Тема_3 Функции Вебера и Ханкеля

Тема 3. Функции Вебера и Ханкеля.
По определению, цилиндрическая функция есть произвольное решение дифф. уравнения (2.1), поэтому её общее выражение содержится в формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
· какие-нибудь линейно независимые решения уравнения (2.1); 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
· постоянные, которые могут зависеть от 13 EMBED Equation.3 1415. Для случая, когда 13 EMBED Equation.3 1415 отлично от целого числа, в качестве частных решений уравнения (2.1) можно взять функции Бесселя первого рода порядка 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Для этого необходимо показать, что для нецелых 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 линейно независимы.
Рассмотрим поведение функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)
и функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.2)
в окрестности начала координат. Если 13 EMBED Equation.3 1415 не равно целому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при 13 EMBED Equation.3 1415 будет определяться членами ряда при 13 EMBED Equation.3 1415 (когда степень знаменателя максимальна)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Эти формулы верны для всех 13 EMBED Equation.3 1415 за исключением тех значений, когда знаменатель обращается в бесконечность, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 будут линейно независимы и общее выражение цилиндрической функции при 13 EMBED Equation.3 1415будет таким:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.3)
Рассмотрим теперь случай, когда 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415). В этом случае
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 для всех 13 EMBED Equation.3 1415 и первые 13 EMBED Equation.3 1415 членов для 13 EMBED Equation.3 1415 будут равны нулю. Для этой функции произведём замену переменной суммирования 13 EMBED Equation.3 1415. Получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.4)
Таким образом, функции Бесселя первого рода с целым индексом линейно зависимы и выражение (3.3) не является общим интегралом уравнения Бесселя (2.1) в этом случае. Следовательно, для целых 13 EMBED Equation.3 1415 надо построить ещё одно решение уравнения Бесселя.
Отметим асимптотические свойства функций Бесселя первого рода при 13 EMBED Equation.3 1415. Из формулы (3.1) следует (рассматривается только первый член ряда), что
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.5)
Следовательно, функция 13 EMBED Equation.3 1415 ограничена в окрестности начала координат (рис. 2.1).


Будем предполагать теперь, что 13 EMBED Equation.3 1415 не является целым. Введём в рассмотрение функцию Бесселя второго рода 13 EMBED Equation.3 1415, которая для произвольных 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих плоскости с разрезом (13 EMBED Equation.3 1415), определяется выражением
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.6)
Эта функция для нецелых 13 EMBED Equation.3 1415 является решением уравнения Бесселя (2.1) и линейно независима с функцией Бесселя первого рода 13 EMBED Equation.3 1415 (т. к. в неё входят 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415). Функция (3.6)
· это цилиндрическая функция второго рода или функция Вебера. В некоторых работах её обозначают 13 EMBED Equation.3 1415, а саму функцию называют функцией Неймана.
При целом 13 EMBED Equation.3 1415 функция Вебера (3.6) приобретает неопределённый вид (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415). Под значением функции в этом случае понимают предел
13 EMBED Equation.3 1415.
Покажем, что функция 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет уравнению Бесселя. Так как числитель и знаменатель в (3.6)
· целые функции 13 EMBED Equation.3 1415, то рассматриваемый предел существует и может быть вычислен по правилу Лопиталя. Применение этого правила даёт следующее представление:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (3.7)
Для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 можем записать уравнения Бесселя
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Продифференцировав каждое из этих тождеств по 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Умножим теперь первое соотношение на 1, а второе
· на 13 EMBED Equation.3 1415 и вычтем одно из другого. Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим теперь это соотношение на 13 EMBED Equation.3 1415 и перейдём
·к пределу при 13 EMBED Equation.3 1415. С учётом (3.7) и линейной зависимости функций Бесселя при 13 EMBED Equation.3 1415 (3.4) получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Это и доказывает, что 13 EMBED Equation.3 1415
· решение уравнения Бесселя (2.1).
Функции Вебера с целым индексом, также как и функции Бесселя первого рода, линейно зависимы
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415., (3.8)
что является следствием представления (3.7) и свойства (3.4).
Для того чтобы получить разложение в ряд функции 13 EMBED Equation.3 1415, достаточно воспользоваться формулой (3.7) и вычислить производные по индексу 13 EMBED Equation.3 1415, исходя из разложений (3.1) и (3.2). Найдём эти производные.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415.
При формировании предельного выражения для этой производной необходимо помнить, что при 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. для первых 13 EMBED Equation.3 1415 членов ряда) и 13 EMBED Equation.3 1415 значение 13 EMBED Equation.3 1415 и значение 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому первые 13 EMBED Equation.3 1415 членов ряда, содержащих 13 EMBED Equation.3 1415, будут отсутствовать (13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415), а первые 13 EMBED Equation.3 1415 членов ряда, содержащих 13 EMBED Equation.3 1415, принимают неопределённый вид. Раскроем эту неопределённость. Имеем
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Возьмём 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда с учётом последней формулы получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, для предельного выражения второй производной имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
или при замене индекса суммирования во второй сумме 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя найденные производные в формулу (3.7), найдем представление функции Вебера с целым индексом в виде ряда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (3.9)
Если принять во внимание, что 13 EMBED Equation.3 1415, то это представление верно и для случая 13 EMBED Equation.3 1415. Сравнивая коэффициент при 13 EMBED Equation.3 1415 с общим членом ряда в (3.1), можно заключить, что справедливо также и следующее представление в виде ряда:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (3.10)
Полученный результат показывает, что функция Вебера есть регулярная функция в плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Далее, 13 EMBED Equation.3 1415 есть решение, линейно независимое от решения 13 EMBED Equation.3 1415 (см. 3.10).
Из представления (3.9) вытекает, что при 13 EMBED Equation.3 1415 справедливы следующие асимптотические формулы:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.11)
Эти формулы показывают, что 13 EMBED Equation.3 1415, когда 13 EMBED Equation.3 1415.
Решения уравнения Бесселя 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 линейно независимы между собой. Для 13 EMBED Equation.3 1415 этот результат является следствием линейной независимости решений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Линейная независимость для 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) вытекает из (3.10) или сопоставления поведения рассматриваемых функций при 13 EMBED Equation.3 1415 (3.5) и (3.11). Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях 13 EMBED Equation.3 1415, будет
13 EMBED Equation.3 1415.
В рассмотрение вводят ещё две новые цилиндрические функции
13 EMBED Equation.3 1415, (3.12)
13 EMBED Equation.3 1415. (3.13)
Это
· функции Бесселя третьего рода первого и второго порядка с индексом 13 EMBED Equation.3 1415, которые называются также функциями Ханкеля первого и второго рода с индексом 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что эти функции линейно независимы с функциями Бесселя первого рода и между собой. Они определены для 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Асимптотическое поведение функций Ханкеля при 13 EMBED Equation.3 1415 определяется следующими формулами:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (3.14)
Таким образом, ограниченной при 13 EMBED Equation.3 1415 остаётся только функция Бесселя первого рода.
Все цилиндрические функции при фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 есть целые функции параметра 13 EMBED Equation.3 1415.








13PAGE 15


13PAGE 14115



Рис. 2.1



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23868930
    Размер файла: 345 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий