Разделы 1 и 2 (3)

РАЗДЕЛ I. Линейная алгебра

Практическое занятие №1
Матрицы. Действия над матрицами

Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел:
13 EMBED Equation.2 1415.
Данная таблица чисел называется матрицей размерности 13 EMBED Equation.3 1415, где m – количество строк; n – количество столбцов.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются элементами данной матрицы А. Индексы i и j указывают номера строки и столбца, в пересечении которых стоит элемент 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 14153-я строка, 2-й столбец). Если 13 EMBED Equation.3 1415, то матрица А называется квадратной порядка n. Элементы 13 EMBED Equation.3 1415 образуют главную диагональ матрицы А. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нулевые, называется единичной матрицей.
Единичная матрица любого порядка обозначается Е.
Например,
13 EMBED Equation.2 1415 это единичная матрица второго порядка.
13 EMBED Equation.2 1415 это единичная матрица третьего порядка.
Суммой 13 EMBED Equation.3 1415 матриц 13 EMBED Equation.2 1415 одинаковой размерности называется матрица 13 EMBED Equation.2 1415 той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: 13 EMBED Equation.2 1415.
Произведением 13 EMBED Equation.3 1415 матрицы 13 EMBED Equation.2 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.2 1415, получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на число k:
13 EMBED Equation.2 1415.
Пример 1. а) Выполнить сложение двух матриц:
13 EMBED Equation.2 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Произведением матрицы 13 EMBED Equation.2 1415 размерности 13 EMBED Equation.3 1415 на матрицу 13 EMBED Equation.2 1415 размерности 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415 размерности 13 EMBED Equation.3 1415, каждый элемент которой 13 EMBED Equation.3 1415, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме парных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В:
13 EMBED Equation.2 1415.

Пример 2. Перемножить матрицы:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Эти матрицы можно перемножить, т.к. количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы 13 EMBED Equation.3 1415. Получилась матрица размерности 3(3, т.е. квадратная матрица порядка 3.

Выполнить задания:
Даны матрицы 13 EMBED Equation.3 1415. Проверить, выполняется ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполнить действия над матрицами:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.

Практическое занятие №2
Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
Определители произвольного порядка

Определителем второго порядка, соответствующем квадратной матрице 13 EMBED Equation.2 1415 называется число, равное:
13 EMBED Equation.2 1415 (1)
Например, 13 EMBED Equation.2 1415.

Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице 13 EMBED Equation.2 1415 называется число
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 (2)
При вычислении определителя третьего порядка полезно использовать схему Саррюса:
13 EMBED Word.Picture.6 1415
13 EMBED Word.Picture.6 1415

Например,
13 EMBED Equation.2 1415.

Определители произвольного порядка

Минором 13 EMBED Equation.3 1415 элемента 13 EMBED Equation.3 1415 определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент 13 EMBED Equation.3 1415.
Алгебраическим дополнением 13 EMBED Equation.3 1415 элемента 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, которое вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Знаки перед минорами для алгебраических дополнений элементов определителя третьего порядка определяются таблицей:
13 EMBED Equation.2 1415.
Таблица знаков для алгебраических дополнений элементов определителя четвертого порядка:
13 EMBED Equation.2 1415.
Пример 1. Вычислить миноры 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и алгебраические дополнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 для определителя:
13 EMBED Equation.2 1415
Решение.
13 EMBED Equation.2 1415 и т.д.
13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Используя определение алгебраических дополнений и формулу (см. формулу определителя третьего порядка), можно записать определитель третьего порядка следующей формулой:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 (3)
В формуле (3) определитель представлен разложением по элементам первой строки. По аналогичной формуле можно ввести понятие определителя четвертого порядка:
13 EMBED Equation.2 1415 (4)

Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков.
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415матрица, транспонированная матрице А.
Свойство 2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Свойство 3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Проверим это свойство на примере определителя второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 4. Если какие-либо две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 5. Если в определителе элементы двух строк (столбцов) соответственно равны друг другу, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если определитель имеет столбец (строку) из нулей, то определитель равен нулю.
Свойство 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример 2. Вычислить определитель разложением по элементам второго столбца:
13 EMBED Equation.2 1415
Пример 3. Вычислить определитель, используя свойства:
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.3 1415

Выполнить задания:
Объяснить равенства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить определитель разложением по элементам сначала первой строки, а затем по элементам второго столбца:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.

Практическое занятие №3
Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Составим главный определитель из коэффициентов при неизвестных:
13EMBED Unknown1415
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система (1) имеет решения, которые находятся по формулам:
13EMBED Unknown1415,
где определитель 13 EMBED Equation.3 1415 получается из главного определителя ( заменой i-го столбца столбцом свободных членов:
13 EMBED Equation.3 1415.

б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система (1) не имеет решений.

Пример 1. Решить систему уравнений: 13EMBED Unknown1415
Решение.
13EMBED Unknown1415 решение существует;
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415.
13 EMBED Equation.3 1415

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415главный определитель системы (2) не равен нулю, то система имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415, которое называется тривиальным.

б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система (2) имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Пример 2. Решить однородные системы уравнений:
а) 13EMBED Unknown1415
(единственное решение).
б) 13 EMBED Equation.3 1415
13EMBED Unknown1415 система имеет нетривиальное решение.
Уравнение (3) получено суммированием уравнений (1) и (2), поэтому уравнение (3) можно отбросить. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13EMBED Unknown1415
Получим неоднородную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Найдем главный определитель:
13EMBED Unknown1415решение существует.
13EMBED Unknown1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Выполнить задания:
Решить системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415

д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415

ж) 13 EMBED Equation.3 1415



Практическое занятие №4
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричными способом. Матричные уравнения

Пусть А – квадратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка
13 EMBED Equation.3 1415.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае, если ее определитель равен нулю, то матрица А называется вырожденной.
Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 алгебраическое дополнение элемента 13 EMBED Equation.3 1415 данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).
Матрица 13 EMBED Equation.3 1415 называется обратной матрице А, если выполняется условие
13 EMBED Equation.3 1415.
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Теорема. (Необходимое и достаточное условие существование обратной матрицы).
Обратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415существует и единственна 13 EMBED Equation.3 1415 исходная матрица А невырожденная.
Формула нахождения обратной матрицы для невырожденной квадратной матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 матрица из алгебраических дополнений, 13 EMBED Equation.3 1415 матрица, транспонированная матрице из алгебраических дополнений.
Формулы для вычисления обратных матриц второго и третьего порядков имеют вид:
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Unknown 1415 (1)
при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Unknown 1415. (2)

Пример 1. Найти матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 для матрицы А, если дана матрица:
13 EMBED Unknown 1415
Решение.
Для вычисления обратной матрицы используем формулу (1).
1) Найдем определитель матрицы А:
13 EMBED Unknown 1415 и единственна.
2) Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
13 EMBED Equation.3 1415
3) Составим матрицу из алгебраических дополнений:
13 EMBED Equation.3 1415.
4) Составим матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений:
13 EMBED Equation.3 1415.
5) Найдем по формуле (1) обратную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Unknown 1415.
Убедиться в правильности вычислений обратной матрицы можно, проверив равенство: 13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415

Матричные уравнения

Обратная матрица применяется при решении матричных уравнений. Рассмотрим три типа матричных уравнений.
1 случай. Рассмотрим матричное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.
Умножим обе части равенства (1) слева на 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Формула (2) позволяет найти неизвестную матрицу Х.
2 случай. Рассмотрим матричное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.
Умножим обе части равенства (3) справа на 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формула (4) позволяет найти неизвестную матрицу Х.
3 случай. Рассмотрим матричное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
где А, D, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.
Умножим обе части равенства (5) слева на 13 EMBED Equation.3 1415и справа на 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
имеем
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Формула (6) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

Пример 2. Решить матричное уравнение:
13 EMBED Unknown 1415
Решение. Искомую матрицу Х найдем по формуле (6).
1) Найдем матрицу 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Unknown 1415 существует и единственна.
Найдем алгебраические дополнения матрицы А:
13 EMBED Equation.3 1415.
Составим матрицу из алгебраических дополнений 13 EMBED Equation.3 1415 и матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Unknown 1415
2) Найдем матрицу 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Unknown 1415 существует и единственна.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Unknown 1415
3) По формуле (6) найдем матрицу Х:
13 EMBED Unknown 1415

Выполнить задания:
Найти матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, обратные для данных матриц:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить систему матричным способом:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить матричное уравнение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

Практическое занятие №5
Элементарные преобразования матриц. Метод Гаусса

Напомним элементарные преобразования матрицы:
перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы;
умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;
прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число, не равное нулю;
отбрасывание нулевой строки (столбца);
транспонирование матрицы.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначение А(В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такая матрица называется канонической: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Привести к каноническому виду матрицу:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Выполним элементарные преобразования:
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Решение системы линейных уравнений методом Крамера и матричным способом удобно в случае решения систем 2-х или 3-х уравнений.
В случае решения систем большего числа уравнений и неизвестных проще использовать метод Гаусса, который состоит в последовательном исключении переменных.
Метод Гаусса отличается от методов Крамера и матричного еще и тем, что его можно применять при решении систем, имеющих 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений и 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестных. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобно использовать запись в матричной форме.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя элементарные преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. В общем случае, если дана система из 13 EMBED Equation.3 1415 уравнений и 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестных, матрица имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Эта матрица называется расширенной матрицей системы.
Система, которая соответствует преобразованной матрице 13 EMBED Equation.3 1415, эквивалентна исходной системе, т.е. имеет те же решения.
Замечание:
При решении систем методом Гаусса элементарные преобразования расширенной матрицы выполняются только со строками.
Рассмотрим возможные случаи на примерах.
Пример 1. Решить систему методом Гаусса 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Составим расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования (только по строкам):
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415 (
(13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415.
Преобразованной матрице 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует система:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решить систему методом Гаусса 13 EMBED Equation.3 1415

Решение. Составим расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования (только по строкам):
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415(
(13 EMBED Equation.3 1415.
Полученной матрице 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует система, в которой третье уравнение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 (неверно) ( решений нет.
Ответ: решений нет

Выполнить задания:
1) Решить систему методом Гаусса:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415





























РАЗДЕЛ II. Аналитическая геометрия на плоскости

Практическое занятие №6
Координаты точки. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника

Расстояние между двумя точками. Направление отрезка. Площадь треугольника

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1.
Случай 1. Пусть даны две точки13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 тогда расстояние между ними равно:
13EMBED Unknown1415 (1)
Случай 2. Расстояние от начала координат до точки 13 EMBED Equation.3 1415равно:
13EMBED Unknown1415 (2)
Направление отрезка АВ на плоскости ХОY определяется углом наклона этого отрезка к направлению оси ОХ (рис. 1).
Угол (, образованный отрезком АВ и положительным направлением оси ОХ, равен:
13EMBED Unknown1415. (3)
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то угол 13 EMBED Equation.3 1415острый, если 13 EMBED Equation.3 1415, то угол 13 EMBED Equation.3 1415тупой.
Пусть даны координаты трех точек – вершин треугольника.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415. Тогда площадь 13 EMBED Equation.3 1415 равна:
13EMBED Unknown1415 (4)
Утверждение.
Признаком того, что три различные точки 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на одной прямой, может служить равенство нулю площади соответствующего треугольника:
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13EMBED Unknown1415 (5)

Пример 1. Под каким углом к положительному направлению оси Ох наклонен отрезок, соединяющий точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415?
Решение.
По формуле (3) имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 тупой угол, 13 EMBED Equation.3 1415(по таблице).

Пример 2. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
По формуле (4) имеем:
13EMBED Unknown1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 3. Доказать, что три точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на одной прямой.
Доказательство. Проверим, выполняется ли равенство (5):
13EMBED Unknown1415
в определителе второго порядка 1-й и 2-й столбцы пропорциональны с коэффициентом пропорциональности 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, определитель равен нулю (по свойству определителя). Таким образом, равенство (5) выполняется, тем самым, доказано, что данные три точки лежат на одной прямой.

Деление отрезка в данном отношении

1. Общий случай.
Если даны две точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты третьей точки 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис.2), лежащей с ними на одной прямой, равны:
13 EMBED Word.Picture.8 1415 Рис. 2
13EMBED Unknown1415, (6)


где 13EMBED Unknown1415 отношение, в котором точка С делит отрезок АВ.
Утверждение.
Каждой точке прямой АВ соответствует определенное значение параметра t, и, обратно, каждому значению параметра t соответствует единственная точка С на отрезке АВ.
2. Частный случай.
Если точка 13 EMBED Equation.3 1415 делит отрезок АВ пополам, то 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, получим формулы:
13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415. (7)

Пример 4. Отрезок АВ, соединяющий точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 разделить в отношении 1:2.
Решение.
По условию требуется найти координаты точки 13 EMBED Equation.3 1415, которая делит отрезок АВ в отношении 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (6) имеем:
13EMBED Unknown1415
Т.о., 13 EMBED Equation.3 1415

Выполнить задания:
Отрезок АВ соединяет точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти длину отрезка АВ и угол между ним и положительным направление оси Ох.
Найти периметр треугольника, если даны координаты его вершин: 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказать, что треугольник 13 EMBED Equation.3 1415прямоугольный, если даны координаты его вершин: 13 EMBED Equation.3 1415.
Точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415три вершины параллелограмма. Найти четвертую вершину.
Отрезок АВ, соединяющий точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разделить в отношении 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках: 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказать, что три точки 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на одной прямой.

Практическое занятие №7
Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки 13 EMBED Equation.3 1415 пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 3).
Под углом 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис.3
Возьмем на прямой произвольную точку 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 3). Проведем через точку N ось Nx' параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx' и прямой равен 13 EMBED Equation.3 1415. В системе Nx'y точка М имеет координаты х и 13 EMBED Equation.3 1415. Из определения тангенса угла следует равенство:
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Введем обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
которому удовлетворяют координаты любой точки 13 EMBED Equation.3 1415 прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки 13 EMBED Equation.3 1415, лежащей вне данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяют.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Если прямая параллельна оси Оx, то 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение (1) примет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Если прямая параллельна оси Оу, то 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение (1) теряет смысл, т.к. для нее угловой коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415 не существует.
В этом случае уравнение прямой будет иметь вид 13 EMBED Equation.3 1415, где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Угол между прямыми

Пусть даны две прямые
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
тогда острый угол ( между этими прямыми равен:
13 EMBED Equation.3 1415. (2)

Пример 1. Найти острый угол между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Приведем данные уравнения прямых к виду (1):
13 EMBED Equation.3 1415
По формуле (2) имеем:
13EMBED Unknown1415
13 EMBED Equation.3 1415 (по таблице).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Условие параллельности двух прямых.
Пусть даны две прямые: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть если выполняется равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Условие перпендикулярности двух прямых.
Две прямые перпендикулярны, если для их угловых коэффициентов выполняется равенство: 13 EMBED Equation.3 1415 или
13EMBED Unknown1415 (4)
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 параллельно прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Представим данное уравнение прямой как уравнение с угловым коэффициентом, т.е. 13EMBED Unknown1415
Пусть искомое уравнение имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то угловые коэффициенты этих прямых равны, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, искомое уравнение прямой:
13EMBED Unknown1415 (5)
Так как прямая, заданная уравнением (5), проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты точки А должны удовлетворять уравнению (5), следовательно:
13EMBED Unknown1415
13 EMBED Equation.3 1415 – искомое уравнение прямой.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и у в общем виде:
13 EMBED Equation.3 1415. (6)
Уравнение (6) – общее уравнение прямой, где 13 EMBED Equation.3 1415произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
Покажем, что уравнение (6) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.
I случай. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение (6) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
II случай. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то из уравнения (6) получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, уравнение (6) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1) если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение приводится к виду 13 EMBED Equation.3 1415. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;
2) если 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая параллельна оси Оу;
3) если 13 EMBED Equation.3 1415, то получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнению удовлетворяют координаты точки О (0; 0), прямая проходит через начало координат, ее уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 (уравнение прямой пропорциональности).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М 13 EMBED Equation.3 1415 и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где b – пока неизвестная величина.
Так как прямая проходит через точку М13 EMBED Equation.3 1415, то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя значение b в уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, получим искомое уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (7)
Уравнение (7) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке М 13 EMBED Equation.3 1415. Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение прямой, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, (8)
где 13 EMBED Equation.3 1415 пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (8): 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя найденное значение k в уравнение (8), получим уравнение прямой, проходящей через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
Предполагается, что в этом уравнении 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Частные случаи:
1) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая, проходящая через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 параллельна оси ординат Оу. Ее уравнение имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение прямой может быть записано в виде 13 EMBED Equation.3 1415, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 параллельна оси абсцисс Ох.

Уравнение прямой в отрезках
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 4


Пусть прямая пересекает ось Ох в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а ось Оу – в точке 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 4). В этом случае уравнение (9) примет вид: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (10)
Уравнение (10) называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно данному ненулевому вектору 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (11)
Расстояние от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до прямой 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (12)
Возьмём на прямой произвольную точку 13 EMBED Equation.3 1415 и рассмотрим вектор 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 5). Поскольку векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, то есть

13 EMBED Equation.3 1415 (13)

13 EMBED Word.Picture.8 1415 Рис. 5

Уравнение (13) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.
Уравнение (13) можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (14)
где А и В – координаты нормального вектора, 13 EMBED Equation.3 1415свободный член. Уравнение (14) есть общее уравнение прямой (см. формулу (6)).
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. По формуле (9) имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 4. Общее уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415 представить в отрезках на осях.
Решение. Чтобы получить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой на осях, положим 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. В точке 13 EMBED Equation.3 1415 прямая пересекает ось 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. В точке 13 EMBED Equation.3 1415 прямая пересекает ось 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение в отрезках на осях имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 6).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 6
Выполнить задания:
Уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415 представить в виде: а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках на осях.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415, параллельной прямой 13 EMBED Equation.3 1415
Найти уравнение прямой, проходящей через точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярной к прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти угол между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Стороны треугольника заданы уравнениями: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Найти координаты вершин треугольника.

Практическое занятие №8
Кривые II порядка. Окружность. Эллипс

Окружность. Касательная к окружности

Окружность – это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется ее центром (см. рис. 7).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 7
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – координаты центра окружности, r – радиус, тогда нормальное уравнение окружности:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с данной окружностью одну общую точку – точку касания.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415– координаты точки касания, тогда уравнение касательной к окружности, заданной уравнением (1):
13 EMBED Equation.3 1415 (2)



Частный случай.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности:
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
Уравнение касательной к окружности, заданной уравнением (3):
13 EMBED Equation.3 1415. (4)
Пример 1. а) Показать, что уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус. б) Составить уравнение касательной, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 окружности с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если уравнение окружности имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) Приведем данное уравнение к виду (1):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Центр окружности – в точке 13 EMBED Equation.3 1415
б) По формуле (2) имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина, равная 2а. Эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 8).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 8
Простейшее уравнение эллипса можно получить, если выбрать за ось абсцисс (Ох) прямую, соединяющую фокусы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 поместить начало координат в середине между данными фокусами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат – с его центром симметрии.
Точки пересечения эллипса с его осями 13 EMBED Equation.3 1415 называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось 13 EMBED Equation.3 1415 и малая ось 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда простейшее уравнение эллипса имеет вид:
13EMBED Unknown1415 (5)
где а – большая полуось эллипса; b – малая полуось эллипса.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 (расстояние между фокусами), то имеет место равенство:
13 EMBED Equation.3 1415. (6)
Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большей оси называется эксцентриситетом эллипса.
13EMBED Unknown1415 (7)
У эллипса эксцентриситет 13 EMBED Equation.3 1415 (так как 13 EMBED Equation.3 1415), а его фокусы лежат на большой оси.
Пример 2. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что большая полуось 13 EMBED Equation.3 1415, эксцентриситет 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 1) По формуле (7): 13EMBED Unknown1415,
2) по формуле (6): 13 EMBED Equation.3 1415,
3) уравнение эллипса имеет вид: 13EMBED Unknown1415.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина, равная 2а. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 9).
Прямая, соединяющая фокусы гиперболы, служит осью абсцисс (Ох), начало координат выбрано в середине между фокусами, при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы и начало координат – с ее центром симметрии.
Гипербола имеет две действительные вершины 13 EMBED Equation.3 1415 на фокальной оси; отрезок, заключенный между ними, 13 EMBED Equation.3 1415, называется действительной (вещественной) осью гиперболы. Со второй осью гипербола пересекается в двух мнимых точках13 EMBED Equation.3 1415; но, условно, действительный отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 называется мнимой осью гипербола.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 9
Простейшее уравнение гиперболы:
13 EMBED Unknown 1415 (8)
Здесь а – действительная полуось гиперболы; b – мнимая полуось гиперболы.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 расстояние между фокусами, то справедливо равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 . (9)
Для гиперболы возможны 3 случая:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае гипербола называется равносторонней и ее уравнение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (10)
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине ее действительной оси:
13 EMBED Equation.2 1415. (11)
Пример 3. Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами 30.
Решение. Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
По формуле (9): 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение гиперболы: 13 EMBED Equation.2 1415.

Парабола

Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от постоянной точки (фокуса) и постоянной прямой (директрисы параболы).
Если за ось абсцисс (Ох) принять перпендикуляр, опущенный из фокуса на директрису, начало координат поместить посредине между фокусом и директрисой (см. рис.), то уравнение параболы будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415, (12)
где параметр р – расстояние между фокусом и директрисой.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 10
Если параметр 13 EMBED Equation.3 1415, то ветви параболы расположены в I и IV координатных четвертях. Если параметр 13 EMBED Equation.3 1415, то ветви параболы расположены во II и III координатных четвертях.
Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает с осью Ох. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат. Фокус параболы находится в точке 13 EMBED Equation.2 1415, а директриса АВ имеет уравнение 13 EMBED Equation.2 1415 (см. рис.10).
Пример 4. Парабола 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415. Найти ее параметр p.
Решение. Подставим в уравнение параболы (12) вместо текущих координат координаты точки 13 EMBED Equation.3 1415. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Выполнить задания:
Найти координаты центра и радиус окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение эллипса, зная, что а) полуоси 13 EMBED Equation.3 1415; б) расстояние между фокусами 13 EMBED Equation.3 1415, большая ось 16; в) малая полуось 4, расстояние между фокусами 10; г) малая полуось 8, эксцентриситет 0,6.
Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 13 EMBED Equation.3 1415.
Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 13 EMBED Equation.3 1415. Найти уравнение гиперболы.
Найти эксцентриситет гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение параболы, если ее вершина лежит в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
13PAGE 14115


13PAGE 143815













(-4)

(-2)

(-1)

(-3)

(-7)

(-2)






Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЎ: 15Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 23747041
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий