2семестр_практ1-7

II Раздел. Логические основы математики.
Математические понятия
2
4

6

4

10

Математические предложения
6
10

16
10
26

Математические доказательства
2
2

4
2
6

Алгоритмы и их свойства.
2
2

4
2
6

Подготовка к тестированию




2
2

III Раздел. Текстовая задача и процесс ее решения.
Положительные скалярные величины, методы и способы решения задач, логические задачи.
4
8

12
10
22

IV Раздел. Комбинаторные задачи и элементы теории вероятностей
4
4

8
6
14

Контроль самостоятельной работы


4
4

4

Подготовка к 2-му текущему тестированию




2
2

Консультации, подготовка к экзамену




36
36

Вариативная составляющая СРС




4
4

Итого за семестр
20
30
4
54
60
114

2 семестр


п/п
Виды оцениваемых учебных работ
Сумма
балов


1 модуль «Математические утверждения и их структура. Алгоритмы и их свойства»


1
Контрольный тест по разделу (30 вопросов)
15

2
Отбор и подготовка заданий, соответствующих данной теме из учебников математики начальной школы (3 задания)
3

3
Подготовка ответов по ключевым теоретическим вопросам лекционного курса
2

4
Выполнение аудиторной самостоятельной работы (5 заданий)
5

5
Активное участие на практических занятиях №1-9 (решение аудиторных математических задач)
2

6
Защита домашних работ
3


Итого 1 модуль.
30


2 модуль. «Текстовая задачи и процесс ее решения. Комбинаторные задачи и элементы теории вероятностей»


7
Контрольный тест по разделу (30 вопросов)
15

8
Отбор и подготовка и решение текстовых задач из учебников математики начальной школы с использованием моделирования с учетом различных способов решения (5 задач), подбор комбинаторных задач (2 зад) и заданий по математике логического характера олимпиадного характера для учащихся начальной школы, его анализ и решение
5

9
Выполнение аудиторной самостоятельной работы (5 заданий)
5

10
Подготовка ответов по ключевым теоретическим вопросам лекционного курса, Активное участие на практических занятиях №1-7 (решение аудиторных математических задач)
3

11
Выполнение работы, соответствующей вариативной составляющей СРС
2


Итого 2 модуль.
30


Присуждение рейтинговых балов при выставлении зачета за дополнительные достижения.


1
Выполнение индивидуальных заданий повышенной сложности
Участие в региональной олимпиаде по математике и информатике среди младших школьников
20-40


Итого за дополнительные достижения по дисциплине.
20-40


Всего за семестр по дисциплине.
100


Практическое занятие №1 по теме:
«Объем и содержание понятия.
Отношения между понятиями»

Цель: сформировать у студентов понятие объема и содержания понятия, существенных и несущественных свойств объекта; выработать умения определять отношения между понятиями.
Вопросы для самоподготовки
1. Какие различают свойства объектов?
2. Какие свойства называют существенными?
3. Какие свойства называют несущественными?
4. Что называется объемом понятия?
5. Что такое содержание понятия?
6. Какие отношения между понятиями вам известны?
7. В каком случае понятие является видовым по отношению к другому понятию?
8. В каком случае понятие является родовым по отношению к другому понятию?
9. Как вы понимаете отношение части и целого между понятиями?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1 Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объему понятия:
а) параллелограмм, б) трапеция, в) окружность.

Задача № 2. Назовите пять существенных свойств понятия:
а) треугольник; б) круг.

Задача № 3 Каков объём понятия:
а) однозначное число; б) натуральное число; в) луч.

Задача № 4. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Какое из следующих утверждений верно:
а) всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику;
б) всякое свойство прямоугольника присуще квадрату.

Задача № 5. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:
а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол;
в) ромб и квадрат; г) круг и окружность.

Задача № 6. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объёмами понятий а, в и с, если:
1) а – «четырёхугольник», в – «трапеция», с – «прямоугольник»; 2) а – «натуральное число, кратное 3», в – «натуральное число, кратное 4», с – «натуральное число».

Задача № 7. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «чётное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трёхзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении:
а) рода и вида; б) целого и части.

Домашнее задание
1. Назовите пять существенных свойств понятия:
а) прямоугольник; б) трапеция.

Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:
а) две стороны трапеции параллельны;
б) основания трапеции горизонтальные;
в) оба угла при большем основании острые;
г) оба угла при меньшем основании тупые;
д) сумма внутренних углов трапеции равна 360(.

Верно ли, что объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат»? Какая взаимосвязь существует между содержанием этих понятий?

Среди следующих свойств выделите те, которыми обладает квадрат:
а) диагонали делят друг друга в точке пересечения пополам;
б) диагонали делят углы пополам.

5. Какими свойствами из названных в предыдущей задаче обладает:
а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб.

6. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объёмами понятий а, в и с, если: а – «треугольник», в – «равнобедренный треугольник», с – «равносторонний треугольник».

Практическое занятие №2 по теме:
«Определение понятий»

Цель: сформировать у студентов понятие определения и основных составляющих элементов определения, требования к определению понятий, выработать умения формулировать определение через род и видовое отличие с учетом правил, формулировать определения различными способами.
Вопросы для самоподготовки
1. Что называется определением понятия?
2. Какие вы знаете определения?
3. Какие части есть в определении?
4. Какова схема определения понятий через род и видовое отличие?
5. Какие существуют требования к определению понятий?
6. Как даются определения в начальном курсе математики?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:
а) чётным называется число, которое делится на 2;
б) множества А и В называются равными, если А ( В и В ( А.

Задача № 2. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие и видовое отличие:
а) параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
б) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Задача № 3. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии определения «Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам».

Задача № 4. Соразмерно ли следующее определение: «Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол».

Задача № 5. Учащийся определяет прямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

Задача № 6. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, исправьте их:
а) прямоугольником называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны;
б) биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

Задача № 7. Дайте определение тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

Домашнее задание
Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии определения «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Соразмерно ли следующее определение: «Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого есть прямой угол».

Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, исправьте их:
а) сложением называется действие, при котором числа складываются;
б) равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы;
в) параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

4. Сформулируйте определение прямоугольника, используя в качестве родового понятие «четырехугольник».

Практическое занятие №3 по теме:
«Высказывания и высказывательные формы»

Цель: сформировать у студентов понятия высказывания и высказывательной формы, элементарного и составного предложения, логической структуры предложения, выработать умения различать среди различных предложений высказывания и высказывательные формы, находить множество истинности высказывательных форм, определять логическую структуру предложений.
Вопросы для самоподготовки
Что называется высказыванием?
Какие значения могут принимать высказывания?
Что называется высказывательной формой?
В чем отличие между высказывательной формой и высказыванием?
Что называется множеством истинности высказывательной формы?
Какие логические связки вам известны?
Какие предложения называются составными?
Какова структура составного предложения?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. Среди следующих предложений укажите высказывание и определите их значение истинности:
а) (12 –7)(6 + 3) = 45;
б) (15 + 12): 3 > 10;
в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны; г) 4 (12 – х) = 24;
д) среди четырёхугольников есть такие, у которых все стороны равны;
е) число z – двузначное;
ж) произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174;
з) число 6 является корнем уравнения: 4 (12 – х) = 24.

Задача № 2. Какие из предложений задачи 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось: а) истинное высказывание, б) ложное высказывание.

Задача № 3. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х – 10 < 0, заданной на множестве Х, если:
а) Х =R; б) Х =N.

Задача № 4. Изобразите на координатной прямой множество истинности каждого из предложений при условии, что все они заданы на множестве R:
а) х >2; б) 2< х <6.

Задача № 5. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предложений при условии, что х, у ( R.
а) х = у; б) х = 2; в) у =2х + 3.

Задача № 6. В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки:
а) В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой;
б) x ( 7;
в) Если запись числа оканчивается цифрой 0, то число делится на 5;
г) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все углы равны;
д) Неверно, что число 17 делится на 3;
е) если а ( в = 0, то а = 0, или в = 0.

Задача № 7. Какова логическая структура (форма) следующего предложения: «Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине».

Домашнее задание
Найдите множество истинности высказывательной формы 2х–10<0, заданной на множестве Х, если Х={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Изобразите на координатной прямой множество истинности каждого из предложений при условии, что все они заданы на множестве R:
а) х ( 3; б) 2 ( х < 6; в) 2 < х ( 6; г) 2 ( х ( 6.

3. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предложений при условии, что х, у ( R.
а) у =2х; б) у = 2; в) у =2х – 3.

4. Какова логическая структура (форма) следующих предложений:
а) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6;
б) Треугольник АВС не является равносторонним.

5. Приведите примеры математических предложений, имеющих логическую структуру вида
а) А и В, б) А или В, в) если А, то В.

Практическое занятие №4 по теме:
«Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
и высказывательных форм»

Цель: сформировать у студентов понятия конъюнкции и дизъюнкции математических предложений, выработать умения определять значения истинности конъюнкции и дизъюнкции высказываний, пользоваться таблицами истинности для данных операций.
Вопросы для самоподготовки
Что называется конъюнкцией двух высказываний?
Какова таблица истинности для конъюнкции высказываний?
Что называется дизъюнкцией двух высказываний?
Какова таблица истинности для дизъюнкции высказываний?
Как найти множество истинности конъюнкции двух высказывательных форм?
Как найти множество истинности дизъюнкции двух высказывательных форм?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. Известно, что высказывание А истинно. Можно ли, зная это, определить значение истинности высказывания:
а) А13 EMBED Equation.3 1415В; б) А 13 EMBED Equation.3 1415 В.

Задача № 2. Определите значение истинности каждого высказывания:
а) число 6 делится на 2 и 3;
б) число 123 делится на 3 и на 9;
в) при делении 42 на 5 в остатке получится 2 или 5;
г) треугольник АВС – прямоугольный и равносторонний;
д) 3 ( 7;
е) 3( 7.

Задача № 3. Замените предложение конъюнкцией либо дизъюнкцией, имеющей тот же смысл «Число 7 принадлежит хотя бы одному из множеств А и В».

Задача № 4. А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, меньших 20. Установите, какие из следующих высказываний истинны:
а) 5(А или 5(В; б) 5(А и 5(В.

Задача № 5. Покажите, что выполняя задание, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм: «Даны числа: 31, 53, 409, 348, 20, 3094, 233, 33, 271, 143, 3, 333, 14, 30. Выпишите все числа, в записи которых: 1) три цифры и есть цифра 3; 2) три цифры или есть цифра 3».

Задача № 6. Выполните задание и дайте обоснование предложенным ответам: запишите три числа, которые: 1) делятся на 4 и больше 12; б) делятся на 4 или больше 12.

Задача № 7. Решите систему неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики: 13 EMBED Equation.3 1415

Задача № 8. Вместо многоточия вставьте «и» либо «или»:
а) х(А(В тогда и только тогда, когда х(А х(В;
б) х(А(В тогда и только тогда, когда х(А х(В.

Домашнее задание
1. Известно, что высказывание А – ложно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания:
а) А13 EMBED Equation.3 1415В; б) А 13 EMBED Equation.3 1415 В.

2. Каждое из следующих предложений замените конъюнкцией либо дизъюнкцией, имеющей тот же смысл:
а) каждое слагаемое суммы х+у+z делится на 3;
б) по крайней мере одно из натуральных чисел п, п–1, п+1 четно.

3. А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, меньших 20. Установите, какие из следующих высказываний истинны:
а) 8(А или 8(В; б) 8(А и 8(В;
в) 44(А или 44(В; г) 44(А и 44(В.

4. Покажите, что выполняя задание, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм: «Из ряда 25, 12, 17, 5, 15, 36 выпишите числа: 1) двузначные или меньшие 17; 2) двузначные и меньшие 17».

5. Решите систему неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики: 13 EMBED Equation.3 1415

Практическое занятие №5 по теме:
«Высказывания с кванторами»

Цель: сформировать у студентов понятия высказываний с кванторами общности и существования, выработать умения устанавливать значение истинности высказываний с кванторами.
Вопросы для самоподготовки
Что называется квантором общности?
Как можно записать и прочитать высказывание с квантором общности?
Что называется квантором существования?
Как записать и прочитать высказывание с квантором существования?
Каким образом устанавливается истинность высказывания с квантором общности? С квантором существования?
Как установить ложность высказывания с квантором общности? С квантором существования?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. В высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив слово «всякий» его синонимом.

Задача № 2. Прочтите записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными выражениями:
а) ((х(R) х2–1=(х+1)(х–1); б) ((у(R) 5+у=5;
в) ((у(R) у+3>0; г) ((х(N) х+3<0.

Задача № 3. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов:
а) существует такое натуральное число х, что х+5=9;
б) каково бы ни было число х, х+0=х;
в) уравнение ах2+вх+с=0 имеет хотя бы один корень.

Задача № 4. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:
а) всякое число, умноженное на нуль, есть нуль;
б) произведение любого числа и единицы равно этому числу.

Задача № 5. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны:
а) во всяком четырехугольнике диагонали равны;
б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

Задача № 6. Докажите или опровергните следующие высказывания:
а) существуют уравнения, множество решений которых пусто;
б) всякое целое число является натуральным.

Задача № 7. Выясните, какие из высказываний, взятых из учебников математики для начальных классов, содержат квантор и как следует устанавливать их значение истинности (указать только способ и обосновать его выбор):
а) от перестановки слагаемых сумма не изменится;
б) площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину;
в) существуют четные числа;
г) некоторые числа делятся на 4;
д) среди многоугольников есть треугольники.

Домашнее задание
В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив квантор его синонимом.

Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:
а) при делении нуля на любое другое число получается нуль;
б) квадрат любого числа неотрицателен.

3. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны:
а) при делении на 5 некоторых натуральных чисел в остатке получается 7;
б)любое однозначное число является решением неравенства х+2>1.
4. Докажите или опровергните следующие высказывания:
а) сумма любых двух четных чисел есть число четное;
б) хотя бы одно натуральное число является решением уравнения
7: х=2.

Практическое занятие №6 по теме:
«Отрицание высказываний
и высказывательных форм»

Цель: сформировать у студентов понятия отрицания высказываний и высказывательных форм, выработать умения строить отрицание различных математических предложений.

Вопросы для самоподготовки
Что называется отрицанием высказывания?
Какова таблица истинности для отрицания?
Как двумя способами построить отрицание высказывания?
Что представляют собой законы де Моргана?
Как двумя способами построить отрицание конъюнкции и дизъюнкции двух высказываний?
Каким образом можно построить отрицание высказывания с квантором?
Как построить отрицание высказывательных форм?

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. Сформулируйте отрицание следующих предложений:
а) число 123 делится на 9;
б) при делении числа 32 на 5 в остатке получится 7;
в) треугольник АВС – прямоугольный.

Задача № 2. Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицание утверждения: «Четырехугольник АВСД – прямоугольник или параллелограмм».

Задача № 3. Какие из предложений являются отрицанием высказывания «Все натуральные числа кратны 5».

Задача № 4. Постройте двумя способами отрицание высказывания «Некоторые простые числа являются четными».

Задача № 5. Определите, являются ли данные предложения отрицаниями друг друга, или нет:
а) число 12 – четное. Число 12 – нечетное;
б) все простые числа нечетны. Все простые числа четны;
в) все простые числа нечетны. Существуют четные простые числа;
г) некоторые углы острые. Некоторые углы тупые.

Задача № 6. Переформулируйте предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл:
а) неверно, что число 9 – четное или простое;
б) неверно, что треугольник АВС – равнобедренный и прямоугольный.

Домашнее задание
Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицание утверждения: «Число 12 – четное и делится на 3».

Постройте двумя способами отрицание высказывания «Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику».

Переформулируйте предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл:
а) неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником;
б) неверно, что хотя бы в одном прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

Постройте отрицание следующих высказываний и выясните, что истинно – данное высказывание или его отрицание:
а) произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174;
б) среди различных прямоугольников есть такие, площади которых равны.

Практическое занятие №7 по теме:
«Отношение логического следования
и равносильности между предложениями»

Цель: сформировать у студентов понятия логического следования и равносильности между двумя предложениями, выработать умения устанавливать наличие следования и равносильности между высказываниями, формулировать различными способами высказывания, содержащие логическое следование и равносильность, определять значение истинности данных высказываний.
Вопросы для самоподготовки
Дайте определение логического следования.
Каким символом обозначается логическое следование?
Что такое импликация двух высказываний и какова таблица истинности для импликации?
Как можно прочитать предложение, содержащее в своей структуре знак логического следования?
Как убедиться в истинности или ложности данного высказывания?
Что называется отношением равносильности между предложениями?
Каким символом оно обозначается?
Что называется эквиваленцией двух высказываний и как выглядит таблица истинности для эквиваленции?
Прочитайте различными способами предложение, содержащее в своей структуре знак равносильности.

Задания для работы в аудитории
Задача № 1. Следует ли предложение В(х) – «число х чётное» из предложения А (х), если:
а) А (х) – «число х делится на 6»;
б) А (х) – «число х делится на 7»;
в) А (х) – «число х делится на 2».

Задача № 2. Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:
а) треугольник АВС – равносторонний, треугольник АВС – равнобедренный;
б) четырёхугольник АВСД – квадрат, четырёхугольник АВСД – ромб.

Задача № 3. Данное предложение переформулируйте, используя различные способы прочтения утверждения А(х)(В(х): «всякий квадрат является прямоугольником».

Задача № 4. Определите значение истинности высказывания:
а) если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2;
б) для того, чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы его запись оканчивалась нулем.

Задача № 5. Равносильны ли следующие предложения А(х) и В(х), если:
а) А(х) – «число делится на 9», В(х) – «сумма цифр в записи числа делится на 9»;
б) А(х) – «каждое слагаемое суммы делится на 4», В(х) – «сумма делится на 4».

Задача № 6. Докажите, что предложения «в прямоугольнике F диагонали взаимно перпендикулярны» и «прямоугольник F – квадрат» равносильны. Утверждения о равносильности сформулируйте 3-мя различными способами.

Задача № 7. Вставьте слова «и» либо «или» так, чтобы следующие высказывания были истинными:
а) а( в = 0 ((( а = 0 в = 0;
б) а( в ( 0 ((( а ( 0 в ( 0.

Домашнее задание
1. Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:
а) х
· 3 и х
· 6; б) а >2 и а >5.

2. Сформулируйте следующие высказывания в виде «если , то »:
а) А – достаточное условие для В;
б) А – необходимое условие для В;
в) В – достаточное условие для А;
г) В – необходимое условие для А.

3. Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
а) число а – натуральное, следовательно, и 15а – натуральное число;
б) число 15а – натуральное, следовательно, а – натуральное число;
в) если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник;
г) если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – прямоугольник.

4. Вставьте слова «и» либо «или» так, чтобы следующие высказывания были истинными:
а) х(А(В ( х(А х(В; б) ) х(А(В ( х(А х(В.

5. В начальном курсе математики синонимом слова «необходимо» является слово «нужно» («надо»), и синонимом слова «достаточно»– слово «можно». Зная это, вставьте вместо многоточия слова: «нужно» либо «можно», так чтобы высказывания были истинными:
а) для того чтобы умножить сумму натуральных чисел на 5, каждое слагаемое умножить на 5;
б) для того чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычесть другое слагаемое;
в) для того чтобы вычесть число из суммы, вычесть его из одного из слагаемых.









13PAGE 15


13PAGE 14215




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 23853914
    Размер файла: 183 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий