Методичка АЛГЕБРА 2009-2010

I. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
1. Линейные пространства
Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство 13 EMBED Equation.3 1415. Геометрический смысл пространств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного пространства.
Скалярное произведение векторов в 13 EMBED Equation.3 1415. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в 13 EMBED Equation.3 1415. Ортогональный и ортонормированный базисы в 13 EMBED Equation.3 1415. Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения подпространств.
2. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители
Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг матрицы. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам*. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестными, состоящей из 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера; 5) нахождение обратной матрицы.
3. Многочлены и комплексные числа
Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни многочленов. Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида. Разложение правильной дроби на сумму элементарных дробей.
Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни 13 EMBED Equation.3 1415-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры *.
4. Линейные преобразования и квадратичные формы
Линейные преобразования пространства 13 EMBED Equation.3 1415. Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.
Билинейные и квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы *.
5. Элементы аналитической геометрии
Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n-мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.
Классификация кривых второго порядка *. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Классификация поверхностей второго порядка *. Эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.
Выпуклые множества в пространстве 13 EMBED Equation.3 1415. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Линейное программирование
6.1. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Формы задач линейного программирования: общая, стандартная, каноническая.
6.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
6.3. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).
6.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.

II. СТРУКТУРА ЗАЧЕТА И ЭКЗАМЕНА

Зачет проводится в письменной форме в первую сессию.
Билет для зачета состоит из 5 заданий. Каждое верно выполненное задание оценивается в 20 баллов. На выполнение всех заданий отводится 1,5 часа.
Экзамен проводится в письменной форме во вторую сессию. Экзаменационный билет состоит из 8 заданий. Каждое верно выполненное задание оценивается в 10 баллов. На выполнение всех заданий отводится 2 часа.

Методика расчета итоговой оценки
Зачет ставится за выполнение первой домашней работы (до 10 баллов) и за письменную работу (не менее 3-х правильно решенных заданий). Возможно получение зачета «автоматом».
Письменный экзамен (максимум 80 баллов) + баллы за домашние работы в семестре (максимум 20 баллов).
51-69 баллов
70-85 баллов
86-100

«удовлетворительно»
«хорошо»
«отлично»

80-балльная оценка за письменный экзамен получается суммированием 10-балльных оценок за ответ на каждый экзаменационный вопрос (в билете 8 вопросов).
20-балльная оценка за работу в семестре складывается из 10-бальной оценки за первую домашнюю работу и 10-бальной оценки за вторую домашнюю работу.
Расчет 20-балльной оценки за каждую половину семестра основывается на: 1) оценках за домашние контрольные работы, 2) ответах у доски, 3) посещении семинарских занятий и консультаций.

III. СОДЕРЖАНИЕ ЗАЧЕТА И ЭКЗАМЕНА

Теоретические вопросы (А)
(определения, свойства и теоремы на уровне формулировок)

Определение линейного пространства.
Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.
Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
Определение ортогональной системы векторов.
Определение скалярного произведения векторов в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и его свойства.
Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.
Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
Определение ранга матрицы.
Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
Определение ортогональной матрицы.
Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
Определение обратной матрицы и ее свойства.
Свойства определителей.
Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Теорема Безу и следствия из нее.
Определение модуля и аргумента комплексного числа.
Формула Муавра.
Основная теорема алгебры.
Определение линейного преобразования.
Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
Определение квадратичной формы.
Закон инерции квадратичных форм.
Критерий Сильвестра.
Формула расстояния между точками в многомерном пространстве. Свойства расстояния.
Определение отрезка, теорема об отрезке.
Определение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- плоскости. Гиперплоскость.
Определение и свойства выпуклого множества.
Определение и примеры кривых второго порядка.
Определение и примеры поверхностей второго порядка.
Определение угловых точек выпуклого множества.
Определение стандартной задачи линейного программирования.
Определение канонической задачи линейного программирования.
Графическое решение задач линейного программирования.
Определение двойственной задачи линейного программирования.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Теоретические вопросы (Б)
(теоретические вопросы на доказательство)

Неравенство Коши-Буняковского.
Неравенство треугольника.
Линейная независимость лестничной системы векторов.
Однозначность разложения вектора по базису.
Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме.
Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.
Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
Невырожденность ортогональной матрицы.
Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
Вывод канонического уравнения эллипса.
Вывод канонического уравнения гиперболы.
Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
Переход от стандартной задачи линейного программирования к канонической.
Переход от канонической задачи линейного программирования к стандартной.
Линии уровня и графическое решение задач линейного программирования.
Алгоритм симплекс-метода.
Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса).
Основные теоремы двойственности.

Практические задания

Линейные операции над векторами в 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисление скалярных произведений, длин векторов и угла между векторами в 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Исследование систем векторов на линейную зависимость.
Вычисление ранга системы векторов.
Разложение вектора по базису общего вида в 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисление координат вектора относительно заданного ортогонального базиса в 13 EMBED Equation.3 1415.
Нахождение размерности пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Построение фундаментального набора решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Вычисление ранга матрицы.
Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц.
Вычисление произведения матриц.
Вычисление обратной матрицы.
Вычисление определителей.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Нахождение целых и рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. Разложение многочленов на множители.
Деление многочленов уголком. Нахождение НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида.
Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
Вычисления с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
Перевод комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую форму.
Решение простейших алгебраических уравнений с действительными коэффициентами в области комплексных чисел.
Нахождение собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы.
Нахождение матрицы линейного преобразования. Вычисление ранга линейного преобразования.
Нахождение образа вектора при линейном преобразовании пространства 13 EMBED Equation.3 1415.
Нахождение матрицы квадратичной формы. Вычисление ранга квадратичной формы.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Исследование квадратичной формы на знакоопределенность по критерию Сильвестра.
Нахождение общего уравнения прямой на плоскости, заданной различными способами.
Нахождение точки пересечения прямых и угла между парой прямых на плоскости.
Вычисление расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми на плоскости.
Определение вида кривой второго порядка по общему уравнению.
Нахождение основных характеристик кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.
Нахождение общего уравнения плоскости в трехмерном пространстве, заданной различными способами.
Вычисление расстояния от точки до плоскости и расстояния между парой параллельных плоскостей в трехмерном пространстве.
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
Задание выпуклых многогранных областей системами линейных неравенств. Нахождение вершин выпуклых многогранных областей.
Графическое решение стандартных задач линейного программирования.
Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод) решения канонических задач линейного программирования.
Метод искусственного базиса решения канонических задач линейного программирования.
Решение взаимо-двойственных задач линейного программирования.


Примеры задач (А)
1. Найдите вектор 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
2. Найдите вектор 13EMBED Equation.31415 из уравнения 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
3. Найдите длину вектора 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
4. Найдите скалярное произведение векторов 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
5. Найдите косинус угла между векторами 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
6. Вычислите: 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
7. Вычислите ранг системы векторов: а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
8. Разложите вектор 13EMBED Equation.31415 по базису 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
9. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов: а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
10. Найти координаты вектора 13EMBED Equation.31415 в ортогональном базисе: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415; в) 13EMBED Equation.31415.
12. Решите методом Гаусса систему уравнений 13EMBED Equation.31415, выбирая 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.
13. Решите систему уравнений 13EMBED Equation.31415, выбирая 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное решение.
14. Найдите фундаментальный набор решений системы 13EMBED Equation.31415.
15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415;
16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:
13EMBED Equation.31415.
17. Решите систему линейных уравнений: 13EMBED Equation.31415
18. Найдите ранг матрицы:
а)13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415; в)13EMBED Equation.31415;
г) 13EMBED Equation.31415; д) 13EMBED Equation.31415;е) 13EMBED Equation.31415.
19. Найдите матрицу 13EMBED Equation.31415, если13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
20. Найдите матрицу 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
21. Вычислите 13EMBED Equation.31415 где:
а) 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415;
в) 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415; г) 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415;
22. Вычислите 13EMBED Equation.31415 где 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
23. Вычислите матрицу 13EMBED Equation.31415.
24. Вычислите 13EMBED Equation.31415, если: а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415.
25. Вычислите определитель матрицы 13EMBED Equation.31415.
26. Вычислите: а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415.
27. Вычислите определитель матрицы 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415.
28. Вычислите определитель матрицы 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415.
29. Найдите целые корни многочленов
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
30. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
31. Запишите в тригонометрической форме комплексное число 13EMBED Equation.31415.
32. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) 13EMBED Equation.31415;
б) 13EMBED Equation.31415.
33. Найдите модуль комплексного числа 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415.
34. Найдите модуль комплексного числа 13EMBED Equation.31415, если:
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
35. Найдите аргумент комплексного числа 13EMBED Equation.31415, если:
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,13EMBED Equation.31415;
б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
в) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
36. Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень 13EMBED Equation.31415.
37. Найдите собственные значения матрицы:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415; в) 13EMBED Equation.31415;
г) 13EMBED Equation.31415; д) 13EMBED Equation.31415; е) 13EMBED Equation.31415.
38. Найдите собственные значения матрицы 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415.
39. Найдите собственные значения матрицы 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415.
40. В пространстве столбцов 13EMBED Equation.31415 действует линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 по правилу: 13EMBED Equation.31415. Напишите матрицу 13EMBED Equation.31415 преобразования 13EMBED Equation.31415 в стандартном базисе и найдите 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415.
41. В пространстве 13EMBED Equation.31415 действует линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 по правилу: 13EMBED Equation.31415. Напишите матрицу преобразования 13EMBED Equation.31415 в стандартном базисе.
42. В пространстве столбцов 13EMBED Equation.31415 действует линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 по правилу: 13EMBED Equation.31415. Найдите образ вектора 13EMBED Equation.31415.
43. В пространстве 13EMBED Equation.31415 действует линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 по правилу: 13EMBED Equation.31415. Найдите образ вектора 13EMBED Equation.31415.
44. Линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 пространства 13EMBED Equation.31415задано в стандартном базисе своей матрицей 13EMBED Equation.31415. Найдите образ 13EMBED Equation.31415 вектора 13EMBED Equation.31415.
45. Вычислите ранг квадратичной формы:
а) 13EMBED Equation.31415;
б) 13EMBED Equation.31415;
в) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415.
46. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415; в) 13EMBED Equation.31415
47. Выясните, является ли положительно определенной квадратичная форма 13EMBED Equation.31415.
48. Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма
13EMBED Equation.31415.
49. Найдите угол 13EMBED Equation.31415в треугольнике 13EMBED Equation.31415 с вершинами
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; в) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; г) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
50. Найдите точку пересечения прямых 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
51. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку 13EMBED Equation.31415, в направлении вектора 13EMBED Equation.31415.
52. Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку 13EMBED Equation.31415 имеет нормальный вектор 13EMBED Equation.31415.
53. Найдите уравнение прямой, содержащей точку 13EMBED Equation.31415и перпендикулярной к прямой, проходящей через точки 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
54. Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
55. Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку 13EMBED Equation.31415 и параллельной прямой 13EMBED Equation.31415.
56. Найдите расстояние от точки 13EMBED Equation.31415 до прямой 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
57. Найдите эксцентриситет эллипса 13EMBED Equation.31415.
58. Найдите эксцентриситет гиперболы 13EMBED Equation.31415.
59. Запишите уравнения асимптот гиперболы 13EMBED Equation.31415.
60. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415;
в) 13EMBED Equation.31415.
61. Две прямые заданы уравнениями 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415. Найдите косинус угла между ними.
62. Найдите косинус угла между плоскостями 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
63. Найдите расстояние от точки 13EMBED Equation.31415 до плоскости 13EMBED Equation.31415.
64. Найдите расстояние между параллельными плоскостями 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
65. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку 13EMBED Equation.31415 и перпендикулярной прямой 13EMBED Equation.31415.
66. Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку 13EMBED Equation.31415 и перпендикулярной вектору 13EMBED Equation.31415.
67. Найдите общее уравнение плоскости 13EMBED Equation.31415, которая параллельна плоскости 13EMBED Equation.31415 и проходит через точку 13EMBED Equation.31415.
68. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; в) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
69. Найдите точку пересечения прямой 13EMBED Equation.31415 и плоскости 13EMBED Equation.31415.
70. Найдите длину отрезка 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
71. Пусть 13EMBED Equation.31415 – выпуклая оболочка точек 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество 13EMBED Equation.31415.
72. Пусть 13EMBED Equation.31415 – выпуклая оболочка точек 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые задают множество 13EMBED Equation.31415.
73. Решите графически задачи линейного программирования:
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415,
13EMBED Equation.DSMT41415
74. Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:

13EMBED Equation.31415.
75. Дана начальная симплекс-таблица задачи линейного программирования на минимум:
13EMBED Equation.31415.
Решить задачу симплекс-методом.


Примеры задач (Б)
1. Разложите векторы 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 по базису, состоящему из векторов 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
2. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 линейно зависимы? Выразить вектор 13 EMBED Equation.3 1415в виде линейной комбинации векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При каких значениях параметров 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 верно равенство 13 EMBED Equation.3 1415?
4. Найти все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при которых вектор 13 EMBED Equation.3 1415линейно выражается через векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
5. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ортогональны?
6. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 образуют базис пространства 13 EMBED Equation.3 1415?
7. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 образуют ортогональный базис пространства 13 EMBED Equation.3 1415?
8. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны?
9. Найдите значения параметра 13EMBED Equation.31415, при которых строки заданной матрицы13EMBED Equation.31415 линейно зависимы:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415.
10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415;
в) 13EMBED Equation.31415.
11. Найдите значения параметра 13EMBED Equation.31415, при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее решение системы: 13EMBED Equation.31415.
12. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 однородная система уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 имеет ненулевые решения?
13. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 система уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение?
14. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 матрица 13 EMBED Equation.3 1415 является невырожденной?
15. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 ранг матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 равен 4?
16. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 ранг матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 равен 3?
17. Используя равенство 13EMBED Equation.31415, найдите матрицу 13EMBED Equation.31415.
18. Вычислите степень ортогональной матрицы 13EMBED Equation.31415.
19. Вычислите определитель матрицы
а)13EMBED Equation.31415; б)13EMBED Equation.31415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
20. Найдите определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
21. Представьте дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей над 13 EMBED Equation.3 1415:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
22. Решите систему уравнений по формулам Крамера: 13 EMBED Equation.3 1415.
23. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную форму 13EMBED Equation.31415.
24. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 квадратичная форма 13 EMBED Equation.3 1415 является положительно определенной?
25. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 квадратичная форма 13 EMBED Equation.3 1415 является отрицательно определенной?
26. Найдите собственные значения матрицы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
27. Найдите собственные векторы матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, отвечающие собственному значению 13 EMBED Equation.3 1415, если:
а) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
28. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное действительное собственное значение? Найти это значение.
29. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет: 1) имеет два различных действительных собственных значения; 2) единственное действительное собственное значение; 3) не имеет действительных собственных значений?
30. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет нулевое собственное значение?
31. Найдите координаты вектора в базисе 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415 – его координаты в базисе 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
32. В пространстве строк 13EMBED Equation.31415 действует линейное преобразование 13EMBED Equation.31415 по правилу: 13EMBED Equation.31415. Найдите его собственные векторы, если известно, что оно имеет следующие собственные значения: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
33. Найдите проекцию точки 13EMBED Equation.31415 на прямую, содержащую точки 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
34. Найдите проекцию точки 13EMBED Equation.31415 напрямую 13EMBED Equation.31415: 13EMBED Equation.31415.
35. Найдите точку 13EMBED Equation.31415, симметричную точке 13EMBED Equation.31415 относительно прямой 13EMBED Equation.31415: 13 EMBED Equation.3 1415.
36. Найдите точку 13EMBED Equation.31415, симметричную точке 13EMBED Equation.31415 относительно прямой, содержащей точки 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
37. Даны точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При каком значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415 вектор 13 EMBED Equation.3 1415 является вектором медианы 13 EMBED Equation.3 1415 треугольника 13 EMBED Equation.3 1415?
38. В треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При каком значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415 вектор 13 EMBED Equation.3 1415является вектором высоты треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415основание высоты 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит стороне 13 EMBED Equation.3 1415)?
39. В треугольнике 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При каком значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415 вектор 13 EMBED Equation.3 1415 является вектором биссектрисы треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)? Проверить, что при найденном значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415 вектор 13 EMBED Equation.3 1415 является вектором биссектрисы треугольника 13 EMBED Equation.3 1415.
40. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются под прямым углом?
41. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются под углом 13 EMBED Equation.3 1415?
42. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 параллельны, но не совпадают?
43. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцентриситет равен 13 EMBED Equation.3 1415, а расстояние между фокусами равно 13 EMBED Equation.3 1415.
44. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцентриситет равен 13 EMBED Equation.3 1415, а расстояние между фокусами равно 13 EMBED Equation.3 1415.
45. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцентриситет равен 13 EMBED Equation.3 1415, а расстояние между фокусами равно 13 EMBED Equation.3 1415.
46. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой расстояние между фокусами равно 13 EMBED Equation.3 1415, а асимптоты имеют уравнения 13EMBED Equation.31415.
47. Найдите проекцию точки 13EMBED Equation.31415 на плоскость 13EMBED Equation.31415..
48. Найдите точку 13EMBED Equation.31415, симметричную точке 13EMBED Equation.31415 относительно плоскости 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415.
49. Найдите точку 13EMBED Equation.31415, симметричную точке 13EMBED Equation.31415 относительно прямой 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415.
50. Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану 13EMBED Equation.31415 треугольника 13EMBED Equation.31415 с вершинами 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
51. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 точка 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит отрезку 13 EMBED Equation.3 1415 (или является комбинацией точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415), если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415?
52. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются?
53. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415скрещиваются?
54. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415параллельны, но не совпадают?
55. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 совпадают?
56. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 в пространстве 13 EMBED Equation.3 1415прямая 13 EMBED Equation.3 1415 ортогональна гиперплоскости 13 EMBED Equation.3 1415?
57. Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:
а) 13EMBED Equation.31415; б) 13EMBED Equation.31415
58. Решить симплексным методом задачи линейного программирования:
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 .
59. Составить по общему правилу двойственную задачу к исходной задаче линейного программирования. Решить исходную задачу графическим методом. Найти оптимальное решение двойственной задачи с помощью теоремы равновесия.
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415

IV. ОБРАЗЦЫ БИЛЕТОВ К ЗАЧЕТУ (1-ый семестр)

Вариант 1

Дайте определение квадратной матрицы. Приведите пример квадратной матрицы третьего порядка ранга 2. Чему равен ее определитель?
Докажите, что для ненулевых векторов 13EMBED Equation.DSMT41415 выполняются неравенства 13EMBED Equation.DSMT41415
Найти координаты вектора 13EMBED Equation.DSMT41415 в ортогональном базисе: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Вычислить произведения матриц: 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT4141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислить обратную матрицу для следующей матрицы 13EMBED Equation.DSMT41415.
Вариант 2
Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. Приведите пример применения правила Крамера.
Опишите операцию сопряжения комплексных чисел. Покажите, что сопряжение сохраняет сумму и произведение комплексных чисел.
Из системы столбцов заданной матрицы A выделить максимальную линейно независимую подсистему и представить остальные столбцы в виде линейных комбинаций выделенных:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Вычислить определитель матрицы
13EMBED Equation.DSMT41415.
Решить матричное уравнение
13EMBED Equation.DSMT41415.


V. ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ (2-ой семестр)

Вариант 1

1. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера 13EMBED Equation.DSMT41415 ранга n ? Ответ обосновать.
2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, имеющей единственное решение.
3. Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Из скольких элементов он состоит? Приведите пример. Ответ обосновать.
4. Дополнить следующие векторы до ортогонального базиса: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
5. Вычислить матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислить определитель матрицы
13EMBED Equation.DSMT41415.
Найти канонические уравнения сторон треугольника ABC с вершинами 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Найти решение следующей задачи линейного программирования:
13EMBED Equation.DSMT41415

Вариант 2

1. Дайте определение произведения матриц A и B. Приведите пример. Для любых ли квадратных матриц верно равенство 13EMBED Equation.DSMT41415? Ответ обосновать.
2. Приведите пример симплекс-таблицы задачи линейного программирования, не имеющей решения.
3. Запишите общее решение однородной системы линейных уравнений. Образует ли множество решений однородной системы линейных уравнений линейное пространство? Ответ обосновать.
4. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
13EMBED Equation.DSMT41415.
5. Найти матрицу 13EMBED Equation.DSMT41415.
Вычислить определитель матрицы 13EMBED Equation.DSMT41415.
Найти уравнения сторон треугольника с вершинами 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:
13EMBED Equation.DSMT41415

VI. ОТВЕТЫ

Примеры задач (А)
1. 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 8; 4. 13 EMBED Equation.3 1415; 5. 13 EMBED Equation.3 1415; 6. 13 EMBED Equation.3 1415; 7. а) 3; б) 2; 8. 13 EMBED Equation.3 1415; 9. а) линейно зависима; б) линейно независима; 10. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 11. а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; 12. 13 EMBED Equation.3 1415; 13. 13 EMBED Equation.3 1415; 14. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 15. а) 3; б) 1; 16. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 17. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 18. а) 3; б) 4; в) 2; г) 2; д) 2; е) 3; 19. 13 EMBED Equation.3 1415; 20. 13 EMBED Equation.3 1415; 21. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; 22. 13 EMBED Equation.3 1415; 23. 13 EMBED Equation.3 1415; 24. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 25. 36; 26. а) 54; б) 48; 27. 64; 28. 13 EMBED Equation.3 1415; 29. а) 2, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 1; 30. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 31. 13 EMBED Equation.3 1415; 32. 13 EMBED Equation.3 1415; 33. 13 EMBED Equation.3 1415; 34. а) 10; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 35. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; 36. 13 EMBED Equation.3 1415; 37. а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 38. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 39. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 40. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 41. 13 EMBED Equation.3 1415; 42. 13 EMBED Equation.3 1415; 43. 13 EMBED Equation.3 1415; 44. 13 EMBED Equation.3 1415; 45. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1; 46. а) 3; б) 1; в) 2; 47. Да; 48. Нет; 49. а) 60(; б) 45(; в) 30(; г) 90(; 50. 13 EMBED Equation.3 1415; 51. 13 EMBED Equation.3 1415; 52. 13 EMBED Equation.3 1415; 53. 13 EMBED Equation.3 1415; 54. 13 EMBED Equation.3 1415; 55. 13 EMBED Equation.3 1415; 56. а) 2; б) 2; 57. 13 EMBED Equation.3 1415; 58. 13 EMBED Equation.3 1415; 59.13 EMBED Equation.3 1415; 60. а) Гипербола; б) Эллипс; в) Парабола; 61. 13 EMBED Equation.3 1415; 62. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 63. 7; 64. 3; 65. 13 EMBED Equation.3 1415; 66. 13 EMBED Equation.3 1415; 67. 13 EMBED Equation.3 1415; 68. 13 EMBED Equation.3 1415; 69. 13 EMBED Equation.3 1415; 70. 5; 71. 13 EMBED Equation.3 1415; 72. 13 EMBED Equation.3 1415; 73. a) min в точке 13EMBED Equation.DSMT41415 б) min в точке: 13EMBED Equation.DSMT41415,
max в точке: 13EMBED Equation.DSMT41415, в) max в точке: 13EMBED Equation.DSMT41415 74. 13EMBED Equation.DSMT4141575. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Примеры задач (Б)
1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 4. 13 EMBED Equation.3 1415; 5. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 6. 13 EMBED Equation.3 1415; 7. 13 EMBED Equation.3 1415; 8. 13 EMBED Equation.3 1415; 9. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 10. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; 11. 13 EMBED Equation.3 1415; 12. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 14. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 15. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 16. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 17. 13 EMBED Equation.3 1415; 18. 13 EMBED Equation.3 1415; 19. а) 8; б) 72; в)13 EMBED Equation.3 1415; 20. 13 EMBED Equation.3 1415; 21. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415 22. (1; 4); 23. 13 EMBED Equation.3 1415; 24. 13 EMBED Equation.3 1415; 25. 13 EMBED Equation.3 1415; 26. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415; 27. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 28. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 29. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; 30. 13 EMBED Equation.3 1415; 31. 13 EMBED Equation.3 1415; 32. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 33. 13 EMBED Equation.3 1415; 34. 13 EMBED Equation.3 1415; 35. 13 EMBED Equation.3 1415; 36. 13 EMBED Equation.3 1415; 37. 12; 38. 13 EMBED Equation.3 1415; 39. 13 EMBED Equation.3 1415; 40. 13 EMBED Equation.3 1415; 41. 13 EMBED Equation.3 1415; 42. 13 EMBED Equation.3 1415; 43. 13 EMBED Equation.3 1415; 44. 13 EMBED Equation.3 1415; 45. 13 EMBED Equation.3 1415; 46. 13 EMBED Equation.3 1415; 47. 13 EMBED Equation.3 1415; 48. 13 EMBED Equation.3 1415; 49. 13 EMBED Equation.3 1415; 50. 13 EMBED Equation.3 1415; 51. 13 EMBED Equation.3 1415; 52. 13 EMBED Equation.3 1415; 53. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 54. 13 EMBED Equation.3 1415; 55. 13 EMBED Equation.3 1415; 56. 13 EMBED Equation.3 1415; 57. а) (3; 3), (12; 7), (7; 13); б) (2;4;0;60;0), (11;8;60;0;0), (5;12;0;0;60); 58. а) max в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) max в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 min в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 59. 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415.


Образцы билетов для зачета (1-й семестр)
Вариант 1
2.13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415; 4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5..13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант 2

3. 13EMBED Equation.DSMT41415.
Ранг матрицы A равен 2. Ответ. 13EMBED Equation.DSMT41415.4. 114;
5. 13EMBED Equation.DSMT41415.




Образцы экзаменационных билетов (2-й семестр)
Вариант 1
4. Ответ. 13EMBED Equation.DSMT41415; 5. 13EMBED Equation.DSMT41415. 6. 48; 7. 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415; 8. Оптимальное решение 13EMBED Equation.DSMT41415 достигается при 13EMBED Equation.DSMT41415
Вариант 2
4. 13EMBED Equation.DSMT41415. Ранг системы равен 3.
Частное решение: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
5. 13EMBED Equation.DSMT41415.
6. (4.
7. 13EMBED Equation.DSMT41415: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415: 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415: 13EMBED Equation.DSMT41415.
8.13EMBED Equation.DSMT41415.


VII. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003 (рекомендовано Министерством образования РФ).
Калачев Н.В. Линейные и евклидовы пространства. Пособие для бакалавров экономики и менеджмента. Ч. 1, – М.: Финакадемия, 2009. – 130 с. Под редакцией В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева.
Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Многочлены и комплексные числа. Собственные значения и собственные векторы. Модель Леонтьева. Пособие для бакалавров экономики и менеджемента. – М.: Финакадемия, 2009.
Тищенко А.В. Линейная алгебра: Элементы аналитической геометрии: Учебное пособие для бакалавриата. Ч. 3. М.: Финакадемия, 2009.
Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейная алгебра. Ч. 4: Линейное программирование: Учебное пособие для подготовки бакалавров / Под ред. В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева. М.: Финакадемия, 2009.
Бабайцев В.А., Гончаренко В.М., Шандра И.Г. Математика для экономистов. Ч. 1. Линейная алгебра (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 2001.
Браилов А.В., Липагина Л.В., Швецов Ю.Н. Математика в экономике. Ч. 2. Аналитическая геометрия. Линейное программирование (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 1999.
Браилов А.В., Орлова М.Г., Рылов А.А. Математика для экономистов. Ч. 2. Аналитическая геометрия (руководство к решению задач). – М.: Финансовая академия, 2003.
Волкова Е.С. Теория кривых второго порядка (тексты лекций). – М.: Финансовая академия, 2001.
Пчелинцев С. В. Вопросы и задачи по линейной алгебре. – М.: Финансовая академия, 2006.
Сборник задач по курсу математики (под ред. Солодовникова А.С. и Браилова А.В.). – М.: Финансовая академия, 2001.
Калачев Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию. Часть I. – М.: Финансовая академия, 2005.
Калачев Н.В., Липагина Л.В., Орлова М.Г. Математика. Учебно-методический материал для подготовки домашних контрольных заданий по линейной алгебре с элементами аналитической геометрии и линейному программированию. Часть II. – М.: Финансовая академия, 2005.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

* Без доказательства (здесь и далее по тексту).









13PAGE 15


13PAGE 143915




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New Romane Pack 3
·
·о %15

Приложенные файлы

  • doc 23795516
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий