ПОСОБИЕ ПО ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ, МАРТ 13 2010…


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ







ИСАЕВА М.А., МАРТЫНЮК А.Н., МАТВЕЕВ О.А., ПТИЦЫНА И.В.


ВВЕДЕНИЕ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНУЮ ПРОЕКТИВНУЮ ГЕОМЕТРИЮ


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ






















МОСКВА
2010


УДК 513.7
ББК 22.151.3
П - 87



Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета




Исаева М.А., Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В.
Введение в действительную проективную геометрию. Учебное пособие. – М.: Издательство МГОУ, 2010, 135с.

Основой пособия послужили лекции по проективной геометрии, прочитанные авторами на физико-математическом факультете Московского государственного областного университета. Построение всех конструкций в проективном пространстве опирается на схему Германа Вейля. Несмотря на общий стиль изложения авторы стремились подчеркнуть связь проективной геометрии со школьным курсом геометрии, с идеями олимпиадных школьных и студенческих задач.




Рецензенты:
доктор физико-математических. наук, профессор Богданов Д.Л.,
доктор педагогических. наук, профессор Жаров В.К.













СОДЕРЖАНИЕ
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 14
13 LINK \l "_Toc160191483" 14ПРЕДИСЛОВИЕ 13 PAGEREF _Toc160191483 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc160191484" 14ГЛАВА 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФАКТЫ. 13 PAGEREF _Toc160191484 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc160191485" 14§1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование 13 PAGEREF _Toc160191485 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc160191486" 14§2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства 13 PAGEREF _Toc160191486 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc160191487" 14§3. Модели проективного пространства 13 PAGEREF _Toc160191487 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc160191488" 14§4. Понятие проективных координат 13 PAGEREF _Toc160191488 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc160191489" 14§5. Проективные координаты на плоскости 13 PAGEREF _Toc160191489 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc160191490" 14§6. Уравнение прямой на проективной плоскости 13 PAGEREF _Toc160191490 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc160191491" 14§7. Преобразование проективных координат 13 PAGEREF _Toc160191491 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc160191492" 14§8. Принцип двойственности 13 PAGEREF _Toc160191492 \h 14241515
13 LINK \l "_Toc160191493" 14ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 13 PAGEREF _Toc160191493 \h 14251515
13 LINK \l "_Toc160191494" 14§9. Теорема Дезарга 13 PAGEREF _Toc160191494 \h 14251515
13 LINK \l "_Toc160191495" 14§10. Сложное отношение четырех точек прямой 13 PAGEREF _Toc160191495 \h 14301515
13 LINK \l "_Toc160191496" 14§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости 13 PAGEREF _Toc160191496 \h 14321515
13 LINK \l "_Toc160191497" 14§12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости 13 PAGEREF _Toc160191497 \h 14341515
13 LINK \l "_Toc160191498" 14§13. Проективные отображения прямых и пучков 13 PAGEREF _Toc160191498 \h 14361515
13 LINK \l "_Toc160191499" 14§14. Теорема Паппа 13 PAGEREF _Toc160191499 \h 14401515
13 LINK \l "_Toc160191500" 14§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции. 13 PAGEREF _Toc160191500 \h 14411515
13 LINK \l "_Toc160191501" 14§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии. 13 PAGEREF _Toc160191501 \h 14431515
13 LINK \l "_Toc160191502" 14ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 13 PAGEREF _Toc160191502 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc160191503" 14§17. Понятие проективной линии второго порядка 13 PAGEREF _Toc160191503 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc160191504" 14§18. Проективная классификация линий второго порядка. 13 PAGEREF _Toc160191504 \h 14471515
13 LINK \l "_Toc160191505" 14§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка. 13 PAGEREF _Toc160191505 \h 14481515
13 LINK \l "_Toc160191506" 14§20. Полюс, поляра, поляритет. 13 PAGEREF _Toc160191506 \h 14501515
13 LINK \l "_Toc160191507" 14§21. Теорема Штейнера. 13 PAGEREF _Toc160191507 \h 14531515
13 LINK \l "_Toc160191508" 14§22. Теоремы Паскаля и Брианшона . 13 PAGEREF _Toc160191508 \h 14551515
§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона .5813 LINK \l "_Toc160191508" 14 15 Связь между проективными и аффинными координатами.
Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения 63
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ..66
13 LINK \l "_Toc160191509" 14Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3 1566
Задачи с решениями ко всему курсу .82
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ .108
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 .....109
13 LINK \l "_Toc160191510" 14ЛИТЕРАТУРА 15133

15
Основные результаты и даже большая часть методов проективной и неевклидовой геометрии для геометра так же необходимы, как дифференциальное и интегральное исчисление для аналитика. Г. Буземан, П. Келли

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем учебном пособии авторы не ставят перед собой грандиозной задачи объять необъятное, при подборе материала для изложения использовались лишь самые чистые источники проективной премудрости. В целях экономии места и, главное, усилий вдумчивого читателя некоторые красивые цепочки теорем представлены основными фактами без достаточного обоснования, но со ссылками на соответствующую литературу.
Основой вводного курса в проективную геометрию послужили лекции, прочитанные авторами на физико-математическом факультете Московского государственного областного университета. Построение общих конструкций нашего изложения основывается на определении проективного пространства в схеме Германа Вейля. От читателя требуется знать элементы линейной алгебры, то есть понятие конечномерного векторного пространства над полем действительных чисел, разложение вектора по базису, исследование систем линейных уравнений, определители второго и третьего порядков. Также необходимо знакомство с аффинными прямой, плоскостью, и многомерным пространством.
Обсуждая первичные понятия и определения, стараясь донести до студента главное в короткое аудиторное время, авторы стремились подчеркнуть связь проективной геометрии со школьным курсом геометрии, с идеями олимпиадных школьных и студенческих задач.
Большое внимание уделялось подбору и решению задач, часть из них оставлена без решений преднамеренно в целях активизации читателей. Подготовленный и искушенный геометр может сразу же перейти ко второй главе, где, как нам кажется, можно вновь испытать счастливые моменты сопереживания с классиками.
Авторский коллектив выражает благодарность, признательность и почтение инициатору этого проекта, знатоку и тонкому ценителю проективной геометрии, профессору, доктору физико-математических наук, заслуженному деятелю науки Российской Федерации Мантурову Олегу Васильевичу.
В работе над оформлением этого пособия приняли участие Щурова Альбина Николаевна и Солдатенков Роман Михайлович.

- «Неужели это новая вселенная?» - «Нет, это добрая, старая галактика наших предков» Из космических диалогов.

ГЛАВА 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФАКТЫ.
§1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
К первой половине девятнадцатого века проективная геометрия сформировалась как самостоятельная дисциплина, объектом изучения которой стали свойства фигур и связанных с ними величин, инвариантные (не изменяющиеся) относительно того или иного проектирования. Исторически понятие проективной плоскости было создано для того, чтобы избавиться от необходимости различать случаи параллельных и пересекающихся прямых.
Становление и развитие проективной геометрии связано с именами Понселе (1788-1867), Шаля (1793-1880), Штейнера (1769-1863), Штаудта (1798-1867).
К концу девятнадцатого столетия стало ясно, что в рамках проективной геометрии создана глубокая и содержательная теория, включающая в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.
В действительном трехмерном евклидовом пространстве рассмотрим две плоскости 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, а также точку О, не лежащую на этих плоскостях (рисунок 1). Произвольной точке М из первой плоскости сопоставим точку M( пересечения прямой ОМ с плоскостью 13EMBED Equation.31415, M( - проекция точки М на плоскость 13EMBED Equation.31415 из центра О. Установленное таким образом соответствие между точками двух плоскостей называется центральным проектированием.
Перемещая центр проектирования в пространстве, и, изменяя положение плоскости 13EMBED Equation.31415 для одной и той же фигуры на неподвижной плоскости 13EMBED Equation.31415, получаем различные проекции, при этом многие свойства исходной фигуры изменяются. Так, например, не сохраняются длины отрезков, а также величины углов, нарушается, вообще говоря, параллельность прямых. Проектируя окружность, можно получить эллипс, параболу или гиперболу. Однако, проекции трех точек, лежащих на прямой, также принадлежат одной прямой (но свойство точки лежать между двумя другими не является проективным), проекцией линии второго порядка является линия второго порядка.

Задача 1. Докажите, что при центральном проектировании между двумя пересекающимися плоскостями трехмерного евклидова (аффинного) пространства устанавливается не взаимно однозначное соответствие.





























§2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
Следующее определение проективного пространства принадлежит немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955).
Определение. Пусть Vn+1 – векторное пространство n+1 измерений над полем R действительных чисел, а V* – множество всех ненулевых векторов этого пространства, V* = Vn+1\{0}. Непустое множество Pn – называется проективным пространством n измерений (порожденным векторным пространством Vn+1), если задано отображение f : V*13EMBED Equation.31415 Pn, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного пространства):
1. Отображение f – сюръективно, (т.е. любой элемент из Pn имеет хотя бы один прообраз).
2. Равенство f(x) = f(y) выполняется тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.
Элементы множества Pn называются точками проективного пространства и обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, ,X, Y, . Если f(x) =X, то говорят, что вектор x порождает точку X. Из аксиомы 2 следует, что множество всех векторов пространства V*, порождающих одну точку, есть одномерное векторное подпространство без нулевого вектора.
Так как неколлинеарные векторы порождают различные точки, то действительное проективное пространство n измерений содержит бесконечное множество точек.
Замечание. Вместо поля R можно взять любое другое поле К. Можно показать, что если поле К конечно, то полученное n-мерное проективное пространство Pn(K) будет состоять лишь из конечного множества точек. Кроме того, если поле заменить телом, или даже просто кольцом, то можно построить содержательную и интересную теорию.
В дальнейшем мы будем изучать в основном свойства действительного проективного пространства двух и трех измерений.
Пусть P3 – проективное пространство трех измерений, а V4 – четырехмерное векторное пространство над полем действительных чисел, которое порождает проективное пространство P3. Рассмотрим векторное подпространство Lk k измерений пространства V4, где k = 2, 3. Множество всех точек из P3, которые порождаются ненулевыми векторами подпространства Lk, называется прямой, если k = 2, и плоскостью, если k = 3. Говорят, что подпространство Lk порождает прямую (плоскость). Прямые будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c,, а плоскости – малыми буквами греческого алфавита: 13EMBED Equation.31415
Так как подпространство Lk содержит бесконечное множество попарно неколлинеарных векторов, а неколлинеарные векторы порождают различные точки, то каждые действительные проективные прямая и плоскость являются бесконечными множествами точек.
Нетрудно доказать, что в трехмерном проективном пространстве существуют тройки точек, не лежащие на одной прямой, и четверки точек, не лежащие в одной плоскости.
В самом деле, пусть a, b, c, d – базис векторного пространства V, а A, B, C и D – точки, которые порождаются этими векторами. Тогда точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, а любые три из этих четырех точек не лежат на одной прямой. Докажем, например, что точки A, B и С не лежат на одной прямой. Предположим противное, то есть что эти точки лежат на некоторой прямой, порожденной двумерным векторным подпространством L2. Тогда векторы a, b и с принадлежат L2. Но это невозможно, так как эти векторы линейно независимы, и поэтому не могут быть компланарны (то есть быть параллельными одной плоскости).
Рассмотрим свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей трехмерного пространства.
10. Через любые две различные точки А и В проходит одна и только одна прямая.
Пусть a и b – векторы, которые порождают точки А и В. Эти векторы не коллинеарны, так как А и В – различные точки. Рассмотрим двумерное векторное подпространство L2 (a, b) порожденное этими векторами. (Любой вектор из L2 является линейной комбинацией векторов a и b). Прямая l есть образ подпространства L2 (a, b) и, очевидно, проходит через точки А и В.
Докажем теперь, что l – единственная прямая, проходящая через точки А и В. Допустим, что l( – прямая, проходящая через точки A и B, а (L2)( – двумерное подпространство, которое порождает прямую l(. Так как точки А и В принадлежат l(, то векторы а и b принадлежат L(, и поэтому L( – подпространство, порожденное векторами a и b. Таким образом, L( и L – одно и то же векторное подпространство, и, следовательно, прямые l( и l совпадают.
Аналогично можно доказать следующие утверждения.
20. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
30. Если две различные точки А и В лежат в плоскости, то и прямая (АВ) лежит в этой плоскости (т.е. каждая точка прямой (АВ) принадлежит плоскости).
Пусть W3 – трехмерное векторное пространство, которое порождает плоскость 13EMBED Equation.31415, a и b – векторы, порождающие точки А и В. При доказательстве свойства 10 мы установили, что подпространство L2 (a, b) порождает прямую (АВ). Так как A13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415, B13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415, то a13EMBED Equation.31415W3, b13EMBED Equation.31415W3, поэтому L2 (a, b)13EMBED Equation.31415W3.
Пусть М – произвольная точка прямой (АВ), m – вектор, порождающий эту точку. Так как m13EMBED Equation.31415L2, то m13EMBED Equation.31415W3. Отсюда следует, что М – точка плоскости 13EMBED Equation.31415
40. Любые различные две проективные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются.
Пусть a и b – две прямые, лежащие в плоскости 13EMBED Equation.31415, а L, L( и W – векторные подпространства, которые порождают соответственно прямые a и b и плоскость 13EMBED Equation.31415. Прямые a и b лежат в плоскости 13EMBED Equation.31415, поэтому L13EMBED Equation.31415W, L(13EMBED Equation.31415W. Так как L и L( – различные двумерные подпространства трехмерного векторного подпространства W, то их пересечением является одномерное векторное подпространство. Ненулевые векторы этого подпространства порождают проективную точку, которая, очевидно, является общей точкой прямых а и b.
Две различные прямые a и b не могут иметь более чем одну общую точку, так как через две различные точки проходит только одна прямая.
Сформулируем без доказательства еще два утверждения.
50. Любая проективная плоскость и не лежащая в ней проективная прямая имеют одну и только одну общую точку.
60. Любые две различные проективные плоскости имеют общую проективную прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Докажем, что любую плоскость трехмерного проективного пространства можно рассматривать как двумерное проективное пространство. В самом деле, пусть 13EMBED Equation.31415 – произвольная плоскость проективного пространства P3. Обозначим через W3 трехмерное векторное подпространство пространства V4, которое порождает эту плоскость, а через W* – множество всех ненулевых векторов подпространства W3. Рассмотрим W3 как самостоятельное трехмерное векторное пространство. Так как W*13EMBED Equation.31415V* и 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415P3, то отображение f : V*13EMBED Equation.31415 P3 порождает отображение f1 : W*13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415, которое каждому вектору x из W* ставит в соответствие точку f(x). Очевидно, отображение f удовлетворяет аксиомам проективного пространства. Действительно, выполнение аксиомы 1 непосредственно следует из определения плоскости, а выполнение аксиомы 2 очевидно: отображение f удовлетворяет этой аксиоме, поэтому и f1 удовлетворяет ей.
Аналогично можно доказать, что любую прямую проективного пространства двух (трех) измерений можно рассматривать как одномерное проективное пространство.
Задача 2. Пусть Z2 – поле вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая P1 над Z2 содержит точно три различные точки.
Задача 3. Доказать, что проективная плоскость P2 над Z2 содержит ровно семь различных точек и ровно семь различных прямых.
Задача 4. Доказать, что на проективной плоскости над произвольным полем существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой.
Задача 5. Сколько различных точек содержит произвольная прямая проективной плоскости P2 над полем Z3 вычетов по модулю 3?
Задача 6. Пусть Zp – поле вычетов по модулю простого числа p. Доказать, что n-мерное проективное пространство Pn(Zp) состоит из 13EMBED Equation.31415 точек.
Задача 7. Сколько точек содержит произвольная прямая n-мерного проективного пространства Pn над полем Zp вычетов по модулю простого числа p?
Задача 8. Каково наименьшее число точек трехмерного проективного пространства P3 над произвольным полем?




























§3. Модели проективного пространства
Рассмотрим математические примеры, подтверждающие корректность определения проективного пространства.
Говорят, что модель проективного пространства Pn обозначена, если Pn задано как множество и построено отображение f : (Vn+1\{0})13EMBED Equation.31415 Pn, удовлетворяющее условиям 1 и 2 определения Г. Вейля.
Проективную геометрию можно изучать в любой из ее реализаций.
1. Рассмотрим арифметическую проективную плоскость. Введем однородные координаты. В действительном векторном пространстве V3 выберем базис e1, e2, e3, тогда любой вектор m13EMBED Equation.31415V3 однозначно раскладывается по базису m1e1+m2e2+m3e3. Можно рассмотреть арифметическое векторное пространство всех упорядоченных троек действительных чисел {[m1, m2, m3]}, которое также будем обозначать V3. Во множестве P2 точкой считаем упорядоченную тройку действительных чисел с точностью до ненулевого множителя. Например, (2,–1, 7) = (–4, 2, 13EMBED Equation.31415). Построим отображение f: (V3\{0})13EMBED Equation.31415P2; [m1, m2, m3]13EMBED Equation.31415(m1, m2, m3). Условия 1 и 2 определения Г. Вейля непосредственно проверяются.
Замечание. Множество P2 является фактор множеством по отношению эквивалентности: две тройки действительных чисел эквивалентны, если одну из другой можно получить умножением на ненулевой множитель. Нулевая тройка не рассматривается.-
2. Рассмотрим действительное (n+1)-мерное аффинное (евклидово) пространство, в котором фиксируем некоторую точку О. Точкой n-мерного пространства Pn будем считать прямую, проходящую через точку О. Ненулевой вектор 13EMBED Equation.31415 порождает единственную прямую, коллинеарную ему и проходящую через точку O.


Аффинное пространство (n+1) измерений порождает векторное пространство Vn+1 (каждый вектор есть направленный отрезок с началом в точке О). Имеем отображение 13EMBED Equation.31415 т.е. построено конкретное множество Pn и конкретное отображение

f :(Vn+1\{0})13EMBED Equation.31415 Pn.

Для каждой прямой, проходящей через точку О, существует ненулевой вектор с началом в точке О, порождающий эту прямую. (На прямой достаточно взять точку М, отличную от точки О; вектор 13EMBED Equation.31415 порождает эту прямую). Таким образом, f – сюръекция. Коллинеарные векторы порождают одну и ту же прямую, проходящую через точку О; обратно, любая прямая порождается коллинеарными векторами. Итак, связка прямых, проходящих через фиксированную точку (n+1)-мерного аффинного пространства, является моделью n – мерного проективного пространства.
3. Расширенная прямая. К аффинной прямой добавим еще одну точку, которую называем бесконечно удаленной, или несобственной. Приведем более подробное разъяснение.



Вложим аффинную прямую d в аффинную плоскость. Фиксируем точку О вне прямой. Как мы уже знаем, связка прямых, проходящих через точку О, есть модель проективной прямой P1. Все прямые, проходящие через точку О, за исключением одной единственной, пересекают прямую d. Будем считать, что две параллельные в обычном смысле прямые, пересекаются в бесконечно удаленной точке 13EMBED Equation.31415 Расширенной прямой 13EMBED Equation.31415 называем прямую d , пополненную несобственной точкой 13EMBED Equation.31415.






4. Расширенная плоскость. Каждую прямую аффинной плоскости пополняем несобственной точкой, так что пучок параллельных прямых пополняется одной бесконечно удаленной точкой. Если прямые не параллельны в обычном смысле, то они пополняются различными бесконечно удаленными точками. Все несобственные точки образуют несобственную прямую.


После окончания процедуры пополнения все точки и все прямые считаем равноправными.

















§4. Понятие проективных координат
Пусть Vn+1 – действительное векторное пространство. Выберем базис в Vn+1: {e1, e2, , en+1}. Произвольный вектор x из Vn+1 однозначно представляется в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = x1e1 + x2e2 + + xn+1en+1 = xiei, i = 1, 2, , n+1

Допустим, что n-мерное проективное пространство Pn порождается Vn+1, т.е. задано сюръективное отображение f : (Vn+1\{0})13EMBED Equation.31415 Pn, переводящее коллинеарные векторы в одну проективную точку.
Определение. Говорят, что упорядоченная система (n+2) точек (A1, A2, , An+1, E) проективного пространства Pn занимает общее положение, если никакие (n+1) точки из них не принадлежат(n-1)-мерному проективному пространству.
При n = 1: Упорядоченная система из трех точек (A1, A2, E) на проективной прямой занимает общее положение, если три точки попарно различны.
При n = 2: Упорядоченная система из четырех точек (A1, A2, A3, E) на проективной плоскости занимает общее положение, если никакие три из них не принадлежат одной прямой.
При n = 3: Упорядоченная система из пяти точек (A1, A2, A3, A4, E) в трехмерном проективном пространстве занимает общее положение, если никакие четыре из них не принадлежат одной плоскости.
Определение. Проективным репером в Pn называется упорядоченная система (n+2) точек общего положения: ( = (A1, A2, , An+1, E). Последняя точка Е репера называется единичной.
Фиксируем некоторый проективный репер ( в Pn. Пусть векторы a1, a2, , an+1, e из Vn+1 порождают точки A1, A2, , An+1, E. Поскольку точки A1, A2, , An+1 не принадлежат проективному пространству размерности n-1, то векторы a1, a2, , an+1 образуют базис в Vn+1, а вектор e представляется в виде линейной комбинации базисных векторов:

e = e1a1+e2a2++en+1an+1.

Введем новые векторы bi = eiai, i = 1, 2, , n+1. Система векторов {bi}13EMBED Equation.31415 также образует базис в Vn+1 , этот базис называется согласованным с репером (. Условие согласования имеет вид:

b1 + b2 + + bn+1 = e
Произвольная точка М проективного пространства может быть порождена ненулевым вектором m = mibi. Координаты вектора m образуют проективные координаты точки M(m1, m2, m3, , mn+1). Таким образом, каждая точка n-мерного проективного пространства имеет (n+1) координат, задаваемых с точностью до ненулевого множителя, причем все проективные координаты точки не могут одновременно обращаться в нуль.
Задача 9. На расширенной плоскости задана расширенная прямая с доступными точками проективного репера ((A1, A2, E). Построить точки M(–1, 1), N(–4, 13EMBED Equation.31415), L(–3, 3) по их проективным координатам.
Задача 10. На расширенной плоскости задана связка прямых с центром в точке О, с фиксированными прямыми a1, a2, e, образующими репер в модели проективной прямой. Построить прямые m(–1, 1), n(–4, 13EMBED Equation.31415), l(–3, 3) по их проективным координатам.
Задача 11. На расширенной прямой задан проективный репер ((A1, A2, E), причем одна из этих трех точек является бесконечно удаленной. Построить точку М по заданным ее координатам.
Задача 12. На расширенной прямой 13EMBED Equation.31415 задан проективный репер ((A1, A2, E), где A1 и A2 – собственные точки, а E – середина отрезка [A1, A2]. Найти координаты несобственной точки 13EMBED Equation.31415 в репере (.
Задача 13. Известно, что для построения точки M(x1, x2) по ее координатам в проективном репере ((A1, A2, E) на расширенной прямой 13EMBED Equation.31415 нужно выбрать на расширенной плоскости, содержащей 13EMBED Equation.31415, точку O13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415, соединить точку О с точками A1, A2, E прямыми, на единичной прямой (ОЕ) выбрать ненулевой единичный вектор е, разложить его по правилу параллелограмма на сумму базисных векторов a1 и a2, лежащих на прямых (ОA1) и (ОA2). Тогда аффинный репер (O, a1, a2) порождает проективный репер ((A1, A2, E). По известным координатам x1 и x2 строим ненулевой вектор m = x1a1 + x2a2, m = 13EMBED Equation.31415, тогда искомая точка M=(OM()13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415. Доказать, что положение точки М на прямой 13EMBED Equation.31415 не зависит от выбора аффинного репера (O, a1, a2).
Задача 14. На расширенной прямой 13EMBED Equation.31415 заданы собственные точки (A1, A2, E) – образующие репер (, в котором собственная точка M13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415, M13EMBED Equation.31415A1 имеет координаты x1, x2. Доказать: 13EMBED Equation.31415
Напоминание: Если простое отношение трех точек (A1, A2, М)=t13EMBED Equation.31415R, то это значит, что =13EMBED Equation.31415, M13EMBED Equation.31415A1.



§5. Проективные координаты на плоскости
Критерий коллинеарности трех точек. Три точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3), заданные их координатами в репере на действительной проективной плоскости, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:
13EMBED Equation.31415

Критерий коллинеарности трех точек на проективной плоскости следует из критерия компланарности трех векторов в трехмерном пространстве: три вектора компланарны (т.е. параллельны одной плоскости), если и только если определитель, составленный из их координат равен нулю.
Рассмотрим подробнее репер на проективной плоскости.






Теорема о координатах проекции точки на координатную прямую.
Если произвольная точка M(m1, m2, m3), не равная A2, задана в репере ((A1, A2, A3, E), то ее проекция M2 из точки A2 на вторую координатную прямую (A1A3) в репере (2(A1, A2, E2) имеет координаты (m1, m3).
Доказательство. Для любой точки X(x1, x2, x3) на (A1A3) имеем согласно критерию
13EMBED Equation.31415

Таким образом, для точки M2 в репере ( вторая координата равна нулю. Пусть точка M2 в репере ( имеет координаты (y1, 0, y3). Применяем критерий для точек A2, M2, M, лежащих на одной прямой:
13EMBED Equation.31415 = – 13EMBED Equation.31415 = 0. y1=pm1, y3=pm3, p13EMBED Equation.314150.

Без ограничения общности, можно положить р = 1. На плоскости рассмотрим, например, аффинный репер (A2, a1, a3), порождающий проективный репер (2(A1, A3, E2) на второй координатной прямой (A1, A3).
В трехмерном аффинном пространстве существует согласованный базис a1, a2, a3, e относительно репера (2(A1, A2, A3, E). Так как точки M2 и E2 имеют, соответственно, координаты (m1, 0, m3), (1, 0, 1) в (, то векторы e2 = a1 + a3, m2 = m1a1 + m3a3 порождают, соответственно, точки E2 и M2.
Задача 15. На расширенной плоскости 13EMBED Equation.31415 задан проективный репер ((A1, A2, A3, E), все четыре точки собственные. Построить следующие точки по их координатам: M(1, 2, 0), N(0, –2, –1), P(1, 2, 1), Q(0, –4, 0).
Задача 16. Пусть единичная точка Е является точкой пересечения медиан (центром тяжести) координатного трехвершинника A1, A2, A3. Построить точку М(1, 1, –1) по ее координатам в проективном репере ((A1, A2, A3, E) на расширенной плоскости 13EMBED Equation.31415.








§6. Уравнение прямой на проективной плоскости
На проективной плоскости P2 выберем репер ((A1, A2, A3, E) и две различные точки B(b1, b2, b3) и C(c1, c2, c3) с определенными координатами в заданном репере. Известно, что необходимым и достаточным условием принадлежности трех точек X(x1, x2, x3), B, C одной прямой является равенство нулю определителя, составленного из координат этих точек.

13EMBED Equation.31415 (1)

Это и есть один из способов написать уравнение прямой (ВС).
Поскольку В и С различные точки, то ранг матрицы

13EMBED Equation.31415 (2)

поэтому вектор-строка (x1, x2, x3) линейно выражается через векторы-строки (b1, b2, b3) и (c1, c2, c3), то есть существуют не равные одновременно нулю числа 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, что
13EMBED Equation.31415 (3)

Мы получили так называемые параметрические уравнения прямой (ВС), где 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 – параметры, при изменении которых меняется положение текущей точки Х на прямой (ВС).
Теорема. Если на проективной плоскости задан репер, то установлено взаимно однозначное соответствие между классами равносильных однородных уравнений первой степени и всеми проективными прямыми.
Доказательство. Раскрыв определитель в левой части равенства (1) по первой строке, имеем

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0, (4)

где u1 = 13EMBED Equation.31415, u2 = 13EMBED Equation.31415, u1 = 13EMBED Equation.31415.
Мы действительно получили однородное уравнение первой степени, поскольку из равенства (2) следует, что все коэффициенты u1, u2, u3 одновременно не могут быть равны нулю. Координаты точек В и С задаются с точностью до ненулевого множителя, поэтому и координаты u1, u2, u3 также определяются с точностью до ненулевого множителя. Если же уравнение (4) умножить на некоторое число р, отличное от нуля, то получим

13EMBED Equation.31415 (4()

Ясно, что уравнения (4) и (4() равносильны.
Обратно, пусть в искомом репере ( на проективной плоскости задано уравнение (4), являющееся однородным и первой степени. Допустим, что u113EMBED Equation.314150 (Если u1=0, то отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов u2 или u3). Точки P(–u3, 0, u1) и Q(–u2, u1, 0) имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (4). Рассмотрим прямую (PQ):

13EMBED Equation.31415 = u1(u1x1 + u2x2 + u3x3) = 0.

После сокращения на u113EMBED Equation.314150 приходим к уравнению (4).
В качестве примера запишем уравнения первой координатной прямой (A2A3): x1 = 0, второй координатной прямой (A1A3): x2 = 0, третьей координатной прямой (A1A2): x3 = 0.
Определение. Коэффициенты уравнения (4) называются координатами прямой.
Т.о., прямая (A2A3) имеет координаты (1, 0, 0), (A1A3) – (0, 1, 0), (A1A2) – (0, 0, 1).
Задача 17. Построить прямую a(1, 2, –2) по ее координатам относительно заданного на расширенной плоскости проективного репера (A1, A2, A3, E).
Задача 18. Доказать, что прямые a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), заданные своими координатами в некотором репере на проективной плоскости, проходят через одну точку тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю, т.е.

13EMBED Equation.31415 = 0
§7. Преобразование проективных координат
Пусть в n-мерном проективном пространстве Pn задано два проективных репера ( = (A1, A2, , An+1, E) и (( = (A(1, A(2, , A(n+1, E(). Пусть некоторая точка М имеет координаты (x1, x2, , xn+1) в репере ( и (y1, y2, , yn+1) в репере ((.
Поставим задачу: найти формулы, выражающие координаты {xi}13EMBED Equation.31415 через {yi}13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим координаты точек репера (( в репере (:

13EMBED Equation.31415

Представляя координаты точек в виде столбцов матрицы, получаем матрицу перехода A от репера ( к реперу ((, имеющую (n +2) столбца и (n+1) строку
A = 13EMBED Equation.31415 (1)

Матрица перехода от репера ( к реперу (( называется согласованной, если сумма первых (n+1) столбцов равна последнему столбцу.
Если матрица перехода от репера ( к реперу (( не является согласованной, то необходимо провести процедуру согласования. Для этого каждый i-ый столбец матрицы (1) умножаем на неопределенный множитель ki. (Напомним, что проективные координаты точек задаются с точностью до ненулевого множителя).
Для определения неизвестных ki, i=1,,n+1, получаем систему линейных уравнений:

13EMBED Equation.31415 (2)

Решением системы (2) являются ненулевые множители k1, k2, , kn+1. Заметим, что система (2) имеет нетривиальное решение, так как её главный определитель отличен от нуля. Умножая каждый столбец матрицы (1) на соответствующий множитель, получаем согласованную квадратную матрицу A( перехода от репера ( к реперу ((

A = (ki13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415 = [(a13 EMBED Equation.3 1415)(]13 EMBED Equation.3 1415

Теперь, последний столбец, составленный из координат единичной точки Е, можно не записывать.
Рассмотрим векторное пространство Vn+1, порождающее проективное пространство Pn. Пусть реперу ( соответствует базис {ai}13EMBED Equation.31415, а реперу (( – базис {a(i}13EMBED Equation.31415. Тогда вектор m = xjaj = x1a1 + x2a2 + + xn+1an+1 порождает точку М. Поскольку векторы m и m( порождают одну и ту же точку, то они коллинеарны. Пусть, например, 13 EMBED Equation.3 1415m = m(, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415R, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150. Векторы a(j, j = 1, , n+1, раскладываются по базису aj:

a(j = (a13 EMBED Equation.3 1415)(ai = (a13 EMBED Equation.3 1415)(a1 + (a13 EMBED Equation.3 1415)(a2 + + (a13 EMBED Equation.3 1415)(an+1
Итак,
13 EMBED Equation.3 1415m = m( 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(xjaj) = yi(ai)( = yi(a13 EMBED Equation.3 1415)(aj

Таким образом, мы получили векторное равенство:

13 EMBED Equation.3 1415(xjaj) = [yi(a13 EMBED Equation.3 1415)(]aj

Поскольку {aj}13EMBED Equation.31415 базис в Pn+1, то имеем 13 EMBED Equation.3 1415xj = yi(a13 EMBED Equation.3 1415)(, j = 1, , n+1. Полагая для краткости (a13 EMBED Equation.3 1415)( = b13 EMBED Equation.3 1415, окончательно имеем

13 EMBED Equation.3 1415xj = b13 EMBED Equation.3 1415yi, j = 1, , n+1. (3)

Это и есть формулы преобразования координат точки проективного пространства n измерений.

Запишем формулы (3) в развернутом виде:

13EMBED Equation.31415 (4)

где действительное число 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150.
Для проективной плоскости P2 формулы (4) имеют вид:

13EMBED Equation.31415 (5)

Аналогично для проективной прямой P1.

13EMBED Equation.31415 (6)

Задача 19. Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера ( = (A1, A2, A3, E) к реперу (( = (A(1, A(2, A(3, E(), если точки A(1 = (1, 0, –1), A(2 = (2, 1, 0), A(3 = (0, 0, 1) заданы своими координатами в репере (, а для точки E( рассмотреть два варианта: а) E((3, 1, 0,), б) E((1, 1, 2).














§8. Принцип двойственности
Отношение взаимной принадлежности точек, прямых и плоскостей в трехмерном пространстве обычно выражается словами: «точка принадлежит прямой», «прямая проходит через точку», «прямая принадлежит плоскости», «плоскость содержит прямую». Введем термин «инцидентность», обозначающий взаимную принадлежность. Будем говорить: «точка инцидентна прямой», «прямая инцидентна точке», «прямая инцидентна плоскости».
Принцип двойственности для проективной плоскости. Если верно некоторое утверждение «А» для точек и прямых, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «А*», в котором слово «точка» заменено словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка».
Например: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.
Двойственное утверждение: Две различные прямые на проективной плоскости имеют единственную общую точку.
Принцип двойственности для проективного пространства. Если верно некоторое утверждение «В» для точек, прямых и плоскостей, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «В*», в котором слово «точка» заменено словом «плоскость», слово «прямая» остается без изменения, а слово «плоскость» заменяется на слово «точка».
Например: Две различные плоскости в трехмерном проективном пространстве имеют единственную общую прямую.
Двойственное утверждение: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.

«Не слишком ли я прямолинеен?» –
подумал червяк и свернулся клубочком.
Из жизни животных.

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§9. Теорема Дезарга
Теорема Дезарга детализирует свойства перспективного расположения трехвершинников. Жерар Дезарг (1593-1662) – французский математик, инженер и архитектор сформулировал свою замечательную теорему в 1636 году в работе, объемом в 12 страниц.
Трехвершинником называется фигура, составленная из трех точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника), и трех прямых попарно соединяющих эти точки (сторон трехвершинника). (Двойственным понятием является трехсторонник, состоящий из трех прямых, не проходящих через одну точку – сторон и трех точек – вершин - попарных пересечений сторон). Говорят, что трехвершинники ABC и A(B(C( имеют центр перспективы Q, если вершины A и A(, B и B(, C и C( лежат на прямых, проходящих через одну точку Q. Трехвершинники ABC и A(B(C( имеют ось перспективы q, если стороны (АВ) и (A(B(), (BC) и (B(C(), (AC) и (A(C() пересекаются в точках, лежащих на прямой q.
Теорема Дезарга. Трехвершинники имеют центр перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы.
Рассматривая рисунок 6, замечаем, что невырожденная конфигурация Дезарга состоит из десяти точек (A, B, C, A(, B(, C(, A((, B((, C((, Q) и десяти прямых ((AA(), (BB(), (CC(), (AB), (AC), (BC), (A(B(), (A(C(), (B(C(), q).
Допустим, что трехвершинники ABC и A(B(C( лежат в одной проективной плоскости и имеют центр перспективы Q = (AA()13 EMBED Equation.3 1415(BB()13 EMBED Equation.3 1415(CC(). Используя метод проективных координат, докажем, что трехвершинники ABC и A(B(C( имеют ось перспективы q. В случае вырождения конфигурации, например, если точка Q лежит на одной из прямых (AB), (AC), (BC), или, если две какие-либо точки совпадают, то утверждение становится очевидным. Рассмотрим невырожденный случай. Пусть никакие три из четырех точек A, B, C, Q не лежат на одной прямой, тогда имеет место проективный репер ( = (A, B, C, Q). Введем в рассмотрение координаты точек A(, B(, C( в этом репере. Точка A( принадлежит прямой (QA). Точка Q – единичная точка репера (, Q(1, 1, 1), точка A – первая точка репера, A(1, 0, 0). Составим уравнение прямой (QA):

13 EMBED Equation.3 1415 = –x2 + x3 = 0

Если точка A( не совпадает с точкой A, то можно положить A((a, 1, 1), где a – некоторое действительное число. Аналогично обозначим B((1, b, 1), C((1, 1, c); b, c13 EMBED Equation.3 1415R. Заметим, что a 13 EMBED Equation.3 1415 1, b 13 EMBED Equation.3 1415 1, c 13 EMBED Equation.3 1415 1, т.к. A( 13 EMBED Equation.3 1415 Q, B( 13 EMBED Equation.3 1415 Q, C( 13 EMBED Equation.3 1415 Q. Вычислим координаты точки C(( = (AB)13 EMBED Equation.3 1415(A(B(). Прямая (AB) – третья координатная прямая, её уравнение: x3 = 0. Найдем уравнение прямой (A(B():

13 EMBED Equation.3 1415=x113 EMBED Equation.3 1415–x213 EMBED Equation.3 1415+x313 EMBED Equation.3 1415=(1–b)x1+(1–a)x2+(ab–1)x3=0

Рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Система имеет бесконечное множество решений, например, один из возможных вариантов это – (1–a, b–1, 0). Можно указать все решения системы:

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415R

Поскольку координаты точки на проективной плоскости задаются с точностью до ненулевого сомножителя, то, без ограничения общности, полагаем 13 EMBED Equation.3 1415=1 и окончательно имеем C(( = (1–a, b–1, 0). Аналогично B(( = (1–a, 0, c–1), A(( = (0, 1–b, c–1). Проверим, что точки A((, B((, C(( принадлежат одной прямой. Для этого составим определитель из их координат:

13 EMBED Equation.3 1415= – (1–b)13 EMBED Equation.3 1415 + (c–1)13 EMBED Equation.3 1415= =(b–1)(1–a)(1–c)+(c–1)(1–a)(b–1)=0

Напомним, что три точки проективной плоскости лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.
Следовательно, точки A((, B((, C(( принадлежат одной прямой, которая является осью перспективы. Мы доказали прямое утверждение Дезарга для проективной плоскости о том, что наличие центра перспективы влечет за собой существование оси перспективы. Обратное утверждение двойственно исходному по принципу двойственности для проективной плоскости.
Задача 20. Разместить на плоскости десять деревьев в десяти рядах по три в ряду.
Задача 21. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара прямых p и q, пересекающихся за пределами чертежа в недоступной точке В. Используя теорему Дезарга, построить доступную часть прямой (АВ).
Задача 22. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую, параллельную двум заданным не совпадающим прямым p и q.
Задача 23. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию [AB], p13 EMBED Equation.3 1415(AD)=M, p13 EMBED Equation.3 1415(AC)=P, q13 EMBED Equation.3 1415(BD)=N, q13 EMBED Equation.3 1415(BC)=Q. Доказать, что точка (MN) 13 EMBED Equation.3 1415(PQ) лежит на прямой (AB).
Задача 24. Внутри треугольника АВС выбрана точка D и проведены прямые (AD), p и q, так что p||q||(AD), p13 EMBED Equation.3 1415(AB)=M, p13 EMBED Equation.3 1415(DB)=P, q13 EMBED Equation.3 1415(AC)=N, q13 EMBED Equation.3 1415(DC)=Q (см. рис.7). Доказать, что прямые (MN), (PQ) и (BC) принадлежат одному пучку.

Замечание. Проективную плоскость можно рассматривать над некоторым кольцом. (При этом необходимо дать «внутреннее» определение проективной плоскости, не вкладывая плоскость в трехмерное пространство).
Доказано [8], что при этом кольцо является телом тогда и только тогда, когда на проективной плоскости замыкается конфигурация Дезарга. Дезарговость проективной плоскости равносильна возможности её вложения в трехмерное пространство.
В дальнейшем мы рассмотрим конфигурацию Паппа, состоящую из 9 точек и 9 прямых. Если на проективной плоскости замыкается конфигурация Паппа, то замыкается и конфигурация Дезарга; обратное, вообще говоря, неверно, если мы рассматриваем проективную геометрию над телом. Если на проективной плоскости над телом замыкается конфигурация Паппа, то тело является полем.
Теорема Дезарга верна в случае, когда перспективные трехвершинники расположены в разных плоскостях трехмерного проективного пространства. Допустим, что трехвершинники ABC и A(B(C( имеют центр перспективы Q и расположены соответственно в плоскостях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 8). Т.к. Q = (AA()13 EMBED Equation.3 1415(BB(), то точки A, B, A(, B( лежат в одной плоскости, и прямые (AB) и (A(B() имеют точку пересечения C((, которая обязательно принадлежит прямой пересечения плоскостей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, ((AC)13 EMBED Equation.3 1415(A(C())13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, ((BC)13 EMBED Equation.3 1415(B(C())13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 есть ось перспективы трехвершинников ABC и A(B(C(. Обращая рассуждения, убеждаемся в обратном, т.е. если трехвершинники ABC и A(B(C(, расположенные в разных плоскостях трехмерного проективного пространства имеют ось перспективы, то они имеют и центр перспективы.
Замечание. В трехмерном проективном пространстве прямая и обратная теоремы Дезарга не двойственны.










§10. Сложное отношение четырех точек прямой
Пусть на проективной прямой даны точки A, B, C, D. Поставим задачу сопоставления действительного числа упорядоченной четверке проективных точек. Если все четыре точки совпадают, то трудно ожидать решения проблемы, т.к. на проективной прямой все точки равноправны. Допустим A13 EMBED Equation.3 1415D, B13 EMBED Equation.3 1415C, A13 EMBED Equation.3 1415B. 13 EMBED Equation.3 1415Если A=C, то будем считать, что сложное отношение (AB, CD) = 0. Если A13 EMBED Equation.3 1415C, то точки A, B, C образуют проективный репер, в котором точка D(x1, x2) имеет определенные координаты. В этом случае положим (AB, CD)=13 EMBED Equation.3 1415. Часто сложное отношение называют двойным или ангармоническим.
Легко понять, что если A, B, C – попарно различные точки, а t – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка D такая, что (AB, CD) = t. Если на прямой даны точки D и Е, так что (AB, CD) = (AB, CE), то D = E.
Следующая теорема показывает, как вычислять сложное отношение четырех точек по их координатам в проективном репере.
Теорема. Если точки A, B, C и D, лежащие на некоторой прямой, имеют в некотором проективном репере координаты A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), D(d1, d2), причем A13 EMBED Equation.3 1415D, B13 EMBED Equation.3 1415C, то

13 EMBED Equation.3 1415.

Приведем простейшие свойства сложного отношения четырех точек прямой.
(AB, CD) = (CD, AB)
(AB, CD) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, если (AB, DC)13 EMBED Equation.3 14150
(AB, CD) = (BA, DC)
(AB, CC) = 1; (AB, CB) = 0
(AB, CD) + (AC, BD) = 1

Задача 25. Пусть A, B, C, D – четыре попарно различные точки на проективной прямой, сложное отношение которых (AB, CD) = t, где t – заданное число. Записать значения сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек A, B, C, D, переставляя их всеми возможными способами.
Задача 26. Доказать, что для пяти попарно различных точек A, B, C, D, E на проективной прямой имеет место равенство

(AB, CE) = (AB, CD)(AB, DE).
§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
Рассмотрим две прямые d и d( проективной плоскости и точку О, не принадлежащую этим прямым. Точку О примем за центр проекции. Для любой точки М на d поставим в соответствие точку M( на d(: M( = d(13 EMBED Equation.3 1415(OM). Точка M( называется проекцией точки М из центра О, а само отображение называется проекцией.
Теорема. Проекция сохраняет сложное отношение четырех точек прямой.
(MN, KL) = (M(N(,K(L()


Определение. Если m, n, k, l – четыре прямые на проективной плоскости, проходящие через точку О, то их сложным отношением называется сложное отношение четырех точек, высекаемых на некоторой прямой d, не проходящей через точку О.

(mn, kl) = (MN, KL)
Замечание. Определение корректно, поскольку сложное отношение четырех прямых не зависит от выбора прямой d.
Определение. Пара прямых a и b гармонически разделяет пару прямых c и d, если (ab, cd) = –1.
Задача 27. Прямые a и b евклидовой плоскости пересекаются в точке О, прямые c и d содержат биссектрисы углов, образованных прямыми a и b. Доказать, что (ab, cd) = –1.
Задача 28. Доказать, что прямые, содержащие диагонали параллелограмма, гармонически разделяют прямые, проходящие через центр параллелограмма параллельно его сторонам.
Задача 28. Доказать, что прямая (CM), содержащая медиану [CM] треугольника АВС, и прямая (CX), параллельная стороне [AB], гармонически разделяют прямые (CA) и (CB), содержащие две другие стороны треугольника АВС.

































§12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
Определение. Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек – вершин проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой; и шести прямых – сторон, попарно соединяющих вершины.
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными.

На рисунке 10 изображен четырехвершинник ABCD, где A, B, C, D – вершины; (AB) и (CD), (BC) и (AD), (BD) и (AC) – пары противоположных сторон; E, F, G – диагональные точки.


Можно легко доказать, что диагональные точки полного четырехвершинника не лежат на одной прямой.
Рассмотрим подробнее фигуру, определяемую полным четырехвершинником.
Прямые, попарно соединяющие диагональные точки, называются диагоналями. На рисунке 10 диагонали изображены пунктиром.
Следующая теорема показывает, что полный четырехвершинник содержит в себе гармонические четверки точек и прямых.
Теорема. На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку.

(GF, KL) = –1.

Следствие 1. Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через другие диагональные точки.
Следствие 2. Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих сторон.
Условимся называть точу Х четвертой гармонической к трем данным точкам А, В, С, если (АВ, СХ) = –1.
Задача 30. На аффинной (или евклидовой) плоскости задан отрезок [AB] и его середина С. Пользуясь только линейкой без делений, провести прямую через данную точку D, не принадлежащую прямой (АВ), параллельно этой прямой.
Задача 31. Даны две различные параллельные прямые. Пользуясь только линейкой, построить середину отрезка, заданного на одной из данных прямых.
Задача 32. На аффинной (евклидовой) плоскости задан параллелограмм (окружность с центром), прямая m и точка А. С помощью одной линейки через точку А провести прямую, параллельную прямой m.
Задача 33. Построить четвертую гармоническую точку Х к трем данным точкам А, В, С, лежащим на одной прямой.


§13. Проективные отображения прямых и пучков
Допустим, что две прямые g и g( принадлежат одной проективной плоскости. Взаимно однозначное отображение всех точек прямой g на множество точек прямой g( называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Биекция f:g13 EMBED Equation.3 1415g( прямой g на прямую g( является проективным отображением, если и только если, каждый проективный репер ( прямой g переходит в проективный репер (( прямой g( и выполняется правило равенства координат: прообраз – точка M(x1, x2) на прямой g имеет такие же координаты в репере (, что и образ – точка M( (x1, x2) в репере (( на прямой g(.
Примером проективного отображения одной прямой на другую служит перспектива. Пусть g и g( – две различные прямые проективной плоскости, и точка O, называемая центром перспективы, не лежит на этих прямых. Каждой точке M прямой g ставится в соответствие проекция M( на прямой g( из центра O.

Критерий перспективности. Для того, чтобы проективное отображение f:g13 EMBED Equation.3 1415g( было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых g и g( переходила в себя.
Теорема. Проективное отображение одной прямой на другую есть композиция не более двух перспектив.
Приведем иллюстрацию к этой теореме.
Задача 34. В проективном отображении f:g13 EMBED Equation.3 1415g( репер (=(A, B, C) переходит в репер ((=(A(, B(, C(). Построить образ произвольной точки M прямой g.
Решение.
Проведем прямую (AA() и отложим на ней два центра перспективы O и O(, отличные от точек A и A(. Пусть B((=(OB)13 EMBED Equation.3 1415(O(B(), C((=(OC)13 EMBED Equation.3 1415(O(C(), g((=(B((, C((), A((=(OO()13 EMBED Equation.3 1415g((. Тогда перспектива fO с центром в точке O переводит репер ( в репер (((=(A((, B((, C(() на прямой g((, а перспектива fO( с центром в точке O( переводит репер ((( в репер ((, таким образом f=fO(13 EMBED Equation.3 1415fO. Далее находим точку M(( на прямой g((: M((=(OM)13 EMBED Equation.3 1415g((, и, наконец, M(=(O(M(()13 EMBED Equation.3 1415g(.
Теорема. Проективное преобразование прямой на себя есть композиция не более трех перспектив.
Задача 35. В проективном преобразовании f:g13 EMBED Equation.3 1415g прямой g на себя заданный репер (=(A, B, C) переходит в заданный репер ((=(A(, B(, C(). Построить образ и прообраз произвольной данной точки M на g.
Двойственным образом строится теория проективных отображений пучков прямых на проективной плоскости.
Определение. Взаимно однозначное отображение пучка на пучёк называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.
Теорема. Если a, b, c – три произвольные прямые пучка с центром в точке O и a(, b(, c( – три произвольные прямые пучка с центром в точке O(, то существует одно и только одно проективное отображение пучка O на пучок O(, переводящее прямые a, b, c в прямые a(, b(, c(.
Рассмотрим пучки с центрами в двух точках O и O( и прямую d, не проходящую через точки O и O(. Каждой прямой a пучка O поставим в соответствие прямую a( пучка O(, которая проходит через точку пересечения прямых a и d.
Построенное отображение является проективным и называется перспективным. Прямая d называется осью перспективы.
Критерий перспективности. Для того, чтобы данное проективное отображение пучка на пучок было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы прямая, проходящая через центры пучков, переходила в себя.
Задача 36. В проективном отображении f пучка O на пучок O( три попарно различные прямые a, b, c переходят соответственно в прямые a(, b(, c(. Построить образ произвольной прямой m пучка O.

Решение.
Через точку A пересечения прямых a и a( проведем две прямые d и d(, отличные от прямых a и a(, и обозначим через B и C точки пересечения прямых b и c с прямой d, а через B( и C( точки пересечения прямых b( и c( с прямой d(. Отображение f порождает перспективу прямой d на прямую d( с центром в точке S=(BB()13 EMBED Equation.3 1415(CC().
Для построения образа произвольной прямой m находим сначала точку М, как пересечение прямых m и d, далее строим M(=(SM)13 EMBED Equation.3 1415d(. Прямая (O(M() – искомая.



§14. Теорема Паппа
Рассмотрим одну из замечательных конфигураций действительной проективной геометрии. (Автором первой фундаментальной теоремы проективной геометрии является Папп Александрийский. Теорема Паппа содержится в «Математическом собрании», начало 1V века нашей эры)
Теорема. Пусть даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой d и три точки A(, B(, C(, лежащие на прямой d(, причем d13 EMBED Equation.3 1415d(. Тогда три точки A((=(BC()13 EMBED Equation.3 1415 (B(C), B((=(A(C)13 EMBED Equation.3 1415 (C(A), C((=(AB()13 EMBED Equation.3 1415 (A(B) принадлежат одной прямой d((.
Доказательство. Рассмотрим отображение f пучка прямых с центром в точке A на пучок прямых с центром в точке C, при котором прямые (AC), (AA(), (AB() переходят, соответственно, в прямые (CA), (CA(), (CB(). Поскольку прямая, соединяющая центры пучков, переходит в себя, то f – перспективное отображение. Оно индуцирует перспективное отображение 13 EMBED Equation.3 1415:(BA()13 EMBED Equation.3 1415(BC() с центром B((, при этом 13 EMBED Equation.3 1415(С(()=A((. Значит, точка B(( принадлежит прямой (A((C(().

Задача 37. Посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 рядов по три дерева в каждом.
Задача 38. Сформулируйте предложение, двойственное теореме Паппа. Сделать чертеж.

§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
В геометрии принято определение, согласно которому термин «преобразование» обозначает «биекция» или «взаимно однозначное отображение» некоторого множества на себя.
Определение. Преобразование проективной прямой называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.
Теорема. Проективное преобразование прямой d переводит проективный репер ( на d в проективный репер ((, и выполняется правило равенства координат, т.е. точка M 13 EMBED Equation.3 1415 d имеет в репере ( те же самые координаты, что и ее образ М( в репере ((: M(x1, x2) в ( и M( (x1, x2) в репере ((.
Замечание. Координаты точки в проективном пространстве задаются с точностью до ненулевого множителя.
Доказательство. Пусть на прямой d заданы проективное преобразование f: d13 EMBED Equation.3 1415d и произвольный репер (=(A, B, E).
Пусть A(= f(А), В(= f(B), Е( = f(Е)). Поскольку f – биекция, то никакие две из трех точек A(, В(, Е( не совпадают, точки А(, В(, Е( занимают общее положение и образуют репер ((=(A(, B(, E(). Для произвольной точки М на d, М
·А определяются координаты (x1, x2) в репере (, причем можно вычислить сложное отношение (А В, Е М) = 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть М( = f(М), тогда (АВ, ЕМ) = (А(В(, Е(М() по определению проективного преобразования, и (АВ, ЕМ) = (А(В(, Е(М() = 13 EMBED Equation.3 1415, и точка М( имеет в репере (( координаты (x1, x2).
Следствие 1. Если ( и (( - произвольные реперы на проективной прямой d, то существует единственное проективное преобразование на d, которое репер ( переводит в репер ((.
Следствие 2. Если проективное преобразование прямой имеет три попарно различные неподвижные (инвариантные) точки, то оно является тождественным преобразованием.
Задача 39. При проективном преобразовании f расширенной прямой 13 EMBED Equation.3 1415 заданный репер ( = (A, B, E) переходит в заданный репер (( = (A(, B(, E(). Построить образ произвольной точки М прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 40. Доказать, что если в проективном преобразовании f расширенной прямой 13 EMBED Equation.3 1415 несобственная точка X
· 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 инвариантна, то сужение отображения f на аффинную прямую d = 13 EMBED Equation.3 1415\{X
·}. f1d есть аффинное преобразование
Определение. Нетождественное проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным преобразованием.
Теорема. Если в данном проективном преобразовании f прямой какая-то точка А переходит в точку В, отличную от точки А, а точка В переходит в точку А, то f – инволюция.
Доказательство. Пусть М – произвольная точка прямой, М( = f(М). Требуется доказать, что М = f(М(). Обозначаем М(( = f(М(). При проективном преобразовании сохраняется сложное отношение четырех точек, следовательно, (АВ, М M() = (ВА, М(M((). Таким образом, по свойствам сложного отношения четырех точек прямой М = M((.
Задача 41. Доказать, что инволюция прямой либо не имеет ни одной инвариантной точки, либо имеет две инвариантные точки.





























§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
Определение. Преобразование проективной плоскости называется проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки также лежащие на некоторой прямой.
Теорема. Проективное преобразование сохраняет сложное отношение четырех точек прямой.
Теорема. Пусть ( и (( – произвольные реперы проективной плоскости. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование, которое переводит репер ( в репер ((, при этом точка с данными координатами в репере ( переходит в точку с теми же координатами в репере ((.
Следствие. Если проективное преобразование имеет четыре инвариантные точки, из которых ни какие три не лежат на одной прямой, то оно является тождественным преобразованием.
Свойства проективных преобразований:
1. При проективном преобразовании три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также не лежащие на одной прямой.
2. При проективном преобразовании любой репер переходит в репер.
3. Проективное преобразование отображает прямую на прямую.
4. Проективное преобразование пучок прямых переводит в пучок прямых.
Теорема. Любое проективное преобразование плоскости имеет по крайней мере одну инвариантную точку и одну инвариантную прямую, которая не обязательно состоит из неподвижных точек.

Определение. Нетождественное проективное преобразование называется гомологией, если оно имеет, по крайней мере, три инвариантные точки, лежащие на одной прямой.
Можно легко доказать, что если точки A, В, и C, лежащие на одной прямой, являются неподвижными точками гомологии f, то все точки прямой (АВ) также являются инвариантными точками этой гомологии. Пусть М 13 EMBED Equation.3 1415 (АВ), М( = f(М), тогда (АВ, СМ) = (АВ, СМ(), поэтому М = M(.
Прямая инвариантных точек называется осью гомологии.
Гомология имеет прямую инвариантных точек, и по принципу двойственности у гомологии существует пучок инвариантных прямых, проходящих через одну неподвижную точку, называемую центром гомологии. Гомология называется особой, если ее центр принадлежит оси и неособой в противном случае.
Таким образом, если S – центр, s – ось гомологии f, точка и точка M проективной плоскости не совпадает с центром, то S, M, f(M) коллинеарны, то есть принадлежат одной прямой. Если прямая d пересекает ось в некоторой точке D, то D – инвариантная точка, и D лежит на d( = f(d).
Теорема. Если на плоскости даны прямая s и три попарно различные точки S, A, A(, лежащие на одной прямой, причем ни одна из точек A и A( не лежит на прямой s, то существует единственная гомология f с осью s и центром S и такая, что f(A) = A(.
Задача 42. Построить образ произвольной точки (прямой) на расширенной плоскости при действии гомологии f, если заданы центр S и ось гомологии, точка A и ее образ A( = f(A). ( Точки S, А и A( принадлежат одной прямой).

- “Что такое окружность?”
- “Это проективная прямая”
- “Что такое эллипс?”
- “Это искаженная окружность”
- “Что такое овал?”
- “Это обобщенный эллипс”
Из диалогов студентов.
ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
§17. Понятие проективной линии второго порядка
Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в некотором репере удовлетворяют действительному однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида
a11(x1)2 + a22(x2)2 + a33(x3)2 + 2 a12x1 x2 + 2 a13x1 x3 + 2 a23x2 x3 = 0 (1)
называется линией или кривой второго порядка.
В однородном уравнении второй степени все действительные числа aij не обращаются одновременно в нуль. Положим для удобства aij = aji i,j = 13 EMBED Equation.3 1415, тогда уравнение линии второго порядка можно записать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 aij xi xj = 0
Если очевидны пределы суммирования, то, следуя правилу А.Эйнштейна, знак суммы можно опустить:
aij xi xj = 0 (2)
Понятие линии второго порядка является геометрическим и не зависит от выбора репера на проективной плоскости. Если фигура в репере ( = (A1, A2, A3, E) имеет уравнение (2), а (' = (A'1, A'2, A'3, E') – другой проективный репер, формулы преобразования координат точек при переходе от репера ( к реперу (' представляются в следующем виде (см. §7,(3)):

· xj = bji yi , j = 13 EMBED Equation.3 1415,
·
· 0 (3)
где (x1, x2, x3) – координаты точки в репере (, а (y1, y2, y3) – координаты этой же точки в репере ('. Подставляя выражения (3) в уравнение (2), имеем 0 = aij xi xj = aij (13 EMBED Equation.3 1415bik yk) (13 EMBED Equation.3 1415bjm ym) = 13 EMBED Equation.3 1415( aij bik bjm) yk ym.
Полагая a'ij = ars bri bsj, получаем уравнение линии второго порядка в репере (':
a'ij yi yj = 0 (4)
Замечание. Индексы, по которым идет суммирование, называются "слепыми", их можно переобозначать, например: bjk yk = bjp yp.
Заметим, что det(bjk)3i,k=1
· 0. В курсе линейной алгебры доказывается, что при умножении матрицы A на невыраженную матрицу B ранг матрицы A не меняется.
rg(A) =rg(A·B).
Значит, rg(aij)3i,j=1 = rg(a'ij)3i,j=1. Таким образом, в уравнении (4) не все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Тем самым доказано, что, во-первых, понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера, и, во-вторых, ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнения линии второго порядка, также не зависит от выбора репера. Таким образом, можно определить понятие ранга линии второго порядка, как ранг матрицы коэффициентов ее уравнения в некотором, а значит и в любом репере.
Линия второго порядка называется невырожденной, если ее ранг максимален, т.е. равен 3 (в этом случае det(aij) 3i,j=1
· 0). И вырожденной, если rg(aij ) 3i,j=1 < 3. (Заметим, что для любой линии второго порядка ее ранг не равен нулю).
Лемма. Любая проективная прямая имеет с невыражденной проективной линией второго порядка не более двух различных общих действительных точек.



















§18. Проективная классификация линий второго порядка.
Допустим, что линия второго порядка на проективной плоскости в некотором репере имеет общее уравнение
aij xi xj = 0 (1)
В трехмерном векторном пространстве V3 рассмотрим квадратичную форму q, т.е. для x(x1 x2 x3) 13 EMBED Equation.3 1415 V3
q(13 EMBED Equation.3 1415) = aij xi xj (2)
Из курса линейной алгебры известно, что в трехмерном векторном пространстве V3 найдется базис, в котором квадратичная форма q имеет нормальный вид. Поскольку, согласно определению Г. Вейля, V3 порождает проективную плоскость P2, то в P2 найдется репер, в котором уравнение линии второго порядка имеет вид

·1(x1)'(x1)' +
·2(x2)'(x2)' +
·3(x3)'(x3)' = 0 , (3)
где коэффициенты
·1,
·2,
·3 равны -1, 1 или 0, но одновременно все три коэффициента не обращаются в нуль.
Таким образом, мы приходим к каноническому уравнению линии второго порядка.
Перебирая все возможные варианты для коэффициентов
·1,
·2,
·3, убеждаемся, что на проективной плоскости существует пять типов линий второго порядка. Все они представлены в следующей таблице.

№ п.п.
Название линии
Каноническое уравнение
Ранг линии

1
Овальная линия
(x1)2+(x2)2-(x3)2=0
3

2
Нулевая линия
(x1)2+(x2)2+(x3)2=0
3

3
Пара прямых
(x1)2-(x2)2=0
2

4
Пара мнимых прямых
(x1)2+(x2)2=0
2

5
Пара совпадающих прямых
(x1)2=0
1


Указанные типы линий проективно различны, то есть не существует проективного преобразования, которое линию одного типа переводит в линию другого типа.
Однако, любые две линии одного и того же типа проективно эквивалентны.
Основное внимание в дальнейшем изложении мы будем уделять овальной линии.
Задача 43. Определить тип линии второго порядка
(x1)2 + 2x1x2 + 2(x2)2 - (x3)2 = 0.



§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
Допустим, что задана невыраженная (т.е. максимального ранга) линия второго порядка, имеющая в некотором репере уравнение
aij xi xj = 0 (1)
Кроме того, прямая d, проходящая через точки P (p1, p2, p3) и Q (q1, q2, q3), имеет в этом же репере параметрические уравнения
x1=
· p1 +
· q1; x2=
· p2 +
· q2; x3=
· p3 +
· q3 (2)
Поставим задачу нахождения точек пересечения линии второго порядка с прямой d. Для решения этой задачи подставим x1, x2 и x3 из параметрических уравнений прямой d в общее уравнение линии второго порядка. Ясно, что мы получим однородное уравнение второй степени относительно
· и
·:
A11
·2 + 2A12
·
· + A22
· = 0 (3)
Можно посчитать коэффициенты A11 A12 A22, из которых хотя бы один отличен от нуля:
A11 = aij pipj ; A12 = aij piqj ; A22 = aij qiqj ; (4)
Каждой ненулевой паре (
·,
·) действительных решений этого уравнения соответствует общая точка прямой и линии второго порядка. Однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение, однако оно нам не подходит, так как, если
· =
· = 0, то x1 = x2 = x3 = 0, но на проективной плоскости нет точки, все координаты которой равны нулю. Допустим, что
·
· 0, тогда легко получить квадратное уравнение:
A1113 EMBED Equation.3 1415+ 2A12 13 EMBED Equation.3 1415 + A22 = 0 (5)
Исследуем дискриминант этого уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 = (A12)2 – A11 A22 (6)
Если D > 0, то уравнение (5) и, соответственно, (3) имеет (с точностью до числового множителя) два непропорциональных вещественных решения относительно
· и
·. В этом случае прямая d пересекается с линией второго порядка в двух точках.
Если D < 0, то уравнение (3) не имеет вещественных решений, и линия второго порядка и d не имеют вещественных общих точек.
Если D = 0, то линия второго порядка и d имеют одну общую точку (две совпадающих точки). В этом случае прямая d называется касательной к линии второго порядка. Из соотношения (6) имеем условия касания:
(A12)2 - A11 A22 = 0 (7)
В каждой точке невыраженной линии второго порядка существует единственная касательная.
Если точка P (p1, p2, p3) принадлежит линии второго порядка, то A11 = aij pipj = 0, и условие касания (7) принимает простой вид:
A12 = 0 (8)
Расписывая соотношение (8), заменяя точку Q на текущую точку X(x1,x2,x3), приходим к уравнению касательной:
(a11p1+ a21 p2+ a31 p3) x1 + (a12p1+ a22 p2+ a32 p3) x2 + (9) (a13p1+ a23 p2+ a33 p3) x3 = 0
Напомним, что мы полагаем aij = aji для любых индексов i, j от 1 до 3.
Задача 44. Овальная линия в каноническом репере задана уравнением
(x1)2 + (x2)2 - (x3)2 = 0
Написать уравнение касательной прямой, проходящей через точку P(1,1,13 EMBED Equation.3 1415).





























§20. Полюс, поляра, поляритет.
Пусть на проективной плоскости P2 задана овальная линия
·, имеющая в некотором репере уравнение
aij xi xj = 0 (1)
Определение. Точки P (p1, p2, p3) и Q (q1, q2, q3) называются сопряженными относительно овальной линии, если выполняется условие
aij piqj = 0 (2)
На первый взгляд может показаться, что сопряженность двух точек относительно овальной линии зависит от выбора репера, поскольку уравнение овальной линии рассматривается в определенном репере. Однако, как мы убедимся позже, сопряженность точек относительно овальной линии носит геометрический характер, то есть не зависит от выбора репера на проективной плоскости.
Если точка P лежит на овальной линии, то, вспоминая уравнение касательной прямой к линии второго порядка ((9) §19), убеждаемся, что точки P и Q сопряжены относительно
· тогда и только тогда, когда точка Q лежит на касательной к линии второго порядка в точке P.
Следующая теорема раскрывает геометрический смысл сопряженности двух точек, не лежащих на данной овальной линии.
Теорема. Пусть на проективной плоскости заданы овальная линия
·, и две точки P и Q, не лежащие на
·, причем прямая (PQ) пересекает
· в двух различных точках M и N. Для того, чтобы P и Q были сопряжены относительно
·, необходимо и достаточно, чтобы пара точек P и Q гармонически разделяла пару точек M и N, (т.е. чтобы сложное отношение четырех точек P, Q, M и N было равно -1: (PQ, MN) = -1.
Рис. 17.
Доказательство. Выберем на проективной плоскости произвольный репер R = (A1, A2, A3, E), пусть в этом репере овальная линия имеет уравнение (1) и точки P и Q приобретают проективные координаты P (p1, p2, p3) , Q (q1, q2, q3); прямая (PQ) задается параметрическими уравнениями
x1=
· p1 +
· q1; x2=
· p2 +
· q2; x3=
· p3 +
· q3 (3)
Пусть точки пересечения прямой (PQ) и овальной линии имеют следующие координаты:
M(
·1 p1 +
·1 q1,
·1 p2 +
·1 q2,
·1 p3 +
·1 q3)
N(
·2 p1 +
·2 q1,
·2 p2 +
·2 q2,
·2 p3 +
·2 q3) .
Вычислим сложное отношение (PQ, MN). Обозначим через P, Q, M, N проекции точек P, Q, M, N на координатную прямую (A1A2) из центра A3, тогда в репере R3 = (A1, A2, E3) (E3 =( A3 E
· (A1 A2)) имеем P (p1, p2) , Q (q1, q2), M(
·1 p1 +
·1 q1,
·1 p2 +
·1 q2), N(
·2 p1 +
·2 q1,
·2 p2 +
·2 q2).

(PQ, MN) = (PQ, MN) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415 = -1 тогда, и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получаем после деления на
·2:
A2213 EMBED Equation.3 1415+ 2A12 13 EMBED Equation.3 1415 + A11 = 0 (4)
Поскольку точки P и Q не лежат на овальной линии, то A22 = aijpiqj
· 0 A11 = aij piqj
· 0.
Так как точки M и N лежат на овальной линии, то 13 EMBED Equation.3 1415 = - 13 EMBED Equation.3 1415.
Точки P и Q сопряжены относительно
· тогда и только тогда, когда aijpiqj = A12= 0, т.е. P и Q сопряжены, если и только если 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, что в свою очередь равносильно тому, что (PQ, MN) = -1.
Определение. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия
· и точка P. Полярой называется множество точек d, сопряженных с точкой P относительно
·, а сама точка P называется полюсом поляры d.
Если овальная линия задается в некотором репере уравнением (1), точка P имеет координаты (p1, p2, p3), то из условия сопряженности (2) получаем уравнение поляры d:
(ai1pi) x1 + (ai2pi) x2 + (ai3pi) x3 = 0 (5)
Поскольку овальная линия невырождена, то не все коэффициенты при x1, x2, x3 равны нулю, поэтому d – прямая. Для каждой точки P (p1, p2, p3), проективной плоскости существует поляра (5) относительно овальной линии (1), и обратно для каждой прямой u1 x1 + u2x2 + u3x3 = 0 существует единственный полюс P, координаты которого определяются системой уравнений
a11p1+ a21 p2+ a31 p3 =
·u1 a12p1+ a22 p2+ a32 p3) =
·u2 a13p1+ a23 p2+ a33 p3) =
·u3,
где
·
· 0.
Овальная линия не вырождена, определитель системы не равен нулю, поэтому точка P определяется однозначно (координаты точки P находятся с точностью до ненулевого множителя).
Таким образом, любая овальная линия определяет биекцию P2 (P2) проективной плоскости P2 на множество (P2) ее прямых.
Теорема о взаимности поляритета. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия. Если точка Q лежит на поляре точки P, то точка P лежит на поляре точки Q.
Задача 45. С помощью одной линейки (без циркуля) построить касательную, проходящую через заданную точку, к заданной овальной линии на расширенной плоскости.
Задача 46. Пусть на расширенной плоскости задана овальная линия. По данному полюсу построить поляру; по данной поляре построить полюс.















§21. Теорема Штейнера.
Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи отображения одного пучка прямых на другой.
Теорема Штейнера. На проективной плоскости множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективных, но не перспективных пучков есть невырожденная кривая второго порядка. И обратно, два пучка с центрами на кривой второго порядка, у которых соответствующие прямые пересекаются на этой кривой – проективны.
Доказательство. Пусть даны два пучка с различными центрами O1 и O2 и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Докажем, что множество
· точек пересечения соответственных прямых этих пучков есть овальная линия, проходящая через точки O1 и O2.
Обозначим через m прямую (O1O2) и рассмотрим прообраз n этой прямой m=f(n). Отображение f зададим с помощью трех попарно различных прямых n, m, l пучка O1 и их образов m, m, l в пучке O2:
f: n 13 EMBED Equation.3 1415m; m 13 EMBED Equation.3 1415m; l 13 EMBED Equation.3 1415 l
Прямые n, m, l попарно различны, так как f не является перспективным отображением, поэтому точки O1=n
·m, O2=m
·m и O3=n
·m не лежат на одной прямой, точка E=l
· l не принадлежит прямым m, m, n, следовательно, мы получим репер ( = (O1, O2 , O3 ,E,).
Пусть X (x1, x2, x3) произвольная точка, не лежащая на сторонах трехвершинника O1O2O3 . По определению сложного отношения прямых (mn, l(O1 X)) = (O2O3,E1,X1), и (mm, l(O2 X)) = (O3O1,E2,X2) (см. рисунок 18).
В репере R2 = (O2, O3 ,E1) на координатной прямой (O1O2) точка X1 имеет координаты (x2, x3), поэтому (O2O3,E1,X1) = 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, (O3O1,E2,X2) = 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, (mn, l(O1X)) = 13 EMBED Equation.3 1415; (mm, l(O2X)) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Если X 13 EMBED Equation.3 1415
·, то в силу сохранения проективным отображением сложного отношения имеем (mn, l (O1 X)) = (mm, l (O2X)).
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, и мы получаем уравнение линии второго порядка:
(x1x2) - (x3)2 = 0 (1)
Если Х13 EMBED Equation.3 1415
·, то (mn, l (O1X))
· (mm, l (O2X)), и 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (1). Если точка X лежит на сторонах трехвершинника O1O2O3, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), если, и только если Х совпадает с одной из точек O1(1,0,0) и O2(0,1,0), которые принадлежат множеству
·. Уравнение (1) есть уравнение второй степени, ранг максимален, следовательно, оно определяет невыраженную линию второго порядка, на которой есть действительные точки O1 и O2, т.е. овальную линию.
Обращая рассуждения, получаем вторую часть теоремы Штейнера.
Задача 47. Сформулировать предложение, двойственное теореме Штейнера.



















§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
Пусть шесть точек A1, A2,, A6 заданы на овальной линии второго порядка. Тогда три точки пересечения прямых (A1, A5) и (A2, A4), (A3, A4) и (A1, A6), (A2, A6) и (A3, A5) лежат на одной прямой.
Если шестивершинник есть любая шестизвенная замкнутая ломанная, а под сторонами шестивершинника понимают прямые, содержащие звенья ломанной, то теорему Паскаля можно сформулировать следующим образом.
Теорема Паскаля. Противолежащие стороны шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.


Рисунок 19.

Доказательство. Пусть вершины шестивершинника A1 A2 A3 A4 A5 A6 лежат на овальной линии
·. Докажем, что точки O = (A1A6)
· (A3A4), N = (A2A4)
· (A1A5) и N = (A2A6)
· (A3A5) лежат на одной прямой (см. рисунок 20).

Рисунок 20.
Пусть f – проективное отображение пучков с центрами A1 и A3, которое устанавливается овальной линией
· согласно теореме Штейнера. Отображение f порождает проективное отображение
·: (A2, A4)(A2, A6), в которой каждой точке Х1 на (A2, A4) соответствует точка Х2 прямой (A2,A6), такая, что прямые (A1, Х1) и (A3,Х2) пересекаются в точке Х, принадлежащей линии
·. Поскольку
·(A2)= A2, то
· – перспективное отображение, центром его является точка O, причем N =
·(N), следовательно N, O, N принадлежат одной прямой.
Обратная теорема Паскаля. Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.
Замечание. Если в теореме Паскаля овальную линию заменить на пару прямых, то мы приходим к теореме Папа.
Двойственной к теореме Паскаля является следующая
Теорема Брианшона. Шестивершинник описан около овальной линии второго порядка тогда и только тогда, когда его большие диагонали пересекаются в одной точке.

Задача 48. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с овальной линией, проходящей через данные пять точек.





















§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона

Рассмотрим предельные (частные) случаи теорем Паскаля и Брианшона.
Представим себе, что точки определяющие какую-нибудь сторону вписанного шестивершинника, сливаются, тогда эта сторона превращается в касательную и получается фигура, изображенная на следующем рисунке


Рис. 21


Теорема. Касательная к линии второго порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятивершинника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятивершинника.

Двойственную этому предельному случаю теорему Брианшона получим, полагая, что две смежные стороны описанного шестисторонника сливаются в одну, а общая их вершина превращается в точку прикосновения.

Теорема. Прямая, соединяющая точку касания одной из сторон описанного пятисторонника с противоположной вершиной, проходит через общую точку прямых, соединяющих остальные две пары несмежных вершин этого пятисторонника.


Рис. 22

Задача 49. Овальная кривая второго порядка задана четырьмя точками и касательной в одной из них.
а) Построить касательную к кривой в одной из данных точек;
б) Построить еще одну точку кривой.

Решение.
а) Пусть заданы точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– касательная к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построим касательную к кривой в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.Примем точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за центры пучков 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, порождающих кривую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( следствие теоремы Штейнера). В проективном отображении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которое переводит прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно в прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, касательной к кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Задача сводится к построению образа прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в заданном проективном отображении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для этого построим точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – центр перспективного отображения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Находим далее 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– искомая касательная.
б) Возьмем произвольную прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда по теореме Штейнера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 23

Задача 50. Зная пять точек кривой второго порядка, построить касательную в одной из них.
Решение. Задача решается с помощью теоремы Паскаля для вписанного пятивершинника. Пусть отрезки, соединяющие данные точки, помечены числами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а назначенная точка – числом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда, построив сначала точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а затем точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соединяем точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получая искомую касательную.


Рис. 24

Задача 51. Зная пять касательных кривой второго порядка, построить точку прикосновения одной из них.
Решение. Задачу решаем при помощи теоремы Брианшона для описанного пятисторонника. Пусть точки пересечения данных касательных помечены числами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда, соединяя прямыми точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, находим точку пересечения этих прямых. Прямая, соединяющая эту точку с точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, пересечением с прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определит на ней искомую точку касания.





Рис. 25 Связь между проективными и аффинными координатами.
Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
Прежде всего рассмотрим проективную прямую P1, вложенную в расширенную плоскость.
Обсудим отличие аффинной прямой от проективной. Ясно, что проективная прямая имеет на одну точку больше, чем аффинная. Напомним, что координатой точки M аффинной прямой в репере (A, e) называется такое число x, что 13 EMBED Equation.3 1415 = xe.
Лемма. Пусть на расширенной прямой 13 EMBED Equation.3 1415 выбраны репер R = (A, B
·, E), где B
· - несобственная точка, и собственная точка M, имеющая в репере R координаты (x1, x2). Тогда точка M в аффинном репере (A, 13 EMBED Equation.3 1415) аффинной прямой d имеет координату 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство. Возьмем собственную точку O расширенной плоскости, не лежащую на прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть x - аффинная координата точки M в репере (A, 13 EMBED Equation.3 1415), то есть 13 EMBED Equation.3 1415 = x13 EMBED Equation.3 1415.


Пусть вектор 13 EMBED Equation.3 1415параллелен прямой d и 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. Система векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 согласована и порождает точки проективного репера R = (A, B
·, E), заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 = x13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 порождает точку M, поэтому числа (1,x) являются координатами точки M в репере R. По условию леммы (x1, x2) также координаты точки M, следовательно (1,x) и (x1, x2) пропорциональны, т.е. x= 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
Обобщим конструкцию на случай репера, заданного на расширенной плоскости 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть на 13 EMBED Equation.3 1415 задан репер R = (A, Х
·, Y
·, E), где точки A и E - собственные, а X
·, Y
· - бесконечно удаленные.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пусть E3 = (AX
·)
· (Y
· E), E2 = (A Y
·)
· (X
· E). Если M
· есть какая-либо несобственная точка расширенной плоскости, то она принадлежит бесконечно удаленной координатной прямой (X
· Y
·), и имеет координаты (0, x2, x3). Если N(y1, y2, y3) – собственная точка, то y1
· 0. Положим e1 = 13 EMBED Equation.3 1415 и e2 = 13 EMBED Equation.3 1415, тогда на аффинной плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 = e1 + e2.
Рассмотрим аффинный репер R0 = (A, e1, e2), пусть в этом репере точка N имеет координаты (x, y). Используя результат леммы, имеем x = 13 EMBED Equation.3 1415, y = 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим множество H всех проективных преобразований расширенной плоскости, переводящих несобственную прямую (Х
· Y
·) в себя, H есть подгруппа группы всех проективных преобразований плоскости. Пусть f13EMBED Equation.31415H, запишем аналитическое выражение преобразования f в репере ( = (A, Х
·, У
·, E):
13EMBED Equation.31415 (1)
Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение x3=0 и при преобразовании f переходит в себя, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, 13 EMBED Equation.3 1415 = 0. В формулах (1)
·
· 0, 13 EMBED Equation.3 1415
· 0, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
· 0.
Разделив почленно первое и второе равенства в (1) на третье, получаем
13EMBED Equation.31415, где 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, i, j = 1,2, 13 EMBED Equation.3 1415
· 0.
Группа аффинных преобразований аффинной плоскости изоморфна H, таким образом, аффинную геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию, изучающую свойства фигур, инвариантных относительно группы H.
Приложение 1
Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.

Задача 1. Если прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415не имеет образа.

Задача 2. Поле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. состоит из двух элементов. Операции сложения и умножения задаются таблицами



+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415




13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· соcтоит из всевозможных линейных комбинаций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – базисные векторы). Как множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 содержит ровно три элемента: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которые попарно неколлинеарны и поэтому порождают ровно три точки проективной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 состоит из всевозможных линейных комбинаций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – базис 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 содержит ровно семь элементов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13
· EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которые попарно неколлинеарны и поэтому порождают ровно семь точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Введем обозначения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, порождающий точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, принадлежит двумерному векторному подпространству, порождающему прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Очевидно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не принадлежит ни одной из прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в силу того, что любые три из четверки векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 некомпланарны. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (подумайте почему). Имеем шесть прямых (рис. 26 ) и седьмую (необозначенную на рисунке), проходящую через точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 очевидно компланарны, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поскольку 1+1 =0).


Рис. 26

Задача 4. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – базис трехмерного векторного пространства над полем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, порождающего 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 попарно неколлинеарны и поэтому порождают четыре различные точки. Так как никакие три вектора из этой четверки векторов некомпланарны, то никакие три точки не лежат на одной прямой.

Задача 5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождает прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 как множество состоит из следующих элементов: {13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415}. Векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 коллинеарны. Имеем четверку попарно неколлинеарных векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которые порождают ровно четыре различные точки проективной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – базис 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, порождающего 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 как множество состоит из линейных комбинаций векторов вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может принимать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 различных значений, то имеется ровно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 различных элементов в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет соответственно на один элемент меньше, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но не все они будут попарно неколлинеарны. Каждый вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 входит в это множество вместе с семейством коллинеарных векторов вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, имеется ровно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 попарно неколлинеарных векторов в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которые порождают 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точку.

Задача 7. Так как прямая имеет размерность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то из предыдущей задачи получаем, что прямая содержит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 различную точку.

Задача 8. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет иметь наименьшее число точек, если поле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415будет тривиальным, т.е. состоять из двух элементов – нуля и единицы. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, порождающее 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, будет состоять из всевозможных линейных комбинаций базисных векторов, т.е. из векторов вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет состоять из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 попарно неколлинеарных векторов, порождающих 15 различных точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 9. Построим точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рассмотрим пучок прямых с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Возьмем вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, параллельный прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и разложим его по прямым 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 согласована относительно репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построим вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда в соответствии с определением проективных координат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично строится точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 совпадают, т.к. их координаты пропорциональны.

Задача 10. Возьмем вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с началом в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и разложим его по прямым 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если обозначить через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 его составляющие, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 согласована относительно проективного репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда прямая пучка, параллельная вектору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, будет искомой прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис.27

Задача 11. Пусть, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – несобственная точка расширенной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рассмотрим пучок прямых с центром в т. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Разложим вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по прямым 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – согласована относительно репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построим вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Можно и по-другому: если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то в аффинной системе координат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет координату 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис.28


Задача 12. Возьмем собственную точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 расширенной плоскости, не лежащую на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 согласована относительно репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождает точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или иначе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 29.

Задача 13. На прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 возьмем ненулевой вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и разложим его по правилу параллелограмма на сумму базисных векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, лежащих на прямых (ОA1) и (ОA2). Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (подумайте почему). Аффинный репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождает тот же проективный репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 коллинеарны и порождают одну и ту же точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 14. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– аффинный репер, порождающий проективный репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда из определения простого отношения трех точек имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Так как векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равны, то равны их координаты относительно базиса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Из равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Откуда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .



Рис. 30

Задача 15. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. третья ее координата равна 0. В репере 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, задача сводится к ранее рассмотренной задаче построения точки на расширенной прямой по ее координатам в репере на этой прямой. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для построения точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдем сначала ее проекции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно из центров 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 31

Задача 16. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – проекция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 согласована относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – проекция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Система векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 согласована относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 параллелен прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – несобственная точка расширенной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является точкой пересечения прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с прямой, параллельной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и проходящей через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Рис. 32

Задача 17. Уравнение прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Очевидно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по их координатам в соответствующих реперах на расширенных прямых и получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 18. Рассмотрим случай, когда три прямые попарно различны. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Напомним, что любые две прямые на расширенной плоскости пересекаются в собственной или несобственной точке. Общее уравнение системы из двух однородных линейных уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Нас интересует случай, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. тогда и только тогда, когда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Окончательно, прямые проходят через одну точку в том и только том случае, когда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

19. а) Запишем матрицу перехода от репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 :

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Столбцы этой матрицы согласованы. Получаем формулы преобразования проективных координат:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

б) Запишем матрицу перехода от репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 :

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Столбцы этой матрицы не согласованы. Для согласования решаем систему линейных уравнений:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Согласованная матрица перехода имеет вид:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Записываем формулы преобразования проективных координат:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задача 20. Указание. Построить невырожденную конфигурацию Дезарга, разместив деревья в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 21. Построим треугольники 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415так, чтобы точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежали на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и чтобы соответственные стороны треугольников пересекались в точках на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда в силу обратной теоремы Дезарга прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415пройдет через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Построение. Берем произвольные точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим треугольник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и проводим произвольную прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не проходящую через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем как пересечение (13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ) и (13 EMBED Equation.DSMT4 1415). Проводим (13 EMBED Equation.DSMT4 1415).


Рис.33

Задача 22. Указание. Имеем здесь частный случай предыдущей задачи, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 параллельны.

Задача 23. Рассмотрим треугольники 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 параллельные, а значит имеют общую несобственную точку на расширенной плоскости. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы Дезарга (два трехвершинника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют центр перспективы). Следовательно, точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежат на одной прямой.


Рис.34

Задача 24. Рассмотрим два треугольника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – несобственная точка прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, мы находимся в условиях обратной теоремы Дезарга для трехвершинников 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (они имеют ось перспективы). Следовательно, они имеют и центр перспективы, т.е. прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415 принадлежат одному пучку.

Задача 25.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и т.д.

Задача 26. Рассмотрим проективный репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
откуда и следует утверждение задачи.

Задача 27. Проведем прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не проходящую через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– биссектриса внутреннего угла треугольника, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – биссектриса внешнего угла треугольника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при вершине 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 35

Задача 28. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 36

Задача 29. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Рис. 37

Задача 30. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – несобственная точка расширенной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415– середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415), т.е. точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 гармонически разделяют пару точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построим полный четырехвершинник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415так, чтобы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 были диагональными точками, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– точкой пересечения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 со стороной, проходящей через третью диагональную точку. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по свойству полного четырехвершинника, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на аффинной плоскости. Отсюда вытекает следующий способ построения искомой прямой. На прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 возьмем точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 так, чтобы точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежала между точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее проводим прямые 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и строим точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – искомая прямая, параллельная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 38

Задача 31. Способ построения непосредственно вытекает из решения предыдущей задачи. Возьмем точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не лежащую на двух заданных параллельных прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим точки: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что следует из свойства полного четырехвершинника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 39 Рис. 40

Задача 32. Через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, параллельную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (задача 22). Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем прямую, параллельную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (задача 30).
Если задана окружность с центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то построим сначала какой-нибудь параллелограмм, пользуясь тем свойством, что всякий диаметр окружности делится центром окружности пополам. Проведем два диаметра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и возьмем произвольную точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которая им не принадлежит. Проведем через нее прямые, параллельные 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим параллелограмм, у которого точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 являются вершинами.


Рис. 41

Задача 37. Указание. Разместить деревья в вершинах конфигурации Паппа, т.е. в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Одна из указанных точек должна быть центром симметрии конфигурации.

Задача 40. Сужение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 есть, очевидно, преобразование прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Кроме того, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сохраняет сложное отношение любых четырех точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет сохранять простое отношение любых трех точек, т.е. будет аффинным преобразованием прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 43 Первый способ. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду способом Лагранжа (выделением полных квадратов):

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Выполняя преобразование координат по формулам

13 EMBED Equation.DSMT4 1415,

Приходим к следующему каноническому уравнению:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Второй способ. Ранг матрицы данной квадрики

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

равен 3. Кроме того, очевидно, что квадрика проходит через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, значит, является овальной.

Задача 44. Все элементы матрицы квадратичной формы равны нулю, кроме следующих:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Из (9) получаем:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.




Задачи с решениями по всему курсу.
Задача 1. Выяснить тип инволюции:


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – инвариантная точка инволюции. Тогда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Откуда получаем, что

13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то получаем, что инволюция не имеет неподвидных точек, т.е. является эллиптической.

Задача 2. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – инвариантная точка инволюции. Тогда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Система совместна если и только если

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Решая уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Подставляя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в первое уравнение, имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– инвариантная точка. Аналогично, подставляя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в первое уравнение, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – инвариантная точка инволюции.

Задача 3. Гомология 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, осью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построить:
точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – данная точка прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – данная точка;
точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – данная точка.
Решение. 1) Возьмем произвольную точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и построим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее, пользуясь соответственными точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис 42

Рис 43

Задача 4. Написать формулы проективного преобразования 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямой по трем парам соответствующих точек: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – система векторов, согласованная относительно репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождают соответственно точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Решив систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – система векторов, согласованная относительно репера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождают соответственно точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Решая систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

В проективном преобразовании прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 переходит в репер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Решив системы уравнений, получаем формулы проективного преобразования прямой:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Задача 5. (Задача о бабочке). Через внутреннюю точку O эллипса проведены три хорды [AB], [MN], [PQ]. Точка О является серединой хорды [AB], которая пересекает отрезки [PM] и [NQ] соответственно в точках E и F. Доказать, что точка О есть середина отрезка [EF].
Проективное решение.



Рис. 44

Рассмотрим перспективное отображение прямой (АВ) в пучёк прямых, проходящих через точку М, далее, согласно конструкции Штейнера, отображаем прямые, проходящие через точку М в пучёк прямых, проходящих через точку Q, которые в свою очередь снова отображаем перспективно на прямую (АВ). В результате точка Е перейдет в точку О, точка О – в точку F, точки А и В останутся неподвижными. Произведем симметрию относительно точки О. Точка F перейдет в некоторую точку G. При проективных преобразованиях сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой, сохраняется, то есть (АВ,ОЕ) = (ВА, GO) =(AB,OG). Таким образом, Е=G. Cледовательно, точка О есть середина отрезка [EF].
Для сравнения рассмотрим классическое доказательство теоремы о бабочке в круге методами евклидовой геометрии.
Теорема о бабочке. Пусть через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, являющуюся серединой хорды 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 некоторой окружности, проведены две произвольные хорды 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Хорды 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 пересекают отрезок 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415является серединой отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 45

Доказательство. Опустим перпендикуляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, затем перпендикуляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Введем обозначения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – треугольник с вершиной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и противолежащей ей стороной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, аналогично и для других треугольников. Из рассмотрения пар подобных треугольников 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вытекает, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
откуда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что и требовалось доказать.

Задача 6. Центр инволютивной гомологии имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а ось гомологии – уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Написать формулы преобразования.

Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– ось гомологии имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– инволютивная гомология, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проектируем точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Аналогично находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– центр гомологии. Матрица перехода от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Согласовываем столбцы матрицы перехода, решая систему линейных уравнений

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Согласованная матрица перехода имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задача 7. Доказать теорему:
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полный четырехвершинник с вершинами на овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная точка является полюсом противолежащей диагонали.

Решение. Докажем, например, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом противолежащей диагонали 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Остальное доказывается аналогично. По теореме о гармонических свойствах полного четырехвершинника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда следует, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 гармонически сопряжены с точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно овальной кривой и, следовательно, лежат на ее поляре. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 46

Задача 8. Даны овальная кривая второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построить поляру точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– внешняя точка относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– внутренняя точка относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
1) Через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем три секущие, пересекающие овальную кривую в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежат на поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 47

2) Через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем две произвольные прямые, пересекающие овальную кривую в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На основании теоремы, доказанной в предыдущей задаче, делаем вывод, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежат на поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 48

3) Проводим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 секущую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и строим ее полюс 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415будет искомой касательной. Возьмем две внутренние точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и построим их поляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– касательная.



Рис. 49

Задача 9. Построить полюс данной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно данной овальной кривой второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Решение. Возьмем две точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и построим их поляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет полюсом прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 10. Из данной точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помошью одной линейки.

Указание. а) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то поляра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415будет искомой касательной.
б) в случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 касательными будут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 11. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – внешняя относительно окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведены всевозможные секущие к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, отличные от прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Доказать, что точки пересечения касательных к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках ее пересечения с каждой секущей лежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 50

Решение. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поляра точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проходит через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и поляра точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проходит через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получили, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взяты произвольно, то всякая точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, являющаяся точкой пересечения касательных к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках ее пересечения с секущей, будет принадлежать поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По свойству окружности касательные в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 перпендикулярны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и пересекаются в несобственной точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 12. В окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведены параллельные хорды и в их концах – касательные к окружности. Доказать, что точки пересечения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной прямой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Указание. Сводится к задаче 11, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является несобственной точкой. Остается лишь показать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда следует, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415– несобственная точка прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).


Рис. 51

Задача 13. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:
касательную в третьей точке;
еще одну точку кривой.

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – заданные касательные.
Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– искомая касательная.


Рис. 52

2) Построим точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проводим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольную прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не проходящую через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 53








Задача 14. Центр инволютивной гомологии имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а ось гомологии – уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Написать формулы преобразования.

Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– ось гомологии имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– инволютивная гомология, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проектируем точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Аналогично находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– центр гомологии. Матрица перехода от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Согласовываем столбцы матрицы перехода решая систему линейных уравнений

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Согласованная матрица перехода имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задача 15. Доказать теорему:
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полный четырехвершинник с вершинами на овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная точка является полюсом противолежащей диагонали.

Решение. Докажем, например, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом противолежащей диагонали 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Остальное доказывается аналогично. По теореме о гармонических свойствах полного четырехвершинника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда следует, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 гармонически сопряжены с точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно овальной кривой и, следовательно, лежат на ее поляре. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 54

Задача 16. Даны овальная кривая второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Построить поляру точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– внешняя точка относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– внутренняя точка относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
1) Через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем три секущие, пересекающие овальную кривую в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежат на поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 55

2) Через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведем две произвольные прямые, пересекающие овальную кривую в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На основании теоремы, доказанной в предыдущей задаче, делаем вывод, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежат на поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 56

3) Проводим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 секущую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и строим ее полюс 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415будет искомой касательной. Возьмем две внутренние точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и построим их поляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– касательная.



Рис. 57

Задача 17. Построить полюс данной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно данной овальной кривой второго порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Решение. Возьмем две точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и построим их поляры 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет полюсом прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 18. Из данной точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помошью одной линейки.

Указание. а) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то поляра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415будет искомой касательной.
б) в случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 касательными будут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 19. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – внешняя относительно окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведены всевозможные секущие к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, отличные от прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Доказать, что точки пересечения касательных к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках ее пересечения с каждой секущей лежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Рис. 58

Решение. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поляра точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проходит через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является полюсом для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и поляра точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проходит через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получили, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взяты произвольно, то всякая точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, являющаяся точкой пересечения касательных к окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках ее пересечения с секущей, будет принадлежать поляре точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По свойству окружности касательные в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 перпендикулярны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и пересекаются в несобственной точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 20. В окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведены параллельные хорды и в их концах – касательные к окружности. Доказать, что точки пересечения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной прямой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Указание. Сводится к задаче 11, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является несобственной точкой. Остается лишь показать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда следует, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– середина отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415– несобственная точка прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).


Рис. 59

Задача 21. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:
касательную в третьей точке;
еще одну точку кривой.

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – заданные касательные.
Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– искомая касательная.


Рис. 60

2) Построим точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проводим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольную прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не проходящую через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 61








Задача 22. Овальная кривая второго порядка задана тремя касательными к ней и точками касания двух из них. Построить:
1) еще одну касательную;
еще одну точку кривой.

Решение. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – заданные касательные и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точки касания, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Используем предельный случай теоремы Брианшона.
1) Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Возьмем на касательной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 некоторую точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим точку Брианшона 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – искомая касательная.


Рис. 62

2) Построим точку касания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим точку Брианшона 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – искомая точка кривой.



Рис. 63

Задача 23. На евклидовой плоскости даны ось, вершина и еще одна точка параболы. Построить касательную к параболе в этой точке.


Рис. 64

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Касательной к параболе в ее вершине является перпендикуляр к оси, поэтому вершину будем считать двойной точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а касательную обозначим как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Касательной к параболе в несобственной точке оси является несобственная прямая, поэтому обозначим несобственную точку оси как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как нас интересует касательная в заданной точке, то она также будет двойной точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Находим точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 используя то, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – искомая касательная в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 24. Даны две асимптоты гиперболы и одна ее точка. Построить:
1) касательную к гиперболе в данной точке;
2) еще одну точку гиперболы.

Решение. Известно, что асимптоты гиперболы на расширенной плоскости являются касательными в ее несобственных точках. Воспользуемся предельным случаем теоремы Паскаля. Несобственные точки асимптот будем считать двойными точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно.
1) Заданную точку, в которой нужно провести касательную к гиперболе также будем считать двойной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит на несобственной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. является несобственной точкой прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – искомая касательная.



Рис. 64

1) Строим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проводим через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольную прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет несобственной этой прямой, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит на несобственной прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 паскалевой прямой получаем из того, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Искомую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем как пересечение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Рис. 65








МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Сравнительное изучение теории инвариантов для аффинных, проективных и метрических пространств всегда составляло основу классического математического образования студентов педагогических вузов. Методы проективной геометрии являются эффективным инструментом для решения задач элементарной геометрии. Поэтому освещение различных вопросов элементарной геометрии с проективной точки зрения имеет прямое отношение к будущей работе учителей математики.
Курс проективной геометрии изучается после курса аналитической геометрии. Студенты уже знакомы с аффинными преобразованиями и движениями плоскости и трехмерного пространства и их инвариантами. Курс начинается строгим аксиоматическим изложением аффинной и евклидовой геометрии (по Вейлю). Затем при изучении центрального проектирования обосновывается необходимость конструирования проективного пространства и изучения инвариантов проективных преобразований.
В итоге студенты получают представление об инвариантах различных групп геометрических преобразований.
В настоящем пособии помещены задачи с подробными указаниями к их решению, что очень важно при самостоятельной работе над курсом, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Ценность пособия возрастает при значительном сокращении часов, отводимых для изучения геометрии.
Приложение 2

Содержание курса Проективная геометрия


1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
геометрий
Общее определение аффинного и аффинного евклидова пространства (в аксиоматике Вейля). Общее определение скалярного произведения векторов. Понятие системы координат в аффинном пространстве и прямоугольной системы координат в аффинном евклидовом пространстве. Координаты точек и формулы преобразования координат точек, геометрический смысл матрицы перехода. Длина отрезка в координатах в произвольной и прямоугольной системе координат.
Аффинные преобразования аффинного пространства. Движения евклидова пространства. Инварианты аффинных преобразований. Инварианты движений.
Алгебраические кривые 1 и 2 порядка в аффинных пространствах. Классификация кривых 2 порядка относительно группы аффинных преобразований и относительно группы движений.
Эрлангенская программа Клейна.


2. Построение проективного пространства

Центральное проектирование в аффинном пространстве. Введение несобственных элементов и построение проективного пространства. Общее определение проективного пространства.
Модели проективной прямой, проективной плоскости и трехмерного проективного пространства.
Некоторые свойства точек и прямых и их проверка в различных моделях проективной плоскости.
Принцип двойственности на проективной плоскости и в трехмерном проективном пространстве.


3. Проективные координаты точек, проективные системы координат

Введение проективных координат точек и проективных систем координат в различных моделях проективной прямой, проективной плоскости. Общее определение проективной системы координат в проективном пространстве.
Однородные координаты как частный случай проективных координат на проективной прямой и проективной плоскости в моделях пополненной прямой и пополненной плоскости соответственно. Связь между аффинными и однородными координатами для собственных точек пополненной прямой и пополненной плоскости.
Формулы преобразования проективных координат точек.


4. Линии 1 порядка на проективной плоскости

Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.
Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.
Гармонические четверки точек и прямых.
Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.
Теоремы Дезарга и Паппа.


5. Линии 2 порядка на проективной плоскости

Приведение уравнения линии 2 порядка к каноническому виду. Квадрики.
Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.
Теоремы Паскаля и Брианшона.

6. Проективные преобразования проективных пространств

Перспективные соответствия проективных прямых, проективных плоскостей. Некоторые инварианты при перспективных соответствиях.
Проективные преобразования и отображения проективных пространств: различные определения и их эквивалентность. Проективные преобразования в координатах.
Группа проективных преобразований и ее подгруппы. Проективно-аффинные преобразования.
Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.

7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии

Схема решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.
Примеры задач, решаемых методами проективной геометрии.



Практические задания с решениями

Решаемые задачи иллюстрируют лекционный курс, а также создают мотивацию к последующему изучению теоретического материала. Четкая запись условий задач, подробная, структурированная запись решения геометрических задач является основным требованием к работе как преподавателя, так и студентов, что необходимо для качественного объяснения и усвоения геометрического материала. Недопустимы «приблизительные» решения, а также их отсутствие (только чертеж), что создает иллюзию понимания.


Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий

Список необходимых сведений: определения аффинных преобразований и движений аффинного и евклидова пространства. Их свойства.

Практические задания

На плоскости относительно прямоугольной системы координат дано каноническое уравнение эллипса с параметрами a , b. Перевести аффинным преобразованием данный эллипс в единичную окружность с центром в начале координат.
Решение.
Каноническое уравнение эллипса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Перепишем его в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим аффинное преобразование 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Оно переводит эллипс в единичную окружность с уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Штрихи над координатами x и y показывают, что единичная окружность является образом. После того как уравнение образа получено, то штрихи можно не писать.


На плоскости относительно прямоугольной системы координат даны две единичные окружности: с центром в начале координат и с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Перевести одну окружность в другую аффинным преобразованием.
Решение.
Рассмотрим две единичные окружности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим движение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Оно является параллельным переносом на вектор с координатами13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и переводит первую окружность во вторую.

Можно ли перевести любой эллипс в любой эллипс движением плоскости и почему?
Решение.
Из задач 1, 2 вытекает, что аффинным преобразованием можно перевести любой эллипс в любой эллипс. Для этого надо перевести оба эллипса в единичные окружности с теми же центрами, а затем перевести окружности друг в друга. Однако в случае произвольных канонических параметров эллипсов этого нельзя добиться движением, так как параметры отвечают за размеры эллипсов.

Можно ли перевести эллипс в гиперболу (или любую другую кривую 2 порядка) аффинным преобразованием и почему?
Решение.
Невозможно перевести аффинным преобразованием эллипс в гиперболу, так как эти фигуры имеют различные инвариантные свойства. В частности, эллипс является ограниченной фигурой, а гипербола – неограниченной. Эллипс не имеет асимптот, а гипербола имеет.

Аналогичные задачи надо уметь решать для всех кривых 2 порядка на плоскости.

Сделать следующие выводы.
Любой эллипс можно перевести в любой эллипс аффинным преобразованием.
Два эллипса можно перевести друг в друга движением плоскости только если они имеют одинаковые канонические параметры.
Сделать аналогичные выводы для других кривых 2 порядка на плоскости.
Составить список инвариантных (относительно аффинных преобразований) свойств и показать, что кривые из разных канонических классов имеют разные инвариантные свойства. Следовательно, не могут быть переведены друг в друга аффинным преобразованием.


Тема 2. Построение проективного пространства

Список необходимых сведений: центральное и параллельное проектирование.

Практические задания

Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
Сохраняются ли при центральном проектировании
а) отношение порядка точек на прямой,
б) простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой?

Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.

Обосновать введение бесконечно удаленных элементов плоскости (прямой, пространства).


Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.

Список необходимых сведений: общее определение проективной системы координат в проективном пространстве (2 определения), формулы преобразования проективных координат точек.

Практические задания

На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
Рассмотреть 2 случая:
а) проективная система координат задана классом эквивалентности базисов e1,e2 ,
б) проективная система координат задана упорядоченной тройкой прямых пучка R={e1,e2,e} .
Решение.
На рисунке 1 показано построение прямой пучка в случае а), а на рисунке 2 – в случае б). Словесное описание построения восстановите сами.

Рис.1 Рис. 2

На проективной прямой в модели пополненной прямой построить точку с координатами (a:b) относительно проективной системы координат R={E1,E2,E} .
Рассмотреть случай, когда все точки E1,E2,E являются обычными точками пополненной прямой, и все 3 случая, когда одна из трех базисных точек E1,E2,E является бесконечно удаленной точкой.
Решение.
На рисунке 3 показано построение точки М в случае, когда точки E1,E2,E являются обычными точками пополненной прямой.
Рис.3

На рисунке 3 показано построение точки М в случае, когда точка E является бесконечно удаленной точкой.

Рис.4

На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
Рассмотреть только случай, когда проективная система координат задана классом эквивалентности базисов.
Решение.
Рис. 5

На проективной плоскости в модели пополненной плоскости построить точку с координатами (a:b:c) относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E} .
Рассмотреть случаи, когда
а) все базисные точки E1,E2,E3,E являются собственными точками плоскости,
б) одна из четырех базисных точек E1,E2,E3,E является бесконечно удаленной точкой плоскости,
в) две из четырех базисных точек E1,E2,E3,E являются бесконечно удаленными точками плоскости.
Решение.

Рис. 6

Рис. 7

Обратить внимание на то, что параллельные прямые на пополненной плоскости имеют общую бесконечно удаленную точку.

5. Даны две проективные системы координат R={E1,E2,E3,E} и R’={E’1,E’2,E’3,E’}, причем точки E’1,E’2,E’3,E’ имеют относительно R координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно. Обозначим координаты некоторой точки M 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R’. По координатам относительно R уметь находить координаты относительно R’ и обратно.
Решение
Запишем формулы преобразования координат точек и подставим в них координаты точки М.
1) Проверим, согласованы или нет координаты точек системы R’.
Это означает следующее. Точки E’1,E’2,E’3,E’ порождаются векторами e’1, e’2, e’3, e’ с координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При этом, возможно, что e’1+ e’2+ e’3 = e’ или e’1+ e’2+ e’3 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 e’. В первом случае координаты точек E’1,E’2,E’3,E’ называются согласованными, а во втором случае – несогласованными. Итак, проверим выполнение равенств
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если равенство выполняется, то есть координаты точек согласованы, то переходим к действию 2).
Если равенство не выполняется, то есть координаты точек не согласованы, то согласуем их. Для этого найдем такие числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находятся из системы линейных уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Векторы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 теперь согласованы. Переобозначим их опять через e’1, e’2, e’3, e’.
2) Так как координаты точек E’1,E’2,E’3,E’ согласованы, то можно считать, что базис e’1, e’2, e’3 являются одним из базисов, порождающих проективную систему координат R.
Рассмотрим вектор m, порождающий точку М. Он имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно базиса e1, e2, e3 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно базиса e’1, e’2, e’3. По формулам преобразования координат векторов
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Проективные координаты точек определяются с точностью до пропорциональности. Поэтому пишут
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это формулы преобразования координат точек на проективной плоскости.
Если нам даны координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки М относительно R, то подставив их, решим систему уравнений относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Мы найдем координаты точки М относительно R’.
Если нам даны координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки М относительно R’, то подставив их, решим систему уравнений относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Мы найдем координаты точки М относительно R.


Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.

Список необходимых сведений. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой на проективной плоскости. Однородные координаты точек на пополненной плоскости и на пополненной прямой.

Практические задания

Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
Решение.
Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1,E2,E3,E}, где E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости.
Тогда несобственная прямая имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В самом деле, несобственные точки плоскости и только они порождаются векторами с координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно базиса
e1 , e2, e3 , причем векторы ei порождают точки Ei , а вектор e1 + e2 + e3 - точку E. Следовательно, несобственные точки имеют координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задание. Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1,E2,E3,E}, где E2,E3 или E1,E -- несобственные точки пополненной плоскости. Какое уравнение будет иметь несобственная прямая?

Решение задач на формулы связи аффинных и однородных проективных координат точек. Уметь находить однородные координаты точек по их аффинным координатам и, наоборот, по аффинным координатам проективные координаты на прямой.

Решение.
Пусть на пополненной плоскости даны аффинная система координат Oe1e2 и проективная однородная система координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 . Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) Рассмотрим точку с аффинными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и найдем ее однородные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если точка имеет аффинные координаты, то она не является несобственной. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Так как проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности, то 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) Рассмотрим точку с однородными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и найдем ее аффинные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точка является несобственной и не имеет аффинных координат.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то аффинные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки находятся по формулам связи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 дано общее уравнение прямой. Написать уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .
Какие однородные координаты имеет бесконечно удаленная точка этой прямой?
Решение.
Общее уравнение прямой имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.
Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 . При этом прямая пополнится ровно одной несобственной точкой с однородными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, остальные точки прямой будут иметь координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Подставим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в общее уравнение прямой: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Умножив уравнение на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Это уравнение пополненной прямой.13 EMBED Equation.DSMT4 1415

На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 написать общее уравнение прямой, если дано уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .
Решение
Общее уравнение прямой на пополненной плоскости имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - координаты точек относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости. Рассмотрим аффинную систему координат Oe1e2, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2.
На конечной части плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Разделим общее уравнение на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.

В следующих задачах связь между аффинными и однородными координатами считается как в задачах 2, 3.

Найти однородные координаты точки пересечения прямых
2x – 3y + 5 =0, 5x + 2y – 1 = 0.
Решение.
Решим систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и найдем аффинные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки пересечения прямых.
Мы предполагаем, что система имеет решение. В противном случае прямые не пересекаются на аффинной плоскости.
Найдем однородные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки пересечения. Так как для конечных точек плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Мы воспользовались формулами связи между аффинными и проективными координатами точек.
Итак, однородные координаты точки пересечения прямых имеют вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание. Если система не имеет решения, то прямые параллельны на аффинной плоскости. В этом случае их уравнения пропорциональны и можно считать, что прямые задаются уравнениями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 На пополненной плоскости они пересекаются в общей несобственной точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
x1 – 3x2 + 4x3 =0, 5x1 + 2x2 – x3 = 0.
Решение.
Решим систему уравнений
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и найдем однородные координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 их точки пересечения. Они определены с точностью до пропорциональности.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - аффинные координаты точки пересечения прямых.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то точка пересечения прямых является несобственной точкой плоскости и не имеет аффинных координат.


Найти однородные координаты точки пересечения прямой
5x1 + 2x2 – x3 = 0 и бесконечно удаленной прямой.
Решение
Рассмотрим общее уравнение прямой на пополненной плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - координаты точек относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости. Несобственная прямая имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, координаты несобственной точки прямой удовлетворяют уравнению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - проективные координаты несобственной точки данной прямой.


Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.

Список необходимых сведений. Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.
Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.

Практические задания

На проективной плоскости даны две точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 своими координатами относительно некоторой проективной системы координат R. Написать параметрическое и общее уравнения прямой, проходящей через точки А и В.
Решение.
Параметрическое уравнение прямой имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где u, v произвольные действительные числа.
Общее уравнение прямой найдем из уравнения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Найти координаты точки пересечения прямых, если заданы по две точки на каждой из них.
Решение.
Напишем общие уравнения прямых, проходящих через заданные точки. Для этого используем решение предыдущей задачи.
Решим систему из двух уравнений, найденных в пункте 1), и найдем координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 их точки пересечения.


Найти двойное отношение четырех точек на проективной прямой
A13 EMBED Equation.DSMT4 1415, B13 EMBED Equation.DSMT4 1415, C13 EMBED Equation.DSMT4 1415, D13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
По определению двойного отношения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


На проективной прямой дано двойное отношение четырех точек и координаты трех из них. Найти координаты четвертой точки, если
(AB,CD)=k, A13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , B13 EMBED Equation.DSMT4 1415, C13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Решение.
Обозначим координаты точки D через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По условию и по определению двойного отношения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не могут одновременно равняться нулю.
Если, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то можно разделить числитель и знаменатель дроби на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решив это уравнение относительно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим численное значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда координаты точки D будут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то можно делить на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и решать аналогично.


На проективной плоскости дано двойное отношение четырех точек и координаты трех из них. Найти координаты четвертой точки, если (AB,CD)= -1, A13 EMBED Equation.DSMT4 1415, B13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , C13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проверить коллинеарность точек A, B, C.
Решение
Проверим коллинеарность точек А, В, С.
Точки A13 EMBED Equation.DSMT4 1415, B13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , C13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порождаются векторами a13 EMBED Equation.DSMT4 1415, b13 EMBED Equation.DSMT4 1415, c13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы a, b, c линейно зависимы. Чтобы установить это или опровергнуть, проверим равенство или соответственно неравенство нулю определителя
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если определитель равен нулю, то точки коллинеарны. В противном случае неколлинеарны.

При условии что точки коллинеарны, найдем координаты четвертой точки D.

Замечание. Эту задачу нельзя решать как предыдущую, так как нам известны не две, а три координаты точек. Для формул же двойного отношения точки должны иметь по две координаты.

Теорема. Пусть на проективной плоскости задана проективная система координат R={E1,E2,E3,E} и точка М имеет координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R.
Пусть13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - проекции точек Е и М из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - проекции точек Е и М из центра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - проекции точек Е и М из центра13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют координаты
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R={E2,E3,E13 EMBED Equation.DSMT4 1415},
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415на прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно R13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Теорема. При центральном проектировании двойное отношение точек не меняется, то есть двойное отношение точек равно двойному отношению их образов.

Рассмотрим проекции13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точек A, B, C, D на прямую 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В силу теорем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)

Координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не могут одновременно равняться нулю.
Если, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, то в равенствах (1) и (2) можно разделить числитель и знаменатель дроби на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Равенство (3) в этом случае нам не понадобится. Из (1) и (2) найдем численные значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Получим для координат точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то либо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, либо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Выберем ту координату 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и повторим для нее рассуждения как для координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
соответственно. Написать уравнение прямой d, если (a b , c d) = -1/3. Проверить принадлежность прямых a, b, c одному пучку.
Решение.
Выпишем координаты прямых
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и повторим решение задачи 5, поменяв слова «точка» и «прямая» местами. Мы воспользовались принципом двойственности точек и прямых на проективной плоскости.


Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
Решение
Перейдем от общих уравнений прямых в аффинных координатах к общим уравнениям этих прямых в однородных координатах (см. задачу 3 из практического занятия 5). После этого воспользуемся решением предыдущей задачи.

Обратить внимание на двойственность понятий двойное отношение четырех точек на проективной прямой и двойное отношение четырех прямых пучка на проективной плоскости.


Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.

Список необходимых сведений. Гармонические четверки точек и прямых. Теорема Дезарга.

Практические задания

Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
Решение
Напомним, что точки прямой (прямые пучка) находятся в гармоническом отношении, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее решения задач из практического занятия 6 повторяются дословно.


Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
Решение см., например, в [4 , с. 44].

Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
а) центр и ось перспективы являются бесконечно удаленными элементами пополненной плоскости,
б) центр перспективы является бесконечно удаленной точкой пополненной плоскости, а ось перспективы – обыкновенной прямой этой плоскости,
в) ось перспективы является бесконечно удаленной прямой пополненной плоскости, а центр перспективы – обыкновенной точкой этой плоскости.
Сформулировать соответствующие теоремы аффинной геометрии.


Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
Множество таких задач содержится в углубленном курсе элементарной геометрии. См., например, [19].

Обратить внимание на двойственность прямой и обратной теорем Дезарга. Обсудить понятие двойственных фигур, привести примеры двойственных фигур.




Темы 5, 6. Линии 2 порядка на проективной плоскости. Проективные преобразования проективных пространств.

Список необходимых сведений. Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.
Проективные преобразования в координатах.
Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.

Практические задания

Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
Решение для гиперболы.
Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы на аффинной плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.
Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .
Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Подставим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в уравнение гиперболы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Умножив уравнение на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это уравнение гиперболы на пополненной плоскости в однородных координатах.

Аналогично можно получить уравнения других девяти кривых в однородных координатах на пополненной плоскости

Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
Решение
Найдем пересечение гиперболы с бесконечно удаленной прямой. Иными словами, найдем множество бесконечно удаленных точек гиперболы.
Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, координаты бесконечно удаленных точек гиперболы удовлетворяют уравнению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Решим это уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из последних равенств получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как мы получили два решения, то гипербола имеет две бесконечно удаленных точки с координатами
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Мы использовали тот факт, что числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и можно делить координаты на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 В противном случае бесконечно удаленные точки гиперболы имеют координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что невозможно.
Напомним, что асимптоты гиперболы имеют уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Или в общем виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Бесконечно удаленные точки асимптот имеют координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак, на пополненной плоскости гипербола пересекается с асимптотами в общих бесконечно удаленных точках.

Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
Решение.
1) Рассмотрим канонические уравнения эллипса и гиперболы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Запишем их в однородных координатах
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Чтобы найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга, перепишем уравнения в более удобном виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рассмотрим проективное преобразование
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Оно переводит первую кривую в кривую с уравнением
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Штрихи над координатами означают, что полученная кривая является образом первой кривой. После того как образ получен, штрихи можно не писать. Получим уравнение гиперболы в однородных координатах.
Итак, мы нашли проективное преобразование, переводящее эллипс в гиперболу на пополненной плоскости. Напомним, что это невозможно сделать аффинным преобразованием аффинной плоскости. Это означает, что данные кривые принадлежат одному классу проективно эквивалентных кривых.


Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
а) эллипса и параболы,
б) гиперболы и параболы,
в) параллельных и пересекающихся прямых.

Сделать вывод о проективной эквивалентности этих кривых. Вспомнить, почему они не являются аффинно эквивалентными кривыми.


Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии

Примеры задач школьного курса, решаемые средствами проективной геометрии можно найти в пособиях из основного списка [3, c.128], [4, c.85], [5, c.86], а также в [19].

Список рекомендуемой литературы

Основной
1.Александров П.С, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.
2.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.
3.Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2 - М.: Просвещение, 1987. -352 с.
5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Ч.2. - М.: Просвещение, 1975. – 367 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.
7. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672 с.
8. Гильберт Д., Кон – Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
9. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. – М.: Мир, 1970.-160 с.
10. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. – М.: Издательство ин лит. -1957 -410 с.
11. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.-283 с.
12. Базылев В.Т., Дуничев К.И. и другие. Сборник задач по геометрии. – М.:Просвещение, 1980 – 238с.

Дополнительный
Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии. – М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
Глаголев Н.А. Проективная геометрия, 2-е изд. - М.-Л.: Гостехиздат, 1963.
Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л..: Гостехиздат, 1948.
Дорфман А.Г. Оптика конических сечений. – М.: Физматгиз, 1959.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.
Заславский А.А. Геометрические преобразования. – М.: МЦНМО, 2003.
Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость. - М.: Физматгиз, 1959.
Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966.
Коксетер Г.С..М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
Клейн Ф. Высшая геометрия. – М.-Л.: 1939.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967.
Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. – М.: ГИТТЛ, 1953.
Певзнер С.Л. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.
Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука.
Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1973.
Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. – М.: МЦНМО, 2000.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4-е изд., доп. – М.: МЦНМО, 2002
Розенфельд Б.А. Неэвклидовы геометрии. - М.: 1955.
Розенфельд Б.А., Сергеева Н.Д. Стереографическая проекция. – М.: Наука, 1973.
Скопец З.А. Конические сечения. Энциклопедия элементарной математики, кн. 5. – М.: Наука, 1966.
Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. – М.: Гостехиздат, 1956.
Четвертухин Проективная геометрия
Юнг Дж. В. Проективная геометрия. – М.: 1949.
Яглом И.М. Геометрические преобразования, ч.I,2. - М.: Гостехиздат, 1955, ч.II. - М.: Гостехиздат, 1956.
26.Яглом И.М., Атанасян Л.С. Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной математики, кн. 4. – М.: Физматгиз, 1963











=13 PAGE 14515=


O

M

N

M(

N(

(

(

Рис. 1

O

M

lOM

Рис. 2

O

L

M

l

m

d

(

X

Рис. 3

O

L

M

l

m

(

X

Рис. 4

M(m1, m2,m3)

A3(0,0,1)

A2(0,1,0)

A1(1,0,0)

E2(1,0,1)

E1(0,1,1)

E3(1,1,0)

E(1,1,1)

M2
(m1,0,m3)

a1

a3

e2

Рис. 5

Рис. 6

q

C((

B((

A((

C(

B(

A(

C

B

A

Q

Рис. 7

p

q

C

Q

D

P

B

N

M

A

Q

A

B

C

A(

B(

C(

A((

B((

C((

(

(

Рис. 8

O

l

n

k

m

d

d(

M

K

N

L

M(

K(

N(

L(

Рис. 9

F

A

B

C

D

E

G

рис. 10

A

B

C

D

E

F

K

G

L

рис. 11

M

O

M(

N(

N

Q

g

g(

Рис. 12

O

Рис. 13

M((

A((

B((

C((

M(

A(

B(

C(

g(

g((

g

C

B

A

M

O(

Рис. 14

O(

a(

a

O

A

d

O(

b(

m(

c(

A

B(

M(

C(

S

B

M

C

a(

a

c

m

b

O

Рис. 15

A(

B(

C(

C

B

A

d(

d

C((

B((

A((

d((

Рис. 16

N





Q

M

P

m'

m

Рис.18

E2

E1




l

l

O1

x2

O33

x1

x

E

O2

A4

A3

A2

A1

A5

A6

A6

A5

A4

A3

A2

A1

x

N

x1

x2

N

O

O

F

E

D

C

B

A

M

B
·

13 EMBED Equation.3 1415M

B

O

E

A

y
·

x
·

N2 (y1, y3)

N (y1, y2, y3)

N3 (y1, y2)

E

E2

e2

e1

E3

A

O

A

B

C

D





E

F






 VX„
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeAEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Заголовок 1 Заголовок 2 Заголовок 3 Заголовок 4 Заголовок 5, Знак

Приложенные файлы

  • doc 23691128
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий