10_3 Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
117


3

⑗⑅Р⑅⑘
. ⑗ригонометри
ялы✠ теңдеулер және 
теңсі⑬ді⑯тер


⑅лгебраны▨ ▶нері... б▬л ■ылыми ▶нер, 
⑴қні абсол⒃тті⑯ 
сандар жқне 
белгісі⑬ бол■ан, біра▤ оларды аны▤тау■а 
болатындай, белгілі бір ⑬ат▤а негі⑬дел
і⑴

▶лшенетін

▶сімшелер 
▤▬райтын. ⑆▬л ⑬ат 


не сан, немесе ▤атынас
.

⑓мар


⑚айям


⑗ригонометрия  жайындағы  алғаш✠ы  ⑯әсіби  тра⑯тат  

рта


⑬ия   ғалымы әл
-
⑆ирунидің Á

Á²  ғғ.  ⊴⑅строномия ғылымының ⑯ілті⊵ 995

996 ж ⑯ітабы болды. 
⑗ригонометрия жайында толы✠ бір 
⑯урс әл
-
⑆ирунидің ең негі⑬гі үл⑯ен ж✨мысы   


⊴⑏анон  Мас⋀уда⊵  
III
⑯іта⑴.  Әл
-
⑆ируни  синустар  ⑯естесіне  15⎘ ✠адаммен ✠оса 
тангенстер ⑯естесін де берді 1⊎ ✠адаммен.

⑚ордалар тілінде ол

е⑯і еселенген және жарты 
б✨рыштардың синустары, б✨рыштардың а
йырмасымен  ✠осындысының  синустары  
жайындағы  теоремаларды  т✨жырымдайды. Әл
-
⑆ируни  ө⑬  ⑯ітабында  д✨рыс  
тоғы⑬б✨рыштың  ✠✨рылымы  және  оның ✠абырғаларының  ✠осындысының  жуы✠  мәнін  
⑯өрсетеді.  Әл
-
⑆ируни  ө⑬інің бас✠а  "⑈еоде⑬ия"  деген  ⑯ітабында  а
✠и✠ат✠а

жа✠ын  
метри⑯алы✠  жүйеде есе⑴тегенде,  ⑆ируни  6340

⑯м  ⑋ердің  радиусы  шығатын   жер  
шарының меридианын  есе⑴теген  нәтижелерін  ⑺абарлады.  ⑗ригонометрияның  дербес 
ғылым  ретінде  толы✠  аны✠тамасын ⑴ерсиялы✠  математи⑯  және  астроном ⑒ас
ирад
-
⑉инат
-
⑗уси  1260

ж  берді.  ⑓сыдан  ⑯еле,  ⑚␼␼␼  ғасырдың  соңына  ✠арай 
тригонометрияның ма⑬м✨нын ашатын негі⑬гі теоремалар ашылды:

⑯е⑬ ⑯елген  
тригонометриялы✠  ⑹ун⑯⑻ияның  бас✠а  ⑹ун⑯⑻иялар  ар✠ылы есе⑴телуі;

синустар  мен  
⑯осинустардың  еселі⑯  ж
әне

жарты  б✨рыштың  және б✨рыштардың ✠осындысы мен 
айырмасының ⑹ормулалары;

синустар және ⑯осинустар теоремасы;

жа⑬ы✠ және с⑹ералы✠ 
үшб✨рыштардың шешімі. ⑚␼␼
-
⑚␼␼␼  ғасырларда  араб  ғалымдарының  тра⑯таттары  латын  
тіліне аударылғаннан  ⑯ейін  үнді  жән
е  ислам  математи⑯терінің  ⑯ө⑴теген  
и
деялары 
е
у
ро⑴а ғылымына ✠осылған үл⑯ен үлес болды. ✥л⑯ен жетісті⑯ Регимонтананың ✠а⑬іргі  
уа✠ытта  белгілі  жа⑬ы✠  және  с⑹ералы✠  тригонометрия  және жетіөлшемді  синустар  1⎘  
✠адаммен  және  тангенстер  1⊎  ✠ада
ммен  ⑯естесі жа⑬ылған   "✥шб✨рыштың  барлы✠  
түрлері  туралы  бес  ⑯іта⑴"  моногра⑹иясы 1462
-
1464

ж  болды.  ⑅т
-
⑗усидің  тра⑯татына  
✠арағанда  Регимонтананың шығармасы  анағ✨рлым  толығыра✠,  тиімді тәсілдермен 
шығарылған ⑯ө⑴теген жаңа та⑴сырмаларға т
олы. ⑗ригонометрияның  ⑋аңа  уа✠ытта  
(XVI
-
Á¿²␼  ғ дамуы  те⑯  астрономия  және  астрология  үшін  ғана  емес,  бас✠а  да  
бөлімдер үшін, соның ішінде артиллерия, о⑴ти⑯а және на⑧ига⑻иялы✠ теңі⑬ са⑴арларында 
өте маңы⑬ды болды. Сонды✠тан
,

Á¿² ғасырдан ⑯ейін

б✨л та✠ыры⑴⑴ен ү⑬ді⑯ ғалымдар  
айналысты, олардың  ішінде  ⑒и⑯олай  ⑏о⑴ерни⑯,  ⑍оганн  ⑏е⑴лер, ⑙рансуа ⑇иет бар.

Á¿²²² ғасырдың басындағы маңы⑬ды ашылымдар:

-

б✨рыштың  радианды✠  өлшемінің  ашылуы  және  ⑯ең  таралуы  Роджер  ⑏отс, 
1714). "
Р
адиан"  терминінің  ө⑬і  сәл  ⑯ейініре⑯  ⑴айда  болды,  оны  1873  жылы  ағылшын 
инженері ⑉жеймс ⑗омсон ✨сынды;       

-

Муа⑧р ⑹ормуласы мен ⑯ом⑴ле⑯с санының тригонометриялы✠ ⑯өрінісі;      

-

⑉е⑯артты✠  тригонометриялы✠  ✠атынастармен  байланысты  ⑴олярл
ы✠ 
⑯оординаттар жүйесінің ⑒⒁⒃тон және ⑈регори ✠олданыла бастауы.

⑗ригонометрияның  ✠а⑬іргі  ⑯өрінісін  ⑐еонард  ③йлер  1707
-
1783  жж  берді.  
③йлер ө⑬інің "⑝е⑯сі⑬ді⑯тің  анали⑬
і
н
е

⑯іріс⑴е" тра⑯татында  ✠а⑬іргі   тригонометриялы✠  
⑹ун⑯⑻ияларға  баламалы

аны✠тама  берді.  ⑏ері  тригонометриялы✠  ⑹ун⑯⑻ияларға 

arc


жалғауын  ✠осы⑴  жа⑬уды  латын  тілінен  аударғанда  a≠c≣s,  доға а⑧стриялы✠  математи⑯  
⑏арл  ⑝ер⑹ер  ´a≠≚¼c≖≓≠≔≔≓≠,  1716
-
1783 жж  енгі⑬ді  және ⑐агранж ар✠ылы бе⑯ітілді. 
118


Мысалы, әдеттег
і синус шеңбер доғасына оны ⑯еретін ⑺орданың ✨⑬ындығын есе⑴тейді, ал 
⑯ері ⑹ун⑯⑻ия оған ✠арама
-
✠арсы та⑴сырманы орындайды.

XIX

ÁÁ   ғғ.  тригонометриялы✠  ✠атар  ✠ағидасы  және  математи⑯аның онымен 
байланысты бөлімдері: гармониялы✠ анали⑬, ⑯е⑬ ⑯елген ⑴ро⑻е
стер теориясы және т.б. 
✠ар✠ынды дамыды. ✟а⑬іргі таңда тригонометрияның а⑯туалдығы ⑬аманауи 
математи⑯тердің ⑙ур⒁енің тригонометриялы✠ ✠атарын негі⑬ге ала отыры⑴ жасаған аудио 
және бейнеа✠⑴аратты мысалы, ≘≞g ⑯еңейту алмасу және ✠олдану 
⑯ө⑯ей⑯естілігі

(176
8

1830 жж.


1.
✟ара⑴айым

тригонометриялы✠ теңдеулер


1.1.



теңдеуі


⑓сыған дейін б
і
рнеше рет айт✠андай, егер 

тригонометриялы✠ теңдеуде 
белгіленген болса, онда белгіленген нү⑯тенің біріншісі абс⑻исса 
-

б✨л б✨рыштың 
⑯осинусы, ал е⑯інші ⑯оордината ордината 
-

б✨л 

б✨рышының синусы.  ⑋аңа 
та✠ыры⑴ты жа✠сыра✠ түсіну үшін алдымен бірнеше мы
салдарға то✠талайы✠.

⑋аттығу 
1.
⑗ригонометриялы✠ шеңбердің ⑓⑺ және ⑓у 
ос
терімен

✠иылысу

нү⑯телерін табыңдар тригонометриялы✠ шеңбердің радиусы 1
-
ге тең е⑯енін ес⑯ертемі⑬
,
яғни ⑯оординаталы✠ жа⑬ы✠ты✠тың бірлі⑯ бөлігіне тең
).

⑋аттығу 2. 

a)

⑗ригонометриялы✠ 
шеңберде е⑯інші ⑯оординатасы 1
-
ден үл⑯ен немесе 
-
1
-
ден ⑯іші нү⑯те бола ма?

b)

sin

мәні   2 болатын 

б✨рышы бар ма?

⑋аттығу 
3.

а

0 градус немесе 0 радиан болатын б✨рыш✠а тригонометриялы✠ шеңбердің 
⑯оординаты 1,0 болатын оң жа✠ шет⑯і нү⑯те сәй⑯ес ⑯еледі. 

б✨рышы 0 радианнан ⊝
-
⑯е дейін ше⑯сі⑬ өссін, б✨л сәй⑯ес 

нү⑯тесі

1;0 орнынан шеңбер бойымен сағат тіліне 
✠арсы

бағытта ✠о⑬ғалады 1
-
сурет. ✟аламның ✨шымен оның шеңбер бойымен ✠о⑬ғалысын 
ба✠ылаңдар: ✠о⑬ғалған нү⑯тенің е⑯інші ⑯оординатасы ✠алай ө⑬гереді? 

радианмен 
мағыналарын жолға әрбір 

нү⑯тесінің е⑯інші ⑯оординатасы 0
-
ге тең болған сайын

жа⑬ы⑴

алыңдар. ⑔айда болған сандар ✠атарын анали⑬деңдер. ✟андай ⑴рогрессия ⑴айда 
болды? ⑓ның 
-
ші мүшесінің ⑹ормуласын ✠алай жа⑬уға болады
?



1
-
сурет

б 
⑉әл 
a)

⑴ун⑯тінде орындағандарды ✠айтала⑴ орындаңдар
,

біра✠ 

б✨рышы б✨л 
жолы ⑯ішірейетін болсын, 0 радиан мәнінен баста⑴, теріс мәндер
ді де

✠абылдайды б✨л, 

б✨рышына сәй⑯ес ⑯елетін 

нү⑯тесі сағат тілімен бағыттас ✠о⑬ғалатынын білдіреді.

⑧ 
⑊гер с
ен
дер алғаш✠ы е⑯і ⑴ун⑯
т
те барлығын д✨рыс орындаған болсаңдар, онда ⑺
-
тің синусы 0
-
ге тең болғандағы, яғни


теңдеуінің шешімдерін та⑴тыңдар. 
⑓йланыңдар, 

а 
және

б

⑴ун⑯ттеріндегі алынған ті⑬бе⑯терді бір ⑹ормулаға бірі⑯тіруге 
бола

ма
?

119


⑋аттығу 
4.
3
-
жаттығуды толы✠ орындаңдар
,
біра✠ 
-
тің мәнін әрбір 

(
яғни, 
сәй⑯ес нү⑯тенің е⑯інші ⑯оординатасы 1
-
ге тең болғанда жа⑬ы⑴ отырыңдар. ⑅лынған 
сандарды санды✠ 
ос⒁
те белгілеңдер. 

ір ⑹ормуланың ⑯өмегімен барлы✠ белгіленген 
сандарды 
✠алай

жа⑬уға болады?

⑋аттығу 
5.  а 
⑗ригонометриялы✠ шеңберде ординаталары 

болатын 
⑅ 
және



е⑯і 
нү⑯тесін белгілеңдер. 

б✨рышы 0 радианнан баста⑴ ше⑯сі⑬ өсетін болсын 

б✨рышына 
сәй⑯ес ⑯елетін 

сағат тіліне ✠арсы айналады. 

нү⑯тесі A

немесе ⑇ нү⑯телерімен 
беттес⑯ен м
е⑬етт
е

⥚⥐⥕⥟

неге тең?

б 
⑊гер 
(
)

болса
,
онда

е┬е┱і бел┛ілі
.
⑏ері т✨жырым д✨рыс ⑴а: 
егер 

болса
,

онда
?
⑊ң болмағанда 
-
тің 

болғандағы 
8 әр
т
үрлі

мәндерін жа⑬ыңдар.

⑗е▨деуді шешу



б▬л айнымалыны▨ сол жа▤ те▨ді⑯ті тура те▨ді⑯⑯е айналдыратын  
барлы▤ мқндерін табу немесе ондай мқндерді▨ жо▤ е⑯енін дқлелдеу.

Мысал

1.

теңдеуін шешіңдер.

⑗алдау
.



2
-
сурет


б✨рышының синусы 


б✨л тригонометриялы✠ шеңбердегі сәй⑯ес нү⑯тенің е⑯інші 
⑯оординатасы болғанды✠тан, онда бі⑬ алдымен 
⑓у

ос
інде 
белгіле⑴ және шеңберде 
ординатасы 
болаты┱ 
нү⑯телерді табуымы⑬ ⑯ере⑯. 
2
-
сурет
).

М✨ндай нү⑯телер
,
әрине
,
болмайды
,
себебі
.
⑆✨дан шығатыны
шешімі жо✠
.

⑝ешуі
.

болғанды✠тан, 
.


⑊нді түсіні⑯ті болды, егер бі⑬ге 

теңдеуі берілсе және 
саны

1
-
ден үл⑯ен 
немесе 


1
-
ден ⑯іші болса, 
онда 1
-
мысалдағы талдау, дәл сол ✠ал⑴ында ✠айталанады және 
ондай теңдеу түбірлері болмайды.

Мысал
3
-
сурет

⑗алдау
.
⑓у

ос
інің бойынан 1 санын белгіле⑴, 


шеңберінің те⑯ бір ғана нү⑯тесінің е⑯інші 
⑯оординатасы 1
-
ге тең е⑯енін ⑯өремі⑬. ⑆✨л ⑯оординатасы 0; 1 болатын ең жоғарғы нү⑯те. ⑓сы 
нү⑯тені ⑒ де⑴ белгілейі⑯. М


нү⑯тесі шеңбер бойымен 
=
0 жағдайынан баста⑴, сағат тіліне ✠арсы 
бағытта, яғни оң бағытта ✠о⑬ғалсын. ⑆ірінші рет М


нү⑯тесі ⑒ нү⑯тесімен 





болғанда 
беттеседі. ⑆✨л дегенімі⑬,
 





саны  
⊠⊖⊛




теңдеуінің шешімдерінің бірі. М


нү⑯тесінің ары 
120


✠арайғы

✠о⑬ғалысында ⑒ нү⑯тесімен беттесуі, 
М


нү⑯тесі толы✠ бір айналым жасағанда, яғни 


-
ге 
2π ✠осылғанда, 








болғанда болады. ⑓сы ⑴ро⑻есті жалғастырса✠, мына санды✠ ✠атарды 
аламы⑬:


































ж
ә
не т.с.с.


⑊гер

М


нү⑯тесінің 





-
ден теріс бағыттағы сағат тілімен бағыттас ✠о⑬ғалысын 
ба✠ыласа✠, онда ⑒
-
⑴ен беттесу 
нү⑯тесі толы✠ бір айналымнан ⑯е
йін болады.


✨л

дегенімі⑬,


мәні


















(


)
-
ге ⑯ішірейеді. М


нү⑯тесінің ары ✠арайғы ✠о⑬ғалысында ⑒ 
нү⑯тесімен беттесуі әрбір толы✠ айналым сайын болатынын және әр жолы 
-
тің 2π
-
ге 
⑯ішірейетінін ⑯өремі⑬. ⑓сы ⑴ро⑻есті жалғастырса✠, мына санды✠ ✠атарды аламы⑬:
және т.с
.с.

⑓ң және теріс бағыттағы алынған мәндерді бірі⑯тірі⑴ жа⑬уға болады
:
,
м✨ндағы

n


бүтін сан
.

⑋асалған талдауды сыны⑴ дә⑴теріне жа⑬атын болса✠, дә⑴тердің бір жарым ⑴арағын алуы 
мүм⑯ін. ⑆✨л дегенімі⑬ әрбір ✠ара⑴айым есе⑴ті шеш⑯ен 
сайын осынша жа⑬у ✠ажет дегенді 
білдірмейді. ⑆✨л талдаудың сі⑬дерге тригонометриялы✠ теңдеулердің шешімдерінің ✠✨рылымдары 
✠алай е⑯енін түсінуге мүм⑯інді⑯ берді де⑴ үміттенемі⑬.


те▨деуі берілген.

⑆і⑬дің ат✠аратын ж✨мысымы⑬:

1)

⑗ригонометриялы✠ шеңбер сы⑬амы⑬;

2)

⑓у 
ос
інен 1 санын белгілеймі⑬;

3)

Синусы 1
-
ге тең нөлге жа✠ын 




б✨рышын белгілеймі⑬;

4)

⑝еңбер бойымен ✠о⑬ғалғанда ⑓у 
ос
індегі 1 санына 
әрбір

айналым жасаған сайын, яғни 
әрбір 2π сайын ⑯елетінімі⑬ді бай✠аймы⑬.

5)







⧳⥕

жауа
бын жа⑬амы⑬, n 


бүтін сан;

⑉ә⑴терге жа⑬атынымы⑬: 
⊠⊖⊛




болғанда, 






⧳⥕
,
n



бүтін сан
:

⑋аттығу 
6.

теңдеуін шешіңдер.

Мысал

3.

теңдеуін шешіңдер.

⑗алдау
.


4
-
сурет

⑓у

ос
інде 0
-
ді белгілеймі⑬. ␱ шеңберінен ординатасы 0
-
ге тең нү⑯телерді табамы⑬. ⑆✨лар 
суреттегі 


және 


нү⑯телері. 
М


нү⑯тесі шеңбер бойымен ✠о⑬ғалысында 
⊠⊖⊛


нөлге тең болады, 
егер 
М


нү⑯тесі 


немесе 


нү⑯телерімен беттесетін болса 4
-
сурет
,
⊠⊖⊛




е⑯енін бай✠ады✠.  
М


нү⑯тесінің 


және 


нү⑯телерімен беттесуі әрбір жарты шеңбер өт⑯ен сайын болады, яғни әрбір π 
121


радиан сайын. 
М

-
тің нөлд
і⑯

✠о⑬ғалысынан баста⑴, мына ті⑬бе⑯ті аламы⑬: 
0, 2
π
, 3
π
, 4
π

т.с.с. оң 
бағытта және 
0,
-
π
,
-
2
π
,
-
3
π
,
-
4
π

т.с.с.

теріс бағытта.

⑋ауабы:
,
м✨ндағы 
.

Мысал

4.

теңдеуін шешіңдер.

⑗алдау.


5
-
сурет

⑓у

ос
інің бойынан жуы✠ шамамен 




нү⑯тесін белгілеймі⑬. ⑈ори⑬онтал⒁ тү⑬у жүргі⑬у 
ар✠ылы шеңбердің бойынан ординаталары





болатын 
Р

және 
Q

нү⑯телерін ⑯ес⑯індеймі⑬. 
(5
-
сурет. ⑗үсінгенімі⑬дей, 
⊠⊖⊛






теңдеуі те⑯ 
М


нү⑯телері 
Р 
немесе 
Q

нү⑯телерімен 
беттес⑯енде болады. ⑆і⑬ 
⊠⊖⊛







е⑯енін білемі⑬. 
Q

нү⑯тесінде 



б✨рышын белгілеймі⑬, ал 
Р

нү⑯тесіне 




б✨рышы сәй⑯ес 
⑇Р

доғасы 
⑅⑇

және 
⑅Р

доғаларының айырмасына тең, 
біра✠ 
⤮⤽

⤯⤾




ⓏұⓒⓎⓛ

ⓒⓜ㨑Ⓨ
 
 
⤯⤽

⤮⤯

⤮⤽









).
Q

нү⑯тесіне сәй⑯ес ⑯елетін 
барлы✠ б✨рыштар 

түрінде жа⑬ылады, 



бүтін сан. 
Р

нү⑯тесіне сәй⑯ес 
⑯елетін барлы✠ б✨рыштар жиыны

түрінде жа⑬ылады, 
-

бүтін сан.

⑋ауабы:
, м✨ндағы



Z.

⑓сы та⑴сырмаға сәй⑯ес жауа⑴ бір ⑹ормула түрінде беріледі. ✟а⑬іргі сәтте бі⑬ е⑯і серия 

ж⻐┱е 
алды✠. ⑓ларды мына түрде


және 

жа⑬ы⑴ алайы✠ жаңа 


⑴араметрін енгі⑬ейі⑯. ⑊гер 
ж✨⑴ 
сан

болса, онда   
, егер 


та✠ сан

және

. Сонды✠тан, е⑯і шешімді 
бірі⑯тіремі⑬:

.

Мысал

5
.
 
⊠⊖⊛


а

м▬нда■ы

теңдеуін шешіңдер.

122




6
-
сурет

⑗алдау. ⑝арт бойынша 
а

саны 
⑓у

ос
інің бойында 
-
1 мен 1 сандарының арасында 
орналас✠ан. ⑈ори⑬онтал⒁ тү⑬у жүргі⑬у ар✠ылы,  шеңбердің бойынан ординатасы 
а

болатын 
Р

және 
Q

нү⑯телерін белгілеймі⑬6
-
сурет. 



 
ⓔ㨴ⓛⓓ
 



доғасында синусы 
а
-
ға тең болатын те⑯ жалғы⑬ 
б✨рыш бар. 
Q

нү⑯тесінде 
⥈⥙

⊠⊖⊛


 
Ⓨⓙ
 

 
ⓛүⓘⓠⓓⓟ⓵ⓛⓒⓓ
 
 
 
 


⥈⥙⥊⥚⥐⥕⥈
 
 
 
б✨рыштарын белгілеймі⑬. е⑯і 
серия аламы⑬:  



⥈⥙⥊⥚⥐⥕⥈


⧳⥒




 


⥈⥙⥊⥚⥐⥕⥈


⧳⥒

⥒⧾⥇


⑆✨л е⑯і жауа⑴тар сериясын 
бірі⑯тіремі⑬ алдыңғы мысалға ✠араңдар.


⑋ауабы:
,
м✨ндағы 
.

,

не 











⧳⥒

,
,



Мысал

6
.


теңдеуін шешіңдер
.

⑝ешуі
.
⑏естенің

төртінші жолындағы ⑹ормула бойынша:



(


)

(



)

⧳⥕

(


)

(


)



⧳⥕

(


)






⧳⥕
,

м✨ндағы





⑋ауабы
:
,
м✨ндағы
.

Мысал 
7
.

теңдеуін шешіңдер
.

⑝ешуі
.
⑙ормуладан 

жүйені ✠
✨ра
й
мы⑬
.



м
✨ндағы

k



бүтін сан
.

123










⑗еңдеуді жаңа ай
нымалы 
⊠⊖⊛




енгі⑬у ар✠ылы шешіңдер
.

⑗еңдеуді шешіңдер

⑗еңдеуді шешіңдер

⑗еңдеуді шешіңдер

⑗еңдеуді шешіңдер

⑗еңдеуді шешіңдер


⑗еңдеуді жаңа ай
н
ы
малы 
⊠⊖⊛




енгі⑬у ар✠ылы шешіңдер:
124


Б
ұрыштар

түрінің 
,

сериясы 
үшін

,

ж
әне

бас
қа

да 

параметрлері 
қандай

да бір бүтін сандар болады 
ж
әне

осы жа
ғдайларды

үнемі 
қайталаудың мәні жоқ
.


1.2
.


теңдеу
і


⑋аттығу

7.
⑅лдыңғы ⑴ун⑯тте бі⑬ толығымен 
⊠⊖⊛




теңдеуін ⑬ерттеді⑯. ⑒әтижесінде 
а

санының ше
шімдері болатын ⑯естесі алынды. ⑓
сы сия✠ты 
⑯естені

⊐⊜⊠




теңдеуі үшін 
✠арастырыңдар.

125


8
-
жаттығу
.

⊐⊜⊠






теңдеуін шешіңдер.

⑗алдау. 





ⵀⵃ




▂▄



⊐⊜⊠




б✨л тригонометриялы✠ шеңбердегі 
М
⑺ 

нү⑯тесінің абс⑻иссасы. 
⑆✨л шеңберде абс⑻иссасы 



-
ге тең болатын нү⑯те жо✠ е⑯ені ай✠ын

(7
-
сурет
.


7
-
сурет

⑝ешуі
.

болғанды✠тан
,

�=
.


⑓сы сия▤ты ⑴айымдаулардан шы■атыны, егер а 
[




]

⑯есіндісінде жат⑴аса, онда 
⥊⥖⥚




те▨деуіні▨ шешімдері болмайды.

9
-
мысал. 
⊐⊜⊠




теңдеуінің шешімдерін табыңдар.

1 нү⑯тесі 
[




]

⑯есіндісінің 
⑓⑺

ос
індегі ең шет⑯і нү⑯тесі болғанды✠тан, тригонометриялы✠ 
шеңберде абс⑻иссасы 1 болатын те⑯ бір ғана нү⑯те болады. 8
-
суреттегі 


нү⑯тесі. 
⑗ригонометриялы✠ шеңбер бойымен ✠о⑬ғалған 
М


нү⑯тесі 


нү⑯тесімен толы✠ бір айналым 
жасағанда беттеседі, яғни ше
ш
ім
і
н
і
ң

⑴ериоды шеңбердің толы✠ 2π доғасы болады. 
⥈⥙⥊
⊐⊜⊠




е⑯ені белгілі.


8
-
сурет


⑋ауабы: ⑺
=
02π⑯
=
2π⑯,




.

⊐⊜⊠



 










.

Мысал

10
.

⑗еңдеу: 
⊐⊜⊠




.


9
-
сурет

126




⑗алдау. 
⥈⥙⥊
⊐⊜⊠
(


)



-

теңдеудің шешімдерінің бірі е⑯ені белгілі.

М


нү⑯тесінің шеңбер 
бойымен ✠о⑬ғалысында 


нү⑯тесімен беттесуі әрбір толы✠ айналым сайын болғанды✠тан
,
шешімнің ⑴ериоды 2π

(9
-
сурет.

⑝ешуі: 
⊐⊜⊠




 












.


Мысал

11
.

теңдеуін шешіңдер
.




10
-
сурет


⑗алдау
.

⊐⊜⊠




теңдігі, те⑯ 
М


нү⑯тесінің абс⑻иссасы 0
-
ге тең болғанда ғана орындалады. ⑅бс⑻иссалар 
ос
інен 0
-
ді та

са✠, 
М


нү⑯тесінің абс⑻иссасы 0
-
ге тең, егер 
М


шеңбер бойымен ✠о⑬ғалғанда 
⑓у

ос
інің нү⑯телерімен беттесетін болса.  
М


шеңбер бойымен ✠о⑬ғалғанда
,

осы нү⑯телерге ⊴сәй⑯ес 
⑯елулері⊵ әрбір жарты шеңбер сайын болады 10
-
су
рет, 


б✨рышының π немесе 

π
-
ге

ө⑬герісіне 
алы⑴ ⑯еледі. 
⥈⥙⥊
⊐⊜⊠




 
бол■анды▤тан






-

теңдеудің шешімдерінің бірі. ✟алғанда
р
ы осы 
теңді⑯⑯е π бүтін б✨рышының ✠осындысы
на
н немесе айырмасынан шығады.

⑋ауабы: 







.

Мысал 
12
.
 
⊐⊜⊠


а

а







 
 
жқне
 

а





теңдеуін шешіңдер
.

⑗алдау
.



11
-
сурет

М


нү⑯тесіне сәй⑯ес ⑯елетін бірінші

⑯оордината абс⑻исса

⊐⊜⊠


болғанды✠тан, алдымен 
⑓⑺

ос
інде ең болмағанда жа✠ын а санын белгілеу ⑯ере⑯. ⑇ерти⑯ал⒁ тү⑬у жүргі⑬у ар✠ылы 
осы тү⑬удің ␱ шеңберімен ✠иылысу нү⑯тесін белгілеймі⑬. М


нү⑯тесі шеңбер бойымен 
✠о⑬ғалғанда
,

⊐⊜⊠


те⑯ 
М

-
тің белгіленге
н нү⑯телермен беттес⑯ен уа✠ытында ғана, те⑯ 
сонда ғана 
а санына 
тең болады. 11
-
сурет. 
⥈⥙⥊
⊐⊜⊠


б✨л 


жоғарғы нү⑯телерінің біріне 
сәй⑯ес ⑯елетін б✨рыштың бірі, б✨дан ⑯еле, жоғарғы нү⑯теге сәй⑯ес ⑯елетін барлы✠ 
б✨рыштарды 
⥈⥙⥊
⊐⊜⊠
а




 
т▪рінде
 
жа⑬у■а
 
болады


⑉әл осылай, төменгі нү⑯теге сәй⑯ес 
⑯елетін барлы✠ б✨рыштарды 

⥈⥙⥊
⊐⊜⊠






де⑴ жа⑬уға болады.

⑋ауабы: 



⥈⥙⥊
⊐⊜⊠









.

⊐⊜⊠



 
 
теңдеуінің шешімдерін мына ⑯есте түрінде ⑯өрсетейі⑯:

,
немесе






127




,
,



Мысал

13
.
.

⑝ешуі
:



12
-
сурет

12
-
мысалдағы талдауларды ⑴айдаланы⑴, 
,
аламы⑬

(12
-
сурет
.

⑓нымен ✠оса, бі⑬ге 

е⑯ені белгілі
.

⑋ауабы
:
=
,
м✨ндағы
.


Мысал

14
.

⑝ешуі
:
.
⑆✨дан ⑯еле,

теңдеуінің

шешімі болады.

⑋ауабы.
, м✨ндағы 







128










129


1.3

және


теңдеулер
і


⑋аттығу

1.
⑗ригонометриялы✠ шеңбер және тангенс 
ос
ін жүргі⑬іңдер
.


а 
⑗ангенсі 1
-
ге тең болатын ең болмағанда бір б✨рыш табыңдар.

ә
 ⑗абылған б✨рыштан бас✠а, 
М


нү⑯тесінің шеңбер бойымен ✠о⑬ғалысын ба✠ылаңы⑬. 
М


нү⑯тесінің 
⥛⥎
 




болатын мәндерін және осы мәндерге сәй⑯ес б✨рыштарды тір⑯е⑴ жа⑬ы⑴ 
отырыңдар.

б ⑓сындай б✨рыштарды бір ⑹ормуламен ✠алай жа⑬уға  болады?

⑋аттығу

2.
⑗ригонометриялы✠ шеңбер және ⑯отанге
нс 
ос
ін жүргі⑬іңдер.

⑅⑏отангенсі 0
-
ге тең болатын ең болмағанда бір б✨рыш табыңдар.

⑆ ⑗абылған б✨рыштан бас✠а, 
М


нү⑯тесінің шеңбер бойымен ✠о⑬ғалысын ба✠ылаңы⑬. 
М


нү⑯тесінің 

⥛⥎
 




болатын мәндерін және осы мәндерге сәй⑯ес б✨рыштарды тір⑯е⑴ жа⑬ы⑴ 
отырыңдар.

⑇ ⑓сындай б✨рыштарды бір ⑹ормуламен ✠алай жа⑬уға  болады?

Мысал 
15
.

теңдеуі

130



13
-
сурет

⑗алдау.

⑗ригонометриялы✠ ␱ шеңберін және тангенс 
ос
ін жүргі⑬іңдер. ⑗ангенс 
ос
індегі 
а

нү⑯тесінен 
және сана✠ басынан тү⑬у жүргі⑬емі⑬. ⑓сы тү⑬удің ␱ шеңберімен ✠иылысу нү⑯телерін белгілеймі⑬.  
М

-
тің белгіленген нү⑯телерінің бірімен беттесетін барлы✠ 


б✨рыштарының тангенсі 
а
-
ға тең. 
⥛⥎
 




теңдеуінің бір шешімі  


⥈⥙⥊⥛⥎
 


е⑯енін білемі⑬ 13
-
сурет. 


⥈⥙⥊⥛⥎
 

-
дан баста⑴ М


нү⑯тесінің шеңбер бойымен ✠о⑬ғалысын ба✠ылайы✠. М


нү⑯тесінің белгіленген нү⑯телермен 
беттесуі әбір жарты шеңбер сайын болады, б✨л мағынаны π санына ө⑬гереді
. Мына жауа⑴ шығады:
, м✨ндағы 

⑋аттығу 
3.
⥊⥛⥎


 


теңдеуінің шешімі 
⥛⥎


 


теңдеуінің шешімдері сия✠ты 
шығарылады. 14
-
сурет


14
-
сурет

⑗е⑯ тангенс 
ос
інің орнына ⑯отангенс 
ос
ін ⑴айдаланады. 
✱⑬дерің

талдау жасаңдар және жауабын 
алыңдар:
,
м✨ндағы
.





Мысал 
16.
теңдеуін шешіңдер
.

⑝ешуі. 15
-
мысалдағы талдауды ✠айтала⑴, алатынымы⑬: 











ⓒⓎ


 


Мысал

17.

теңдеуін шешіңдер
.

⑝ешуі 
.



15
-
сурет

131


, (15
-
сурет▊╣

✟асиетінен


аламы⑬

⑋ауабы:
,
м✨ндағы
.


⑗еңдеудің жал⑴ы шешімімен ✠оса, ✠осымша шарттарды ✠анағаттандыратын дербес

шешімдерін 
табатын мысалдар ✠арастырамы⑬.

18
-
мысал. 









аралығындағы 
⥊⥛⥎
(
▀ⓣ



)



теңдеуінің шешімдерін табыңдар.

⑊с⑯еремі⑬

ⵂⵅ


санын 
✠осам
ы

✥ш


3
-
⑯е ⑯өбейтемі⑬

санының те⑯ бүтін сандарды ✠абылдайтынын ес⑯еремі⑬. 

⑯есіндісіне сәй⑯ес 
бүтін сандар. 
-
ның алынған мәндерін 

теңдеуге ✠оя 
отыры⑴, 
аралы✠тағы ⑺
-
тің сәй⑯ес мәні т
абылад
ы.




132









 



аралығына тиісті tg
x
=

1 теңдеуінің шешімдерін табыңдар.









шартын ✠анағаттандыратын


⥊⥛⥎
(





)






теңдеуі 
түбірлерін табыңдар
.
7.

[




]
⑯есіндісіндегі


⊐⊜⊠
(





)



теңдеуі түбірлерінің ✠осындысын 
табыңдар.

8.

(3)
(




)

аралығындағы

2
⊠⊖⊛
(

⧳⥟



)






теңдеуі түбірлерінің 
✠осындысын табыңдар.










 



аралығына тиісті сtg2≦1 теңдеуінің шешімдерін табыңдар
14.











шартын ✠анағаттандыратын

⥛⥎
(





)




теңдеуі түбірлерін 
табыңдар.

15.

(2)
[



]

аралығындағы

2
⊠⊖⊛
(

⸢ⷶ




)





теңдеуі түбірлерінің санын табыңдар.

16.

(3)
(





)

аралығындағы


⊐⊜⊠
(






)






теңдеуі түбірлерінің ✠осындысын 
табыңдар.

133


✟осымша

та⑴сырмалар

⑗еңдеулерді шешіңдер
:

1.(1)
;




2. (1)
;

3.(1)
;




4. (1)
;


5. (1)
;




6. (1)
;


7. (1)
;




8. (1)
;

9. (1)
;




10.(1)
;

11.(1)
;




12.(1)
;

13.(1)
;




14. (1)
;

15.(1)
;




16.(1)
;

17.(1)
;


18.(1)
;






19.(1)
;





20. (1)
;


21.(1)
;




22.(1)
;


23.(1)
;





24.(1)
;

25.(1)
;




26.(1)
;

27.(1)
;




28.(1)
;

29.(2)
;




30.(2)
;

31.(2)
;



32.(2)
;

134


33.(2)
;



34.(2)
;

35.(3)
;




36.(3)
;

37.(4)
;




38.(4)
;

39.(3)
;





40.(1)
;




41.(1)
;

42.(1)
;




43.(1)
;

44.(2)
;




45.(2)
;

46.(2)
;



47.(2)
;

48.(3)
⑹ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын табыңдар
:



;

49.(3)

Әлібе⑯⑯е

бір ⑴әтерден е⑯інші ⑴әтерге 3 үл⑯ен және 5 ⑯іш⑯ене орынды✠ а⑴ару ⑯ере⑯. 
⑆іра✠ оның а⑧то⑯өлігіне 1 үл⑯ен және 1 ⑯іш⑯ене не 3 ⑯іш⑯ене орынды✠ с
ы
яды. ⑆арлы✠ 
орынды✠тарды тасу үшін Әлібе⑯⑯е ең ⑯ем дегенде ✠анша рейс 
жасау ⑯ере⑯?

50.

(3)
8

ас⑯етболшы
лар

бойлары ✨⑬ынды✠тарының орта
ша
сы 201

см. ⑓сы 
ойыншылардың ең ⑯ө⑴ дегенде ✠аншасының бойы 198 см
-
ден ✠ыс✠а болуы мүм⑯ін?

(A) 1


(B) 4


(C) 5


(D) 6


(E) 7

51.(3)
⑋ансері⑯ орыс тілін үйренуді жалғастырды. ⑓л та✠тада 
⑻и⑹рлармен және 
сө⑬дермен сандарды жа⑬ды, б✨л сандардың барлы✠ ⑻и⑹рлары әртүрлі, ал сө⑬дері е⑯
еу
.
⑓сы сандардың ішіндегі ең үл⑯ен онды✠ ⑻и⑹ры ✠анша?

52.(2)
①✠шамдаңдар
:
.

53.(3)
⑏емімелі ари⑹мети⑯алы✠ ⑴рогрессияның

алғаш✠ы үш 
мүшесінің ✠осындысы 
9, ал ⑯⑧адраттарының ✠осындысы 99. ⑔рогрессияның бесінші мүшесін табыңдар
.

54.(3)
⊴⑏⊵ мыр⑬а ⑴әтерін сат⑴а✠шы болды, біра✠ 
дағдарыс

нәтижесінде жылжымайтын 
мүлі⑯тің ✠✨ны 75%
-
⑯е төмендегеннен ⑯ейін сатуға үлгермеді. ⊴⑏⊵ мыр⑬а ө⑬ ⑴әтерін 
д
ағдарыс✠а

дейінгі баға
мен

сату
ы

үшін жылжымайтын мүлі⑯тің ✠✨ны ✠анша ⑴ро⑻ент⑯е 
⑯өтерілуі ⑯ере⑯?

⑅ 100%. 


⑇ 75%. 


С 175%.

D
) 25%.

⑊ 

400%.


⑋ауа⑴тары 

1.
;


2.
;


3.







⧳⥒

⥒⧾⥡
;


4.
;


5.
;


6.
;

135


7.
;


8.
;


9.
;


10.
;


11.
;


12.
;

13.
;


14.
;


15.
;


16.
;


17.
;



18.
;


19.
;



20.
;


21.
;

22.
;


23.
;


24.
;


25.
;




26.
;


27.
;



28.
;

29.
;


30.
;

31.
;

32.
;


33.
;

34.
;

35.
;



36.
;



37.
;

38.
;

39.

;


40.
;



41.
;

42.
;



43.
;


44.
;


45.
;


136


46.
;


47.
;



48.
;



49. 4;



50
.⑊
;

51. 8
;



52. 3;





53.

21
немесе


15;

54.
⑊.


2.
⑏үрделі тригонометриялы✠ теңдеулер

⑉а⑧ид ⑈ил⒁берт
тен оны▨ б▬рын■ы о▤ушыларыны▨ 
бірі туралы с▬ра⑴ты. 

⑅, 
сол ма
?
де⑴ 
есіне т▪сірді

⑈ил⒁берт. 

л 


а▤ын

болы⑴ ⑯етті. Математи⑯а ▪шін оны▨ ойлау 
▤иялдары ▶те а⑬ болды
.


2.1
.


с⑯ертулер

⑅лдыңғы ⑴арагра⑹та бі⑬ ✠ара⑴айым тригонометриялы✠ теңдеулерді шешу жолдарын 
✠арастырды✠
. ⑏е⑬ ⑯елген тригонометриялы✠ теңдеулерді

түрлендірулер ар✠ылы ✠ара⑴айым түрге 
⑯елтіріледі. ⑗ригонометриялы✠ теңдеуді шешетін белгілі бір алгоритм жо✠, біра✠ бірнеше 
тәсілдерді ⑴рин⑻и⑴терді т✨жырымдауға болады:

1.

⑋аңа айнымалы енгі⑬у;

2.

⑗ригонометриялы✠ ⑹ормулаларды түрлендіру. ⑊гер теңдеудегі триг
онометриялы✠ 
⑹ун⑯⑻ияның аргументінде 

, 2

, 3

, т.с.с. б✨рыштар т✨рса, онда түрлендірулер жүргі⑬у 
ар✠ылы бір аргумент⑯е ⑯елтіруге тырысу ⑯ере⑯.

3.

⑗еңдеуде әртүрлі тригонометриялы✠ ⑹ун⑯⑻иялар болса, ⑹ормулалар ⑯өмегімен бір 
⑹ун⑯⑻ияға ⑯елтіру.

4.

⑊гер барлы✠ ✠осы
лғыштарды теңді⑯тің сол жағына шығары⑴, ⑯өбейт⑯іштерге жі⑯тесе, 
онда берілген теңдеу ✠ара⑴айым ✠✨рамдағы теңдеуге түрленеді.

5.

⑉әрежені төмендету ⑹ормулаларының ⑯өмегімен теңдеуді шығару.

6.

⑊гер 1
-
5 т✨
жырымдарға ⑯елтірілмесе, онда белгілі ⑹ормулаларды ⑴айдалан
ы⑴, 
түрлендіруге тырысу ⑯ере⑯. Әрбір түрлендірулерден ⑯ейін 1
-
5 ⑴рин⑻и⑴тің ✠айсысына 
⑯елтіруге б
о
л
а
т
ынын талда
у ⑯ере⑯.



2.2
ММ


немесе ⊴⑉енсаулы✠ үшін ✠ауі



⑗еңдеулерді шешудегі үл⑯ен ✠ателі⑯тердің ⑯өбі айнымалының Мүм⑯ін мәндер 
облысы
н 
ММ⑓ 
д✨рыс 
та⑴⑴ағанды✠тан болады.

✟ателер

нашар бағаға, ал нашар бағалар ата
-
аналардың ренішіне, ата
-
аналар... сонымен жалғаса 
береді. ⑅л аурудың барлығы, ө⑬імі⑬ білетіндей жүй⑯е жүйесіне

тәуелді
.

Сонды✠тан бі⑬ осы ⑴арагра⑹ты толығымен ММ

-
н
а

арнады✠.

⊐⊜⊠
╿ⓣ
=


ⷲⷥ




ⷲⷥ




ормуласын талдайы✠. ⑗еңді⑯тің сол жағы ⑺

R
үш
і
н

аны✠талған, ал оң жағы


өрнегін 
✠✨райды
. ⑊гер 
⊐⊜⊠




болса, яғни 







, онда оң жағы аны✠талмаған.  
⑓сыдан, осы ⑹ормуланың оңнан солға ✠арай ✠олданылуы яғни, 
⊐⊜⊠
╿ⓣ
-
тің




ⷲⷥ




ⷲⷥ



өрнегіне 
түрленуі ММ

-
ның  








⑯емуіне ә⑯еледі. ⑗үрлендіруге дейін б✨л нү⑯телер ММ

-
д
а

жатады
, ал түрлендіруден ⑯ейін 
жат⑴айды
. ⑊гер теңдеу 








сандарының арасында оның 
137


түбірі болатындай еті⑴ ✠✨рылса, онда б✨л түбірл
ер жоғалы⑴ ⑯етеді. ⑓лар ары ✠арайғы 
түрлендірулерде де ⑯өрінбейді. ⑓сы ⑹ормуланың теңді⑯тің сол жағынан оңға ✠арай ✠олданылуы 
⑯ерісінше ММ










...

сандарына арттырады. ⑗үрлендіруге дейін б✨л сандар ММ

-
д
а 
жат⑴айды
, ал түрлендіруден ⑯ейін 
тиісті 
болады
.


ⷲⷥ




ⷲⷥ


-
нің 
⊐⊜⊠
╿ⓣ
-
⑯е алмасуынан ⑴айда болған 
теңдеуі 







 
сандарының арасында түбірлері болуы мүм⑯ін, егер бі⑬ оларды шешімдердің 
ішінен алы⑴ тастамаса✠, бөгде түбір аламы⑬.


⑓сы сия✠ты ✠ауі⑴тер тангенсі немесе ⑯отангенсі, ⑯⑧адрат т
үбірлер

немесе бөлше⑯тер бар 
барлы✠ ⑹ормулаларда жасырыны⑴ т✨рады. ⑆✨л, бі⑬ м✨ндай ⑹ормулаларды ✠олдануымы⑬ ⑯ере⑯ 
емес деген сө⑬ бе? ⑋о✠, олай емес. ⑗е⑯ ММ

-
ның ө⑬герістерін ес⑯ері⑴ отыру ⑯ере⑯.


⑊гер түрлендіруден ⑯ейін мүм⑯ін мәндер 
облыс
ының тарылуы, яғ
ни ⑯андай да бір жиын 
⑹ормуланы ✠олдануға дейін ММ

-
на ⑯іреді, ал ✠олданудан ⑯ейін 


⑯ірмейді, онда ө⑬імі⑬дің 
шешімімі⑬де же⑯е жағдай ✠арастыры⑴ және те⑯сері⑴ 


баста⑴✠ы теңдеудің түбірлері бар жоғын 
те⑯серу ⑯ере⑯. 


⑊гер түрлендіруден ⑯ейін ММ

-
ы ⑯еңейсе,

м✨нда е⑯і шешім бар. ⑆іріншісінде, ⑴айда 
болған ⊴мәндер⊵  баста⑴✠ы теңдеуге ✠ойылады және берілген теңдеу тура теңді⑯⑯е айнала ма 
те⑯серіледі. ⑊⑯іншісінде, алдымен ММ


сандар жиыны ретінде табылады, ал есе⑴тің шешімінің 
соңында: шы✠✠ан мәндер ММ

-
да жата
т
ыны

не

жат⑴ай
тын
дығы

те⑯серіледі.

⑓сы ⑴ун⑯тте айтылғандардың барлығы ММ

-
ның те⑯ тригонометриялы✠ ✠ана емес, ⑯е⑬ ⑯елген

теңдеулер

түріне ✠атысы бар. ⑏ө⑴ ⑯е⑬десетін бірнеше түрлеріне осы ⑴арагра⑹та шолу жаса⑴ 
⑯етемі⑬.


2.3
.

⑏⑧адрат теңдеуге ⑯елтірілетін 
теңдеулер


⥈⥊⥖⥚




⥚⥐⥕




⊐⊜⊠



⥋⥊⥖⥚⥟





түріндегі теңдеулерді шешу cos≦≞ енгі⑬ілуімен 
шешіледі.

⑊гер cos≦≞

болса
, онда 
⥊⥖⥚






 
⥚⥐⥕





⥊⥖⥚








 
⥊⥖⥚




⥊⥖⥚










.

⥈⥊⥖⥚




⥚⥐⥕




⊐⊜⊠



⥋⥚⥐






түріндегі теңдеуді шешу 
⊠⊖⊛




✠осымша 
Ⓩⓓⓙⓑ⓵ⓙⓓⓛⓡ⓵ⓚⓓⓛ
 
ⓦⓓⓦ⓵ⓙⓓⓒ⓵

 

 
⒟ⓑⓓⓞ
 
⊠⊖⊛




ⓜⓛⓒⓎ
 
 
⥚⥐⥕






 
⥊⥖⥚





⥚⥐⥕









⑊⑯і жағдайда да ⑯⑧адрат теңдеуге ⑯елтіріледі. 

Мысал

1
.

(1)

⑝ешуі
:
ММ⑓
:


белгілеуін енгі⑬емі⑬
,
.

(1)

⑗еңдеу мына түрге ие болады:

.(2)

(2)

.


138


⑋ауабы
:
.


2.4
.

,
,

теңдеулер
і


М✨ндай теңдеулерде 4
-
⑴рин⑻и⑴ ✠олданылады. ⑗еңді⑯тің оң жағын сол жағына өт⑯і⑬і⑴, ⑴айда 
болған өрне⑯ті төмендегі ⑹ормулалар ⑯өмегімен ⑯өбейт⑯іштерге жі⑯теймі⑬:

,

,

,

,

⊠⊖⊛

(

)


⊐⊜⊠

(

)
түріндегі теңдеуді ⑯елтіру ⑹ормуласының 
⊠⊖⊛

(

)

⊐⊜⊠
(
π



(

)
)

⑯өмегімен алмастырамы⑬.

Мысал

2
.
)

=

теңдеуін шешіңдер
.

⑗алдау
:
⑙ун⑯⑻ия ✠аншалы✠ты 
өте

а⑬ болса, сол жа✠сы
.

⑝ешуі
:
⑏елтіру ⑹ормуласынан 
⊠⊖⊛


⊐⊜⊠
(




)
теңді⑯тің сол жағын мына түрге 
⑯елтіремі⑬.


⊐⊜⊠








⊐⊜⊠









⊐⊜⊠








⊐⊜⊠












⑹ормуласын ⑴а
й
даланы⑴,

мына теңдеуді ✠арастырамы⑬. 


.

2 түрлі жағдай болуы мүм⑯ін
:


1)
,
,
.

2)
,
,
,
.

139




16
-
сурет

⑊⑯і серияны да тригонометриялы✠ шеңберге 
Р


және 
М


нү⑯телерімен белгілеймі⑬ және 
бірінші серияның е⑯іншісінің іш⑯і жиыны е⑯енін ⑯өремі⑬ 16
-
сурет. ⑗үрлендірулерден ММ

-
да

ө

гермеді.

⑋ауабы: 
.

⑊гер те▨деу шешу барысында е⑯і серия ⑴айда болса, онда оларды тригонометриялы▤ 
те▨деуде ⑯ес⑯інде⑴ те⑯серген д▬рыс болады: е⑯еуіні▨ бірі бас▤асыны▨ іш⑯і жиыны бола ма. ⑊гер 
е⑯і серияны да жа⑬са▤, б▬л ▤ате болы⑴ есе⑴телмейді, те⑯ емти⑺анда, тест 
та⑴сыр
■анда

б▬л 
▬⑴айды▨ ⑯емуіне 
ы▤⑴а
л е
т
еді.

⊠⊖⊛

(

)

⊠⊖⊛

(

)
ⓔ㨴ⓛⓓ
 
⊐⊜⊠

(

)

⊐⊜⊠

(

)

түріндегі теңдеулерді шешу еш✠андай ⑹ормуласы⑬ 
және тригонометриялы✠ шеңберсі⑬ шешуге болады. 
⊠⊖⊛

(

)

⊠⊖⊛

(

)
теңдеуі берілсін. ⑊⑯і 
б✨рыштың ≔ және g синустары ө⑬ара оларға сәй⑯ес 
М
f

және 
М
g

нү⑯телерінің ординаталары тең 
болғанда және те⑯ сонда ғана тең болады. 
М
f

және 
М
g

нү⑯телерінің ординаталары шеңберде тең 
немесе беттеседі

(17
-
сурет немесе 
⑓у

ос
іне ✠атысты ө⑬ара симметриялы

болады 
(18
-
сурет. 
⑆ірінші жағдай 
f=g+2
π
k
,  е⑯інші жағ
дай 

е⑯енін білдіреді.



⑆ірінші жа■дай     


⑊⑯інші жа■дай 

17
-
сурет



18
-
сурет

⑉әл осылай, 
⊐⊜⊠

(

)

⊐⊜⊠

(

)

теңдеуіне де талдау жасаймы⑬. ⑊⑯і б✨рыштың ≔ және g 
⑯осинустары ө⑬ара оларға сәй⑯ес М
f

және М
g

нү⑯телерінің абс⑻иссалары тең болғанда және те⑯ 
сонда ғана тең болады. М
f

және М
g

нү⑯телерінің абс⑻иссалары шеңберде тең болады, егер 
нү⑯телер беттессе немесе ⑓⑺ 
ос
іне ✠атысты ө⑬ара симметриялы болса.





⑆ірінші жа■дай     


⑊⑯інші жа■дай 

19
-
сурет




20
-
сурет

⑆ірінші жағдай 
(19
-
сурет,  е⑯інші жағдай 
(20
-
сурет е⑯енін 
білдіреді
.





140


⊠⊖⊛

(

)


⊠⊖⊛

(

)

түріндегі теңдеу осыған дейін айтылған тәсілге 

⊠⊖⊛


⊠⊖⊛
(


)

✠асиет 
⑯өмегімен ⑯елтіріледі.

⊐⊜⊠

(

)


⊐⊜⊠

(

)

түріндегі теңдеу осыған дейін айтылған тәсілге 

⊐⊜⊠


⊐⊜⊠
(



)

✠асиет 
⑯өмегімен ⑯елтіріледі
.

3
-
мысал. 

теңдеуін шешіңдер.

⑗алдау. ⑗еңдеу бөлімінде айнымалысы бар болғанды✠тан
,

ММ⑓
-
да

✠иынды✠тар болуы 
мүм⑯ін.

⑝ешуі: 

(1)

⑯елтіру ⑹ормуласы ар✠ылы теңді⑯тің оң жағы

түрге ⑯елтіріледі. 
болғанды✠тан, онда



(2)


Серия 
D
k

⑆арлы✠ серияларды тригонометриялы✠ шеңберде

белгілеймі⑬, ¶
0
=D
0
, M
2
=D
1

(21
-
сурет. ¶
0

және ¶
2

нү⑯телеріне сәй⑯ес барлы✠ б✨рыштар ММ

-
на ⑯ірмейтін болғанды✠тан
,

теңдеудің 
шешімдері болмайды. ✟алған б✨рыштарды барлы✠ б✨рыштарды суреттейтін бір серияға 
бірі⑯тіруге болады, сәй⑯ес ⑯елетін б✨рыштар ¹
0
=M
1
,

P
1
=M
3
:





⧳⥒

⑋ауабы:
 





⧳⥒
, м✨ндағы 


21
-
сурет

141



⑉әл осындай талдаулар 
⥛⥎⥍

⥛⥎⥎

 
⥊⥛⥎⥍

⥊⥛⥎⥎

теңдеулерінің шешімдеріне алы⑴ ⑯еледі. 
f

және 
g

б✨рыштарының тангенстері ө⑬ара тең, егер 
M
f

және 
M
g

нү⑯телері беттес⑯ен, не шеңбердің 
⑻ентріне ✠атысты симметриялы болғанда22
-
сурет. ⑊⑯і жағдайда да 
fg
-
дан доғаның бүтін санына, 
шеңбердің жартысына π
-
ге ө⑬гешеленеді. Сонды✠тан
,

те⑯ ≔g
π
k болғанда, те⑯ сонда ғана ММ


ес⑯ер
іле
д
і
)

tg
f
=tg
g
теңдігі 
орындалады
.


22
-
сурет


түріндегі теңдеу үшін талдаулар еш ө⑬геріссі⑬

✠алады

(23
-
сурет.


23
-
сурет


Мүм⑯ін мәндер 
облыс
ында

.

Мысал 
4
.

теңдеуін шешіңдер
.

⑝ешуі:

⑗еңдеу 
теңдеулер жүйесіне ⑴ара
⑴ар
.


(1)

серия 
P
,

(2)

серия 
M
,

(3)


,

серия 

.


24
-
сурет

⑗өрт нү⑯те 
Р
0
, Р
1
, Р
2

және

Р
3

ішінен 
е⑯
і 
Р
0

және

Р
2

нү⑯телері 
ғана

мүм⑯ін мәндер 
облыс
ына ⑯іреді

(
24
-
сурет
).
Р
0

және

Р
2

диаметр
лі ✠арама
-
✠арсы
.

⑋ауабы:
,
м✨ндағы
.


⑗а⑴сырмалар

142


⑆өлім

1

Ⓨе
ңдеуді

шешіңдер

(1
12).

1. (2)
;



2. (2)
;

3. (2)
;


4. (2)
;

5. (2)
;


6. (2)
;

7. (2)
;



8. (2)
;

9. (2)
;



10. (2)
;

11. (2)
;


12. (2)
.

13.

(2)

a
)
;



б▊ 
;







┚▊ 
;



┛▊ 
.


◸◻╣ ▉◹▊ а▊
;



б▊ 
;






┚▊
;



┛▊
.






◸◼╣ ▉◺▊ а▊
;




б▊ 
.





◸◽╣ ▉◺▊ а▊
;


б▊
;





┚▊
;


┛▊
.

◸◾╣ ▉◺▊     а▊
╡      б▊ 
╡    ┚▊
.

◸◿╣ ▉◺▊      а▊
;


б▊
.



19. (3)
.

2

Б
өлім

⑗еңдеуді шешіңдер

(20
-
32).

20. (2)
;



21.(2)
;

22. (2)
;


23.(2)
;

24. (2)
;


25.(2)
;

143


26. (2)
;



27.(2)
.

28.(3)

а

те
ңдеу
ін
ің түбірлер санын 
⑯есіндісінде аны✠таңдар.



б 

теңдеуінің

түбірлер санының ✠осындысын

⑯есіндісінде 
аны✠таңдар.


⑧ 

теңдеуінің


арты✠ болатын теріс түбірлер санын 
аны✠таңдар
.


г 

теңдеуінің


⑯ем емес теріс түбірлер санының ✠осындысын 
аны✠таңдар
.



д 

теңдеуінің

⑯ем оң түбірлер санын аны✠таңдар.




е 

теңдеуінің



арты✠ емес оң түбірлер санының ✠осындысын 
аны✠таңдар
.






◹☀╣ ▉◺▊       а▊ 
;


б▊ 
.

◺◷╣ ▉◺▊       а▊ 
;

б▊ 
;


┚▊ 
;


┛▊ 
.

◺◸╣▉◺▊  а▊
;


б▊ 
;


┚▊ 
;


┛▊ 
;




┟▊ 
╡         е▊ 
.

32.(3)
.

33.(3)
✱т⑯ен

жылы маусым айында 
⑅лматы
да ашы✠ ⑯үндердің саны 
жауынды ⑯үндердің 
25%

✠✨рады
,
жылы ⑯үндердің саны сал✠ын ⑯үндердің


20%
✠✨рады
.
Маусым айында те⑯


3 ⑯үн ғана жылы және ашы✠ болса, жауынды және сал✠ын ⑯үндер саны ✠анша
?

34
.(2)

және 

са
ндарының арасында олармен бірге ө⑬ара 
геометри
ялы✠ 
⑴рогресси
яны 
✠✨райтын

үш санды табыңдар
.

35
.(2)
⑗еңдеулер 
жүйесін шешіңдер
:

144









36.
(2)
⑊⑯і ✠а⑴та 
140 ⑯г 
✨н

бар.


гер бірінші ✠а⑴тан 12,5% ✨нды е⑯інші ✠а⑴✠а салса
,
е⑯і 
✠а⑴тағы ✨н тең болады
.
Әрбір

✠а⑴тағы болған ✨нның мөлшері ✠анша
?


⑋ауа⑴тар
ы

1
.
,
. 2.
,
. 3.
,
. 4.
,
. 5.
.

6.
.
7
.
. 8.
. 9.
. 10.
.

11.
. 12.
,
.

◸◺╣ а▊ 
,
;

б▊ 
,
╡  ┚▊ 
╡  ┛▊ 
.

◸◻╣ а▊ 
,
;

б▊ 
,
╡  ┚▊ 
,
;
┛▊ 
,
.

◸◼╣ а▊ 
╡  б▊ 
╣  ◸◽╣ а▊ 
,
;

б▊ 
,
╡ ┚▊ 
,
╡  ┛▊ 
,
╣  ◸◾╣ а▊ 
,
╡  б▊ 
,
;

┚▊ 
,
╣  ◸◿╣ а▊ 
,
╡ б▊ 

,
. 19.
. 20
. 21.
.

22.
,
. 23.
. 24.
.

25.
. 26.
,
. 27.
.

◹◿╣ а▊ ◸
9
╡  б▊ ◷╡  ┚▊ 
14
╡  ┛▊ 
╡  ┟▊ 
7
╡  е▊ 
╣  ◹☀╣ а▊ 
,
;

145


б▊ 
,
╡  ◺◷╣ а▊ 
,
;

б▊
,
╡  ┚▊ 
,
╡  ┛▊ 
,
╣  ◺◸╣ а▊ 
,
╡ б▊ 
,
;

┚▊ 
,
╡ ┛▊ 
,
╡  ┟▊ 
,
;

е▊ 
. 32.
. 33.

үн
. 34.
35. (1;2).

◺◽╣ ◿◷ ┬┛ 
ж
әне

◽◷ ┬┛╣                         

2.5
.


теңдеулер
і


⑆ірінші дқреже е⑯іншіден жа▤сы
. ⑋адымы⑬да ✨стайы✠, 
,
,
,
.

Соңғы е⑯і ⑹ормуланың оң және сол 
бөлі⑯терінің мүм⑯ін мәндерінің облысы сәй⑯ес ⑯еледі,

5
-
мысал.

⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі .

⑉әрежені төмендету ⑹ормуласы бойынша: 
. ⑗еңдеу мына 
түрге ⑯еледі:

,

,

,

,

.

⑋ауабы:
, м✨ндағы
.


2.6
.

Синус ⑯⑧адраттарының ✠осындысы немесе ⑯осинус 
⑯⑧адраттарының ✠осындысы бар  теңдеулер


6
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:

.

⑝ешуі
.
⑆ірінші дқреже е⑯інші дқрежеден жа▤сы
.

.

⑗еңдеу мына түрде ⑯еледі: 

,

.

⑋ат▤ан тасты▨ астымен су а▤⑴айды  


▤осыл■ыштарды ж▬⑴▤а то⑴таймы⑬ жқне 
⑯▶бейт⑯іштерге жі⑯теймі⑬: 

146


,

,

.

⑗амаша ! ⑓рта▤ ⑯▶бейт⑯ішті та⑴ты▤  


оны жа▤ша сыртына шы■ару■а болады
.

,

,

.

1.

,



то⑴тамасы

2.

,
,



то⑴тамасы

3.

,



то⑴тамасы

,
,

нү⑯телерін белгілеумен ше⑯телемі⑬

(25
-
сур
ет
)
және олардың 
беттес⑴ейтінін бай✠аймы⑬. 

⑉еме⑯,

еш✠андай серия бас✠асының ✠✨рамына ⑯ірмейді
.


⑋ауабы
:
,
,
,
м✨ндағы
.



⑊се⑴тер


1


өлім



⑗еңдеулерді шешің
дер
:


1.

;




2.

;

3.
;




4.
;

5.
;




6.
;

7.


;


8.
;

9.

;



10.
;

11.


;

12.
;

13.
; 14.
;



147


15.

;

16.
.


2

Б
өлім


17.

;


18.(3)
;

19.

;




20.

;

21.
;





22.
;

23.

;



24.

;

25.

;



26.

;

27.

;

28.

;

29.

;

30.

;

31.

; 32.
.

33.
Әнуар
, ⑅
ң
сар, 
⑉әурен
, ⑗
ө
леген 
және

⑅рыстан

б
илет алу ⑯е⑬егінде т✨р
.
Әнуар


ң
сар
дан б✨рын билет саты⑴ алады
,
біра✠

⑅рыстан
н
а
н ⑯ейін
,
⑉әурен және

⑅рыстан 
✠атар

т✨рған жо✠
, ⑗
ө
леген 
Әнуардың
, ⑅рыстан
ның
,
⑉әуреннің ✠асында емес е⑯ені белгілі
.
⑏імнің ⑯імнен ⑯ейін т✨рғанын табыңдар.

34.

①✠шамдаңдар
:
.

35.
⑏іта⑴тың ✠алама✠ысы үш

а⑧тор

а
расында 
8:6:5

✠атынасында бөлінді
. ⑊
гер осы 
✠алама✠ы 

7:5:4

✠атынасында бөлінсе
,
онда 
а⑧тор
лардың бірі алған а✠шасынан 
25
мың 
те
ң
ге 
арты✠ алар еді
.
✟алама✠ы

ретінде ✠анша теңге төленді
?

36.
⑗ең
деудің түбірлерін табыңдар
:  а 
;


б 
.


Жауаптар
ы

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

148


5.
. 6.
. 7.
,
.

8.
. 9.
. 10.
,
.

11.
,
,
. 12.
,
.

13.
. 14.
. 15.
,
.

16.
,
. 17.
. 18.
.

19.
. 20.
. 21.
.

22.
. 23.
. 24.
.

25.
. 26.
. 27.
,
,
.

28.
,
. 29.
. 30.
,
.

31.
,
. 32.
╣  ◺◺╣ ⒯рыста┱╠ 
Әнуа
р╠ 

әурен
╠ ⒯
ң
сар╠ 

ө
ле┛е┱╣ ◺◻╣ ◻╣  ◺◼╣ ◸◼◹◷ те
ң
┛е╣  ◺◽╣ а▊ 
,
╡ б▊ 
.


2.7
.

⑆ірте⑯ті теңдеулер:
,


7
-
мысал
. ⑗еңдеуді шешің
дер
:
.

⑝ешуі.

⑊гер 

болса,онда теңдеуден
,

шығады,

б✨л 

негі⑬гі тригонометриялы✠ теңдеуіне ✠айшы ⑯еледі.

Сонды✠тан,теңдеудің е⑯і жағын 
⊐⊜⊠


-
⑯е бөлемі⑬:

,
.

⑋ауабы
:
.

⑊нді  
түріндегі теңдеуді талдайы✠.


және   
белгілеулерін енгі⑬і⑴, 

теңдеуін аламы⑬.  
⑆✨л теңдеудің алгебралы✠ ✠✨рылымы сі⑬дерге белгілі:е⑯інші дәрежелі бірмүшелердің 
✠осындысы  0
-
ге тең.

М✨ндай теңдеулерді 
е⑯інші

дәрежелі бірте⑯ті теңдеулер

де⑴ 
атайды. ⑓сыған ✨✠сас,

түріндегі теңдеулер үшінші дәрежелі 
бірте⑯ті теңдеулер де⑴ аталады және т.с.с.

⑊⑯і жағын дәрежесі үл⑯ен айнымалылардың 
біреуіне бөлгенде,

бірте⑯ті теңдеу жаңа айнымалыға ✠атыс
ты ✠ара⑴айым алгебралы✠ 
теңдеуге айналады. 

149


1.

түріндегі теңдеу берілсін. ⑊гер  
, онда 
. ⑊гер  
,
онда е⑯і жағын 

бөлу, теңдеуді мына түрге ә⑯еледі: 
,
, м✨ндағы 
.

2.

түріндегі теңдеу берілсін.   ⑊гер 
, онда 
. ⑊гер 
, онда е⑯і жағын 

бөлу, теңдеуді мына түрге ә⑯еледі: 
,
, м✨ндағы 
.

6
-
мысал.
.

⑝ешуі
.
⑆▬рыш ⑯іші болса,ті⑴ті жа▤сы. 

.

егер 
⊐⊜⊠



, онда теңдеу 

болады, 

біра✠ 

және 

бір ме⑬гілде 0
-
ге тең болмайды.  ⑉еме⑯ , 
. ⑗еңдеудің е⑯і жағын 
-
на бөлемі⑬:

,

.

⑅уыстыру: 
.

,


немесе

.

⑏ері ауыстыру: 

немесе 
,

немесе 
.

⑋ауабы:
,
, где
.


түрдегі барлы✠ теңдеулер, 


⑯ейбір сандар, бірте⑯ті теңдеулерге айналады, егер бі⑬        
,

,

а
лмас
тыруларын 
жасайтын болса✠.

7
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:

.

⑝ешуі
.

,

,

.


е⑯енін бай✠аймы⑬, олай болмаған жағдайда теңдеуден  

шығады.      

те⑴е
-
теңдігі    

және 

мәндерінің бір ме⑬гілде  0
-
ге тең 
болмайтыны
н

білдіреді.  ⑗еңдеудің е⑯і бөлігін 

өрнегіне 
бөлемі⑬:

.

⑅уыстыру: 
.

,


или 
.

⑏ері ауыстыру: 

немесе 
,

немесе 
.

150


⑋ауабы:
,
, м✨ндағы 
.

8
-
мысал.

⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі.

⑗еңдеу бірте⑯ті болы⑴ табылады.


⑊гер 
, онда оң бөлігі сол бөлігіне тең: 
, яғни 

үшін 

мәндерінің 
облыс
ы теңдеудің шешімі болы⑴ табылады: 
.

⑊гер 
,
онда е⑯і бөлігін
-
на бөлемі⑬
:

,
,
.

⑋ауабы
:
,
,
м✨ндағы 
.

⑆▬л мысал бірте⑯ті те▨деулерде қр▤ашан 

деген ⑯▶⑬▤арас ▤алы⑴тас⑴асын 
деген оймен берілді. ⑝ынды■ында, б▬дан да ▤ара⑴айым шы■арылу жолы бар:

,
,

немесе 

және т.с.с.


⑊с
е⑴тер


1


өлім


⑗еңдеулерді шеші
ң
дер

(1
-
24)
:

1.
(2)
;





2.
(2)
;

3.
(3)
;



4.
(3)
;

5.
(3)
; 6.
(3)
;

7.
(3)
;





8.
(3)
;

9.
(3)
;




10.
(3)
;

11.
(3)
;




12.
(3)
.

2


өлім


⑗еңдеулерді шешіңдер:

13. (2)
.

14. (3)

т
еңдеу
ін
ің түбірлер санын 
⑯есіндісінде аны✠таңдар.


15. (3)
;

16. (3)

т
еңдеу
ін
ің


түбірлер санының ✠осындысын

⑯есіндісінде 
аны✠таңдар.


17. (3)
.

18. (3)
.

19. (3)
.

151


20. (3)

т
еңдеу
ін
ің

⑯ем ең үл⑯ен түбірін табыңдар. 


21. (3)

т
еңдеу
ін
ің

минимал⒁
ді және

ма⑯симал⒁
ді түбірлерінің 
✠осындысын


⑯есіндісінде аны✠таңдар.


22. (3)
.

23. (3)

т
еңдеу
ін
ің

минимал⒁ді түбірін


⑯есіндісінде аны✠таңдар
.

24. (3)
.

25.(3)

үл⑯іше⑯

балы бар ✠ау
а
ша✠ты 
10 мин, 
✠✨л⑴ынайы

бар таба✠ты

13 мин

және 
ыдыстағы ✠айма✠ты 
14 мин

же⑴ тауысты
.
✟онжы✠

балы бар ✠ау
а
ша✠ты 6 мин, ✠✨л⑴ынайы 
бар таба✠ты 6 мин және ыдыстағы ✠айма✠ты 7 мин же⑴ тауысты
.

үл⑯іше⑯


ен ✠онжы✠ 
бірігі⑴, осылардың бәрін ✠анша уа✠ытта же⑴ бітіреді
?

26.(3)
⑊се⑴теңдер
:     а 
;                  б 
.

27.(2)

⑗еңдеулер жүйесін шешіңдер:


28.2 ⑅лдар
⑯ө
се 
және ✟
а
ң
ба
✠ш
ал 
✨шатын

⑯ілемді саты⑴, а✠шасын ө⑬ара бөліседі
.
⑅лдар
⑯ө
се 
ойлады
: е
гер а✠шаны

40%

арты✠ алсам
,
онда ✟
а
ң
ба
✠ш
ал
дың 
а
✠шасы

60%

⑯емиді
.
⑊гер ⑅лдар⑯өсе а✠шаны 50% арты✠ алса, онда ✟аңба✠шалдың а✠шасы ✠алай 
ө⑬гереді
?


Жауаптар
ы  

1.
. 2.
. 3.
,
.

4.
,
. 5.
;
.

6.
,
; 7.
,
;

8.
; 9.
,
;

10.
,
; 11.
;

12.
,
.

152


13.
. 14. 5. 15.
,
. 16.
.

17.
,
,
. 18.
,
.

19.
,
. 20.
. 21.
. 22.
,
.

23.
.
24.
,
╣  ◹◼╣◸◹ ми┱╣ ◹◽╣ а▊ 
╡ б▊

. 27.
,
. 28. 75%

┬еми┟і
.

2.8.  ✟✨рамында



өрнегі


бар 

теңдеулер   



өрнегі үшін ✠осымша б✨рыш енгі⑬у әдісі де⑴ аталатын стандарт 
түрлендіру бар: 

.

⑆✨дан 
е⑯енін ⑯өруге болады.  ⑆✨л ⑯оординаталары 
,

нү⑯телер таңбаның ⑯е⑬ ⑯елген 
⑯омбина⑻иясымен тригонометриялы✠ шеңбер бойында жататынын білдіреді.  ⑉еме⑯, осы 
сандардың ⑯е⑬ ⑯елген 8 ж✨бы үшін, синусы мен ⑯осинусы осы ж✨⑴тағы сандарға 
сәй⑯есінше тең болатын б✨рыш бар.  Мысалы  


б✨рышын ✠арастырайы✠, ол үшін   
. М✨ндай б✨рыштың ✠ы⑬метін 

ат✠ара алады.   
⑓лай болса түрлендіруді әрі ✠арай жалғастырамы⑬: 


.

9
-
мысал
.
өрнегін

әртүрлі әдістермен түрлендіремі⑬
.

⑝ешуі .

а 
.

б 
.

10
-
мысал
. ⑗еңді⑯  ✨✠сас әдістермен дәлелденеді: 

,

,

,

,

153



және т.с.с.

11
-
мысал
.  ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:

.

⑝ешуі.

жқне 

б▬рыштары те▨деуге ▤атысады. ⑗е▨деуді▨ бір жа■ына 
-
ті,

е⑯інші жа■ына 

-
ті жинаймы⑬:  

.

-
ге  е⑯і жағын ⑯өбейтемі⑬:

,

.

,

.

1.


2.

.

⑆ірто⑴тама 
✠✨рамына

бас✠а то⑴тама ⑯ірмейді. 

⑋ауабы
:
,
, м✨ндағы  
.

12
-
мысал.

⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі.

Сол жағын түрлендіремі⑬:       

,

м✨ндағы 
,
,
.

⑗еңдеу мына түрге ⑯еледі:

,

,

,

.

⑋ауабы
:
, м✨ндағы
,
.


2.9.  ✟✨рамында 

және 

немесе  

өрне⑯тері

бар теңдеулер     


Мына те⑴е
-
теңді⑯тердің жадыңы⑬да болғаны жөн: 

,

.

⑆✨л те⑴е
-
теңді⑯тер оңай дәлелденеді және

олар 
,
,
,

бар теңдеулерге ✠олданылады. 

13
-
мысал.

⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

154


⑝ешуі.

⑅уыстыру жасаймы⑬: 
,
,
. ⑗еңдеу мына түрге ⑯еледі: 

,

,

,


немесе
.

1)
,
,
,

,


,

,


немесе

.

2)

,



,

.


⑋ауабы:
,
,
, где
.


2.10.  ⑏өбейт⑯іштерге  жі⑯теу  әдісі


⑆і⑬ ⑯е⑬ ⑯елген теңдеудің оң жағындағы ✠осылғыштарды сол жағына ⑯өшірі⑴,

оң 
жағында 0 алу мүм⑯індігіне ие

боламы
⑬. Сосын сол жағын ⑯өбейт⑯іштерге жі⑯теу 
✠ара⑴айым

теңдеулер үшін де, ⑯үрделі теңдеулер үшін де маңы⑬ды р
ө
л ат✠арады.   

14
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
.
.
⑆▬рыш ⑯іші бол■ан сайын жа▤сы.

.



б▬л ⑯⑧адраттарды▨ айырымы

(!).

.

⑋і⑯те   ⑯▶бейт⑯іштерге жқне билі⑯ жаса
.

.


немесе 
.

1.

,
,
,
.

2.

,
,
.

⑋ауабы
:
,
,
м✨ндағы
.

15
-
мысал
.
⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
.
,

155


.

⑓сы ⑯е⑬де е⑯і жа■ын 
-

ге ▤ыс▤арту д▶ре⑯і ▤ате бол■ан болар еді! 
△▨гіме

мынада,

егер


болса
,
онда 
те▨деуді▨ е⑯і жа■ы да

0
-
ге те▨
,

деме⑯
,
олар ▶⑬ара 
те▨. М▬ндай ▤ыс▤арту б▪тін бір т▪бірлер то⑴тамасыны▨ жо■алуына қ⑯елер еді
,

!

,

.


немесе 

және т.с.с.

16
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
.

⑋ат▤ан тасты▨ астын
ан

су 
шы
▤⑴айды

.

⑏о⒂⑹⑹и⑻иенттерді 
⊾те▨естіруге⊿

тырысамы⑬. 

⑗еңдеудің е⑯і жағына   

✠осамы⑬::

,

,

,

,

,

,

.

1.

,
,
.

2.

.



бірте⑯ті теңдеу
.

е⑯ені

аны✠
.
⑗еңдеуді
-
на бөлу және 

а
лма
стыру  ⑯⑧адрат теңдеу
ді шешу
ге ә⑯еледі: 

.

.

.

⑋ауабы
:
,
,
м✨ндағы 
.


⑊се⑴тер

1


өлім


✟осымша

б✨рышты енгі⑬у 
тәсілі 
ар✠ылы 
(1
-
9 т
еңдеулерді шешіңдер:

1. (3)
.




2.(3)
.

3. (3)
.



4.(3)
.

5. (3)

т
еңдеу
ін
ің түбірлерін

⑯есіндісінде аны✠таңдар. 


6.(3)

т
еңдеу
ін
ің түбірлерінің ✠осындысын 

⑯есіндісінде аны✠таңдар
.

156


7.(3)
,
м✨ндағы 

ге
о
метри
ялы✠ 

⑴рогресси
яның еселігі
,


және

.

8.(3)
.




9.(3)
.

10.(
2
)
⑙ун⑯⑻ияның 
ма⑯симал⒁
ді мәнін табыңдар
:

а 
.



б 
.

11.(
2
)
⑙ун⑯⑻ияның 
минимал⒁
ді мәнін табыңдар
:

а
.


б
.

12. (
2
)

ун⑯⑻и
яның мәндер 
облыс
ын табыңдар:

.

⑋аңа айнымалыны енгі⑬у тәсілі ар✠ылы

(13
-
1
6
)
теңдеулерді шешіңдер
.

13.(3)
;

14. (3)
;

15.(3)
;

16. (3)
;

⑏өбейт⑯іштерге жі⑯теу 

тәсілі ар✠ылы 17
-
27 теңдеулерді шешіңдер.

17. (3)
;



18.(3)
;

19. (3)
;


20. (3)
;

21. (3)
;


22. (3)
;

23. (3)
;

24. (3)
;

25. (3)
;

26. (3)
;

27. (3)
;

2

⑆өлім


✟осымша

б✨рышты енгі⑬у тәсілі ар✠ылы 28
-
37 теңдеулерді шешіңдер
.

28. (3)
.


29. (3)
.



157


30. (3)
. 31. (3)
.

32. (3)
.




33. (3)

теңдеу
ін
ің түбірлер санын


⑯есіндісінде табыңдар.


34. (3)

теңдеу
ін
ің түбірлер санының ✠осындысын


⑯есіндісінде 
табыңдар.


35. (3)
,
м✨ндағы 
.

36. (3)
.


37. (3)
.

38. (2)
⑙ун⑯⑻ияның 
ма⑯симал⒁
ді мәнін табыңдар
:

а 
.



б 
.

39. (
2
)
⑙ун⑯⑻ияның минимал⒁ді мәнін табыңдар
:

а
.


б
.

40. (
2
)
⑙ун⑯⑻ияның мәндер 
облыс
ын табыңдар:

.

⑋аңа айнымалыны

енгі⑬у тәсілі ар✠ылы 
(41
-
4
4
)
теңдеулерді шешіңдер
.

41.(3)
;

42.(3)
;

43.(3)
;

44.(3)
;

⑏өбейт⑯іштерге жі⑯теу тәсілі ар✠ылы 
(45
-
52)
теңдеулерді шешіңдер
.

45.(3)
;



46. (3)
;

47. (3)
;


4
8. (3)
;

4
9.(3)
;



158


50.(3)
, где 
и 
.

51.(3)
;

52.(3)
,
м✨ндағы



мәні


⑹ун⑯⑻иясының 
минимал⒁
ді 
мәні
н табыңдар
.

53.
(3)
.

54
.(2)
⑆ас
та⑴✠
ыда 
а⑧тобус
✠а

23
адам отырды. ⑋үргі⑬уші асы✠✠анды✠тан, жолаушылардың 
төрттен бірінен ⑯ем емес адамдар жиналғанда ғана аялдама жаса⑴
, оларды түсірі⑴

отырды. 
⑊ш⑯ім міні⑴ үлгерген жо✠. ⑅
⑧тобус

неше рет то✠тауы мүм⑯ін?

55. (2)
①✠шамдаңдар:

.

56. (2)
⑓✠ушы ⑯іта⑴тың

480
бетін о✠ы⑴ шы✠ты
,
⑯үніне ол бірдей беттен о✠ы⑴ отырды
.

гер ⑯үніне

16
бет о✠ыған болса, онда ⑯іта⑴ты

5
⑯үн ерте о✠ы⑴ бітіреді
.
⑓✠ушы ⑯іта⑴ты 
неше 
⑯үн о✠ыды
?

57. (2)
⑋үйені шешіңдер
:

⑋ауа⑴тар
ы
:

1.
,
; 2.
,
; 3.
; 4.
,
; 5. 2; 6.
; 7.
,
; 8.
,
.

9.
╣ ◸◷╣ а▊
╠ б▊◸◺╡   ◸◸╣а▊ 
╠ б▊ 
-
15; 12.
;

13.
,
,
; 14.
,
;

15.
,
; 16.
,
;

159


17.
,
; 18.
,
; 19.
,
,
; 20.
;
. 21.
,
; 22.
,
.
23.
,
,
; 24.
,
;

25.
,
,
; 26.
,
.

27.
;
2
8.
; 29.
,
. 30.
,
; 31.
; 32.
,
;

33. 2; 34.
; 35.
,
; 36.
,
;

37.
╡    ◺◿╣ а▊ ◾╠ б▊
╣   ◺☀╣ а▊ 
-
◻◷╠ б▊ ◸◷╣   ◻◷╣ 
.

41.
,
; 42.
; 43.
,
,
,
; 44.
,
,
;

45.
;
. 46.
,
,
; 47.
,
; 48.
,
; 49.
,
; 50.
,
; 51.
,
,
; 52.
,
;
53
.
;
54. 8; 55. 1. 56. 1
2
ж
әне

◽ с
а
ғат
; 57. (1;1),(1;
-
1).


2.11
.

⑗ригонометриялы✠ ⑹ун⑯⑻иялардың ше⑯т
еу
лі
лі
гін 
✠ол
данатын 
теңдеулер


⑊гер 
болса
, онда

⑯е⑬ ⑯елген 


үшін


орындалады.

17
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
. ⑏е⑬ ⑯елген


үшін

мына теңсі⑬ді⑯ орындалады:

. Сонда 
. ⑆ерілген теңдеуден  

е⑯ені де 
шығады.

⑉еме⑯, 
, ал б✨л те⑯ 

немесе


жағдайында д✨рыс.

⑓лай 
болса,


болғанды✠тан
,

немесе

.

1.


160


⑆ірінші және е⑯інші шарттарды ✠анағаттандыратын 
-
тің мәндерін табу ⑯ере⑯. 

⑆і⑬ 
е⑯іншіні ✠анағаттандыратын мәндерді тауы⑴,оның ішінен біріншіні ✠анағаттандыратын 
мәндерін аламы⑬.  

⑊гер  

болса, онда

,

. Сонда 
.


⑝еңберде

б✨рышын белгілей отыры⑴, 

шартын те⑯  
-
ның та✠ 
мәндері ✠анағаттандыратынын түсінемі⑬,

яғни 
.

⑓сыдан 


⑗ригонометриялы✠ шеңберді ✠араң
дар
).


2.


⑊гер 
, то
.

.
✟арама
-
✠айшылы✠.

⑋ауабы
:
,
м✨ндағы
.


және 

⑹ун⑯⑻ияларының ше⑯теулі

болу

✠асиеті
н

✠олдан
удың 
тағы бір 
мысал
ын

✠арастырамы⑬.

18
-
мысал.

⑗еңдеуді шешіңдер:  
.

⑝ешуі.
-
тің ⑯е⑬ ⑯елген мәндері үшін 

е⑯енін ⑯өремі⑬. 
⑉еме⑯ ,   

теңдігі те⑯ 

және 

жағдайларында ғана 
мүм⑯ін:  

.

⑊гер  
, онда 
,
. Сонда 
.

то⑴тамасын шеңберде белгілеймі⑬

(26
-
сур
ет
).


26
-
сурет

⑊гер  
-
ге ⊾тиген⊿

жағдайда  

болатынын ⑯өру ✠иын емес.

⑤ғни,
,

м✨ндағы 

-

⑯ейбір бүтін сандар. ⑉еме⑯,

,

,


теңдігі 
161


орындалады. 
⑒әтижесінде мынаны аламы⑬:

.

⑋ауабы:
, м✨ндағы
.


2.12
.

Әмбеба⑴ алмастыру ⑹ормулалары


⑆✨рыштың 
синусын,

⑯осинусын және танге
н
сін ⊾әмбеба⑴ алмастыру⊿

⑹ормулаларын 
⑴айдаланы⑴,

жарты б✨рыштың тангенсі ар✠ылы өрне⑯теуге болады: 
,
,
.
⑊селі⑯ б✨рыштардың 
2⑺, 3⑺, 4⑺

және т.б.  
тригонометриялы✠ ⑹ун⑯⑻иялары  

және 

ар✠ылы өрне⑯телетінді⑯тен,

оларды 

ар✠ылы өрне⑯теуге болады. Мысалы,

.


⑆ерілген теңдеудегі барлы✠ тригонометриялы✠ ⑹ун⑯⑻ияларды


ар✠ылы 
өрне⑯тей

отыры⑴,

⑯е⑬ ⑯елген тригонометриялы✠ теңдеуден бір 

айнымалыдан т✨ратын 
алгебралы✠ теңдеуді алуға болады.

М✨ндай әдіс ⑯өбінесе өт
е жоғары дәрежелі 
теңдеулерге ә⑯елетінін ес⑯ерген жөн.Сонымен ✠атар, әмбеба⑴ алмастыру ⑹ормулаларын 
✠олдану мүм⑯ін мәндер облысын ⊾тарылтады⊿

ММ⑓ туралы мысалды ✠араң
дар
).

19
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
. ⑊гер шарты 

орындалса, яғни 
,

онда 

,

е⑯ені белгілі.


саны

баста⑴✠ы теңдеудің ММ⑓
-
да жатыр.       
Сонды✠тан е⑯і жағдайда ✠арастырамы⑬. 

1.


болсын.

алмастырудан ⑯ейін теңдеу

түріне ⑯еледі.  

,

,

,


.

2.


болсын.


берілген т
еңдеуге ✠оямы⑬:

,

.

162


⑗еңді⑯ орындалады. ⑉еме⑯,

то⑴тамасы

берілген теңдеудің 
шешімі болы⑴ 
табылады.

⑋ауабы
:
,
, м✨ндағы
.

20
-
мысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі.

,

яғни

шартымен ММ⑓ аны✠талады. Әмбеба⑴ алмастыру 
⑹ормулаларын ⑴айдаланамы⑬:

,
.

⑆✨л ⑹ормулаларды ✠олдану ММ⑓
-
ын ө⑬герт⑴ейді,өйт⑯ені
,

біра✠  
.
алмастырудан ⑯ейін мына теңдеуді аламы⑬:

,

,

,

.


⑆ос мүшенің бөлгіштерінің арасынан берілген теңдеудің шешімі болатын 2 санын 
аламы⑬. ⊾⑆✨рышта⑴⊿ бөлі⑴ немесе бас✠а әдістерді ⑴айдаланы⑴,

⑯өбейт⑯іштерге жі⑯теймі⑬: 
.

⑗еңдеу мына түрге ⑯еледі:

,

немесе
,

немесе
,

немесе
.

⑊⑯і то⑴тама да

шартын ✠анағаттандырады.

⑋ауабы
:

,
,

м✨ндағы 
.


2.13

ММ⑓
-
мен ж✨мыс істеуге тағы бір мысал

21
-
м
ысал
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі.



айнымалысы ММ⑓
-
да


шартымен

аны✠талады.

,

,

,

,

,


или 
.

163


⑊гер
,

онда
,

б✨л ММ⑓
-
на

✠айшы ⑯еледі;

егер


болса
,

онда
.

⑋ауабы
:
, м✨ндағы
.


⑊се⑴тер

1
-
бөлім

⑗еңдеулерді шешің
дер
:

1.(3)
;




2.
(3)
;

3.
(3)
;



4.(3)

5.(3)
;




6.
(3)
;

7.(3)
;




8.(3)
;

9.(3)
;




10.(3)
;

11.(3)
;



12.(3)
;

13.(2)
;




14.(2)
;

2
-
бөлім

⑗еңдеулерді шешің
дер
:

15.(2)
;




16.(4)
;

17.(4)
;




18.(2)
;




19.(2)
;




20.(3)
.

21.(3)
⑓ныншы сыны⑴ о✠ушылары ⑊
с
ен
ай

мен ⑍
ндир
а бірінші сыны⑴тан бері дос. ✟ы⑬дар  
жыл сайын олардың туған ⑯үні а⑴таның бір ⑯үніне дәл ⑯елетінін бай✠ады.


с
ен
ай

сәуірде 
туған,

сонда ⑍
нди
раның туған ⑯үні ✠ай айда бола алмайды?

22.2    ⑗еңдеулердің шешімін 
табыңдар:

a)


б

23.2①✠шамдаң
дар
:

164


24.2  ⑙ермер 4 ⑯үн ішінде егісті⑯ті себуі тиіс.

⑏үнделі⑯ті жос⑴арды 12 га
-
ға арты✠ 
орында⑴,

мер⑬імінен 1 ⑯үн б✨рын ая✠тады.

⑙ермер ⑯үн сайын ✠анша ге⑯тар 
жерді 
се

⑯ен?

⑋ауа⑴тары:

1.
; 2. ⑝ешімі жо✠ ; 3.
. 4.
;

5.
; 6.
; 7.
;

8.
; 9.
;

10.
; 11.
;

12.
; 13.
; 14.
; 15.
;

16.
; 17.
; 18.
; 19.
;

20.
;



21. ✟аңтар

айын
да 



22. a)

б 
,
.



23.
, егер 
;
, егер  




.

24. 48

га
.


3.

⑗ригонометриялы✠ 

теңдеулердің 

жүйесі 


⑊гер те▨деулер ж▪йесін ▶⑬і▨ ▤ара⑴ тал▤ыламаса▨,     
онда оларды шеше алмау ▤абілетсі⑬ді⑯ ж▪йеге ⑯ірі⑴ ⑯етеді.  

⑈. ⑅ле⑯сандро⑧


⑗еңдеулер жүйесін,

сонымен ✠атар тригонометриялы✠ теңдеулер жүйесін шешу 


жүйенің барлы✠ шарттарын ✠анағат
т
андыратын айнымалының мәндерін і⑬дестіру е⑯енін 
естеріңе сал
айы✠
.

⑏е⑬ ⑯елген і⑬дестіру 
-

шы■армашылы▤ ⑴ро⑻есс.

⑆елгілі бір қдістер,

ойлар жқне 
тқсілдемелер бар,

біра▤ қрбір на▤ты жа■дайды▨ со▨ында жетісті⑯⑯е жету оларды 
▤а
лай ▤олдана білгені▨е байланысты.

Міне,

сонды▤тан,

⑴едагогт
е
р

математи⑯а 
с
ен
дерді▨ шы■армашылы▤ ▤абілеттері▨ді дамытады де⑴ айта
д
ы.

⑗ригонометриялы✠ теңдеулер жүйесін шешу тәсілдерінен айырмашылығы ж
о
✠тың

✠асы.

⑏өбінесе табыс✠а жетелейтін аралы✠ ма✠саттард
ы ⑯ө⑬ден таса ✠ылмаған жөн:

165


-

⑆елгісі⑬дердің санын және теңдеулердің санын ⑯еміту.

⑉әліре⑯ айтса✠,

айнымалылар мен теңдеулер саны а⑬ болатын баста⑴✠ы жүйеге ✠осал✠ы жүйені алуға 
✨мтыламы⑬.

-

оң жағы  0
-
ге тең болатын теңдеудің сол жағын ⑯өбейт⑯іштерге 
жі⑯теу.

М✨ндай 
жі⑯теу әр✠ашанда ✠ара⑴айым жүйелер жиынтығына ә⑯еледі

бөл және билі⑯ жаса.

⑗еңдеулер жүйесін шешудің неғ✨рлым ⑯ең тараған әдістерін сана⑴ шыға
л
ы✠

✠арастырамы⑬.

1.

⑅лмастыру.

⑊гер әлде✠андай теңдеуді ⑴айдаланы⑴
,

бір айнымалыны ✠алғандары 
ар✠
ылы өрне⑯тей алса✠,

онда табылған өрне⑯ті ✠алған теңдеулерге ✠ойы⑴,

бі⑬ 
т
еңдеулердің және айнымалылардың санын ⑯емітемі⑬;

2.

⑆елгісі⑬дерді а
лма
стыру.

3.

Салдарлар әдісі.

⑋үйе берілген де⑴ болжайы✠:


⑏ел
е
сі салдарлар д✨рыс:

а
, ⑯е⑬ ⑯елген 


саны үшін;

б
,  ⑯е⑬ ⑯елген   


саны үшін;

⑧

теңдеулерді мүшеле⑴ ✠осу әдісі;

г 

теңдеулерді мүшеле⑴ 
а⑬айту

әдісі;

д
;

е
;

ж

теңдеулерді мүшеле⑴ 
⑯өбейту

әдісі;

⑬
;

и
)

,









шарты орындалғанда

теңдеулерді мүшеле⑴ 
бөлу 
әдісі
);

⑯
;

л  ⑅лынған салдарға 
салдарларының ⑯е⑬ ⑯елгенін ✠олданы⑴, тағы салдар 
алуға болады және ол д✨рыс болады салдар дегенімі⑬ ✠андай да бір математи⑯алы✠ іс
-
әре⑯ет нәтижесі е⑯енін түсін
.

⑆▬л салдарларды▨ барлы■ы мылжы▨ 
ж
қне

ес⑯е  са▤тау ▪шін берілген іш 
⑴ыстыратын теориялы▤ материал емес,

іс
-
қре⑯ет⑯е басшылы▤ жасау ▪шін берілген.

⑔қтерді▨ ⑯ілті ▤айда е⑯енін білмесе▨
,

не істер еді▨?

⑉▬рыс
ы
,

і⑬дейсі

:

ш⑯а⑹ты,

с▶ре
н
і,

бол■ан орындарды,

миниму
м 25 рет 
▤алтаны

тінті⑴ 
ш
ы
■асы

. ⑗і⑴ті  ше▨бер жаса⑴
,

бірнеше рет айналы⑴ шы■асы

.


се⑴ті


шешуін осылай і⑬деу ⑯ере⑯.

⑋▪йелерді шешетін 
болса▨ы⑬ 
-

те▨деулерді м▬▤ият ⑬ертте▨і⑬.

⑋а■дай■а байланысты те▨деулерді бір
-
біріне 
▤осы⑴ немесе а⑬айты⑴,

⑯▶бейті⑴ немес
е б▶лі⑴ ⑯▶рі▨і⑬.

⑊гер еште▨е  шы▤⑴аса,

онда 
бірнеше т▪рлендірулерден ⑯ейін та■ы бірдемелерді ▤олдану■а тырысы▨ы⑬.

⑆ай▤а⑴ 
⑯▶рі▨і⑬,

те⑯сер
і▨і⑬ жқне 
та■ы

те⑯сер
і▨і⑬.


⑋ат▤ан тасты▨ астын
ан

су 
шы
▤⑴айды

.

Мысалдарға ⑯өше
л
і

.

1
-
мысал
.

⑋үйені шешің
дер
:

⑝ешуі
. ⑊⑯інші теңдеуден 
.

үшін алынған өрне⑯ті бірінші теңдеуге 
✠оямы⑬
:

.
⑆ірінші дқреже е⑯іншіден жа▤сы
.

166


,
.


Сол жағы   

⑹ормуласы бойынша түрлендіріледі:

,

,

.

.

⑋ауабы:
, м✨ндағы 
.

2
-
мысал.

⑋үйені 
шешіңдер
:

⑝ешуі
.

⑗е▨деулерді▨ сол жа■ында■ылар бір ⑹ормуланы▨ ▤осыл■ыштары е⑯енін 
⑯▶ру ▤иын емес немесе е⑯і ⑹ормуланы▨.

⑊⑯і теңдеуді бірінші ретте мүшеле⑴ ✠осы⑴,

е⑯інші 
ретте мүшеле⑴ а⑬айты⑴
,

балама 
жүйе аламы⑬:





⑆ір

ма▨ы⑬ды

сқт⑯е

на⑬ар

аудар:

бірінші

жқне

е⑯інші

те▨деулерде

қрт▪рлі

б▪тін

санды


жқ
н
е


⑴араметрлері 
▤олданылады
. ⑝ынды■ында,


жқне

те▨ді⑯те
р
і

бір
-
біріне

тқуелсі⑬

орындалады.

⑊⑯і

шешімді

бір

⑴араметр

ар▤ылы

жа⑬у

т▪бірлерді▨

жо■алуына

қ⑯еледі
. ⑓сы те▨деулерді▨ айырымы мына те▨ді⑯⑯е 
қ⑯еледі......... 

Соңғы е⑯і теңдеудің ✠осындысы мына нәтижені береді:

. ⑓сы теңдеулердің айырымы мына 
теңді⑯⑯е ә⑯еледі:  
.

⑋аубы:
, м✨ндағы


және 



⑯е⑬ 
⑯елген бүтін сандар.

3
-
мысал
. ⑋үйені шешің
дер
:

167


⑝ешуі
.  ⑊⑯інші теңдеуді түрлендіремі⑬:



,


1.

⑊гер 

болса, 

онда
.
⑆аста⑴✠ы

жүйедегі

бірінші

теңдеуге

✠оямы⑬
:
.

⑊гер 



ж✨⑴ сан болса,

яғни


⑯ейбір бүтін 

сан үшін

теңдеу

мынадай

түрге

⑯еледі
:

,
,
,
,

б✨дан
.

⑊гер  



та✠ сан болса, яғни
, онда теңдеу мына түрге ⑯еледі:  
,
,
,
, б✨дан
.

2.

⑊гер 
,
онда
.
⑆аста⑴✠ы теңдеуге 

✠ойы⑴, аламы⑬

:
.

⑊гер 


ж✨⑴ сан болса, яғни 
,

онда теңдеу мына түрге ⑯еледі
:

,

,

,

.

,

себебі еш✠андай ⑯⑧адрат теңдеу теріс санға тең бола алмайды.


⑊гер 



та✠ сан болса, яғни 
, онда теңдеу мына түрге ⑯еледі:





,

.

Сонда 
.

⑋ауабы.
,

,


,

м✨ндағы
.


⑊се⑴тер

1


өлім


⑗ригонометриялы✠

теңдеулер

жүйелерін

шешіңдер:

1.

;




2.

;

168


3.

;




4.
;

5.

;




6.

;

7.

;




8.

;

9.

;




10.

;

11.
;



12.

;

13.

;




14.
;



15.

;



16.

;



17.

;



18.


;



19.

;




20.

;



21.



2

⑆өлім

⑗ригонометриялы✠

теңдеулер

жүйелерін

шешіңдер:


22.

;



23.
;




169


24.

;



25.

;

26.
;


27. ⑗еңдеуді шешің
дер
:
.

28. ⑅санда 100 тыш✠ан бар,

олардың ⑯ейбіреулері а✠,

⑯ейбіреулері с✨р түсті.

⑆ір 
тыш✠анның  с✨р е⑯ені,

ал ⑯е⑬

⑯елген  е⑯і 

тыш✠анның біреуінің а✠ е⑯ені белгілі.

⑅санда 
неше с✨р тыш✠ан бар?

(A) 1


(B) 49


(C) 50


(D) 99


(E)
аны✠тау мүм⑯ін емес.

29.
⑗иынн
ың бір жағы
нда


⑻и⑹р
⊿,

е⑯інші

жағы
нда


елтаңба
⊿ 
бар
.
⑗и
ы
нды 
ла✠тырғанда міндетті түрде бір жағымен түседі. ⊾
⑛и⑹ры


немесе ⊾
елтаңба
сы


бар 
жағымен 
түсу ы✠тималдығы бірдей.


иынды

3 рет ла✠тырады.

⑊⑯інші ла✠тырғанда, 

елтаңба
с
ы


бар жағының 
түсу ы✠тималдылығы ✠андай?

⑅1/2


B)1/4


С1/8


D)2/3


⑊1/3


⑋ауа⑴тары
:

1.
;


2.
.

3.

4.
;
;

5.
;
;

6.
;

7.

8.
;

9.
;
.

10.

;

11.
;

12.

;

13.
;

14.
;

170


15.
;

16.
;

17.
k

и
n

⑼исла одной ⑼етности
;

18.
;

19.
;

20.

21.

22.
;

23.
;

24.
;

25.
;

26.
;

27.
.

28.


.

29.


.


⊑4 ⑗ригонометри
ялы✠ теңсі⑬ді⑯тер


4.1.

✟ара⑴айым

тригонометриялы✠  теңсі⑬ді⑯тер 



а▤ыры⑴ты жа▤сы 
талдауды


⑯ере
гі жо▤ де⑴ ойла⑴
,

тест жқне ба▤ылау 
ж▬мыстарына уа▤ыты▨ы⑬ды бос▤а ⑯етірі⑴,

нашар ба■алар 
жарайды десе▨
,

онда 
жатты■уларды орында


жқне теорияны о▤ы
⑴ қуре болмай, б
ірден ⑴ун⑯т со▨ында■ы 
⑹ормулалар ⑯естесіне ⑯▶ш. 

1
-
жаттығу.

⑗ригонометриялы✠ шеңберді сы⑬ы⑴,  
O
у

осі бойында

-
ді белгіле.

⑆елгіленген нү⑯те ар✠ылы гори⑬онтал⒁ тү⑬уді шеңбермен ✠иылыс✠анша жүргі⑬. 
¸у

осінің 
[




]

⑯есіндісінде  
-
ден арты✠ болатын сандарды табың
дар
.

⑊гер та⑴саң,

оларды түсті 
✠аламмен

немесе ✠арындаш
⑴ен боя.

⑝еңбер бойынан е⑯інші ⑯оординатасы ордината 
боялған бөлі⑯⑯е түсетін нү⑯телерді табың
дар
.

⑆✨л нү⑯телердің ординатасы 
-
ден арты✠.

⑝еңбер бойынан табылған нү⑯телерді боя

⑝еңберді дөңгеле⑯⑴ен шатастырма. ⑝еңбер


дөңгеле⑯тің ше⑯арасы.

⑆оядың

б
а
?
⑊нді то✠та.

✟✨тты✠таймы⑬
.


а⑬ір 
теңсі⑬дігін 
шештің
дер
.

⑓йлан,

✠алай
?

171


2
-
жаттығу
. ⑗еңдеуді 
шешіңдер
:
.  ⑆✨л теңдеудің шешімі б✨рыштардың е⑯і 
то⑴тамасы:

то⑴тамасы 

⑺  
,


то⑴тамасы 



+
.

⑝еңберде
,


және 

нү⑯телерін белгіле. ⑝еңбердегі  

және  

доғаларын ✠арастырамы⑬

⑉оғалар бірінші нү⑯теден е⑯інші нү⑯теге ✠арай сағат тіліне ✠арсы белгіленеді!.

⑊гер  
нү⑯тесі 

доғасына түсетін болса,

онда 


б✨рыштың ⑯осинусы мен  

санын 
салыстыр:

✠айсысы

үл⑯ен? ⑊гер 

нү⑯тесі 

доғасына түсетін болса,

онда 
дәл 
осындай салыстыру жасаң
дар
.

3
-
жаттығу
. ⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:
.


⑗ангенс осінде 

санын 
)

және 


-
тен ⑯ем барлы✠ санды белгіле.

⑝еңбердің 
⑻ентрі және белгіленген әрбір нү⑯те ар✠ылы бір
-
біріне тү⑬у жүргі⑬ілген де⑴ елестетің
дер
.
⑓сы тү⑬улердің 
тригонометриялы✠ шеңбермен ✠иылысу нү⑯телерін боя.

⑆оялған нү⑯телер 
жиыны
теңсі⑬дігінің шешімімен ✠алай байланыс✠ан? ⑓сы теңсі⑬ді⑯тің шешімін 
аралы✠тар түрінде ө⑬ бетің
ш
е жа⑬ы⑴ ⑯өрің
дер
.



бар теңсі⑬ді⑯тер

1
-
мысал. 

⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:
.

⑓й ж▪гірту
.

б✨рышының синусы 


нү⑯тесінің ординатасы.   ¸Â осіндегі 

нү⑯те ар✠ылы гори⑬онтал⒁ тү⑬у жүргі⑬емі⑬.

⑆і⑬ синусы 
-
ден ⑯ем немесе
-
ге тең 
б✨рыштарды і⑬деймі⑬. ⑓лар ¸
у

осінде 
-
ден жоғары емес орналас✠ан. ⑉еме⑯, 

нү⑯телері ше
ң
бердің төменгі доғасында 
жататын



б✨рыштарын і⑬деймі⑬

(27
-
сур. 
✠араңы⑬
).


27
-
сурет


⑆арлы✠ осындай б✨рыштарды аралы✠ түрінде жа⑬у ✠алды. 
теңдеуінің 
шешімі  
, м✨ндағы 

то⑴тамасы болы⑴ табылады. 





⑓сы б✨рыштарды шеңберде белгілеймі⑬

ары ✠арай  

орнына 
x

жа⑬амы⑬.

⑏е⑬ 
⑯елген доға ⑯іші б✨рыштан үл⑯еніне ✠арай сағат тіліне ✠арсы жа⑬ылады

(28
-
сур. ⑆і⑬ді 
172


мына

доға ✠ы⑬ы✠тырады: ≉
.

⑅лынған мән әрбір толы✠ айналым сайын 
✠айталанатынды✠тан
,

соң
ғы

аралы✠ түрі 

,
.


28
-
сурет

⑝ешуі
.
.

.

⑋ауабы
:
[
,
м✨ндағы
.

⑊гер б
і



те▨сі⑬дігін шешсе⑯,

онда жо■ар■ы до■а ▤ы⑬ы▤тыр■ан болар еді:


м✨ндағы
.


⑓рта▤ жа■дайды ▤арастыру ▪шін

барлы■ы 
дайын
.

және
, м✨ндағы 

С
алыстыру ⑯ере⑯ болс
а, онда 

теңдеуінің 
шешімі 

то⑴тамасы болады.

,

,




29
-
с
урет



⑊⑯і доға

бар
:
жоғарғы


және төменгі

(29
-
сур
).

оғарғы доғадағы нү⑯телердің ординатасы

-
дан арты✠.

⑗өменгі доғадағы 
нү⑯телердің ординатасы 
-
дан ⑯ем.

Сәй⑯есінше, 

теңсі⑬дігінің шешімі
аралы✠тар то⑴тамасы болы⑴ табылады; 

теңсі⑬дігінің шешімі


аралы✠тар то⑴тамасы 
болы⑴ табыла
ды.

⑓сыған ✨✠сас, 

,

.

173


-
ті 1
-
ге және 1
-
ге тең ететін жағдайлар,

же⑯е
лей

✠арастыру
ға

лайы✠.


⑝еңбердің ең жоғарғы нү⑯тесінен бас✠аларының бәрінің ординатасы 1
-
ден ⑯ем.

⑊ң 
жоғарғы нү⑯те сәй⑯ес ⑯елетін барлы✠ б✨рыштар

⑹ормуласымен си⑴атталады. 
⑉еме⑯,

,

,


,




30
-
сур
ет

⑓сы сия✠ты,


түріндегі 

б✨рыштардың бәрінің ординатасы 

1)
-
ге тең. ✟алған 
б✨рыштарға ординатасы 

1
-
ден арты✠ болатын шеңбер бойындағы нү⑯телер сәй⑯ес ⑯еледі.

Сонды✠тан,  

,

,

,




✟✨рамында

⊐⊜⊠


б
ар


теңсі⑬ді⑯тер



⑊нді

✠✨рамында

⑯осинусы

бар

теңсі⑬ді⑯терді

✠арастыра
л
ы

.

теңдеуі шешімінің е⑯
і то⑴тамасы бар:


және 
.
⑝еңберде мына б✨рыштарды белгілеймі⑬:

,

ж
әне

.



31
-
сур
ет

е⑯енін бай✠аймы⑬.

⑊⑯і доға бар: оң 
жағы

және сол 
жағы

.


⑓ң жа✠тағы доғадағы нү⑯телердің абс⑻иссасы 
а
-
дан арты✠;

сол жа✠тағы доғадағы 
нү⑯телердің абс⑻иссасы 

-
дан ⑯ем

(31
-
сур
ет
).

⑉еме⑯,




.

⊐⊜⊠


мәні 1 немесе 

1
-
ге тең болатын ⊾

⑯стремал⒁д
і


теңсі⑬ді⑯тер де 
тригонометриялы✠ шеңбер ⑯өмегімен шешіледі. 
⑝е▨бер



с
ен
і▨ досы▨
. Мысалы
,
мынадай 
теңсі⑬ді⑯тер берілсін:

174


. ⑝еңберден абс⑻иссасы 1
-
ден ✠атаң арты✠ болатын нү⑯телерді і⑬деймі⑬.

␼⑬деймі⑬ 


біра✠ та⑴⑴аймы⑬.

⑉еме⑯,

.

. ⑝еңберден абс⑻иссасы 1
-
ден ⑯ем болатын нү⑯телерді і⑬деймі⑬.

М✨ндай 
нү⑯телер оң 
жа✠тағы ең шет⑯і нү⑯теден бас✠аның  бәрі е⑯енін түсін
емі⑬. ⑊ң шет⑯і нү⑯теге 
түсетін 
б✨рыштар


то⑴тамасымен си⑴атталады. Сонды✠тан,


теңсі⑬дігінің 
шешімі 
-
дан бас✠аның бәрі. 
.

. ⑝еңберден абс⑻иссасы 1
-
ден арты✠ немесе 1
-
ге тең болатын нү⑯телерді 
і⑬деймі⑬.

⑅бс⑻иссасы 1
-
ден арты✠ нү⑯телер жо✠,

ал 1
-
ге тең болатын бір
-
а✠ нү⑯те бар.

⑆✨л 
нү⑯тенің барлығы б✨рыштары

түріне ие 
,
.

2
-
мысал.

⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:
.

⑝ешуі
. ⑅йнымалыны  алмастырамы⑬:  
.

⑗еңсі⑬ді⑯ті шеше
л
і
⑯:

.


теңдеуінің шешімі  

Мына б✨рыштарды белгілеймі⑬: 
,
,
.



32
-
сур
ет

⑉оғаның сол жағындағы б✨рыштар үшін 

(32
-
сур
ет
).

⑓сы доғаның 
б✨рыштарын жа⑬амы⑬ ⑯іші б✨рыштан үл⑯еніне ✠арай сағат тіліне ✠арсы
.


,



,

,


⑋ауабы
:
, м✨ндағы
.


✟✨рамында


ж
әне


б
ар теңсі⑬ді⑯тер


⑗е▨сі⑬ді⑯ : 
.

⑝еңбер

және

тангенс

осін

сы⑬амы⑬.


⑗ангенс

осінде

а

нү⑯тесін

және

шеңберде

оған

сәй⑯ес


б✨рышын

белгілеймі⑬.

175




33
-
сур
ет

а
-
дан арты✠ болатын тангенстер тангенс осіндегі 
а

санынан жоғары орналас✠аны 
⑯өріні⑴ т✨р

(33
-
сур
ет
; оларға сәй⑯ес ⑯елетін б✨рыштар 
-
дан 

-
ге дейінгі доғаны 
және ⑯оордината басына ✠атысты симметриялы доғаны ⊾толтыры⑴⊿ т✨р; б✨л е⑯інші 
доғаның нү⑯телері біріншінің нү⑯телерін 
π

б✨рышына б✨рғанда ⑴айда бол
ады.

Сонды✠тан 
жауа⑴:
.

⑏елтірілген ⑴і⑯ірлерден 

теңсі⑬дігінің шешімі 
аралы✠тар то⑴тамасы болатыны түсіні⑯ті. 


⑗е▨сі⑬ді⑯:

.


доғадағы және ⑯оордината басына ✠атысты оған симметриялы доғадағы 
б✨рыштардың ⑯е⑬ ⑯елгенінің тангенсі 
а
-
дан ⑯ем. ⑉еме⑯,

және 

(33
-
сур
ет
).


⑗е▨сі⑬ді⑯: 



✠асиеті орын алатынды✠тан,

баста⑴✠ыда  0
-
ден  
π
-
ге дейінгі дербес 
шешімдерді,

одан соң жал⑴ы шешімдерді табу мүм⑯інді

б
олады

(34
-
сур
ет
).


34
-
с
урет


0
-
ден 
-
ға дейінгі доғадағы ⑯е⑬ ⑯елген 


б✨рышы үшін

теңсі⑬дігі 
орындалады.

⑉еме⑯,

,
.

-
дан 
-
ге дейінгі доғадағы ⑯е⑬ ⑯елген б✨рыш үшін 

теңсі⑬дігі 
орындалады. ⑉еме⑯,

.
⑓сы
дан 

176


3
-
мысал.

⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:

⑝ешуі
. ⑅
лмас
тыру

тәсілін ✠олданамы⑬
:


( 35
-
сур. теңсі⑬дігін шешемі⑬
.



35
-
сурет

,

,

,


⑋ауабы:

м✨ндағы



⑊се⑴тер 

1
-
бөлім

⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:

◁◸╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
;


)
;

◁◹╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
╡ ┟
)
;

◁◺╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;


┛▊
;

┟▊
;

◁◻╣ а▊ 
;
б▊
╡┚▊
╡┛▊
;
┟▊
;

◁◼╣ а▊ 
;
б▊
╡┚▊
╡ ┛▊
;
┟▊
;

◁◽╣  а▊ 
;
б▊
╡  ┚▊
╡  ┛▊
;
┟▊
;

◁◾╣ а▊ 
;
б▊
╡ ┚▊
╡ ┛▊
;

┟▊
;

◁◿╣ а▊ 
;
б▊
;


┚▊
╡  ┛▊
;

177


┟▊
;

◁☀╣ а▊ 
;
б▊
╡ ┚▊
╡ ┛▊
;
┟▊
;

◁◸◷╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
╡   ┛▊
;

┟▊
;

◁◸◸╣ 
⑙ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын табың
дар
:

а▊ 
╡   б▊

┚▊
╡  ┛▊
.

2
-
бөлім

⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:

◁◸◹╣ а▊
;

б
)
;

┚▊
╡ ┛▊
;

)
;

◁◸◺╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
;
┟▊
;

◁◸◻╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
╡ ┟
)
;

◁◸◼╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
╡ ┟
)
;

◁◸◽╣ а▊ 
;

б▊
╡  ┚▊
╡ ┛▊
;
┟▊
;

◁◸◾╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
╡ ┛▊
;
┟▊
;

◁◸◿╣ а▊ 
;
б▊
╡┚▊
;

┛▊
;

┟▊
;

◁◸☀╣ а▊ 
;
б▊
╡┚▊
╡┛▊
╡┟
)
;

◁◹◷╣ а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
;

┟▊
;

178


◁◹◸╣ а▊ 
;

б▊
╡┚▊
;

┛▊
;
┟▊
;

◁◹◹╣ а▊ 
;

б▊
╡┚▊
;

┛▊
;
┟▊
;

⒖23. ⑙ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын аны✠таң
дар
:

а▊ 
╡   б▊

┚▊
╡  ┛▊
.

◁◹◻ 
⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:


а▊ 
;

б▊
;

┚▊
;

┛▊
;
┟▊
.





25.
2 ⑋үйені 
шешіңдер
:
;







26.
2⑗еңсі⑬ді⑯ті 
шешіңдер
:
;

27.
(2)

⑗е⑯шенің толы✠ бетінің ауданы 24 см
2
.⑗е⑯шенің ⑯өлемі неге тең? 


⑅ 4


⑇ 6


С8


D
) 10



E
)12

(
те⑯ше

см


⑋ауа⑴тары
:

1.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

2.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

3.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

4.

а▊ 

б▊ 
┚▊ 

179



┛▊ 

┟▊ 

5.

а▊ 

б▊ 


┚▊ 

┛▊ 

┟▊ 


6.

а▊ 

б▊ 

┚▊ 

┛▊ 

┟▊ 

7.

а▊ 

б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

8.

а▊

б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

9.

а▊ 

б▊ 


┚▊ 

┛▊ 

┟▊ 

10.

а▊ 

б▊ 


180


┚▊ 
┛▊ 

┟▊ 

11.

а▊
б▊
┚▊ 

┛▊

12.

а▊

б▊ 

┚▊
┛▊
┟▊

13.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

14.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

15.

а▊ 
б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

16.

а▊ 

б▊ 
┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

17.

а 

б▊ 


┚▊ 

┛▊ 

181


┟▊ 

18.

а▊ 

б▊ 

┚▊ 

┛▊ 

┟▊ 

19.

а▊ 

б▊ 

┚▊ 


┛▊ 

┟▊ 

20.

а▊

б▊ 

┚▊ 
┛▊ 


┟▊ 

21.

а▊ 

б▊ 


┚▊ 

┛▊ 

┟▊ 

22.

а▊ 

б▊ 


┚▊ 
┛▊ 

┟▊ 

182


23.

а▊ 

б▊ 
┚▊ 
┛▊ 

24.

а▊ 

б▊ 
┚▊ 
┛▊ 

┟▊ 

25.
;

26.
;


27. 8



4.2.

✟ара⑴айым

тригонометриялы✠ теңсі⑬ді⑯тер жүйесі


⑊гер бі⑬ бірде▨е білсе⑯,онда оны математи⑯аны  
⑬ерттеу ар▤асында білді⑯.  



⑔⒁ер ⑈ассенди


4
-
мысал
.
⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін 
шешіңдер
:

⑝ешуі
.

⑆ірінші және е⑯інші теңсі⑬ді⑯ті ✠анағаттандыратын 


б✨рыштарының жиыны 
тригонометриялы✠ теңсі⑬ді⑯тер жүйесінің шешімі болы⑴ табылады.

⑏елесі е⑯і ✠адамды  
алгоритм ✠ара⑴айым тригонометриялы✠ теңсі⑬ді⑯терді шешудегі жетісті⑯⑯е ә⑯еледі.

1
-
✠адам.

⑆ірінші теңсі⑬ді⑯ті ✠анағаттандыратын шеңбердің доғасы
н

бір түс⑴ен
,

е⑯інші теңсі⑬ді⑯ті ✠анағаттандыратын доғаны бас✠а түс⑴ен бояймы⑬

бояу ⑯ере⑯.


2
-
✠адам.

М


нү⑯тесі е⑯і рет боялған бөлі⑯⑯е түсетін 


б✨рыштардың жиыны 
теңдеулер жүйесінің шешімі

болады.

✟андай

да бір дербес шешімді жа⑬амы⑬.

Әрбір

е⑯і 
рет боялған доғаны жа⑬у ⑯е⑬інде ⑯іші б✨рыштан үл⑯еніне ✠арай сағат тіліне ✠арсы 
✠о⑬ғаламы⑬.

⑔ериодтылы✠ты ес⑯ері⑴
,

жал⑴ы жауа⑴ аламы⑬ 36
-
сур
ет
).



36
-
сур
ет

⑋ауабы
:
.

⑆✨л жауа⑴ бас✠а түрде

болуы мүм⑯ін

м✨ндағы 

(

елі⑯тен?

5
-
мысал
.

⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін 
шешіңдер

:

183



37
-
с
урет

⑋ауабы

:

м✨ндағы 

(37
-
сур
ет.
)

6
-
мысал
.

⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін 
шешіңдер

:


38
-
с
уре
т

⑋ауабы
:
,
м✨ндағы


(38
-
сур
ет
).

⑓сы жауа⑴тың бас✠а түрі
:

,
м✨ндағы
.

7
-
мысал
.

⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін 
шешіңдер
:

⑝ешуі
.

⑊⑯інші теңсі⑬ді⑯тің шешімі 

жо✠, деме⑯
,

е⑯і теңсі⑬ді⑯ті ✠анағаттандыратын



-
тің мәндері жо✠. 

⑋ауабы:
.


⑊се⑴тер

1


өлім


⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін 
шешіңдер
:

1.
(1)
;





2.
(1)
;

184


3.
(1)
;





4.
(1)
;

5.
(1)
;





6.
(1)
;

7.
(1)
;





8.
(1)
;


9.(2)





10.(2)

11.(2)





12. (2)

13.(2)





14.(2)


15. (2)





16.(2)


⑙ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын аны✠таңдар
:

17. 2 а 
;


б 
;

⑙ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын аны✠таңдар
:

18. 3 а 
;


б 
;


2


өлім


⑗еңсі⑬ді⑯тер жүйесін шешіңдер:


19.
(1)
;





20.
(1)
;



185


21.
(1)
;





22.(1)
;



23.(1)
;





24.(1)
;



25.(1)
;





26.(1)
;


27.(1)
;




28.(1)
;


29.
(2)
;





30.
(2)
;



31.
(2)
;





32.(2)

;



33.(2)
;





34.(2)
;



35.(2)
;





36.(2)
;


⑙ун⑯⑻ияның аны✠талу облысын табыңдар:37, 38


37. 2 а 
;


б 
;

38. 3 а 
;


б 
;


39.

(2)
①✠шамдаңдар
:


40.

(3)
Сері⑯ б
ір 
⑯ө⑯өністі
ң

⑯илограмы және бас✠а 
⑯ө⑯өністі
ң

10 ⑯
г

үшін 2000 теңге 
төлейді.


гер

маусымды✠ бағалардың ө⑬геруі ⑯е⑬інде бірінші 
⑯ө⑯өніс

15%
-
ға,

е⑯інші 
⑯ө⑯өніс

25%
-
ға ар⑬андаса,

онда осындай мөлшердегі 
⑯ө⑯өністе
р үшін 1820 теңге төленді.

Әрбір

⑯ө⑯өністі
ң

⑯илограмы ✠анша т✨рады?

186


41.2 ①✠шамдаңдар: 


42.(2)
⑝ешіңдер
:


⑋ауа⑴тары:

1.
;

2.
;

3.
;

4.
;

5.
;

6.
;

7.
;

8.
;

9.
;

10.
;

11.
;

12.
;


13.
;

14.
;

15.

16.
;

17.

б

18.

б

187


19.
;

20.
;

21.
;

22.
;

23.
;

24.
;

25.
;

26.
;

27.

28.

29.
;

30.
;

31.

32.
;

33.

34.
;

35.
;

36.

37.
; б

38.
; б

39.
.

40. 800 те
ң
ге 
және

120 те
ң
ге.

41.
.

42. (1; 1), (2; 0)
.


188




С✧⑐⑗⑅⑒✛⑅⑌⑍⑒  ✱мір⑬а✠ 
(1936

2005)

⑙и⑬и⑯а
-
математи⑯а ғылым
дар
ының до⑯торы 1972, ⑴ро⑹ессор 1974, ✟Р ✧✛⑅ а⑯адемигі 1983, 
✟Р ✧✛⑅ математи⑯а және ме⑺ани⑯а институтының дире⑯торы 
(1978

1988, ⑹и⑬и⑯а
-
математи⑯а 
ғылым
дар
ының а⑯адеми⑯
-
⑺атшысы 1985

1986, ✟Р ✧✛⑅ ⑧и⑻е
-
⑴ре⑬иденті 1986

1988, ✟Р ✧✛⑅  
⑴ре⑬иденті 1988

1994). 1991


2005 жж.  


✟Р ✧✛⑅ ғарышты✠ ⑬ерттеулер институтының 
дире⑯торы.


⑗✨ңғыш ✠а⑬а✠ ғарыш⑯ері ⑗о✠тар Әубә⑯іро
⑧тің ✨шуының ғылыми бағдарламасын іс⑯е асырғаны 
үшін ⑐енин орденімен 1991 мара⑴атталды. ✱.С✨лтанға⑬ин  ✨ш✠ыш
-
ғарыш⑯ер ⑗алғат 
М✨сабае⑧тың ✨шуының ғылыми бағдарламасын іс⑯е асырғаны үшін Мемле⑯етті⑯ сыйлы✠тың 
иегері 1987 атанды, ⑏еңесті⑯ ⑏СР⑓ ✛ылым ⑅⑯аде
миясы және ⑜е⑺осло⑧а⑯ияның ✛ылым 
⑅⑯адемиясы сыйлы✠тарының иегері 1989,  2004 жылы ⊴⑔арасат⊵ орденімен мара⑴атталды.



ның

150
-
ден

астам ғылыми ж✨мыстары бар
,
оның

6
-
уы

моногра⑹и
я
.
✛ылыми

ж✨мыстары 
ди⑹⑹ерен⑻иал
ды✠ теңдеулерге арналды. ✱⑬ өмірін матема
ти⑯алы✠ ⑹и⑬и⑯аға, есе⑴теуіш 
математи⑯аға, санды есе⑴теу тәсілдерін ✠олдануға арнады, сол сия✠ты тасымалдаудың 
⑯инети⑯алы✠ теориясын, ⒂⑯ологиялы✠ жүйелерді математи⑯алы✠ модел

деуді, ✠оршаған орта
ға

ғарышты✠ мониторинг жүргі⑬уді, ядролы✠ ✠ауі⑴сі⑬ді⑯тің мәсе
лелерін ✠арастырды, оның ғылыми 
еңбе⑯терін шет

елдерде мойындады. ✟а⑬а✠стан Рес⑴убли⑯асының ✛арышты✠ ⑬ерттеулер және 
те⑺нологиялардың ✨лтты✠ орталығына ✠арасты ғарышты✠ ⑬ерттеулер институтына оның есімі 
берілді. 


⑅▤⑴араттар ⑯▶⑬і:

http://gzi.kz/, http://a
kademiyanauk.kz/ru/




Приложенные файлы

  • pdf 23856441
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий