ответ на 2 вопрос 2 билета


Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где
 — искомая функция,
 — её -тая производная,
 — фиксированные числа,
 — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
Неоднородное уравнение
Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).
Вид общего решения неоднородного уравнения[Если дано частное решение неоднородного уравнения , и  — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

где  — произвольные постоянные.
Принцип суперпозицииКак в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций
,
частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций
,
где  являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями , соответственно.
Частный случай:  HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" \o "Квазимногочлен" квазимногочлен
В случае, когда  — квазимногочлен, то есть

где  — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

где
 многочлены, , коэффициенты которых находятся подстановкой  в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
 является кратностью комплексного числа , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
В частности, когда

где  — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

Здесь  — многочлен, , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой  в уравнение.  является кратностью , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же

где  — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

Здесь  — многочлен, , а  является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Уравнение Коши — Эйлера
HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0" \o "Уравнение Коши — Эйлера" Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:
,
приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида .

Приложенные файлы

  • docx 23765088
    Размер файла: 48 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий