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Или (второй способ решения):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) События (13 EMBED Equation.DSMT4 1415) и (13 EMBED Equation.DSMT4 1415) – противоположны, а сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Или (второй способ решения):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, равна 0: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5) Согласно определению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) По определению математическое ожидание случайной величины Х равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому для рассматриваемой функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
7) Для нахождения дисперсии случайной величины Х воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В нашем случае
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
8) По определению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана функцией распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) Постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найти: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) Найдите математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
2. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана функцией распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) Постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найдите: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) Найдите математическое ожидание данной случайной величины.
3. Задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдите: а) значение числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; д) математическое ожидание случайной величины.
4. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана функцией плотности распределения вероятностей: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
а) Определите значение числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) постройте график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) найдите: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) найдите дисперсию данной случайной величины.
5. При каких значениях числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может быть функцией плотности распределения вероятностей некоторой случайной величины, заданной на промежутке: а) [0;2]; б) [0;+
·] ?


































Издательство ООО "еТест"
117133, г. Мостква, ул. Академика Варги, 28
Тел.(095) 514-7479. E-mail: [email protected]
Изд. лиц. ИД № 05684 от 24.08.2001 г. Пописано в печать 29.08.2013.
Формат 6013 EMBED Equation.DSMT4 141588 1/16. Гарнитура Times. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Печ. л. 2,0. Тираж 2000 экз. Заказ 3985
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП "Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ".
140010, г. Люберцы Московская обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел (095) 554-21-86









13PAGE \* MERGEFORMAT14- 35 -15



13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeyEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23877927
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 53

Добавить комментарий