ЗАД. по теории вероят.


Задание по теории вероятностей и математической статистике.
Задание 1. (Образец задачи 1–3). Студент знает 15+N из 25+N вопросов программы курса. Найти
вероятность того, что студент знает: а) все три предложенных ему
вопроса; б) ни одного вопроса.
Задание 2. (Образец задача 1–3). Три стрелка произвели по одному выстрелу по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7–0,01N; вторым – 0,8–0,01N; третьим – 0,9–0,01N. Найти вероятность того, что цель поразит: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок.
Задание 3. (Образец задача 4). Вероятность поступления в институт выпускника средней школы равна 0,6–0,01N; техникума – 0,7–0,01N; подготовительного отделения – 0,8–0,01N. Среди каждых 100 абитуриентов – 50 выпускников средней школы, 25 – техникума и 25 –подготовительного отделения. Какова вероятность того, что случайно выбранный абитуриент поступил в інститут? Какова вероятность того, что абитуриент был випускником средней школы.
Задание 4. (Образец задачи 6–9). Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% –1%N от общего числа волокон. Сколько волокон должно быть в пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем – 114? Определить вероятность наивероятнейшего числа коротких волокон.
Задание 5. (образец задача 5). Две независимые случайные величины заданы своими законами распределения:
Х N 2 Y 0 3
Р 0,2 ? Р 0,7 0,3
Необходимо: 1) составить закон распределения случайной величины Z=X+Y;
2) проверить справедливость свойств математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин.
Задание 6. (Образец задача 12). При обследовании работы автоматической линии выяснилось, что длина изготавливаемой ею детали есть нормально распределенная случайная величина, среднее значение которой равно 30 см+N, среднее квадратическое отклонение равно 0,5 см.
Необходимо: 1) записать дифференциальную и интегральную функции распределения длины детали и построить их графики;
2) вычислить вероятность того, что деталь имеет длину от 27см+N до 33см+N;
3) найти вероятность того, что отклонение длины от 30см +N не должно превышать 0,8 см.
Задание 7. (Образец задачи 13–15). Вероятность того, что телевизор выйдет из строя равна 0,2+N. Партия состоит из 1000 телевизоров. Найти: 1) вероятность того, что число телевизоров вышедших из строя будет находиться в промежутке от 90 до 140; 2) вероятность того, что доля телевизоров вышедших из строя отличается от вероятности телевизоров вышедших из строя не более, чем на 0,1.
Задание 8. (Образец задача 18). Для оценки средней урожайности некоторой культуры с одного гектара на всей площади в 1610 га было проведено выборочное исследование урожайности на части площади. Результаты выборочного исследования представлены в следующей таблице:
Урожайность в ц/га, Х 16+N 17+N 18+N 19+N 20+N
Посевная площадь в га, т 20 12 18 10 15
Определить:
Среднюю урожайность и дисперсию урожайности в выборочной совокупности (использовать метод моментов);
Вероятность того, что средняя урожайность некоторой культуры с 1 га на всей площади 1610 га отклонится от средней урожайности в выборочной совокупности (по абсолютной величине) не больше, чем на 0,31 ц/га;
Границы, в которых с вероятностью 0,6827 находится средняя урожайность на всей площади.
N – по списку, который прилагается
101 гр.
Агаджанян
Барсегян
Бедереу
Ващенко
Єгорова
Іскра
Попов Дмитро
Реброва
Селезньова
Стойкова
Шевченко
Сушко
102 гр.
Алєксєєенко 10. Медякова
Газізова 11. Момот
Газізов 12. Попов Олексій
Дудка 13. Смірнова
Дьомкіна 14. Трофименко
Корольова 15. Хасапов
Кристальова 16.
Макєєва
Маліхатко
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТИПОВИХ ПРИКЛАДІВ
З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Задача 1. Кидаються одночасно дві гральні кістки. Знайти ймовірність таких подій: А – сума очок, що випали, дорівнює 8; В – добуток очок, що випали, дорівнює 8; С – сума очок, що випали, більша ніж їх добуток.
Розв’язування. Оскільки будь-яка грань першої кістки може поєднуватися з будь-якою гранню на іншій кістці, то загальна кількість можливих подій випробування Події А сприяє 5 результатів випробування: (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2). Події В сприяє 2 результати випробування: (2,4); (4, 2). Події С сприяє 11 результатів випробування: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1). Отже,
Задача 2. Букви українського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П’ять карток виймаються навмання одна за одною і складаються в порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово «ОЛЕСЯ».
Розв’язування. Позначимо через події, які складаються в «появі букв» О, Л, Е, С, Я відповідно. Події - залежні. Нас цікавить поява події . Враховуючи, що український алфавіт має 32 букви, за теоремою множення ймовірностей для залежних подій отримуємо

Задача 3. У магазин увійшли два покупці. Ймовірність того, що перший зробить покупку дорівнює 0,6; для другого покупця ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що: а) обидва покупці зроблять покупку; б) один покупець зробить покупку; в) жоден з них не зробить покупку; г) хоча б один покупець зробить покупку.
Розв’язування. Нехай - подія, що перший покупець зробить покупку; тоді протилежна їй подія полягає в тому, що він не зробить покупку. Аналогічно, відповідні події для другого покупця позначимо через та . Події незалежні, отже, і теж незалежні.
а) Нехай В – подія, що обидва покупці зроблять покупку. Це станеться тоді і тільки тоді, коли і перший, і другий покупець зроблять покупку, тобто з’являться одночасно дві події і . Таким чином, . За допомогою теореми множення ймовірностей для незалежних подій

б) Нехай С – подія, що один покупець зробить покупку. Тоді . Події і - несумісні. Враховуючи, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, отримаємо , За допомогою відповідних теорем додавання та множення
ймовірностей отримуємо:

в) Нехай - подія, що жоден з покупців не зробить покупку. Тоді ;
г) Нехай Е – подія, що хоча б один покупець зробить покупку. З’ясуємо, що становить собою протилежна подія . У даному випадку - це подія того, що жоден з покупців не зробить покупку, тобто співпадає з подією . Таким чином, події Е та є протилежними, тому
Подію Е можна було б виразити таким чином:
(випливає безпосередньо з визначення суми двох подій) або


Задача 4. Статистика запиту кредитів у банку є такою: 10% - державні установи, 30% - інші банки, решта - фізичні особи. Ймовірності неповернення отриманого кредиту відповідно дорівнюють: 0,01; 0,05; 0,2. Знайти ймовірність неповернення чергового запиту на кредит. Начальнику кредитного відділу доповіли, що отрима-но повідомлення про неповернення кредиту, проте у факсовому повідомленні ім’я клієнта було погано надруковано. Яка ймовірність того, що черговий кредит не поверне деякий банк, тобто банк, що належить групі “інших банків”.
Розв’язування. Нехай А – випадкова подія, що полягає у неповерненні кредиту; гіпотези: запит на кредит надійшов від державної установи; від банку; від фізичної особи. Результати обчислень наведені в таблиці:
№ гіпо-тези
1 0,1 0,01
2 0,3 0,05
3 0,6 0,2
--
Отже, ймовірність неповернення чергового запиту на кредит - , ймовірність того, що черговий кредит не поверне деякий банк - .
Задача 5. Дві незалежні випадкові величини задані своїми законами розподілу:
Х 2 5 Y 3 4
Р 0,2 0,8 Р 0,7 0,3
1) Скласти закони розподілу випадкових величин:
а) Х + Y ; б) ; в) ; г) ; д) .
2) Обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини

Розв’язування.
а)
Х+Y 2+3 2+4 5+3 5+4 Х+Y 5 6 8 9
Р Р 0,14 0,06 0,56 0,24
б)
ХY ХY 6 8 15 20
Р Р 0,14 0,06 0,56 0,24
в)
4 25
Р 0,2 0,8 Р 0,2 0,8
г)
4 10 25
Р Р 0,04 0,32 0,64
д)
4 10
Р 0,2 0,8 Р 0,2 0,8
Зауваження. Коли випадкова величина набуває одного й того ж значення в різних випадках, то користуючись теоремою додавання, об’єднуємо ці випадки в один. Значення випадкової величини розташовують, як правило, в порядку зростання. Звернемо увагу, що .
2) Знаходимо математичне сподівання та дисперсію випадкових величин та

2 0,2 0,4 1,6 3 0,7 2,1 6,3
5 0,8 4 20 4 0,3 1,2 4,8
1 4,4 21,6 1 3,3 11,1
Використовуючи результати таблиць, отримаємо математичні сподівання та дисперсії: а) математичні сподівання М(Х) == 4,4 ; М(Y) = = 3,3
= 21,6 ; = 11,1
б) дисперсії ; .
Для обчислення M(Z), D(Z) використовуємо властивості математичного сподівання та дисперсії : ;

Задача 6. Пристрій складається з 10 вузлів, кожен з яких може вийти з ладу з ймовірністю 0,2. Пристрій перестає працювати, якщо з ладу виходять не менше 3 вузлів. Яка ймовірність справної роботи пристрою?
Розв’язування. Подією А вважаємо вихід з ладу одного довільного вузла пристрою. За умовою: Пристрій буде справно працювати, якщо з п = 10 вузлів кількість вузлів, що вийшли з ладу, буде не більше двох. Ймовірність того, що серед 10 жоден вузол не вийшов з ладу, знаходимо за формулою Бернуллі:
.
Ймовірність того, що серед 10 один вузол вийшов з ладу:
.
Ймовірність того, що серед 10 два вузли вийдуть з ладу:
.
Ймовірність справної роботи пристрою: .
Задача 7. Ймовірність виготовлення бракованого виробу на автоматичній лінії дорівнює 0,015. З великої партії виробів відбирається навмання 100 штук і перевіряється їх якість. Якщо серед них виявиться три або більше бракованих (подія В), то вся партія відправляється на суцільну розбраковку. Визначити ймовірність того, що партія буде відправлена на суцільну розбраковку.
Розв’язування. Подія А – навмання взятий виріб виявиться бракованим. За умовою: . Подія - із 100 виробів виявиться менше трьох бракованих, тобто, або один, або два, або жодного бракованого. Врахову-ючи, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, будемо мати:
.
Для наближеного знаходження використаємо формулу Пуас-сона:
(значення функції наведені в додатку 1).
Отримуємо:
Задача 8. В урні знаходиться 10 білих та 5 чорних куль. Проводиться відбір 30 куль за схемою «повернених куль». Знайти найімовірнішу частоту появи білої кулі та ймовірність цієї найімовірнішої частоти.
Розв’язування. Подія А – відібрана куля виявилася білою. За умовою задачі . Найімовірнішу частоту знаходимо з подвійної нерівності:
Отже,
Для наближеного знаходження ймовірності найімовірнішої частоти використаємо формулу локальної теореми МуавраЛапласа:
(значення функції Гаусса наведені в додатку 2).
Задача 9. 1. Яке найменше число спортсменів повинна обстежити медична комісія, щоб найімовірніша кількість тих, які пройшли комісію, дорівнювала 30, якщо ймовірність непроходження комісії кожним спортсменом дорівнює 0,1.
2. Обчислити ймовірність найімовірнішої кількості спортсменів, які пройшли комісію, серед обстежених.
Розв’язування. Нехай А – випадкова подія, що полягає в тому, що спортсмен пройшов комісію. За умовою задачі Кількість спортсменів, які пройшли комісію, знайдемо з розв’язку системи нерівностей


Кількість спортсменів, яких потрібно обстежити, дорівнює Для знаходження застосуємо локальну теорему МуавраЛапласа:
.
.
Задача 10. За умовою задачі №3 скласти інтегральну функцію розподілу випадкової величини – числа зроблених покупок.
Розв’язування. Нехай Х – дискретна випадкова величина (ДВВ) – число зроблених покупок. ДВВ Х може набувати трьох значень: 0, 1, 2;
0 – коли жоден із покупців не зробить покупку,
1 – коли один із покупців зробить покупку,
2 – коли обидва покупці зроблять покупку.
Враховуючи розв’язування задачі №3, відповідні ймовірності дорівнюють:
; .
Отже, закон розподілу для ДВВ Х має вигляд:
Х 0 1 2
Р 0,12 0,46 0,42
Згідно з означенням функції розподілу
якщо
Задача 11. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Необхідно: 1) Побудувати графік функції .
2) Знайти.
3) Знайти щільність розподілу ймовірностей та побудувати її графік.
Розв’язування. 1) На проміжку , тому на цьому проміжку її графік співпадає з віссю абсцис; на проміжку графік є частиною параболи . У точці функція неперервна і тому її графік переходить уздовж осі ОХ на вказану ділянку параболи. Далі, на проміжку графіком є промінь, який виходить з точки з координатами (1; 1) і прямує паралельно осі абсцис. У точці функція неперервна і тому в цій точці вищевказана ділянка параболи стикується з променем (рис.1).
2) Функція розподілу для даної випадкової величини неперервна і тому ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з проміжка обчислюється за формулою:


Щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

Побудуємо графік цієї функції. На проміжках та щільність роз-поділу ймовірностей дорівнює нулю, і тому на кожному з цих проміжків графік функції співпадає з віссю абсцис. На проміжку щільність розподілу
ймовірностей лінійна, і її графіком є відрізок прямої, причому , . Графік щільності розподілу ймовірностей випадкової величини Х зображений на рис.2.


1
2
0

рис. 2


1
1
0

рис. 1

Задача 12. Нормально розподілена випадкова величина Х має математичне сподівання а = 20 і середнє квадратичне відхилення Необхідно:
1) Записати функцію розподілу і щільність розподілу ймовірностей випадкової величини і зобразити їх графіки.
Знайти
4) Знайти абсолютну величину відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання, яку необхідно гарантувати з ймовірністю і довірчий інтервал значень випадкової величини Х з вказаною ймовірністю
Розв’язування. 1) Для нормально розподіленої випадкової величини щільність розподілу ймовірностей має вигляд , де - математичне сподівання, - середнє квадратичне відхилення; функція розподілу: , де - функція Лапласа, значення якої наведені в додатку 3. У нашому випадку а = 20, , тому функція розподілу і щільність розподілу відповідно мають вигляд: , . Графіки зображені нижче
20

0
1
½


20
15
25
0







2) Ймовірність знаходження значень нормально розподіленої випадкової величи-
ни Х на заданому проміжку обчислюється за формулою:
де , .
За умовою задачі Підставляючи числові значення, отримаємо , .
При обчисленні була врахована непарність функції Лапласа .
3) Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від її математичного сподівання не перевищить додатнього числа , обчислюється за формулою: .
Підставляючи у формулу задані числові значення, отримаємо
.
4) З формули випливає, що З таблиці значень функції знаходимо, що = 0,9786 для Звідси Довірчий інтервал значень випадкової величини Х з вказаною ймовірністю має вигляд: Підставляючи в цю формулу отримаємо
Задача 13. П’ять робітниць розфарбовують однакові за формою і розмірами іграшки. Дві з них розфарбовують іграшки в червоний колір і три – в зелений. Продуктивність праці робітниць однакова. Розфарбовані іграшки виявились перемішаними. Визначити ймовірність того, що серед 600 іграшок, відібраних випадковим чином, червоних виявиться від 228 до 264 шт. включно.
Розв’язування. Позначимо: подія відібрана іграшка має червоний колір. За умовою задачі За формулою інтегральної теореми МуавраЛапласа
отримаємо:
Задача 14. Ймовірність виходу з ладу холодильника протягом гарантійного строку дорівнює 0,1. За рік фірма реалізувала 900 холодильників. Визначити ймовірність того, що число холодильників, які вийшли з ладу, буде відрізнятися від найбільш імовірного числа холодильників, які зламались, за абсолютною величиною не більше ніж на 18 шт.
Розв’язування. Будемо вважати найбільш імовірне число настання події - вихід з ладу холодильника протягом гарантійного строку, рівним математичному сподіванню числа появи цієї події, яке дорівнює Скористуємось частинним випадком інтегральної теореми Муавра-Лапласа
.
За умовою задачі . Тоді
Задача 15. При налагодженому технологічному процесі ймовірність виготовлення бракованого виробу дорівнює 0,015. Визначити ймовірність того, що частка бракованих виробів серед виготовлених 1000 шт. буде відрізнятися від ймовірності виготовлення такого виробу не більше ніж на 0,005 в ту чи іншу сторону.
Розв’язування. Позначимо: подія виготовлений виріб бракований. За умовою задачі . Для визначення шуканої ймовірності застосуємо другий частинний випадок інтегральної теореми МуавраЛапласа . Отримаємо

Задача 16. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:
Х 0,3 0,6
Р 0,2 0,8
Оцінити ймовірність того, що
Розв’язування. Для розв’язування задачі необхідно знайти дисперсію випадкової величини Х, а потім скористатися нерівністю Чебишова:
.
У нашому випадку


Зауваження. Шукану ймовірність можна не тільки оцінити, а й знайти. Абсолютна величина відхилення Х від її не перевищить 0,2, якщо Х набуде значення 0,6:. Ймовірність цієї події 0,8.
Задача 18. Для оцінки середньої врожайності деякої культури з 1 га на всій площі в га було проведене вибіркове обстеження врожайності на частині площі. Для вказаних результатів вибіркового обстеження (див. нижченаведену таблицю) визначити:
Середню врожайність та дисперсію врожайності у вибірковій сукупності.
Ймовірність того, що середня врожайність з 1 га на всій площі відхилиться від середньої врожайності у вибірковій сукупності не більше ніж на ц.
Границі, в яких з ймовірністю міститься середня врожайність на всій площі.
Яким повинен бути обсяг вибіркової сукупності, щоб з імовірністю, не мен-шою ніж , можна було стверджувати, що відхилення середньої врожайності при вибірковому обстеженні від середньої врожайності на всій площі не пере-
вищить (вважати, що дисперсія врожайності в наведеній вибірковій сукупності є оцінкою дисперсії врожайності з 1 га на всій площі).
Врожайність в ц/га, Х 16 17 18 19 20
Посівна площа в га, т 19 12 18 11 15
Дані для проведення розрахунків:
Розв’язування. 1) Знайдемо характеристики вибіркової сукупності. Значення рівновіддалені одне від одного. Для обчислення середнього значення та дисперсії
ознаки Х використаємо метод моментів. Розглянемо випадкову величину , де . Результати обчислень зручно записати у вигляді таблиці.
Обсяг вибіркової сукупності

.
Середня врожайність у вибірковій сукупності:
.
Дисперсія врожайності у вибірковій сукупності:
.
16 19 -2 -38 76 17 12 -1 -12 12 18 18 0 0 0 19 11 1 11 11 20 15 2 30 60 75
-9 159 2) Для досліджуваної сукупності відомо: Треба знайти .
Враховуючи, що вибірка безповторна, використаємо теорему Чебишова з уточненням Ляпунова:, де , дисперсія генеральної сукупності. Покладаючи , отримаємо:
З додатка 3 знаходимо, що

Таким чином, . З ймовірністю 0,9419 можна стверджувати, що середня врожайність з 1 га на всій площі відхилиться від середної врожайності у вибірковій сукупности ц не більше ніж на 0,31 ц.
3)Знайдемо границі, в яких з ймовірністю міститься середня врожайність на всій площі: .
Оскільки , то з додатка 3 знаходимо, що , якщо . Тоді . Отже,

З надійністю 0,6827 можна стверджувати, що середня врожайність з 1 га на всій площі буде знаходитись у проміжку від 17,7164 ц до 18,0436 ц.
4) Обсяг вибіркової сукупності для безповторної вибірки визначається за формулою: , де .
З умови задачі випливає, що .
З додатка 3 знаходимо, що , якщо . Враховуючи, що , за формулами для і отримаємо. Обчислене число може бути дробовим. У цьому випадку дорівнює найменшому цілому числу, яке задовольняє нерівності Тому округляємо з надлишком:
Отже, для того щоб із ймовірністю, не меншою ніж 0,9545, можна було стверджувати, що відхилення середньої врожайності при вибірковому обстеженні від середньої врожайності на всій площі не перевищить 0,41 ц, треба відібрати методом безповторної вибірки не менше 49 га посівної площі.

Приложенные файлы

  • docx 23651823
    Размер файла: 419 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий