Мет по постр.пр.мод

министерство сельского хозяйства российской федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»






Кафедра статистики и информационных систем в экономике




ОПД.Р.02 ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Лабораторное занятие №1. Построение простейших моделей.

Методические указания


Специальность 080502 Экономика и управление на предприятии (в аграрном производстве)









Уфа 2006

УДК 519.8
ББК 22.18
Л 12




Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол № 7 от «29» мая 2006 г.)




Составитель: ст. преподаватель Сагадеева Э. Ф.


Рецензент: к.т.н., доцент кафедры информатики и информационных технологий Дидык Т. Г.



Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой статистики и информационных систем в экономике д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.















оглавление

1. Теоретическое введение
4


2. Методические рекомендации
5


3. Варианты задач для самостоятельного решения
10


4. Библиографический список
18




































Цель работы

Приобретение навыков построения простейших экономико-математических моделей

ПОРЯДОК РАБОТЫ
Для задачи, соответствующей Вашему номеру варианта, составьте экономико-математическую модель, соблюдая правила оформления и отразив все её элементы. Укажите названия переменных и ограничений, единицы измерения величин.

1. Теоретическое введение
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:
1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения 13 EMBED Equation.3 1415;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи ЛП
Целевая функция (ЦФ)
13 EMBED Equation.3 1415,
при ограничениях
13 EMBED Equation.2 1415
(1.1)

При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Например, если продавая j-й товар в общем случае по цене 100 рублей, фирма будет делать скидку при определенном уровне закупки до уровня цены 95 рублей, то будет отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. в разных ситуациях одна единица j-го товара будет приносить разный доход. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.
Допустимое решение – это совокупность чисел (план) 13 EMBED Equation.2 1415, удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

2. Методические рекомендации
Задача № 1
Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.
Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Таблица 1
Параметры задачи о производстве красок
Ингредиенты
Расход ингредиентов, т ингр./т краски
Запас, т ингр./сутки


Краска 1-го вида
Краска 2-го вида


А
1
2
6

В
2
1
8


Решение
Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
Что является искомыми величинами задачи?
Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, 13 EMBED Equation.3 1415. Математическая формула ЦФ 13 EMBED Equation.3 1415 отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
Построим модель задачи №1, используя описанную методику.
Переменные задачи
В задаче №1 требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида красок:
13 EMBED Equation.2 1415 – суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];
13 EMBED Equation.2 1415 – суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
Целевая функция
В условии задачи № 1 сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи краскок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс.руб. за 1 т краски. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски 1-го вида равен 13 EMBED Equation.2 1415 тыс.руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 13 EMBED Equation.2 1415 тыс.руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок)
13 EMBED Equation.2 1415 [тыс.руб./сутки],
13 EMBED Equation.3 1415.
Ограничения
Возможные объемы производства красок 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 ограничиваются следующими условиями:
количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;
согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски 2-го вида может превышать объем производства краски 1-го вида, но не более, чем на 1 т краски;
объем производства краски 2-го вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;
объемы производства красок не могут быть отрицательными.
Таким образом, все ограничения задачи №1 делятся на 3 группы, обусловленные:
расходом ингредиентов;
рыночным спросом на краску;
неотрицательностью объемов производства.
Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем эти ограничения в математической форме.
Левая часть ограничения – это формула расчета суточного расхода конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл.1.1). Тогда на производство 13 EMBED Equation.3 1415 т краски 1-го вида и 13 EMBED Equation.3 1415 т краски 2-го вида потребуется 13 EMBED Equation.3 1415 т ингр. А.
Правая часть ограничения – это величина суточного запаса ингредиента на складе, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл.1.1). Таким образом, ограничение по расходу А имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогична математическая запись ограничения по расходу В:
13 EMBED Equation.3 1415.
Примечание. Следует всегда проверять размерность левой и правой части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений.
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет
содержательную форму:
13 EMBED Equation.3 1415и математическую форму:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержательную форму
13 EMBED Equation.3 1415
и математическую форму
13 EMBED Equation.3 1415.
Неотрицательность объемов производства задается как 13 EMBED Equation.2 1415.

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 1415
3. Варианты задач для самостоятельного решения

Вариант 1. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2
Тип ресурсов
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции
Наличие ресурсов



1
2
3
4



Сырье, кг
6
5
3
2
80

Рабочее время, час
15
12
8
10
100

Оборудование, ед.
5
3
2
4
70

Прибыль на единицу продукции, руб.
30
10
20
15


Необходимо определить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.

Вариант 2. Отделение налоговой инспекции хочет обновить компьютеры для своей работы. Для этого выделяются финансовые ресурсы на покупку компьютеров в размере 90 тыс. усл. ед. и увеличиваются площади для их размещения до 210 м2. Фирма "Компьютер" предлагает 4 варианта сборки компьютерного оборудования, имеющие разные стоимости, занимаемые площади и производительности (см. таблицу 3).
Известно, что в штате отделения работает 40 чел. и что компьютеров сборки по варианту 3 надо не более 15.
Таблица 3.

Варианты компьютерного оборудования



1
2
3
4

Стоимость
12 000
16 000
24 000
18 000

Занимаемая площадь
0,9
1,1
0,95
1,2

Производительность, усл. ед.
5
4
6
7

Составить план закупки оборудования у фирмы "Компьютер" с целью максимизации производительности производственного процесса.

Вариант 3. Фирма производит три вида красок: только для внутренних (В), только для наружных (Н) работ и стандартную (С) как для внешних, так и для внутренних работ. Для изготовления красок используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы приведены в таблице 4.
Таблица 4
Исходный продукт
Расход исходных продуктов на 1 т краски
Суточный запас, т



Краска Н
Краска В
Краска С



Пигмент
1
2
2
12

Олифа
2
1
2
8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает 4 ц в сутки. Цена продажи 1 ц краски для наружных работ 30 ден. ед., для внутренних работ 40 ден. ед., а стандартной 35 ден. ед.
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Вариант 4. Животноводческое хозяйство имеет возможность покупать от одного до четырех различных видов зерна и готовить различные виды смесей (комбикормов) для кормления животных.
Различные зерновые культуры содержат разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Допустим, что принимаются в расчет четыре компонента, данные по которым приведены в таблице 5.
Таблица 5

Ингредиенты
Единица веса зерна
Минимальные потребности на планируемый период





1
2
3


А
2
3
7
1250

В
1
1
0
250

С
5
3
0
900

V
0,6
0,25
1
300

Стоимость ед. веса, ден. ед.
40
35
80



Управляющему хозяйством надо определить, какая из всех возможных смесей является самой дешевой при соблюдении минимальных требований с точки зрения ее питательности, т.е. минимизировать затраты с целью получения оптимального составления комбикормов.
Вариант 5. Хладокомбинат производит три типа мороженого "Эскимо","Фунтик" и "Пломбир". Для производства 1 т "Эскимо" требуется 0,2 ч работы оборудования, для мороженого "Фунтик" 0,3 ч, а для мороженого "Пломбир" 0,25 ч. Расход специального ингредиента на них составляет 0,02 т, 0,03 т и 0,04 т на 1 т соответственно. Ежедневно в распоряжении комбината 16 т специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 т мороженого "Эскимо" составляет 2,5 тыс. руб., мороженого "Фунтик" 3,5 тыс. руб., а мороженого "Пломбир" 3,1 тыс. руб.
Определите ежедневный план производства мороженого каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

Вариант 6. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить определенное количество питательных веществ, содержащихся в фруктах (см. таблицу 6).
Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача.


Таблица 6
Вещества
Содержание питательных веществ
Нормы потребления, г



Яблоки
Смородина
Клубника



Р1
3
2
1
30

Р2
1
2
4
40

Рз
0
5
0
60

Р4
0
1
1
70

Р5
2
4
1
50

Цена, руб. за 1 кг
30
40
60



Вариант 7. Бумажная фабрика обладает запасами сухого сырья и наполнителя для производства пяти типов бумаги. Размеры запасов каждой группы сырья, нормативы его расхода на каждый тип бумага и прибыль от реализации 1 т каждого типа бумаги заданы в таблице 7.
Определить размеры годовой выработки каждого типа бумага, обеспечивающие максимальную общую прибыль от ее реализации при условии, что планом предусмотрен обязательный выпуск не менее, чем 8000 т газетной бумаги и 3000 т обойной бумаги.

Таблица 7
Тип сырья
Тип бумаги
Запасы сухого сырья и наполнителя,
тыс. т





Типографская
Газетная
Обойная
Пачечная
Оберточная


Целлюлоза
0,33
0,27
0,24
0,17
0,21
23

Древесная масса
0,62
0,79
0,64
0,78
0,70
45

Макулатура


0,10
0,07
0,09
0,4

Каолин
0,73

0,09
0,11
0,08
14

Прибыль за 1 т, руб.
25
218
175
315
255




Вариант 8. Составьте дешевый вариант 1 т кормовой смеси в соответствии с требованиями, представленными в таблице 8:
Таблица 8
Питательные вещества
Содержание вещества, %
Содержание питательных веществ, т





Люцерновая мука
Сухая барда
Рыбная мука
Соевый шрот

Белок
Не менее 35
17
25
60
45

Жиры
Не менее 1,5
2
5
7
0,5

Клетчатка
Не более 8
25
3
.1
6,5

Вес, т
1
1
1
1
1

Стоимость 1 т, руб.

70
90
150
100

Вариант 9. Нефтеперерабатывающий завод "НЕФТЬ" получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: бензин А (2 : 3 : 5 : 2), бензин В (3 :1:2 :1) и бензин С (2 : 2 : 1: 3). Стоимость 1 тыс. л бензина каждого сорта равна соответственно 12 000 руб., 10 000 руб. и 15 000 руб.
Вариант 10. Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. На рис.1. показана технологическая схема производства изделий

13 EMBED MSDraw 1415Рис.1. Технологическая схема производства
Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 мин; для второй операции – 460 мин; для третьей операции – 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.
Постройте математическую модель, позволяющую найти наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?
Вариант 11. При изготовлении изделий 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия 13 EMBED Equation.2 1415 требуется 300 и 200 станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия 13 EMBED Equation.2 1415 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.
Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия 13 EMBED Equation.2 1415 составляет 6 руб. и от единицы изделия 13 EMBED Equation.2 1415 – 16 руб.
Постройте математическую модель задачи, используя в качестве показателя эффективности прибыль и учитывая, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.
Вариант 12. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов 13EMBED Equation 1415 и 13EMBED Equation 1415 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта 13EMBED Equation 1415 – 2 руб., 13EMBED Equation 1415 –3 руб.
Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.
Вариант 13. С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в табл. 9
Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.
Таблица 9
Характеристики
парка вагонов
Тип вагона


Багажный
Почтовый
Плацкартный
Купейный
Мягкий

Число вагонов в поезде, шт.:






курьерском
1

5
6
3

скором
1
1
8
4
1

Вместимость вагонов, чел.


58
40
32

Наличный парк вагонов, шт.
12
8
81
70
27


Вариант 14. Малое предприятие выпускает детали А и В. Для этого оно использует литье, подвергаемое токарной обработке, сверлению и шлифованию. Производительность станочного парка предприятия по обработке деталей А и В приведена в таблице 10.
Предполагая, что спрос на любую комбинацию деталей А и В обеспечен, постройте математическую модель для нахождения плана их выпуска, максимизирующего прибыль.
Таблица 10
Станки
Производительность, шт./ч
Стоимость станочного
времени, руб./ч


А
В


Токарные
25
40
20

Сверлильные
28
35
14

Шлифовальные
35
25
17,5

Цена детали, руб.:




покупная
2
3


реализационная
5
6


Вариант 15. Известно, что содержание трех питательных веществ А, B и C в рационе должно быть не менее 80, 60 и 30 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продуктов приведено в таблице 11.
Таблица 11
Питательные вещества
Количество единиц питательных веществ


I
II
III

А
1
4
3

В
2
4
2

C
2
1
3

Цена 1 кг продукта
10
12


Определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ, при минимальных денежных затратах.




















БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК



Алесинская Т. В. Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие по решению задач по курсу ЭММиМ. – Таганрог, ТГРУ, 2002. – 153 с.
Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.
Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов. / Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.
Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 544 с.
Шапкин А. С., Мазаев Н. П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. –М.: «Дашков и Ко», 2004. – 400 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999.
Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для студентов экономических специальностей вузов. /Под ред. А. В. Кузнецова (Н. И. Холод, А. В. Кузнецов, Я. Н. Жихар) – Мн.: БГЭУ, 2000. – 413 с.

















































Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от 10 апреля 1998 года.
Подписано в печать ___________ 2006 г. Формат 60х84. Бумага типографская. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. _______. Усл. изд. л. _______. Тираж _______экз. Заказ № __________.
Издательство Башкирского государственного аграрного университета.
Кафедра статистики и информационных систем в экономике









13PAGE 15


13PAGE 141915


13PAGE 15









Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 23671558
    Размер файла: 547 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий