Методичні рекомендації методика навчання матема..

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
БЕРДЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІНСТИТУТ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ ТА МИСТЕЦТВ










«МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ»




Методичні рекомендації у питаннях та відповідях
для студентів денної та заочної форм навчання
за напрямом підготовки 6.010201 «Початкова освіта»






















Рекомендовано до друку Вченою радою інституту психолого-педагогічної освіти та мистецтв (протокол № __від _________2012 р.)
Розглянуто на засіданні кафедри початкової освіти Інституту психолого-педагогічної освіти та мистецтв (протокол № 9 від 27 квітня 2012р.)





Укладач
Ніконенко Т.В. старший викладач кафедри початкової освіти
Інституту психолого-педагогічної освіти та мистецтв
Бердянського державного педагогічного університету
Рецензент:
Сворцова С.О.. доктор педагогічних наук, професор кафедри математики та методики навчання Державного закладу «Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського»
Комар О.А. доктор педагогічних наук, професор,
завідувач кафедри фахових методик та інноваційних технологій у початковій школі Уманського державного педагогічного університету імені П. Г. Тичини








Ніконенко Т.В. Методика навчання математики в початковій школі теорія і практика у питаннях і відповідях / Тетяна Володимирівна Ніконенко / Методичні рекомендації для студентів денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки «Початкова освіта». – Бердянськ: 2012. – 85 с.



КОМПЛЕКСНИЙ ІСПИТ ІЗ ЗМІСТОВОГО ТА ТЕХНОЛОГІЧНОГО ПРОЕКТУВАННЯ ОСВІТНЬОЇ ДІЯЛЬНОСТІ ВЧИТЕЛЯ НА МАТЕРІАЛІ ОКРЕМИХ МЕТОДИК ПОЧАТКОВОГО НАВЧАННЯ
(для визначення рівня знань та сформованості професійних умінь вчителя початкової школи)


ПРОГРАМА ДЕРЖАВНОГО ІСПИТУ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ
6.010201 «ПОЧАТКОВА ОСВІТА»

Пояснювальна записка

Головним завданням комплексного іспиту із змістового та технологічного проектування освітньої діяльності вчителя на матеріалі окремих методик початкового навчання є перевірка якості професійної підготовки випускників. Одночасно він має на меті виявлення їх готовності до активної участі у реформуванні 4-річної початкової школи, пошуку найбільш ефективних методів педагогічної діяльності в умовах переходу до особистісно орієнтованої парадигми освіти, що передбачає нові підходи до всіх напрямів її здійснення.
Програмою іспиту передбачено його комплексний характер, оскільки він охоплює питання різних часткових методик початкового навчання («Методика навчання освітньої галузі «Математика» в початковій школі», «Методика навчання освітньої галузі «Мови і літератури» в початковій школі», «Методика навчання освітньої галузі «Людина і світ» в початковій школі»).
Комплексний іспит відрізняється від усіх інших форм контролю спрямованістю на перевірку не тільки теоретичних знань, а й визначення рівня сформованості професійних умінь.
У професійній підготовці вчителя початкової школи теорія і практика мають бути невіддільними. Тому, поряд із з’ясуванням знань теоретичного матеріалу, в зміст комплексного кваліфікаційного іспиту на освітньо-кваліфікаційному рівні «бакалавр» вводиться і практична складова, тобто виконання завдань, різноманітних вправ, що забезпечують особистісно-орієнтований, диференційований, комплексний і технологічний підходи до професійної підготовки фахівців в галузі початкової освіти.
Комплексний іспит із змістового та технологічного проектування освітньої діяльності вчителя початкової школи проводиться на матеріалі окремих методик початкового навчання.
На державному екзамені випускникам дозволяється використовувати таку літературу:
програму комплексного іспиту із змістового та технологічного проектування освітньої діяльності вчителя на матеріалі окремих методик початкового навчання;
програми навчальних курсів для спеціальності 6.010102 «Початкова освіта»;
типові програми для учнів загальноосвітньої початкової школи;
чинні підручники для учнів початкової школи.
Зміст комплексного екзамену із змістового та технологічного проектування освітньої діяльності вчителя на матеріалі окремих методик початкового навчання включає питання, які передбачають виступ-презентацію студентом із конкретної дидактико-методичної дисципліни (однієї з трьох – «Методики навчання освітньої галузі «Мови і літератури» в початковій школі», «Методики навчання освітньої галузі «Математика» в початковій школі», «Методики навчання освітньої галузі «Людина і світ» в початковій школі»), оскільки кількість годин за базовим навчальним планом початкової школи на вивчення цих предметів є найбільшою. Перевірка знань і вмінь з інших методик початкового навчання відбувалась по завершенню вивчення кожного з навчальних курсів в процесі проведення підсумкового іспиту.
Виступ-презентація під час комплексного іспиту на освітньо-кваліфікаційному рівні «бакалавр» передбачає не традиційну усну відповідь студента на питання білета, а висвітлення конкретної дидактико-методичної проблеми.
Мета виступу-презентації полягає не стільки у виявленні знань студентів з окремих методик початкового навчання, скільки у діагностиці рівня їх педагогічного мислення, комплексну готовність до виконання професійних функцій. Він не повинен перебільшувати часовий регламент (5-10 хвилин). Тематика виступів має проблемний характер. Іншими є і вимоги до студентів, зокрема, майбутні вчителі повинні:
показати свою педагогічну ерудицію;
визначити власне ставлення до обговорюваного питання;
виявити рівень професійного мислення;
продемонструвати вміння вибудувати стратегію розв’язання поставленої проблеми у навчально-виховному процесі початкової школи.
Розробляючи зміст виступу і обмірковуючи виклад матеріалу, студент-випускник має дотримуватись таких вимог:
розкрити актуальність обраної проблеми;
показати власну обізнаність стосовно її дослідження в умовах варіативності початкової освіти;
продемонструвати уміння поєднувати теоретичні підходи з аналізом сучасних тенденцій розвитку шкільної початкової освіти;
виявити знання інноваційних процесів у сучасному освітньому просторі;
навести приклади використання позитивних освітніх надбань у власному педагогічному досвіді;
невимушено і гідно триматись перед аудиторією, забезпечити первинний контакт;
керувати увагою слухачів, узгоджувати їх інтереси з темою і завданнями власного виступу;
бути спрямованими на слухачів упродовж усього виступу (зоровий контакт, вербальний контакт, дистанція);
володіти виразним мовленням;
виявити власне ставлення до теми і змісту промови.

У процесі комплексного державного іспиту з курсу «Методика навчання математики в початковій школі»
майбутні фахівці мають оволодіти:
уміннями знайомити учнів з основними математичними поняттями, законами, властивостями і способами дій, що вивчаються в початковому курсі математики Державного стандарту загальної початкової освіти та навчити молодших школярів використовувати їх на практиці;
уміннями формувати систему знань, умінь і навичок з математики відповідно до результатів навчання за змістовими лініями Державного стандарту загальної початкової освіти;
знаннями нових цілей навчання молодших школярів у процесі вивчення математики в контексті модернізації початкової освіти;
комплексом умінь пов'язаний із завданнями вивчення, змісту та особливостей побудови математики як навчальної дисципліни відповідно до вимог Державного стандарту загальної початкової освіти;
уміннями організовувати навчально-виховний процес у початковій школі в умовах здоров’язбереження молодших школярів;
знаннями і вміннями організації виховної роботи на уроках математики та в позаурочній діяльності в початковій школі;
знаннями про основні вимоги до навчальних досягнень учнів за роками навчання;
уміннями добирати до різних уроків з математики у початковій школі ефективні засоби, форми і методи навчання;
знаннями про загальні особливості використання сучасних навчальних технологій на різних етапах уроку математики в початковій школі ;
знаннями передового педагогічного досвіду вчителів-практиків, способів його вивчення;
уміннями формулювати освітні цілі з математики в курсі початкової школи, досягати й оптимально переосмислювати їх під час навчання;
уміннями аналізувати основний методичний апарат підручників з математики та розширювати його завданнями, спрямованими на розвиток логічного мислення, у тестовій формі, диференційованих, на вибір і самооцінку тощо;
уміннями аналізувати методичні посібники з метою виявлення їх доцільності та відповідності рівню засвоєння обов’язкових знань та вмінь учнів;
уміннями здійснювати розвиток розумових здібностей молодших школярів на уроках та в позаурочній діяльності;
здатністю оцінювати результати діяльності учнів у відповідності з критеріями навчальних досягнень учнів початкової школи.
здатністю моделювати і проводити уроки математики на основі використання різних навчальних технологій; вести їх обговорення, давати оцінку і самооцінку проведених занять;
здатністю організовувати виступ презентацію з конкретної дидактико-методичної проблеми.
Орієнтовна тематика виступів-презентацій з курсу «Методика навчання математики в початковій школі»
Новий етап розвитку 4-річної початкової школи. Державний стандарт початкової освіти. Освітня галузь „Математика”.
Зміст і побудова початкового курсу математики в умовах функціонування 4-річної початкової освіти.
Освітні, виховні та розвивальні завдання навчання математики в початковій школі в умовах варіативності початкової освіти.
Організація навчання математики в початкових класах на засадах особистісно орієнтованого, диференційованого і компетентністного підходів.
Диференційований підхід до організації домашньої навчальної роботи в початковому курсі математики.
Усні обчислення на уроках математики в початковій школі в умовах особистісного орієнтованого навчання
Урок математики та його особливості за методичними системами М.В.Богдановича та Л.П.Кочиної, Н.П.Листопад.
Дидактико-методичні особливості проведення уроків математики в 1 класі.
Порівняльна характеристика чинних підручників з математики в контексті їх технологічних особливостей (автор М.В.Богданович).
Особливості змісту, побудови і оформлення підручників з математики для учнів початкової школи авторів Л.П.Кочиної та Н.П.Листопад.
Підготовка учнів до введення натурального числа за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
Особливості формування поняття натурального числа та нуля за різними методичними системами початкового курсу математики.
Методичні підходи до вивчення нумерації чисел у межах 10 за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
Методичні підходи до вивчення нумерації чисел в межах 100 і 1000 за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
Методичні підходи до вивчення нумерації багатоцифрових чисел за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи..
Особливості вивчення табличних випадків додавання та віднімання в межах10 за методичними системами М.В.Богдановича та Л.П.Кочиної, Н.П.Листопад. Первинне ознайомлення учнів з дією додавання та віднімання.
Методика вивчення табличного додавання та віднімання з переходом через десяток за різними методичними системами початкового курсу математики.
Методика вивчення усного і письмового додавання і віднімання в межах 100 і 1000 десяток за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи
Методика вивчення усного і письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи
Методика вивчення табличного множення і ділення за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи. Первинне ознайомлення учнів з дією множення і ділення.
Особливості методичних підходів до вивчення усного множення і ділення в межах 100 і 1000 в курсі початкової школи.
Методика вивчення множення і ділення багатоцифрових чисел в умовах варіативності початкової математичної освіти.
Характерні відмінності вивчення геометричного матеріалу за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи. Ознайомлення учнів з найпростішими геометричними фігурами (точкою, відрізком, ламаною, кутом, багатокутником, колом, променем, кругом).
Впровадження компетентністного підходу під час навчання молодших школярів на уроках математики побудови найпростіших фігур за допомогою лінійки, косинця, циркуля.
Реалізація диференційованого підходу під час вивчення алгебраїчного матеріалу. Формування уявлень про вираз. Рівності, нерівності та рівняння в початковому курсі математики.
Впровадження компетентністного підходу під час опрацювання найважливіших величин у початковому курсі математики. Формування предметних компетенцій у процесі ознайомлення учнів з масою, часом, швидкістю та їх одиницями.
Формування предметних компетенцій під час ознайомлення молодших школярів з площею фігури та периметром прямокутника та особливостями їх обчислення.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню простих задач на додавання і віднімання.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню простих задач на множення і ділення.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню складених задач.

Практичні завдання з курсу «Методика навчання математики в початковій школі»
Проілюструвати фрагментом уроку усні обчислення на уроці в 1 класі. Тему уроку визначити самостійно.
Скласти бесіду-пошук плану розв'язування (аналіз задачі) повним аналітичним способом. Задачу визначити самостійно.
Скласти бесіду-пошук плану розв'язування (аналіз задачі) повним синтетичним способом. Задачу визначити самостійно.
Проілюструйте фрагментом уроку можливі варіанти творчої роботи над простою сюжетною задачею після її розв’язання. Задачу дібрати самостійно.
Скласти тестові завдання для учнів другого класу з метою перевірки засвоєння теми «Додавання і віднімання в межах 100». Проілюструвати фрагментом уроку перевірку домашнього завдання на уроці математики у третьому класі. Тему уроку визначити самостійно за підручниками з математики для учнів початкової школи (автор М.В.Богданович).
Проілюструвати фрагментом уроку вивчення нового матеріалу на уроці математики в другому класі. Тему уроку визначити самостійно за підручниками з математики для учнів початкової школи (автори Л.П.Кочина та Н.П.Листопад).
Розкрийте методику проведення дидактичних ігор, які доцільно використовуються в процесі опрацювання теми «Додавання та віднімання в межах 10» на прикладах конкретних уроків.
Скласти завдання для математичного диктанту до уроку математики на тему «Додавання двоцифрових чисел без переходу через десяток виду 51 + 24».
Cкласти підсумкову контрольну роботу з математики для учнів четвертого класу.

Новий етап розвитку 4-річної початкової школи

На сучасному етапі модернізація змісту початкової математичної освіти в контексті розвиваючого навчання повинна втілювати такі ідеї:
– використання Державного стандарту як основного механізму нормативної регуляції змісту, реалізації його вимог щодо математичного розвитку молодших школярів;
– організація навчання математики в початковій школі на принципах гуманізації, цілісності, наступності, загальнолюдських і національних цінностей, потреб загальнокультурного розвитку молодших школярів;
– активне впровадження компетентнісного, особистісно-діяльнісного підходів під час навчання молодших школярів;
– варіативність реалізації змісту початкової математичної освіти шляхом впровадження інноваційних технологій, що забезпечує технологізацію змісту та процесу навчання молодших школярів;
– побудова підручників математики для молодших школярів таким чином, щоб вони включали завдання, які спрямовані на формування міжпредметних і предметних (математичних) компетенцій кожного випускника початкової школи;
– інтеграція як провідний принцип навчання та реалізації змісту, де інваріантною складовою є засвоєння знань про цілісність світу, взаємозв'язок між різними математичними явищами, властивостями, придбання індивідуального досвіду, вирішення різних типів навчальних (сюжетних) і життєвих завдань (серед яких є обов'язковими творчі і з логічним навантаженням);
– збагачення змісту математичної підготовки молодших школярів мотиваційним, виховним і розвиваючим матеріалом.
Для успішної реалізації нової освітньої парадигми слід звернути увагу на особливості математичного розвитку молодших школярів ще в деяких аспектах.
У першу чергу, діяльність в галузі початкової математичної освіти регламентується Державним стандартом початкової загальної освіти, який було затверджено постановою Кабінету Міністрів України від 20 квітня 2011 р
Державний стандарт ґрунтується на засадах особистісно зорієнтованого і компетентнісного підходів, що зумовлює чітке визначення результативної складової засвоєння змісту початкової загальної освіти.
Метою освітньої галузі “Математика” є формування предметної математичної і ключових компетентностей, необхідних для самореалізації учнів у швидкозмінному світі.
У Державному стандарті предметна математична компетентність розуміється, як особистісне утворення, що характеризує здатність учня (учениці) створювати математичні моделі процесів навколишнього світу, застосовувати досвід математичної діяльності під час розв’язування навчально-пізнавальних і практично зорієнтованих задач.
Щодо розуміння поняття «ключова компетенція», яка також формується під час вивчення математики в початковій школі, то її розуміння доцільно пов’язувати з формуванням вміння самостійно вчитися, розвитком загальнокультурної, громадянської, здоров’язбережувальної, соціальної компетентності та компетентності з питань інформаційно-комунікаційних технологій.
Для досягнення зазначеної мети передбачається формування:
цілісного сприйняття світу, розуміння ролі математики у пізнанні дійсності; готовності до розпізнавання проблем, які розв’язуються із застосуванням математичних методів, здатності розв’язувати сюжетні задачі, логічно міркувати, обґрунтовувати свої дії та виконувати дії за алгоритмом;
вміння користуватися математичною термінологією, знаковою і графічною інформацією; орієнтуватися на площині та у просторі; застосовувати обчислювальні навички у практичних ситуаціях і розуміти сутність процесу вимірювання величин;
інтересу до вивчення математики, творчого підходу та емоційно-ціннісного ставлення до виконання математичних завдань; уміння навчатися.
В освітній галузі виділяються такі змістові лінії: числа, дії з числами; величини; математичні вирази, рівності, нерівності; сюжетні задачі; просторові відношення, геометричні фігури; робота з даними.
Крім того, процес початкової математичної підготовки молодших школярів має бути пов'язаний з дошкільною освітою, ця проблема з особливою актуальністю постає в сучасних умовах, оскільки серед державних пріоритетів в Україні визнана обов’язкова передшкільна освіта. Кожен учитель початкової школи має розуміти суть і зміст передшкільної освіти з метою реалізації якісної математичної підготовки молодших школярів, яка б відповідала сучасним досягненням психолого-педагогічної науки.
На сучасному етапі особливу роль відіграють психологічні знання під час навчання математики в початковій школі. Серед фундаментальних досліджень, що присвячені зазначеній проблемі слід назвати працю Н.О. Менчинської та М.І. Моро «Вопросы методики и психологи обучения арифметике в начальних класах» (1965). Основну увагу вчені приділяють питанню про активний характер діяльності учнів у процесі навчання арифметики з метою підготовки їх до самостійного життя. Не втратили своєї актуальності психолого-дидактичні принципи, які на думку Н.О. Менчинської та М.І. Моро, визначають успішність процесу навчання арифметики: науковість, доступність, систематичність, cвідомість та активність, виховуючий характер навчання, зв'язок навчання з життям, наочність.
Проблема щодо взаємозв’язку психології та методики навчання математики досліджується і на сучасному етапі розвитку математичної освіти. Зокрема, С.О. Скворцова звертає увагу на типи математичного мислення молодших школярів, процес оволодіння вміннями здійснювати аналіз і синтез, становлення внутрішнього плану дій, пропонує конкретні рекомендації особливо для першокласників щодо розвитку пам'яті, сприймання, уваги, рефлексії. Крім того, вчена стверджує, що психологічні знання під час навчання математики в початковій школі необхідні також під час організації диференційованого підходу в умовах класно-урочної системи, в процесі реалізації групової діяльності, на етапі реалізації здоров’язберігаючого навчально-виховного процесу на уроці, об’єктивності контролю і оцінювання навчальних досягнень молодших школярів, тощо.
Щодо значущості кожної із зазначених проблем під час навчання математики надзвичайно важко визначитися. Одне з найважливіших завдань початкової школи – сформувати в учнів бажання та вміння самостійно вчитися, адже в сучасному світі цей процес має тривати впродовж життя.
Уміння самостійно вчитися О.Я. Савченко називає ключовим по відношенню до інших, оскільки виступає інструментом розвитку й саморозвитку учнів, дозволяє формувати предметні та загальнопредметні компетентності молодших школярів, що є пріоритетом здійснюваних змін у шкільній освіті.
Серед актуальних проблем розвитку молодших школярів під час навчання математики в початковій школі слід виокремити питання, що пов’язані з особливостями застосування інформаційно-комунікаційних технологій. Цей аспект в діяльності вчителя пояснюється сучасними змінами в шкільній освіті, оскільки на державному рівні було запропоновано, починаючи з другого класу включити до базового навчального плану, як обов’язковий предмет ІКТ. Що ж стосується підходів відносно його практичної реалізації, то вони ще точно не визначені. Цей процес ще знайде місце для обговорення на шпальтах педагогічної преси та в наукових доповідях. Однак, на нашу думку, слід враховувати досвід, який напрацьовано в країнах Європейського Союзу, в Україні та Росії.
Реалізація завдань, які стоять перед початковою математичною освітою, потребує від учителя теоретичних знань та наукової ерудиції, вміння орієнтуватися в сучасній психолого-педагогічній та дидактико-методичній літературі. Крім того, важливою вимогою сьогодення є особистісна орієнтація педагога на підвищення рівня професійної компетентності через пошук можливих шляхів спілкування з колегами (і не тільки свого міста), з науковцями та просто цікавими людьми, відвідування наукових конференцій, користування Інтернетом тощо.

Зміст і побудова початкового курсу математики в умовах функціонування 4-річної початкової освіти.
Початковий курс математики є складовою в системі безперервної математичної освіти. Мета і завдання вивчення цієї дисципліни полягає в уточненні, поглибленні й розвитку сенсорних умінь молодших школярів; у формуванні уявлення про натуральне число та дріб, у виробленні обчислювальних навичок з натуральними числами і нулем; у розв’язанні задач, що розкривають зміст арифметичних дій і відношень: „менше на”, „більше на”, „менше в ”, „більше в”; у формуванні уявлень про основні геометричні фігури і тіла, у здобутті початкового досвіду вимірювань та обчислень геометричних величин, у виробленні необхідних графічних умінь; у формуванні початкових умінь доказово міркувати і пояснювати свої дії та в розвитку відповідних мовленнєвих умінь, пов’язаних з використанням математичних термінів та символів; розвитку логічного мислення. Крім того, у ході викладання предмета необхідно забезпечити:
- позитивне емоційне ставлення учнів до цієї галузі знань, формування особистісних мотивів її вивчення;
- формування засобами предмета уміння та бажання вчитися впродовж життя.
В освітній галузі „Математика” виділено такі змістові лінії: Властивості та відношення предметів. Лічба. Числа і дії над ними. Числові та буквені вирази. Рівність, нерівність. Рівняння. Геометричні фігури та їх властивості. Геометричні тіла. Величини та одиниці вимірювання величин (Державний стандарт початкової загальної освіти).
За змістовими лініями зазначено мінімальний комплекс математичних знань, навичок і вмінь, державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів початкової школи відповідно до цього мінімуму.
Державний стандарт з математики – це не програма навчальної дисципліни, а лише основа для складання програм і створення підручників з математики.
Зміст і побудова початкового курсу математики. Початковий курс математики вивчається в 1 – 4-х класах і є органічною частиною шкільного курсу математики – його вихідною базою. У відповідності з цим він містить арифметику цілих невід’ємних чисел і основних величин, елементи алгебри та геометрії, задачний матеріал.
Арифметичний матеріал складає головний зміст курсу і вводиться концентрично. Спочатку вивчається нумерація чисел першого десятка, які не підлягають десятковому розчиненню, вводяться цифри для запису цих чисел, вивчаються арифметичні дії додавання і віднімання. Потім розглядається нумерація чисел в межах 100, що розкриває поняття про розряд, позиційний принцип запису чисел, які підлягають десятковому розчиненню; вивчається додавання і віднімання двоцифрових чисел (усні і письмові прийоми); вводяться дії множення і ділення (табличні випадки). Далі вивчається нумерація чисел в межах 1000: розглядаються три розряди, що складають підставу нумерації багатоцифрових чисел; узагальнюються знання про арифметичні дії; вводяться позатабличні випадки множення і ділення (усні та письмові прийоми). Наприкінці курсу вивчається нумерація багатоцифрових чисел: розглядається поняття про клас, узагальнюються знання про десяткову систему числення, принцип позиційного значення цифри в запису числа; виконуються письмові обчислювання.
Таким чином, в курсі відокремлені чотири концентри: десяток, сотня, тисяча і багатоцифрові числа. Одночасно і в тісному зв’язку з розглядом нумерації та арифметичних дій вивчаються сюжетні задачі, величини, дроби, алгебраїчний і геометричний матеріал.
Освітні, виховні та розвивальні завдання навчання математики в початковій школі в умовах варіативності початкової освіти.
Більшість питань математичної освіти має бути засвоєна в початкових класах на такому рівні, щоб стати надбанням учнів на все життя. Решта питань програми з математики для початкових класів опрацьовується з метою підготовки до ґрунтовного вивчення відповідного матеріалу в наступних класах.
Математика в початкових класах має як практичне, так і духовне значення. Насамперед курс математики початкових класів забезпечує подальше вивчення математики в середніх класах. Математичні знання, набуті в початкових класах, потрібні в повсякденному житті, під час вивчення інших дисциплін, для розуміння повідомлень засобів масової інформації. Молодші школярі отримують початкові уявлення про ті принципи і закони, що є основою для математичних чинників, які вивчаються. Це насамперед стосується десяткової системи числення та властивостей арифметичних дій. Істотним на початковому етапі є оволодіння обчислювальними вміннями і навичками.
Духовне призначення вивчення математики проявляється у формуванні національних і загальнолюдських цінностей, у внеску в розумовий розвиток, у становлення і розвиток моральних рис, в естетичне виховання людини. Розгляд математичних понять, розв'язування задач включає в процес пізнання різні прийоми і методи людського мислення.
Важливим завданням математики в початкових класах є розвиток пізнавальних здібностей у дітей. Необхідно розвинути у них уміння спостерігати й порівнювати, виділяти риси схожості та відмінності у
порівнюваних об'єктах, виконувати такі мислительні операції, як аналіз, синтез, узагальнення, абстрагування, конкретизація.
Провідна роль математики полягає у розвитку логічного мислення, формуванні алгоритмічного мислення, вихованні навичок розумової праці (планування, пошук раціональних шляхів, критичність). Формування в дітей уміння логічно мислити нерозривно пов'язане з розвитком у них правильної, точної, лаконічної математичної мови. Заняття математикою мають бути школою виховання характеру і почуттів. Навчання математики має формувати такі риси особистості, як працьовитість, охайність; сприяти розвитку волі, уваги, уяви учнів; стимулювати розвиток інтересу до математики; виробляти вміння вчитися і навички самостійної роботи. Вивчення математики має сприяти реалізації завдань виховання патріотизму, гуманності, чесності. Характерною рисою вихованості має стати готовність школяра долати труднощі, боротися зі злом.

Організація навчання математики в початкових класах на засадах особистісно орієнтованого, диференційованого і компетентністного підходів.
Організація навчання математики в початковій школі має будуватися відповідно до вимог Державного стандарту загальної початкової освіти. Державний стандарт – це нормативний документ, який вступив у дію з 2001 року як механізм оновлення змісту освіти і контролю за його засвоєнням. Зміст освіти в Державному стандарті удосконалений так, щоб забезпечити реалізацію загальних принципів щодо національного характеру школи, розвитку особистості, оздоровчої функції, гуманізації, диференціації й інтеграції змісту, посилення практичного і творчого спрямування навчальної діяльності тощо.
Державний стандарт початкової загальної освіти включає сім освітніх галузей: „Мова і література”, „Математика”, „Здоров’я і фізична культура”, „Технології”, „Людина і світ”, „Мистецтво”. Кожна з них побудована за основними змістовими лініями, що є наскрізними для всіх рівнів загальної середньої освіти. У Державному стандарті зазначається, що зміст освітніх галузей може бути реалізований через окремі навчальні предмети. Освітня галузь „Математика” реалізується в курсі початкової школи через навчальний предмет – математика.
На сучасному етапі розвитку початкової школи розроблено нові навчальні програми на компетентнісній основі, які передбачають розвиток ключових життєвоважливих та предметних компетентностей молодших школярів. З метою їх формування в молодших школярів у програмі з математики розмежовано зміст навчальної діяльності і рівні навчальних досягнень учнів. Важливо, що в описі цих рівнів автори програм (М.В.Богданович, Л.П.Кочина, Н.П.Листопад, В.С.Шпакова та С.О. Скворцова, С.С.Тарнавська) здійснили чітке програмування руху учнів по сходинках оволодіння матеріалом (учень має називати, розрізняти, наводити приклади, застосовувати знання за допомогою вчителя та самостійно тощо). Такий підхід сприяє цілеспрямованості уроку, вчасному виявленню прогалин.
На часі створення новітніх підручників з математики для початкової школи на компетентнісній основі.
Упровадження технології організації диференційованого навчання в початковій школі передбачає таку його організацію, за якою одному учневі або групі вчитель пропонує у певній послідовності посильні завдання різної складності й тим самим створює сприятливі умови для розвитку й навчання кожного.
Особливості реалізації технології організації диференційованого навчання полягають в тому, що спочатку вчителю необхідно співвіднести складність теми, її структуру з рівнями готовності дітей до засвоєння навчального матеріалу, а потім організовувати процес відповідно до їх рівня актуальної готовності й зони найближчого розвитку. З метою визначення рівня готовності слід проводити діагностування навчальних досягнень учнів.
Сучасний етап розвитку шкільної освіти в Україні, зокрема її початкової ланки, характеризується поширенням інноваційних процесів, істотною особливістю яких є реальна варіативність, що передбачає вміння вчителя працювати в умовах вибору різних навчальних програм, підручників, методик тощо. Очевидно, що і надалі зазначені тенденції будуть розвиватися, адже це невід’ємна ознака демократизації та гуманізації освіти. Отже, кожен педагог має оволодіти загальними підходами до моделювання та проведення уроків математики за різними методичними системами.

Диференційований підхід до організації домашньої навчальної роботи в початковому курсі математики.
Найбільш складним видом диференціювання є конструювання домашніх завдань. Такий вид роботи доцільно застосовувати, починаючи з 3-го класу( коли діти вже виробили певну самостійність мислення( трохи нагромадили досвід виконання тих чи інших завдань. Однак і для учнів 1-го та 2-го класів теж є ряд доступних і цікавих завдань( які готують їх до самостійного конструювання:
1. Вибери і розв’яжи спочатку приклади на додавання( потім – на віднімання(
10 - 5( 8(2( 7 - 3( 7 - 5( 4(3.
2. Склади і розв’яжи задачу( подібну до цієї.
3. Вибери з-поміж задач (вказується сторінка підручника або якесь інше джерело( ті( що відповідають такому малюнку (кресленню( короткому запису( таблиці – вказується відповідний наочний посібник(.
4. Знайди на сторінці підручника задачі( які можна розв’язати усно (знаєш точно( як розв`язувати(.
5. Прочитай на сторінці підручника всі задачі. Випиши в зошит номери тих( які знаєш( як розв`язувати. Поряд з номером задачі вкажи знаки дій у тому порядку( у якому їх слід виконувати.
На першому етапі навчання вчитель сам кілька разів показує( як конструювати домашнє завдання( на другому – організовує відповідну колективну роботу в класі. Тільки після цього( коли діти усвідомлять мету і способи конструювання( можна давати відповідні вправи для самостійного виконання вдома.
Відповідну роботу з молодшими школярами найпростіше розпочинати на матеріалі повторення чи закріплення( оскільки в завданнях( що готують до сприймання нового чи розвивають творчі здібності( діти( як правило( орієнтуються значно гірше.
Матеріалом для конструювання може слугувати сторінка підручника( над якою працювали на уроці( школярам пропонується самостійно визначити собі домашнє завдання на повторення і закріплення з невиконаних вправ. Далі учень самостійно добирає відповідне завдання( визначає його обсяг і ступінь складності.
Однак учитель іноді може підказати( що прикладів має бути 4( а задач - одна і що задача ( ... складніша від ( ...
Вище ми спинилися на простому конструюванні домашніх завдань. А ще є творче – більш складне і результативне. Звичайно( учителю не обов`язково виводити весь клас на такий рівень. Творче конструювання розраховане на учнів із високим рівнем готовності до засвоєння навчального матеріалу. Так( учитель пропонує їм розробити домашнє завдання з математики( аналогічне до того( що його виконували в класі. У цьому разі школяр не зможе обійтися готовими вправами( він самостійно складатиме нові( потім розв`язуватиме їх( що( ясна річ( справа не проста.
Як правило( домашні завдання в початкових класах розраховуються на підготовку лише до наступного уроку. Але доцільно практикувати домашні завдання й довготривалого виконання.
Наприклад( розпочинаючи нову тему з математики( необхідно запропонувати дітям ряд завдань для домашньої роботи. Особливо це стосується також учнів з високим рівнем до засвоєння навчального матеріалу. Темп виконання школяр визначає самостійно. Пропонуючи домашні завдання на певний термін( учитель має враховувати( наскільки в дітей сформовані вміння планувати свої дії( раціонально розподіляти час і зусилля( а це можливо лише тоді( коли вони опанували навчальний матеріал( мають добре розвинену творчу уяву( навички самостійної роботи( бачать зв`язок між новими та раніше набутими знаннями.
Звичайно( все це не дається само собою( дітей треба вчити планувати свою діяльність: визначати мету роботи( добирати необхідні прийоми її виконання( встановлювати їх послідовність( контролювати( наскільки власна робота відповідає плану.
Оскільки процес навчання планувати – складний і тривалий( учитель має взяти за правило( чим молодший учень( тим коротший термін виконання такого домашнього завдання.
У ході роботи необхідно постійно нагадувати школярам( що перш ніж розв`язувати (читати( вигадувати тощо(( слід продумати послідовність дій. Тут стають у пригоді такі вказівки( "Поміркуй( з чого почнеш( Що робитимеш потім( Чи можна відразу сказати( що вийде( Як себе перевірити(" Організовуючи дітей( можна підказати( що треба прочитати( де знайти потрібний матеріал. Крім того( враховуючи індивідуальні здібності кожного( слід періодично пропонувати учням звітуватися про хід виконання( що теж допомагає успішно завершити завдання.
Ось деякі зразки тривалих домашніх робіт.
1. Самостійно вивчи новий матеріал (перед опрацюванням чергової теми(( щоб пояснити його товаришам.
2. Добери математичні відомості із додаткових (довідкових( джерел( щоб використати їх для складання та розв`язування задач на уроці.
3. Добери та розв`яжи кілька цікавих задач з дитячих журналів.
4. Розв(яжи задачі підвищеної складності.
Протягом кількох днів дитина може обмірковувати завдання( шукати способи його виконання( а потім виконувати. Така нетрадиційна для початкової школи самостійна домашня робота в кінцевому результаті сприяє формуванню стійкого інтересу до предмета( глибоких( усвідомлених знань і вмінь.
У шкільній практиці нерідко буває( що за неслухняність( невиконання певної роботи учня карають домашнім завданням. Треба ж навпаки( виховувати в кожної дитини бажання його отримати. Для цього на уроці корисно пропонувати школярам самостійно обґрунтовувати необхідність такої додаткової роботи( створювати ситуації( коли учень має змогу переконатися на власному досвіді( вдома легше досягти результату( якого не отримав у класі.
Кілька порад вчителю щодо організації і проведення відповідної роботи.
Щоб стимулювати клас до інтенсивної роботи( перед початком уроку слід повідомити( що учні( котрі( крім обов`язкових вправ самостійної роботи( швидко й правильно розв`яжуть і додаткові( завдання додому не матимуть. (Це саме той випадок( коли воно недоцільне( адже додаткові вправи складніші( ніж домашні приклади і задача.(
Таким чином( дитині пропонується самостійно визначити необхідність домашнього завдання( а потім надається можливість перевірити правильність свого розв`язання та переконатися( що в тому разі( коли не все вийде гаразд( необхідно попрацювати ще й удома. Можлива й така ситуація( учень розв`язав і обов`язкову( і додаткову вправи( але з певних причин виявляє бажання виконувати ще й домашнє завдання. Заперечувати йому не варто( як і загострювати на цьому увагу( аби не перешкодити дитині у вільному виборі.
Психологи і медики розробили спеціальні правила задавання домашніх завдань учням з ослабленим здоров`ям. Однак буває( що й цілком здорові діти з ряду причин на певний час втратили працездатність або погано себе почувають. Враховуючи можливість такої ситуації, доцільно не давати таким учням домашні завдання з усіх або з кількох предметів.
З часом слід розширювати джерело постановки домашніх завдань. Окрім завдань підручників( дидактичних матеріалів( діти можуть одержувати домашні завдання( що передбачають використання довідкової літератури( дитячих журналів( телебачення тощо.
Отже, ефективне використання диференційованих завдань на різних етапах уроку та під час організації домашньої роботи дозволяє навчати школярів з різними рівнями готовності до навчальної діяльності.
Узагальнюючи зазначене вище, підкреслимо, що вихідними психолого-педагогічними позиціями застосування технології організації диференційованого навчання є:
визнання особистості учня як центральної фігури навчального процесу;
врахування індивідуально-типологічних особливостей школярів;
оптимальне поєднання індивідуального характеру засвоєння знань з колективною організацією навчальної діяльності молодших школярів;
використання диференційованих завдань на різних етапах уроку та в системі уроків у початковій школі;
запобігання труднощам, які можуть виникнути в дітей різної підготовки під час засвоєння нового навчального матеріалу;
здійснення перспективного аналізу навчальної теми: для чого плануються завдання, чому їх треба використати саме на певному етапі уроку, як продовжити цю роботу.

Усні обчислення на уроках математики в початковій школі в умовах особистісного орієнтованого навчання.

Прийоми обчислень поділяються на табличні і позатабличні. Позатабличні поділяються на усні і письмові. До усних належать усі прийоми обчислень в межах 100 та випадки дій з числами, більшими за 100, які зводяться до дій у межах 100. З іншими числами дії виконуються письмово.
У початкових класах учні мають вивчити напам'ять таблиці арифметичних дій, засвоїти прийоми усних обчислень, які є невід'ємною складовою програми з математики.
Уміння і навички усних обчислень допомагають засвоїти теоретичні відомості з арифметики і є необхідною умовою успішного виконання письмових обчислень, що сприяють розумовому розвитку дітей, виховують увагу і зосередженість.
Прийоми усних обчислень застосовуються на всіх етапах уроку математики. Проте, враховуючи їх тренувальну і розвивальну цінність, для усних обчислень виділяють додатково 57 хвилин уроку.
Головна мета усних обчислень формування обчислювальних навичок. Це сприяє вмінню розв'язувати задачі, розвитку уявлень про математичні поняття, засвоєнню математичної термінології, дає змогу спостерігати деякі математичні закономірності. Крім завдань на засвоєння таблиць арифметичних дій та обчислення значень числових виразів, учням пропонують для усного розв'язування прості і складні задачі, вправи на розпізнавання геометричних фігур, на порівняння чисел, на знаходження істотної ознаки ряду чисел або множини фігур тощо.
Усні обчислення нерідко пов'язуються з опитуванням чи підготовкою до сприймання нового матеріалу.
Залежно від мети і теми уроку учитель визначає в ньому місце для усних обчислень.
Якщо завдання розраховані на повторення раніше вивченого матеріалу, формування обчислювальних навичок та одночасно готують учнів до вивчення нового матеріалу, то усні обчислення проводяться на початку уроку перед ознайомленням з новим матеріалом.
Усні обчислення, завдання яких закріплювати вивчений на уроці матеріал, проводяться після вивчення нового матеріалу.
Коли матеріал усних обчислень не пов'язаний з новим матеріалом, то вони можуть проводитися на будь-якому етапі уроку.
Залежно від форми сприймання учнями матеріалу, розрізняють слухову, зорову і зорово-слухову організацію усних обчислень. У двох останніх формах завдання записуються на дошці чи в таблиці або подаються на екрані. Учням при цьому не треба запам'ятовувати чисел, над якими необхідно виконати дії, а достатньо зосередитись на обчисленнях та швидкості виконання.
Зорово-слухову та зорову форму усних обчислень треба використовувати у випадках, коли виконати завдання без запису важко або неможливо. Наприклад, під час виконання дій зі значеннями величини, вираженими одиницями двох найменувань; при заповненні таблиць чи порівнянні виразів і т. п.
Добираючи завдання для усних обчислень, варто користуватися матеріалом підручників, який з тих чи інших причин не використовувався на попередніх уроках. У разі потреби його адаптують до форм проведення усних обчислень.
Для таких обчислень необхідно використовувати також вправи і задачі, опрацьовані на попередніх уроках. Доцільно повторно знаходити значення виразів, розв'язувати задачі чи складати плани їх розв'язування; ставити додаткові запитання до завдань підручника, модифікувати їх (змінювати числові дані, вимоги чи форми проведення). Під час повторного розв'язування задач (23 номери, бажано на одному розвороті підручника) учитель відводить 1-2 хвилини для обдумування, а потім пропонує повідомити план розв'язування або саме розв'язання задач.
Якщо для постановки завдань учитель широко застосовує наочність, то учні працюють швидше. Проте все це не знімає "навчального моменту" учитель на якусь мить уповільнює хід роботи, вимагаючи обґрунтувати відповідь чи пояснити хід розв'язання одного із завдань. Під час усних обчислень використовуються цікаві форми роботи та елементи змагання.
Для того, щоб ознайомитись із технологією усних обчислень, розглянемо їх основні форми. Це завдання для засвоєння таблиць арифметичних дій; вправи на формування обчислювальних навичок; математичні диктанти; завдання на засвоєння питань теорії арифметичних дій; завдання з логічним навантаженням; усні вправи з геометрії; засоби зворотного зв'язку під час усних обчислень.
Після складання кожної таблиці певної арифметичної дії проводиться систематична робота над вивченням її напам'ять. Дітям дають установку на запам'ятовування. Цей процес відбувається на уроці і вдома. Під час читання таблиць приклади формулюються коротко. Учні описують слово "дорівнює", для дії додавання вживають сполучник "і", для дії множення прийменник "на". Наведемо приклади.
Розказати таблицю додавання числа 9. (Один і дев’ять десять; два і дев'ять - одинадцять; і т. д.) Розказати таблицю віднімання числа 8. (Дев'ять мінус вісім один; десять мінус вісім два; і т. д.) Розказати таблицю множення числа 5. (П'ять помножити на два десять; п'ять помножити на три п'ятнадцять; і т. д.) Розказати таблицю ділення на 2. (Чотири поділити на два два; шість поділити на два три; і т. д.) Такі формулювання легше запам'ятовуються.
Для засвоєння і закріплення табличних результатів під час усних обчислень пропонуються такі завдання: послідовне (упорядковане) називання всієї таблиці або тільки її результатів; вибіркове називання окремих результатів однієї й тієї самої таблиці чи різних таблиць однієї й тієї самої дії; вибіркове називання результатів таблиць різних дій; обчислення виразів на дві дії на застосування табличних результатів.

Урок математики та його особливості за методичними системами М.В.Богдановича та Л.П.Кочиної, Н.П.Листопад.

Сучасний етап розвитку шкільної освіти в Україні, зокрема її початкової ланки, характеризується поширенням інноваційних процесів, істотною особливістю яких є реальна варіативність, що передбачає вміння вчителя працювати в умовах вибору різних навчальних програм, підручників, методик тощо. Очевидно, що і надалі зазначені тенденції будуть розвиватися, оскільки це невід’ємна ознака демократизації та гуманізації освіти. Отже, кожен педагог має оволодіти загальними підходами до моделювання уроків математики за різними методичними системами.
Особливості проведення уроку математики залежить від його змісту. Можна сказати, що зміст і мета уроку визначають його тип. За основною дидактичною метою в педагогіці виділяють такі типи уроків: засвоєння нового матеріалу; повторення та узагальнення знань і вмінь; перевірки та контролю результатів навчання.
Зазначені типи уроків у "чистому вигляді" в початковій школі реалізуються рідко. Як правило, переважає поєднання різних цілей навчання, а отже, маємо справу з уроком змішаного типу, або, як його називають дидакти, комбінованим.
У структурі комбінованого уроку математики, дотримуючись рекомендацій М.В. Богдановича, його компоненти можна об’єднати в такі групи (частини):
I. Контроль та закріплення знань учнів (творча перевірка домашнього завдання, опитування учнів та усні обчислення).
II. Опрацювання нового матеріалу (підготовка до вивчення нового матеріалу, пояснення його та первинне закріплення).
III. Закріплення та узагальнення знань учнів (закріплення та повторення матеріалу, завдання додому, підсумки уроку) (Богданович М.В., Будна Н.О., Лишенко Г.П. Урок математики в початковій школі. Навчальний посібник. – Тернопіль. Навчальна книга – Богдан, 2004. – 208 с.)
Традиційна структура комбінованого уроку математики будується за етапами процесу навчання: актуалізація знань та умінь, пояснення нового матеріалу, закріплення вивченого, вправляння, самостійна робота. На думку української вченої в галузі методики початкового навчання математики Л.П. Кочиної, таку побудову уроків слід переглянути та вести пошуки більш удосконаленої структури, яка б відповідала сучасним вимогам до уроку. Вона розробила новий підхід, який назвала блочним. Так, Л.П. Кочина вважає, що урок математики в початкових класах здебільшого є інтегрований і тому на ньому доцільно розглядати різні змістові лінії: питання нумерації; арифметичні дії над числами; геометричний, алгебраїчний, задачний матеріали; величини тощо. Усі вони мають власну логіку вивчення, методику викладання, систему вправ та їх послідовність і т.п. Розгляд кожної змістової лінії потребує постановки специфічної навчальної мети на уроці.
Учена стверджує, що на урок недоцільно планувати багато змістових блоків, оскільки кожний блок повинен мати достатньо навчального часу та завдань для повного розкриття поставленої мети (оптимальним слід вважати 3-4 змістові лінії). Якщо до уроку добирається багато змістових ліній, то вивчення кожної з них проходить поверхово, неглибоко, без достатньої завершеності.
Організацію блочної побудови уроку математики доцільно розглядати як новий крок у методичній підготовці вчителя початкової школи.

Дидактико-методичні особливості проведення уроків математики в 1 класі.
Дидактичні вимоги до підготовки і проведення уроків.
Перш ніж говорити про організацію уроку в 1 класі, нагадаємо, що, окрім знання методики, обов’язковою передумовою якості навчання є всебічне вивчення дитячих можливостей, знання індивідуальних характеристик кожної дитини.
Зараз учителі перших класів мають змогу вибору навчально-методичного забезпечення. У цих умовах ще більше зростає вага таких дидактичних умінь, як уміння бачити початкову освіту як цілісну систему, визначення в ній ролі 1 класу, з’ясування змісту та особливостей навчання саме з першокласниками.
Готуючись до уроку, вчитель передусім осмислює і визначає його цілі. На кожному уроці є основна мета, якій підпорядковані проміжні. Радимо не дрібнити цілі уроку, не повторювати з уроку в урок ті формулювання, що стосується постійних або довготривалих цілей. Особливо це стосується реалізації виховного і розвивального потенціалу засвоюваного матеріалу.
Цілі уроку можуть стосуватися як роботи класу в цілому, так і окремих учнів ( останнє, як правило, вчителі обходять ).
У процесі проведення уроку найбільшу роль відіграють організаційні та комунікативні вміння, швидкість реакції педагога. Якщо класовод має добу пам'ять, дар імпровізації, добре знає фактичний матеріал, то зрозуміло, що детальне описування ходу уроку лише збирає сили і час. Розгорнутість планів – це вияв індивідуальності педагога, бо його записи мають статус робочого щоденника, а не підзвітного документа.
Розглянемо особливості структури і способів організації навчальної діяльності шестилітніх першокласників на уроці. Вони зумовлені:
скороченням тривалості уроку до 35 хв.;
широким використанням ігрових форм навчання;
проведенням протягом уроку 12 динамічних вправ або розвантажувальних пауз (разом до 56 хв. уроку);
відсутністю домашніх завдань, які потребують статичного навантаження на неміцні м'язи рук дитини, перенапругу зору тощо;
використанням у процесі контролю й оцінювання змістовних, стимулюючих оцінних суджень.
З досвіду вчителів, які успішно працюють із шестилітками, можемо дати деякі поради щодо заощадження часу: 1) кожний урок обов'язково розпочинати одразу після дзвінка; 2) майже всі записи на дошці робити заздалегідь; 3) навчальне обладнання має бути "під рукою";
запитання до класу ставити однозначно, конкретно, не провокувати дітей на перепитування, емоції, вигуки;
довести до мінімуму зауваження, що стосуються порушень дисципліни (особливо недоцільні вони під час пояснення матеріалу, читання, розгляду картин); 6) уникати багатослівних інструкцій щодо наступної роботи, не повторювати їх; 7) проведення дидактичних ігор ретельно продумувати, щоб не було потреби уточнювати правила і пояснювати особливості використання реквізиту.
У структурі уроку місце гри, її тривалість визначаються завданнями уроку і змістом самої гри. Протягом уроку вчитель може ввести 23 короткочасні ігрові ситуації різної тривалості, а може весь урок побудувати у вигляді сюжетно-рольової гри.
У систему дидактичних ігор для першокласників на уроках доцільно включати ігри: 1) на формування розумових операцій (аналіз, порівняння, класифікація, узагальнення); 2) на відновлення, доповнення цілого; 3) виключення "зайвого"; 4) ігри-інсценізації; 5) ігри-конструювання, рольові ігри з елементами сюжету.
Для результативності уроку із шестилітніми потрібно вчасно чергувати завдання, що потребують різних видів сприймання. Зокрема, слухову роботу варто змінювати практичними діями з різними рухами. Важливо урізноманітнювати й форми завдань. Так, діти можуть працювати індивідуально, разом з учителем (наприклад, аналізують звуковий склад слова, пишуть літери, розбирають схему речення). На кожному уроці обов'язково треба знаходити час для самостійних завдань переважно практичного характеру.
Узагальнення педагогічних досліджень і передового досвіду дає можливість визначити дидактичні вимоги до організації диференційованого підходу, а саме: 1) вчитель враховує загальну готовність дітей до навчальної діяльності та готовність до засвоєння конкретного матеріалу; 2) вміє передбачити труднощі, які можуть виникнути в дітей під час його засвоєння; 3) в системі уроків використовує диференційовані завдання індивідуального і групового характеру; 4) робить перспективний аналіз: для чого плануються завдання, чому їх треба використати саме на даному етапі уроку, як продовжити цю роботу на наступних уроках.

Порівняльна характеристика чинних підручників з математики в контексті їх технологічних особливостей (автор М.В.Богданович).
Сучасний етап шкільного підручникотворення характеризується розробкою паралельних підручників.
На даному етапі розвитку початкової школи створено можливості для вибору кожним учителем якнайкращих для нього і для його учнів підручників. Щоб такий вибір для майбутнього вчителя початкової школи став реальністю, перш за все, треба добре знати обидва паралельні підручники та вміти їх порівнювати.
Проаналізуємо особливості підручників на прикладі „Математика” 1 клас (автор М.В. Богданович) та „Математика” 1 клас, підготовлений Л.П. Кочиною та Н.П. Листопад. Особливо звернемо увагу на підручники з математики в контексті закладених в них можливостей для реалізації технологічного підходу.
Об’єднує зазначені підручники те, що вони складені відповідно до програми з даного навчального предмета, реалізують змістові лінії Державного стандарту з математики. Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України рекомендує їх як основні для використання у школах з українською та російською мовами навчання.
Зазначимо, що важливою умовою, яка забезпечує створення якісного підручника, має стати чітке усвідомлення автором особливостей того навчального предмета, який відображає підручник. Підручники з математики для початкової школи особливо виразно реалізують два основних компоненти: власні предметні знання та способи діяльності.
З метою аналізу вказаних підручників застосуємо структурно-функціональний підхід, теоретичні основи якого розроблено Я. Кодлюк. (Кодлюк Я. Підручник для початкової школи: Теорія і практика. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2004. – С.171-190.).
Структура і функції підручників з математики (автор М.В. Богданович) значною мірою зумовлені концентричним розміщенням навчального матеріалу. Принцип „концентричності” стосується нумерації і арифметичних дій. Інші питання вивчаються за лінійним принципом.
Курс математики (автори Л.П. Кочина, Л.П. Листопад), в основному, побудовано за лінійним принципом. Лінійний принцип організації навчання дає змогу кожну тему побудувати у вигляді певної системи, у якій чітко визначається системоутворюючий зв’язок. Він виступає стрижнем, навколо якого групуються часткові положення. Акцентування уваги на такому взаємозв’язку дозволяє учням засвоювати навчальний матеріал укрупнено, а це в свою чергу сприяє формуванню в учнів системного мислення.
Виходячи з того, що загальнодидактичним критерієм оцінювання шкільних підручників визнано дидактичні функції, а провідними функціями є інформаційна, розвивальна, мотиваційна та виховна, проаналізуємо названі підручники з точки зору реалізації зазначених функцій.
Інформаційна функція підручників з математики, як авторів Л.П. Кочиної, Н.П. Листопад, так і М.В. Богдановича реалізується шляхом пред’явлення в ній навчального матеріалу за темами.
Інформаційна функція підручника, як відомо, передбачає пред’явлення в ньому не лише предметних знань, а й видів діяльності, спрямованих на їх засвоєння. Види діяльності фіксуються у специфічному структурному компоненті підручника – апараті організації засвоєння, який націлений на набуття учнями досвіду виконання певних способів діяльності (відповідних умінь і навичок). Основними елементами апарату організації засвоєння, як відомо, є завдання. В існуючих паралельних підручниках з математики завдання можна згрупувати певним чином на ті:
що спрямовані на розвиток специфіко-математичних знань;
сприяють формуванню основ теоретичного мислення, творчих здібностей молодших школярів;
забезпечують оволодіння загальнонавчальними уміннями і навичками;
націлюють на використання різних форм організації навчальної діяльності;
які формують досвід емоційно-ціннісного ставлення до світу;
Особливу увагу становлять завдання, що дозволяють засобами підручника формувати уміння самостійно вчитися, працювати з книгою.
Вищезазначений поділ вважаємо умовним, оскільки чимало вправ у підручнику багатофункціональні.
Сучасний підручник повинен мати виразні ознаки технологічності. Під технологічністю підручника будемо розуміти, по-перше, обґрунтоване проектування у завданнях розгорнутого процесу самоучіння, тобто формування засобами підручника уміння вчитися, працювати з книгою; по-друге, технологічність передбачає такий характер завдань, де вчитель має побачити майбутній сценарій організації навчальної діяльності на уроці; по-третє, технологічність моделі навчання у підручнику передбачає здатність автора синтезувати методологічні, психологічні та дидактико-методичні новації в апараті підручника.
Тому, переглянувши зміст паралельних підручників з цих позицій, слід зазначити, що в них чітко знаходить відображення організація процесу навчальної діяльності (всі її структурні компоненти – постановка навчальної задачі, її розв’язання, самоконтроль, самооцінка, а також мотиваційний аспект з урахуванням вікових особливостей учнів), тобто структура підручників, їхній методичний апарат дають прозоре уявлення вчителю, чого і як слід навчати. А для учнів такі підручники – певна схема самостійного навчання.
Розвивальна функція підручника передбачає розвиток в учнів загальнонавчальних умінь та навичок, мислительних операцій, творчих здібностей. Зазначена функція реалізується в підручниках відповідною системою завдань.
Мотиваційна функція аналізованих підручників полягає у стимулюванні учнів до активної розумової діяльності, у сприянні розвиткові пізнавальних інтересів та позитивних мотивів навчання. Обидва паралельні підручники з математики спрямовані на особистісно орієнтовану модель навчання, тому завдання заохочують і стимулюють до співпраці учнів з учителем, передбачають діалогічність викладу, можливий вибір завдань.
Виховна функція реалізується перш за все змістом навчального матеріалу. Аналіз підручників (а саме ілюстративного та задачного матеріалу) свідчать про те, що в них мають місце завдання, за допомогою яких можна виховувати найважливіші соціальні, моральні, народознавчі, екологічні уявлення і поняття, однак пріоритет віддано завданням, що формують загальнолюдські цінності. У підручниках виразно простежуються наявність особистісно значимого для учнів матеріалу.
У процесі аналізу ми неодноразово привертали увагу до ілюстративного матеріалу. Тому, підсумовуючи, зазначимо, що підручники містять різні види ілюстрацій та мають високу якість виконання. Крім того, помітна роль ілюстративного матеріалу в реалізації провідних функцій підручника (розвивальна спрямованість наочних зображень, їх інформативність, естетичне виконання), наявна методична доцільність включення до підручників ілюстрацій і чітко простежується відповідність їх віковим особливостям молодших школярів. Підручники з математики для першого класу відповідають санітарно-гігієнічним вимогам, про що свідчить якість паперу, поліграфічність набору та доцільне шрифтове оформлення.
Переконані, що такі книги та особливо вміле користування ними з боку вчителя забезпечать ефективне засвоєння учнями матеріалу з даного навчального предмета.

Особливості змісту, побудови і оформлення підручників з математики для учнів початкової школи авторів Л.П.Кочиної та Н.П.Листопад.
Курс математики (автори Л.П. Кочина, Л.П. Листопад), в основному, побудовано за лінійним принципом. Лінійний принцип організації навчання дає змогу кожну тему побудувати у вигляді певної системи, у якій чітко визначається системоутворюючий зв’язок. Він виступає стрижнем, навколо якого групуються часткові положення. Акцентування уваги на такому взаємозв’язку дозволяє учням засвоювати навчальний матеріал укрупнено, а це в свою чергу сприяє формуванню в учнів системного мислення.
Виходячи з того, що загальнодидактичним критерієм оцінювання шкільних підручників визнано дидактичні функції, а провідними функціями є інформаційна, розвивальна, мотиваційна та виховна, проаналізуємо названі підручники з точки зору реалізації зазначених функцій.
Інформаційна функція підручників з математики реалізується шляхом пред’явлення в ній навчального матеріалу за темами.
Інформаційна функція підручника, як відомо, передбачає пред’явлення в ньому не лише предметних знань, а й видів діяльності, спрямованих на їх засвоєння. Види діяльності фіксуються у специфічному структурному компоненті підручника – апараті організації засвоєння, який націлений на набуття учнями досвіду виконання певних способів діяльності (відповідних умінь і навичок). Основними елементами апарату організації засвоєння, як відомо, є завдання. В існуючих паралельних підручниках з математики завдання можна згрупувати певним чином на ті:
що спрямовані на розвиток специфіко-математичних знань;
сприяють формуванню основ теоретичного мислення, творчих здібностей молодших школярів;
забезпечують оволодіння загальнонавчальними уміннями і навичками;
націлюють на використання різних форм організації навчальної діяльності;
які формують досвід емоційно-ціннісного ставлення до світу;
Особливу увагу становлять завдання, що дозволяють засобами підручника формувати уміння самостійно вчитися, працювати з книгою.
Вищезазначений поділ вважаємо умовним, оскільки чимало вправ у підручнику багатофункціональні.
Сучасний підручник повинен мати виразні ознаки технологічності. Під технологічністю підручника будемо розуміти, по-перше, обґрунтоване проектування у завданнях розгорнутого процесу самоучіння, тобто формування засобами підручника уміння вчитися, працювати з книгою; по-друге, технологічність передбачає такий характер завдань, де вчитель має побачити майбутній сценарій організації навчальної діяльності на уроці; по-третє, технологічність моделі навчання у підручнику передбачає здатність автора синтезувати методологічні, психологічні та дидактико-методичні новації в апараті підручника.
Тому, переглянувши зміст паралельних підручників з цих позицій, слід зазначити, що в них чітко знаходить відображення організація процесу навчальної діяльності (всі її структурні компоненти – постановка навчальної задачі, її розв’язання, самоконтроль, самооцінка, а також мотиваційний аспект з урахуванням вікових особливостей учнів), тобто структура підручників, їхній методичний апарат дають прозоре уявлення вчителю, чого і як слід навчати. А для учнів такі підручники – певна схема самостійного навчання.
Розвивальна функція підручника передбачає розвиток в учнів загальнонавчальних умінь та навичок, мислительних операцій, творчих здібностей. Зазначена функція реалізується в підручниках відповідною системою завдань.
Мотиваційна функція аналізованих підручників полягає у стимулюванні учнів до активної розумової діяльності, у сприянні розвиткові пізнавальних інтересів та позитивних мотивів навчання. Обидва паралельні підручники з математики спрямовані на особистісно орієнтовану модель навчання, тому завдання заохочують і стимулюють до співпраці учнів з учителем, передбачають діалогічність викладу, можливий вибір завдань.
Виховна функція реалізується перш за все змістом навчального матеріалу. Аналіз підручників (а саме ілюстративного та задачного матеріалу) свідчать про те, що в них мають місце завдання, за допомогою яких можна виховувати найважливіші соціальні, моральні, народознавчі, екологічні уявлення і поняття, однак пріоритет віддано завданням, що формують загальнолюдські цінності. У підручниках виразно простежуються наявність особистісно значимого для учнів матеріалу.
У процесі аналізу ми неодноразово привертали увагу до ілюстративного матеріалу. Тому, підсумовуючи, зазначимо, що підручники містять різні види ілюстрацій та мають високу якість виконання. Крім того, помітна роль ілюстративного матеріалу в реалізації провідних функцій підручника (розвивальна спрямованість наочних зображень, їх інформативність, естетичне виконання), наявна методична доцільність включення до підручників ілюстрацій і чітко простежується відповідність їх віковим особливостям молодших школярів. Підручники з математики для першого класу відповідають санітарно-гігієнічним вимогам, про що свідчить якість паперу, поліграфічність набору та доцільне шрифтове оформлення.
Переконані, що такі книги та особливо вміле користування ними з боку вчителя забезпечать ефективне засвоєння учнями матеріалу з даного навчального предмета.

Підготовка учнів до введення натурального числа за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.

Поняття “число” відноситься до первинних, невизначуваних понять математичної науки. Натуральне число – це незмінна загальна властивість, що характеризує клас скінчених еквівалентних множин. Поняття “натуральне число” спирається на поняття “множина”, “еквівалентність”, “взаємно-однозначна відповідність”, їх слід враховувати при введенні кожного числа.
Натуральні числа не можна ані побачити, ані почути, ані доторкнутися до них, тобто вони недоступні органам чуття. Мабуть, єдина можливість зробити їх „реальними” – записати. В основі формування поняття числа в школі лежить лічба предметів. Лічба – це встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами заданої кінцевої множини і числами – елементами початкового відрізку натурального ряду.
Число виступає як результат лічби, тобто назване останнім при лічбі характеризує кількість предметів поданої сукупності. Крім того, в основі операції лічби лежить встановлення взаємооднозначної відповідності між предметами певної сукупності та словами-числівниками, які називають початковий відрізок натурального ряду. Тому кожне число, назване при лічбі, характеризує не лише кількість сукупності, але й порядок предметів при лічбі.
При формуванні поняття про кожне окреме число система завдань будується за планом:
формування поняття про число як кількісну характеристику класу кінцевих еквівалентних множин;
позначення числа цифрою: друкована та прописна цифра;
утворення числа з попереднього;
навчання написання цифри;
співвіднесення числа та кількості предметів і навпаки;
лічба в прямому та оберненому порядку в межах даного числа;
порівняння чисел;
склад числа.

Особливості формування поняття натурального числа та нуля за різними методичними системами початкового курсу математики.
Одним з основних розділів курсу математики в 1-му класі є „Числа 110 та число 0”. Поняття “число” відноситься до первинних, невизначуваних понять математичної науки. Натуральне число – це незмінна загальна властивість, що характеризує клас скінчених еквівалентних множин. Поняття “натуральне число” спирається на поняття “множина”, “еквівалентність”, “взаємно-однозначна відповідність”, їх слід враховувати при введенні кожного числа.
Натуральні числа не можна ані побачити, ані почути, ані доторкнутися до них, тобто вони недоступні органам чуття. Мабуть, єдина можливість зробити їх „реальними” – записати. В основі формування поняття числа в школі лежить лічба предметів. Лічба – це встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами заданої кінцевої множини і числами – елементами початкового відрізку натурального ряду.
Число виступає як результат лічби, тобто назване останнім при лічбі характеризує кількість предметів поданої сукупності. Крім того, в основі операції лічби лежить встановлення взаємооднозначної відповідності між предметами певної сукупності та словами-числівниками, які називають початковий відрізок натурального ряду. Тому кожне число, назване при лічбі, характеризує не лише кількість сукупності, але й порядок предметів при лічбі.
Вивчення чисел за різними методичними системами має свої особливості. Наприклад існує підхід коли кожне число вводиться окремо або вивчення чисел подається групами: від 1 до 5 і від 6 до 10. Так, Л.П. Кочина пояснює необхідність вивчення чисел групами тим, що діти шестирічного віку, в переважній більшості, лічать у межах 10, знають цифри і вміють співвідносити числа з відповідними предметними множинами. Тому вивчення групи чисел, а не кожного числа окремо підвищує інтерес учнів до навчання, створює можливості для застосування варіативних завдань і динамічнішої побудови уроків.
З наведених доказів можна зробити висновок, що вивчення чисел групами доцільно використовувати в разі, якщо учні прийшли до школи більш підготовленими.
Послідовне ознайомлення з числами від 1 до 10 (за методичною системою М.В. Богдановича) має сенс для менш підготовлених до школи учнів.
При формуванні поняття про кожне окреме число система завдань будується за планом:
формування поняття про число як кількісну характеристику класу кінцевих еквівалентних множин;
позначення числа цифрою: друкована та прописна цифра;
утворення числа з попереднього;
навчання написання цифри;
співвіднесення числа та кількості предметів і навпаки;
лічба в прямому та оберненому порядку в межах даного числа;
порівняння чисел;
склад числа.
Розглянемо докладніше методичні особливості вивчення нумерації чисел першого десятка, оскільки основні питання (утворення числа, написання цифри, співвіднесення цифри з групою предметів і, навпаки, ознайомлення з місцем числа в натуральному ряді чисел, порівняння і склад чисел), з якими ознайомлюються учні, є характерними для вчених, які представляють різні методичні підходи.
Навчання написанню цифри, яка позначає на письмі дане число
Число “п’ять” на письмі позначається спеціальним значком – цифрою, яка має таку ж саму назву: “5” – цифра “п’ять”. Учитель демонструє друковану і прописну цифру “п’ять”. Діти показують у підручнику (на таблиці, у зошиті з друкованою основою) друковану цифру „п’ять”; показують прописну цифру „п’ять”.
Далі розглядаємо елементи цифри “5”. Цифра “п’ять” складається з трьох елементів: похилої і горизонтальної паличок і правого напівовала. Спочатку пишемо похилу паличку, а потім правий напівовал і лише потім пишемо горизонтальну паличку.
На цьому етапі можна запропонувати учням „цифри-шершавчики” – картки з цифрою, що виготовлена з наждачного паперу і наклеєна на гладенький картон. Діти проводять по шершавій цифрі пальцем спочатку з відкритими очима, а потім – із закритими. Якщо вони опиняться на гладенькому папері, то припустилися помилки. Таким чином, діти запам’ятовують напрямок руху руки при написанні цифри.
Далі згадуємо вірш про цифру „п’ять” і прописуємо її у повітрі: спочатку пишемо похилу паличку, потім правий напівовал і лише потім горизонтальну паличку. І, нарешті, діти спочатку обводять в зошиті з друкованою основою цифру „п’ять”, промовляючи назви елементів, з яких вона складається, у тому порядку, як треба їх писати, а потім самі пишуть цифру в зошитах із друкованою основою та у звичайних зошитах у клітинку.
Отже, при вивченні кожної цифри робота проходить у такій послідовності: розгляд зразка написання друкованої і прописної цифри у підручнику, на таблиці чи в зошиті з друкованою основою; пояснення і показування письма цифри учителем на дошці; написання цифри в повітрі; написання цифри в зошитах, спочатку по пунктирних лініях, а потім самостійно.
Підсумовуючи слід зазначити, що детальне висвітлення методичних особливостей вивчення нумерації чисел першого десятка дозволить учителям початкової школи підготуватися до роботи відповідно вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової базової навчальної програми для учнів початкової школи.

Методичні підходи до вивчення нумерації чисел у межах 10 за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
Одним з основних розділів курсу математики в 1-му класі є „Числа 110 та число 0”. Поняття “число” відноситься до первинних, невизначуваних понять математичної науки. Натуральне число – це незмінна загальна властивість, що характеризує клас скінчених еквівалентних множин. Поняття “натуральне число” спирається на поняття “множина”, “еквівалентність”, “взаємно-однозначна відповідність”, їх слід враховувати при введенні кожного числа.
Натуральні числа не можна ані побачити, ані почути, ані доторкнутися до них, тобто вони недоступні органам чуття. Мабуть, єдина можливість зробити їх „реальними” – записати. В основі формування поняття числа в школі лежить лічба предметів. Лічба – це встановлення взаємно-однозначної відповідності між елементами заданої кінцевої множини і числами – елементами початкового відрізку натурального ряду.
Число виступає як результат лічби, тобто назване останнім при лічбі характеризує кількість предметів поданої сукупності. Крім того, в основі операції лічби лежить встановлення взаємооднозначної відповідності між предметами певної сукупності та словами-числівниками, які називають початковий відрізок натурального ряду. Тому кожне число, назване при лічбі, характеризує не лише кількість сукупності, але й порядок предметів при лічбі.
Вивчення чисел за різними методичними системами має свої особливості. Наприклад існує підхід коли кожне число вводиться окремо або вивчення чисел подається групами: від 1 до 5 і від 6 до 10. Так, Л.П. Кочина пояснює необхідність вивчення чисел групами тим, що діти шестирічного віку, в переважній більшості, лічать у межах 10, знають цифри і вміють співвідносити числа з відповідними предметними множинами. Тому вивчення групи чисел, а не кожного числа окремо підвищує інтерес учнів до навчання, створює можливості для застосування варіативних завдань і динамічнішої побудови уроків.
З наведених доказів можна зробити висновок, що вивчення чисел групами доцільно використовувати в разі, якщо учні прийшли до школи більш підготовленими.
Послідовне ознайомлення з числами від 1 до 10 (за методичною системою М.В. Богдановича) має сенс для менш підготовлених до школи учнів.
При формуванні поняття про кожне окреме число система завдань будується за планом:
формування поняття про число як кількісну характеристику класу кінцевих еквівалентних множин;
позначення числа цифрою: друкована та прописна цифра;
утворення числа з попереднього;
навчання написання цифри;
співвіднесення числа та кількості предметів і навпаки;
лічба в прямому та оберненому порядку в межах даного числа;
порівняння чисел;
склад числа.
Розглянемо докладніше методичні особливості вивчення нумерації чисел першого десятка, оскільки основні питання (утворення числа, написання цифри, співвіднесення цифри з групою предметів і, навпаки, ознайомлення з місцем числа в натуральному ряді чисел, порівняння і склад чисел), з якими ознайомлюються учні, є характерними для вчених, які представляють різні методичні підходи.
Навчання написанню цифри, яка позначає на письмі дане число
Число “п’ять” на письмі позначається спеціальним значком – цифрою, яка має таку ж саму назву: “5” – цифра “п’ять”. Учитель демонструє друковану і прописну цифру “п’ять”. Діти показують у підручнику (на таблиці, у зошиті з друкованою основою) друковану цифру „п’ять”; показують прописну цифру „п’ять”.
Далі розглядаємо елементи цифри “5”. Цифра “п’ять” складається з трьох елементів: похилої і горизонтальної паличок і правого напівовала. Спочатку пишемо похилу паличку, а потім правий напівовал і лише потім пишемо горизонтальну паличку.
На цьому етапі можна запропонувати учням „цифри-шершавчики” – картки з цифрою, що виготовлена з наждачного паперу і наклеєна на гладенький картон. Діти проводять по шершавій цифрі пальцем спочатку з відкритими очима, а потім – із закритими. Якщо вони опиняться на гладенькому папері, то припустилися помилки. Таким чином, діти запам’ятовують напрямок руху руки при написанні цифри.
Далі згадуємо вірш про цифру „п’ять” і прописуємо її у повітрі: спочатку пишемо похилу паличку, потім правий напівовал і лише потім горизонтальну паличку. І, нарешті, діти спочатку обводять в зошиті з друкованою основою цифру „п’ять”, промовляючи назви елементів, з яких вона складається, у тому порядку, як треба їх писати, а потім самі пишуть цифру в зошитах із друкованою основою та у звичайних зошитах у клітинку.
Отже, при вивченні кожної цифри робота проходить у такій послідовності: розгляд зразка написання друкованої і прописної цифри у підручнику, на таблиці чи в зошиті з друкованою основою; пояснення і показування письма цифри учителем на дошці; написання цифри в повітрі; написання цифри в зошитах, спочатку по пунктирних лініях, а потім самостійно.
Підсумовуючи слід зазначити, що детальне висвітлення методичних особливостей вивчення нумерації чисел першого десятка дозволить учителям початкової школи підготуватися до роботи відповідно вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової базової навчальної програми для учнів початкової школи.

Методичні підходи до вивчення нумерації чисел в межах 100 і 1000 за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
На даному етапі розвитку початкової школи реалізуються різні підходи до вивчення нумерації чисел в межах 100. Наприклад, опрацювання нумерації в межах 100 можна поділити на два етапи: числа 11-20 та числа 21 – 100. Такий порядок вивчення обумовлений тим, що лише для чисел 11-19 порядок назви розрядних чисел, що їх складають, і порядок запису не збігаються: 12 – два-на-дцять – спочатку називаємо одиниці, а потім десятки, а пишемо першим 1 десяток і лише потім 2 одиниці. 21 – двадцять-один – порядок читання і запису збігаються.
Але разом з тим нумерація двоцифрових чисел до 20 і вище принципово схожа: усна і письмова нумерація цих чисел спирається на десяткове групування одиниць при лічбі і на позиційний принцип запису числа, десяткову систему числення. Отже, немає сенсу вивчати „два рази” один і той же матеріал, тим більше, що діти приходять до школи вже зі знанням назв чисел у межах 100. За таких умов можна вже в 1-му класі вивчати нумерацію чисел у межах 100.
Узагальнення різних методичних підходів свідчить, що вивчення нумерації чисел у будь-якому концентрі ділиться на два етапи: 1) вивчення усної нумерації; 2) вивчення письмової нумерації.
При вивченні нумерації чисел першого десятку більшість методистів пропонують усну і письмову нумерацію вивчати паралельно. Під час опрацювання нумерації чисел 11–20 та 21-100 окремо розглядається усна нумерація і окремо письмова.
Вивчення нумерації чисел в межах сотні доцільно розпочинати з формування поняття про десяток.
Формування поняття про десяток як складену лічильну одиницю
Формування поняття про десяток здійснюється за допомогою зв’язування десятьох паличок у пучок або десятьох намистинок у стрижень.
Вивчаючи числа першого десятка доцільно лічити двійками, трійками... , п’ятками... Після виконання вправ на лічбу групами учні роблять висновок: вміючи лічити до 10-ти можна полічити велику кількість предметів, якщо їх згрупувати при лічбі. Тепер переходимо до утворення десятка.
Учням пропонується відрахувати 10 паличок і назвати, скільки паличок вони відрахували (“Десять паличок”). Учитель повідомляє, що якщо зв’язати їх у пучок, то можна сказати також “десяток паличок”. Діти показують десяток паличок і з’ясовують, що в десятку – 10 окремих паличок. Аналогічно можна працювати з кубиками і бруском кубиків, намистинками і стрижнями намистин.
Поняття про одноцифрові і двоцифрові числа. Учням пропонується записати числа від 0 до 10-ти, уважно розглянути ці числа і встановити, яке число тут “зайве”. Учні з’ясовують, що зайве число 10, тому що решта чисел записується лише однією цифрою, а число 10 двома цифрами. Учитель повідомляє, що в математиці числа, що записуються за допомогою однієї цифри, називаються одноцифровими. А числа, що записуються двома цифрами – двоцифровими. Потім учитель пропонує дати назви числам, які записуються трьома, чотирма, п’ятьма ... цифрами.
Методика навчання нумерації чисел 11– 20
Опрацювання усної нумерації чисел 11– 20 починається з утворення чисел. Числа 11 – 20 можуть бути утворені приєднанням 1,2,3,... до десяти, при цьому необхідно підкреслити характер дії (покласти один на десять, два на десять тощо) і пов’язати з цим пояснення назв чисел другого десятка. Одержання чисел другого десятка можна проілюструвати не лише на паличках, а й за допомогою арифметичних штанг або намистинок та стрижня з намистинок.
Прираховуючи числа по 1-му, і підкреслюємо тим самим, що за межами десятка числа так само упорядковані, як і в межах 10-ти. Відразу учні знайомляться з позначенням одержаних чисел за допомогою карток з числом 10 та одноцифровими числами. (Так само, як і при роботі з паличками та пучком паличок або арифметичними штангами на 10 накладали 1, 2..., так і на картку 10 накладаємо відповідно картки 1, 2....)
На етапі ознайомлення з письмовою нумерацією чисел 11– 20 учні мають зрозуміти, що нові числа записують за допомогою відомих їм десяти цифр, але в запису чисел цифра, яка стоїть на першому місці, рахуючи справа наліво, позначає одиниці, а цифра, яка стоїть на другому місці, позначає десятки.
Запис двоцифрових чисел спирається на чітке уявлення про їх десятковий склад, тому під час підготовчої роботи необхідно актуалізувати утворення чисел з одного десятка і кількох одиниць і обернені вправи – на розкладання числа на десятки та одиниці. Наприклад, учитель кладе у верхню кишеню абака 10 паличок. Десять паличок, або десять одиниць ставимо в кишеню в розряді одиниць. Десять паличок зв’яжемо в пучок – одержуємо один десяток - і його кладемо в другу кишеню абака, якщо рахувати справа наліво, під десятками.
У першу кишеню кладемо одну паличку. Всього 11 паличок. У цьому числі один десяток та одна одиниця. Школярі виконують аналогічні вправи.
Ознайомлення з записом чисел другого десятка так само можна провести за допомогою абака. У верхніх кишенях абаку розкладено 15 паличок. Діти визначають, що в цьому числі 1 десяток, тому вчитель вставляє в нижню ліву кишеню під десятками картку з цифрою 1.
Підкреслюємо, що ця цифра позначає кількість десятків.
У числі „п’ятнадцять” 5 одиниць, тому вчитель вставляє картку з цифрою „5” в нижню праву кишеню під одиницями.
Тут записано число „п’ятнадцять”, яке містить 1 десяток і 5 одиниць. На першому місці, рахуючи справа, записано 5 одиниць, а на другому місці записано 1 десяток.
Методика навчання нумерації чисел від 21 до 100
Традиційно нумерація чисел від 21 до 100 розглядається окремо: спочатку усна, а потім письмова. Саме такий підхід і опрацьовується за методичною системою М.В. Богдановича.
Л.П. Кочина пропонує вивчення усної нумерації розпочинати раніше, ще під час опрацювання додавання одноцифрових чисел з переходом через десяток. На цих уроках учні вчаться називати числа в певній послідовності в межах кожного десятка як за допомогою лічильних паличок, так і без них; ознайомлюються з десятком як новою лічильною одиницею. У цей же період пропонуються завдання на утворення чисел з десятків і одиниць та засвоєння їх назв.
Виділення підготовчого етапу є добрим підґрунтям для розгляду наступних питань усної і письмової нумерації чисел 21100 і дає змогу розпочати вивчення теми „Нумерація чисел” одразу з письмової нумерації. Зауважимо, що такий підхід до вивчення теми заслуговує на увагу і може опрацьовуватися за будь-яким навчальним комплектом.
Розглянемо докладніше методичні особливості вивчення усної і письмової нумерації чисел від 21 до 100 відповідно до вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової базової навчальної програми для учнів початкової школи.
Слід зазначити, що за новою базовою програмою з математики вивчення нумерації чисел в межах 100 відбувається в 1-му класі: спочатку учні опановують окремі питання нумерації на числах від 11 до 20, а на наступних уроках – переносять набуть знання у розширену множину двоцифрових чисел – у межах 100. Таким чином, вивчення нумерації чисел в межах від 21 до 100 відбувається за таким самим планом, як і в межах 20, а саме учні ознайомлюються з утворенням двоцифрових чисел із десятків і одиниць, вчаться читати і записувати числа, порівнювати їх. Пояснення матеріалу здійснюється на основі ілюстрування пучків-десятків і окремих паличок або намистинок та стрижнів намистинок, відповідних малюнків у підручнику.
Способи порівняння чисел:
1. На підставі порядку прямування чисел в натуральному ряду: число, яке при лічбі називається пізніше, – більше, а число, що при лічбі називається раніше, – менше.
З цим способом порівняння діти вже добре знайомі: ознайомлення з ним відбулося при вивченні порівняння чисел першого десятка, а закріплення – при вивченні порівняння чисел до 20-ти. Тому, на етапі актуалізації слід повторити, як треба міркувати при порівнянні чисел другого десятка; а потім запитати учнів “Чи можна так само міркувати при порівнянні чисел першої сотні?”. Отримавши від учнів позитивну відповідь, перенести цей спосіб порівняння в нову ситуацію.
2. Порозрядне порівняння чисел починається з найвищого розряду і відбувається за алгоритмом:
підкреслюю число десятків у кожному числі;
порівнюю числа десятків: більше те число, в якому десятків більше (менше те число, в якому десятків менше); якщо десятків порівну, то переходжу до п. 3);
підкреслюю число одиниць у кожному числі;
порівнюю числа одиниць: більше те число, в якому одиниць більше (менше те число, в якому одиниць менше); якщо одиниць порівну, то ці числа рівні.
Наприклад. Треба порівняти 27 і 19; в числі „27” – 2 десятки, а в числі „19” – 1 десяток; порівнюємо числа десятків: 2 десятки більше 1-го десятка, тому число „27” більше „19”. Треба порівняти „30” і „32”; в числі „30” – 3 десятки, в числі „32” – 3 десятка; порівнюємо числа десятків – порівну, тому переходимо до одиниць; в числі „30” – 0 одиниць, в числі „32” – 2 одиниці; порівнюємо одиниці – 0 менше 2-х, тому число „30” менше числа „32”...
Це новий спосіб порівняння. Він буде широко застосовуватися при порівнянні чисел у всіх подальших концентрах, тому йому слід приділити певну увагу.
Методика навчання нумерації у межах 1000
Традиційно нумерація трицифрових чисел опрацьовується окремо: спочатку усна, а потім письмова. Саме такий підхід розглядається М.В.Богдановичем.
За методичною системою Л.П.Кочиної підготовчу роботу до вивчення нумерації трицифрових чисел пропонується розпочинати раніше, під час вивчення теми „Множення і ділення двоцифрових чисел”. Назви нових чисел мають прозвучати на уроках до того, як вони стануть предметом спеціального вивчення. З цією метою на завершальному етапі роботи над першою сотнею слід з’ясувати, хто з дітей вміє рахувати „більше, ніж до 100”. Добре також включити вправи на прочитання чисел за межами першої сотні (наприклад, запропонувати назвати ще 57 чисел у кожному ряду: 95, 96, 97, ...; 50, 60, 70, ...; 92, 94, 96, ...; 85, 90, 95, ...; тощо). Це допоможе дітям усвідомити, що існують числа, більші від 100 і що вони мають спільне з числами, які їм відомі. Зауважимо, що такий підхід до вивчення теми заслуговує на увагу і може опрацьовуватися за будь-яким навчальним комплектом.
Розглянемо докладніше методичні особливості вивчення нумерації чисел у межах 1000 відповідно до вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової базової навчальної програми для учнів початкової школи.
Ознайомлення з поняттям „Сотня” як зі складеною лічильною одиницею. У концентрі “Сотня” діти познайомилися з двома лічильними одиницями – одиницею і складеною лічильною одиницею – десятком. 10 окремих паличок – одиниць зв’язували в пучок – десяток, далі пучки-десятки лічили так само, як і прості одиниці.
Аналогічно здійснюється ознайомлення з новою лічильною одиницею – сотнею. 10 паличок зв’язують у пучок і кажуть: 1 десяток, записуємо: 10 одиниць = 1 десятку. Лічимо пучками-десятками. Отримавши 10 десятків, зв’язуємо їх у великий пучок – сотню і записуємо: 10 десятків = 1 сотні. Звертаємо увагу, що отримана нова лічильна одиниця називається сотнею, і пропонуємо учням здогадатися, чому саме вона так називається. В 1-мі десятку 10 одиниць, а в 10-ти десятках 100 одиниць, або сотня. Записуємо: 100 одиниць = 1 сотні.

Методичні підходи до вивчення нумерації багатоцифрових чисел за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи.
Більшість учених-методистів багатоцифрові числа подають у порядку збільшення розрядів. Проте існують відмінності щодо послідовності опрацювання усної та письмової нумерації. Вивчення усної нумерації багатоцифрових чисел Л.П. Кочина пропонує розпочинати заздалегідь. За методичною системою М.В. Богдановича усна і письмова нумерація багатоцифрових чисел подається паралельно.
Розглянемо докладніше методичні особливості навчання нумерації багатоцифрових чисел в порядку збільшення розрядів.
Утворення другої класної одиниці – тисячі здійснюється шляхом прирахування по 1. Починаючи з числа „995” учні лічать до 1000, записуючи одержані числа; і встановлюють, що за найбільшим трицифровим числом слідує найменше чотирицифрове число.
Повторюючи співвідношення лічильних одиниць і їх групування в більш крупні лічильні одиниці, учні отримують:
10 одиниць = 1десяток, 10 десятків = 1сотня, 10 сотень = 1 тисяча.
Звертаємо увагу учнів, що тисячами можна лічити так, як й простими одиницями: можна їх групувати в десятки, сотні і тисячі:
10 од. тис. = 1 дес. тис.
10 дес. тис. = 1 сот. тис.
10 сот. тис. = 1 тис. тис. = 1 мільйон
Ознайомлення з нумерацією чотирицифрових чисел доцільно розпочинати з утворення чисел: тисяча один, тисяча два ...; учні лічать від однієї тисячі восьми до однієї тисячі двадцяти тощо, читають числа, позначені за допомогою паличок і пучків – тисяч, пучків – сотень і пучків-десятків (наприклад, тисяча двісті тридцять два).
Далі учні знайомляться з розрядом “одиниць тисяч” і вчаться читати числа, записані в нумераційній таблиці, причому пропонуються числа, в яких відсутні одиниці, або десятки, або сотні, або разом одиниці кількох розрядів; а також пропонується називати десятковий склад записаних чисел.
Після такої діяльності молодші школярі вчаться читати чотирицифрові числа, які вже не подані в нумераційній таблиці: 1005, 1009, 1110, 1214, 1999. Читання чотирицифрових чисел починається з найвищого розряду: читається число тисяч зі словом “тисяч”, а потім друга частина слова – решта.
Вводиться визначення в числі числа одиниць кожного розряду (наприклад: в розрядах числа 8456 – 8 тисяч, 4 сотні, 5 десятків та 6 одиниць).
Школярі записують чотирицифрові числа з вказуванням їх десяткового складу: 3 тисячі , 7 сотень, 5 десятків і 8 одиниць; 7 тисяч і 9 одиниць; 7 тисяч і 9 десятків. Далі діти записують чотирицифрові числа за їх назвою без вказування десяткового складу числа.
Записуючи числа міркуємо так:
визначаю найвищий розряд у числі – тисячі;
спочатку записую число тисяч, ставлю за ним три крапки;
записую одиниці даних розрядів, кожну на своєму місці. „Пропущені розряди” замінюю нулями.
На підставі порядку слідування чисел у натуральному ряду учні виконують додавання і віднімання числа 1. Розглядається утворення двох тисяч: 1999 + 1 = 1000 + (999 + 1) = 1000 + 1000 = 2000. А також пропонуються випадки додавання на підставі десяткового складу числа: 1000 + 5, 1000 + 10. Міркування здійснюється за відповідною пам’яткою, яка переноситься в нову ситуацію.
Вчимо подавати чотирицифрове число у вигляді суми розрядних доданків, де число кожного розряду подається як окремий доданок; а також виконуємо обернене завдання: суму розрядних доданків замінюємо числом.
Також учні опрацьовують визначення загальної кількості одиниць кожного розряду (наприклад, в числі 8456 – всього 8 тисяч, 84 сотні, 845 десятків, 8456 одиниць). Визначати в числі загальну кількість десятків і сотень діти вже вміють. Для того, щоб визначити в числі загальну кількість тисяч, треба праворуч прикрити 3 цифри, тому що розряд тисяч стоїть на 4-му місці, і лишаться лише тисячі.
Розглядається додавання і віднімання розрядних чисел – круглих тисяч на підставі укрупнення розрядних одиниць:
3 + 4 3 тис. + 4 тис. 3000 + 4000 9000 – 6000 тощо.
Ознайомлення з нумерацією п’ятицифрових чисел
До найбільшого чотирицифрового числа „9999” додають 1 і одержують найменше п’ятицифрове число 10000. Десять тисяч становлять нову розрядну одиницю – десятки тисяч. Можна запропонувати учням полічити десятками тисяч: 10000, 20000, 30000... Далі до 10000 додають 1 і отримують число десять тисяч один; за цим число йде десять тисяч два ... Учні лічать від десяти тисяч до десяти тисяч дванадцяти.
Познайомившись із розрядом “десятки тисяч”, учні читають п’ятицифрові числа, що подані в нумераційній таблиці, визначають десятковий склад числа. Читаємо числа, починаючи з найвищого розряду – десятків тисяч: спочатку читаємо, скільки всього в числі тисяч, а потім – решту. Далі учні читають п’ятицифрові числа, які не подані в нумераційній таблиці. Для того, щоб прочитати п’ятицифрове число, треба визначити, скільки в ньому всього тисяч, прочитати це число зі словом “тисяч”, а потім прочитати решту числа.
П’ятицифрові числа подаються у вигляді суми розрядних доданків і, навпаки, замінюють суму розрядних доданків п’ятицифровим числом.
Запис п’ятицифрових чисел. Спочатку записуємо число тисяч, ставимо три крапки і записуємо числа кожного розряду, крапки, що залишилися, замінюємо нулями.
Також діти знайомляться з утворенням п’ятицифрових чисел прилічуванням та відлічуванням по 1, а також іншими способами. Наприклад: 19999+1=10000+9999+1=10000+10000=20000.
Діти порівнюють п’ятицифрові числа способом порозрядного порівняння. Застосовується алгоритм порозрядного порівняння. Наприклад, треба порівняти числа „25100” і „25010”.
Порівняння починаю з найвищого розряду: в обох числах у найвищому розряді десятки тисяч. Порівнюю числа десятків тисяч: 2 дес. тис. = 2 дес. тис.
Переходжу до наступного розряду – одиниць тисяч. Порівнюю числа одиниць тисяч: 5 од. тис. = 5 од. тис.
Переходжу до наступного розряду – сотень: 1 сот.>0 сот.
Роблю висновок: 25100 > 25010
Узагальнюються поняття: “трицифрове”, “чотирицифрове” і “п’ятицифрове” число. Учням пропонується ряд чисел і вимагається виписати окремо трицифрові, чотирицифрові і п’ятицифрові числа.
Діти визначають загальну кількість тисяч, сотень і одиниць у п’ятицифровому числі за загальним планом (щоб визначити в числі загальну кількість десятків тисяч, треба в ньому прикрити чотири цифри, тому що розряд десятків тисяч стоїть на п’ятому місці; прикривши зліва чотири цифри, лишаться тільки десятки тисяч).
Знання про загальну кількість одиниць кожного розряду можна застосовувати і при порівнянні чисел. Повернемося до попереднього завдання: порівняти числа „25100” та „25010”. Міркувати можна ще й так:
кожне число містить по 25 тисяч;
порівнюємо кількість сотень кожного числа: перше містить 251 сотню, а друге – 250 сотень;
так як 251 сотня більше, ніж 250 сотень, робимо висновок, що 25100 > 25010.
Поняття про клас. При ознайомленні з поняттям „клас” учні дізнаються, що перші три розряди: одиниці, десятки і сотні об’єднуються в клас одиниць. Міркуємо так. Спочатку лічили одиницями, потім 10 одиниць згрупували в 1 десяток і лічили десятками, далі 10 десятків або 100 одиниць об’єднали в 1 сотню і лічили сотнями; таким чином всі ці розряди одержали в результаті групування одиниць, тому й клас названо – клас „одиниць”. Об’єднавши 10 сотень, отримали нову лічильну одиницю – тисячу і лічили тисячами. Ми лічили окремими тисячами – одиницями, одержавши 10 одиниць тисяч замінили їх 1 десятком тисяч; згрупувавши 10 десятків тисяч, або 100 тисяч, отримали 1 сотню тисяч. Таким чином, розряди: одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч складають клас тисяч, тому що лічильною одиницею тут є тисяча. Порівнюючи класи одиниць і тисяч, учні дістають висновку, що кожний клас містить по три розряди, причому перший розряд це одиниці..., другий – десятки ..., третій – сотні.... Після чого можна запропонувати учням передбачити, скільки розрядів буде в наступному класі “мільйонів”, як називатимуться ці розряди?

Таблиця розрядів і класів
Клас мільйонів
Клас тисяч
Клас одиниць

сотні

міль-
йонів
десят-
ки
міль-
йонів
оди-
ниці
міль-
йонів
сотні

тисяч
десят-
ки
тисяч
оди-
ниці
тисяч
сотні
десят-
ки
оди-
ниці

Кожні три розряди утворюють клас. Перші три розряди справа наліво утворюють перший клас – клас одиниць. Наступні три розряди – утворюють другий клас – клас тисяч; наступні три розряди утворюють третій клас – клас мільйонів.
У кожному класі є три розряди. У першому класі 1-й розряд – розряд одиниць, 2-й розряд – розряд десятків, 3-й розряд – розряд сотень. Починаючи з другого класу, до назв розрядів додається назва класу. У другому класі – класі тисяч одиницю 1-го розряду називають одиницями тисяч, одиницю 2-го розряду – десятками тисяч, одиницю 3-го розряду – сотнями тисяч. У третьому класі - класі мільйонів 1-й розряд – це одиниці мільйонів, 2-й розряд – це десятки мільйонів, 3-й розряд – це сотні мільйонів.
Учні читають числа, записані в таблиці розрядів і класів, вчаться визначати число одиниць кожного класу в числі. Корисними тут будуть вправи на виділення із ряду чисел шестицифрових чисел з підкресленням в кожному класу тисяч.
Діти записують числа з вказуванням їх класного складу: триста п’ять одиниць класу тисяч і двісті вісімдесят одиниць класу одиниць.
Пам’ятка
Запис багатоцифрових чисел
Записати число класу тисяч. Залишити за ним невеликий проміжок.
Поставити за ним три крапки і записати число класу одиниць.
Можна пропонувати учням записувати числа з вказуванням числа одиниць кожного розряду першого та другого класів. Наприклад: записати число, яке містить 2 одиниці 2-го розряду І-го класу , 7 одиниць 3-го розряду І-го класу, 5 одиниць 2 –го розряду ІІ-го класу. Це число 50720. Або записати число, яке містить 7 одиниць 1 –го розряду І-го класу, 8 одиниць 3-го розряду І-го класу, 12 одиниць 2-го розряду ІІ-го класу. Це число 120807.
Учні вчаться читати багатоцифрові числа на підставі розбиття їх на класи:
Читання багатоцифрових чисел
Виділити число І-го класу, відраховуючи справа наліво три цифри. Ліворуч лишиться число ІІ-го класу.
Прочитати число ІІ-го класу з словом „тисяч”.
Прочитати число І-го класу без слова „одиниць”.
Особливості вивчення табличних випадків додавання та віднімання в межах 10 за методичними системами М.В.Богдановича та Л.П.Кочиної, Н.П.Листопад. Первинне ознайомлення учнів з дією додавання та віднімання.

Ознайомлення учнів з конкретним змістом арифметичних дій додавання і віднімання відбувається під час оперування множинами предметів. Об’єднуючи елементи двох множин, що не перетинаються, знаходимо численність поєднаної множини. Операція об’єднання двох множин, що не перетинаються, розкриває конкретний зміст дії додавання.
Операція утворення доповнення до підмножини формує зміст дії віднімання. Численність множини, що залишилася після вилучення частини її елементів, відповідає остачі. Операція вилучення частини елементів множини розкриває конкретний зміст дії віднімання.
Під час пояснення змісту арифметичних дій в початковій школі доцільно використовувати принцип співвіднесення предметної, вербальної, схематичної і символічної моделей і перехід від однієї моделі до іншої. Такий підхід особливо важливий з точки зору подальшого навчання учнів розв’язування задач.
Розглянемо різні методичні підходи до опрацювання теми.
Підготовка до опрацювання дій додавання та віднімання розпочинається з перших уроків математики як за методичною системою М.В. Богдановича, так і за методичною системою Л.П. Кочиної та зводиться до знаходження суми або різниці двох предметних множин перелічуванням, що неможливо зробити без предметів чи малюнків.
За методичною системою Л.П. Кочиної робота щодо вивчення дій додавання та віднімання будується в такій послідовності.
На першому етапі (підготовчий період) діти знаходять суму або різницю двох предметних множин перелічуванням на основі практичних вправ. Підготовчий період триває до закінчення вивчення нумерації чисел першої п'ятірки.
На другому етапі відбувається безпосереднє ознайомлення з діями додавання та віднімання (одночасно), діти усвідомлюють зміст дій додавання та віднімання та взаємозв'язок між ними. Ознайомлення з назвами компонентів і результатами дій додавання та віднімання також відбувається одночасно.
На третьому етапі учні вчаться знаходити значення виразів в межах кожного числа на основі складу числа.
Наступний етап четвертий присвячується складанню та засвоєнню таблиць додавання та віднімання.
На п’ятому етапі формується вміння знаходити значення виразів з кількома доданками або кількома від'ємниками.
На останньому етапі діти вчаться користуватися узагальненою таблицею Піфагора.
У вивченні дій додавання та віднімання в межах 10 за методичною системою М.В Богдановича обрано дещо іншу послідовність. Тут можна виділити такі етапи.
1. Знаходження суми або різниці двох предметних множин перелічуванням предметів (ці операції виконуються на підготовчому етапі при вивченні нумерації чисел).
2. Ознайомлення спочатку з дією додавання, а потім віднімання; зв’язок між ними та символікою цих дій (така робота також здійснюється під час вивчення нумерації).
3. Ознайомлення з назвами компонентів і результатом дії додавання (безпосереднє ознайомлення з назвами компонентів і результатом дії віднімання відбувається значно пізніше).
4. Складання і заучування таблиць додавання та віднімання в межах 10; застосування табличних результатів для обчислення виразів на дві дії (однакових чи різних).
5. Ознайомлення з прийомами додавання та віднімання числа частинами (групами), а також переставною властивістю дії віднімання.
Якщо порівнювати різні методичні підходи цих учених, то до основних відмінностей слід віднести:
- Процес первинного ознайомлення з діями додавання та віднімання. За методичною системою Л.П. Кочиної ознайомлення з діями додавання та віднімання відбувається одночасно після вивчення нумерації чисел першої п'ятірки, а за методичною системою М.В. Богдановича ознайомлення з діями додавання та віднімання розмежовується в часі (після вивчення числа і цифри 5 діти ознайомлюються з дією додавання, а після вивчення числа і цифри 7 з дією віднімання), що пояснюється складністю засвоєння математичної термінології, для якої потрібен додатковий час;
- Послідовність ознайомлення учнів з назвами компонентів і результатами дій додавання та віднімання. На думку Л.П. Кочиної ці питання доцільно розглядати одночасно після вивчення нумерації чисел у межах 10, на початку теми „Додавання та віднімання в межах 10”. За методичною системою М.В. Богдановича ознайомлення учнів з назвами компонентів і результатом дії додавання відбувається на початку вивчення теми „Додавання та віднімання в межах 10”, а з назвами компонентів і результатом дії віднімання наприкінці першого класу;
- Особливості ознайомлення учнів з додаванням та відніманням у межах 10. За методичною системою Л.П. Кочиної опрацювання теми „Додавання та віднімання в межах 10” розпочинається з одночасного вивчення складу числа та додавання і віднімання в межах цього числа. Доцільність такого підходу обґрунтовується тим, що поняття „склад числа” і „додавання чисел” мають спільну теоретичну основу об'єднання двох множин, а далі на основі взаємозв’язку дій додавання та віднімання: з прикладу на додавання можна скласти два приклади на віднімання. І тільки наступний етап присвячується складанню та засвоєнню таблиць додавання та віднімання.
М.В. Богданович пропонує вивчення теми „Додавання та віднімання в межах 10” розпочинати зі складання і заучування таблиць додавання та віднімання в межах 10, оскільки ознайомлення зі складом числа та з додаванням і відніманням в межах кожного числа доцільно опрацьовувати паралельно ще під час ознайомлення з нумерацією в межах 10.
Крім того, по-різному вводяться прийоми обчислень. За методичною системою М.В. Богдановича основний прийом обчислення під час вивчення кожної таблиці додавання і віднімання в межах 10 – це склад числа та взаємозв’язок дій додавання і віднімання. З іншими прийомами обчислень (додавання і віднімання числа частинами (групами) та переставною властивістю дії додавання учні ознайомлюються значно пізніше). Л.П. Кочина вважає, що з прийомами обчислень учнів доцільно ознайомлювати раніше: додавання та віднімання по 1-му (після таблиці додавання і віднімання 1); додавання і віднімання числа частинами (після таблиці додавання та віднімання 2-х); а також передбачено ознайомлення з переставною властивістю додавання (після таблиці додавання та віднімання 5-ти).
Розкриємо докладніше ще один з методичних підходів, під час опрацювання дій додавання та віднімання в межах 10, який відповідає вимогам Державного стандарту початкової загальної освіти та нової навчальної програми для учнів початкової школи.
На етапі вивчення нумерації чисел в межах 10, ще до введення дій додавання і віднімання діти виконують завдання по оперуванню предметними множинами, тобто відбувається підготовча робота.
Підготовча робота до ознайомлення з діями додавання та віднімання здійснюється за допомогою практичних вправ, під час яких діти викладають на парті геометричні фігури та об’єднуючи їх, показують усі фігури. Таким чином, спочатку формується поняття про об’єднання елементів двох множин, що не перетинаються. Діти дістають висновку, щоб показати всі предмети, треба їх об’єднати – це означає присунути, змішати тощо. Аналогічно діти вправляються у виключенні частини множини та показу остачі. Щоб показати остачу, решту, треба виключати – це означає відсунути, забрати, відрізати тощо.
Перелічуючи кількість елементів об’єднаної множини діти впевнюються в тому, що коли об’єднуємо стає більше; щоб стало більше, треба об’єднати. Коли виключаємо стає менше, щоб стало менше, треба виключати.
Наступним кроком є схематичне зображення операцій об’єднання чи виключення. Спочатку діти виконують аналогічні завдання практично, а потім виконують рисунок. Об’єднуючи – обводять замкненою кривою лінією усі фігури, виключаючи – закреслюють кілька фігур та обводять замкненою кривою остачу. Після того, як діти навчилися зображати об’єднання або виключення схематично за допомогою геометричних фігур, переходимо до навчання схематичного зображення за допомогою відрізків.
На наступному етапі здійснюється ознайомлення з конкретним змістом арифметичних дій додавання та віднімання: вчимо дітей пов’язувати практичну дію об’єднання елементів двох множин з арифметичною дією додавання, а практичну дію щодо виключення частини елементів множини з арифметичною дією віднімання. Таким чином формується поняття про те, що коли додаємо стає більше, а коли віднімаємо залишається менше. На цьому етапі також відбувається ознайомлення учнів із знаками додавання та віднімання; навчання їх запису; вводяться поняття „вираз”, „значення виразу”.
Методика вивчення табличного додавання та віднімання з переходом через десяток за різними методичними системами початкового курсу математики.
Сучасною наукою напрацьовано ряд методичних підходів до опрацювання теми „Табличне додавання і віднімання з переходом через десяток” в курсі початкової школи. За методичною системою М.В. Богдановича, складання і вивчення таблиць проводиться за сталим другим доданком або від’ємником, послідовно від найменшого до найбільшого другого доданка та відповідно від’ємника: спочатку таблиця додавання доповнюється новим випадком 9 + 2, а таблиця віднімання – 11 - 2. Таким чином, у таблицях додавання та віднімання числа 2 лише один новий випадок обчислення, а в таблицях додавання та віднімання числа 3 – вже два нові випадки і так далі...
За такої послідовності кількість результатів додавання і віднімання, що треба засвоїти напам’ять, зростає поступово. Отже, на перших уроках більше уваги приділяється прийомам обчислень.
Основним у процесі складання таблиць є прийом додавання частинами: другий доданок розкладають на такі два числа, одне з яких доповнює перший доданок до десяти (7+5=7+3+2=10+2=12).
Теоретична основа прийому – сполучний закон дії додавання (правило додавання суми до числа), але формулювання його учням не подається. На практичній задачі з’ясовують, що числа можна додавати частинами.
З метою підготовки до застосування прийому додавання числа частинами треба розвинути в учнів уміння доповнювати будь-яке одноцифрове число до 10 та подавати одноцифрове число у вигляді суми двох доданків, один з яких заданий.
Вивчаючи табличні випадки віднімання з переходом через десяток, застосовують такі прийоми обчислення: 1) віднімання чисел частинами (13-5=13-3-2=8); 2) віднімання числа від 10 з подальшим додаванням одиниць зменшуваного (12-7= ..., 10-7=3, 3+2=5); 3) знаходження результату віднімання на основі знання складу чисел 2-го десятка (14-6=8, міркування: 14 – це 6 і 8, якщо від суми 6 і 8 відняти 6, то залишиться 8).
Теоретичною основою першого прийому є правило віднімання суми від числа, другого – віднімання числа від суми, а третього – зв’язок дій додавання і віднімання. Такі відомості учні розглядають у практичному плані. При складанні таблиць звертається особлива увага учнів на застосування різних прийомів обчислень.
За методичною системою Л.П. Кочиної передбачається інший методичний підхід до вивчення теми „Табличне додавання та віднімання з переходом через десяток”, а саме такий, де додавання і віднімання вивчаються окремо. Додавання будується в такий спосіб:
9 + 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
8 + 3, 4, 5, 6, 7, 8
7 + 4, 5, 6, 7
6 + 5, 6
Така послідовність засвоєння всіх випадків додавання в межах 20 від більшої кількості виразів до меншої дає змогу збільшити час на закріплення всіх випадків додавання. Але це лише формальна ознака методики вивчення даної теми. Найбільш значущою ознакою пропонованої системи є сам спосіб обчислення та його доступність для дітей. Наприклад: 9+2 9+3 9+4
11 12 13
Після знаходження значень кількох виразів учні починають міркувати узагальнено: "До 9 додаю 1, а потім решту одиниць". Під час розгляду кожного наступного випадку додавання ці узагальнення поглиблюються і поступово автоматизуються. Уже під час обчислення значення виразу виду: 7 + 6,- багатьом дітям не доводиться міркувати розгорнуто. У них уже сформувалося таке міркування: "До 7 додаю 3 і решту".
Аналогічно розроблено систему уроків на віднімання одноцифрових чисел з переходом через десяток: таблиці віднімання складено за сталим зменшуваним. Особливістю цієї теми є розкриття на одному уроці не одного, а трьох способів міркування. Розглянемо це на прикладі віднімання чисел 2 9 від 11 -ти.
Щоб швидко і правильно обчислювати значення виразів на віднімання чисел від 11, можна міркувати різними способами:
1-й спосіб: Відніміть 1, щоб дістати 10, а потім решту одиниць
ОООООООООО
Ш 11 – 3 = 8
11 – 1 – 2 = 8
При знаходженні значень виразів першого стовпчика використовуй записи другого стовпчика.
11-2 11-1-1
11-3 11-1-2
11-4 11-1-3
11-5 11-1-4
11-6 11-1-5
11-7 11-1-6
11-8 11-1-7
11-9 11-1-8
2-й спосіб
11 = 9 + 2 11 - 9 = 2
11 = 8 + 3 11 - 8 = 3
11 = 7 + 4 11– 7 = 4
11 = 6 + 5 11 - 6 = 5

3-й спосіб
11-2 =
· 11-3 =
·
10-2 = 8 10-3 = 7
1+8=9 1+7=8
Отже, вище було розглянуто три способи обчислення значень різниць із зменшуваним 11 чисел з переходом через десяток. Перший спосіб ґрунтується на виконанні віднімання числа частинами: відніміть спочатку 1, щоб дістати 10, а потім решту одиниць. Другий спосіб пояснюється на основі знань учнів про взаємозв'язок віднімання з додаванням. Діти міркують так: "11 це сума чисел 9 і 2. Якщо від суми 9 і 2 відняти другий доданок 2 дістанемо перший доданок 9; якщо відняти 9 дістанемо 2".
Третій спосіб передбачає подання зменшуваного 11 сумою чисел 10 і 1. Від'ємник віднімається від 10, а потім додається другий доданок, тобто 1.
Усі ці способи використовуються в життєвій практиці не тільки учнями, а й дорослими, тому доцільно ознайомлювати учнів з ними на цьому етапі навчання.
Далі учні вчаться віднімати від 12, 13, 14, 15.... з переходом через десяток. Зазначимо, що основним результатом вивчення теми є: ознайомлення учнів з різними способами обчислення, формування вміння користуватися цими способами, обирання зручного способу для обчислення кожного конкретного випадку. Для цього вчителеві треба опрацювати з учнями достатню кількість тренувальних вправ, які містяться і в підручнику, і в зошиті з друкованою основою, де до кожного уроку пропонуються вправи різні за складністю, за формою подачі тощо.
Методичний підхід до опрацювання додавання і віднімання в межах 20 з переходом через десяток, розроблений українською вченою Л.П. Кочиною заслуговує на увагу. Але, слід зазначити, що він спрямований на формування в учнів вузьких емпіричних узагальнень – способу додавання до кожного з чисел 9 6 та способу віднімання від певного числа 11 18 одноцифрового числа. Між іншим, психолого-дидактичною наукою, зокрема науковою школою В.В. Давидова, доведено, що найбільш ефективним є навчання шляхом змістовних узагальнень – навчання дітей загальному способу міркування для широкого кола випадків.

Методика вивчення усного і письмового додавання і віднімання в межах 100 і 1000 десяток за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи.
Тема „Додавання та віднімання в межах 1000” передбачає опрацювання усних і письмових прийомів додавання і віднімання в межах 1000. Загальні методичні підходи опрацювання теми в основному співпадають з тими, що були розглянуті під час вивчення теми „Додавання та віднімання в межах 100”, тому не будемо окремо повторювати кожен з них. Провідним напрямком вивчення цієї теми за будь-якою з методичних систем має бути організація самостійної пошукової діяльності учнів. Ефективним методичним підходом у процесі розв'язування певного випадку обчислення є одночасне представлення кількох способів лічби. Учні порівнюють ці способи і в наступній діяльності використовують той, який зручніший.
Розглянемо більш детально методичні особливості вивчення усних і письмових прийомів додавання і віднімання в межах 1000 відповідно до вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової навчальної програми для учнів початкової школи.
Усні прийоми додавання та віднімання в межах 1000
Обчислення суми і різниці круглих трицифрових чисел пропонується здійснювати чотирма способами:
1 спосіб – порозрядне додавання без переходу через розряд;

560 + 230 = = 500 + 60 + 200 + 30 = 700 + 90 = 790

500+60 200+30
2 спосіб – додавання по частинах;
560 + 230 = 560 + 200 + 30 = 760 + 30 = 790

200+30
3 спосіб – укрупнення розрядних одиниць; 4 спосіб – округлення;
560+230=56д.+23д.=79д.=790 560+230=600+230–40=830–40=790

1 спосіб – порозрядне віднімання без переходу через розряд;

870 - 260 = 800 + 70 – 200 – 60 = 600 + 10 = 610

800+70 200+60
2 спосіб – віднімання по частинах;
870 - 260 = 870 – 200 – 60 = 670 – 60 = 610

200+60
3 спосіб – укрупнення розрядних одиниць; 4 спосіб – округлення;
870–260=87д.–26д.=61д.=610 870–260=870–300+40=570+40=610
Таким чином, усі усні способи обчислення, які були введені в концентрі „Сотня” реалізуються і в концентрі „Тисяча”. Зазначимо, що підготовча робота до вивчення способів обчислення в концентрі „Тисяча” здійснюється на аналогічних прикладах в межах 100.
При цьому слід зазначити, що доцільним є подання обчислювальних прийомів, коли спочатку способом укрупнення розрядних одиниць діти призводять випадки додавання та віднімання круглих трицифрових чисел до раніш вивчених в межах 100. На наступних етапах переносяться інші, відомі дітям способи обчислення: по частинах, порозрядно та округленням.
Письмові прийоми додавання та віднімання в межах 1000
Зазначимо, що з письмовим прийомом додавання та віднімання учні познайомилися в межах 100, але в методиці навчання математики передбачено мотивацію введення письмового прийому додавання та віднімання і в межах 1000.
Для мотивації введення письмового прийому додавання трицифрових чисел пропонуємо учням для усного обчислення суму: 427 + 358 .
427+358=(400+20+7)+(300+50+8)=(400+300)+(20+50)+(7+8)=700+ +70+15=785
Учні з’ясовують, що таке міркування є дуже довге, і вчитель пропонує інший запис – стовпчиком і письмовий прийом міркування.
Існує інший спосіб введення письмових прийомів у межах 1000. Учням пропонується обчислити письмово суму двоцифрових чисел, потім до кожного з доданків дописується ліворуч по одній цифрі, і учні визначають, як ця зміна вплине на розв’язання (лишилося додати ще сотні). Дістаємо висновку, що трицифрові числа додають так само, як і двоцифрові.
В аналогічний спосіб знайомимо з письмовим відніманням трицифрових чисел.
Таким чином, переносимо відомий письмовий спосіб міркування на випадки додавання та віднімання трицифрових чисел.
Додавання і віднімання вивчаються в однаковій послідовності:
1. Додавання і віднімання без переходу через розряд:
234 469
+ 425 - 246

2. Додавання і віднімання, що призводиться до 10 одиниць.

3. Додавання та віднімання з переходом через розряд одиниць.

4. Додавання та віднімання, що призводить до 0 десятків.

5. Додавання та віднімання з переходом через розряд десятків. Наприклад: 900
- 542
358
9 сотень – це 8 сотень, 9 десятків і 10 одиниць. Або: із 0 одиниць не можна відняти 2 одиниці, тому позичимо 1 десяток; але десятків немає, тоді позичимо 1 сотню. 1 сотню роздробляємо в десятки: 1 сотня=10 десятків. Тепер ми можемо позичити 1 десяток. Позичаємо 1 десяток, а 1 десяток=10 одиницям. 10 одиниць – 2 одиниці = 8 одиницям – пишемо в розряді одиниць. Переходимо до десятків: було 10 десятків, позичили 1 десяток, лишилося 9 десятків. 9 десятків – 4 десятки, буде 5 десятків - пишемо в розряді десятків. Переходимо до сотень: було 9 сотень, позичили 1 сотню, залишилося 8 сотень. 8 сотень – 5 сотень = 3 сотням, пишемо в розряді сотень.
Письмові прийми обчислення мають велике значення, тому що при цьому:
закріплюються навички табличного додавання та віднімання;
розвивається вміння міркувати з врахуванням письмової і усної нумерації;
засвоюються алгоритми.

Методика вивчення усного і письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи.

Більшість з методистів вважає, що вивчення теми „Додавання та віднімання багатоцифрових чисел” доцільно розпочинати з упорядкування та узагальнення теоретичних відомостей про дії додавання та віднімання. Таким чином здійснюватиметься перспективна підготовка учнів до навчання в наступному 5 класі, в якому основним змістовим компонентом є теоретичний матеріал. Назвемо основні теоретичні питання в такому порядку, в якому вони розглядаються перед вивченням теми „Додавання та віднімання багатоцифрових чисел”.
1.Узагальнення знань про конкретний зміст дії додавання та віднімання: назви компонентів та результатів дій додавання та віднімання, взаємозв’язок додавання та віднімання, правила знаходження невідомого компоненту.
2. Закони додавання: переставний а + b = b + а.
сполучний (а + b) + с = а + (b + с).
3. Властивості дії додавання (а + 0 = 0 + а = а), дії віднімання (а – 0 = а а – а = 0).
4. Правила додавання (віднімання) суми до (від) числа, додавання (віднімання) числа до (від) суми.
Зазначимо, що за методичною системою Л.П. Кочиної всі випадки додавання й віднімання відпрацьовувались у межах 100 і 1000 у наступному порядку: спочатку випадки без переходу через десяток, а потім з переходом; спочатку усно, потім письмово. Але таку послідовність додавання та віднімання в межах багатоцифрових чисел цими авторами змінено. Діти поступово ознайомлюються з додаванням одноцифрового числа до багатоцифрового і відніманням одноцифрового числа від багатоцифрового, причому одночасно вводяться усні й письмові прийоми з переходом і без переходу через десяток. Потім розглядаються такі ж випадки, але вже додають або віднімають двоцифрові числа, а далі трицифрові і т. п. Така методика дає можливість сконцентрувати увагу дітей на важливості аналізу виразу, на кількості розрядів у числах, над якими виконуються дії, підкреслити прийом порозрядного додавання чи віднімання.
Розкриємо детально порядок формування обчислювальних умінь та навичок у межах багатоцифрових чисел, які розкриваються за методичною системою Л.П. Кочиної.
1.Додавання до багатоцифрового числа одноцифрового і віднімання від багатоцифрового числа одноцифрового.
2.Додавання до багатоцифрового числа двоцифрового і віднімання від багатоцифрового числа двоцифрового.
3.Додавання до багатоцифрового числа трицифрового і віднімання від багатоцифрового числа трицифрового.
4.Додавання до багатоцифрового числа чотирицифрового і віднімання від багатоцифрового числа чотирицифрового.
5.Додавання до багатоцифрового числа п'ятицифрового і віднімання від багатоцифрового числа п'ятицифрового.
Під час письмових обчислень учитель має пильно стежити за вміннями учнів обчислювати різноманітні види випадків додавання та віднімання. Додавання:
1) без переходу у сусідній розряд (62514 + 32345);
2) одиниці одного із розрядів при додаванні дають число, яке дорівнює або більше 10 (48646 + 21234; 448652 + 21263);
3) одиниці двох або більше розрядів при додаванні дають число, яке дорівнює або більше 10 (4656 + 21264, 284746 + 321 62);
4) числа з нулями всередині і на кінці (13247 + 4508, 490025 + 409970);
5) другий або третій доданок має більше чи менше розрядів, для того, щоб діти щоразу визначали правильне розташування розрядів у стовпчиках.
Віднімання:
1) без роздроблення (94546 - 32415);
2) роздроблення одиниць одного розряду (48646 - 21363, 48646 - 21329);
3) роздроблення одиниць кількох розрядів (48646 -21729, 48646 - 23987);
4) числа з нулями на різних місцях і т. п. (57000 - 39006, 234002 - 25131);
5) випадки, в яких зменшуване і від'ємник мають різну кількість цифр.
Запропонований підхід до вивчення дій додавання та віднімання багатоцифрових чисел є новим у методиці викладання математики в початкових класах і характеризується певними позитивними рисами. Назвемо окремі з них.
1) Така система подачі обчислювальних випадків є новою для дітей, вона не повторює системи вивчення дій із трицифровими числами в 3-му класі. Це має сприяти підвищенню інтересу до навчання.
2) Паралельне вивчення дій додавання й віднімання сприятиме вихованню в дітей оперативності в міркуваннях. Діти мають швидко переключатися від однієї дії до другої і при цьому щоразу швидко пригадувати властивості та особливості виконання дій і на цій основі виконувати їх швидко й правильно.
3) Одночасний розгляд усних і письмових способів обчислення потребує від дітей використання правила раціональності обчислень (якщо приклад для усного обчислення для мене важкий, я застосовую письмовий). Міркуючи, дитина здійснює самоаналіз та самоконтроль власних навчальних умінь.
4) Така система вивчення дій додавання і віднімання багатоцифрових чисел є логічною, вона будується за дидактичним принципом від важкого до складного. Цю логіку сприймає як педагог, так і учень. Учень відчуває поступове ускладнення, він стає більш уважним до тих виразів, які починає обчислювати. Отже, ця система має для дитини як навчальний зміст (навчитися обчислювати значення різних виразів), так і розвивальний (треба бути уважним, спостережливим, щоб застосувати найраціональніші дії під час обчислення).
5) Така система організації теми дозволяє раціонально використати навчальний час. Як бачимо, достатньо 5-6-ти уроків для розгляду різних випадків обчислення на додавання й віднімання багатоцифрових чисел. Ефективне використання навчального часу дає змогу виділити окремі уроки для вивчення іншого, не менш важливого математичного змісту.
Розкриємо особливості реалізації ще одного з методичних підходів, який можна обирати під час ознайомлення учнів з додаванням і відніманням багатоцифрових чисел.
При вивченні додавання і віднімання багатоцифрових чисел продовжується формування навичок усних обчислень. До усних обчислень у межах багатоцифрових чисел відносяться випадки додавання і віднімання на підставі десяткового складу числа:
35000 + 900 = 35900 35900 – 900 = 35000 35900 – 35000 = 900
а також випадки, які призводяться до обчислень у межах 100 та 1000 на підставі укрупнення розрядних одиниць:
72000 + 800 = 720сот. + 8 сот. = 728 сот. = 72800
3000 – 1800 = 30 сот. – 18 сот. = 12 сот. =1200
У концентрі „Багатоцифрові числа” паралельно з усними обчисленнями продовжується робота по формуванню навичок письмового додавання і віднімання.
Письмове додавання і віднімання спирається на знання нумерації багатоцифрових чисел (читання і запис, знання їх класного і розрядного складу, співвідношення розрядних одиниць), а також на уміння виконувати письмове додавання і віднімання чисел у межах 1000. Тому вправи, що актуалізують ці знання, можуть служити підготовкою перед ознайомленням з письмовим прийомом додавання і віднімання багатоцифрових чисел.
При ознайомленні з письмовим додаванням багатоцифрових чисел можна застосовувати аналогію. Наприклад, учні коментують розв’язання:
Далі їм пропонуються випадки додавання чотирицифрових чисел, потім п’ятицифрових і шестицифрових чисел. Порівнюючи кожний наступний випадок додавання з попереднім, з’ясовуємо, що лишилося додати тільки одиниці вищого розряду.
На підставі міркування за аналогією учні роблять висновок, що чотирицифрові числа додаються так само, як і трицифрові. Аналогічно робляться висновки про додавання п’яти- і шестицифрових чисел.
У такий же спосіб діти ознайомлюються з відніманням багатоцифрових чисел.
Після розв’язування завдань учні дістають висновку, що письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел здійснюється так само, як додавання і віднімання трицифрових чисел.
Письмове додавання та віднімання
Підписую числа стовпчиком: розряд під відповідним розрядом.
Виконую 13 EMBED Equation.3 1415 порозрядно, починаючи з нижчого розряду (справа наліво).
Письмове додавання і віднімання вивчається паралельно, що дозволяє актуалізувати взаємозв’язок цих дій і виконувати перевірку правильності розв’язання, а також зберігає час на опрацювання кожного вміння, розвиває гнучкість мислення, тому що майже одночасно учні виконують взаємно обернені дії.
З метою засвоєння алгоритму письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел учням пропонуються такі числа, які містять як однакове число знаків, так і різне.
Труднощі являють випадки віднімання, коли в запису зменшуваного є кілька нулів підряд. Тому пояснення повинно бути ґрунтовним і детальним. На етапі підготовчої роботи слід повторити особливості десяткової системи числення, співвідношення між розрядними одиницями. Діти мають добре знати, що кожна одиниця старшого розряду містить 10 одиниць сусіднього, нижчого розряду. Також треба актуалізувати випадки віднімання 1 на підставі нумерації чисел. 10000–1: 10000 – це 9тис.9сот.9дес.10од.; 9тис.9сот.9дес.10од. – 1од. = 9тис.9сот.9дес.9од.=9999.
Додавання та віднімання іменованих чисел
Поряд з додаванням і відніманням багатоцифрових чисел учням пропонується виконати додавання та віднімання іменованих чисел (величин). Якщо іменовані числа записуються з назвою лише однієї одиниці вимірювання, це просте іменоване число, наприклад 345 г. Якщо іменоване число записується за допомогою кількох одиниць вимірювання, то це складене іменоване число, наприклад 4 ц 67 кг.
Наприклад: 53 м 08 см – 9 м 37 см = 43 м 71 см
Існують два способи обчислення. Розглянемо перший спосіб.
обидва числа подають у дрібних одиницях вимірювання – записують у вигляді простих іменованих чисел;
виконують арифметичну дію з простими іменованими числами, як із звичайними натуральними числами;
в отриманому результаті виділяють крупну одиницю вимірювання і записують складене іменоване число.
53 м 08 см = 5308 см 9 м 37 см = 937 см
5308
- 937
4371 (см) 4371 см = 43 м 71 см
За другим способом обчислення виконуються із складеними іменованими числами:
підписують іменовані числа так, щоб числа одних найменувань були одне під одним;
виконують дії з числами, поданими в дрібних одиницях вимірювання;
виконують дії з числами, поданими в крупних одиницях вимірювання.
З 8 см не можна відняти 37 см, тому позичаємо 1 м та роздрібнюємо його в сантиметри: 1 м = 100 см та ще 8 см, маємо 108 см; 108 см – 37 см = 71 см.
108
53 м 08 см
- 9 м 37 см
43 м 71 см

Таким чином, розглянуто методику вивчення арифметичних дій додавання та віднімання за різними концентрами, визначено зміст обчислювальних прийомів та подано методику формування обчислювальних навичок. Також приділено увагу способам додавання та віднімання іменованих чисел.
Тема „Додавання та віднімання в межах 1000” передбачає опрацювання усних і письмових прийомів додавання і віднімання в межах 1000. Загальні методичні підходи опрацювання теми в основному співпадають з тими, що були розглянуті під час вивчення теми „Додавання та віднімання в межах 100”, тому не будемо окремо повторювати кожен з них. Провідним напрямком вивчення цієї теми за будь-якою з методичних систем має бути організація самостійної пошукової діяльності учнів. Ефективним методичним підходом у процесі розв'язування певного випадку обчислення є одночасне представлення кількох способів лічби. Учні порівнюють ці способи і в наступній діяльності використовують той, який зручніший.
Розглянемо більш детально методичні особливості вивчення усних і письмових прийомів додавання і віднімання в межах 1000 відповідно до вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та нової навчальної програми для учнів початкової школи.
Усні прийоми додавання та віднімання в межах 1000
Обчислення суми і різниці круглих трицифрових чисел пропонується здійснювати чотирма способами:
1 спосіб – порозрядне додавання без переходу через розряд;

560 + 230 = = 500 + 60 + 200 + 30 = 700 + 90 = 790

500+60 200+30
2 спосіб – додавання по частинах;
560 + 230 = 560 + 200 + 30 = 760 + 30 = 790

200+30
3 спосіб – укрупнення розрядних одиниць; 4 спосіб – округлення;
560+230=56д.+23д.=79д.=790 560+230=600+230–40=830–40=790

1 спосіб – порозрядне віднімання без переходу через розряд;

870 - 260 = 800 + 70 – 200 – 60 = 600 + 10 = 610

800+70 200+60
2 спосіб – віднімання по частинах;
870 - 260 = 870 – 200 – 60 = 670 – 60 = 610

200+60
3 спосіб – укрупнення розрядних одиниць; 4 спосіб – округлення;
870–260=87д.–26д.=61д.=610 870–260=870–300+40=570+40=610
Таким чином, усі усні способи обчислення, які були введені в концентрі „Сотня” реалізуються і в концентрі „Тисяча”. Зазначимо, що підготовча робота до вивчення способів обчислення в концентрі „Тисяча” здійснюється на аналогічних прикладах в межах 100.
При цьому слід зазначити, що доцільним є подання обчислювальних прийомів, коли спочатку способом укрупнення розрядних одиниць діти призводять випадки додавання та віднімання круглих трицифрових чисел до раніш вивчених в межах 100. На наступних етапах переносяться інші, відомі дітям способи обчислення: по частинах, порозрядно та округленням.
Письмові прийоми додавання та віднімання в межах 1000
Зазначимо, що з письмовим прийомом додавання та віднімання учні познайомилися в межах 100, але в методиці навчання математики передбачено мотивацію введення письмового прийому додавання та віднімання і в межах 1000.
Для мотивації введення письмового прийому додавання трицифрових чисел пропонуємо учням для усного обчислення суму: 427 + 358 .
427+358=(400+20+7)+(300+50+8)=(400+300)+(20+50)+(7+8)=700+ +70+15=785
Учні з’ясовують, що таке міркування є дуже довге, і вчитель пропонує інший запис – стовпчиком і письмовий прийом міркування.
Існує інший спосіб введення письмових прийомів у межах 1000. Учням пропонується обчислити письмово суму двоцифрових чисел, потім до кожного з доданків дописується ліворуч по одній цифрі, і учні визначають, як ця зміна вплине на розв’язання (лишилося додати ще сотні). Дістаємо висновку, що трицифрові числа додають так само, як і двоцифрові.
В аналогічний спосіб знайомимо з письмовим відніманням трицифрових чисел.
Таким чином, переносимо відомий письмовий спосіб міркування на випадки додавання та віднімання трицифрових чисел.
Додавання і віднімання вивчаються в однаковій послідовності:
1. Додавання і віднімання без переходу через розряд:

234 469
+ 425 - 246
2. Додавання і віднімання, що призводиться до 10 одиниць.
3. Додавання та віднімання з переходом через розряд одиниць.
4. Додавання та віднімання, що призводить до 0 десятків.

5. Додавання та віднімання з переходом через розряд десятків.
Письмові прийми обчислення мають велике значення, тому що при цьому:
закріплюються навички табличного додавання та віднімання;
розвивається вміння міркувати з врахуванням письмової і усної нумерації;
засвоюються алгоритми.
Методика вивчення табличного множення і ділення за різними методичними системами чинних підручників для учнів початкової школи. Первинне ознайомлення учнів з дією множення і ділення.

За методичною системою Л.П. Кочиної, табличне множення та ділення вивчається в два етапи: підготовчий та основний. На підготовчому етапі вивчається теоретичний матеріал необхідний для складання таблиць множення та ділення (конкретний зміст дій множення та ділення, переставний закон множення, назви компонентів та результатів дій множення та ділення, взаємозв’язок дій множення та ділення тощо). Автор пропонує одночасне ознайомлення з двома видами ділення: ділення на вміщення та ділення на рівні частини.
Методика М.В. Богдановича не передбачає підготовчого етапу. Відразу після введення конкретного змісту дії множення учні складають і заучують таблицю множення числа 2 (причому таблиці множення складаються за сталим першим множником). Далі йде ознайомлення з конкретним змістом дії ділення (на рівні частини), взаємозв’язком множення та ділення, і лише після цього учні складають таблицю ділення на 2 за сталим дільником. Ділення на вміщення вводиться після того, як учні засвоїли таблицю ділення на 2, на підставі порівняння задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення.
Під час ознайомлення з дією множення методисти дотримуються того самого підходу та вводять його на прикладі задач на знаходження суми однакових доданків. Щодо ознайомлення з дією ділення вчені підходять по-різному. Так, Л.П. Кочина одночасно знайомить дітей з двома видами дії ділення: на рівні частини та на вміщення на прикладі задач; М.В. Богданович спочатку розглядає ділення на рівні частини, а через декілька уроків знайомить з діленням на вміщення на основі порівняння двох видів ділення.
Заслуговує на увагу підхід П.М. Ерднієва та М.П. Ерднієва – авторів теорії укрупнення дидактичних одиниць при навчанні математики (УДО). Так, множення вчені розглядають як додавання однакових доданків, а ділення – як віднімання однакових чисел стільки разів, допоки не одержимо нуль. Множення та ділення (в даному разі на вміщення) розглядаються одночасно засобом розв’язування взаємообернених задач. Внаслідок такої роботи одночасно складається таблиця множення (по 2 взяти кілька разів) і таблиця ділення (розділити по 2). На наступному етапі навчання вводиться ділення на рівні частини.
У методиці П.М. Ерднієва та М.П. Ерднієва таблиці множення складаються за сталим першим множником, але таблиці ділення складаються в двох варіантах: за сталим дільником та за сталою часткою. Згідно положень теорії УДО (а саме – вивчення матеріалу більш крупними блоками), табличне множення та ділення розширюється випадками множення та ділення на відповідні розрядні числа.
Існують і інші методичні підходи до опрацювання таблиць множення. Наприклад, М.О. Бантова, Г.В. Бельтюкова, М.І. Моро пропонують складання таблиць множення кількома способами:
на підставі конкретного змісту дії множення;
на підставі переставного закону дії множення;
на підставі попереднього значення.
Н.Б. Істоміна розширює коло способів складання таблиць множення та пропонує ще й такі:
- на підставі сполучного закону множення;
- на підставі розподільного закону множення щодо додавання.
- на підставі розподільного закону множення щодо віднімання.
- на підставі розподільного закону множення, якщо у вигляді суми подається перший множник.
Ознайомлення з арифметичною дією множення та ділення
Ознайомлення з діями множення та ділення відбувається в процесі розв’язування сюжетних задач. Наприклад, можна запропонувати задачу:
1. За партою сидить по два учні. Скільки учнів сидить за восьма партами?
Школярі пояснюють, що означає кожне число в задачі, та називають запитання задачі. Далі розбирають умову задачі за допомогою короткого запису або виконують схематичний рисунок. Аналіз розв’язання задачі передбачає з’ясувати, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі та якою арифметичною дією відповімо на це запитання.
Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією додавання.)
Запишемо розв’язання: 2+2+2+2+2+2+2+2 = 16 (уч.)
Запишемо відповідь: 16 учнів сидить за 8 партами.
Що ви помітили, записуючи розв’язання задачі? (Тут всі доданки однакові.)
Висновок. У математиці додавання однакових доданків називають множенням. Множення – це нова арифметична дія.
Які арифметичні дії ми знаємо? (Додавання, віднімання.) У кожної дії є свій знак: у дії додавання "+" – ("плюс") , у віднімання "-" – ("мінус"). Множення записується знаком "
·" – ("крапка"). Суму однакових доданків замінимо множенням за допомогою нового знаку (запис буде виглядати так: 2
·8 = 16.)
На першому місці пишемо однаковий доданок – 2, а на другому місці – кількість рівних доданків – 8. Цю рівність читаємо так: два помножити на вісім – дорівнює шістнадцять або якщо по два взяти вісім разів, отримаємо шістнадцять.
Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії множення:
2
·8 = 16 (уч.)
Таким чином ми розглянули інший спосіб розв’язання цієї задачі.
Відповідаємо на запитання задачі: 16 учнів сидить за 8 партами.
Ознайомлення учнів з дією ділення відбувається під час розв’язання оберненої задачі.
2. У класі 16 учнів, їх слід розташувати за партами по 2 учні. Скільки повинно бути парт у класі?
Школярі розповідають про що говориться в задачі, називають запитання задачі, складають схематичний рисунок або короткий запис. Далі визначають, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі, та з’ясовують, якою арифметичною дією це треба зробити:
Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.)
Запишемо розв’язання: 16 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0
8 разів
У 16 вміщується по 2 вісім разів, тому 8 парт потрібно, щоб розташувати 16 учнів по 2 учні за кожною партою.
Запишемо відповідь: 8 парт потрібно.
Яку закономірність Ви помітили, записуючи цей вираз? (Тут декілька разів віднімаємо одне й те саме число, до тих пір, поки не отримаємо нуль.)
- У математиці віднімання однакових чисел, доки не отримаємо нуль, можна замінити діленням. Ділення – це нова арифметична дія. Ділення записується знаком ":" – ("двокрапка").
Різницю однакових від’ємників замінимо діленням. За допомогою нового знаку запис виглядає так: 16 : 2 = 8 .
На першому місці пишемо зменшуване, а на другому місці – однаковий від’ємник, а після знаку рівності – скільки разів вміщується в зменшуваному однаковий від’ємник. Цю рівність читаємо так: 16 поділити по 2 – отримаємо 8, або в 16 вміщується по 2 вісім разів.
Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії ділення: 16 : 2 = 8; у дужках нічого не пишемо, бо ми отримали, що 8 разів вміщується в 16 по 2, і лише після цього зробимо висновок про кількість парт, які необхідні для розташування учнів. Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв’язання цієї задачі.

Особливості методичних підходів до вивчення усного множення і ділення в межах 100 і 1000 в курсі початкової школи.

Усі випадки множення та ділення, що виходять за межі таблиць, умовно названі „позатабличними”. За методикою М.В. Богдановича, ця тема вивчається в концентрі „Тисяча”; спочатку випадки позатабличного множення та ділення вводяться на прикладі чисел в межах 100, а узагальнюються на числах у межах 1000. Відповідно до методичного підходу Л.П. Кочиної, випадки позатабличного множення та ділення розглядаються в межах двоцифрових чисел.
Перед опрацюванням позатабличних випадків множення та ділення вивчаються властивості арифметичних дій, оскільки вони виступають теоретичною основою відповідних обчислень:
1) ділення числа на добуток: розділити число на добуток можна таким чином: спочатку розділити число на один із множників, а потім результат поділити на інший множник;
2) ділення добутку на число: розділити добуток на число можна так: розділити один із множників на це число і одержаний результат помножити на інший множник;
3) множення добутку на число: помножити добуток на число можна так: помножити на це число один із множників і одержаний результат помножити на інший множник;
4) множення суми на число: щоб помножити суму на число, можна помножити кожний доданок на це число і отримані добутки додати;
5) множення числа на суму: щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожний доданок і отримані добутки додати;
6) ділення суми на число: щоб розділити суму на число, можна розділити кожний доданок на це число і отримані частки додати.
Слід зазначити, що лише правила 4 – 6 є предметом спеціального засвоєння молодшими школярами. Правила 1 – 3 вводяться на пропедевтичному рівні і будуть узагальнені в наступному навчанні ( в 4-му класі).
Розглянемо випадки позатабличного множення та ділення, а також обчислювальні прийоми, які застосовуються для знаходження результатів обчислення (див. табл.1)
Таблиця 1.
Позатабличне множення та ділення
Множення та ділення розрядного числа на одноцифрове
Прийом укрупнення розрядних одиниць
40 . 2 = 4д. . 2 = 8д. = 80
320 . 3 = 32д. . 3 = 96д. = 960
40 : 2 = 4д. : 2 = 2д. = 20
360 : 3 = 36д. : 3 =12д. = 120

Прийом на підставі множення ( ділення) добутку на число
40 . 2 = ( 4 . 10 ) . 2 = ( 4 . 2 ) . 10 =80
320 . 3 = (32 . 10) . 3 = (31 . 3) . 10=960
40 : 2 = ( 4 . 10 ) : 2 = (4 : 2 ) . 10 = 20
360 : 3= (36 . 10) : 3= ( 36 : 3) . 10 =120

Ділення розрядного числа на розрядне
Прийом укрупнення розрядних одиниць
40 : 20 = 4д. : 2д. = 2
360 : 30 = 36д. : 3д. =12

Прийом на підставі ділення числа на добуток
40 : 20=40 : (2 . 10)= (40 : 10) : 2=2
360 : 30=360: (3 .10)=(360:10):3=12

Прийом на підставі конкретного змісту дії ділення
60 : 20 = 3 , тому що 3 . 20 = 60
2 . 20 = 40, 40 не дорівнює 60
3 . 20 = 60, 60 = 60

Множення та ділення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове
Прийом на підставі множення (ділення ) суми на число
17 . 4= (10+7) . 4=10 . 4 + 7 . 4=68
320. 3=(300+20).3=300.3+20 .3=960
45 : 3= (30+15): 3=30:3 + 15: 3 = 15
240:5=(200+ 40) : 5=200:5+40:5=48

Ділення двоцифрового числа на двоцифрове
Прийом на підставі ділення числа на добуток
72 : 36= 72 : (9 . 4)= (72 : 9) : 4 = 2
144 : 24=144 : (6 . 4)=(144: 6):4= 6

Прийом на підставі конкретного змісту дії ділення.
51 : 17 = 3, тому що 17 . 3 = 51

Таким чином, в результаті опанування теми учні мають:
Знати та вміти застосовувати правила: множення одиниці та нуля на будь-яке число; множення будь-якого числа на одиницю або нуль; ділення будь-якого числа на одиницю; ділення будь-якого числа на само себе; ділення нуля на будь-яке число; неможливість ділення на нуль; множення 10 та 100 на будь-яке число; множення будь-якого числа на 10 та 100.
Знати властивості арифметичних дій множення та ділення: множення суми на число; множення числа на суму; ділення суми на число; ділення числа на добуток і вміти ними користуватися під час усних обчислень.
Засвоїти прийоми усних обчислень в межах 100; знати та вміти: множити й ділити розрядне число на одноцифрове; ділити розрядне число на розрядне; множити двоцифрове число на одноцифрове; ділити двоцифрове число на одноцифрове; ділити двоцифрове число на двоцифрове.
Уміти виконувати усне ділення з остачею.
Розглянемо більш детально особливості методичного підходу, відповідно якого позатабличне множення та ділення вивчається на матеріалі чисел в межах 100 і 1000, що співзвучно з методичним підходом М.В. Богдановича. Але відмінність запропонованої методики полягає в тому, що випадки множення та ділення круглого (не обов’язково розрядного) числа на одноцифрове пропонуються ще під час вивчення нумерації трицифрових чисел.
Множення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове
На етапі актуалізації згадуємо розподільний закон множення відносно додавання та застосовуємо його для множення суми на число (№1).
Далі пропонуємо порівняти добутки в кожному рядку і знайти значення виразів (№2).
Діти помічають, що розв’язання попереднього завдання може допомогти помножити двоцифрове число на одноцифрове.
Між тим, зручніше, коли двоцифрове число подають у вигляді суми розрядних доданків.
Пам’ятка
Множення двоцифрового (трицифрового) числа на одноцифрове
Подаю двоцифрове (трицифрове) число у вигляді суми розрядних доданків.
Множу кожний доданок на число.
Додаю одержані результати.
Читаю (записую) відповідь.
На перших етапах засвоєння діти множать двоцифрове число на одноцифрове з розгорненим записом і промовлянням усіх кроків пам’ятки. Згодом дія може дещо скоротитися, і можна запропонувати випадки множення трицифрового на одноцифрове число.
Для множення одноцифрового числа на двоцифрове або трицифрове число застосовуємо переставний закон множення.
Ділення двоцифрового та трицифрового числа на одноцифрове
Пам'ятка
Спосіб підбору зручних доданків
Перший зручний доданок рівний дільнику, помноженому на 10, 20, 30,
Віднімаю з діленого знайдене число, одержую другий зручний доданок.
Ознайомлення з прийомом ділення на одноцифрове число:
Замінивши ділене сумою зручних доданків і застосувавши розподільний закон ділення щодо додавання, знайди значення частки:
68 : 4 = ( + ) : 4 = : 4 + : 4 = + =
+
Аналізуючи власні дії, учні визначають послідовність кроків при діленні на одноцифрове число. Співставляючи міркування при множенні та діленні, можна узагальнити способи множення та ділення двоцифрового числа на одноцифрове:
Пам'ятка
Множення та ділення двоцифрового числа на одноцифрове
Замінюю двоцифрове число сумою 13EMBED Equation.31415 доданків.
13EMBED Equation.31415 кожен доданок на число.
Додаю одержані результати.
Ділення на кругле число способом підбору
Актуалізуємо означення дії ділення: число а розділити на число в – це означає знайти таке число с, яке при множенні на дільник в дає ділене а. Запитуємо: що означає 480 : 160? 480 розділити на 160 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 160 дає число 480. Відшукуємо це число підбором, причому з’ясовуємо, чи має сенс випробувати число 1? Число 1 не випробуємо, бо при множенні на 1 одержуємо те саме число, тому випробовувати розпочинаємо з 2: 160 . 2 = 320, 320 13 EMBED Equation.3 1415480; випробовуємо 3: 160 . 3 = 480, 480 = 480, тому 480 : 160 = 3.
Ділення на двоцифрове число способом підбору
Зміст способу підбору засвоєний дітьми на попередньому етапі навчання, тому існує можливість його перенесення на випадки ділення на двоцифрове та трицифрове число з невеликим удосконаленням.
Ознайомлення. Порівняй записи часток. Яка частка є зайвою? Чому? Знайди значення результатів ділення на кругле число способом підбору. Чи можна міркувати так само при діленні на двоцифрове число?
850 : 170 650 : 130 980 : 140 105 : 15 720 : 180
Діти обчислюють значення цієї частки способом підбору:
15 . 2 = 30, 30 13 EMBED Equation.3 1415105; 15 . 3 = 45, 45 13 EMBED Equation.3 1415105; 15 . 4 = 60, 60 13 EMBED Equation.3 1415105; 15 . 5 = 75, 75 13 EMBED Equation.3 1415105; 15 . 6 = 90, 90 13 EMBED Equation.3 1415105; 15 . 7 = 105, 105 = 105, тому 105 : 15 = 7 „Але так міркувати дуже довго!” – зауважує вчитель
При діленні на двоцифрове число існує раціональніший спосіб підбору, а саме: пробувати треба тільки ті числа, які при множенні на одиниці дільника дають результат, що закінчується одиницями діленого, і немає потреби пробувати всі числа підряд. Наприклад: 51 : 17 – це значить знайти таке число, яке при множенні на 17 дає 51. Використовуємо прикидку – шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника (7) дає результат, що закінчується одиницями діленого (1). Це 3, оскільки 3 . 7 = 21. Думаємо чи є інші такі числа? Ні, інших таких чисел немає, тому множимо 3 на 17 і одержуємо 51, значить часткою 51 і 17 є число 3.
Пам'ятка
Ділення на двоцифрове число
Спосіб підбору
Розділити число а на число в – значить знайти таке число с, яке при множенні на дільник в, дає ділене а.
а : у = с, оскільки с . у = а
Це число знаходитимемо підбором, використовуючи прикидку:
шукаю таке число, яке при множенні на одиниці дільника дає результат, що закінчується одиницями діленого; записую його;
думаю, чи є ще такі числа; записую їх.
випробую множенням усі записані числа.
Роблю висновок.

Методика вивчення множення і ділення багатоцифрових чисел в умовах варіативності початкової математичної освіти.
Вивчення теми базується на знаннях письмового прийому множення (ділення) та вміннях їх виконувати в межах трицифрових чисел. При опануванні даної теми учні мають перенести наявні знання та вміння на випадки множення й ділення багатоцифрового числа на одноцифрове та двоцифрове (трицифрове) й набути досвіду у виконанні цих дій.
Письмове множення багатоцифрового числа на одноцифрове
Перенесення алгоритму письмового множення трицифрових чисел на одноцифрові на випадки множення багатоцифрових чисел на одноцифрові можна зробити в наступний спосіб.
Учням пропонується порівняти добутки:
387 5387 25387
х 7 х 7 х 7
Чи може допомогти перший добуток в обчисленні значення другого добутку?
Чи може другий добуток допомогти обчислити значення третього добутку?
Порівняйте міркування при множенні цих чисел на одноцифрове число. Який висновок можна зробити?
Множення багатоцифрового числа на одноцифрове число виконується так само, як і множення трицифрового числа на одноцифрове.
При письмовому множенні можна пояснювати розв’язання коротко, не називаючи кожний раз одиниці якого розряду множать. Наприклад: 8 множу на 6 – отримую 48, 8 пишу, 4 запам’ятовую; 5 множу на 6, отримую 30, та 4 – буде 34, 4 пишу, 3 запам’ятовую; 1 множу на 6 – отримую 6, та 3 – буде 9, пишу 9; 7 множу на 6 – буде 42, пишу 42.
Множення одноцифрового числа на багатоцифрове
Прийом множення одноцифрових чисел на багатоцифрові призводиться до раніш розглянутого прийому множення багатоцифрового числа на одноцифрове через перестановку множників.
Ділення багатоцифрових чисел на одноцифрові
Спочатку розглядаються випадки, коли число одиниць вищого розряду не менше за дільник та в запису частки немає нулів. Далі розглядаються випадки ділення багатоцифрових чисел, коли число одиниць вищого розряду діленого менше за дільник та в запису частки немає нулів. Особливість прийому:перше неповне ділене – двоцифрове число, яке утворене одиницями двох вищих розрядів. Це повинно бути предметом спеціального розгляду.



1364 2
12 681
16
16
4
4
0
Множенням дізнаємося, скільки сотень розділилося (12 сотень). Відніманням дізнаємось, скільки сотень не розділилося (1 сотня). Порівнюємо остачу з дільником: 1 менше 2, тому цифра сотень частки підібрана правильно.
З остачі й десятків діленого утворюємо друге неповне ділене (16 десятків). Ділимо його на 2 – буде 8, записуємо в частці в розряді десятків цифру 8. Множенням дізнаємося, скільки десятків розділилося. Усі десятки розділилися.
Оскільки всі десятки розділилися, то переходимо до наступного розряду. 4 одиниці – третє неповне ділене. Ділимо його на дільник, буде 2. Пишемо цифру 2 на місці одиниць у частці. Дізнаємося, скільки одиниць розділилося дією множення. Усі одиниці розділилися, ділення закінчено.
Серед можливих помилок є неправильне знаходження цифри частки, що призводить до отримання остачі більшої за дільник. Тому необхідно слідкувати, щоб учні не забували порівнювати остачу з дільником. Для цього корисні завдання на критику помилок, а також завдання на перевірку ділення множенням.
Множення багатоцифрових чисел, які містять нуль в середині запису .
Ознайомлення. Учні самостійно пояснюють розв’язання з розгорненим міркуванням.
Звертаємо увагу учнів на те, що при множенні нуля десятків (сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч) на число в добутку також отримуємо нуль десятків (сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч).
Випадки ділення на одноцифрове число, коли в середині запису частки зустрічаються нулі.
На етапі підготовчої роботи слід актуалізувати випадки ділення з остачею, коли ділене менше за дільник.
Наприклад: 2 : 6 = 0 ( ост. 2) , тому що 0
· 6 + 2 = 2
Випадок, коли нуль міститься в середині запису частки, вводимо через пояснення вже готового розв’язання. Міркуємо так: друге неповне
ділене 4 дес. Не можна його розділити на 8, щоб отримати десятки, тому в частці буде 0 дес.
Через декілька уроків учням можна показати скорочену форму запису:
„У цих випадках можна усно множити на 0, пам’ятаючи отриманий результат – в запису частки повинен стояти 0.”
Пропуск нуля в запису частки – типова помилка.
Для її попередження доцільно пропонувати учням заздалегідь ставити крапки на місці цифр частки, коли ми визначаємо найвищий розряд і кількість цифр частки.
Множення чисел, що закінчуються нулями
Ознайомлення:
Розгляньте записи і дайте відповідь:
- Як підписаний другий множник під першим?
- Де опинилися нулі, які записані наприкінці першого множника? (Другий множник підписаний під першою цифрою, що відмінна від нуля, щоб нулі залишилися праворуч).
Що множили? (Множили число десятків, або число сотень, або число тисяч.) Назвіть, скільки отримали в добутку десятків ( сотень, тисяч).
Як подали ці числа в одиницях? (Приписали праворуч один, або два, або три нулі.)
Порівняйте число нулів у кожній парі: в першому множнику і в добутку. (Наприкінці добутку стільки нулів, скільки їх у першому множнику).
Пам’ятка
Множення багатоцифрового числа, що закінчується нулями, на одноцифрове
Підписуємо другий множник під першою цифрою праворуч, що відрізняється від нуля.
Перемножуємо число розрядних одиниць ( десятків, сотень, тисяч...) на одноцифрове число.
До результату дописуємо праворуч стільки нулів, скільки їх у першому множнику.
Зручно відділити нулі в запису другого множника рискою; перемножити числа, не звертаючи уваги на нулі, та до добутку праворуч приписати стільки нулів, скільки їх у першому множнику.
Ділення чисел, що закінчуються нулями
Ознайомлення з випадком ділення, коли нуль наприкінці запису частки, здійснюється через пропозицію учням порівняти два випадки ділення: 333 : 9 та 3330 : 9.
Учні встановлюють, що ці частки відрізняються діленими. Ставиться проблемне запитання; „Як зміна діленого вплине на розв’язання?”. Значення першої частки учні виконують самостійно з розгорненим поясненням, а при знаходженні значення другої частки, якщо є потреба, вчитель допомагає: третє неповне ділене – 0 одиниць; 0 одиниць поділимо на 9, отримаємо 0 одиниць.
Таким чином, якщо всі десятки діленого розділилися, а наступне неповне ділене 0 одиниць, то в частці на місці одиниць можна записати відразу нуль!
Методика вивчення множення багатоцифрових чисел на двоцифрове число
Засобом порівняння прикладів на множення на одноцифрове й двоцифрове число учні встановлюють відмінність: при множенні на одноцифрове число ми відразу отримуємо добуток, а при множенні на двоцифрове число - спочатку І-й неповний добуток, потім ІІ-й неповний добуток і, додавши їх, отримуємо добуток. Так відбувається тому, що при множенні на двоцифрове число треба помножити не лише одиниці, а й десятки другого множника на перший множник. Далі за аналогією учні можуть здогадатися про відмінність письмового множення на двоцифрове та трицифрове число:




Характерні відмінності вивчення геометричного матеріалу за діючими підручниками з математики для учнів початкової школи. Ознайомлення учнів з найпростішими геометричними фігурами (точкою, відрізком, ламаною, кутом, багатокутником, колом, променем, кругом).
Вивчення елементів геометрії розвиває просторові уявлення, образне мислення. Геометрична пропедевтика поділяється на таю складові: розвиток просторових уявлень молодших школярів, формування уявлень про лінії і відрізок, креслення і вимірювання довжин відрізків, ознайомлення з многокутниками, колом і кругом, вимірювання периметра і площ многокутників, спостереження геометричних тіл і введення їх назв.
Навчальна діяльність, в процесі якої діти оволодівають геометричним матеріалом, охоплює такі варіанти робіт: організоване вчителем спостереження різних геометричних форм і відношень; практика дітей у вимірюванні, побудова, конструюваннні, малювання; практика розв'язування задач з геометричним змістом.
Сприймання простору передбачає сприймання відстані, на якій предмети розміщені від нас і один від одного, напряму, в якому вони перебувають, величини та форми предметів.
Вправи з питань геометрії положення опрацьовуються в кожному класі початкового навчання, а найбільше їх у 1 та 2 класах.
Формування понять про пряму і криву можна почати показом спочатку обвислого, а потім натягнутого тонкого шнура. Навчаючи дітей проводити прямі лінії за допомогою лінійки, вчитель спочатку демонструє виконання такої роботи на аркуші білого паперу, прикріпленого до класної дошки. Учні мають навчитися будувати вертикальну, горизонтальну і похилу прямі.
Введення відрізка передує першим вправам на вимірювання довжини. Вчитель креслить на дошці пряму лінію і позначає на ній рисками дві точки. Він пояснює дітям, що частину прямої, обмежену двома точками, називають відрізком прямої або відрізком. Кінці відрізка на малюнку позначають тоненькими рисочками або точками. Якщо на малюнку рисочок (точок) немає, то це зображення прямої.
Після ознайомлення з поняттям відрізка дітей вчать порівнювати їх за довжиною.
У 1 класі учні ознайомлюються з трикутником, чотирикутником, п'ятикутником і шестикутником. Діти повинні засвоїти правильні назви цих многокутників, вміти їх розпізнавати. За програмою розгляд елементів многокутника у 1 класі не передбачено, але багато вчителів у ході аналізу того чи іншого многокутника пропонують показати і полічити сторони, вершини, кути.
У 2 класі продовжується робота з формування уявлень учшв про многокутники 1 круг. Пропонуються дещо ускладненні вправи на розпізнавання многокутників, на поділ фігур на многокутники і немногокутники. Учні вивчають елементи многокутників, вимірюють довжини їх сторін.
Поняття кута і вершини трикутника (многокутника) вводять (конкретизують) за допомогою запитань: Скільки в трикутнику кутів? Вершин? Сторін?
Сторони, вершини і кути многокутника потрібно показувати учням на моделях плоских фигур. Кут бажано показати віялоподібним рухом указки, один кінець якої суміщений з вершиною кута многокутника. Треба звернути увагу дітей на те, що вершина многокутника є і вершиною відповідного кута. Бажано показати їм, що кути є різні за величиною, але величина кута не залежить від довжини його сторін.
Для ознайомлення з прямим кутом варто розглянути його утворення в процесі перегинання листка паперу. Кожному учневі треба дати аркуш паперу довільної форми. Потім під керівництвом учителя діти складають аркуші вдвічі, притискують лінію згину. Після цього аркуш перегинають ще раз, стежачи за тим, щоб частини утвореної раніше лінії перегину сумістилися. Утвориться кут. Такий кут називається прямим. Якщо папір розгорнути, діти побачать, що дві лінії перегину поділяють аркуш на чотири частини. Утворилось чотири прямі кути, які мають спільну вершину.
За допомогою паперової моделі прямого кута учні відшукують прямі і непрямі кути на предметах з навколишнього оточення і на косинці. Після цього користуються прямим кутом косинця.
При введенні поняття кола і круга можна йти двома шляхами: а) розглянути спочатку коло як особливий вид кривої лінії, а потім ввести поняття круга як фігури, яку обмежує коло; б) розглянути круг, виходячи з відомого дітям поняття "кружечок", а коло ввести як лінію, яка обмежує круг. У зв'язку з тим, що кружечки, вирізані з паперу, потрібно для проведения предметної лічби вже з перших уроків математики, перевагу варто надати другому шляху.
Лінія, яка є межею круга, називається колом. Коло будують за допомогою циркуля.

24. Впровадження компетентністного підходу під час навчання молодших школярів на уроках математики побудови найпростіших фігур за допомогою лінійки, косинця, циркуля.
Практична діяльність людини тісно пов’язана з широким використанням графічних зображень. Тож вироблення графічних навичок та вмінь школярів необхідні для вдосконалення підготовки їх до праці.
Формуванню в дітей таких навичок на уроках математики сприяють геометричні побудови, до того ж вони стимулюють розвиток просторового уявлення, полегшують сприймання абстрактних геометричних образів.
Однак побудови за допомогою креслярських інструментів досить складні для дітей, потребують добре розвиненої координації рухів рук. З огляду на це в психолого-педагогічній літературі цілком слушно наголошується на потребі застосовувати спеціальні прийоми і методи навчання, що забезпечують розвиток в учнів рухів кожної руки, кожного пальця.
У теорії геометричних побудов креслярський інструмент призначений для виконання певних елементарних операцій. Елементарні побудови за допомогою лінійки, наприклад, такі: проведення відрізка, що сполучає дві певні точки; прямої через дві задані точки; променя, початок якого в даній точці, а проходить він через іншу точку; двох прямих, що перетинаються тощо.
Загальновідомо, що переучувати завжди значно складніше, ніж відразу навчити правильно. Тому так важливо з перших кроків правильно організувати формування у молодших школярів графічних навичок та вмінь. Щоб діти свідомо засвоювали і запам’ятовували способи елементарних побудов, потрібні інструкції, де розкривався б зміст і послідовність операцій, які становлять дію з певним інструментом і визначаються його особливостями. Це допоможе учням правильно і повно уявити, як така дія виконується.
Ознайомлення молодших школярів з креслярськими інструментами починається з вимірювань і побудов за допомогою масштабної лінійки. Проведення прямих через одну і дві точки, сполучення двох точок відрізком, побудова точок перетину прямих ілюструють властивості прямої і допомагають інформувати відповідні навички побудов. А це потрібно учням, бо на практиці переконуємось, що навіть значна частина старшокласників, не вміє точно провести пряму через дві точки. Тому під час вироблення у молодших школярів графічних навичок рекомендується вимагати від них дотримання такої послідовності:
1) прикласти лінійку до даних точок (або точки) на таку відстань, щоб олівець, поставлений вертикально вістрям у ці точки, торкався ребра лінійки;
2) тримати олівець біля початку його підструганої частини трьома пальцями: великим, середнім та вказівним;
3) підняти лікоть правої руки, кистю злегка спиратися на лінійку зовнішній бік нігтьового суглоба мізинця пересуватиметься по ній;
4) злегка підняти лікоть лівої руки (не спиратись на лінійку всією кистю, а лише чотирма пальцями лівої руки притримувати інструмент);
5) провести лінію, дещо нахиляючи олівець у напрямі руху. Учителю слід докладно проінструктувати дітей, продемонструвати правильне виконання дій і наголосити на необхідності виконати їх таким способом, постійно контролювати неухильне дотримання цих вказівок.
За правилами креслення горизонтальні лінії проводяться зліва направо, вертикальні - знизу вгору. Ми вважаємо за доцільне сформувати горизонтальні й вертикальні лінії у двох напрямах. Адже, по-перше, побудови на уроках математики учень виконує лише олівцем, по-друге, розширення напрямів рухів, які опановуватиме учень, не тільки розвиватиме його руку, а й прискорюватиме формування складних графічних навичок.
Добираючи вправи для вдосконалення навичок побудов за допомогою лінійки треба розкривати дітям конструктивні можливості цього інструмента.
Ці завдання не тільки закріплюють уміння використовувати лінійку для побудов, а й допомагають учням засвоїти, що через дві точки проходить одна пряма, що вона необмежена. Послідовне сполучення точок відрізками підводить школярів до поняття замкненої ламаної, до побудови многокутника.
Ознайомлення з іншим креслярським інструментом - косинцем пов’язане з вивченням прямого кута. За його допомогою учні відшукують серед даних кутів прямі, перевіряють і будують їх оскільки з косинцем учні будуватимуть перпендикулярні прямі в наступних класах.
Засвоїти дію вимірювання прямих кутів косинцем учням допомагають спеціальні наочні посібники. Будуючи прямі кути, прямокутники, квадрати тощо, учні оволодівають навичками побудов з косинцем. Тому до системи вправ доцільно ввести завдання, які сприяють глибокому усвідомленню властивостей квадрата й прямокутника, виявленню схожості й відмінності в їх побудові.
Для учнів будувати прямокутники на нелінійованому папері значно складніше, ніж за клітинками. Щоб полегшити їм засвоєння цієї дії, варто виготовити спеціальну таблицю, в якій показати послідовність операцій побудови прямокутника. Але використовувати такі таблиці бажано лише після того, як учитель пояснить дітям послідовність побудов і продемонструє їх на дошці. Важливо, щоб його розповідь супроводжувалась відповідними діями учнів.
Неабияке значення для розвитку графічних навичок молодших школярів має опанування побудов за допомогою циркуля-інструмента, що поширений на практиці для порівняння відрізків, наближеного поділу їх на рівні частини, спрямлення ламаної і вимірювання відстаней між двома точками (з використанням масштабної лінійки), а головне - для побудов.
Саме завдяки йому ми в змозі ознайомити учнів з дивовижною геометричною фігурою - колом. Школярі вчаться будувати циркулем як довільні кола, так і з даними центром і радіусом. Цією побудовою навіть учні 4-5 класів оволодівають з трудом: вони креслять не одним неперервним рухом, а кількома окремими, частину кола - обертанням циркуля в одному напрямі, іншу частину - в протилежному. Тож, формуючи навички побудов за допомогою циркуля, доцільно дотримуватись таких правил:
1) тримати циркуль за голівку двома пальцями правої руки (вказівним і великим);
2) злегка натискати на опорну ніжку циркуля;
3) креслити коло безперервним плавним рухом з однаковим натиском на ніжку з графітним стержнем протягом усієї операції;
4) Злегка нахиляти циркуль у напрямі руху (за годинниковою стрілкою).
Щоб зацікавити учнів побудовою циркулем, слід запропонувати цікаві орнаменти, їх діти спроможні придумати й самі. Вчителю важливо збудити інтерес, заохотити їх.
Формуючи креслярські навички, варто подбати про перенесення їх у нові умови. Адже учням доведеться використовувати засвоєні прийоми побудов і в процесі вивчення геометрії в наступних класах, і на уроках трудового навчання, креслення тощо. Щоб узагальнити вміння, треба постійно варіювати умови виконання побудов. Учні мають вільно володіти лінійкою для проведення прямих у будь-якому напрямі, вимірювати й будувати прямі кути та інші фігури за будь-якого їх розміщення на площині. Тому поряд із зошитом у клітинку доцільно використовувати й нелінійований папір.
Формування осмислених і стійких графічних навичок сприятиме підготовці школярів до вивчення математики в наступних класах. Адже діти, котрі вміють будувати геометричні фігури, краще засвоюють геометричний матеріал, швидше оволодівають необхідними графічними операціями на уроках креслення і трудового навчання..
25. Реалізація диференційованого підходу під час вивчення алгебраїчного матеріалу. Формування уявлень про вираз. Рівності, нерівності та рівняння в початковому курсі математики.
Поняття про числовий вираз у молодших школярів формують у тісному зв'язку з вивченням арифметичних дій. Робота над виразами проводиться в такій послідовності:
а) формування уявлень про найпростіші вирази (сума та різниця двох чисел) та введения виразів на дві дії (7 + 2 + 3; 12 3 4; 9 + 4 2);
б) вирази на дві дії першого ступеня із застосуванням дужок (10 - (4 + 3); 17 (10 3); 5 + (4 1));
в) вирази на дві дії першого і другого ступенів, знаходження числових значень яких виконується в порядку наступності дій (12 : 3 + 8; 2 4 5; 6:28);
г) вирази на дві дії першогоі1 другого ступенів, знаходження числових значень яких спирається на правила порядку виконання арифметичних дій (20 16:2; 24 : (3 2)), вирази на три і бшьше дій (9 8 + 9 3; 4038 97 - 2460 : 60).
З поняттям вираз учнів ознайомлюють на найпростіших прикладах.
1) 3 + 6; 2) 12 - 8; 3) 4 5; 4) 40 : 8 - це числові вирази, або просто вирази.
Вони мають свої назви: 1) сума; 2) різниця; 3) добуток; 4) частка.
Якщо виконати у виразі дії, то дістанемо число, яке називається значенням виразу. В наведених виразах значеннями є числа: 1) 9; 2) 4; 3) 20; 4) 5. Ці числа також називаються: сума, різниця, добуток, частка.
Вирази можуть мати і більше, ніж одну дію, містити дужки.
Важливо, щоб діти навчилися правильно сприймати на слух вирази на 2-3 дії та самі їх називали. Це ази математичної мови, без якої неможливо далі успішно вивчати математику. Сприймаючи назву виразу на слух, учні вчаться бачити їхню структуру, що важливо для розвитку абстрактного мислення. Так, коли вчитель говорить: сума двох часток або добуток двох різниць, учень повинен собі уявляти такі структури:

Звичайно, до всього молодші школярі доходять поступово.
Існують правила, за якими вирази можна змінювати (перетворювати) так, щоб значення виразу не змінилось. Такі перетворення називаються тотожними. Наприклад:
тотожне перетворення на основі використання переставної властивості множення: 4-9 = 9*4;
тотожне перетворення на основі правила віднімання числа частинами: 15 - 7 = 15 - 5 - 2;
тотожне перетворення на основі правила порозрядного додавання: 48 + 36 = (40 + ЗО) + (8 + 6), або переставного і сполучного законів додавання.
У трьох наведених випадках ми отримали записи, у яких два числових вирази з однаковими числовими значеннями з'єднані знаком рівності. Такі записи вже не є виразами, вони називаються числовими рівностями. Вирази не містять знаку "="!
Учні мають розуміти, що нерозв'язані приклади, які подано в підручнику, - це вирази; розв'язуючи приклади у зошитах, учні записують числові рівності. Числові рівності бувають правильними і неправильними. Записи виду 3 + 2 = 6; 7 = 8-це теж рівності, але неправильні, бо в них ліва частина не відповідає правій.
Числові нерівності - це записи виду 7 + 3>5;4 + 2< 10; 6 + 5>6 + 2;1<4 тощо.
Числові нерівності теж бувають правильними або неправильними. Усі наведені числові нерівності є правильними, бо значення лівої і правої частин у них відповідають знаку нерівності, що стоїть між ними. Так, 7 > 2 + 3 - це правильна числова нерівність, бо 7 > 5. Неправильними числовими нерівностями є такі: 0>5;6<2+2;10 + 2<3 + 2.
Буквені вирази
Підручник містить дуже докладні вправи, які пояснюють, що таке буквені вирази та як знаходити значення таких виразів, підставляючи замість букв певні числа.
Коли вивчають різні математичні закони, властивості, правила, учитель записує їх у буквеному вигляді:
а + 6 = в + а; (а в) с ~ а (6 с); а (в + с) - а в + а с; а 1 -а; а 0 = О; 0 ' а = 0 тощо.
При цьому він звертає увагу учнів на те, як коротко і наочно можна записати громіздке правило за допомогою букв. У словесному варіанті можна загубити саму сутність правила, а в буквеному воно на виду.
Букви можуть допомогти розв'язати якусь життєву ситуацію. Нехай нам відомо, що учень купив кілька ручок по 2 грн. та блокнот за 5 грн. Скільки гривень він міг заплатити? Якщо невідоме число ручок позначити буквою х, то вартість всієї покупки виразиться так: 2х+ 5 (грн.). Підставляючи замість х імовірні кількості ручок (2, 3, 4, 5, 6, ,..), можна обчислити, скільки гривень заплатив учень у кожному випадку.
Рівняння
Проаналізувавши виклад матеріалу у підручниках для третього класу М. Богдановича та Л. Кочиної, Н. Листопад ми дійшли висновку, що для оптимального роз'яснення цього матеріалу потрібно об'єднати позитивні сторони обох підручників, тоді виклад буде мати наступну форму.
Маючи справу з різностями із змінною, ми часто дістаємо завдання дізнатися, яке число потрібно підставити замість букви, щоб одержати правильну числову рівність. У цьому випадку рівність із змінною називається рівнянням, а знайти таке числове значення букви означає розв'язати рівняння. У результаті ми дістанемо число, яке називають розв'язком рівняння, або коренем рівняння. Коренем рівняння х + 2 = 8 є число х = 6. Як ми це визначили? Методом добору чисел. Цей метод незручний, бо рівняння можуть бути такими, що важко дібрати потрібне число: х - 175 = 328; х 40 = 1200; 128 : х = 16 і т. п. Тому існують способи визначення х на основі правил. Кожне рівняння має своє правило, в залежності від того, як називається невідомий компонент.
Розглянемо різні види рівнянь.
1.х + 4 = 10;5 + х=9.
У цих рівняннях невідомим є один із доданків. Як же знайти невідомий доданок? Щоб вивести правило, розглянемо приклади.
5+3=8 6+4=10 8-5 = 3 10-4 = 0 8-3 = 5 10-6 = 0
Учні закінчують обчислення. Учитель запитує: що дістанемо, коли від суми віднімемо перший доданок? (Другий доданок.) Що дістанемо, коли від суми віднімемо другий доданок? (Перший доданок.) То як знайти невідомий доданок? (Потрібно від суми відняти відомий доданок.)
Новітня програма з математики включила розв'язання рівнянь на дві дії, яких не було раніше. Підручник М. Богдановича не містить таких рівнянь, тому вчитель сам повинен "розширити" рівняння на одну дію. Працюючи з рівняннями, можна роботу побудувати так. Після того, як рівняння розв'язані учнями у зошитах, учитель записує їх на дошці і під кожним пише "розширене" рівняння:
х-25=900 966:х = 21
х-25 = 800+ 100 (900 + 66) : х = 21
Учні співставляють рівняння в кожній парі і з'ясовують, що перш ніж шукати х, у рівнянні треба знайти значення виразу, яким представлено відомий компонент або результат рівності, тобто виконати додаткову дію.
У 4 класі учні приступають до розгляду рівнянь, у яких цей вираз містить букву. Щоб діти зрозуміли доцільність розгляду таких рівнянь, підручник пропонує абстрактну задачу.
Нерівності зі змінною
На думку М. Богдановича, розв'язання нерівностей зі змінною не є обов'язковим матеріалом, тому їх не було включено у контрольні роботи, а подано лише в порядку ознайомлення.
Ще в 2 класі учні опрацьовують нерівності з "віконцями".
Добери такі числа, щоб нерівність була правильною.5-6>5 *
Учні добирають кілька чисел і перевіряють нерівність. Це зробити неважко, порівнявши вирази у правій і лівій частині. (Перший множник в обох добутках однаковий. Отже, щоб добуток справа був меншим, його другий множник має бути меншим від 6.)
Пізніше множина розв'язків не дається, але добираються такі нерівності, у яких вона невелика: х : 6 < 4. Учитель вчить добирати потрібні числа не хаотично, а з використанням таблиці ділення на 6. Які числа при діленні на 6 дадуть в результаті 1, 2, 3? Числа 6, 12, 18.
На нашу думку важливо, щоб школярі усвідомили різницю між кількістю розв'язків рівняння і нерівності. У рівнянні (яке розглядають у початкових класах) розв'язок один, а в нерівності їх може бути більше, ніж один, і навіть безліч.
Розв'язувати нерівність з використанням розв'язку відповідного рівняння зручно, коли нерівність містить великі числа.
Впровадження компетентністного підходу під час опрацювання найважливіших величин у початковому курсі математики. Формування предметних компетенцій у процесі ознайомлення учнів з масою, часом, швидкістю та їх одиницями.
У початкових класах вивчають такі величини: довжина, площа, місткість (об'єм), маса, час. Три перші ще називають геометричними величинами. Крім названих, молодші школярі вивчають і більш складні величини: швидкість, вартість, продуктивність праці, які потрібні при розв'язуванні задач.
Величини розглядаються у підручнику після вивчення нумерації чисел, бо обидві теми доповнюють одна одну.
Таблиці мір довжини, маси, часу
Міри довжини
1 км = 1000м 1 дм = 10 см
1 м = 2 0 дм 1 дм = 100 мм
І м -100 см 1 см = 10мм
1 м = 1000мм
Міри часу
1 т = 1000кг 1кг = 1000 г
1 т = 10 ц 1ц = 100 кг
1 тисячоліття = 1000 років
1 століття = 100 років
1 рік звичайний = 365 діб
1 рік високосний = 366 діб
1 рік = 12 місяців
1 місяць (січень, березень, травень, липень, серпень, грудень) = 31 доба
1 місяць (квітень, червень, вересень, листопад) = 30 діб
лютий = 28 або 29 діб
1 доба = 24 години
1 година = 60 хвилин
1 хвилина - 60 секунд
Міри площі
Розглянемо докладніше вивчення площі. Учням можна сказати, що площа визначає величину місця, яке плаский предмет займає на площині. Спочатку учитель на клітинковому папері креслить разом з учнями різні фігури, площу яких визначають підрахунком клітинок:

Площа першої фігури - 18 клітинок, а площа другої - 13 клітинок. Отже, можна сказати, що перша фігура має більшу площу, ніж друга, бо займає на площині більше місця.
Площу вимірюють квадратами, сторона яких є одиницею довжини:
1 мм- це площа квадрата, сторона якого 1 мм.
1 см2 - це площа квадрата, сторона якого 1 см.
1 дм2 - це площа квадрата, сторона якого 1 дм.
1 м2 - це площа квадрата, сторона якого 1 м.
1 а (сотка) - це площа квадрата, сторона якого 10м.
1 га -це площа квадрата, сторона якого 100 м.
1 км2 - це площа квадрата, сторона якого 1 км.
Щоб навчити учнів легко встановлювати відповідність між різними мірами площі, доцільно зробити дві речі:
повторити співвідношення між відповідними мірами довжини;
навчити учнів уявляти квадрат зі сторонами відповідної довжини і пригадати, як обчислюють площу цього квадрата.
Міри вартості
Потрібно сказати, що учні часто плутають вартість і ціну. Ці дві величини вимірюють однаковими мірами: гривнями і копійками (в Україні). Учитель пояснює, що ціна показує, скільки коштує один предмет, 1 кг, 1 м тощо. У магазині виставлено ціни товарів: ціна одного кілограма помідорів, ціна одного метра тканини, ціна одного літра соку, ціна одного зошита, однієї ручки і т. п. Але покупець може придбати будь-яку кількість ручок, зошитів, кілограмів, метрів, літрів... За всю покупку він платить суму грошей, яку називають вартістю. Наприклад, якщо ціна 1 м тканини 40 грн., то вартість 3 м цієї тканини обчислюють так: 40 - 3 = 120 (грн.).
Отже, вартість це ціна, помножена на кількість товару. Молодші школярі повинні знати співвідношення між мірами вартості:

Міри швидкості
Швидкість - це складна величина, яка пов'язана з довжиною і часом. Від того, як учні зрозуміють, що таке швидкість, залежить, як вони будуть розв'язувати задачі на рух.
Методика ознайомлення з поняттям швидкість вимагає унаочнити його зрозумілими дітям прикладами.
Важливо наголосити, що числове значення однієї з цих трьох величин можна знайти за числовими значеннями двох інших величин тільки у випадку, коли усі три значення відповідають одне одному.
Продуктивність праці, час, робота
Ці три величини складають основу багатьох задач, тому варто подати методику їх розкриття. Складність полягає в тому, що робота, а значить, і продуктивність, не мають таких чітко визначених одиниць вимірювання, як відстань і швидкість. Робота у кожному сюжеті задачі може мати різне найменування. Так, якщо в задачі сказано, що за три місяці завод випустив 4800 автомобілів, то це означає, що вся робота становить 4800 автомобілів. Якщо сказано, що за 5 хв косар викосив ЗО м3 лугу, це означає, що вся робота становить 30 м3. Якщо говориться, що за 10 хв кран наповнив бак місткістю 50 л, то вся робота дорівнює 50 л. Якщо сказано, що муляр за 3 дні змурував 12 м паркана, то вся робота - 12 м. Ми бачимо, що найменування роботи - автомобілі, квадратні метри, літри, метри.
Продуктивність праці - це частина всієї роботи, яку виконують за одиницю часу. Отже, у першій задачі продуктивність праці становить:
4800 : 3 = 1600 (автомобілів за місяць).
У другій задачі продуктивність дорівнює:
30: 5 = 6 (мг за. хвилину).
У третій задачі:
50 : 10 = 5 (а за хвилину).
У четвертій задачі:
12 : 3 = 4 (м за день).
Неважко провести паралель між трійками величин продуктивність праці - час - робота і швидкість - час - відстань. Продуктивність праці відповідає швидкості і має подібне найменування. Продуктивність можна ще назвати швидкістю виконання роботи. Усі ці роз'яснення учитель поступово подає учням під час опрацювання задач про роботу, які опрацьовують у 3-4 класах.
Формування предметних компетенцій під час ознайомлення молодших школярів з площею фігури та периметром прямокутника та особливостями їх обчислення.

Означення периметра многокутника вводять у 2 класі. Як і довжину ламаної лінії, периметри многокутників знаходять у результаті вимірювання довжин їх сторін з подальшим додаванням здобутих результатів.
У 3 класі вводять буквене позначення многокутників. Це дає змогу урізноманітнити постановку завдань з геометричним змістом. Наприклад, серед даних фігур назвати прямокутники, квадрати тощо.
Пропонуються різні вправи на побудову многокутників на папері в клітинку. Причому такі завдання ускладнюють поділом фігури на задані многокутники.
Учні продовжують виконувати вправи на знаходження периметра многокутника. При цьому їм потрібно показати різні способи обчислення. Якщо довжину прямокутника позначити буквою а, а ширину буквою Ь, то ці способи можна записати так: а + Ь + а + Ь; а + а + Ь + Ь; а 2 + Ь 2; (а + Ь) 2. Останній спосіб найзручніший, але учні повинні бути ознайомлені з усіма способами.
У 4 класі діти продовжують виконувати вправи на розпізнавання і побудову плоских фігур, розв'язують інші задачі з геометричним змістом.
Геометричні задачі, пов'язані з периметром, дещо ускладнюються, більшість з них пов'язана з поняттям площі фігури.
Окремий урок відводиться для ознайомлення учнів з новими одиницями вимірювання площі. Вводяться відразу всі одиниці вимірювання передбачені програмою.
У процесі подальшого вимірювання й обчислення площі прямокутник і розв'язування задач на обчислення площі слід мати на увазі такі моменти6
1.Діти повинні достатньо практикуватися у вимірюванні площ прямокутників на моделях та малюнках.
2.Кожен учень має виконати 2–3 завдання на вимірювання площі класне дошки, вікна, поверхні кришки стола, підлоги, стіни класної кімнати земельної ділянки тощо.
1 мм2 це площа квадрата, сторона якого 1 мм.
1 см2 це площа квадрата, сторона якого 1 см.
1 дм2 це площа квадрата, сторона якого 1 дм.
1 м2 це площа квадрата, сторона якого 1 м.
Ар це площа квадрата, сторона якого 10 м.
Ар це сота частина гектара (сотка).
Гектар (га) – це площа квадрата, сторона якого 100 м.
1 км2 – це площа квадрата, сторона якого 100 м.
3. Треба розв'язати достатню кількість задач на обчислення площ прямокутника, сторони якого виражені складеними іменованими числам. Саме тоді стане зрозумілою вимога правила про те, що довжину і ширину прямокутника необхідно вимірювати однією і тією самою мірок Розв'язування задач на обчислення площі потрібно поєднувати з розв'язуванням задач на обчислення периметра.
4. Слід практикувати обчислення площі прямокутних ділянок за і планом.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню простих задач на додавання і віднімання.
Під простою задачею розуміють сюжетну задачу, на запитання якої можна відповісти відразу, виконавши одну арифметичну дію.
Прості задачі розбиваються на 8 типів в залежності від видів співвідношень, які вони містять (за Л.М. Фрідманом). У межах кожного типу виділяються наступні види (табл. 1):
задачі, що містять співвідношення додавання (поєднання частин у ціле): задачі на знаходження суми, задачі на знаходження невідомого доданка, задачі на знаходження третього числа за сумою двох даних;
задачі, що містять співвідношення віднімання (виключення частини з цілого): задачі на знаходження різниці, задачі на знаходження невідомого зменшуваного, задачі на знаходження невідомого від’ємника;
задачі, що містять співвідношення різницевого порівняння: задачі на різницеве порівняння, задачі на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць;
задачі, що містять співвідношення переходу від більшої одиниці вимірювання або лічби до меншої (співвідношення множення): задачі на конкретний зміст дії множення, задачі на знаходження невідомого множника;
задачі, що містять співвідношення розбиття цілого на рівні частини (співвідношення ділення): задачі на ділення на рівні частини, задачі на ділення на вміщення;
задачі, що містять співвідношення кратного порівняння: задачі на кратне порівняння, задачі на збільшення або зменшення числа в кілька разів;
задачі, що містять співвідношення частин і цілого: задачі на знаходження частини від числа, задачі на знаходження числа за значенням його частини, задачі на знаходження дробу, який одне число складає від іншого;
задачі, що містять співвідношення залежності між значеннями різних величин: задачі на знаходження загальної величини (загальної довжини, вартості, відстані тощо), задачі на знаходження величини однієї одиниці вимірювання (довжини одного відрізу, ціни, швидкості тощо), задачі на знаходження кількості або часу.
Подані види задач пропонуються протягом чотирьох перших років навчання. Природно, що найбільша кількість нових видів простих задач припадає на перші два роки навчання. У подальшому навчанні береться до уваги, що вміння розв’язувати прості задачі вже сформовано і на перший план виступає формування вміння розв’язувати складені задачі.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню простих задач на множення і ділення.
Формування загального вміння розв’язувати прості задачі відбувається за етапами, які є загальноприйнятими в методичній науці:
І етап – підготовча робота до введення поняття "задача" ( 1-й клас);
ІІ етап – ознайомлення з поняттям "задача", його структурними елементами та етапами її розв’язування ( 1-й клас);
ІІІ етап – формування загального уміння розв’язувати будь-які прості задачі ( 1 - 4 класи).
За методичними системами М.В. Богдановича та Л.П. Кочиної на етапі підготовчої роботи в учнів формується конкретний зміст дій додавання і віднімання, йде робота з розвитку мови дітей, коментування малюнків тощо. Це пояснюється тим, що поняття "задача" вводиться на задачах на знаходження суми й остачі (різниці). Лише потім, познайомившись з відношенням різницевого порівняння, діти розв’язують задачі на збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць, на різницеве порівняння, а далі, дізнавшись про взаємозв’язок дій додавання і віднімання, вчаться розв’язувати задачі на знаходження невідомого доданка. Отже, традиційно задачі вводяться відразу після вивчення "теоретичного" матеріалу і є засобом його подальшого засвоєння. Але застосування сюжетних задач для формування в дітей уявлень про математичні поняття, в тому числі й про зміст арифметичних дій, призводить до того, що така типізація виступає як основний спосіб формування вміння розв’язувати задачі, учні не вчаться міркувати при виборі арифметичної дії, а орієнтуються на зразок, наданий учителем.
Для попередження шаблонного і тому неадекватного підходу учнів до розв’язання окремих видів задач слід вводити поняття "задача" не лише на задачах на знаходження суми й остачі (різниці), а й на матеріалі перших п’яти видів простих задач: на знаходження суми, на знаходження невідомого доданка, на знаходження остачі, на знаходження невідомого зменшуваного, на знаходження невідомого від’ємника, на різницеве порівняння, на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць.
Отже, метою підготовчого етапу до введення поняття "задача" є формування в молодших школярів поняття про конкретний зміст арифметичних дій додавання і віднімання, їх взаємозв’язок, а також поняття про конкретний зміст збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, відношення різницевого порівняння та їх схематичного зображення.
Метою етапу ознайомлення молодших школярів з поняттям "задача" є формування в учнів знань про складові задачі (умову і запитання, числові дані і шукане) та етапи її розв’язування, про зв’язок умови і запитання задачі, про кількість числових даних, необхідних для відповіді на запитання задачі; умінь виділяти умову задачі та її запитання, виділяти числові дані і шукане задачі, виконувати схематичний малюнок до задачі, свідомо обирати арифметичну дію, якою розв’язується задача; виконувати розв’язання задачі, відповідати на запитання задачі; оформляти розв’язання задачі.
Розглянемо методику ознайомлення першокласників з поняттям "задача" докладно. По-перше, учні повинні усвідомити складові частини задачі – умову і запитання, зв’язок між умовою і запитанням, навчитися виділяти умову і запитання в текстах задач.
Аналізуючи різноманітні тексти, які містять і умову і запитання, діти впевнюються: щоб отримати задачу, треба, щоб умова була пов’язана із запитанням. Наприклад аналізуємо текст. У класі було 7 хлопчиків і 2 дівчинки. Скільки пташок було на дереві? Пропонуємо дітям розказати умову, розказати запитання. Чи можна цей текст назвати задачею? Чому?
Усвідомлення зв’язку запитання з умовою відбувається й при виконанні завдань на добір запитання до даної умови або на добір умови до даного запитання, а також при виконанні завдань на зміну умови (запитання), щоб вона була пов’язана з даним запитанням (умовою).
Використання таких завдань сприяє не лише засвоєнню структури задачі, але й ставить учнів перед необхідністю аналізувати зв’язки між даними і шуканим, формує вміння вибирати потрібний зв’язок, який дозволяє відповісти на запитання задачі.
Корисним буде ознайомлення дітей з поняттями числові дані й шукане задачі, та навчання виділення числових даних і шуканого. Учні усвідомлюють, що числові дані – це числа, що відомі в задачі, вони містяться в умові, а на шукане число вказує запитання задачі. При роботі над текстом задачі пропонуємо підкреслити умову однією рискою, обвести кружком числові дані і пояснити, що означає кожне числове дане; підкреслити запитання двома рисками і пояснити, що означає шукане. Для чіткого розуміння і виділення в тексті задачі даних та шуканого корисні задачі із зайвими числовими даними та числовими даними, яких бракує.
Засвоєнню структури задачі сприяють завдання на аналіз різних конструкцій задачі, коли частина умови міститься в запитанні, коли запитання стоїть перед умовою тощо.
На підставі сформованих уявлень про задачу, її структуру, а також уміння встановлювати взаємозв’язки між умовою і запитанням формується вміння аналізувати, а потім інтерпретувати текст задачі (моделювати різноманітні текстові конструкції на рівні схем, виразів, рівностей) і здійснювати переклад одних моделей у інші. З цією метою використовуються прийоми вибору. На етапі ознайомлення учні поки що не розв’язують самостійно задачі, їм пропонуються завдання на вибір виразу, який відповідає тексту задачі.
У процесі аналізу схем, математичних записів з метою "вибору" у дітей формується вміння читати текст задачі (виділяти умову, запитання, встановлювати взаємозв’язки між ними), а також накопичується досвід у перекладі одних моделей у інші (як словесної в схематичну, математичну, так і навпаки), але центральне місце при виконанні таких завдань належить опрацюванню обґрунтування вибору арифметичної дії.
При виконанні подібних завдань учні знайомляться з тим, що вибір арифметичної дії залежить від певних слів-ознак, які містяться в тексті задачі. Так, зі словом "всього" або "було-стало" пов’язане співвідношення додавання, зі словом "було-залишилося" – співвідношення віднімання, зі словами "на... більше (менше)" – співвідношення різницевого порівняння.
Моделювання задачного формулювання є однією з домінуючих евристик, що сприяє самостійному розв’язанню задачі, тому певну увагу слід приділити складанню схематичного малюнка до задачі.
Ознайомлення з порядком роботи над задачею та записом її розв’язання. Наприклад пропонуємо: 1) склади задачу за малюнком; 2) розв’яжи задачу, міркуючи за пам’яткою.




На етапі закріплення основним видом завдань є розв’язання задач. Метою даного етапу є засвоєння саме порядку роботи над задачею з опорою на текст пам’ятки. Треба зазначити, що робота над задачею проводиться фронтально: вчитель ставить запитання, а учні на них відповідають. Запитання вчителя конструюються так, щоб вони відтворювали завдання пам’ятки №1.
У багатьох школах учні в 1-му класі виконують короткий запис задачі, але це викликає в них певні труднощі. Справа в тому, що складання короткого запису слід спеціально навчати дітей. Розглянемо методику навчання першокласників складання короткого запису.
На цьому етапі уміння визначати об’єкт (об’єкти) задачі набуває подальшого засвоєння: учні переказують задачу, з’ясовують, про що в ній говориться, і виділяють об’єкт або об’єкти задачі. Нагадаємо, що об’єктом задачі може бути предмет, явище, подія, процес. З об’єктом задачі пов’язані ключові слова, при чому ключовими словами можуть бути діючі особи (наприклад, Сашко та Микола). Якщо в сюжеті задачі відбуваються якісь дії з об’єктом задачі, то ключовими словами будуть характеристики цієї події (наприклад, "було", "витратили", "залишилось"). Для визначення ключових слів ми пропонуємо наступну пам’ятку:
Пам’ятка
Про що розповідається в задачі?
Чи є в задачі кілька діючих осіб? Це ключові слова!
Або
3) Що відбувається по сюжету задачі? Що було спочатку? Що зробили потім? Що сталося нарешті? Це ключові слова!
Учням потрібно надати можливі зразки коротких записів, для того, щоб вони знайомилися з опорними схемами простих задач, які будуть застосовуватись у якості матеріальних опор при самостійному складанні короткого запису до задачі. Незважаючи на те, що вводиться поняття короткого запису, діти ще продовжують записувати задачу в три рядки і працюють над нею за пам’яткою № 1.
Нова форма запису задачі. Після того, як учні усвідомили процес складання короткого запису задачі, змінюється форма запису – задача записується не в три рядки, як це було раніше, а виконується стандартний запис: записується слово "Задача", під ним зліва робиться короткий запис, праворуч від нього виконується схематичний малюнок. У наступному вільному рядку в центрі записується слово "Розв’язання", під яким ліворуч – рівність, а нижче – слово "Відповідь" і саме речення, яке і є відповіддю на запитання задачі.
Особливості методичних підходів до навчання молодших школярів розв'язанню складених задач.
Під складеною задачею розуміють таку задачу, на запитання якої не можна відповісти відразу, виконавши одну арифметичну дію; для розв’язання складеної задачі треба виконати дві і більше арифметичні дії.
Для класифікації складених задач немає єдиної основи, тому їх можна поділити на дві групи. До першої групи відносяться складені задачі, які містять різноманітні поєднання відомих видів простих задач, крім співвідношення залежності між значеннями різних величин. Ці задачі можна записати коротко схематично, причому на цьому короткому записі майже завжди можна виділити складові прості задачі.
До другої групи відносяться задачі, в яких явища, що описуються, характеризуються кількома взаємопов’язаними величинами, тобто містять співвідношення залежності між значеннями різних величин. Короткий запис таких задач доцільніше подавати у формі таблиці.
Складені задачі першої групи можна класифікувати за назвою простої задачі, що має розв’язуватися останньою. Отже, існують такі види складених задач: задачі на знаходження остачі (різниці); задачі на знаходження суми; задачі на знаходження невідомого доданка; задачі на знаходження невідомого зменшуваного; задачі на знаходження невідомого від’ємника; задачі на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць; задачі на різницеве порівняння; задачі на знаходження добутку; задачі на знаходження частки; задачі на збільшення або зменшення числа в кілька разів; задачі на кратне порівняння; задачі на знаходження дробу від числа; задачі на знаходження числа за його дробом.
Другу групу складених задач (задачі, що містять пропорційні величини) доцільно розділити на дві підгрупи:
задачі, що містять знаходження суми, різницеве чи кратне порівняння: на знаходження суми двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на знаходження суми двох добутків (часток); на різницеве порівняння двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на різницеве порівняння двох добутків (часток); задачі на кратне порівняння двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на кратне порівняння двох добутків (часток); задачі, які містять різницеве (кратне) відношення;
"типові" задачі:
задачі, що містять однакову (сталу) величину (задачі на знаходження четвертого пропорційного, задачі на пропорційне ділення, задачі на знаходження невідомих за двома різницями, задачі на подвійне зведення до одиниці);
задачі на процеси ( задачі на спільну роботу, задачі на рух).
Розв’язування задачі є складним процесом розумової діяльності людини, який спрямований на перетворення об’єкта, що описаний у змісті задачі, на вирішення суперечності між умовою та вимогою задачі. Здебільшого методисти визначають чотири етапи процесу розв’язування як простої, так і складеної сюжетної задачі:
ознайомлення з задачею, аналіз тексту задачі;
пошук розв’язування задачі;
реалізація плану розв’язування задачі; запис розв’язання і відповіді;
робота над задачею після її розв’язання.
Діяльність з розв’язування задач може здійснюватися як алгоритмічним, так і евристичним способом. Якщо учень виконує приписи, то в цьому випадку здійснюється алгоритмічний спосіб діяльності з розв’язування задач, який характеризується тим, що учень здійснює власну діяльність у відповідності з відомим йому алгоритмом. Якщо, розпочинаючи розв’язання математичної задачі, учень не має орієнтувальної основи для своїх дій, то він її відшукує, виконуючи евристичну діяльність. Така діяльність здійснюється за допомогою особливих прийомів – евристик.
Вченими доведено, що домінуючою евристикою при розв’язуванні задач є моделювання як задачної ситуації (побудову допоміжних моделей – предметних, схематичних, словесних), так і процесу її розв’язування (схеми аналітичного і синтетичного розбору задачі, "дерева міркувань"), тому що саме воно забезпечує необхідне орієнтування в задачній ситуації.
Незалежно від способу (алгоритмічного чи евристичного) діяльність учнів із розв’язування задач являє собою реалізацію основних етапів щодо виконання певних дій. Перш ніж розглядати дії, за допомогою яких реалізуються етапи розв’язування задачі, необхідно акцентувати увагу на правильному розумінні таких висловлювань:
розв'язати задачу означає встановити (розкрити, відшукати, побачити, пояснити) зв'язки між даними і шуканим числами, на основі чого дібрати потрібні арифметичні дії та їх порядок виконання, знайти результати дій, а потім відповісти на запитання задачі. Відповідь задачі не відгадується, а знаходиться при виконанні потрібних дій (операцій). Для знаходження шуканого числа треба вміти пояснити (розказати), які дії і над якими числами варто виконати, в якому порядку і чому саме такі відповіді на запитання задачі;
розв'язування задачі – це процес, робота, яка включає ознайомлення з текстом задачі, роздуми (міркування) над її розв'язанням, запис чи формулювання дій та відповідей.
розв'язання задачі – це запис (формулювання) порядку арифметичних дій, за допомогою яких знаходиться відповідь до задачі.
розв'язок – відповідь на запитання задачі (а ще розв'язком називають числове значення шуканої величини).
1.Ознайомлення з задачею. Аналіз тексту задачі.
Ознайомитися – це означає, прочитавши формулювання задачі, уявити собі життєву ситуацію, яка відображена в ній. Проаналізувати текст задачі – це означає виділити умову і запитання; визначити величини, що входять до задачі (дані та шукані), встановити зв’язки між ними.
ІІ. Пошук розв’язування задачі
Пошук розв’язування задачі арифметичним способом може здійснюватися від запитання задачі до числових даних, тобто аналітично, або від числових даних задачі до її запитання – синтетично.
У практиці навчання застосовуються обидва шляхи, але переваги належать синтетичному методу, оскільки аналітичний у чистому вигляді більш складний для учнів. Синтетичний метод для дітей простіший, але застосування його може створювати додаткові проблеми; аналітичний - більш цілеспрямований щодо складання плану розв'язування задачі, тут треба мати на увазі не одну якусь дію, а хід міркування в цілому.
С.Є. Царьова розглядає пошук розв’язування задачі не лише як міркування "від запитання задачі до числових даних" або "від числових даних до запитання", а й як знаходження різних шляхів розв’язування задачі: пошук за предметною або графічною моделлю (цей спосіб реалізується в системі розвивального навчання Д.Б. Ельконіна та В.В. Давидова), пошук за допомогою відокремлення словесного завдання математичних відношень і перекладу їх на мову виразів (створення структурних моделей за Л.М. Фрідманом).
Для складених задач пошук розв’язування задачі завершується складанням плану розв’язування, в якому обговорюється, про що треба дізнатися першою дією, другою дією, і так далі
ІІІ. Здійснення плану розв’язування задачі. Запис розв’язання і відповіді.
Далі здійснюється власне розв’язання: знаходження результатів кожної з намічених арифметичних дій та встановлення змісту отриманого числа або знаходження значення числового (числових) виразу (виразів) при арифметичному способі розв’язування задачі. Таким чином, відбувається третій етап процесу роботи над задачею.
ІУ. Робота над задачею після її розв’язання
Робота над задачею після її розв’язання полягає в перевірці правильності розв’язку. Перевірка розв’язання сюжетних задач може бути прямою або непрямою, у свою чергу кожна з них може бути повною або неповною. Пряма повна перевірка розв’язання задачі полягає в тому, щоб впевнитися у виконанні всіх умов задачі при знайденому (знайдених) значенні шуканого. Неповна перевірка полягає в тому, що перевіряються не всі умови, а лише деякі.
Непряма перевірка проводиться за допомогою складання і розв’язування оберненої задачі. Обернена задача складається шляхом обміну ролями одного з шуканих з якимось із даних, тобто знайдене значення одного з шуканих приймають за дане, а інше з даних вважають шуканим. Якщо в результаті розв’язання оберненої задачі отримують значення, що збігається з обраним даним, то це свідчить, що задача розв’язана правильно.
Непряму перевірку можна здійснити, розв’язавши задачу іншим способом. Якщо задачу можна розв’язати іншим способом, то отримання однакових результатів підтверджує, що задача розв’язана правильно.
Цікавий підхід до відшукування різних арифметичних способів розв’язування задачі запропоновано А.К. Артьомовим. Цей підхід передбачає переформулювання запитання задачі; добір допоміжного запитання; виявлення прихованих логічних основ задачі; наочне оформлення задачі.
У початкових класах застосовуються такі способи прямої перевірки правильності розв’язання:
Встановлення відповідності між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі, і даними числами . При перевірці розв’язання задачі таким способом виконуються арифметичні дії над числом, яке було отримане у відповіді на запитання задачі (якщо при цьому отримаємо число, що дано в умові, тоді задача розв’язана правильно). Наприклад, розв’язується задача: "Мама купила по однаковій ціні 3 кг яблук та 2 кг груш. За всю покупку вона заплатила 15 гривень. Скільки окремо коштують яблука та окремо коштують груші?". Отримуємо відповідь, що яблука коштують 9 гривень, а груші – 6 гривень. Додавши отримані числа (9 + 6 = 15 гривень), маємо число, яке дано в умові задачі. Отже, задачу розв’язано правильно.
Орієнтовна оцінка відповіді (встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень). Цей спосіб полягає в тому, що до початку розв’язання задачі встановлюється область значень шуканого числа, тобто визначається більшим або меншим якогось із даних чисел повинно бути шукане число. Після розв’язання задачі перевіряється, чи відповідає отриманий результат встановленій області значень (тоді задачу, можливо, розв’язано правильно), чи ні (тоді розв’язання неправильне)). Цей засіб допомагає виявити помилковість розв’язання і має поєднуватися з іншими способами перевірки.
Виявлення недоліків проведеного розв’язання, пошуки кращого розв’язання, встановлення і закріплення в пам’яті учнів тих прийомів і способів, які були застосовані в даному розв’язанні, виявлення умов можливості застосування цих прийомів і способів – усе це й сприяє перетворенню розв’язування задачі в могутній навчальний та виховуючий засіб. При обговоренні проведеного розв’язання корисно у деяких випадках встановити можливість узагальнення даної задачі, виявити її особливості, зіставити розв’язання даної задачі з раніш розв’язаними тощо.






















































Десятки
Одиниці














5


1





















































































































































































































































































































Чому в другому стовпчику спочатку віднімали 1?

Пригадайте суми, значення яких дорівнює 11. Це допоможе вам правильно обчислювати значення різниць із зменшуваним від 11. Обчисліть значення різниць.

Знаючи, що 11-це 10 + 1, віднімайте від 10 число, а потім до результату додавайте 1.









































427
+ 358
785

423
- 257
166

235 540
+425 - 126

237 542
+526 -126

453 909
+ 351 - 126

529 512
+ 299 -126

427
+ 368
795

427 1427
+ 368 + 2368
795 3795

427 1427 21427 321427
+ 368 + 2368 +32368 + 132368
795 3795 53795 453795

58769
+ 6458
65227

Мені відомо
Треба дізнатися
Пояснюю розв’я-
зання
Розв’язую
Відповідаю



Аналогічно виконують додавання і віднімання з іменованими числами, поданими в одиницях вимірювання маси, вартості, часу .

427
+ 358
785

423
- 257
166

235 540
+425 - 126

237 542
+526 -126

453 909
+ 351 - 126

529 512
+ 299 -126

а : в : с
а : ( в . с )
а : с : в


а : с . с
( а . в ) : с
в : с . а


а . с . с
( а . в ) . с
в . с . а


(а + в) . с = а . с + в . с

с . (а + в) = с . а + с . в

(а + в) : с = а : с + в : с
якщо с 13 EMBED Equation.3 14150, та а і в
ділиться націло на с.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415






№2
13 . 9
14 . 5
13 . 3
38 . 4
12 . 8
13 . 7
24 . 6
11 . 7

№1
(6 + 7) . 9
(10 + 4) . 5
(4 + 9) . 3
(30 + 8) . 4
(2 + 10) . 8
(8 + 5) . 7
(20 + 4) . 6
(6 + 5) . 7


Наприклад:
64 : 16 = , . 16 = 64
4, 9
4 . 16 = 64, 64 = 64
64 : 16 = 4, тому що 4 . 16 = 64

7158
х 6
42948

Ділення починаємо з вищого розряду: у вищому розряді 1 тисяча; 1 тисячу не можна поділити на 2, щоб отримати хоч би 1 тисячу. Тому переходимо до наступного розряду. Отже, перше неповне ділене – 13 сотень. Оскільки перше неповне ділене сотні, то найвищій розряд частки – сотні. Щоб записати сотні треба 3 цифри, тому в частці буде 3 цифри. Ділимо перше неповне ділене 13 сот. на 2, в частці записуємо на місці тисяч цифру 6.


7108
х 6
42648

5648 ! 8
56 706
4
0
48
48
0

5648 ! 8
56 706
48
48
0

380 8400 69000
х 9. х 7 х 4......
342 д. 588 с. 276 т.
3420 58800 276000

3330 ! 9
27 370
63
63
0
0
0



672 672
х 23 х 423
2016 – І неповний добуток 2016– І неповний добуток
1344 – ІІ неповний добуток 1344 – ІІ неповний добуток
15456 – добуток 2688 – ІІІ неповний добуток
284256 – добуток









РОЗВ’ЯЗАННЯ

ВІДПОВІДЬ

6

2

?











6
.
2
=
.















.








·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 23700058
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий