ЛК.3-5 — Введення в теорію двоїстості

Теорія двоїстості
1.Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування.
2. Правила побудови двоїстих задач.
3.Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.
4.Приклади застосування теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач.
5. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач.
6. Аналіз розв’язків спряжених економіко-математичних задач.
7. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.
8. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.
9. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів цільової функції.
10. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів матриці обмежень

11. Аналіз коефіцієнтів цільової функції.
12. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень.
13.Практичне використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
1. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування
Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею.
Пряма задача:
13EMBED Equation.31415 (1)
за умов:
13EMBED Equation.31415 (2)
13EMBED Equation.31415. (3)
Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j-го виду 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів – 13EMBED Equation.31415; норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції – 13 EMBED Equation.3 1415, а також 13EMBED Equation.31415 – ціни реалізації одиниці j-ої продукції.
Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустимо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину чи всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу 13EMBED Equation.31415 поставимо у відповідність його оцінку 13EMBED Equation.31415. Умовно вважатимемо, що 13EMBED Equation.31415 – ціна одиниці і-го ресурсу.
На виготовлення одиниці j-го виду продукції витрачається згідно з моделлю (1)(3) m видів ресурсів у кількості відповідно 13EMBED Equation.31415. Оскільки ціна одиниці і-го виду ресурсу дорівнює 13EMBED Equation.31415, то загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j-го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:
13EMBED Equation.31415.
Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:
13EMBED Equation.31415.
Зрозуміло, що покупці ресурсів прагнуть здійснити операцію якнайдешевше, отже, необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:
13EMBED Equation.31415.
Отже, в результаті маємо двоїсту задачу:
13EMBED Equation.31415 (4)
за умов:
13EMBED Equation.31415 (5)
13EMBED Equation.31415 (6)
Тобто необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і-го виду ресурсу 13EMBED Equation.31415, щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.
Зауважимо, що справжній зміст величин 13EMBED Equation.31415 – умовні ціни, що виражають рівень «цінності» відповідного ресурсу для даного виробництва. Англійський термін «shadow prices» у літературі перекладають як «оцінка» або «тіньова, неявна ціна». Академік Л.В.Канторович назвав їх об’єктивно обумовленими оцінками відповідного ресурсу.
Задача (4)-(6) є двоїстою або спряженою до задачі (1)-(3), яку називають прямою (основною, початковою). Поняття двоїстості є взаємним. По суті мова йде про одну і ту ж задачу, але з різних поглядів. Дійсно, не важко переконатися, що двоїста задача до (4)-(6) збігається з початковою. Тому кожну з них можна вважати прямою, а іншу – двоїстою. Симетричність двох таких задач очевидна. Як у прямій, так і у двоїстій задачі використовують один набір початкових даних: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415. Крім того, вектор обмежень початкової задачі стає вектором коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі і навпаки, а рядки матриці А (матриці коефіцієнтів при змінних з обмежень прямої задачі) стають стовпцями матриці коефіцієнтів при змінних в обмеженнях двоїстої задачі. Кожному обмеженню початкової задачі відповідає змінна двоїстої і навпаки.
Початкова постановка задачі та математична модель може мати вигляд як (1)-(3), так і (4)-(6). Отже, як правило, кажуть про пару спряжених задач лінійного програмування.
2. Правила побудови двоїстих задач
Для побудови двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Нагадаємо, що задача лінійного програмування подана у стандартному вигляді, якщо для відшукання максимального значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до виду «13EMBED Equation.31415», а для задачі на відшукання мінімального значення до виду «13EMBED Equation.31415».
Якщо пряма задача лінійного програмування подана в стандартному вигляді, то двоїста задача утворюється за такими правилами:
1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.
2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.
3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення (min), і навпаки.
4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.
5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі.
6. Матриця
13EMBED Equation.31415,
що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів у системі обмежень двоїстої задачі
13EMBED Equation.31415
утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною рядків стовпчиками, а стовпчиків – рядками.
Процес побудови двоїстої задачі зручно зобразити схематично:

Рисунок 1 – Схема побудови двоїстої задачі до прямої
Пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.
У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень.
У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої – лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.
Всі можливі форми прямих задач лінійного програмування та відповідні їм варіанти моделей двоїстих задач у матричній формі наведено нижче.

3. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст
Зв’язок між оптимальними розв’язками прямої та двоїстої задач встановлюють леми та теореми двоїстості. Розглянемо задачі (1)-(3) та (4)-(6) з економічною інтерпретацією.
Лема 1 (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 – допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність
13EMBED Equation.31415 або 13EMBED Equation.31415. (7)
Лема 2 (достатня умова оптимальності). Якщо 13EMBED Equation.31415 та 13EMBED Equation.31415 – допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність
13EMBED Equation.31415 (8)
то X*, Y* – оптимальні розв’язки відповідних задач.
Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто
13EMBED Equation.31415.
Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв’язку.
Перша теорема двоїстості дає змогу в процесі розв’язування однієї задачі водночас знаходити план другої.
Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (Fmax) підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом 13EMBED Equation.31415, однак таку саму суму грошей (13EMBED Equation.31415) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами 13EMBED Equation.31415. За умов використання інших планів 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415 на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.
Між розв’язками спряжених задач крім рівності значень цільових функцій існує тісніший взаємозв’язок. Для його дослідження розглянемо дві симетричні задачі лінійного програмування.
Пряма задача:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (9)
13EMBED Equation.31415.
Двоїста задача:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 (10)
13EMBED Equation.31415
Для розв’язування задач симплексним методом необхідно звести їх до канонічної форми, для чого в системи обмежень задач (9) і (10) необхідно ввести відповідно m та n невід’ємних змінних. Поставимо обмеженням кожної задачі у відповідність змінні її двоїстої задачі.
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогічно:
13EMBED Equation.31415
Отримали таку відповідність між змінними спряжених задач:

Наступна теорема в літературі, як правило, має назву теореми про доповнюючу нежорсткість.
Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415. (12)
Очевидніший взаємозв’язок між оптимальними планами прямої та двоїстої задач встановлює наслідок другої теореми двоїстості.
Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна і-та компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює нулю.
Якщо і-та компонента оптимального плану однієї із задач додатна, то відповідне і-те обмеження спряженої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.
Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг 13EMBED Equation.31415, то відповідна оцінка такого ресурсу 13EMBED Equation.31415 (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним».
Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові 13EMBED Equation.31415, тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка 13EMBED Equation.31415 буде строго більшою від нуля.
Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y* двоїстої задачі: у разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну сj, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції 13EMBED Equation.31415 дорівнює нулю.
Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції 13EMBED Equation.31415, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі 13EMBED Equation.31415.
Існування двоїстих змінних уможливлює зіставлення витрат на виробництво і цін на продукцію, на підставі чого обґрунтовується висновок про доцільність чи недоцільність виробництва кожного виду продукції. Крім цього, значення двоїстої оцінки характеризує зміну значення цільової функції, що зумовлена малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Дане твердження формулюється у вигляді такої теореми.
Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі 13EMBED Equation.31415 дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції 13EMBED Equation.31415 за відповідними аргументами 13EMBED Equation.31415, або
13EMBED Equation.31415 (13)
Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, м2, люд./год, га тощо).
Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу 13EMBED Equation.31415.
Отже, за умови незначних змін 13EMBED Equation.31415 замість задачі лінійного програмування, поданій в канонічній формі
13EMBED Equation.31415 (14)
13EMBED Equation.31415 (15)
13EMBED Equation.31415 (16)
маємо нову задачу, де 13EMBED Equation.31415 замінено на 13EMBED Equation.31415. Позначимо через 13EMBED Equation.31415 оптимальний план нової задачі. Для визначення 13EMBED Equation.31415 не потрібно розв’язувати нову задачу лінійного програмування, а достатньо скористатися формулою 13EMBED Equation.31415, де 13EMBED Equation.31415– оптимальний план задачі (14-16).
4 Приклади застосування теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач
Кожну з двох спряжених задач можна розв’язати окремо, проте встановлені теоремами двоїстості залежності між оптимальними планами прямої та двоїстої задач уможливлюють знаходження розв’язку двоїстої задачі за наявності оптимального плану прямої, і навпаки.
Приклад 1. До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язати одну з них симплекс-методом та визначити оптимальний план другої задачі, використовуючи співвідношення першої теореми двоїстості.
max Z = – 5x1 + 2x2;
13EMBED Equation.31415
Розв’язання. Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і в системі обмежень є нерівності, то їх слід звести до виду «13EMBED Equation.31415». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:
max Z = – 5x1 + 2x2;
13EMBED Equation.31415
Тепер за відповідними правилами складемо двоїсту задачу:
min F = – y1 + 5y2;
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415
Оскільки записані задачі симетричні, то будь-яку з них можна розв’язати симплекс-методом. Наприклад, визначимо спочатку оптимальний план прямої задачі. Для цього застосуємо алгоритм симплекс-методу.
1. max Z = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4;
13EMBED Equation.31415
2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:
13EMBED Equation.31415,
де 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
У системі векторів для утворення початкового одиничного базису відсутній один вектор. Тому введемо штучну змінну в перше обмеження.
3. Розширена задача лінійного програмування буде такою:
max Z = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 – Мx5;
13EMBED Equation.31415
У цій задачі х4 та х5 – базисні змінні, а х1, х2, х3 – вільні. Нехай х1=х2=х3=0, тоді х4=5; х5=1.
Перший опорний план задачі:
X0=(0; 0; 0; 5; 1), Z0= – M.
4. Подальше розв’язування прямої задачі подано у вигляді симплексної таблиці:

З останньої симплекс-таблиці запишемо оптимальний план прямої задачі:
Х*=(0; 5/3; 2/3; 0), Zmax=10/3.
Згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою можна зробити висновок, що оптимальний план двоїстої задачі існує і
min F = max Z = 10/3.
Компоненти вектора Y* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:
13EMBED Equation.31415,
де 13EMBED Equation.31415 та міститься в стовпчику «Сбаз» останньої симплекс-таблиці;
13EMBED Equation.31415.
Матриця D–1 також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних «x5» та «x4», які утворювали початковий базис.
Отже,
13EMBED Equation.31415,
min F = – 1 ( 0 + 5 ( 2/3 = 10/3.
Застосувавши для розв’язування прямої задачі симплекс-метод, ми знайшли її оптимальний план, а потім визначили оптимальний розв’язок двоїстої задачі за допомогою співвідношень першої теореми двоїстості.
Приклад 2. До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.
min Z = x1 + 2x2 + 2x3;
13EMBED Equation.31415
Розв’язання. За відповідними правилами побудуємо двоїсту задачу:
mах F = y1 + 4y2;
13EMBED Equation.31415
Зауважимо, що задачі несиметричні, і тому змінна у1, що відповідає першому рівнянню в системі обмежень прямої задачі, може мати будь-який знак, а змінна у2 – лише невід’ємна.
Двоїста задача має дві змінні, а отже, її можна розв’язати графічно (рис.2).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рисунок 2
Найбільшого значення цільова функція двоїстої задачі F досягає в точці В багатокутника ABCD. Її координати визначимо розв’язанням системи рівнянь:
13EMBED Equation.31415
Отже, Y* = (– 2/3; 4/3); mах F = 1 ( (– 2/3) + 4 ( 4/3 = 14/3.
Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.
Підставимо Y* у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:
13EMBED Equation.31415
Оскільки перше обмеження для оптимального плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, то висновуємо, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х1=0 (перша частина другої теореми двоїстості).
Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Оскільки друга компонента плану у2=4/3 додатна, то друге обмеження прямої задачі для Х* виконуватиметься як строге рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).
Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х1=0, та визначити решту змінних:
13EMBED Equation.31415
тобто Х* = (0; 5/3; 2/3), min Z = 1 ( 0 + 2 ( 5/3 + 2 ( 2/3 = 14/3.
Умова min Z = max F = 14/3 виконується, і тому Х* = (0; 5/3; 2/3); Y* = (– 2/3; 4/3) є оптимальними планами відповідно прямої та двоїстої задач.
Приклад 3. Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:
min Z = 12x1 – 4x2 + 2x3;
13EMBED Equation.31415
а) Х = (8/7; 3/7; 0); б) Х = (0; 1/5; 8/5); в) Х = (1/3; 0; 1/3).
Розв’язання. Принцип розв’язування задач такого типу ґрунтується на використанні другої теореми двоїстості. Необхідно побудувати двоїсту задачу та, допускаючи, що відповідний план Х є оптимальним, визначити оптимальний розв’язок двоїстої задачі. Якщо при цьому екстремальні значення цільових функцій будуть однаковими за величиною, то припущення правильне. Протилежне можна висновувати в таких випадках:
1. Якщо запропонований план Х недопустимий, тобто не задовольняє систему обмежень прямої задачі.
2. Якщо визначений план двоїстої задачі недопустимий, тобто не задовольняє всі обмеження двоїстої задачі.
3. Якщо визначений план двоїстої задачі допустимий, але для нього екстремальне значення цільової функції F не дорівнює значенню функції Z, тобто не виконується умова першої теореми двоїстості.
Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:
max F = y1 + 2y2;
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.
1. Х = (8/7; 3/7; 0). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:
13EMBED Equation.31415
Обидва обмеження виконуються, і тому Х = (8/7; 3/7; 0) є допустимим планом прямої задачі. Припустимо тепер, що зазначений план є оптимальним планом прямої задачі. Тоді розрахуємо для нього величину цільової функції:
Z = 12 ( 8/7 – 4 ( 3/7 + 2 ( 0 = 12.
Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x1 = 8/7 > 0; x2 = 3/7 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати перше та друге обмеження як рівняння і визначити у1 та у2:
13EMBED Equation.31415
Підставимо ці значення в третє обмеження системи двоїстої задачі:
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
Для визначених значень у1 = 4; у2 = 4 це обмеження не виконується, і тому відповідний план у = (4; 4) є недопустимим планом двоїстої задачі. Внаслідок цього наше допущення, що Х = (8/7; 3/7; 0) є оптимальним планом прямої задачі, виявилося помилковим.
2. Х = (0; 1/5; 8/5). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:
13EMBED Equation.31415
План допустимий, і для нього Z = 12 ( 0 – 4 ( 1/5 + 2 ( 8/5 = 12/5.
Визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки компоненти x2 та x3 додатні, то друге і третє обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:
13EMBED Equation.31415
Перевіримо, чи виконується перше обмеження двоїстої задачі для визначених значень у1 та у2: 2 ( 8/5 + 2/5 = 18/5 < 12. Отже, перше обмеження виконується, і тому у = (8/5; 2/5) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього
F = 8/5 + 2 ( 2/5 = 12/5 = Z.
З огляду на викладене можна зробити висновок, що Y* = (8/5; 2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X* = (0; 1/5; 8/5) – оптимальним планом прямої задачі.
Наше припущення відносно запропонованого плану виявилося правильним.
3. Х = (1/3; 0; 1/3). Для цього плану обмеження прямої задачі виконуються так:
13EMBED Equation.31415
Оскільки Х = (1/3; 0; 1/3) є недопустимим планом, то він не може бути також оптимальним планом прямої задачі.
Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати:
а) ні;
б) так, Х* = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5;
в) ні.
Теорія двоїстості є потужним математичним апаратом обґрунтування структури виробництва. Вона дає змогу насамперед визначати статус ресурсів та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно зміни запасів дефіцитних ресурсів. За умов ринкової економіки ціни на ресурси можуть змінюватися в доволі широких межах. Крім цього, постачальники через об’єктивні обставини можуть не виконати попередніх домовленостей. Тому аналіз ринку ресурсів у передплановому періоді має чимале значення. Важливою є проблема заміни одного дефіцитного ресурсу іншим.
Використання двоїстих оцінок уможливлює визначення рентабельності кожного виду продукції, яка виробляється підприємством. Водночас можна оцінити інтервали можливої зміни цін одиниці кожного виду продукції, що дуже важливо за ринкових умов.
Отже, аналіз лінійної економіко-математичної моделі на чутливість дає широкий спектр динамічної інформації про визначений оптимальний план і змогу дослідити вплив можливих змін на результати господарської діяльності.
Побудована економіко-математична модель може бути використана для імітації процесу виробництва. Це дає змогу перевірити:
1) за яких умов оптимальний план є стійким;
2) чи є вигідним додаткове залучення ресурсів;
3) як зміниться ефективність виробництва в разі загострення конкуренції на ринку збуту (оцінити виправданість у цій ситуації зниження цін на продукцію);
4) доцільність виробництва нової продукції;
5) як вплине на ефективність діяльності підприємства порушення споживачами продукції попередніх угод, наприклад, їх відмова від частини або всієї продукції. Як має виробник за цих обставин змінити план виробництвом продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції.
Зауважимо, що дослідження планів, отриманих за економіко-математичними моделями, на стійкість, а також оцінювання ситуацій мають виконуватися в передплановому періоді.
5. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
Економічну інтерпретацію прямої та двоїстої задач і проведення післяоптимізаційного аналізу розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів.
Для виробництва n видів продукції використовується m видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями 13EMBED Unknown1415. Норми витрат кожного ресурсу на виробництво одиниці продукції становлять 13EMBED Unknown1415. Ціна реалізації одиниці продукції j-го виду дорівнює 13EMBED Unknown1415. Математична модель цієї задачі має такий вигляд:
13EMBED Unknown1415; (17)
13EMBED Unknown1415; (18)
13EMBED Unknown1415. (19)
Сутність прямої задачі полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва різних видів продукції 13EMBED Unknown1415, який дав би змогу одержати найбільшу виручку від її реалізації.
Двоїста задача до сформульованої у такий спосіб прямої буде такою:
13EMBED Unknown1415; (20)
13EMBED Unknown1415; (21)
13EMBED Unknown1415. (22)
Економічний зміст двоїстої задачі полягає у визначенні такої оптимальної системи оцінок ресурсів уі, що використовуються для виробництва продукції, за якої загальна вартість усіх ресурсів була б найменшою. Змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу.
Розглянемо використання двоїстих оцінок на прикладі аналізу економіко-математичних моделей виду (17)-(19) та (20)-(22).
Приклад 17. Деяке підприємство виробляє чотири види продукції А, В, С, і D, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2 і 3. Норми витрат ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції (в умовних одиницях) наведено в табл.17.
Таблиця 17

Відомі також ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: для продукції А– 2 ум. од., для продукції В і D – по 4 ум. од., для продукції С – 3 ум. од.
Необхідно визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду за умов обмеженості запасів ресурсів, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції.
Розв’язання. Математичні моделі прямої (23) та двоїстої (24) задач мають такий вигляд:
13EMBED Unknown1415 (23)
де хj – обсяг виробництва продукції j-го виду 13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415 (24)
де yi – оцінка одиниці і-го виду ресурсу 13EMBED Unknown1415.
Симплексна таблиця, що відповідає оптимальному плану сформульованої вище задачі має вигляд:

6. Аналіз розв’язків спряжених економіко-математичних задач
Наведена симплекс-таблиця містить оптимальні плани прямої та двоїстої задач. Оптимальний план прямої задачі позначимо через 13 EMBED Equation.2 1415, а оптимальний план двоїстої – Y*.
Х* = (0; 0; 35; 45; 0; 30; 0), max Z = 285;
Y* = (4; 0; 3) ( 13EMBED Unknown1415 = (1/2; 0; 2);
min F = 250/2 + 160 = 285 = max Z.

Основні змінні оптимального плану прямої задачі означають обсяги виробництва відповідних видів продукції. Отже, випуск продукції видів А та В не передбачається (х1 = х2 = 0), а С і D – планується у кількості відповідно 35 та 45 од.
Додаткові змінні оптимального плану прямої задачі х5, х6, х7 характеризують залишки (невикористані обсяги) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х6=30, то це означає, що другий ресурс використовується у процесі виробництва продукції не повністю. Перший та третій ресурси за оптимального плану виробництва будуть використані повністю, бо х5 = х7 = 0.
За такого плану виробництва продукції підприємство отримало б найбільшу виручку обсягом 285 ум.од.
Відомо, що між змінними прямої та двоїстої задач існує відповідність виду:

Оптимальний план двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві.
Основні змінні двоїстої задачі за наведеною схемою відповідають додатковим змінним прямої, що характеризують обсяги невикористаних ресурсів. Отже, отримані значення змінних у1, у2 та у3 можна використати для відносної кількісної оцінки важливості відповідних видів ресурсів. Так, у1 = 1/2 та у3 = 2 відмінні від нуля, а ресурси 1 та 3 (за значеннями додаткових змінних прямої задачі) використовуються повністю. Двоїста оцінка у2 = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується за оптимального плану виробництва продукції. Це підтверджується також попереднім аналізом додаткових змінних оптимального плану прямої задачі. Крім того, за третьою теоремою двоїстості відомо: якщо деяка основна змінна оптимального плану двоїстої задачі уі ( 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягу відповідного і-го ресурсу приводить до зміни значення цільової функції на величину уі. Якщо уі = 0, то значення цільової функції залишається незмінним.
Отже, у1 = 1/2 означає, що коли запас першого ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b1 = 250 + 1 = 251), то значення цільової функції max Z збільшиться за інших однакових обставин на у1 = 1/2 ум. од. і становитиме max Z = 285 + 1/2 = 285,5 ум.од. Аналогічно збільшення на одну умовну одиницю третього ресурсу (b3 = 80 + 1 = 81) приведе за інших однакових умов до збільшення цільової функції на у3 =2 ум.од., що становитиме max Z = 285 + 2 = 287 ум. од. Лише незначні зміни обсягу другого ресурсу ніяк не впливатимуть на значення цільової функції, оскільки у2 = 0.
Додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі відповідають основним змінним прямої задачі і, оскільки останні означають обсяги виробництва кожного виду продукції, відповідні їм у4, у5, у6 та у7 також у певний спосіб мають характеризувати виробництво відповідних видів продукції. За правилами побудови двоїстої задачі очевидно, що додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Отже, вони відносно характеризують збитковість виробництва відповідних видів продукції.
Додаткові змінні двоїстої задачі розміщуються в оцінковому рядку останньої симплекс-таблиці у стовпчиках «х1» – «х4». Їх оптимальні значення: у4 = 5; у5 = 5/2; у6=0; у7 = 0. Тому витрати на виробництво продукції видів А і В перевищують їх ціну відповідно на 5 та 5/2 ум.од., а для продукції С і D такого перевищення немає. Це підтверджується також попереднім аналізом основних змінних оптимального плану прямої задачі, оскільки за оптимальним планом доцільно виготовляти саме продукцію видів С і D.
Розрахована оптимальна система оцінок забезпечує найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 285 ум. од.
7 Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.
Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0.
Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y* у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.
13EMBED Equation.31415
Аналогічні результати можна дістати, проаналізувавши додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі (п.18). Як з’ясовано вище, значення додаткових змінних показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна. І, навпаки, якщо уі > 0, то відповідна продукція нерентабельна.
Оптимальні значення у4 = 5 > 0; у5 = 5/2 > 0, тому продукція А і В нерентабельна, а у6 = 0; у7 = 0, тобто продукція С і D – рентабельна.
Дослідимо питання про доцільність введення нового (n+1)-го виду продукції, якщо відомі витрати кожного ресурсу на виготовлення одиниці такої продукції – 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 і ціна її реалізації – 13EMBED Equation.31415. За умови введення у виробництво нового виду продукції в економіко-математичну модель (23) необхідно ввести відповідну змінну (хn+1). Отже, модель прямої задачі набуде вигляду:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Відповідна математична модель двоїстої задачі міститиме не n, а (n+1) нерівність і відрізнятиметься від (24) наявністю обмеження, що описує витрати на виробництво нового виду продукції:
13EMBED Equation.31415 (25)
Оскільки значення 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415 за умовою задачі відомі, розраховані також значення 13EMBED Equation.31415, то можна перевірити виконання нерівності (25). Як зазначено вище, рентабельною є продукція, для якої відповідне обмеження виконується як рівняння, а нерентабельною, якщо ліва частина нерівності (витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції) перевищує праву (ціну реалізації одиниці продукції).
Допустимо, що за умов прикладу 17 запропоновано включити у виробництво один з двох видів нової продукції: E чи G. Відомі витрати кожного ресурсу на виготовлення одиниці цих видів продукції, що становлять для продукції виду E відповідно 4, 7, 2 ум. од. та для продукції виду G – 4, 8, 1 ум. од. Ціна реалізації одиниці продукції обох нових видів однакова і дорівнює 4,5 ум.од.
Складемо відповідне обмеження двоїстої задачі. Наступний вид продукції буде позначатися через х5, тому маємо:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Перевіримо виконання обмеження спочатку для продукції виду Е:
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
Обмеження виконується як строга нерівність, отже, за умов даного підприємства виробництво продукції Е є недоцільним.
Зауважимо, що остання нерівність визначає мінімальне значення ціни реалізації одиниці продукції, за якої її випуск є рентабельним. Отже, ціна одиниці продукції Е за даних умов має становити не менше 6 ум. од.
Визначимо співвідношення між витратами на виробництво та ціною для продукції G:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
З останньої нерівності маємо, що витрати на виробництво одиниці продукції G менші, ніж ціна реалізації. Така продукція є рентабельною за умов виробництва, на даному підприємстві і її доцільно включити в план випуску.
Для визначення оптимального плану виробництва із введеним додатково видом продукції обов’язково необхідно розв’язати нову задачу лінійного програмування. Двоїсті оцінки лише показують, доцільне чи ні розв’язання такої задачі.
8 Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
За допомогою двоїстих оцінок можна також визначити статус кожного ресурсу. Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо деяке значення двоїстої оцінки уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Відомо (третя теорема двоїстості), що величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.
Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший – підстановкою значень вектора Х* (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у іншому разі – недефіцитний:
13EMBED Equation.31415
Другий спосіб – через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля – недефіцитний.
Третій спосіб – за допомогою двоїстих оцінок. Якщо уі > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж уі = 0, то і-й ресурс недефіцитний. Так, у нашому прикладі:

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b1 = 250 + 1 = 251), то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на у1 = 1/2 ум. од. і становитиме max Z = 285,5 ум. од.
Цікавим є запитання: «За рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід підприємства?» Інформацію про це дають елементи стовпчика «х5» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці даного ресурсу – у1 = 1/2.
Допустимо, що деяке k-те обмеження (13EMBED Equation.31415) має в правій частині початкове значення – 13EMBED Equation.31415. Нехай початкова величина змінилась на величину 13EMBED Equation.31415. Якщо в початковій задачі значення першого ресурсу зросте на одиницю (13EMBED Equation.31415=1), то згідно з останньою симплексною таблицею

отримаємо:

У новому оптимальному плані значення базисної змінної 13EMBED Equation.31415 збільшиться на 1/2, а змінних 13EMBED Equation.31415 та 13 EMBED Equation.3 1415 – зменшиться відповідно на одиницю та 1/2. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення будуть такими:
Х* = (0; 0; 34,5; 45,5; 0; 29; 0).
Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов уможливлює зростання випуску продукції D за рахунок зменшення виробництва продукції С. За таких умов обсяг використання недефіцитного другого ресурсу також збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства
max Z = 2(0 + 4(0 + 3(34,5 + 4(45,5 = 285,5,
тобто зросте на у1 = 1/2.
Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю (b3 = 80 + 1 = 81). Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці у3=2, можна записати новий оптимальний план:
Х* = (0; 0; 37; 44; 0; 30; 0).
max Z= 2(0 + 4(0 + 3(37 + 4(44 = 287.
Отже, виручка підприємства збільшиться на дві умовні одиниці за рахунок збільшення виробництва продукції С на дві одиниці та зменшення випуску продукції D на одну одиницю. За таких обставин обсяг використання ресурсу 2 не змінюється.
Але після проведеного аналізу постає логічне запитання: Оскільки збільшення третього ресурсу на одиницю приводить до найбільшого підвищення значення функціонала, то чи можна збільшити третій дефіцитний ресурс на 50, 100 і т.д. ум. од., тим самим значно збільшуючи виручку підприємства?
Відомо, що для однозначної відповіді на це запитання, необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки уі залишаються на рівні оптимальних значень, тобто розв’язати систему нерівностей
13EMBED Equation.31415
Якщо приріст (зміну) запасу першого ресурсу позначимо через (b1, тоді симплексні таблиці даної задачі набудуть вигляду:

Новий оптимальний план можна записати у такий спосіб:
Х* = (0; 0; 35–1/2(b1; 45 + 1/2(b1; 0; 30 – (b1; 0).
Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності змінних, тобто:
13EMBED Equation.31415
Отже,
13EMBED Equation.31415.
Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 30 ум.од. або зменшиться на 90 ум. од., то на цьому інтервалі його оптимальна двоїста оцінка залишиться такою ж: у1=1/2. Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Згідно з цим максимально можливі зміни обсягів виручки підприємства залежно від змін у постачанні ресурсу 1 на такому інтервалі будуть у межах:
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
а відповідні критичним значенням діапазону виручки оптимальні плани виробництва продукції будуть такими:
(0; 0; 80; 0; 0; 120; 0) = Х* = (0; 0; 20; 60; 0; 0; 0).
Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки у3 = 2 для дефіцитного ресурсу 3:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 45 ум.од. або зменшиться на 17,5 ум.од., то двоїста оцінка у3=2 цього ресурсу залишиться такою ж. Згідно із цим можлива виручка підприємства та оптимальний план виробництва продукції будуть знаходитися у межах:
13EMBED Equation.31415;
(0; 0; 0; 62,5; 0; 30; 0) = Х* = (0; 0; 125; 0; 0; 30; 0).
Для розрахунку інтервалу зміни недефіцитного ресурсу досить розв’язати одну нерівність
13EMBED Equation.31415.
У нашому прикладі недефіцитним є другий ресурс. Відомо, що за оптимального плану виробництва буде залишок цього ресурсу в обсязі 13EMBED Equation.31415 ум. од. Отже, зменшення даного ресурсу в обсязі до 30 ум. од. не змінить структуру оптимального плану. Якщо зміну загального запасу другого ресурсу позначити через 13EMBED Equation.31415, то інтервал можливої зміни його обсягів можна записати так:
13EMBED Equation.31415.
Отже, інтервалом зміни запасів недефіцитного ресурсу, в межах якого структура оптимального плану залишиться постійною, буде:
13EMBED Equation.31415.
Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише тих випадків, коли змінюється обсяг тільки одного ресурсу, а запаси всіх інших фіксовані, тобто за інших однакових умов. У разі одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів для визначення інтервалів допустимих змін необхідно розв’язати систему нерівностей
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Простішою для дослідження є ситуація, коли зміни ресурсів відомі і необхідно визначити лише новий оптимальний план. Нехай додатковою умовою прикладу 17 є зміна обсягів усіх трьох ресурсів, що змінюються відповідно так: (b1= + 10, (b2 = – 10, (b3 = + 20. Для визначення компонент нового оптимального плану скористаємось одним із головних співвідношень обчислювальної процедури симплекс-методу. З першої теореми двоїстості відомо, що:
13EMBED Unknown1415.
З останньої симплекс-таблиці отримуємо обернену матрицю:
13EMBED Unknown1415.
Змінені запаси ресурсів утворюють вектор
13EMBED Unknown1415.
Тоді новий оптимальний план виробництва продукції за відповідної одночасної зміни запасів усіх трьох ресурсів
13EMBED Unknown1415,
тобто Х* = (0; 0; 70; 30; 0; 10; 0).
Усі хj ( 0, і тому оптимальним планом двоїстої задачі залишається Y* = (1/2; 0;2). Загальна максимальна виручка підприємства зміниться на
(Fmax = (b1y1 + (b2y2 + (b3y3 = 10·1/2 – 10·0 + 20·2 = +45 ум. од.
і становитиме:
max F = 285 + 45 = 330 ум. од.
Використовуючи 13EMBED Equation.31415, проведемо дослідження можливого взаємозамінювання ресурсів.
Якщо у виробничій системі існує два чи більше дефіцитних ресурсів, то певний обсяг одного з них може бути замінений деяким обсягом іншого, причому значення цільової функції залишиться незмінним.
Для умов прикладу 17 попередній аналіз двоїстих оцінок показав, що дефіцитними є перший та третій ресурси. Припустимо, що забезпечення виробництва необхідним обсягом третього ресурсу можливе не завжди. У такому разі доцільним є визначення того, яким обсягом першого ресурсу можна замінити третій, щоб водночас не зменшилась оптимальна сума виручки.
Оскільки 13 EMBED Equation.2 1415, де 13 EMBED Equation.2 1415 – величини змін дефіцитних ресурсів, а 13 EMBED Equation.2 1415 – двоїсті оцінки відповідних ресурсів, то зміна обсягу третього ресурсу на одиницю 13 EMBED Equation.2 1415 потребує додаткового використання 13 EMBED Equation.2 1415 ум. од. першого ресурсу.
Отже, якщо перший ресурс збільшити на 4ум.од. і використовувати в обсязі 284ум.од., а третій зменшити на 1ум.од. і залишити у виробництві 79ум.од., то обсяг виручки від реалізації продукції залишиться незмінним у порівнянні з початковими умовами прикладу 17 – 285 ум.од.
Під впливом різних обставин ціна виробленої на підприємстві одиниці продукції може змінюватися (збільшуватися чи зменшуватися). І тому завжди цікаво і важливо знати, у межах яких змін цін на продукцію кожного виду структура оптимального плану виробництва ще може залишатися такою самою, тобто оптимальною (найкращою) навіть за цих певних змін.
Перетворення симплексної таблиці за змін коефіцієнтів цільової функції стосуються лише елементів оцінкового рядка. Дослідимо питання зміни коефіцієнтів цільової функції для прикладу 17. Нехай змінюється ціна на одиницю продукції виду С, тобто початкове значення 3 ум.од. подамо як 13 EMBED Equation.2 1415, де 13 EMBED Equation.2 1415 – величина зміни ціни одиниці продукції виду С. Тоді симплексні перетворення матимуть вигляд:


Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком елементів стовпчика «Сбаз» що, у свою чергу, впливає на значення всіх ненульових оцінок (Zj – cj). Для базисної змінної х3 зміна коефіцієнта цільової функції на (c3 приведе до таких оцінок:
(F1–c1) = 4 ( (–2) + 0 ( (–1) +(3 + (c3)( 5 – 2 = 5 + 5(c3;
(F2–c2) = 4 ( 1/2 + 0 ( 1 + (3 + (c3)( 3/2 – 4 = 5/2 + 3/2(c3;
(F5–c5) = 4 ( 1/2 + 0 ( (–1)+ (3 + (c3) · (– 1/2 )– 0 = 1/2 – 1/2(c3;
(F7–c7) = 4 ( (–1) + 0 ( 0 + (3 + (c3) · 2 – 0 = 2 + 2(c3.
Враховуючи умову 13EMBED Equation.31415, нові значення оцінок мають задовольняти умову оптимальності, тобто Zj – cj ( 0. Тому інтервал для (c3 визначається з такої системи нерівностей:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.
Отже, ціна одиниці продукції виду С може збільшуватися чи зменшуватися на 1ум.од. і бути в межах від 2 до 4ум.од., але оптимальним планом виробництва продукції залишається Х* = (0; 0; 35; 45).
Для базисної невідомої х4 інтервал зміни коефіцієнта с4 розраховується аналогічно:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.
Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції D зменшиться до 3ум.од. або збільшиться до 6ум.од., то визначений оптимальний план виробництва продукції на підприємстві (Х* = (0; 0; 35; 45)) немає необхідності змінювати.
Розрахунок інтервалів зміни значень коефіцієнтів цільової функції для небазисних змінних виконується згідно із співвідношенням
13EMBED Equation.31415.
Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком ненульових значень оцінкового рядка (Zj – cj). Нові оцінки (Zj – cj) мають задовольняти умову оптимальності задачі максимізації цільової функції, тобто бути невід’ємними.
Зміну коефіцієнта с1 позначимо через (с1. Оскільки х1 – небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна їй оцінка Z1 – c1:
(Z1 – c1) = 4((–2) + 0((–1) +3(5 – (2 + (c1) = 5 – (c1.
За умови Z1–c1 ( 0 дістанемо нерівність 5–(c1 ( 0, тобто (c1
· 5. Це означає, що коли ціна одиниці продукції виду А за інших однакових умов зросте не більш як на 5ум.од., то оптимальним планом виробництва продукції на підприємстві все одно залишиться Х*  = (0; 0; 35; 45). Лише максимальна виручка зміниться на max (Z = (c1х1.
Аналогічно розраховується інтервал зміни коефіцієнта (c2:
(Z2 – c2) = 5/2 – (c2
· 0; (c2
· 5/2.
Зі зростанням ціни одиниці продукції виду В не більш як на 5/2 ум.од. за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, а max Z = (c2x2.
Якщо ж коливання ціни продукції вийдуть за визначені межі, то план Х = (0; 0; 35; 45) вже не буде оптимальним, і його необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу, тобто продовжити розв’язання задачі.
Приклад практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі
Приклад 7.1. Фірма виготовляє продукцію трьох видів: А, В і С. Потрібний певний час для обробки одиниці кожного виду продукції на різному обладнанні (табл.7.1).
Таблиця 7.1

Ціна одиниці продукції видів А, В і С дорівнює 90 дол., 110 дол. та 150 дол. відповідно. Визначити, яку продукцію і в якому обсязі слід виготовляти, щоб фірма отримувала найбільший дохід.
Розв’язавши цю задачу симплекс-методом, отримаємо таку останню симплексну таблицю:

Керівництво фірми цікавить відповідь на таке запитання: «Чи зміниться оптимальний план виробництва продукції і якщо зміниться, то яким буде новий оптимальний план у кожній з наведених нижче ситуацій?»
1. Фірма може збільшити тривалість роботи обладнання типів 2 та 3 відповідно на 100 і 80 год на місяць, орендуючи для цього додаткове обладнання, але орендна плата становитиме 5000 дол. Чи вигідно це? Якщо вигідно, то яким має бути новий оптимальний план виробництва продукції?
2. Фінансовий відділ фірми вважає, що загострення конкуренції на ринку збуту може призвести до зниження ціни на продукцію В на 25 дол. Як це позначиться на оптимальному плані виробництва продукції фірми?
3. Відділ досліджень і розробок фірми пропонує виготовляти дешевшу модифікацію продукції С. Тривалість обробки одиниці цієї нової продукції на обладнанні типів 1, 2 та 3 становить відповідно 4, 3 і 1 год. Орієнтовна ціна одиниці нової продукції дорівнює 120 дол. Керівництво фірми цікавить, чи буде за таких умов виробництво нової продукції вигідним.
4. Споживач продукції виду А за певних обставин порушив попередню домовленість і відмовився прийняти більш як 100 од. продукції. Визначити, як слід змінити план виробництва своєї продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом цього виду продукції.
Розв’язання. Із наведеної в умові задачі симплекс-таблиці маємо: Х* = (180; 40; 0; 100; 0; 0), max F = 20600, Y* = (0; 10; 70). Оптимальним планом виробництва продукції на фірмі є випуск 180 од. продукції виду А та 40 од. продукції виду В. Виготовлення продукції виду С не передбачається. При цьому фірма отримає максимальну виручку обсягом 20 600 дол. на місяць.
1. Збільшення тривалості роботи обладнання дасть змогу збільшити випуск продукції, тобто змінити оптимальний план і дохід фірми. Оскільки (b1 = 0, (b2 = 100, (b3 = 80, то новий оптимальний план визначається так:
13EMBED Unknown1415.
Новий план допустимий (всі хj ( 0), і тому оптимальні значення двоїстих оцінок зберігаються: Y* = (0; 10; 70). Приріст доходу фірми в результаті зміни оптимального плану виробництва продукції розраховується так:
max (Z = (b1y1 + (b2y2 + (b3y3 = = 100
·10 + 80
·70 = 6600 дол.
Оскільки дохід фірми від додаткового використання обладнання груп 2 і 3 перевищує витрати на його оренду (6600 > 5000), то природно, що така тактика фірми буде вигідною. При цьому оптимальним планом виробництва стане випуск 290 од. продукції виду А і 10 од. продукції виду В. Невикористаний час роботи обладнання типу І зменшиться до 50 год на місяць, а дохід фірми за відрахуванням витрат на оренду обладнання дорівнюватиме 20600 + (6600 – 5000) = 22200 дол. на місяць.
2. Зниження ціни одиниці продукції В на (c2 (–25 дол.) стосується всього оцінкового рядка симплекс-таблиці, оскільки х2 є базисною змінною. Нові Fj – cj матимуть такі значення:
F3 – c3 = 10 – 1(c2 = 10 + 25 = 35;
F5 – c5 = 10 + 1/2(c2 = 10 – 12,5 = –2,5;
F6 – c6 = 70 – 1(c2 = 70 + 25 = 95.
Якби всі здобуті оцінки задовольняли умову Fj – cj ( 0, то це означало б, що попри зниження ціни план виробництва продукції на фірмі не зміниться. Але оцінка F5 –c5 не задовольняє умову оптимальності задачі на максимум, і тому можна висновувати, що істотне зниження ціни одиниці продукції виду В порушує визначений раніше оптимальний план виробництва продукції, оскільки випуск цієї продукції стає для фірми невигідним, нерентабельним.
Новий оптимальний план визначається у процесі подальшого розв’язання задачі симплекс-методом:

Отже, у розглянутій ситуації зниження ціни одиниці продукції виду В на 25 дол. різко змінить структуру та обсяги виробництва продукції на фірмі. Вигідним стане випуск лише продукції виду А обсягом 220 од.: при цьому можливий час роботи обладнання типів 1 та 2 використовуватиметься не повністю. Усе це призведе до зменшення виручки фірми до 19800 дол. на місяць.
3. Обсяг виробництва нової продукції в оптимальному плані позначимо через х7. Тоді математична модель прямої задачі матиме такий вигляд:
13EMBED Unknown1415
У математичній моделі двоїстої задачі змінній х7 відповідатиме таке обмеження: 13EMBED Unknown1415. Оцінимо рентабельність виробництва нової продукції за допомогою двоїстих оцінок: 4·0 + 3·10 + 1·70 = 100, що є меншим за 120. Отже, загальна вартість усіх ресурсів, що витрачаються на випуск одиниці нової продукції, не перевищує орієнтовної ціни цієї продукції, і тому її виробництво для фірми є вигідним, рентабельним. Завдяки цьому визначений раніше оптимальний план виробництва продукції можна поліпшити за рахунок уведення в нього х7.
Для цього за допомогою оберненої матриці необхідно визначити елементи стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці:
13EMBED Unknown1415
Результати однієї ітерації симплекс-методу, що приводить до нового оптимального плану задачі, наведено нижче.

Отже, оптимальним планом є Х* = (160; 20; 0; 0; 0; 0; 40), а max Z = 21 400. Керівництво фірми має підтримати пропозицію відділу досліджень та розробок і налагодити виробництво нової продукції, яка є рентабельною. Виготовляючи її обсягом 40 од., а також продукцію видів А та В обсягом 160 і 20 од. відповідно, фірма зможе збільшити обсяг виручки до 21400 дол. на місяць згідно з новим оптимальним планом виробництва продукції.
4. Четверта запропонована ситуація математично пов’язана із введенням в умову задачі додаткового обмеження, що може привести до таких наслідків:
а) нове обмеження для визначеного оптимального плану виконується. Тоді воно є надлишковим, зайвим і його включення до моделі не змінює визначеного плану;
б) нове обмеження для визначеного оптимального плану не виконується, і тоді за допомогою двоїстого симплекс-методу необхідно знайти новий оптимальний план.
За умовою задачі додатковим є обмеження х1 < 100. Але воно суперечить оптимальному обсягу продукції виду А, що дорівнює 180 од. Тому необхідно приєднати це додаткове обмеження до симплекс-таблиці та продовжити розв’язання задачі, але вже за допомогою двоїстого симплекс-методу. Для цього спочатку зведемо додаткове обмеження до канонічного вигляду:
х1 + х7 = 100.
Оскільки в оптимальному плані змінна х1 є базисною, то її необхідно записати через небазисні невідомі. Це робиться так. У симплекс-таблиці, яку наведено в умові задачі, рядок змінної «х1» подається рівнянням:
1·х1 + 0·х2 + 3·х3 + 0·х4 – 1/2·х5 + 2·х6 = 180.
З нього запишемо вираз для х1:
х1 = 180 – 3х3 + 1/2х5 – 2х6.
Підставивши цей вираз в додаткове обмеження, отримаємо:
180 – 3х3 + 1/2х5 – 2х6 + х7 = 100
або
– 3х3 + 1/2х5 – 2х6 + х7 = – 80.
У такому вигляді додаткове обмеження допишемо в симплекс-таблицю. Застосування двоїстого симплекс-методу приведе до нового оптимального плану задачі.

В останній таблиці маємо: Х* = (100; 200/3; 80/3; 20; 0;0), а max Z = 61000/3 ( 20333.
Проаналізуємо цей план. Прийнявши до уваги ситуацію, що склалася, керівництво фірми змушене змінити структуру виробництва продукції. Тепер з урахуванням вимог споживача фірма виготовлятиме 100 од. продукції виду А, 200/3 од. продукції виду В і 80/3 од. продукції виду С. У результаті такого плану випуску продукції виручка фірми дещо зменшиться (до 20333 дол. на місяць).









13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 142915


13PAGE 15















































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15Times New RomanEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23868138
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 2

Добавить комментарий