Матричная алгебра


Матричная алгебра. Введение
Матричная алгебра или матричное исчисление – раздел математики, посвященный работе с матрицами – одним из самых важных, употребительных и содержательных понятий в математике.
Матрицы – это, образно говоря, кирпичи и строительные блоки для построения и использования различных алгоритмов и математических моделей. С помощью матричного аппарата легко и удобно производить различные действия при решении задач линейной алгебры, системного анализа, динамики и прочности машин и механизмов, теории управления, экономики, статистики и других областей науки и знания, в том числе, решая системы линейных уравнений, производя векторные и линейные преобразования, используя теорию операторов и т.д. Сейчас даже трудно себе представить области, где бы не применялись матричные методы при решении различных задач.
В данном разделе в краткой форме изложены основные свойства, действия и методы работы с числовыми матрицами.
Основные определения
Система из mn чисел (действительных, комплексных), или функций, или других объектов, записанная в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов:

называется матрицей.
Числа (функции, другие объекты) , составляющие матрицу (1), называются элементами матрицы. Здесь первый индекс  i  обозначает номер строки, а второй  j  – номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент матрицы.
Для матрицы (1) существует сокращенная запись:

или просто. В этом случае говорят, что матрица А имеет размерность m×n. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n. Еслито матрица называется прямоугольной.
Матрица размерности 1×n называется вектором-строкой, а матрица размерности m×1– вектором-столбцом. Обычное число (скаляр) можно считать матрицей размерности 1×1.
Если квадратная матрица имеет вид:

то она называется диагональной.
Если в диагональной матрице (2) все диагональные элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается:

Используя символ Кронекера:

можно записать 
Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой и обозначается 0.
Элементы квадратной матрицы  n-го порядкаобразуют так называемую главную диагональ матрицы.Сумма элементов главной диагонали называется cледом (Trace, Spur) матрицы:

С квадратной числовой матрицей связано понятие определитель (детерминант):

Матрица и ее определитель разные (хотя и связанные) понятия. Числовая матрица А – это упорядоченная система чисел, записанная в виде прямоугольной таблицы, а ее определитель  det A – это число, равное:

где сумма (4) распространяется на возможные перестановки элементов 1, 2,.., n и, следовательно, содержит n! слагаемых, причем k = 0, если перестановка четная и  k = 1, если перестановка нечетная.
П р и м е р .  Вычислить определитель матрицы

Р е ш е н и е .  Согласно (3) имеем:

Транспонированная матрица
Замена в матрице размерности  m×n
строк соответственно столбцами, дает так называемую транспонированную матрицу размерности  n×m :
В частности, для вектора-строкитранспонированной матрицей является вектор-столбец

Основные свойства транспонированной матрицы:
1) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной:

2) транспонированная матрица суммы матриц равна сумме транспонированных матриц слагаемых, то есть 

3) транспонированная матрица произведения матриц равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

Для квадратной матрицы имеет место очевидное равенство:

Если матрица совпадает со своей транспонированной

то она называется симметрической. Из последнего равенства следует, что симметрическая матрица является квадратной, и ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой: 
Очевидно, что произведение является симметрической матрицей, так как, используя свойство 3, получим:

П р и м е р .  Даны матрица А и транспонированная матрица  :

Вычислить произведения
Р е ш е н и е .

Как и следовало ожидать, получены симметрические матрицы.
Обратная матрица
Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной. 
Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.
Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.
Алгебраическим дополнением элементаматрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i-ой строки и  j-го столбца матрицы А: 

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы. Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица   является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р .  Вычислить матрицу, обратную данной:

Р е ш е н и е . Определитель матрицы  А равен:

Следовательно, матрица  А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:

Разделив все элементы присоединенной матрицы Ã на Δ = 1, получим обратную матрицу :

Проверим, что действительно, 

Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.
Степени матриц
Пусть А – квадратная матрица и n – натуральное число. Тогда n-ой степенью матрицы А называется:

Кроме того, считается, что

где Е – единичная матрица.
Если матрица А неособенная (невырожденная), то можно ввести отрицательную степень матрицы:

Для степеней матрицы с целыми показателями имеют место следующие правила:
Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем  АВ = ВА, то имеет место формула бинома Ньютона:

П р и м е р  [1] .  Найти

Р е ш е н и е .

Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу:

Если выбрать в этой матрице произвольным образом  k  строк и  k  столбцов, где k ≤ min (m, n), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k . Определитель этой субматрицы называется минором k-го порядка матрицы А.
Ранг матрицы – это максимальный порядок не равного нулю минора матрицы.
Иными словами, ранг матрицы А равен r, если:
1) существует хотя бы один минор r-го порядка матрицы А, не равный нулю;2) все миноры порядка  r +1 и выше равны нулю или не существуют.
Ранг нулевой матрицы (матрицы, состоящей из нулей) считается равным нулю.
Разность  min (m, n) – r называется дефектом матрицы. Если дефект матрицы равен нулю, то матрица имеет максимально возможный ранг.
П р и м е р .  Определить ранг матрицы

Р е ш е н и е .  Левый минор четвертого порядка данной матрицы равен
 
Следовательно, ранг матрицы равен 4.
Клеточные матрицы
Рассмотрим некоторую матрицу А и разобьем ее на матрицы более низкого порядка:

которые  называются клетками или блоками.
Здесь клетками (блоками) являются матрицы:

Теперь матрицу А можно рассматривать как клеточную или блочную:

элементами которой являются клетки (блоки).
Очевидно, что разбиение произвольной матрицы на клетки (блоки) может быть выполнено различными способами. В частном случае клеточная матрица может оказаться квазидиагональной:

где клетки – квадратные матрицы (вообще говоря, разных порядков), а вне клеток стоят нули.
Отметим, что 
Клеточные матрицы одной и той же размерности и с одинаковым разбиением называются конформными.
Действия над клеточными матрицами осуществляются по тем же правилам, что и над обычными матрицами.
1. Сложение и вычитание клеточных матриц
Пусть имеются две конформные клеточные матрицы:

где p = r, q = s и клетки одинаковой размерности. Тогда

Аналогично выполняется вычитание клеточных матриц.
2. Умножение клеточных матриц
Умножение клеточной матрицы на число (скаляр)
Пусть А – клеточная матрица и  h – число, тогда имеем:

Умножение клеточных матриц
Рассмотрим две конформные клеточные матрицы:

причем   q = r .
Пусть все клетки  такие, что число столбцов клетки  равно числу строк клетки  (Например, очевидно, что это имеет место в частном случае, когда все клетки – квадратные  матрицы и имеют одинаковый порядок). Тогда легко показать, что произведение матриц А и В – тоже клеточная матрица:

где то есть умножение клеточных матриц аналогично умножению числовых [2].
П р и м е р . Перемножить клеточные матрицы

Р е ш е н и е .

Треугольные матрицы
Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Например, матрица

где  является верхней треугольной матрицей, а матрица

где является нижней треугольной матрицей.Диагональная матрица является частным случаем треугольной матрицы (как верхней, так и нижней). Очевидно, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то есть в наших примерах:

Поэтому треугольная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля.
Сумма и произведение треугольных матриц одной и той же размерности и одинаковой структуры (то есть, обе – верхние, или обе – нижние) являются также треугольными матрицами той же размерности и структуры.
Обратная матрица невырожденной треугольной матрицы – также треугольная матрица той же размерности и структуры. Исходя из этого, обращение треугольной матрицы не вызывает никаких затруднений.
Элементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений [1].
К элементарным преобразованиям относятся:
1)  перестановка двух строк (столбцов);
2)  умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3)  сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг. 
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований
С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:

где  ≠ 0.
Тогда можно вынести множитель:

теперь, вычитая из элементов j-го столбцасоответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим определитель:

который равен: где


Затем повторяем те же действия для  и, если все элементы то тогда окончательно получим:

Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы втак, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что). Тогда знак соответствующего определителя равен.
П р и м е р . С помощью элементарных преобразований привести матрицу

к треугольному виду.
Р е ш е н и е . Сначала умножим первую строку матрицы на 4, а вторую на (–1) и прибавим первую строку ко второй:

Теперь умножим первую строку на 6, а третью на (–1) и прибавим первую строку к третьей:

Наконец, умножим 2-ю строку на 2, а 3-ю на (–9) и прибавим вторую строку к третьей:

В результате получена верхняя треугольная матрица 
Пример. Решить систему линейных уравнений, используя матричный аппарат:

Р е ш е н и е. Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:

где

Решение данной системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:

где  – матрица, обратная к матрице А.
Определитель матрицы коэффициентов А равен:

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу .
Сначала найдем присоединенную матрицу  Ã, которая в данном примере имеет вид:

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы  А.
В нашем случае получим:

Таким образом,

Тогда обратная матрица  равна:

Теперь найдем решение заданной системы уравнений. Так как, то

Таким образом, решение данной системы уравнений: 
Литература
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 400 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

Приложенные файлы

  • docx 23699290
    Размер файла: 311 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий