0. Вопросы к экзамену в 2012-2012 учебном год


Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика” (ИСТ, ЗК)
1. Основы общей алгебры.
Теория множеств: понятие множества, примеры множеств; отношения между элементами и множествами.
Понятие множества.
 Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.
Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , а элементы множества- строчными.
Пример множества:
Студенты одной группы – множество, элементы которого- студенты, общее свойство – обучение одной специальности.
Отношения между элементами и множествами.
 Рассмотрим отношения между неупорядоченными множествами.
Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то А называют подмножеством множества В.
Обозначения: А В ( А принадлежит В, А включено в В, А содержится в В и т.д.),
В А ( В включает А, В содержит А и т.д.)
 Множества А и В называются равными, если А В и В А.
Обозначение: А = В.
 Если А В и существует хотя бы один элемент множества В, не принадлежащий множеству А, то А – собственная часть В, т.е. А строго включается в В.
Обозначение: А В.
Теория множеств: операции над множествами.
Над множествами можно выполнять действия, напоминающие сложение и умножение чисел. Но не тождественные им.
Объединением (суммой множеств А и В называется множество, обозначаемое через АВ, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.
Краткая запись: АВ = {x | x A или х В}.
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, обозначаемое через АВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В. Краткая запись: АВ = {x | xA и хВ}.
 Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А\В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.
Краткая запись: А\В = {x| x A и xB}.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А.
Краткая запись: AB= {x| xA\B или xB\A}.
Теория множеств: высказывания, предикаты и кванторы, логическая символика.
Предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.
Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Для квантификации (количественной характеристики) высказываний эта теория вводит два основных квантора: квантор общности, который мы будем обозначать символом (х), и квантор существования, обозначаемый символом (Ех).
Теория множеств: понятие и типы бинарных алгебраических операций.
Для любых двух элементов x и y, взятых из множества S определена бинарная алгебраическая операция « *» , если однозначно определен элемент z = x * y, называемый композицией или произведением элементов x и y
К таким операциям относятся операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных) чисел
Теория множеств: понятие бинарного отношения, граф отношения, отношение эквивалентности.
. Говорят, что между элементами и множеств и установлено соответствие, если в прямом произведении задано некоторое подмножество . Если соответствие установлено между элементами одного и того же множества , то есть , то соответствие называется бинарным отношением.
Бинарное отношение , определённое на множестве , называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими тремя свойствами:
a) – рефлексивность;
b) – симметричность;
c) и – транзитивность.
Вместо пишут или (читается “ конгруэнтно по модулю ”), или ещё проще и , если нет необходимости указывать, что речь идёт об одном и том же отношении .
Теория множеств: понятие бинарного отношения, граф отношения, отношение порядка
Говорят, что между элементами и множеств и установлено соответствие, если в прямом произведении задано некоторое подмножество . Если соответствие установлено между элементами одного и того же множества , то есть , то соответствие называется бинарным отношением.
Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:
a) – рефлексивность;
b) и – транзитивность;
c) – антисимметричность.
Если отношение порядка было определено заранее, то вместо пишут , или . Запись читается: « предшествует », или « следует за ». При таких обозначениях . Теперь определение отношения порядка записывается так:
a) – рефлексивность;
b) и – транзитивность;
c) – антисимметричность.
Теория множеств: множества с одной алгебраической операцией, понятие группы; следствия из аксиом группы (с доказательством).
Множества с одной алгебраической операцией, понятие группы. Простейшей, но весьма важной для приложений, алгебраической системой является группа. Сформулируем определение группы в аксиоматическом виде, используя логическую символику.
Определение 2.1. Множество с заданной на нём бинарной алгебраической (внутренней) операцией , называется группой, если выполнены следующие аксиомы:
1) ;
2) ;
3) .
Бинарная операция, определяющая группу, называется групповой операцией, причём группу обозначают так , или так . Отметим, что смысл аксиом состоит в следующем: первая аксиома постулирует ассоциативность групповой операции , вторая – наличие в группе единичного элемента, третья – наличие в группе обратного элемента.
Из аксиом группы можно вывести некоторые простые следствия.
Следствие 1. Единичный элемент единственен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть и – два единичных элемента. Тогда .
Следствие 2. Обратный элемент единственен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть и – два обратных элемента. Тогда
.
Следствие 3. Для любых уравнение имеет единственное решение, обозначаемое .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – некоторое решение указанного уравнения. Тогда, используя аксиомы группы, получаем:

.
Группа называется коммутативной, или абелевой, если групповая операция коммутативна. В этом случае групповая операция обозначается символом и называется сложением. Если групповая операция некоммутативная, то она обычно называется умножением и обозначается как обычное умножение точкой , или, например, просто , а сама группа называется некоммутативной. Если групповой операцией является сложение, то группа называется аддитивной, если же групповой операцией является умножение – мультипликативной.
Может показаться, что вторая и третья аксиомы группы выполняются только для коммутативной группы. Покажем, что это не так. Действительно, пусть в группе имеются два элемента – и , удовлетворяющие условиям и – так называемые левый и правый единичные элементы. Нетрудно видеть, что эти элементы совпадают, что следует из равенств: , .
Пусть теперь в группе имеются левый и правый обратные элементы и , удовлетворяющие условиям: и . Совпадение этих двух элементов вытекает из сравнения элемента , вычисленного двумя способами:
;
.
Сформулируем определения аддитивной и мультипликативной абелевых групп.
Определение 2.2. Аддитивной абелевой группой называется непустое множество с заданной на нём операцией сложения, удовлетворяющей следующим аксиомам:
1) (коммутативность);
2) (ассоциативность);
3) (существование нулевого элемента);
4) (существование противоположного элемента).
Таким образом, в случае аддитивной абелевой группы единичный элемент называется нулевым элементом (или просто нулём группы) и обозначается , а обратный элемент называется противоположным и обозначается . Нетрудно показать, что уравнение имеет единственное решение, равное и обозначаемое .
Действительно, пусть – некоторое решение уравнения , то есть, . Тогда, используя аксиомы, получаем:


.
Теория множеств: множества с двумя алгебраическими операциями, понятие кольца; следствия из аксиом кольца (с доказательством).
Множества с двумя алгебраическими операциями, понятие кольца и поля. Если во множестве ввести две алгебраические операции, то придём к новому понятию.
Определение 2.4. Непустое множество с двумя алгебраическими операциями сложением и умножением называется кольцом, если выполнены аксиомы:
1) есть абелева группа по операции сложения (аддитивная группа кольца);
2) операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами, то есть
и .
Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, то есть , и ассоциативным, если операция умножения ассоциативна, то есть .
Элемент называется единицей, если . Единица единственна (доказательство аналогично доказательству для группы). Однако в кольце может не быть единицы.
Получим некоторые следствия из аксиом кольца.
Следствие 1. .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть . Тогда:
.
Аналогично показывается, что .
Следствие 2. .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно:
.
Аналогично показывается, что .
Следствие 3. и .
Д о к а з а т е ль с т в о. Действительно:
.
Аналогично показывается, что .
Теория множеств: понятие поля, аксиомы множества действительных чисел.
Определение 2.5. Непустое множество вместе с двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением, называется полем, если выполняются следующие аксиомы:
1) есть аддитивная абелева группа по сложению;
2) есть мультипликативная абелева группа по умножению;
3) операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами, то есть
, .
Основное отличие поля от кольца состоит в наличии второй аксиомы, превращающей поле в мультипликативную абелеву группу по умножению, в результате чего в поле появляется обратный элемент, то есть
.
Поле комплексных чисел: аксиомы множества комплексных чисел; мнимая единица; определение операций над комплексными числами.
Поле комплексных чисел: алгебраическая форма комплексных чисел; действия над комплексными числами в алгебраической форме; лемма о свойствах модуля комплексно-сопряжённых чисел (с доказательством).
Поле комплексных чисел: тригонометрическая форма комплексных чисел; теорема о свойствах модуля суммы и разности комплексных чисел.
Поле комплексных чисел: действия над комплексными числами в тригонометрической форме; теорема о корне n-й степени из комплексного числа (с доказательством).
2. Векторные пространства и линейные операторы.
Трёхмерное евклидово пространство : понятие вектора в трёхмерном пространстве, операции над векторами.
Под упорядоченной парой точек обычного трёхмерного пространства (или плоскости) будем понимать такую пару точек, для которой указано, какая точка является первой, а какая второй.
При таком соглашении по определению полагают, что вектор – это направленный отрезок , соединяющий между собой элементы упорядоченной пары точек пространства. Обозначаются векторы либо двумя большими латинскими буквами со стрелкой вверху, например , либо одной малой латинской буквой со стрелкой вверху, например (рисунок 1. а). Точка называется началом вектора , а точка – концом вектора .
Для векторов определяются две операции – умножение вектора на число (обозначается или , где ) и сложение векторов (обозначается или ).
Трёхмерное евклидово пространство : декартова система координат, координаты вектора и связанные с ними понятия, операции над векторами.
Ортогональной декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность трёх (двух) пересекающихся, взаимно перпендикулярных осей и точки их пересечения – начала координат.
Если ортогональная декартова система координат введена в трёхмерном пространстве, то точке ставятся в соответствие три действительных числа – декартовы координаты, которые по определению равны величинам координатных проекций , и радиус-вектора точки . Началу системы координат ставится в соответствие нуль-вектор
Для векторов определяются две операции – умножение вектора на число (обозначается или , где ) и сложение векторов (обозначается или ).
Трёхмерное евклидово пространство : скалярное произведение векторов в пространстве , теорема о свойствах скалярного произведения (с доказательством).
Действительная функция двух векторных переменных, действие которой определяется правилом
называется скалярным произведением векторо
Теорема 1.1. Скалярное произведение векторов в трёхмерном (двумерном) пространстве равно произведению их норм (длин) на косинус угла между векторами
. (1.20)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – данные векторы, а – угол между ними. Тогда по (1.17) имеем:
.
C учётом (1.16) получаем:

Видим, что скалярное произведение векторов выражается через их нормы (длины) и, следовательно, не зависит от выбора системы координат.
Выберем декартову ортогональную систему координат, как показано на рисунке 1.7 (ось направлена перпендикулярно плоскости страницы). Тогда для координат векторов имеем:
; ; ; ; ; .
Подставляя в приходим к формуле (1.20):
в и .
Трёхмерное евклидово пространство : измерения в пространстве .
Измерения в пространстве . По теореме «О скалярном произведение векторов» (формула (1.20))
,
Откуда с учётом формулы (1.7') получаем формулу для вычисления косинуса угла между векторами в пространстве :
. (1.21)
Величина, определённая формулой
. (1.22)
называется проекцией вектора на направление вектора .
Трёхмерное евклидово пространство : теорема о связи двух определений скалярного произведения (с доказательством).
Теорема 1.2. Смешанное произведение равно ориентированному объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы и неколлинеарны. Обозначим через площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Тогда по определению скалярного произведения имеем:
. (1.25)
Если векторы некомпланарны, проекция с точностью до знака равна высоте параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , причём основанием последнего служит параллелограмм, построенный на векторах (рисунок 1.10). Таким образом, правая часть (1.25) есть с точностью до знака объём параллелепипеда, построенного на векторах . Когда , векторы и лежат по одну сторону от плоскости, образованной векторами и , и тройка векторов правая. Если векторы и лежат по разные стороны от плоскости, определяемой векторами и , то тройка левая. Если векторы компланарны, то и искомый объём параллелепипеда равен нулю
Трёхмерное евклидово пространство : определение векторного произведения и его свойства; формула для вычисления векторного произведения (с доказательством).
Трёхмерное евклидово пространство : понятие ориентированного объёма и смешанного произведения векторов в пространстве ; формула для вычисления смешанного произведения (с доказательством).
Ориентированным объёмом параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , называется его объём, взятый со знаком плюс, если тройка правая, и взятый со знаком минус, если тройка векторов левая.
. Если сначала производится векторное умножение вектора на вектор , а затем вычисляется скалярное произведение вектора на вектор , то полученное число называется смешанным произведением векторов .
Теорема 1.2. Смешанное произведение равно ориентированному объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы и неколлинеарны. Обозначим через площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Тогда по определению скалярного произведения имеем:
. (1.25)
Если векторы некомпланарны, проекция с точностью до знака равна высоте параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , причём основанием последнего служит параллелограмм, построенный на векторах (рисунок 1.10). Таким образом, правая часть (1.25) есть с точностью до знака объём параллелепипеда, построенного на векторах . Когда , векторы и лежат по одну сторону от плоскости, образованной векторами и , и тройка векторов правая. Если векторы и лежат по разные стороны от плоскости, определяемой векторами и , то тройка левая.
Если векторы компланарны, то и искомый объём паралелепипеда равен нулю.
Прямая линия и плоскость в и : вывод уравнений прямой линии в пространстве .
Уравнения прямой линии на плоскости . В пространстве зафиксируем некоторый канонический базис , то есть введём декартову систему координат. Каждые две точки и с известными (фиксированными) координатами определяют фиксированный вектор . Если мы умножим данный вектор на некоторый параметр , который может принимать произвольные значения из множества действительных чисел, то есть , то получим ведущий вектор
,
начальная точка которого фиксирована, а конечная точка является текущей, то есть имеет меняющиеся в зависимости от значения параметра координаты. Бесконечное множество текущих точек назовём прямой линией , проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .
Получим уравнения для координат текущей точки . Для этого обратимся к рисунку 2.1. Из рисунка видно, что выполняются следующие соотношения:
, ,
, , .
Подставляя в первое соотношение все остальные, получаем следующее равенство
.
Приравнивая координаты векторов в правой и в левой частях этого равенства, получаем параметрические уравнения прямой линии на плоскости :
(2.1)
Из параметрических уравнений (2.1) легко получить так называемые канонические уравнения прямой линии, для этого прибавляя к обеим частям первого и второго уравнений соответственно и и деля обе части получившихся равенств на и соответственно, получаем следующие равенства:

Приравнивая левые части, получаем следующие уравнения:
(2.2) которые называются каноническими уравнениями прямой линии на плоскости .
Прямая линия и плоскость в и : вывод уравнений прямой линии в пространстве .
Уравнение прямой линии в трёхмерном пространстве . Рассмотрим теперь случай пространства (рисунок 2.2). Очевидно, что справедливы следующие соотношения:
, , ,
, ,
которые отличаются от соответствующих соотношений для плоскости только наличием третьей координаты.
Рис. 2.2.












Поэтому, простые преобразования дают
,
откуда следуют параметрические уравнения прямой линии в пространстве :
(2.6)
Из уравнений (2.6) нетрудно получить канонические уравнения прямой линии в пространстве , которые имеют вид:
. (2.7)
В параграфе 2.10 (задача 2.10.3) показано, что канонические уравнения прямой линии (2.7) выражают тот факт, что прямая линия является множеством точек пересечения двух плоскостей в пространстве .
Прямая линия и плоскость в и : вывод уравнений плоскости в пространстве .
Уравнения плоскости в пространстве . На рисунке 2.3 изображена фиксированная точка , от которой откладывается вектор , который является вектором из линейной оболочки неколлинеарных векторов и , закреплённых в точке .













Рис. 2.3.

Непосредственно из рисунка видно, что выполняются следующие соотношения:
; ;
; ;
; .
Истолковывая первое из приведённых соотношений аналогично тому, как это было сделано при выводе уравнения прямой линии, и записывая его с учётом второго соотношения в виде
, (2.8)
приходим к понятию плоскости.
Назовём плоскостью в пространстве множество текущих точек , являющихся конечными точками вектора
,
представленного разложением по паре неколлинеарных векторов , приложенных к точке , при всевозможных значениях параметров и . Векторы называются направляющими векторами плоскости .
Само уравнение (2.8) называется векторным параметрическим уравнением плоскости.
Абстрактные векторные пространства и линейные операторы: абстрактные векторные пространства n измерений; системы линейных алгебраических уравнений; эквивалентные системы, метод Гаусса.
Абстрактные векторные пространства и линейные операторы: аффинные и евклидовы пространства; теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве, алгоритм Шмидта (с доказательством).
Чтобы на базе абстрактного векторного пространства можно было построить евклидово пространство, необходимо, однако, дополнить определение аксиомами, постулирующими наличие в пространстве аналога понятию точки в пространствах . Сформулируем эти аксиомы.
. В пространстве существует, по меньшей мере, одна точка.
. Каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один и только один вектор (обозначение вектора).
. Для каждой точки и каждого вектора существует одна и только одна точка , такая, что
. Если , то (аксиома параллелограмма).
Множество точек и векторов, удовлетворяющих аксиомам – , называется - мерным аффинным пространством и обозначается .
Теорема 3.4. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство. Для доказательства теоремы применим процедуру ортогонализации Шмидта. Фиксируя в пространстве некоторый базис , положим , . Коэффициент найдём, требуя ортогональности векторов и :
.
Отсюда имеем . Итак, получаем:
; .(3.16)
Положим теперь . Замечая, что , потребуем выполнения условий , . Получаем для коэффициента :
.
Теперь видно, что . Аналогично для имеем:
,так как , откуда . Итак, аналогично (3.16), получаем:
. (3.17)
Продолжая этот процесс, для некоторого номера получим такой результат:
.(3.18)
В (3.18) вектор . Действительно, является линейной комбинацией векторов
.
Вектор является линейной комбинацией векторов

и так далее. Окончательно имеем
,
откуда и следует, что .
Продолжая процесс до номера , получим ортогональный базис , нормируя который, получим ортонормированный базис .
Абстрактные векторные пространства: два типа координат в евклидовом пространстве; подпространства векторного пространства; координатное пространство векторов-столбцов.
-ковариантными (евклидовыми) координатами
- аффинными координатами
Определение 3.13. Пусть – некоторое -мерное векторное (абстрактное, аффинное, евклидово) пространство и – некоторое подмножество векторов из . Если при тех же операциях над векторами, что и во всём , подмножество само является векторным пространством, то оно называется подпространством пространства .
Координатное пространство векторов-столбцов . В качестве примера многомерного пространства рассмотрим так называемое координатное пространство, или пространство векторов-столбцов.
Пусть – натуральное число. Рассмотрим векторы-столбцы вида
, (3.20)
где координаты вектора-столбца являются действительными числами, то есть . Рассматриваются также транспонированные векторы строки .
Отношение равенства и операции между векторами-столбцами (3.20) определяются аналогично случаю трёх измерений.
Линейные операторы и матрицы: основные определения; множество значений, ранг, ядро и дефект линейного оператора.
Определение 3.26. Пусть и – два векторных пространства и – некоторое числовое поле. Тогда, отображение называется линейным оператором из в , если: и
.
Действие линейного оператора на векторы пространства обычно записывается в префиксной форме:
. (3.42)
Множество , называется множеством значений, а множество всех векторов , для которых выполняется равенство (3.42) – множеством определения линейного оператора . Очень важными для теории линейных операторов являются понятия ранга и ядра.
Определение 3.27. Пусть . Размерность

множества значений называется рангом линейного оператора .
Определение 3.28. Пусть . Множество называется ядром оператора . Размерность ядра называется дефектом линейного оператора . Если содержит только , то оператор называется невырожденным
Линейные операторы и матрицы: понятие обратного оператора; теоремы о линейности и невырожденности обратного оператора (с доказательством по выбору).
Пусть – невырожденный оператор. В силу единственности прообраза вектора , любому вектору можно поставить в соответствие единственный вектор . Такое соответствие определяет обратный оператор, обозначаемый .
Теорема 3.13. Если – невырожденный линейный оператор, то оператор линейный.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и . Рассмотрим вектор
.
Применяя к нему оператор , получаем, что . В силу невырожденности вектор , то есть,
,
откуда следует линейность обратного оператора:
.
Линейные операторы и матрицы: конструкция линейного оператора, основная теорема (с доказательством).
Конструкция линейного оператора. Установим конструкцию линейного оператора .
Пусть фиксированы базисы
, .
Тогда векторы и можно представить в виде разложений
;
. (3.43)
Используя линейность оператора , получаем

, (3.44)
где векторы разложены по базису пространства : . Сравнивая равенство (3.44) со вторым равенством (3.43), имеем
, (3.45) или в развёрнутом виде
(3.46)
Изменение базиса: преобразование базисных векторов, координат вектора и матрицы линейного оператора при изменении базиса; формула преобразования координат произвольного вектора и формула преобразования матрицы оператора при изменении базиса (с доказательством).
Преобразование базисных векторов. Пусть в векторном пространстве заданы два базиса, “старый” и “новый” .
Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса:
. (4.1)
Здесь коэффициенты являются элементами матрицы преобразования от векторов старого базиса к векторам нового базиса, то есть
,
или в матричном виде
. (4.2)
Матрица в (4.2) носит название «матрица перехода от старого базиса к новому базису».
Преобразование координат вектора. Естественно, что при изменении базиса координаты произвольного вектора также изменяются, но сам вектор остаётся неизменным как геометрический или физический объект, то есть вектор инвариантен относительно изменения базиса.
Преобразование матрицы оператора. Рассматриваем случай линейного оператора , то есть преобразования. Зафиксируем в пространстве старый и новый базисы:
; .
Тогда представителем оператора является матрица , такая, что в старом базисе действие оператора на произвольный вектор в координатной форме запишется в так
,
Теорема 7.1. При замене старого базиса на новый базис матрица оператора преобразуется по формуле
, (4.22)
где – транспонированная матрица перехода от нового базиса к старому, а – транспонированная матрица перехода от старого базиса к новому базису.
Формулу (4.22) можно получить, используя символическую форму записи. Для этого запишем формул (4.17) в новом базисе:
.
Умножая обе части на , получаем:
.
Так как , приходим к формуле
. (4.23)
Сравнивая (4.23) с формулой (4.19), получаем
. (4.24)
В развёрнутом виде формула (4.24) принимает вид:

Ранг матрицы: основные определения; теорема о базисном миноре.
Определение 8.1. Выберем в матрице (8.1) произвольно строк и столбцов. Определитель -го порядка, образованный элементами матрицы , стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, называется её минором -го порядка. Минор, расположенный в первых строках и в первых столбцах, называется главным или угловым минором матрицы .
Определение 8.2. Если некоторая прямоугольная матрица имеет не только нулевые элементы, то наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы называется рангом матрицы . Любой отличный от нуля минор порядка матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы матрицы, в которых он расположен, называются базисными.
Ранг матрицы обозначается . По определению полагают, что ранг нулевой матрицы равен нулю.
Определение 8.3. Пусть система векторов линейно зависима и не все векторы системы нулевые. Если в этой системе можно выделить некоторую линейно независимую подсистему векторов, то эта подсистема называется базой исходной системы.
Теорема 8.1 (о базисном миноре). Любые базисные столбцы (строки) прямоугольной матрицы образуют базу её столбцов (строк).
Теорема позволяет свести отыскание базы системы векторов к отысканию базисного минора матрицы .
Ранг матрицы: теоремы о совместности СЛАУ (доказательство одной из теорем по выбору).
Теорема 8.3. Если ранг матрицы однородной СЛАУ
равен числу неизвестных , то СЛАУ не имеет ненулевых решений; если же ранг матрицы меньше числа неизвестных , то у СЛАУ (8.4) существуют ненулевые решения и в этом, и только в этом случае СЛАУ (8.4) нетривиально совместна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из результатов изучения теории СЛАУ методом Гаусса следует, что существование ненулевого решения у СЛАУ (8.4) равносильно линейной зависимости столбцов её матрицы
,
что по следствию из теоремы «о базисном миноре» имеет место только в том случае, если ранг матрицы меньше числа неизвестных .
Теорема 8.4. СЛАУ общего вида совместна в том и только в том случае, если ранг расширенной матрицы этой СЛАУ равен рангу её основной матрицы.
3. Математический анализ
Числовые последовательности: ограниченные множества действительных чисел; границы и грани числовых множеств; характеризация граней; формулировка теоремы о существования граней.
Определение 1.1. Пусть , . Точка называется верхней (нижней) границей множества , если . Множество , имеющее верхнюю (нижнюю) границу, называется ограниченным сверху (снизу).
Определение 1.2. Точка называется верхней (нижней) гранью множества , если она является наименьшей верхней (наибольшей нижней) границей этого множества.
Для верхней и нижней граней множества принимаются соответственно обозначения: и .
Теорема 1.1. Каждое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Определение 1.3. Множество , называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу.
Числовые последовательности: мощность множества; доказательство теоремы о счётности множества всех рациональных и несчётности множества всех действительных чисел (по выбору).
Теорема 1.2. Справедливы утверждения:
1) множество всех рациональных чисел счётно;
2) открытый промежуток несчётен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Достаточно доказать счётность множества всех положительных рациональных чисел. Каждое положительное рациональное число можно записать в виде дроби . Составим следующую бесконечную таблицу:

Эта таблица содержит все положительные рациональные числа. Её элементы можно выписать в следующем порядке: . После естественного упорядочения единиц , видим, что все положительные рациональные числа объединены в некоторую бесконечную систему (множество), элементы которого можно перенумеровать. Тем самым мы установили биективное соответствие между множеством положительных рациональных чисел и множеством натуральных чисел. Записывая множество всех рациональных чисел в виде
,
установим требуемое соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех рациональных чисел .
. Рассмотрим промежуток . Пусть – бесконечная система (подмножество) точек из промежутка . Каждое число запишем в виде десятичной дроби , где . Получаем:
,
,
,
Определим действительное число следующим образом:
,



Число , но в систему не входит: отличается от любого , так как на -м месте в их десятичном разложении стоят разные цифры. Следовательно, никакая система (счётное подмножество) не может содержать все элементы (числа) из промежутка , то есть – несчётное множество
Теперь можно утверждать, что произвольное множество является несчётным, если оно равномощно открытому промежутку .
Числовые последовательности: окрестности и предельные точки; доказательство теоремы об отделимости Хаусдорфа.
Определение 1.13. Пусть и . Тогда множество

называется -окрестностью числа (точки) .
Теорема 1.4 (теорема отделимости Хаусдорфа). Для любых точек найдутся две окрестности и этих точек, такие, что .
С использованием логической символики формулировку теоремы можно записать так:
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предположения следует, что
.
Выберем окрестности и . Пусть пересечение этих окрестностей не пусто и содержит некоторую точку , то есть . Тогда
.
А это невозможно. Следовательно, пересечение .
Числовые последовательности: понятие последовательности; монотонные и ограниченные последовательности; рациональные операции с последовательностями; сходимость и предел последовательности; теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).
Определение 1.6. Если каждому натуральному числу по некоторому закону ставится в соответствие вполне определённое действительное число, то говорят, что задана бесконечная числовая последовательность
.
Числа называются элементами (членами) последовательности .
Определение 1.10. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу, просто ограниченной), если ограничено сверху (снизу, просто ограничено) множество её значений . Верхней (нижней) границей (гранью) последовательности называется верхняя (нижняя) граница (грань) множества её значений .
Итак, из определения следует, что последовательность называется ограниченной, если .
Числовая последовательность называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если ,
и строго монотонно возрастающей (строго монотонно убывающей), если
.
Определение 1.12. Пусть , , – числовые последовательности и – некоторое число. Тогда произведение последовательности на действительное число, сумма, произведение и частное двух последовательностей определяются, соответственно, следующим образом:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Определение 1.17. Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу , если в каждой окрестности лежат все элементы этой последовательности, за исключением конечного их числа. В этом случае действительное число называется пределом сходящейся последовательности и обозначается
Теорема 1.6. Если последовательность сходится и , то предел единственен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность сходится к пределам и , причём . Тогда по определению сходимости для произвольных чисел , найдутся номера, и такие, что для всех номеров и почти все члены последовательности попадут в соответствующие -окрестности точек и : , . Так как мы предположили, что , то по теореме 1.2 мы можем выбрать числа , так, чтобы окрестности точек и не пересекались: . Получаем, что для всех номеров почти все члены одной и той же последовательности одновременно принадлежат двум не пересекающимся окрестностям различных точек и , что невозможно. Поэтому неравенство неверно.
Числовые последовательности: сходимость и предел последовательности; теорема о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности (с доказательством).
Определение 1.17. Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу , если в каждой окрестности лежат все элементы этой последовательности, за исключением конечного их числа. В этом случае действительное число называется пределом сходящейся последовательности и обозначается .
Теорема 1.7 (критерий сходимости монотонной последовательности). Монотонная (то есть монотонно возрастающая или монотонно убывающая) последовательность сходится в том и только в том случае, если она ограничена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность сходится, покажем, что она ограничена. Действительно, по определению имеем:
.
За пределами остались элементы , а для имеем
. Полагая и
, получим , что и означает ограниченность последовательности . Для доказательства нам даже не потребовалось использовать монотонность последовательности.
Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена. Следовательно, и существуют нижняя и верхняя грани , , удовлетворяющие условию ,
или , где и – действительные числа. Рассмотрим лишь неравенство . Так как – верхняя грань последовательности, то для любого номера всегда выполняется неравенство , причём в силу характеризации верхней грани, для произвольного положительного числа найдётся элемент последовательности (с некоторым номером ), такой, что . Но тогда (последовательность монотонно возрастает, то есть ) и для всех будет выполняться неравенство .
С другой стороны, так как – наименьшая верхняя граница (верхняя грань) последовательности , то для любого выполняется неравенство . Получаем окончательно, что для любого выполняется неравенство . А это и означает, что последовательность сходится к числу , то есть . Случай монотонно убывающей последовательности рассматривается аналогично
Числовые последовательности: понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности; критерий сходимости последовательности с бесконечно малыми последовательностями (с доказательством).
Определение 1.19. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого можно найти номер такой, что для всех будет выполняться неравенство.
Определение 1.20. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого сколь угодно большого числа найдётся номер , такой, что для всех номеров выполняется .
Теорема 1.11 (критерий сходимости последовательности). Последовательность сходится к пределу в том и только в том случае, если последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , тогда по определению для любого найдётся номер , такой, что для всех номеров будет выполняться неравенство . Сравнивая последнее неравенство с определением бесконечно малой последовательности, можем сделать вывод, что последовательность является бесконечно малой.
Обратно, если является бесконечно малой последовательностью, то .
Числовые последовательности: понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности; теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательности (с доказательством).
Определение 1.19. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого можно найти номер такой, что для всех будет выполняться неравенство.
Определение 1.20. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого сколь угодно большого числа найдётся номер , такой, что для всех номеров выполняется .
Теорема 1.12. Если последовательность является бесконечно большой последовательностью, то последовательность будет бесконечно малой последовательностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фиксировано произвольное . Так как последовательность бесконечно большая, то для найдётся номер , такой, что для всех номеров выполняется неравенство . Тогда для тех же будет выполняться и неравенство , что и доказывает утверждение теоремы.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема 1.13. Если последовательность является бесконечно малой (но не обращается в нуль), то последовательность будет бесконечно большой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фиксировано произвольное . Так как последовательность бесконечно малая, то для любого сколь угодно малого числа найдётся номер , такой, что для всех номеров выполняется неравенство . Тогда для тех же будет выполняться и неравенство , что и доказывает утверждение теоремы.
Числовые последовательности: понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности; теоремы о рациональных операциях с бесконечно малыми последовательностями (доказательство одной теоремы по выбору).
Определение 1.19. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого можно найти номер такой, что для всех будет выполняться неравенство.
Определение 1.20. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого сколь угодно большого числа найдётся номер , такой, что для всех номеров выполняется .
Теорема 1.14. Пусть и – две бесконечно малые последовательности. Тогда последовательность также является бесконечно малой последовательностью.
Теорема 1.15. Пусть и являются, соответственно, бесконечно малой и ограниченной последовательностями. Тогда последовательность также является бесконечно малой последовательностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность ограничена, поэтому . Последовательность является бесконечно малой, поэтому . Для номеров, начиная с имеем: , то есть последовательность также является бесконечно малой.
Числовые последовательности: рациональные операции с пределами сходящихся последовательностей; доказательство одного свойство по выбору.
Теорема 1.8. Пусть и – числовые последовательности, сходящиеся, соответственно, к пределам и : , . Тогда справедливы утверждения:
1) если , где – некоторая постоянная величина, то ;
2) существует предел , причём
;
3) существует предел , причём ;
4) если , то существует предел , причём
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, правило 2. Пусть
,
Зададим произвольное число . Из сходимости к пределу следует, что существует номер такой, что для всех выполняется неравенство . Из сходимости к пределу следует, что существует номер такой, что для всех выполняется неравенство . Выбираем . Тогда для всех оба неравенства выполняются одновременно, то есть получаем:
.
А это и означает сходимость последовательности к пределу .
Числовые последовательности: предельный переход в неравенствах, формулировка основной теоремы и следствия из неё; теорема «о трёх последовательностях» (с доказательством).
Теорема 1.9. Пусть и – две последовательности, сходящиеся к пределам и : , . Положим для определённости . Тогда для почти всех номеров выполняется неравенство .
Следствие из теоремы 1.9. Пусть и – две последовательности, сходящиеся к пределам и соответственно, то есть , .
Тогда, если для почти всех номеров выполняется неравенство , то справедливо неравенство .
Теорема 1.10 (о трёх последовательностях). Пусть , , – три последовательности действительных чисел, причём для всех номеров выполняются неравенства . Если пределы последовательностей и существуют и равны, то есть , то существует предел последовательности , и при этом .
Доказательство. Из первого условия следует, что.
Так как и сходятся к одному и тому же пределу , то
;
: .
Выберем номер , тогда выполняется
.
Отсюда следует, что .
То есть последовательность сходится к пределу .
Функции одного действительного переменного: два определения непрерывности функции; рациональные операции с непрерывными функциями, теорема о рациональных операциях (с доказательством одного из утверждений по выбору).
Определение 2.8 (по Гейне). Функция называется непрерывной в точке , если для каждой последовательности точек множества , сходящейся к точке , последовательность соответствующих значений функции сходится к значению функции в этой точке.
Определение 2.9 (по Коши). Функция называется непрерывной в точке , если .
Теорема 2.2. Пусть и – функции, определённые на множестве . Тогда имеют место следующие утверждения:
1) функции , и непрерывны на всём множестве действительных чисел ;
2) если и – непрерывная в точке функция, то и функция непрерывна в точке ;
3) если функции и непрерывны в точке , то и их сумма (разность ) непрерывна в точке ;
4) если функции и непрерывны в точке , то и их произведение непрерывно в точке ;
5) если функции и непрерывны в точке и , то и их частное непрерывно в точке .
Теорема 2.10. Пусть и – две действительные функции, имеющие одно и то же множество определения , – некоторое действительное число и – предельная точка этого множества. Тогда если пределы этих функций в точке существуют и соответственно равны , , где , то справедливы следующие правила выполнения рациональных операций с пределами функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) , если .
Функции одного действительного переменного: композиция функций; теорема о непрерывности композиции непрерывных функций (с доказательством).
Определение 2.10. Пусть и – две функции. Тогда если , то функция , определённая на множестве правилом , называется композицией функций и .
Теорема 2.4. Если функция непрерывна в точке , а функция , где , непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – последовательность точек множества , сходящаяся к точке . Так как функция непрерывна в точке , то . Из непрерывности функции в точке имеем:
. Теперь видно, что при условии сходимости последовательности к точке последовательность значений функции сходится к точке .
Функции одного действительного переменного: понятие предела функции в точке, определение «по непрерывности», «по Гейне» и «по Коши»; теорема о единственности предела (с доказательством).
Пусть функция определена на множестве и – предельная точка этого множества, причём возможно, что (является точкой прикосновения множества ).
Определение 2.14 (по непрерывности). Говорят, что функция имеет в точке предел и при этом пишут
Определение 2.15 (по Гейне). Говорят, что функция , определённая на множестве , имеет предел при , и пишут , если для каждой последовательности точек , последовательность соответствующих значений функции сходится к точке , то есть .
Определение 2.16 (по Коши). Говорят, что функция , определённая на множестве , имеет предел при , и при этом пишут, если для произвольного числа найдётся такое число , что для всех точек удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Теорема 2.8. Если предел функции в точке существует, то он единственен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция имеет в точке два различных предела и . По определению существуют две функции и , определённые на множестве , непрерывные в точке , совпадающие с функцией на множестве и принимающие в точке значения и соответственно: , . Если при этом , то по теореме об отделимости Хаусдорфа найдётся окрестность точки такая, что для всех имеет место неравенство . Но – предельная точка множества , а поэтому пересечение содержит бесконечно много точек , причём . Получили противоречие, поэтому предположение о том, что неверно.
Функции одного действительного переменного: понятие и классификация точек разрыва функции.
Определение 2.20. Если функция в точке не является непрерывной, то говорят, что она в этой точке разрывна. Точка в этом случае называется точкой разрыва функции .
Определение 2.21. Пределом функции в точке слева (справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что , . Пределы слева и справа называются односторонними пределами и обозначаются соответственно, .
Определение 2.22. Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы и в этой точке существуют.
Если хотя бы один из односторонних пределов в точке не существует, то эта точка называется точкой разрыва второго рода.
Точка разрыва функции первого рода называется точкой устранимого разрыва, если
. Если же в точке односторонние пределы неравны, то есть , то она называется точкой скачка функции, а величина называется скачком функции в точке .
Функции одного действительного переменного: функции, определённые и непрерывные на компактных множествах; формулировки и смысл основных теорем.
Теорема 2.6. Пусть – некоторое замкнутое и ограниченное множество, а – определённая на этом множестве непрерывная функция. Тогда множество значений этой функции – также замкнуто и ограничено.
Следствие из теоремы 2.6. Функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве действительных чисел , ограничена на этом множестве и принимает на нём наибольшее и наименьшее значения.
Пусть – функция, непрерывная на компактном множестве действительных чисел , и пусть – любое число, удовлетворяющее условию .
Тогда существует такая точка , что .
Следствие из теоремы 2.7. Функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве действительных чисел и удовлетворяющая условию
,
имеет на этом множестве, по крайней мере, один нуль, то есть существует точка , такая, что .
Функции одного действительного переменного: определение бесконечно малой и бесконечно большой функций; одно из утверждений теоремы об операциях с бесконечно малыми функциями (с доказательством).
Определение 2.17. Функция называется бесконечно малой функцией при условии , если.
Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
Теорема 2.9. Если функции , и , определённые на множестве , являются бесконечно малыми функциями при , а функция при ограничена, то функции и также являются бесконечно малыми функциями при .
Лемма 2.1 (критерий существования предела функции). Пусть и . Тогда следующие два условия эквивалентны:
1) ;
2) , где .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . По определению предела
.
То есть, , где . Следовательно, получаем .
Обратно, пусть и . По определению бесконечно малой функции имеем .
Откуда следует, что .
Функции одного действительного переменного: критерий о существовании предела функции с бесконечно малыми функциями (с доказательством).
Лемма 2.1 (критерий существования предела функции). Пусть и . Тогда следующие два условия эквивалентны:
1) ;
2) , где .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . По определению предела
.
То есть, , где . Следовательно, получаем .
Обратно, пусть и . По определению бесконечно малой функции имеем .
Откуда следует, что .
Функции одного действительного переменного: понятие бесконечно большой функций; теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).
Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.
Функции одного действительного переменного: классификация бесконечно малых функций; теорема о пределе отношения эквивалентных бесконечно малых (с доказательством).
Определение 2.18. Пусть и – две бесконечно малые при функции. Тогда вводится следующая классификация:
1) если , то есть при условии является бесконечно малой функцией, то функция называется бесконечно малой функцией при условии более высокого порядка, чем функция ;
2) если , то функции и называются бесконечно малыми функциями при условии одного порядка;
3) если при условии отношение функций является бесконечно большой функцией, то есть выполняется формальное равенство , то функция называется бесконечно малой функцией при условии более низкого порядка, чем функция ;
4) если функции и являются бесконечно малыми функциями одного порядка, причём , то эти функции называются эквивалентными бесконечно малыми функциями при условии , и пишут ;
5) функция называется бесконечно малой функцией -го порядка относительно бесконечно малой функции при , если функции и (при условии ) будут бесконечно малыми функциями одного порядка, то есть если существует (отличный от нуля) предел
Теорема 2.11. Предел отношения двух бесконечно малых при функций (если он существует) равен пределу отношения соответствующих им эквивалентных бесконечно малых функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и для любых из множества определения рассматриваемых функций. Запишем тождество
.
Переходя к пределу и используя определение эквивалентных бесконечно малых функций, получаем:
.
Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного: понятие дифференцируемости функции; альтернативные определения первой производной функции и её геометрический смысл; дифференциал функции и его геометрический смысл.
Определение 3.3. Пусть – допустимое множество. Действительная функция называется дифференцируемой в точке , если выполняется условие:
, (3.8)где .
Определение 3.4. Пусть функция , определённая на множестве , дифференцируема в точке . Тогда величина , определяемая предельным соотношением (3.9), называется первой производной функции в точке и обозначается
.
Выясним геометрический смысл первого дифференциала функции в точке . Очевидно, что . С другой стороны, поэтому получаем , откуда следует равенство. (3.17)
Из последнего равенства видно, что значение дифференциала функции в точке приближённо равно приращению значения дифференцируемой функции при перемещении из точки в «близкую» к ней точку .
Определение производной: Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.
LimΔx→0 (Δf(x0)/Δx)=limΔx→0 ((f(x+Δx)-f(x0))/Δx)=f`(x0)
Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного: рациональные действия с производными функции, доказательство одного из правил по выбору.
Теорема 3.1. Пусть функции определены на одном и том же множестве и дифференцируемы в точке . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) сумма дифференцируема в точке и имеет место формула
; (3.18)
2) если , то функция дифференцируема в точке и имеет место формула
; (3.19)
3) произведение дифференцируемо в точке и имеет место формула
; (3.20)
4) если , то функция дифференцируема в точке и имеет место формула ; (3.21)
5) если , то частное дифференцируемо в точке и имеет место формула. (3.22)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение 3, используя определение 3.5. По условию теоремы в некоторой окрестности точки существуют такие функции и , непрерывные в точке , что
, .
Тогда получаем:

.
Функция в квадратных скобках непрерывна в точке и принимает в ней значение
,
что и доказывает утверждение 3.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично, причём утверждение 5 является следствием утверждения 3.

Приложенные файлы

  • docx 23802226
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий